forma em espaço de esado e filro de Kalman 62
Forma em espaço de esado: definida por duas equações esocásicas eq. das medidas: eq. do esado: esado (não observável) condição inicial: 63
Modelo SS na forma em espaço de esado y Z d, 1,2,, T y ln F,,ln F 1,,,ln F 2, ~ 13 1 13 d A 1, A 2,, A 13 ~ 13 1 Z 1 e 1 2 e 1 ~ 13 2 13 e 1 = T + c + R +1 = 0 c= µ - e 0 T= ~N(0,Q) 0 1 Q= 2 2 2 2 2 ~N(0, H), H=diag(,,..., ) 1 2 13 64
Equações do filro de Kalman e do suavizador Esimação sequencial do veor de esado dado um conjuno de observações da série I j = {y j, y j-1,...,y 2,y 1 }. O esimadores compleos do veor de esado são dados pelas densidades condicionais do esado dado o conjuno de observações I j = {y j, y j-1,...,y 2,y 1 }: densidades condicionais f( I j ) Dependendo do conjuno condicionane, rês diferenes esimadores são obidos: j = -1, previsão j =, filragem(aualização) j = T, suavização 65
Equações do filro de Kalman Esimação sequencial do veor de esado, em 2 passos, dado o conjuno de observações I j = {y j, y j-1,...,y 2,y 1 }. f( I )~ N(a, P ) j / j / j a / j =E( Ij) P / j =E[( -a / j)( -a / j)' Ij] - eqs de previsão : j = +1, a +1 = Ta / +c P +1 = TP / T'+R QR ' - eqs de filragem (aualização): j =, -1 a / = a +PZ 'F -1 P / =P - P Z 'F ZP = Y -E(Y I ) = y -(Z a +d ) -1 F = V( I ) = Z PZ '+H -1 66
Suavizador À cada insane de empo, =1,2,3,...,T,. o veor de esado é esimado uilizando odas as observações conidas na série, I T = {y T, y T- 1,...,y 2,y 1 }. Essa esimaiva é denominada de esimaiva suavizada do veor de esado, ou exração de sinal. f( I )~ N(a, P ) T /T /T a ˆ /T =E( IT ) P =E[( -a )( -a )' IT ) V / T /T / T ˆ = a +Pr -1, = T,T -1,...,2,1 - r -1 = Z 'F +L 'r, r T = 0 V =P -PN -1P - N -1 = Z 'F Z +L 'NL, N T = 0 67
Esimação dos parâmeros fixos do modelo >> Via função máxima verossimilhança, cuja consrução uiliza as equações do filro de Kalman. ˆ = max log L( ) = {conjuno de parâmeros fixos e desconhecidos(hiperparâmeros)} - elemenos das marizes do sisema: Z, T, Q, H, c and d ; = {,,, µ, µ,, (, i= 1,2,...,13)} * i 68
Função de verossimilhança T = y - E(y I -1) = y - (Za + d ) L() = f(y I -1; ), f(y I -1; ) ~ N(, F ) ' =1 F = ZP Z + H Porano: Tp T ' 1 log L() log(2 ) [log F F ] 2 2 1 1 F = F () and = () são avaliados via FK; - Oimização numérica via algorímos quasi Newon BFGS, BHHH; - Na práica o veor de esado inicial ~ N(a,P ) é desconhecido. 1 1 1 No caso de esados não esacionários o procedimeno maisconfiável é a inicialização exaa. 69
Traameno de observações falanes (missingobservaions) 140 WTI_12m 120 100 80 60 40 20 preçofuurodo peróleo(wti) WTI_12m WTI_24m WTI_48m n o deobs.falanes (jan85ou09) 16(5.4%) 90(30.2%) 234(78.5%) 0 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 WTI_24m WTI_48m 140 140 120 120 100 100 80 80 60 60 40 40 20 20 0 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 0 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 70
Traameno de observações falanes (missingobservaions) A forma em EE, via filro de Kalman, permie raar observações falanes de maneira direa: >> quando o FK enconra uma ou mais obs. falanes, neses períodos, as esimaivas do veor de esado são projeadas a parir do úlimo período em que a série inha observação, e de forma naural a esimaiva da mariz covariância do esado é aumenada nese período. >> por sua vez o algorimo de suavização consrói, por inerpolação, uma esimaiva do veor de esado e da sua mariz covariância, uilizando as observações que precedem e sucedem os valores falanes. >> as esimaivas suavizadas do veor do esado nos períodos falanes efeuam o preenchimeno das observações falanes da série. 71
Traameno de observações falanes (missingobservaions) Em modelos em espaço de esado o raameno de valores ausenes na série emporal é basane simples uma vez que as equações do FK e do o suavizador lidam de maneira naural com essas observações. > no FK o raameno dos valores ausenes é realizado aravés da exrapolação da série nessas ocorrências 72
Traameno de observações falanes (missingobservaions) >> No suavizador o raameno dos valores ausenes resula na subsiuição do valor ausene por uma esimaiva inerpolada da série nesse pono >> Esse mecanismo de inerpolação orna-se enão um procedimeno adequado para impuação de valores ausenes de uma série emporal. 73
Dealhes da impuação de valores ausenes em modelos em espaço de esado Suponha um modelo univariado bem simples, onde o nível da série segue um passeio aleaório (modelo de nível local) y 2, ~ N(0, ) 2 1, ~ N(0, ) Se os valores ausenes ocorrem sequencialmene nos insanes 1, 2,...,, enão * 1 pode-se mosrar que as esimaivas ponuais do esado dadas pelo FK e pelo suavizador são: previsão : a a, j1,2,..., * 1 j ˆ 2 suavizador : j c jb, c a pr, b r, j 1,2,..., * 1 74
Equações do modelo em função dos preços do mercado fuuro 75
resulados 76
Dados período : jan 1985 a se 2009 296obs basezs : NYMEX (fuuros WTI) e Plas (derivados) - preços reais : eliminar endências de longo prazo nas séries dos fuuros, associadas a expecaiva de inflaçãoamericana. Preço real = Preço nominal = jan 1985 a se 2009 T= se 2009 PPI PPI T PPI= Producer Price Index dos EUA (Bureau of Labor Saisics:hp : / / daa.bls.gov / PDQ / servle / SurveyOupuServle; jsessionid a230e0cb03bc25283271). 77
Produos, mauridades e unidades produos ipodedado unidades peróleowti(i=1) preçosfuuros US$/barril (1,24e48meses) gnp(i=2) preçosfuuros US$/mmBu (1,24e48meses) gasolina(i=3) preçosfuuros US$/barril (1,24e48meses) qav(i=4) preçospo US$/barril óleolsfo(i=5) preçospo US$/barril nafa(i=6) preçospo US$/barril diesel(i=7) preçospo US$/barril propano(i=8) preçospo US$/barril buano(i=9) preçospo US$/barril propeno(i=10) preçospo US$/barril preço spo= fuuro de 1 mês 78
Esimaivas dos parâmeros do modelo SS mulivariado com drif esocásico 79
Esimaivas dos parâmeros 80
Esimaivas dos parâmeros 81
Esimaivas dos parâmeros 82
Simulações para WTI nos próximos 30 anos 83
Simulações via modelo calibrado >> o modelo SS mulivariado com drif esocásico ainda que resule em médias de longo prazo mais bem comporadas (aenuadas) em relação ao modelo SS original, em simulações de longo prazo (20-50 anos), pode gerar preços inaceiáveis. >> assim sendo, para a sua adequada uilização no projeo ALM Corporaivo alguns parâmeros do modelo devem ser calibrados de forma a simular preços fuuros coerenes com a idéia de um preço de equilíbrio no longo prazo. >> a calibração deve afear apenas o processo que faz a média de longo prazo divergir, deixando inaco ouros parâmeros do modelo. 84
>> a maneira mais direa de conseguir ese efeio é re-escalonar as volailidades dos choques que afeam o processo de longo prazo E, o processo de equilíbrio, o qual gera a endência do preço spo. U 0.01 0.1 (0.914) (0.476) E 85
Preço spo do WTI simulado para 30 anos à frene (c/ calibração) 86
Hisograma para preço do WTI em 10 e 30 anos 87
Preço spo do gnp simulado para 30 anos à frene (com calibração) 88
Hisograma para preço da gnp em 10 e 30 anos 89
Preço spo da gasolina simulado para 30 anos à frene (c/calibração) 90
91
conclusões 92
Foi proposo e implemenado um modelo mulivariado para prever e simular preços do peróleo e alguns derivados. As simulações obidas do modelo são enrada num modelo ALM, o qual permie a empresa inferir, com um nível de incereza, se as decisões sobre financiamenos deixarão a empresa solvene no fuuro. O modelo é basane complexo em ermos de variáveis e parâmeros, não sendo amigável à modificações. O modelo esá sendo refinado em duas frenes: melhor deerminação do número de componenes globais; simulação dos preços por disribuição levanada por boosrap; 93
Bibliografia DURBIN J.; KOOPMAN S.J. Time series analysis by sae space mehods. Oxford Universiy Press Inc., New York, 2001. FRANCIS X. DIEBOLD.; CANLIN LI.; VIVIAN Z. YUE. Global yield curve dynamics and ineracions: a dynamic Nelson-Siegel approach. Journal of Economerics, 146, 351-363, 2008. GIBSON R.; SCHWARTZ E. S. Sochasic convenience yield and he pricing of oil coningen claims. The Journal of finance, 3, 959-976, 1990. LIMA, C.A.R.; Previsão do Preço Spo de Peróleo e Derivados: Abordagem pelo Filro de Kalman. Disseração de Mesrado. DEE, PUC-Rio,Brasil, 2010. SCHWARTZ, E. S. The sochasic behavior of commodiy prices: Implicaions for Valuaion and Heading. The Journal of finance, 3, 923-973, 1997. SCHWARTZ, E. S.; SMITH, J. E. Shor-erm variaions and long-erm dynamics in commodiy prices. Managemen Science, 46, 893-911, 2000. 94