Joaqui Aâio Rorigues Aeveo Aplicação o Processaeto e Sial à Aálise e Sítese e Agrupaetos Tese e Doutoraeto e Egeharia Electrotécica apresetaa à Uiae e Ciêcias Eactas e Huaas a Uiversiae o Algarve Orietaor: Prof. Atóio auel Esteves Satos Casiiro Uiversiae o Algarve Setebro -
Agraecietos Após u logo trabalho coucete a esta Tese é u praer agraecer a toos os que cotribuíra para a sua realiação. Ao Prof. Atóio auel Casiiro, eu orietaor cietífico, que laçou os fuaetos este trabalho e que, ebora estivésseos separaos urate a aior parte o tepo, sepre tive too o seu apoio e ajua o ecurso o eso. À iha esposa por toa a sua ispoibiliae, ajua e copreesão prestaas ao logo e too este trabalho, faeo tuo para que o eso ecorresse sepre apesar as ificulaes que foos ecotrao. À iha faília e oe recebi as bases o eu esevolvieto huao, e especial à iha ãe e tia que uca e ipeira e ir ais loge. Aos eus colegas, particularete à Dra. Aa Isabel Caroso, ao Eg. Alberto Vele Grilo, ao Eg. Re Xiefeg, ao Eg. Gabriel Pestaa, ao Eg. Duarte Goes e ao Sr. Nelso por toa a ajua prestaa. Ao Prof. Ke ile pelas suas sugestões. À Secção Autóoa e Egeharia e Sisteas e Coputaores a Uiversiae a aeira, oe sou ocete, por toos os eios que colocou à iha isposição para eecução este trabalho. À Uiae e Ciêcias Eactas e Huaas a Uiversiae o Algarve oe é realiao este outoraeto. Ao prograa PRODEP pelo suporte fiaceiro através e ua bolsa, que e possibilitou a aquisição e bibliografia e e participação e coferêcias iteracioais. Ao Cetro e Estuos e Física, Acústica e Telecouicações CEFAT pelo apoio prestao.
À iha esposa e filhos
Íice Íice e Figuras.... iii Íice e Tabelas.... viii Lista e Síbolos...... i Prefácio....... i otivação a Tese........... i Objectivos a Tese........ ii Estrutura a Tese.......... ii. Estao a Arte........ - Itroução........ - étoo a Trasforaa e Fourier....... - étoos Clássicos............ - Agrupaetos Cotíuos........... - Agrupaetos Discretos......... 3.. - Relação e Fourier........ 5.3 - étoo e Schelkuoff....... 7.4 - étoo e Woowar......... 9.4. - Agrupaetos Cotíuos.......... 9.4. - Agrupaetos Discretos..........5 - Sítese e Tschebyscheff...........5. - Utiliao os Zeros o Polióio e Tschebyscheff....5. - Desevolveo o Polióio e Tschebyscheff.....5.3 - Fórulas Directas........ 3.6 - Sítese e Zolotarev.......... 5.7 - Sítese e Taylor........... 8 vii
Íice.8 - Sítese e Bayliss...........9 - Sítese e Villeeuve............. - Sítese e cnaara............. 5. - étoos os Filtros............ 6. - Sítese e Factores e Agrupaeto co Nulos..... 3 Referêcias............ 36. Aplicação a Relação e Fourier........... 4. - Itroução........... 4. - Aálise e Sítese e Agrupaetos............ 4.. - Aálise e Agrupaetos.......... 4.. - Sítese e Agrupaetos.............. 44.3 - Aaptação o Teorea a Aostrage......... 45.3. - Distribuições Cotíuas............ 46.3. - Distribuições Discretas............. 47.3.3 - Relações Úteis........... 49.4 - étoos Revisitaos........... 49.4. - étoo a Trasforaa e Fourier......... 5.4.. - Distribuições Cotíuas.......... 5.4.. - Distribuições Discretas.......... 5.4. - étoo e Woowar........... 5.4.. - Distribuições Cotíuas.......... 5.4.. - Distribuições Discretas........ 54.4.3 - étoo e Schelkuoff........... 57.4.4 - Sítese e Tschebyscheff.......... 58.4.4. - Trasforaa os Polióios e Tschebyscheff.... 58.4.4. - Cálculo os Coeficietes Utiliao o Teorea a Aostrage... 64.4.4.3 - Outros Polióios........... 65.4.5 - Sítese e Zolotarev.............. 66 viii
Íice.4.6 - Sítese e Taylor........... 67.4.7 - Sítese e Bayliss.............. 69.4.8 - Sítese e Villeeuve............ 69.4.9 - Técica as Jaelas........... 7.4.9. - Distribuições Cotíuas.......... 7.4.9. - Distribuições Discretas........... 73.5 - Suário........... 76 Referêcias.............. 77 3. Utiliação a FFT............. 79 3. - Itroução........... 79 3. - Núero e Potos a Fução a Utiliar para o Cálculo......... 8 3.. - Liites o Espectro........... 8 3.. - Valores o Erro............. 8 3..3 - Eeplos.............. 84 3..3. - C Coicie co o áio a Trasforaa... 84 3..3. - C Não Coicie co o áio a Trasforaa.... 88 3.3 - Sítese e Agrupaetos através a FFT........ 9 3.3. - Distribuições Cotíuas............ 9 3.3. - Eeplos e Distribuições Cotíuas...... 93 3.3.3 - Distribuições Discretas............. 96 3.3.4 - Eeplos e Distribuições Discretas........... 98 3.4 - Aálise e Agrupaetos através a FFT....... 4 3.4. - Distribuições Cotíuas.............. 4 3.4. - Distribuições Discretas........... 6 3.5 - Suário............. Referêcias............ 4. Novos Proceietos a Sítese e Agrupaetos. 3 4. - Itroução..... 3 i
Íice 4. - Liitação Espacial a Distribuição...... 3 4.. - Distribuição Cotíua..... 4 4.. - Distribuição Discreta...... 4.3 - Técica a ultiplicação e Fuções.... 5 4.3. - Técicas Alterativas ao étoo e Taylor... 5 4.3.. - ultiplicação a Fução e va er aas co a Gaussiaa... 5 4.3.. - Aostrage a Fução e va er aas. 3 4.3..3 - Distribuição e Correte Nula os Etreos... 33 4.3..4 - Factor e Agrupaeto e Taylor Assiétrico.... 34 4.3..5 - Diferetes Níveis e Lóbulos Secuários... 39 4.3. - Técica Alterativa ao étoo e Bayliss.. 4 4.3.3 - Técica Alterativa ao étoo e Villeeuve.. 44 4.3.3. - Factor e Agrupaeto Siétrico.... 45 4.3.3. - Factor e Agrupaeto Assiétrico.... 47 4.3.4 - Técica Alterativa ao étoo e Zolotarev.. 5 4.4 - Iterpolação Polioial.... 55 4.4. - Iterpolação para Fuções co Sietrias...... 55 4.4. - Sítese e Factores e Agrupaeto Tipo Peestal... 6 4.4.. - Utiliação os Zeros o Polióio e Tschebyscheff..... 6 4.4.. - Utiliao ua Técica Aplicaa os Filtros... 64 4.4.3 - Iterpolação Não uifore. 67 4.4.4 - Sítese e Factores e Agrupaeto Tipo cosec... 69 4.4.5 - Sítese e Zolotarev Revisitaa..... 7 4.4.6 - Geração e Nulos o Factor e Agrupaeto.... 74 4.5 - Aproiação Polioial... 8 4.5. - Técica e Aproiação.... 8 4.5. - Geração e Nulos.... 83 4.6 - Iterpolação o Factor e Agrupaeto co Agrupaetos Cotíuos... 84 4.6. - Iterpolação Não Uifore. 85
Íice 4.6. - Eeplos e Aplicação a Técica e Iterpolação...... 87 4.7 - Suário............ 9 Referêcias............ 9 5. Coclusões............ 93 5. - Itroução.............. 93 5. - Resuo.......... 93 5.3 - Coclusões............ 94 5.4 - Trabalhos Futuros............. 96 Referêcias............ 98 Apêices............... 99 Apêice A - Algoritos as fuções fftcot e fftisc...... 99 Apêice B - Algoritos as fuções ifftcot e ifftisc........ Apêice C - Algorito para Sítese e u Agrupaeto Cotíuo.... Apêice C - Algorito para a Sítese e Taylor....... Apêice C3 - Algorito para a Sítese e Bayliss...... 4 Apêice C4 - Algorito para Sítese e u Agrupaeto Discreto.. 6 Apêice C5 - Algorito para a Sítese e Tschebyscheff co =cosb*/.. 7 Apêice C6 - Algorito para a Sítese e Tschebyscheff co =wcosb*+h.. 8 Apêice C7 - Algorito para a Sítese e Gegebauer... 9 Apêice C8 - Algorito para a Sítese e Zolotarev...... Apêice C9 - Algorito para a Sítese e Villeeuve.... 5 Apêice C - Algorito para Aálise e u Agrupaeto Cotíuo..... 8 Apêice C - Algorito para Aálise e u Agrupaeto Discreto... 9 Apêice C - Algorito para Aálise e u Agrupaeto Não Equiistate.. Apêice D - Algorito a fução jacobieta.......... 3 Apêice E - Algorito a fução ellipticf....... 4 Apêice F - Curvas para o Parâetro C a Técica Alterativa ao étoo e Zolotarev... 5 i
Íice Apêice F - Curvas para o Parâetro C3 a Técica Alterativa ao étoo e Zolotarev... 6 Bibliografia........... 7 Íice Reissivo........... 35 ii
Íice e Figuras. Pequea traslação a fote e referêcia.......... 6. Raíes o factor e agrupaeto o plao e Schelkuoff........ 8.3 Polióio e Zolotarev e ore 9.............. 6.4 Aproiação equiripple......... 8. Obteção e ua istribuição e correte iscreta por aostrage e ua fução cotíua............. 45. Aostrage o factor e agrupaeto e ua istribuição cotíua..... 46.3 Aostrage o factor e agrupaeto e ua istribuição iscreta.. 47.4 étoo a trasforaa e Fourier aplicao a agrupaetos iscretos.. 5.5 étoo e Woowar aplicao a agrupaetos cotíuos.. 53.6 étoo e Woowar aplicao a agrupaetos iscretos... 55.7 Tabela para eteriação os coeficietes a sítese e Tschebyscheff.. 6.8 Factores e agrupaeto e fução e e e fução e... 63.9 Polióios e Gegebauer e grau 8.... 66. Jaela rectagular cotíua....... 7. Jaela e Taylor e parâetro para A=3........ 7. Jaela e Taylor para SLL= e =5....... 73.3 Jaela rectagular iscreta........ 74.4 Jaela e Kaiser para SLL=3 B......... 75.5 Jaela e Tschebyscheff para SLL=3 B......... 76 3. Obteção a trasforaa e Fourier iscreta e ua fução cotíua...... 8 3. Aostrage e ua fução cotíua...... 8 3.3 Liites o espectro espacial a fução u....... 83 3.4 Liites o espectro o peestal........ 85 iii
Íice e Figuras 3.5 Utiliação a FFT trucao o espectro co e=,5.... 85 3.6 Erro quarático éio relativo......... 86 3.7 Utiliação a FFT trucao o espectro co E=,5.... 87 3.8 Eeplo e que o liite C ão coicie co o áio a fução espectral... 88 3.9 Utiliação a FFT trucao o espectro co e=,5...... 89 3. Erro quarático éio relativo......... 89 3. Utiliação a FFT trucao o espectro co E=,5... 9 3. Percetage e eergia espreaa......... 9 3.3 Algorito para aplicação a FFT a sítese e agrupaetos cotíuos... 93 3.4 Distribuição e correte para u factor e agrupaeto efiio pelo co-seo liitao.. 94 3.5 Sítese e Taylor para =8, SLL=5 e L=..... 95 3.6 Sítese e Bayliss para =, SLL=3 e L=...... 96 3.7 Algorito para aplicação a FFT a sítese e agrupaetos iscretos..... 97 3.8 Sítese e u agrupaeto tipo peestal..... 98 3.9 Sítese e Tschebyscheff para 9 eleetos obtios pela técica a FFT... 99 3. Trasforaa e u períoo o factor e agrupaeto e os potos a istribuição e correte o eeplo e causa..... 3. Sítese e Tschebyscheff para eleetos obtios pela técica a FFT... 3. Sítese e Tschebyscheff para 7 eleetos espaçaos e u valor iferior a eio coprieto e oa........ 3.3 Sítese e agrupaetos utiliao os polióios e Gegebauer para eleetos espaçaos e =,6. 3.4 Sítese e Zolotarev para eleetos......... 3 3.5 Sítese e Villeeuve para 4 eleetos co =,5, SLL=5, e =6... 3 3.6 Algorito para aplicação a FFT iversa a aálise e agrupaetos cotíuos.. 5 3.7 Aálise e u agrupaeto cotíuo........ 6 3.8 Algorito para aplicação a FFT iversa a aálise e agrupaetos iscretos, co jução e períoos para peritir auetar a oa visualiável o factor e agrupaeto........ 8 3.9 Factor e agrupaeto e u agrupaeto co 9 eleetos e =,6... 9 iv
Íice e Figuras 3.3 Factor e agrupaeto e u agrupaeto co 6 eleetos e =,5... 3.3 Factor e agrupaeto e u agrupaeto ão equiistate co 5 eleetos.. 4. Jaelas para u agrupaeto cotíuo e coprieto L=... 5 4. óulo e fase as istribuições e correte após aplicar alguas jaelas a ua istribuição e correte aa pelo peestal o factor e agrupaeto... 6 4.3 Factores e agrupaeto obtios por pesage a istribuição e correte ieal co alguas jaelas... 6 4.4 óulo e fase as istribuições e correte após aplicar alguas jaelas a ua istribuição e correte aa pela cosec o factor e agrupaeto... 8 4.5 Factores e agrupaeto obtios por pesage a istribuição e correte ieal co alguas jaelas... 8 4.6 Factores e agrupaeto e istribuições e correte para u agrupaeto co L=5, eteriaos pelo étoo e Woowar e pela jaela e Taylor.... 9 4.7 Jaelas para u agrupaeto iscreto co N=... 4.8 óulo e fase as istribuições e correte após aplicar alguas jaelas a ua istribuição e correte aa pelo peestal o factor e agrupaeto... 4.9 Factores e agrupaeto obtios por pesage a istribuição e correte ieal co alguas jaelas.... 4. Jaelas para u agrupaeto iscreto co N=5... 3 4. óulo e fase as istribuições e correte após aplicar alguas jaelas a ua istribuição e correte aa pela cosec o factor e agrupaeto... 3 4. Factores e agrupaeto obtios por pesage a istribuição e correte ieal co alguas jaelas.... 4 4.3 Fução e va er aas ultiplicaa pela fução gaussiaa e respectiva trasforaa e Fourier... 7 4.4 Agrupaetos seelhates aos e Taylor....... 9 4.5 Agrupaetos seelhates aos e Taylor, obtios por aostrage a fução e va er aas....... 3 4.6 Agrupaeto referete a u factor e agrupaeto seelhate ao e Taylor co ua evolvete ais plaa os lóbulos secuários cetrais......... 33 4.7 Agrupaeto seelhate ao obtio por Roes....... 34 4.8 Agrupaeto assiétrico obtio por aostrage e ua fução apropriaa... 36 4.9 Agrupaeto assiétrico obtio por ultiplicação e fuções apropriaas... 38 v
Íice e Figuras 4. Agrupaeto e Taylor co iferetes pesages os lóbulos secuários, e que os quatro ais próios a orige estão B abaio os restates... 4 4. Agrupaeto e Taylor co iferetes pesages os lóbulos secuários, e que os três ais próios a orige estão B abaio os restates...... 4 4. Fução arco-tagete para C = e ultiplicação esta co a e va er aas. 4 4.3 Agrupaetos seelhates aos e Bayliss...... 43 4.4 Agrupaeto referete a u factor e agrupaeto seelhate ao e Bayliss co ua evolvete ais plaa os lóbulos secuários cetrais... 44 4.5 Agrupaetos seelhates aos e Villeeuve........ 46 4.6 Obteção e ua evolvete ais plaa os lóbulos secuários cetrais... 47 4.7 Agrupaeto assiétrico co eleetos........... 49 4.8 Agrupaeto assiétrico co 3 eleetos........... 5 4.9 Curvas os parâetros C e C 3 para algus valores e SLL e N... 5 4.3 Agrupaetos seelhates aos e cnaara.... 53 4.3 Técica esevolvia co ecaieto os lóbulos secuários a partir a ore K..... 54 4.3 Fução co sietria e eia oa...... 59 4.33 Sítese e u factor e agrupaeto tipo peestal...... 63 4.34 Núero ípar e eleetos...... 64 4.35 Sítese e u factor e agrupaeto tipo peestal...... 67 4.36 Factor e agrupaeto tipo cosec........ 69 4.37 Sítese a cosec utiliao a técica e iterpolação esevolvia... 7 4.38 Agrupaeto e Zolotarev obtio pela técica e iterpolação...... 74 4.39 Geração e u ulo e =.7 u factor e agrupaeto seo carial... 76 4.4 Geração e u ulo e = u agrupaeto e Tschebyscheff..... 76 4.4 Geração e u ulo e baa larga u agrupaeto e Tschebyscheff..... 78 4.4 Geração e ulos u factor e agrupaeto tipo peestal... 78 4.43 Geração e u ulo e baa larga o factor e agrupaeto tipo cosec.... 79 4.44 Geração e u ulo e =5 u agrupaeto e Tschebyscheff co eleetos istaciaos e 4/5 e coprieto e oa.... 8 vi
Íice e Figuras 4.45 Geração e u ulo e baa larga u agrupaeto e Tschebyscheff utiliao a técica a aproiação polioial.... 84 4.46 Aplicação a técica e iterpolação para obter o agrupaeto e Taylor... 88 4.47 Obteção o agrupaeto e Taylor co íveis e lóbulos iferetes..... 88 4.48 Obteção o agrupaeto e Taylor co íveis e lóbulos iferetes após correcção a posição as aostras...... 89 4.49 Geração e ulos u factor e agrupaeto tipo peestal...... 9 vii
Íice e Tabelas. Coeficietes o polióio para a sítese e Bayliss...... Parâetros a sítese e Bayliss para algus valores e SLL....... Alguas istribuições úteis... 49 4. Valores as características e u agrupaeto co eleetos para obteção e u factor e agrupaeto assiétrico, para o étoo esevolvio e para u eeplo apresetao a literatura... 49 4. Fora e aplicar o processo e iterpolação, e oo a obter u factor e agrupaeto par co u úero par e eleetos... 6 viii
Lista e Síbolos Esta lista e síbolos apreseta a otação utiliaa pelo autor a elaboração este trabalho. A represetação o oíio as frequêcias, usao a trasforaa teporal e Fourier, o sial At costate e propagação cos c istribuição e correte relativa e fução a variável istâcia etre eleetos ua istribuição iscreta D irectiviae áia f frequêcia e alietação F trasforaa e Fourier F factor e agrupaeto FFT Fast Fourier Trasfor 8 3 coprieto e oa o vaio f L coprieto e ua istribuição cotíua e fotes N úero e eleetos e ua istribuição iscreta e fotes âgulo etre a liha e u agrupaeto e o poto oe se está a calcular o capo P úero e potos a FFT factor e eslocaeto e relação à orige o oíio a istribuição a fote factor e eslocaeto e relação à orige o oíio o factor e agrupaeto eio os ZZ * copleo cojugao a variável Y T trasposta a atri Y Y + trasposta cojugaa a atri Y i
Prefácio Neste prefácio serão euciaas as otivações que levara à realiação este trabalho e quais fora os pricipais objectivos a atigir, escreveo o abiete e aplicação. Por fi será apresetaa a estrutura a Tese. otivação a Tese Nesta últia etae o século foi realiaa ua quatiae cosierável e ivestigação a aálise e sítese e agrupaetos e ateas. Não obstate, o assuto está loge e estar esgotao, coo se poe coprovar pelo úero e trabalhos que cotiua a ser publicaos e revistas a especialiae e pelas coferêcias iteracioais. De facto, a resposta à velha questão: "Qual eve ser a istribuição e fotes que á orige a u eteriao iagraa e raiação, seguo u ao critério e erro e coições?" aia está loge e ter ua resposta ieiata. Os vários étoos e sítese eistetes, co foras iferetes e aborage, poe ser cosieraos e ois grupos: aqueles cuja solução é obtia e ua fora eteriística e aqueles que recorre a técicas iterativas. Ebora os étoos iterativos cosiga forecer as soluções esejaas, e uitas situações e projecto, ão eia e ser isso eso, iterativos. Receteete foi forulao por Casiiro u étoo uificaor que relacioa, através a trasforaa e Fourier, o factor e agrupaeto e a istribuição e fotes raiates, etro e certas coições. Equato aluo e epois ocete vi coo algus eeplos a sítese e agrupaetos se torava coeretes e siples quao resolvios co esta teoria, coparativaete à utiliação e outros étoos. Essa teoria, que vai ser aqui esigaa por Relação e Fourier e apresetaa posteriorete, abre ua ova fora e efectuar a aálise e a sítese e eostra potecialiaes a eplorar. No etato, aia peraece a questão: coo é que o cohecieto a Relação e Fourier, baseaa a trasforaa e Fourier cujo ieso historial e aplicação é be cohecio, poe couir a técicas cocretas e aálise e sítese e agrupaetos cujas soluções seja obtias e ua fora eteriística? Esta questão fa espertar possibiliaes que se vislubra, as, coo se verá, será ecessário u logo caiho para que a resposta seja copleta. Objectivos a Tese Coo foi ecioao, surgiu ua ova aborage que poe couir a resultaos iportates a aálise e sítese e agrupaetos. Casiiro, A.., "A Relação Básica a Raiação", tese e Doutoraeto, FEUP, 99. i
Prefácio Este trabalho e ivestigação te por objectivo ver e que eia cocreta a relação etre o factor e agrupaeto e a istribuição e fotes e capos afastaos, ou seja, a Relação e Fourier, poe ar ua iterpretação ais fuaetaa os vários étoos eistetes, facilitar o processo e cálculo evolvio a aálise e sítese e agrupaetos e peritir elaborar técicas eteriísticas para o problea a sítese. Detro estes objectivos, ir-se-á liar co ois tipos e agrupaetos e ateas: agrupaetos cotíuos e agrupaetos iscretos co eleetos equiistates. Optou-se por tratar só e agrupaetos lieares a ua iesão espacial e oo a ão criar ua ificulae acrescia, pelo trataeto biiesioal e triiesioal, a elaboração o étoo e as várias técicas apresetaas. Os agrupaetos ão equiistates estão fora os objectivos aqui propostos, ua ve que é otivo e u outro trabalho e ivestigação e que está a ecorrer este oeto. O tero agrupaeto será utiliao tato para efiir u cojuto e eleetos raiates iscretos coo ua fote raiate cotíua. Nesta últia cosiera-se que caa eleeto que costitui a fote é ifiitesial. Tabé é e otar que e too o trabalho se utilia a esigação e "istribuição e correte" para a istribuição e fotes. Isto foi feito apeas para elhor copreesão e faciliae a eposição o coteúo apresetao. Apesar essa esigação ser veraeira quao se lia co eleetos coutores, o eso ão acotece se o agrupaeto é ua rahura ou abertura, e que as fotes raiates poe ser ecaraas coo os capos a abertura. Cotuo, quer para u quer para o outro caso, a aborage é a esa, teo e cosieração este facto. Seo a trasforaa e Fourier a ferraeta base a Relação e Fourier, ver-se-á coo a teoria e processaeto e sial, baseaa a esa, poe ser iportate para auílio e copreesão os esevolvietos este trabalho. Pretee-se tabé criar algoritos que cosiga realiar o cálculo coputacioal, ão só aplicao aos vários eeplos que serão epregues para valiação o étoo que vai ser esevolvio, as tabé para resolver qualquer problea a aálise e sítese. A ferraeta coputacioal utiliaa será o ATLAB, por causa as suas capaciaes e liar co vectores e atries e aos. Devio ao pricípio a reciprociae, a aborage realiaa este trabalho será vália para agrupaetos e eissão e e recepção. Estrutura a Tese Esta Tese está iviia e cico capítulos, seo o prieiro a apresetação o estao a arte e os restates referetes ao trabalho esevolvio. O prieiro capítulo apreseta u levataeto bibliográfico os pricipais étoos e aálise e sítese e agrupaetos eistetes. Será aa êfase àqueles que estão etro os objectivos esta Tese, ficao e lao os iterativos. De acoro co a aturea este trabalho, a escrição e caa u os étoos é e grae parte quatitativa. Neste capítulo, etro os étoos a Trasforaa e Fourier, é apresetaa a teoria base que eu orige a esta Tese. ii
Prefácio O seguo capítulo eostra coo a Relação e Fourier poe, efectivaete, ser aplicaa a aálise e sítese e agrupaetos. E prieiro lugar, e baseao a teoria e processaeto e sial, serão euias as pricipais fórulas ecessárias à prossecução este trabalho. Seguiaete, caa u os étoos apresetaos o estao a arte é revisto à lu a ova teoria. Deostrar-se-á, tabé, e que casos esses esos étoos ão são ais o que as proprieaes a teoria a trasforaa e Fourier. O terceiro capítulo apreseta o cálculo coputacioal aplicao ao étoo esevolvio este trabalho, baseao a Relação e Fourier. Para esse objectivo, utiliar-se-á a FFT Fast Fourier Trasfor, reportao, ais ua ve, àquilo que é cohecio a teoria o processaeto e sial. Coo é sabio, ua as ificulaes co que oralete se te que liar é o efeito e aliasig, situação ierete à utiliação a trasforaa e Fourier. Isso coicioa o cálculo o úero e potos a utiliar para a FFT. Deste oo, apresetar-se-á ua fora e eteriar o úero e potos ecessários para a FFT, para que o erro obtio o cálculo esteja etro e certos liites. Por fi serão esevolvios os pricipais algoritos e cálculo, por fora a aplicar a caa situação a aálise e sítese e agrupaetos. O quarto capítulo apreseta ovos esevolvietos a sítese e agrupaetos. Algus eles tê auílio e técicas utiliaas e processaeto e sial o projecto e filtros, coo é o caso a técica as jaelas coo técica efectiva a liitação espacial a istribuição e correte. Outra técica aqui esevolvia é a a ultiplicação e fuções. Esta te por fialiae sitetiar u eteriao agrupaeto, ultiplicao fuções que êe orige ao factor e agrupaeto esejao. Ua outra é a iterpolação polioial. Ao cotrário as uas técicas ateriores, esta é aplicaa a agrupaetos iscretos, evio à sua aturea polioial. O objectivo é obter ua aostrage ão uifore o factor e agrupaeto para peritir que este passe por u certo úero e potos que ão tê e ser equiistates, coo o teorea a aostrage. Ebora e fora iferete, tabé se evieciará coo se poe obter ua aostrage ão equiistate e agrupaetos cotíuos. O quito capítulo apreseta u resuo a Tese e as coclusões tiraas co este trabalho. Por fi fa-se referêcia aos trabalhos futuros que poe avir a cotiuação a ivestigação este capo. Os apêices apreseta algus esevolvietos este trabalho. Os apêices A e B cotê os algoritos, e ATLAB, para aálise e sítese e agrupaetos cotíuos e iscretos. O apêice C, subiviio e vários outros, apreseta os algoritos, e ATLAB, e algus eeplos e aálise e sítese e agrupaetos. Os apêices D e E ostra as rotias e cálculo e uas fuções iportates à realiação a sítese e Zolotarev, a fução eta e Jacobi e a fução itegral elíptica e prieira espécie. Fialete, o apêice F ostra os gráficos para cálculo e ois parâetros a técica esevolvia para a sítese e Zolotarev. Para fialiar, a bibliografia utiliaa, alé e refereciaa o fial a caa capítulo, volta a ser apresetaa por ore alfabética e autor e co referêcia à págia ou págias oe aparece. Te por objectivo ua aior ajua o auseaeto futuro o auscrito. iii
Estao a Arte. - Itroução A literatura eistete eostra que a obteção e ovos étoos para aálise e sítese e agrupaetos e ateas é u assuto loge e estar cocluío. Verificou-se várias vees que algus autores já tiha etectao potualete que a relação etre ua istribuição e correte ou capo e o respectivo iagraa e raiação o factor e agrupaeto é aa pela trasforaa e Fourier. No etato, só receteete é que se obteve ua relação coerete e geral, aplicável a qualquer agrupaeto. Ua ve que o pricipal objectivo esta Tese é a elaboração a teoria e e ovas técicas baseaas a relação e Fourier, eistete etre ua fote raiate e o respectivo iagraa e raiação, o presete capítulo apreseta apeas os pricipais étoos e aálise e sítese e agrupaetos e ateas, que se ecotre etro o coteto este trabalho. No âbito a sítese e agrupaetos, visto que se pretee obter técicas irectas e cálculo, os étoos iterativos estão fora os objectivos este trabalho, ão seo aqui apresetaos. Deste oo, a pesquisa bibliográfica efectuaa, e resuia este capítulo, cetra-se eclusivaete os objectivos referios.. - étoo a Trasforaa e Fourier Dese há uito tepo que se cosiera a trasforaa e Fourier a relação etre ua abertura raiate e o respectivo factor e agrupaeto e a série e Fourier a relação etre u agrupaeto iscreto e ateas e o respectivo factor e agrupaeto ], [. Cotuo, essa relação, cosieraa coo ua coiciêcia, ão perite eplorar toas as potecialiaes a trasforaa e Fourier. Foi Casiiro 3 que sisteatiou ua relação uificaora etre as fotes raiates e os respectivos factores e agrupaeto, efiia por Relação e Fourier. No setio e elhor eteer a actuação os vários étoos eistetes, fe-se u levataeto bibliográfico os pricipais trabalhos que ietifica a relação e Fourier e aálise e sítese e ateas.
Estao a Arte.. - étoos Clássicos São esigaos por étoos clássicos e Fourier os que se refere à aplicação a trasforaa e Fourier o coteto este trabalho e já ietificaos há bastate tepo. Coo vereos, tê a particulariae e ão criare ua estrutura coerete para aálise e sítese e agrupaetos, quer cotíuos quer iscretos. Coeceos por ver o caso cotíuo, e que o coceito e trasforaa e Fourier está ais presete, e e seguia apresetaos o caso iscreto, e que traicioalete se recorre à série e Fourier.... - Agrupaetos Cotíuos Dese loga ata que ua relação e Fourier é cohecia para as aberturas. Silver ietifica coo u par e trasforaas e Fourier a relação etre o capo istate e o capo eistete ua abertura o plao =, j y y u, y g, y e y. j y y j y y g, y u, y e y E, y e y. A co =secos, y =sese, u,y=e,y etro a abertura A e ero fora, seo E,y o capo ao logo a abertura, e g, y é o factor e agrupaeto. Dao g, y, a istribuição o capo etro a abertura poe ser obtia através a equação.. É iteressate otar que apesar e Silver ietificar a relação e Fourier, ele ão a utilia o cálculo o factor e agrupaeto e aberturas. Colli 4 tabé apreseta epressões seelhates às ateriores, as e. o itegral uplo é ultiplicao pelo factor /4 e ve e / e e. ão aparece o factor /. Coo as aberturas, tabé e istribuições e correte se ietificou ua relação e Fourier. Para ua liha e correte, Walter 5, recoheceo a relação etre o iagraa e raiação e a istribuição e correte, apreseta algus pares e trasforaas e Fourier típicos. Stuta 6 forula o par e trasforaas e Fourier para istribuições lieares e correte a seguite fora: j ws f w i s e s.3 i j ws s f w e w.4 e que w=cos, s=/, is é a istribuição e correte e fw o factor e agrupaeto. Para u iagraa e raiação esejao f w, o processo e sítese cosiste, e prieiro lugar,
Estao a Arte calcular o itegral.4, obteo-se i s, e epois trucar esta istribuição e correte, i s i s s s l l.5 De seguia utilia-se a equação.3 para se calcular o factor e agrupaeto aproiao, l / l / jws f w i s e s.6 Balais 7 apreseta ua aborage aáloga à e Stuta para a obteção a correte, as utilia o par e trasforaas I j SF I e.7 j SF e.8 co =cos-, I é a istribuição cotíua e correte e SF o factor espacial. Coo se verifica pelos pares e trasforaas, os vários autores ão efie a relação e Fourier as esas variáveis. O étoo e sítese e Fourier baseia-se o trucaeto a istribuição e correte. A ificulae este caso resie o facto e que a viihaça as escotiuiaes aparece íveis e lóbulos secuários elevaos. O erro obtio a aproiação o iagraa e raiação co este processo e sítese é o íio erro quarático éio, e too o oíio a variável. Deste oo, este étoo ão perite obter o íio erro quarático éio etro a jaela visível 6.... - Agrupaetos Discretos Silver e Jora 8 apreseta a sítese e agrupaetos iscretos o caso o úero e eleetos ser ípar, N=+, co ua istribuição e correte efiia e relação ao eleeto cetral, obteo a seguite epressão para o capo eléctrico: j j j j j E Ae A e... A e A A e A e... A e j.9 co =cos+, seo a fase progressiva a correte. Supoo ua istribuição siétrica e toro o eleeto cetral, aa por A A k a A * k a k jb k. e que o asterisco represeta copleo cojugao, a epressão o capo tora-se a E [ a cos k bk se k ] k k. 3
Estao a Arte que são os + teros a série e Fourier. Assi, ao u iagraa e raiação f obté-se f e esevolve-se e série e Fourier, cosierao-se o períoo a fução e. Obtios a k e b k retira-se as corretes a partir as relações.. Quao a istâcia etre eleetos é iferior a /, f só está especificao u itervalo iferior a. Neste caso, poe-se preecher o resto o itervalo a fução co ua fução apropriaa. Para istâcias >/ a arge e variação e é superior a, o que, seguo Jora, fa co que oralete ão seja possível utiliar este étoo para cálculo as corretes. Stuta 6 tabé apreseta o étoo e Fourier para agrupaetos iscretos, e que o iagraa e raiação o factor e agrupaeto esejao é ecoposto e série e Fourier o itervalo -/<w</, f w b b / / e j / w f w e j / w w. co w=cos. Coo u agrupaeto co u úero ifiito e eleetos ão é praticável, truca-se a série e Fourier prouio o iagraa aproiao, f w b e j / w.3 Cosierao os eleetos e correte iguais aos teros a série e Fourier, ou seja, i = b.4 etão.3 é iêtica à epressão o factor e agrupaeto para u úero ípar e eleetos. Seguio a esa liha e raciocíio, para u úero par e eleetos te-se que i i b b / / / / f w e f w e j / w j / w Este esevolvieto tabé aparece e aillou 9. w w.5 Balais 7 cosiera ua fora e aborage aáloga à e Stuta as outras variáveis. Desta fora, para u úero ípar e eleetos, N=+, te-se que AF a a e j AF e j.6 4
Estao a Arte =cos+, seo a fase progressiva a correte, AF é o factor e agrupaeto e a as corretes. Para u úero par e eleetos, N=, te-se AF j[ / ] j[ / ] ae ae.7 a AF e AF e j[ / ] j[ / ].8 Coo acotece o caso cotíuo, tabé aqui os vários autores ão efie a relação e Fourier as esas variáveis. ais ua ve, o étoo e sítese e Fourier baseia-se o trucaeto a istribuição e correte, seo o erro obtio a aproiação o iagraa e raiação co este processo e sítese o íio erro quarático éio, u períoo a fução o factor e agrupaeto... - Relação e Fourier Coo se costatou pela secção aterior, ão há coerêcia etre os vários autores a efiição a relação e Fourier. eso para o eso autor, essa coerêcia ão eiste, coo se poe coprovar coparao as epressões.6 co.7 e.8 apresetaas por Balais. Talve evio a este facto, ebora os vários autores se refira à relação e Fourier e às potecialiaes a sua utiliação, tirao alguas ecepções, oralete ão a utilia, por eeplo, a aálise e agrupaetos, recorreo-se ao cálculo itegral para o caso cotíuo e ao soatório para o iscreto, quao algus casos seria ais fácil utiliar as proprieaes a trasforaa e Fourier. Nesta ore e ieias, vejaos qual a relação e Fourier que será a base este trabalho. O par e trasforaas e Fourier utiliao é o efiio por jt U u t e t.9 j t u t U e ω. Foi Casiiro 3 que ietificou ua relação e Fourier coerete, aplicável a qualquer cojuto e fotes ese que etro e certas coições, efiias o teorea a pequea traslação. É essa aborage que vai ser apresetaa já e seguia. O capo eléctrico, criao por u eleeto e correte, I r l, a orige o referecial, u poto r,, é ao por E r jr e f, 4r. e que f, é o iagraa e raiação o eleeto e correte e que está irectaete 5
Estao a Arte relacioao co I r l. Se este eleeto sofrer u eslocaeto, coo ostra a figura., para o capo istate e que r»r, R e r são paralelos etre si, ficao que R r ur. r. seo u r o versor o segeto e recta que liga a orige ao poto oe se pretee calcular o capo e r o vector que liga a orige ao eleeto e correte, efiios por u r se cos u se se u cos u r u yu y u y.3 Se o valor e correte e r for e I l, o capo criao é E f I e I j rur. r j ur. r j ur. r, Er e Er c e.4 I r 4r I r Para vários eleetos paralelos e correte, o capo istate é eteriao pela soa os capos iiviuais. O iagraa e raiação total será o prouto o iagraa e raiação a atea eleetar co o factor e agrupaeto, seo este últio epeete apeas a istribuição e correte que á orige ao capo criao e a sua posição relativa. Il R I r l r r y Fig.. - Pequea traslação a fote e referêcia. Teo e cota o teorea a pequea traslação, e que caa eleeto e correte poe ser obtio por traslação e u eleeto e correte e referêcia, o factor e agrupaeto e ua istribuição triiesioal e correte é a trasforaa e Fourier iversa 3, a eos e ua costate, a respectiva istribuição e correte c,y,, ou seja, F,, y 3 F c, y, e j y c, y, y y.5 6
Estao a Arte e que F represeta a trasforaa e Fourier. Por outro lao, a istribuição e correte é obtia pela trasforaa irecta o factor e agrupaeto, c, y, 3 F 3 F F,, e,, y y j y y y.6 A fução F, y, é ua represetação coveiete a trasforaa teporal e Fourier o factor e agrupaeto e c,y, é a istribuição espacial a trasforaa teporal e Fourier as fotes. As costates, y e são aas por y se cos cos se se cos cos cos y.7 seo, y e os co-seos irectores. Coo os âgulos varia etre e, essas costates irão variar etre - e, seo ao por.8 Assi, a oa aproveitável a trasforaa espacial e Fourier, para o iagraa e raiação, é ua jaela e, y e, e largura igual a para caa caso. As relações.5 e.6 são gerais e aplicáveis a qualquer situação, ese que esteja as coições iicaas, isto é, aplicáveis quer para o caso cotíuo quer para o caso iscreto. Ebora se teha falao e capos criaos por istribuições e correte, as equações.5 e.6 tabé são válias para aberturas. Nesta situação c,y, será o capo ao logo a abertura. Casiiro tabé eostra que algus étoos traicioais ão são aa ais o que casos particulares a utiliação as proprieaes a trasforaa e Fourier. U esses casos é o étoo a ultiplicação e iagraas que pela trasforaa e Fourier se te ua covolução a istribuição e correte. Tabé facilete se copreee o efeito a alteração a istâcia etre ateas, ou seja, a proprieae a uaça e escala. Devio às suas características geeraliaoras e uificaoras, a Relação e Fourier equacioaa pelas epressões.5 e.6 será a base esta Tese..3 - étoo e Schelkuoff Este processo e sítese foi esevolvio por Schelkuoff, seo u os étoos apresetaos e vários trabalhos [], [4], [7], [9]-[4]. Perite sitetiar u agrupaeto e ateas quao se cohece a posição as raíes o factor e agrupaeto. 7
Estao a Arte A epressão para o factor e agrupaeto e N eleetos é N f I e jψ.9 co =cos+ e seo a fase progressiva a correte. Faeo a uaça e variável te-se f a fora e u polióio e u, j u e.3 N f I u.3 u seo I as corretes e caa eleeto. A variável u está o círculo uitário o plao copleo e a porção que o percorre epee a istâcia e a fase. Quao varia etre e, variará etre -+ e + e u percorre o círculo uitário o setio cotrário ao os j poteiros o relógio ese e j a e. Levao e cosieração u teorea a álgebra, u polióio e grau N- te N- raíes, poeo ser factoriao, N N u u u u... u un I N u u f u I.3 e que u são as raíes copleas. A aplitue e.3 é aa por f.33 u I N u u u u... u un Geoetricaete, o valor absoluto a ifereça u-u represeta o coprieto o segeto que liga, o plao copleo, u poto u o círculo uitário ao poto u, coo ostra a figura.. Desta fora, o factor e agrupaeto é represetao pelo prouto os coprietos os segetos e recta que ue u poto P o círculo uitário às raíes o plao copleo, o factor e agrupaeto. I u u u 3 u 4 P Re u 6 u 5 Fig.. - Raíes o factor e agrupaeto o plao e Schelkuoff. 8
Estao a Arte Se ua rai estiver o círculo uitário, isso correspoe a u ero o factor e agrupaeto, coo facilete se verifica pela epressão.33. U étoo e sítese cosiste e cotrolar os eros o factor e agrupaeto através as raíes o círculo uitário. Isto perite algu cotrolo o ível os lóbulos secuários. Teo as raíes, as corretes são obtias esevolveo a fora factoriaa e fu, e oo a obter u polióio. Os coeficietes esse polióio são as corretes esejaas. Outra fora e se obter a istribuição e correte é através a trasforaa Z [5]..4 - étoo e Woowar O étoo e Woowar é u os processos ais populares e sítese e agrupaetos e os ais atigos. Foi forulao por Woowar e 947 6 e é utiliao quao se pretee sitetiar u factor e agrupaeto através e u cojuto e aostras o eso. O étoo ecotra-se escrito e vários livros e artigos, [6], [7], [9], [3], [6]-[]. A ieia básica este étoo cosiste a sobreposição e u cojuto e istribuições e correte uifore co fases iferetes. Caa istribuição uifore á orige a u factor e agrupaeto a fora se/ para o caso cotíuo e sen/nse para o caso iscreto, pesaos pela aplitue a istribuição e correte. Essas aplitues são escolhias co o objectivo e coiciire co as aostras o factor e agrupaeto esejao. Coo os eros e caa ua as fuções ateriores coicie co os picos as restates, a sua sobreposição á u factor e agrupaeto que passa pelas aostras o factor e agrupaeto esejao e a fução o factor e agrupaeto etre aostras é a sobreposição e toas as fuções. Esta é ua as raões que levou Woowar a escolher as istribuições e correte uifore coo fuções e base. A outra é que as fuções seo carial tê o lóbulo pricipal ais estreito, quao coparao co outras istribuições. A ifereça etre este étoo e o étoo e sítese e Fourier é que este últio o iagraa e raiação obtio é aquele para o qual o erro quarático éio é o íio, equato que o étoo e Woowar prou u iagraa e raiação que passa pelas aostras o iagraa esejao. Seguo algus autores, a esvatage o étoo e Woowar é ão peritir cotrolar o ível os lóbulos secuários fora as aostras..4. - Agrupaetos Cotíuos Seja L o coprieto a istribuição e correte e supohaos ua istribuição uifore co ua aa fase, i b L j cos e.34 seo o âgulo oe o factor e agrupaeto é aostrao. Para N aostras o factor e agrupaeto esejao te-se ua sobreposição e corretes que á I L N- / b N- / e j cos.35 9
Estao a Arte e que =/, 3/,..., N-/ para u úero N par e aostras e =,,, N-/ para u úero N ípar e aostras. O factor e agrupaeto total é a sobreposição as fuções correspoetes a caa u os teros e.35, L N- / se cos cos F b.36 N- / L cos cos O áio e caa tero e.36 ocorre para = e é igual a F=. Coo já foi referio, quao u os teros e.36 atige u áio, os outros teros associaos às outras aostras são ulos e =. Assi, seo F o factor e agrupaeto esejao, te-se b.37 F Para o factor e agrupaeto satisfaer os requisitos e perioiciae, para, a posição e caa aostra é aa por.4. - Agrupaetos Discretos arccos.38 L Para agrupaetos iscretos o étoo e Woowar é escrito e fora aáloga ao o caso cotíuo. Os coeficietes os eleetos a istribuição e correte são aos por, a N N- / b N- / e j cos.39 e que toa os esos valores que, apresetaos a secção aterior, seo a posição o eleeto. O factor e agrupaeto é obtio a esa fora coo e.36, co a ifereça e que agora caa tero esse soatório é o correspoete ao o agrupaeto iscreto uifore, o que origia N se cos cos N- / F b.4 N- / Nse cos cos Os coeficietes b são eteriaos pela equação.37 e a posição as aostras pela.38, co L substituío por N..5 - Sítese e Tschebyscheff Na sítese e Tschebyscheff pretee-se obter os coeficietes o agrupaeto, ou seja, a istribuição e correte, que ão orige a u factor e agrupaeto cujos lóbulos
Estao a Arte secuários estão à esa aplitue. Eiste vários processos para calcular os coeficietes a istribuição e correte. U eles cosiste a utiliação os eros os polióios e Tschebyscheff [8], []-[4]. Outra fora é esevolveo os polióios e Tschebyscheff após realiar a uaça e variável que relacioa o factor e agrupaeto co os polióios [3], [4], [6], [7], [4], [5]. Estas uas foras tora-se bastate orosas co o aueto o úero e eleetos, o que obriga a recorrer a outros processos para o cálculo os coeficietes. Ua terceira fora e se obter os coeficietes é utiliao fórulas eactas ou aproiaas [7], [9], [], [6]-[3]..5. - Utiliao os Zeros o Polióio e Tschebyscheff Este processo e cálculo os coeficietes o agrupaeto e Tschebyscheff baseia-se as características polioiais o factor e agrupaeto [8] e utilia o étoo e Schelkuoff para obteção as corretes quao são cohecias as raíes o polióio. Os polióios e Tschebyscheff tê a seguite fora copacta: cos arccos cosh arccosh T.4 seo o grau os esos. Outra fora e apresetar os polióios é T T T T 4 3 T 8 4 5 6 7 8... 3 4 T 6 3 8 5 T 3 6 T 64 7 T 8 48 8 3 4 56 5 8 5 56 6 3 6 7 4 3.4 Estes polióios e os e ore ais elevaa poe ser obtios por recorrêcia, T T T.43 Ua uaça e variável que perite relacioar os polióios e Tschebyscheff co o factor e agrupaeto é cos.44
Estao a Arte co =cos+. O grau o polióio a utiliar é igual ao úero e eleetos o agrupaeto eos u, ou seja, T N-. é obtio para ua aa relação etre os íveis os lóbulos pricipal e secuário, SLL sielobe level e B, seo obtio pela epressão arccosh cosh N SLL.45 Por coseguite, para se obter os coeficietes coece-se por eteriar os eros [8], utiliao.4, k k cos, N k,,..., N.46 Co estes valores, e.44 retira-se que k k arccos.47 Substituio as raíes u k =e j k o polióio e Schelkuoff, ao pela epressão.3, fica-se co o factor e agrupaeto a fora factoriaa. Desevolveo-o, obté-se u polióio a variável u, cujos coeficietes são as corretes I. Saffai-Jai [3] propõe ua fora iferete e obteção os coeficietes, e que utilia os eros o factor e agrupaeto e u sistea e equações..5. - Desevolveo o Polióio e Tschebyscheff Outro oo e se eteriar os coeficietes é substituir a equação.44 o polióio e Tschebyscheff e grau igual ao úero e eleetos eos u e faer T cos f N.48 Desevolve-se o polióio e copara-se o resultao co as epressões o factor e agrupaeto para eleetos siétricos, aas por para + eleetos e para eleetos. I cos f I.49 f I cos.5
Estao a Arte Alé a uaça e variável.44 surge outras que perite obter certas características o factor e agrupaeto, icluio a istâcia etre eleetos iferior a eio coprieto e oa. Coo o iagraa e raiação o factor e agrupaeto é eteriao pela porção utiliaa a curva e Tschebyscheff, o que epee a istâcia etre as ateas, para pequeos valores e co a equação.44 ão se fa pleo uso as potecialiaes o cotrolo o iagraa 8, 4. Para isso poe-se recorrer à seguite uaça e variável [], 4, [4], [7]: w h cos.5 e que =cos, e co w e h apresetaos por Colli 4 para uas situações e e fução o coprieto e oa. Dao e seo /, te-se que w cos cos h cos.5 co arccosh cosh N SLL.53 Este caso poe ar orige a agrupaetos superirectivos. Se >/, os parâetros apresetaos por Colli são w h 3 cos,.54 Co a uaça e variável.5 só se cosegue sitetiar agrupaetos co u úero ípar e eleetos, N=+, e eve-se utiliar u polióio e grau..5.3 - Fórulas Directas É possível calcular irectaete os coeficietes a istribuição e correte, para a uaça e variável.44, utiliao as epressões apresetaos e. Para u agrupaeto co N=+ eleetos te-se que I p p p p p p p p.55 3
Estao a Arte 4 co =,,,...,, e para N= eleetos, p p p p p p p p I.56 co =,,...,. Barbiere apreseta epressões aálogas ver Balais 7. Devio à ificulae coputacioal quao se utilia as fórulas ateriores, algus autores propusera a siplificação o cálculo os coeficietes recorreo a soluções aproiaas [6]. Elliot [8] obté os coeficietes e u agrupaeto co + eleetos e fução e u cojuto e potos equiistates o factor e agrupaeto. Cosierao que a istribuição e correte poe ser represetaa pela série j e a I.57 supoo eleetos siétricos, por aipulação ateática os coeficietes a são aos pela epressão cos T a.58 Aia para a uaça e variável.44, a istribuição e correte foi obtia por Stege [3], para istâcias etre eleetos aiores ou iguais a eio coprieto e oa. Essas corretes fora eteriaas pela epasão e série e Fourier o factor e agrupaeto, supoo istribuições e correte reais e siétricas. Para N ípar te-se que / N,...,,, cos cos / N s N s T T N I N s N N.59 e para N par, N/,...,, cos cos / N s N s T T N I N s N N.6 aillou [9] e Hase [] tabé propõe estas fórulas, para istâcias superiores a eio coprieto e oa. Para a uaça e variável.5 Lo e Lee [4] e Hase [] sugere ua epressão para as corretes, obtia por Drae [3], para N=+,,, 4 y w h S y T I.6 co = e = para, y =cos/,, são a parte iteira e / e +/,
Estao a Arte respectivaete, S w, h, y T wy h T h wy e se for u úero par, S w, h, y / T wy / h. E processaeto e sial, co referêcia aos filtros igitais, Hels [33] utilia a jaela e Tschebyscheff coeficietes a sítese e Tschebyscheff, para a uaça e variável.44, co u úero ípar e eleetos e obté os coeficietes a jaela aplicao a trasforaa iversa e Fourier iscreta via FFT Fast Fourier Trasfor. Aia o coteto e processaeto e sial, Dierich [34] e Nuttall [35] pega a equação.6 e ecara-a coo a parte real a epoecial, chegao a ua epressão que é calculaa pela FFT..6 - Sítese e Zolotarev Co a sítese e Zolotarev pretee-se obter u factor e agrupaeto ati-siétrico ifferece patter, caracteriao por ter ois lóbulos pricipais géeos co u ero etre eles e co lóbulos secuários co a esa aplitue. Este étoo e sítese foi esevolvio por cnaara [36] utiliao os polióios e Zolotarev. O polióio e Zolotarev e ore + é efiio por [36] Z H cosh l H s, kc, k s, k s, k K k, k, k.6 e que Hv,k é a fução eta e Jacobi, equato que s,k, c,k e,k são as fuções elípticas e Jacobi e Kk é o itegral elíptico copleto e prieira espécie para o oulus k [37]. Algus autores efie as fuções co o parâetro, e ve e k, seo a relação etre eles aa por =k. A figura.3 apreseta u eeplo para =4. Os potos assialaos são aos pelas epressões 3 k k 3, k 3 s, k k c, k, k s, k, k.63 e que,k é a fução eta e Jacobi [37]. 5
Estao a Arte 6 - Z 9 3 Fig..3 - Polióio e Zolotarev e ore 9. Ebora a efiição os polióios e Zolotarev seja aa pela epressão.6, cnaara apreseta epressões ais coveietes para o cálculo coputacioal. Para a região, te-se que, F π seh π se π tah π ta arcta π,,,, cos k t K r K r q q r K K k h k h Z r r r r, s, c k k k t.64 e que Fa,b é o itegral elíptico icopleto e prieira espécie [37], ao por t t b t b a a, F.65 e K K k K k K e q e q K K K K.66 Para a região 3, te-se, F π se π se 4,,,, π cosh cos k p s K s r K r q q r k s f k s f Z r r r
Estao a Arte 7, s, s k k k p.67 Coo ão se coseguiu obter resultaos correctos co a fução f,s,k apresetaa o artigo e cnaara, foi ecessário euir outra epressão utiliao o esevolvieto apresetao e [37] e cujo resultao aparece e.67. Para a terceira oa, 3 << te-se k k r k r K r K r q q r K K KK k g k g Z r r r, c, s, F π se π seh 4 tah ta arcta,,,, cos.68 O valor áio os polióios e Zolotarev ocorre e =, ou,, π cosh cos SLL k s f.69 epressão que relacioa k co o SLL para u ao agrupaeto, ou seja, ao o valor a relação etre os íveis os lóbulos pricipal e secuários, o factor k poe ser obtio através e.69. Co este valor e co a ore o polióio obté-se o polióio e Zolotarev, utiliao as epressões ateriores. Para a parte egativa os esos basta otar que estes tê sietria ípar. Cosierao u agrupaeto liear co eleetos, o factor e agrupaeto é ao por se a F.7 co =cos/ e e que se cosiera etae os eleetos evio à sietria. Para relacioar os polióios e Zolotarev co o factor e agrupaeto recorre-se à seguite uaça e variável: se.7 co =/se/, e oo que quao varia etre e, varia etre - e. A seguir assue-se o polióio e Zolotarev a fora staar, 3... b b b Z.7
Estao a Arte e que os coeficietes b são obtios uericaete através e u algorito apropriao. cnaara alerta para o cuiao o cálculo estes coeficietes, já que poe toar valores elevaos coo os polióios e Tschebyscheff. Após isto substitui-se a uaça e variável.7 e.7, obteo-se co 3 Z c si c si... c si.73 c b.74 De seguia relacioa-se Z - co F e, faeo ua aborage seelhate à que foi feita e [] para os polióios e Tschebyscheff, retira-se que a c.75 A aborage aterior é vália para qualquer valor a istâcia etre eleetos. No etato, evio à eigêcia e cálculo para obteção os coeficietes b, cnaara sugere que para / se utilie a epressão.7 = e tabé o facto e que é possível escrever qualquer fução, logo os polióios e Zolotarev, coo ua série e polióios e Tschebyscheff. Desta fora, e ve e se obter os coeficietes b, eve-se calcular os coeficietes os polióios e Tschebyscheff, utiliao para esse efeito algoritos apropriaos..7 - Sítese e Taylor O étoo e sítese e Taylor lia co agrupaetos cotíuos e co ele pretee-se obter u iagraa e raiação, e que os picos os lóbulos secuários ais próios o lóbulo pricipal tê a esa aplitue e os ais afastaos ecae graualete para ero. Este étoo foi proposto por Taylor [38] e te sio elhorao por vários autores [39]-[43]. Já se viu que, para agrupaetos iscretos, os polióios e Tschebyscheff tê lóbulos secuários co íveis iguais. Para o cotíuo tabé eiste ua fução co as esas características, seo esta aa por F A cos.76 seo A u parâetro ajustável, e oo que cosha é a relação etre os íveis os lóbulos pricipal e secuários. A ificulae e utiliar irectaete esta fução é que se o factor e agrupaeto for ao pela equação.76, a istribuição e correte ão é realiável porque surge ois Diracs os seus etreos. Taylor propôs ua fora e resolver o problea. Coo o agrupaeto uifore á coo factor e agrupaeto u seo carial, cujos lóbulos secuários ecae para ero, Taylor propôs substituir os eros, o seo carial, ais próios a orige, seo u iteiro, pelos eros a fução.76. O iagraa e raiação assi obtio te os lóbulos secuários, juto ao lóbulo pricipal, abaio e u ao ível e os lóbulos ais afastaos ecae seguo os o seo carial. 8
Estao a Arte O factor e agrupaeto é, assi, ao por se u F u u u u u.77 co u=acos/, o coprieto a liha e correte é L=a e os eros u são eteriaos pela epressão O parâetro A é ao por A u.78 A SLL A arccosh.79 seo SLL a relação etre os íveis os lóbulos pricipal e secuários, e B. Para calcular a istribuição e correte, Taylor utilia o étoo e Woowar. Seo p=/a, a istribuição e correte é obtia e fução as copoetes e Fourier, g p D e jp p p.8 Aplicao a trasforaa e Fourier, resultao F u g pe j pu p, a caa tero obté-se o se F D.8 Coo se viu pelo étoo e Woowar, e que os áios o seo carial para u ao coicie co os eros as outras fuções, verifica-se que F=D, ou Coo o factor e agrupaeto é ua fução par, fica que F D.8 g p F F cos p.83 9
Estao a Arte seo fácil e ver que esta soa é fiita, pois F= para. Os valores as aostras o factor e agrupaeto poe ser calculaos pela epressão [6], [9], [] para valores e iferiores a..8 - Sítese e Bayliss!!! u F.84 Este étoo e sítese é aálogo ao e Taylor, as para gerar iagraas e raiação ati- -siétricos, isto é, ois lóbulos pricipais géeos co u ero etre eles. Foi proposto por Bayliss e será aqui escrito seguo a fora apresetaa e Elliot []. Taylor altera a fução seo carial, que correspoe ao agrupaeto uifore. O agrupaeto uifore ão é ais o que o prieiro tero e ua istribuição que á u factor e agrupaeto par. Bayliss altera a fução que á orige ao factor e agrupaeto ati-siético, ou seja, o prieiro tero e ua istribuição e correte que á u factor e agrupaeto ípar, g a j se e.85 seo o eio a istribuição e correte, a fase progressiva e o coprieto a liha e correte é L=a. Aplicao o itegral F u a a g e j cos.86 a istribuição e correte.85 á orige ao seguite factor e agrupaeto, a eos e ua costate []: u cos u F u u u.87 co u=a[cos-/]/ e os eros ocorre e u=+/. oificao esta fução coo fe Taylor, te-se u u F u u cos u.88 u e que as posições os eros, obtias por u estuo paraétrico co auílio e coputaor