TRANSFORMADA DE LAPLACE Nt cpítulo trtmo d um método d rolução d quçõ difrncii linr d ordm n com coficint contnt condiçõ inici, ou j, trnformd d Lplc.. Dfinição Sj f(t) um função dd pr t, uponhmo qu f obdç crt condiçõ d continuidd, trnformd d Lplc d f, qu rá imbolizd por L{f(t)} ou por F(), dfin pl qução: L{f(t)} F() t f ( t) dt A condiçõ d continuidd colocd cim pr função f ão: primir dfin qu função dv r contínu por prt gund qu função dv r d ordm xponncil, ou j, qu xitm contnt M, c T ti qu f ct ( t) M pr t > T. Além dito, n intgrl cim trblhmo com o concito vito m Cálculo pr intgri imprópri. Você dv fzr um litur d intgri qu nvolvm o ímbolo d infinito () m um rfrênci proprid pr o unto. Tmbém é importnt lmbrr qu funçõ nt cpítulo rão dfinid por f(t), um vz qu um grnd quntidd d problm prático trblh com o tmpo (t) como ndo vriávl indpndnt. Exmplo: () Clculr trnformd d Lplc d função f(t) pr t. L{} t. dt t ; > t () Clculr trnformd d Lplc d função f(t) pr t. } L{ t t t. dt ( ) t dt ( ) t ; > (3) Achr trnformd d Llc d função f(t) n(t) pr t.
L{n(t)} t n( t) dt t t (.co( t).co( t) dt ) t t t (.co( t).[. n( t). n( t) dt ]) t t (.co( t).. n( t)) ; > Omitimo nt último xmplo lgun po n intgri por prt qu prcrm; conttmo ntão qu qunto mi complxidd tivr funçõ, u intgri não ão tão impl como imginmo. Pr tnto, vmo dipor d lgo qu já tá clculdo prc m vári rfrênci qu trtm d quçõ difrncii. Aim como no cálculo dipomo d tbl d intgri drivd, qui urmo um tbl pr trnformd d Lplc, poi, como você viu, trt- d um intgrl imprópri.. Tbl Abixo, prntmo um tbl com lgum funçõ qu prcrão no cálculo d quçõ difrncii qu trblhrmo n qüênci do unto. Exitm outr rfrênci, ond você podrá ncontrr mi d funçõ tbld pr trnformd d Lplc, no rtringimo à mi utilizd nt cpítulo. f(t) L{f(t)}.. t 3. t n n! n, n um intiro poitivo. t. n(kt) k k 6. co(kt) k 7. t t ( ) 8. t n t n! n ( ), n um intiro poitivo
9. t k n(kt) ( ) k. t co(kt) ( ) k. t n(kt) k ( k ). t co(kt) k ( k ) 3.. n( bt) bn( t) b( b ) ( )( b co( bt) co( t) ( b ) ( )( b ) ).3 Propridd A trnformd d Lplc é um oprdor linr, ou j: L{c f (t) c f (t)} c L{f (t)} c L{f (t)} O mmo vl pr trnformd invr d Lplc, qu urmo qundo d rolução d quçõ difrncii.. Torm (Trnformd d um Drivd) S f(t), f (t), f (t),..., f (n - ) (t) form contínu m [, [, d ordm xponncil, f (n) (t) for contínu por prt m [, [, ntão: L{f (n) (t)} n F() n- f() n- f () - - f (n-) (), m qu F() L{f(t)}. Como L{f (n) (t)}, n > dpnd d f(t) d u (n ) drivd no ponto t, trnformd d Lplc é proprid pr problm linr d vlor inicil com coficint contnt. E tipo d qução difrncil pod r rduzid um qução lgébric n função trnformd F(). Vjmo lgun xmplo: () y y 6y n(t) y() y () Vmo plicr trnformd d Lplc no doi ldo d qução difrncil cim, im: L{y y 6y} L{n(t)}
D cordo com propridd.3 tmo: L{y } L{y } 6L{y} L{n(t)} Undo o torm cim tbl: Y() y() y () (Y() y()) 6Y() Y().[ 6] Y() ( )( )( 3) Pmo ntão um co d frçõ prcii, vito qu xprão cim não ncontr tbld, mno qu t trmo tivm todo prdo por om, im: Y() ( )( )( 3) A B C D 3 Sri intrnt qu o litor fiz um rvião d frçõ prcii (Cálculo) nt d continur o xmplo dt ção. Y() ( )( )( 3) A B C D 3 ( A B)( )( 3) C( )( 3) ( )( )( 3) D( )( ) xprõ lgébric: Fzndo, obtmo: -C C Fzndo 3, obtmo: D D Pr dcobrt d A B, xitirá ncidd d fzrmo comprção d A qu contêm 3 ão: A C D A A qu contêm o trmo indpndnt ão: 6B - 3C - D B Aim, xprão qu dconhcímo, gor p r: Y() ( )( )( 3) 3 Undo trnformd invr (vi tbl), obtrmo: y(t) co(t) n(t) t 3t (rpot finl d qução difrncil).
im: () y 6y 9y t 3t y() y () 6 Vmo plicr trnformd d Lplc no doi ldo d qução difrncil cim, L{y 6y 9y} L{t 3t } Y() y() y () 6(Y() y()) 9Y() 3 ( 3) Y().[ 6 9] 3 ( 3) - 6 Y() ( 3) 3 Pmo ntão dirtmnt pr tbl obtrmo: y(t) t 3t 3t (rpot finl d qução difrncil).. Aplicçõ d quçõ difrncii A plicçõ d quçõ difrncii vão dd ár como Biologi, Mdicin, Economi, Adminitrção, ntr outr, pndo por ár qu nftizm mlhor o Cálculo, como n Engnhri. Aprntmo nt ção trê xmplo rolvido, n qüênci, um éri d problm propoto qu nvolvrão quçõ difrncii. No primiro xmplo, utilizmo conhcimnto d quçõ difrncii d ª ordm pr rolução, já no xmplo 3, trnformd d Lplc rá utilizd pr mlhor rolvr o problm. Exmplo : A ltur h d águ qu tá fluindo trvé d um orifício no fundo d um tnqu cilíndrico é dd por: dh A gh g 8 m/ dt A w Em qu A w A ão ár d cçõ trnvri d águ do orifício, rpctivmnt. Rolv qução difrncil ltur inicil d águ r m, A w 37, m A ¼ m. Qundo o tnqu trá vzio? Solução: A w A h
dh A gh dh dh dh dt A.8. h 36. h dt w dt 37, dt 6 h 3 h t C Aim: h t 3 3 Subtituindo condição inicil 3 O tnqu trá vzio qundo h ; logo: t t t 3,6. 3 C Exmplo : A qução difrncil pr crg intntân q(t) no cpcitor m um circuito m éri é dd por: d q dq L R q dt dt C E( t) Um circuito m éri contém um indutor, um ritor um cpcitor pr o qui L ½ hnry, R ohm C, frd, rpctivmnt. A voltgm: E(t) volt. Sbndo qu q() q (), qul é crg q(t) conform itução xpot cim. Solução: d q dq q dt dt, d q dq q dt dt Aplicndo trnformd d Lplc, d mbo o ldo, trmo: Q() q() q () (Q() q()) Q() / Q().{ } / Q() ( ) (Et vlor não tá tbldo prcirá pr por frçõ prcii lgun crto lgébrico, pr qu ncontrmo rpot no itm.) Q() ( A A A B B A C C - ) A B C A( ) ( B ( ) C) Q() ( ) Ou ind: Q() ( )( ) ( ) ( )
Aplicndo trnformd invr, conform itm., tm-: A crg: q(t) t co( ) t t n(t) Exmplo 3: Num itm m-mol tm- qução: u u 3.co(t) Achr olução d qução, dd condiçõ: u() u () Solução: Aplicndo trnformd d Lplc n qução cim, tmo: U() u() u () U() U(). U() U().{ } 3 3 3. U() ( 3 )( ) co(t) co( t) u(t) 3 co(t) u(t) co( t ) co( t) ( ) m Exrcício.. Em Mtmátic Finncir, qundo tmo um cpitl cuj cpitlizção é fit d mnir contínu, quntidd d dinhiro C umnt um tx proporcionl à quntidd prnt m qulqur tmpo: dc/dt i.c (i é tx nul d juro) () Encontr quntidd d dinhiro cumuldo no finl d no, qundo $. ão dpoitdo m um poupnç com tx nul d juro d,7% cpitlizção contínu. (b) Em qunto no om inicil dpoitd duplicrá?. Um corpo d m m cindo trvé d um mio vicoo ncontr um forç d ritênci proporcionl o qudrdo d u vlocidd intntân. N itução qução difrncil pr vlocidd v(t) é: mv' mg kv, m qu k é um contnt poitiv d proporcionlidd.
Rolv qução ujit v() m/. 3. Um forç E(t) d volt é plicd um circuito R-C m éri no qul ritênci é d ohm cpcitânci, - frd. Encontr crg q(t) no cpcitor q(). Encontr corrnt i (t). (Sugtão: obrv qução do xmplo do itm. lmbr- qu corrnt é drivd d crg). Qundo um bolo é rtirdo do forno, u tmprtur é d 8 o F. Trê minuto dpoi, u tmprtur p pr 8 o F. Qunto tmpo lvrá pr u tmprtur chgr 7 gru, tmprtur do mio mbint m qu l foi colocdo for d xtmnt 7 o F? (Sugtão: utiliz li d rfrimnto d Nwton: dt/dt k(t T m ) ond k é um contnt d proporcionlidd T m é tmprtur contnt do mio mbint). Um forç ltromotriz (fm) d 3 volt é plicd um circuito m éri L-R no qul indutânci é d, hnry ritênci, ohm. Encontr corrnt i(t) i(). (Sugtão: obrv qução do xmplo do itm.) 6. A qução difrncil pr crg intntân q(t) no cpcitor m um circuito m éri é dd por: d q dq L R q dt dt C E( t) Um circuito m éri contém um indutor, um ritor um cpcitor pr o qui L ½ hnry, R ohm C, frd, rpctivmnt. A voltgm: E(t) 3, t < 3, t 3 Conidrndo q() q (), qul é crg q(t) conform itução xpot cim. 7. No xrcício bixo, u trnformd d Lplc pr rolvr quçõ: 3 d y ) d y d y dy 6 y 3 dt dt dt dt y(), y (), y (), y () b) d y dy y dt dt t
y(), y () - c) d y dy y co(t) dt dt y(), y () t d y d) y dt y(), y (), y (), y () d y dy ) y co( t) dt dt y(), y () 3 d y d y d y dy f) 7 6y 3 dt dt dt dt y(), y (), y () -, y () - g) y y f(t), m qu f(t), t <, t y()