Angela Nieckele PUC-Rio. Convecção e Difusão

Transcrição

1 Convcção Difusão 1

2 S S S p c S c S p S 2

3 3 squm Difrnç Cnrl o o o Considr-s prfil linr d nos rmos convcivos difusivos u u 2 D 2 não D D 2 1 D u,

4 4 u u 2 D 2 não D 2 1 S S p c Susiuindo n qução d lnço

5 D 2 1 D 2 1 SC S ro pl coninuidd No qu os coficins do squm d difrnç cnrl podm sr ngivos, o qu pod lvr soluçõs fisicmn irris ou fl d convrgênci. 5

6 1 D D 2 2 6

7 squm Upind r rsolvr o prolm dos coficins ngivos do squm d difrnç cnrl, Splding propôs rr o rmo convcivo d form difrn, iso é, sdo nos vlors monn. u, 0, 0 u, 0, 0 7

8 ,, D 0 0,, D 0 0 0, D S C coninuidd pl ro S u u 0, D No qu gor os coficins são smpr posiivos. No nno s convcção não for dominn, o rmo d monn rá um influênci cssiv n solução.

9 Rsuldo rlis 9

10 Nov propos: usr solução d qução d consrvção d form nálog o rlido pr prolm purmn difusivo 10

11 11

12 12

13 = 0.0 = 1.0 = 50 = -1.0 =

14 Discussão é somn linr pr pqunos vlors d. Típico d siuçõs lmn difusivs. Qundo é grnd, o vlor d m = /2 é pricmn igul o vlor d n fronir à monn. Típico d siuçõs lmn convcivs. Qundo é grnd, o vlor d d / d m = / 2 é pricmn ro. É possívl sr noss qução d discrição dirmn n solução. Ds form, o compormno d srá corro pr odos os vlors do númro d cl. 14

15 15

16 função p 1 16

17 p s função 1 p ]], [[ p p ] [p ] p [ p p s ]], [[ 0

18 u, D, D 1

19 O fluo rvés d fc é não ond u, D, D 19

20 20 usndo o prfil ponncil d solução do cso priculr nlisdo, oém-s

21 S ro coninuidd S C 21

22 22

23 23

24 squm Difrnç Cnrl D 2 1 D [[, 0]] D [[, 0]] D [[, 0]]

25 squm Upind 1 D [[, 0]] D [[, 0]] 25

26 26 squm Hírido s squm é um cominção do squm d Difrnç Cnrl Upind. O squm d difrnç cnrl é uilido nquno os coficins form posiivos, cso conrário, uili-s formulção Upind Sc Sp D D ;, ;, ,

27 ponncil or-l [[ 0, 1 0, 1 Difrnç Cnrl Upind Hírido ]] 1, unção ponncil or-l Hírido Upind Difrnç Cnrl 27

28 Convcção Difusão- Condiçõs d Conorno nrd síd simri orçõs Imprmávis d ronir. Convcção = ro, porno o fluo n fronir é purmn difusivo. s écnics pr difusão d clor são plicávis. ronir d Simri. O componn norml d vlocidd é nulo o grdin norml d ods s ours vriávis é nulo, porno, implmnção é nálog vis pr siuçõs difusivs. ronir d nrd d scomno. Usulmn o vlor d n fronir d nrd é conhcido. ronir d Síd d scomno. m grl, não possuímos nnhum informção sor o vlor d ou su fluo n fronir d síd d scomno. Conudo, nnhum informção é prciso. 2

29 S difusão D n síd for dsprívl, não = / D. Consqünmn, = D + [[-, 0]] 0. Trmos um compormno loclmn uni-dircionl, iso é não prcis sr conhcido. o Dsprr difusão n fronir d síd é um pquno prço qu pgmos pr dscoplr o domínio d cálculo d rgião à jusn. o S dsprr difusão n fronir d síd for qusionávl, loclição d fronir dv sr considrd como indqud. um rposicionmno d fronir dvri ornr o rmno ciávl. 29

30 Um mplo d mu posicionmno d fronir d síd ocorr qundo is um nrd d scomno m pr d fronir chmd síd. solução não possuirá significdo. ruim om 30

31 31 qução Difrncil m coordnds crsins: Convcção Difusão- Muli-dimnsionl S ρ Γ - ρ Γ - ρ v Γ - ρ u

32 Méodo d Volums inios: Ingrndo sor o volum d conrol, implicimn no mpo. lrnndo-s ordm d ingrção d cd rmo, dpndndo d convniênci. d d d d d S d d d d d d d d d d d d d d d 32

33 33 ssumindo os fluos consns o longo ds fcs dos volums d conrol. Linrindo fon como Dividindo por êm-s C S S S C S S Δ Δ - Δ Δ - Δ Δ - s n o o p

34 34 ssumindo os fluos consns o longo ds fcs dos volums d conrol. Linrindo fon como Dividindo por êm-s C S S S C S S Δ Δ - Δ Δ - Δ Δ - s n o o p S S C s n o o p ou

35 qução n form consrviv é vlid s consrvção d mss for sisfi. ρ u v 0 35

36 qução n form consrviv é vlid s consrvção d mss for sisfi. ρ u v 0 orno, é prciso discrir qução d coninuidd d d d d u d d d d v d d d d d d d d 0 36

37 37 Logo 0 n ] [ ] [ ] [ Δ Δ ρ v v Δ Δ ρ u u s s n o [ ] s n o

38 3 Logo Susiuindo n qução grl, 0 n ] [ ] [ ] [ Δ Δ ρ v v Δ Δ ρ u u s s n o [ ] s n o Δ Δ Δ S S s n C o o s n o p ]} [ {

39 39 s s n n C o o o p Δ Δ Δ φ S S

40 40 s s n n C o o o p Δ Δ Δ φ S S ; ; S S s s N N n n ; B B T T Os fluos podm sr oidos m função dos vlors d d volums d conrols djcns s fcs como

41 41 odmos rscrvr qução d discrição como B B T T S S N N C o o o p Δ Δ Δ φ S S B B T T S S N N qução d Discrição:

42 D [[-,0]] D [[,0]] N D n n [[- n,0]] S D s s [[ s,0]] T D [[-,0]] B D [[,0]] o ρ o Δ Δ Δ Δ N S T B o p - S S C o φ o 42

43 43 ]], ; [[ D u u ; s s n n v v ; ; ; ; D D n n n n D s s s s D D D ; ;

44 44 n N n n n n n n s s s S s s s s T B ; ; ;

45 ls Difusão fls difusão é um dos miors prolms m formulção numérics pr convcção-difusão. is mui conrovérsi rspio d inrprção sor o qu é fls difusão nr os nliss numéricos. r muios, fls difusão é inrprd rrdmn n minh opinião como sndo o rro d runcmno d um pnsão m séri d Tlor. É dio n lirur qu o squm d difrnçs cnris possui prcisão d 2. ordm qu o squm "upind" possui prcisão d 1. ordm, conclui-s qu o squm d difrnçs cnris é mlhor. 45

46 Conudo, vimos qu m prolms d convcçãodifusão, rlção é ponncil séri d Tlor só fornc um o rprsnção pr pqunos ou D. r los D, os rsuldos d séri d Tlor são irrliss o squm "upind" fornc mlhors rsuldos. inrprção do rro d runcmno como sndo fls difusão vm do fo qu é possívl scrvr o squm upind como sndo o squm d difrnç cnrl, com um coficin d difusão modificdo igul u /2 46

47 squm "upind" = D squm "difrnç cnrl" = D - /2 rscrvndo o squm "upind" = D + /2 - /2 = / + /2 - /2 = + /2/ - /2 ou = * / - /2 ond * = + /2 rc porno qu o squm "upind" umn o coficin d difusão rl com um difusão ficíci igul u /2. No nno, vimos qu pr los númros d cl, dição ds rmo é fvorávl qu su usênci como no cso d difrnç cnrl é indsjávl. 47

48 So o pono d vis d inrprção d séri d Tlor, é msmo o squm ponncil, qu é solução d qução, mém prsn fls difusão. r ios cl, não is dúvid qu o squm d difrnçs cnris é mlhor qu o "upind" os squms rcomnddos ndm solução do squm d difrnçs cnris. S cl é io, difusão rl é grnd, o prolm d fls difusão é pquno. r los cls, o prolm d fls difusão orn-s imporn. Ouro for sr mnciondo é qu não é possívl or solução convrgid pr los cl com o squm d difrnç cnrl, só é possívl comprá-lo com o squm "upind" pr ios cls, qundo o fio d fls difusão é pquno. 4

49 Inrprção Corr d ls Difusão fls difusão é um fnômno muli-dimnsionl, não is m siuçõs uni-dimnsionis m rgim prmnn. qun qun frio frio

50 r visulir o qu signific fls difusão, vmos considrr dus corrns d fluido s nconrndo. Um qun um fri. S =0 o prfil d mprur prsnr vrição suv, concluímos qu o squm numérico prsn fls difusão. S =0, o squm d difrnç cnrl possui coficins nulos. Logo, s écnics irivs não podm sr uilids com méodos diros, solução não é rlis. 50

51 mplo: Méodo "upind" com 0 1 scomno Uniform n dirção 51

52 mplo: Méodo "upind" com 0 1 scomno Uniform n dirção S = N = 0 =[[-,0]=0 =[[,0]= = 52

53 mplo: Méodo "upind" com 0 1 scomno Uniform n dirção S = N = 0 =[[-,0]=0 =[[,0]= = = Como rsuldo, o vlor monn d cd linh prvlc o longo d cd linh, mnndo dsconinuidd 53

54 2 scomno Uniform fndo 45 o com mlh = u = v = V =[[-,0]=0 ; N =[[- n,0]=0 S =[[ s,0]= s ; =[[,0]= = + S = 2 54

55 2 scomno Uniform fndo 45 o com mlh = u = v = V =[[-,0]=0 ; N =[[- n,0]=0 S =[[ s,0]= s ; =[[,0]= = + S = 2 = + S /2 S não houvss fls difusão, odos os ponos cim d digonl dvrim sr 100 io ro 55

56 Osrvção: 1 fls difusão só ocorr qundo o scomno é inclindo m rlção à mlh qundo is um grdin difrn d ro d vriávl dpndn n dirção norml o scomno. 2 O squm d difrnç cnrl não rsolv o prolm d fls difusão odos os ouros méodos são nálogos. 3 O fluo não é consn. qução d consrvção é S 0 Qulqur squm qu considr o fluo consn com sofrrá d fls difusão. S 56

57 4 O squm d difrnç cnrl uili prfil linr, logo o fluo mém é linr, consqünmn consgu rprsnr mlhor influênci do fluo rnsvrsl do qu os squms sdos m fluo consn. orém, prsnç dos coficins ngivos lv rsuldos irris dificuldd d convrgênci. 5 fls difusão pod sr minimid s: uilirmos pqunos orinrmos mlh com o scomno uilirmos um squm qu lv m con mulidimnsionlidd do scomno, nvolvndo mis ponos n discrição 6 Dv-s uscr smpr um squm prciso, d io cuso fcilmn progrmávl. 57

58 ism divrss nivs d dsnvolvr squms qu minimim o fio d fls difusão. No nno, o nvolvrm mis vriávis n discrição, ornm-s complicdos cros pr cução. 5

59 59

60 ism divrss nivs d dsnvolvr squms qu minimim o fio d fls difusão. No nno, o nvolvrm mis vriávis n discrição, ornm-s complicdos cros pr cução. QUICK Qudric Upind Implici Diffncing Convciv kinmics Uili um prfil d 2ª ordm comindo com idi do upind r mlh uniform, méodo fc mi disânci nr os ponos nodis - Tngn d um prfil qudráico é igul linh qu un os ponos d práol 60

61 61 0 u 1 6 ollrd Siu, u D D,0]] [[ 1 9,0]] [[,0]] [[ u u D D,0]] [[ 1 9,0]] [[,0]] [[ u 0 u 0 u 0 u

62 62 Sp Sc ou pr grnir coficins posiivos * * QK Sc p p Sp QK p p Sc Sp

63 63 0 u 1 2 Hs l, u D D,0]] [[ 1 2,0]] [[,0]] [[ 3,0]] [[ 1,0]] [[ 0 u u D D,0]] [[ 1,0]] [[ 3 1,0]] [[,0]] [[ 2,0]] [[ u 0 u 0 u 0 u

64 64 Sp Sc ou pr grnir coficins posiivos * * QK Sp QK p p Sc,0]] [[ 3,0]] [[ 2,0]] [[ 1 ;,0]] [[ 1 2,0]] [[,0]] [[ 3,0]] [[ 1 ;,0]] [[ 1,0]] [[ ;,0]] [[ * * D D * * QK Hs l, 1992

65 73

66 74

67 75

68 76

69 77

70 7

71 79

72 squms TVD squms d 2ª ordm ou mior podm grr oscilçõs fisicmn irris dvido o prcimno d coficins ngivos. clss d squms TVD Tol Vriion Diminishing form formuldos pr forncr soluçõs livrs d oscilçõs. O dsnvolvimno d modologi TVD nvolv grnd mnipulçõs mmáics, porém s idis nvolvids nss squms podm sr prsnds prir dos concios ásicos já discuidos. Nos squms TVD ndênci à oscilção é conr-cd dicionndo um difusão rificil ou dicionndo psos rlciondos com conriuição upind Considr um scomno posiivo, u > 0 pndindo m séri d Tlor, nvolvndo dois viinhos monn, m-s o squm Upind Linr

73 squms TVD u > 0 O squm d difrnç cnrl pod sr scrio como 2 odmos não gnrlir 2 U Upind; r =0 CD difrnç cnrl; r =1 r LUD linr upind; r = r QUICK; r = 3 + r/4 od-s procdr d msm form pr scomno ngivo 1

74 r um squm sr sávl, não oscilório, um squm d l ordm dv possuir propridd d prsrvr monoonicidd. r isso é ncssário: i Não crir um rmo locl ii o vlor d um mínimo locl dv sr não dcrscn o máimo locl dv sr não crscn Os squm TVD form dsnvolvidos pr prolms rnsin, com propridd d qu solução discr dvri diminuir com o mpo. osriormn, o concio foi plicdo pr scomnos m rgim prmnn S 194 prsnou s condiçõs ncssáris pr um squm sr TVD rvés d rlçõs r- S 0 < r < 1, o limi suprior é r = 2 r, não pr squms TVD, r 2 r S r 1 o limi suprior é r = 2, não pr squms TVD, r 2 2

75 Com cção do squm Upind, odos os squms prsndos são for d rgião TVD. idi pr projr squms TVD é inroduir um modificção nos squms d form forçr qu rlção r- prmnç n ár somrd d figur. É prciso inroduir um limi n fi dos vlors posiivis do fluo convcivo r - /2, o qul foi originlmn inroduido d form ornr o squm d ordm suprior. s função é chm d função limidor D cordo com S, pr o squm sr d 2ª ordm, r m qu pssr no pono 1,1 Dv ind possuir propridd d simri: r /r = 1/r ár sord corrspond rgião d squms TVD d 2ª. ordm 3

76 unçõs limidors 4

77 5 quçõs d discrição d squms TVD,0]] sign [[,0]] sign [[ u u r,0]] sign [[,0]] sign [[ u u r TVD p p Sc,0]] [[ ;,0]] [[ D D 2 2 TVD r r Sp