Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química 2014/1 1

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Vinícius Campos
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1 Univrsidd Fdrl do Rio d Jniro COPPE Progrm d Engnhri Químic COQ 79 ANÁLISE DE SISEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA AULA : Rprsnção m Espço d Esdos 4/

2 Rprsnção m Espço d Esdos Esdo: O sdo d um sism no mpo é o conuno d informçõs m qu, uno com nrd u(), [, ), drmin univocmn o compormno do sism pr.. A scolh do sdo não é únic! não linr linr vrin no mpo LI g, u f, u, A B u y, y C D u A B u y C D u linr homogêno com coficins vriávis d A d

3 Mriz d rnsição d Esdos ; o nn d ; d ; ; A I ; ; o dscrv rnsição do sdo d Ingrndo sucssivmn qução homogên: d d A A d o d d A A d A A d d 3

4 Após infinis ingrçõs chg-s : ; I A d A A d d A A A d d d ; I A d A A d d A A A 3 d 3 d d.... mrizn: séri convrgn qundo os lmnos os lmnos d A são limidos m (, ) Pr o cso linr homogêno com coficins consns: (LI: = ) I A A A A 3 i ;...! 3! i! 3 i i A função mriz ponncil 4

5 d d A d d A A ; A ( ) ; LI: ; A( ) orm d Sylvsr: n n A i A I i i i Pr vlors crcrísicos iguis plic-s rgr d L Hopil pr rsolvr indrminção. 5

6 rnsformd d Lplc: d d A si A X(s) () L si A A ; L si A Dcomposição mricil: AP P A P P 6

7 Pr o cso linr não homogêno com coficins consns: d d A Bu Inroduzindo mudnç d vriávl: z z d d dz dz dz z (A )z A d d d d d dz d d A d Bu dz d Bu z z Bu d o z B u d 7

8 A( ) A A A A A z z B u d A B u d A rspos à nrd nul rspos o sdo nulo 8

9 Emplo: A A F dh () A F k h () () d dh () A k h () k h () d k h h h h u F F S vriávl mdid n síd é o nívl do sgundo nqu: y h h k Linrizndo m orno do sdo scionário: d d d d k b u h A b A A k k k h A h A 9

10 y A b u c A b b c Ed Esdo scionário: ái F k h k h k h h h 4 A b Uilizndo o orm d Sylvsr: A I 3 A

11 d u d u d u d u y Uilizndo o rnsformd d Lplc: si A X s bu s L si A L si A bu(s) A s (s ) L si A L L s s (s )(s ) (s ) A A

12 Uilizndo o dcomposição mricil: A A

13 Rprsnção m Espço d Esdos Discros não linr linr vrin no mpo k f k,u k,k k Ak k Bkuk yk Ck k Dkuk y k g k,u k,k LI k A k B uk y k C k D u k linr homogêno com coficins consns k A k, A A AA A k k A Mriz d rnsição d sdos discros 3

14 orm d Sylvsr: A k A I n n k i i i i Dcomposição mricil: k k A P P lim k k qu ocorr qundo i < Pr o cso linr não homogêno com coficins consns: k A k B uk A B u A B u AA B u B u A A B u B u k k k i ka A B ui i 4

15 Sisms d Ddos Amosrdos A B u Solução, u u k A B u d A k (k) considrndo no inrvlo (ddo mosrdo) A A k k k k B d u Pr = (k+) k k u k k k A A B d 5

16 k d d d d d k k i k A A B ui k A k B uk k k u k k i k k i k u i i k k A A k k k k k k i u i i Convrsão conínuo discro: A d B d 6

17 A B u Solução proimd Aplicndo o méodo d Eulr plício: d A B u k k k k k k IA k Bu k A I A A m_bs( bs (A) B B d B d k k Aplicndo o méodo d Eulr implício: A Bu u u k k k k k (k) considrndo no inrvlo (ddo mosrdo) IA IA Bu k k k A I A d B I A B d 7

18 Digonlizção A B u A P P A P P Mudnç d vriávl: P d P d d P P A P P P A P d d d d d d d d d n i () n n i i 8

19 () n () () P () () A () P P ( ) ( ) A P P 9

20 Vlors vors crcrísicos d mriz A: à diri: P A P P v v v Av d d dn v d d A P P P A P à squrd: P v v v n v A v P P P P B u d v v v v d dn v... v v d... vd B u n d o n n v n v n

21 n v...v d d n v v n o v d...v d n n v v n B u B u d n v v v v Bu d d n d ivção do modo modo d rspos composição do modo O modo vinculdo conribui ib id form difrn pr cd vriávl ld sdo: msm ivção do modo pr odos os sdos n n i d n d i o n i v v v... v v v B u d conribuição do modo pr rspos mporl do sdo i

22 Pr o sism digonlizdo: o n n cd modo conribui com pso uniário pr um únic vriávl d sdo su ivção é dd pl condição inicil d rspciv vriávl d sdo.

23 Conrolbilidd A B u n v v v v Bu d d n d Como u() só f o sgundo rmo, vmos considrr ( ) = : n v v B u d v v b b b u d n d d n S v b b b v B m não u() não influnci o modo : s modo não é conrolávl. Anlisndo o sism digonlizdo: d d P B u sdo * não é conrolávl l d d v B u u 3

24 Mriz d conrolbilidd: n K B A B A B A B O sism é conrolávl s posok n Ilusrndo com um sism discro com condição inicil nul: k A k B uk B u A B u A B u B u 3 A B u A B u A B u B u n n i n A B ui i 4

25 Considrndo um sism d sgund ordm com um únic nrd ( ) = : A b u Aplicndo um nrd u I durn um pquno inrvlo : I bu I Aplicndo um sgund nrd u II durn o sguin inrvlo : A bu = A b u bu II I II I II Pr podr lcnçr qulqur pono do plno (, ) é ncssário qu os vors I II não nhm msm dirção, iso é, qu sm L.I.: K b A b dv r poso 5

26 Obsrvbilidd A B u y C D u Considrndo u() = : A C y y C C P Cv d vd vdn Cv d Cvd Cv dn n n n S Cv d não o modo não influnci y(): s modo não é obsrvávl. 6

27 Mriz d obsrvbilidd: L C A C A C A C n O sism é obsrvávl s posol n Ilusrndo com um sism discro com nrd nul: A k k y C C y C CA y k C k y C CA CA n ynca 7

28 A dfinição d conrolbilidd é: Um sism é conrolávl s somn s, pr odo sdo inicil, ( ), is um nrd conínu por prs, u(, ] l qu ( ) = pr lgum finio. Ad dfinição i d obsrvbilidd bilid d é: Um sism é obsrvávl s somn s, pr odo, obsrvção d y(, ], pr qulqur u(, ] conhcido, prmi clculr ( ). 8

29 ) O modo é conrolávl é obsrvávl ) O modo é conrolávl não obsrvávl d d v B u d y Cv d d v B u y 3) O modo é não conrolávl obsrvávl 4) O modo não é nm conrolávl nm obsrvávl d d u y Cv d y d d u 9

30 Pricionndo o vor d sdos ns quro cgoris possívis: d d co cno nco ncno co cno nco ncno co cno nco ncno P P co c no B u cno P Único cminho possívl: y C P co nco co nco ncno ys CP s I P B u s co co co 3

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