Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes

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1 Cpíulo.: Equçõs homogêns linrs d sgund ordm om ofiins onsns Um qução difrnil ordinri d sgund ordm m form grl f,, ond f é um função dd. Es qução é di linr s f é linr m ': g p q so onrário dizmos qu é não linr. Um qução linr d sgund ordm pr omo P Q R G S G pr odo, não s qução é di homogên. so onrário dizmos qu é não homogên.

2 Cpíulo.: Equçõs Homogêns, Vlors Iniiis Ns sçõs.6.7, nós vrmos qu um vz qu nonrmos um solução pr qução homogên, iso possibili rsolvr um qução não homogên ssoid ou orrspondn à homogên, ou no mínimo xprssr solução m rmos d um ingrl. O foo ds píulo são s quçõs Homogêns m priulr, s d ofiins onsns: b O so om ofiins vriávis srá vis mis din. Condição Iniil é dd d sguin form, Porno solução pss por,, inlinção d solução m, é igul '.

3 Cpíulo.: Exmplo Infinidds d Soluçõs Considr EDO As dus soluçõs ds qução são, Ours soluçõs são, 5, Bsdo ns obsrvção, nós vimos qu xism um infinidds d soluçõs são d form Mosrrmos n sção. qu ods s soluçõs d qução difrnil im podm sr xprssd ds form.

4 Cpíulo.: Exmplo Condiçõs Iniiis Agor onsidr o sguin Problm d Vlor Iniil PVI pr noss qução:,, Nos podmos nonrr um solução grl d sguin form Usndo s ondiçõs iniiis, mos,

5 Cpíulo.: Exmplo Gráfio d Solução O PVI solução são,, O gráfio d solução é ddo bixo. O gráfio d diri sugr qu mbs s ondiçõs são sisfi.

6 Cpíulo.: Equção Crrísi Pr rsolvr um qução d ordm om ofiins onsns, b, omçmos ssumindo um solução d form r. Subsiuindo- n qução difrnil, obmos: r r r r br Simplifindo, r r br ssim r br Es úlim qução é hmd qução rrísi d qução difrnil. Nos rsolvmos s qução m r por forção ou usndo formul qudrái.

7 Cpíulo.: Solução Grl Usndo formul qudrái n qução rrísi r br, obmos dus soluçõs, r r. Exism rês possibilidds: As Rízs r, r são ris r r. As Rízs r, r são ris r r. As Rízs r, r são omplxs. Por nquno, vmos ssumir qu r, r são ris r r. Ns so, solução grl é d form r r b ± r b 4

8 Cpíulo.: Condiçõs Iniiis Pr o PVI usrmos solução grl usndo s ondiçõs iniiis pr nonrr. Iso é, Dsd qu ssumindo r r, sgu qu um solução d form r pr o PVI im smpr xisirá, pr qulqur onjuno d ondiçõs iniiis.,,, b, r r r r r r r r r r r r r r r r

9 Cpíulo.: Exmplo Considr o PVI Tomndo solução xponnil obndo E.C.: Forndo E.C. obmos dus soluçõs, r -4 r A solução grl é Usndo s ondiçõs iniiis: Tmos,, 4 r r r r r 4 7,

10 Cpíulo.: Exmplo Considr o PVI Enão Forndo, obmos dus soluçõs, r r - A solução grl é Usndo s ondiçõs iniiis: Tmos,, r r r r r,

11 Cpíulo.: Exmplo 4 PVI Considr o PVI Enão Forndo, obmos dus soluçõs, r - r - A solução grl é Usndo s ondiçõs iniiis: Tmos,, r r r r r 7 9, 7 9

12 Cpíulo.: Exmplo 4 Enonrndo o Vlor Máximo Enonrr o vlor máximo lnçdo pl solução ln s

13 Cpíulo.: Soluçõs Fundmnis d Equçõs Linrs Homogêns Sjm p, q funçõs onínus no inrvlo I α, β, o qul podrá sr infinio. Pr lgum função qu sj rês vzs difrniávl m I, dfiniss o oprdor difrnil L por No qu L[] é um função m I, om vlor d síd Por xmplo, [ ] p q L [ ] p q L [ ] sin os sin, p, q, sin, I π L

14 Cpíulo.: Noção do Oprdor Difrnil Ns sção nos vmos disuir qução homogên linr d ordm L[], juno om ondiçõs iniiis omo indido bixo: L p q [ ], Nós gosrímos d sbr s xis solução pr s problm d vlor iniil, m so firmivo, s é úni. Tmbém, gosrímos d sbr sobr form sruur ds soluçõs, pois, podm sr úis n hor d nonrr soluçõs pr os problms priulrs. Ess prguns são rspondids nos orms sguir.

15 Cpíulo.: Torm.. Considr o PVI p q, g ond p, q, g são funçõs oninus no inrvlo bro I qu oném. Enão xis um úni solução φ m I. No: Qundo s orm diz qu xis um solução o problm do vlor iniil im, não é possívl srvr solução por um xprssão. Es é mior um difrnç prinipl ds quçõs Linrs d ordm om s d ordm.

16 Cpíulo.: Exmplo p q, g Considr EDO ordm linr om PVI,, N sção., nós mosrmos qu s PVI m sguin solução: No qu p, q -, g ls são onínus m -,, solução sá bm dfinid é dus vzs difrniávl m -,.

17 Cpíulo.: Exmplo Considr EDO ordm linr om PVI, p q, ond p, q são funçõs oninus no inrvlo bro I qu oném. N luz ds irunsânis iniiis, no qu é um solução pr s problm homogêno d vlor iniil. Dsd qu s hipóss do Torm.. são sisfis, sgu qu é úni solução ds problm.

18 Cpíulo.: Exmplo Drminr o mior inrvlo m qu ddo do vlor iniil, solução do problm xis é úni ind é dus vzs difrniávl. Não n nonrr soluço. os,, Primirmn pôr qução difrnil n formul pdrão: os,, O mior inrvlo qu onm o pono m qu os ofiin d função são onínuos é -,. Sgu do Torm.. qu o mior inrvlo m qu s problm d vlor iniil rá um solução dus vzs difrniávl é mbém -,.

19 Cpíulo.: Torm.. Prinípio d Suprposição S são soluçõs d qução L[ ] p q não ombinção linr dls é mbém um solução, pr ods s onsns ris. Pr provr s Torm, subsiu no lugr d n qução bixo, us o fo d qu são soluçõs L[] é linr. L ] L[ ] L[ ] L[ ] L[ ] [ Assim pr ods s dus soluçõs, nós podmos onsruir um fmíli d infinis soluçõs, pr d. Pod ods s soluçõs sr sri ds mnir, ou êm lgum our solução omplmn difrn? Pr rspondr s prgun, nós usrmos o drminn Wronskino.

20 Cpíulo.: O Drminn Wronskino Suponh qu são soluçõs pr qução Plo Torm.., nos sbmos qu é um solução ds qução. O próximo psso é nonrr os ofiins is qu sisfzm s ondiçõs iniiis Pr isso, nós nssimos rsolvr s sguins quçõs: ] [ q p L,

21 Cpíulo.: O Drminn Wronskino Rsolvndo s quçõs, nos obmos Em rmos d drminns:,

22 Cpíulo.: O Drminn Wronskino Pr qu ss fórmuls sjm válids, o drminn W no dnomindor não pod s nulr: W é hmdo d Drminn Wronskino, ou simplsmn d, o Wronskino ds soluçõs. Nós usrmos às vzs noção W W W,, W

23 Cpíulo.: Torm.. Suponh qu são soluçõs d qução L[ ] p q qu o Wronskino W é não nulo no pono ond s ondiçõs iniiis, são dfinids. Enão xis um solh ds onsns, pr qu sj um solução d qução difrnil ds ondiçõs iniiis.

24 Cpíulo.: Exmplo 4 Obsrv o sguin PVI su solução: No qu s dus funçõs xponniis são soluçõs d qução difrnil: O Wronskino d é Como W pr odo, ombinção linr d pod sr usd pr onsruir solução do PVI pr qulqur ondição iniil., W,,

25 Cpíulo.: Torm..4 Solução Fundmnl Suponh qu são soluçõs d qução L[ ] p q. S xis um pono l qu W,, não fmíli d soluçõs om ofiins rbirários, inlum ods s soluçõs d qução difrnil. A xprssão é hmd d solução grl d qução difrnil im, ns so formm o hmdo Conjuno Fundmnl ds Soluçõs pr qução difrnil.

26 Cpíulo.: Exmplo 5 Pr qução bixo, mos dus soluçõs indids:,, O Wronskino d é W pr odo. Assim formm o Conjuno Fundmnl ds Soluçõs d qução difrnil im, podmos us-ls pr onsruir ods s sus soluçõs. A solução Grl é

27 Cpíulo.: Exmplo 6 Considr um qução linr d ordm, om dus soluçõs indids: p q Suponh qu s funçõs bixo são soluçõs ds qução: r r,, r r O Wronskino d é W r r r r r r r r r r pr odo Assim formm o Conjuno Fundmnl ds Soluçõs d qução difrnil, podmos sr usds pr onsruir ods s soluçõs. r r A solução Grl é.

28 Cpíulo.: Exmplo 7: Soluçõs Considr sguin qução difrnil: Mosr qu s soluçõs bixo são soluçõs fundmnis: Pr mosrr isso, primiro subsiu n qução: Assim é um solução d qução difrnil. Similrmn, mbém é um solução:,, > 4 4

29 Cpíulo.: Exmplo 7: Soluçõs Fundmnis Lmbrndo qu Pr mosrr qu formm um onjuno fundmnl d soluçõs, vmos lulr o Wronskin d : W, Dsd qu W pr >,, formm um onjuno fundmnl d soluçõs d qução difrnil, >

30 Cpíulo.: Torm..5: Exisni do Conjuno Fundmnl d Soluçõs Considr qução difrnil bixo, ond os ofiins p q são oninuos m lgum inrvlo bro I: L[ ] p q Sj um pono m I, soluçõs d qução difrnil om sisfzndo ondição iniil, sisfzndo ondição iniil, Enão, formm o onjuno fundmnl ds soluçõs pr dd qução difrnil.

31 Cpíulo.: Exmplo 7: Torm..5 of Enonrr o onjuno fundmnl spifido plo Torm..5 pr qução difrnil o pono iniil, É fáil vr qu, são soluçõs fundmnis, pois W, -. Ms ss dus soluçõs não sisfzm às ondiçõs iniiis indids no Torm..5, ssim não formm o onjuno fundmnl ds soluçõs mnionds nss orm. Sjm 4 s soluçõs fundmnis do Torm..5., ;, 4 4

32 Cpíulo.: Exmplo 7: Solução Grl Dsd qu formm o onjuno fundmnl d soluçõs,,, 4 d Rsolvndo pr d qução, obmos O Wronskino d 4 é d, 4, Assim, 4 formm o onjuno fundmnl d soluçõs indido no Torm..5, om solução grl ns so k osh k snh osh, 4 snh W osh snh osh snh snh osh 4

33 Cpíulo.: Exmplo 7: Vrios Conjunos Fundmnis d Soluçõs Porno S { }, S { osh,snh }, mbos formm o onjuno fundmnl d soluçõs pr qução difrnil o pono iniil, Em grl, um qução difrnil pod r um infinidd d difrns onjunos fundmnis d soluçõs. Grlmn, nós solhmos qul qu é o mis onvnin ou úil.

34 Cpíulo.: Rsumo Pr nonrr um solução grl d um qução difrnil p q, α < < primirmn nonrmos dus soluçõs. Crifir-s não qu há um pono m lgum inrvlo l qu W,. Sgu qu formm o onjuno fundmnl d soluçõs pr qução, om solução grl. S ondiçõs iniiis são dds m um pono no inrvlo ond W, não podm sr solhids d modo qu sisfçm s ondiçõs iniiis. β

35 Cpíulo.: Indpndni Linr o Wronskino Dus funçõs f g são Linrmn Dpndn LD s xis onsns, não nuls simulnmn, l qu f g pr odo m I. No qu iso s rduz drminr s f g são mulipls um d our. S úni solução s qução for, não f g são Linrmn IndpndnLI. Por xmplo, Sjm fx snx gx snxosx, onsidrndo ombinção linr sin x sin x os x Es qução é sisfi s nós solhrmos, -, dqui f g são Linrmn Dpndn.LD

36 Cpíulo.: Soluçõs pr Equçõs d Sisms x Qundo rsolvmos pr, pod sr mosrdo qu No qu s b, não úni solução ds sism d quçõs é, dsd qu D. b x x o,, x x D nd D bx x x bx D bx x x bx

37 Cpíulo.: Exmplo : Indpndni Linr Mosrr qu s sguins funçõs são linr indpndns m odo o inrvlo : f, g Sjm slrs, suponh f g pr odo m um inrvlo rbirário α, β. Nós qurmos mosrr. Dsd qu qução vrifi pr odo m α, β, solh m α, β, ond. Enão

38 Cpíulo.: Exmplo : Indpndni Linr A solução do nosso sism d quçõs srá, s provrmos qu o drminn D é não nulo: Enão Asim sndo, signifi qu D, porno f g são Linrmn Indpndn.LI D D

39 Cpíulo.: Torm.. S f g são funçõs difrniávis m um inrlo bro I s Wf, g m lgum pono m I, não f g são linrmn indpndns m I. Além disso, s f g são linrmn dpndns m I, não Wf, g pr odo m I. Provsboço: Sjm slrs, suponh f g Pr odo m I. Em priulr, qundo nos mos f g f g Sndo Wf, g, sgu qu, ssim f g são Linrmn IndpndnsLI.

40 Cpíulo.: Torm.. Torm d Abl Suponh qu são soluçõs d qução L[ ] p q ond p q são funçõs onínus m lgum inrvlo bro I. Enão W, é ddo por p d W, ond é um onsn qu dpndm d ms não d. No qu W, ou é zro pr odo m I s ou nun s nul m I if.

41 Cpíulo.: Exmplo : Wronskino Torm d Abl Obsrv sguin qução sus dus soluçõs:,, O Wronskino d é W pr odo. Assim são Linrmn Indpndns m qulqur inrvlo I, plo Torm... Agor ompr W om o Torm d Abl: W, p d d Esolhndo -, nós nonrmos o msmo vlor d W im.

42 Cpíulo.: Torm.. Sj soluçõs pr qução bixo, ond p q são onínus m um inrvlo bro I: L[ ] p q Enão são Linrmn Dpndns m I, s somn s, W, pr odo m I. D ouro modo, são Linrmn Indpndns m I, s somn s, W, pr odo m I.

43 Cpíulo.: Rsumo Sjm soluçõs d p q ond p q são onínus m um inrvlo bro I. Enão s sguins firmçõs são quivlns : As funçõs formm um onjuno fundmnl d soluçõs I. As funçõs são Linrmn Indpndn m I. W, pr lgum m I. W, pr odo m I.

44 Cpíulo.: Sj V o onjuno Nos d Algbr Linr Enão V é um spço voril d dimnsão dois, om um bs formd plo onjuno fundmnl d. Por xmplo, o spço solução V pr qução difrnil m omo bss om V S { : p q, α, β } { }, S { osh,sinh }, V Espço S Espço S

45 Cpíulo.4: Rizs Complxs d Equção Crrísi Romndo disussão d qução b ond, b são onsns ris. Assumindo soluçõs xponniis dd d qução rrísi: r r br A fórmul qudráiou forção forn dus soluçõs, r r : S b 4 <, mos rizs omplxs: r λ iµ, r λ - iµ Assim b ± r b 4 λ iµ λ iµ,

46 Cpíulo.4: Formul d Eulr: Soluçõs Avlids nos Complxos Subsiuindo n sri d Tlor d, no obmos fórmul d Eulr: n n n n n i i i os i sin n! n! n! Gnrlizndo fórmul d Eulr, obmos Enão n n n i µ os µ i sin µ λ iµ λ iµ λ λ λ [ os µ i sin µ ] os µ i sin µ Porno λ iµ λ iµ λ λ os µ os µ i i λ λ sin µ sin µ

47 Cpíulo.4: Soluçõs Avlids nos Ris Nosss dus soluçõs são funçõs vlids nos omplxo: Nós prfrirímos r soluçõs vlids nos ris, pois noss qução difrnil m ofiins ris. Pr onsguir iso, rordmos qu s ombinçõs linrs ds soluçõs são mbéns soluçõs : Ignorndo s onsns, nós obmos s dus soluçõs i i µ µ µ µ λ λ λ λ sin os sin os i µ µ λ λ sin os µ µ λ λ sin, os 4

48 Cpíulo.4: Soluçõs Avlids nos Ris: O Wronskino Assim nós mos s sguins funçõs vlids nos ris: λ os µ, 4 sin µ Vrifindo o Wronskino, nós obmos λ W µ λ λ λ os µ µ sin µ λ sin µ µ os µ λ λ os µ λ sin µ Assim 4 formm o onjuno fundmnl d soluçõs pr noss EDO, solução grl pod sr xprssd omo λ os µ λ sin µ

49 Cpíulo.4: Exmplo Considr qução Enão Porno ssim solução grl é sin os i i r r r r 4 ± ± ±, µ λ

50 Cpíulo.4: Exmplo Considr qução 4 Enão r r 4 r ± i Porno λ, µ ssim solução grl é sin os

51 Cpíulo.4: Exmplo Considr qução Enão Porno solução grl é i r r r r 6 4 ± ± sin os

52 Cpíulo.4: Exmplo 4: Pr Pr o problm do vlor iniil bixo, nonrr solução u b o mnor mpo T pr qu u. Nos sbmos do Exmplo qu solução grl é Usndo s ondiçõs iniiis, obmos Assim sin os u,,, sin os u

53 Cpíulo.4: Exmplo 4: Pr b Enonrr o mnor mpo T pr qu u. A solução é u os sin Com jud d rprsnção gráfi d um luldor ou ompudor, nós nonrmos T.79. Vj gráfio bixo.

54 Cpíulo.5: Rizs Rpids; Rdução d Ordm Lmbrndo qu um EDO d nd ordr linr homognous b ond, b são onsns ris. Usndo s soluçõs xponniis vind d qução rrísi: r r br A fórmul qudrái nos dá dus soluçõs, r r : b ± r b 4 Ond b 4, r r -b, ssim s méodo só forn um solução: b

55 Cpíulo.5: Sgund Solução: For d Muliplição v Nos sbmos qu s Só qu são linrmn dpndn, vmos gnrlizr s proximção muliplir por um função v, drminr ondiçõs pr qu sj um solução: Enão é um solução mbém é um solução b b v fç é um solução b b b b b b b v b v b v b v v b v v 4

56 Cpíulo.5: Enonrndo o For d Muliplição v Subsiuindo s drivds n EDO, hgmos n fórmul pr v: b k k v v v b v v b v v b b v v b b v v v b bv v b bv v v v b v b v b v b v b

57 Cpíulo.5: Solução Grl Pr nonrr noss solução grl, nós mos: Assim solução grl pr rízs rpids é b b b b b b k k k v k k 4 b b

58 Cpíulo.5: Wronskino A solução Grl é Assim d solução é um ombinção linr d O Wronskino ds dus soluçõs é Assim formm o onjuno fundmnl ds soluçõs. b b b b, b b b b W b b b b b b b odo pr,

59 Cpíulo.5: Exmplo Considr o PVI Usndo s soluçõs xponniis vind d qução rrísi: Porno solução grl é Usndo s ondiçõs iniiis: Assim,, r r r r r,

60 Considr o PVI Cpíulo.5: Exmplo,.5, Usndo s soluçõs xponniis vind d qução rrísi: r r r.5 r r Porno solução grl é Usndo s ondiçõs iniiis: Assim,

61 Considr o PVI Cpíulo.5: Exmplo Usndo s soluçõs xponniis vind d qução rrísi: Porno solução grl é Usndo s ondiçõs iniiis: Assim,.5, r r r.5 r r,

62 Cpíulo.5: Rdução d Ordm O méodo usdo ns sção mbém é uilizdo pr quçõs om ofiins não onsns: Iso é, ddo um solução, fç v : Subsiuindo iso n EDO grupndo rmos, Como é um solução d EDO, s úlim qução s rduz m um qução d ordm m v : q p v v v v v v v q p v p v v p v

63 Cpíulo.5: Exmplo 4: Rdução d Ordm Ddo qução d ofiin vriávis um solução, usndo o méodo d rdução d ordm pr nonrr um sgund solução: Subsiuindo iso n EDO grupndo rmos,, ;, > v v v v v v o, v u nd u u v v v v v v v v v v v v v v

64 Cpíulo.5: Exmplo 4: Enonrndo v Rsolvndo u u, u v pr u, nos podmos usr o méodo d sprção d vriávis: du d u u C du u u d, dsd ln u qu > ln. C Assim porno v v ln k

65 Cpíulo.5: Nos mos v ln k Exmplo 4: Solução Grl Assim ln k ln k Lmbrndo porno nós podmos onluir o sgundo rmo ln. Dqui solução grl d qução difrnil é ln

66 Cpíulo.5: Csos Espiis d Rdução d Ordm EDO d ordm ond fl Vriávl Dpndn. A subsiuição é v v n EDO d ordm, lv '' f v ' f, v um EDO d ordm ns vriávis v dpndn indpndn. EDO d ordm ond fl Vriávl Indpndn. '' f, A subsiuição n EDO d ordm é v dv v f, v d dv dv v ' v '' d d, ', lv um EDO d ordm ns vriávis v dpndn indpndn. Exmplos: " " ' ', > b " d " ' ', > '

67 Cpíulo.6: Equçõs Não Homogêns Méodo dos Cofiins Indrmindos Um qução não homogên é dd por p q g ond p, q, g são funçõs onínus m um inrvlo bro I. A qução homogên ssoid é p q Ns sção nós prndrmos o méodo dos ofiins indrmindos pr rsolvr qução não homogên, pr isso é nssário sbr s soluçõs d qução homogên.

68 Cpíulo.6: Torm.6. S Y, Y são s soluçõs d qução não homogên p q g não Y - Y é um solução d qução homogên p q S, formm um onjuno fundmnl d soluçõs d qução homogên, não xism onsn, l qu Y Y

69 Cpíulo.6: Torm.6. Solução Grl A solução grl d qução não homogên p q g pod sr sri n form Y ond, formm o onjuno fundmnl d soluçõs d qução homogên,, são onsns rbirris Y é um solução priulr d qução não homogên. p q p q Y p Y q Y g

70 Cpíulo.6: Méodo dos Cofiins Indrmindos Lmbrndo um qução não homogên é dd por p q g om solução grl Y Ns sção usrmos o méodo dos ofiins indrmindos pr nonrr um solução priulr Y pr qução não homogên, ssumindo qu podmos nonrr soluçõs, pr o so homogênio. O méodo dos ofiins indrmindos é usulmn limido pr qundo p q são onsns, g é um função polinomil, xponnil, sno ou osno.

71 Cpíulo.6: Exmplo : g, Exponnil Considr qução não homogên 4 Nós prourmos Y qu sisfç s qução. Sbndo qu s xponniis s rpm om difrnição, é um bom pono d prid pr Y supormos um função xponnil: Y A Y A, Y 4A Subsiuindo l sus drivds n qução, 4A 6A 6A 4A Assim um solução priulr pr EDO não homogên é Y A

72 Cpíulo.6: Exmplo : g, sno Considr qução não homogên 4 sn Nós prourmos Y qu sisfç s qução. Sbndo qu snos s rp o longo ds drivds, é um bom pono d prid pr Y: Y Asn Y Aos, Y Subsiuindo l sus drivds n qução, Asn 5A Aos sn 4Asn Aos Asn sn os Sbndo qu snx osx são LI não são múliplos um do ouro, nos riomos, ssim 5A A, o qu é impossívl. sn

73 Cpíulo.6: Exmplo : g, sno 4 sn Noss niv gor pr Y é Y Asn B os Y Aos B sn, Y Asn B os Subsiuindo l sus drivds n EDO, obmos Asn B os Aos Bsn 4 Asn B os 5A B sn A 5B os sn 5A B, A 5B A 5 7, B 7 sn Porno solução priulr pr EDO não homogên é 5 Y sn 7 7 os

74 Cpíulo.6: Exmplo : g, Polinomil Considr qução não homogên Prourmos Y qu sisfç qução. Vmos omçr om Subsiuindo l sus drivds n EDO, obmos, Porno solução priulr pr EDO não homogên é 4 4 A Y B A Y C B A Y, 8,, 4, 4 6 4, C B A C B A B A A C B A B A A C B A B A A 8 Y

75 Cpíulo.6: Exmplo 4: g, Produo Considr qução não homogên 4 8 os Prourmos Y qu sisfç qução, omo sgu: Y Y Y A A os os B A sn sn B os A B os A B sn A B os A B sn A B A B os A 4B os 4A B sn Subsiuindo n EDO rsolvndo pr A B: A, B Y B sn os sn sn

76 Cpíulo.6: Disussão: g, Som Considr gor qução não homogên Suponh qu g é som d funçõs: S Y, Y são soluçõs d rspivmn, não Y Y é um solução d qução não homogên im. g q p g g g g q p g q p

77 Cpíulo.6: Considr qução 4 Exmplo 5: Som g sin Nosss quçõs pr rsolvr individulmn são 4 4 sin 4 8 os A solução priulr é não 8 os Y 7 os 5 7 sin os sin

78 Cpíulo.6: Exmplo 6: Considr qução 4 os Prourmos Y qu sisfç qução. Comçmos om Y Asn B os Y Aos B sn, Subsiuindo n EDO : Y 4Asn 4B os 4 Asn B os 4A 4A sn 4B 4B os 4Asn 4B os os Porno não xis solução priulr d form Y Asn B os os os

79 Cpíulo.6: Exmplo 6: Solução Homogên Como não xis solução priulr d form Y Asn B os Pr judr omprndr porqu isso oorru, vmos rordr qu solução homogên orrspondn vis n sção.4: os sin 4 Assim noss supos solução priulr rsolv qução homogên 4 m vz d qução não homogên. 4 os

80 Cpíulo.6: Exmplo 6: Solução Priulr Noss próxim niv pr nonrr um Y é: 4 os Y A sn B os Y Asn A os B os B sn Y Aos Aos 4A sn Bsn B sn 4B os 4Aos 4Bsn 4A sn 4B os Subsiuindo n EDO, 4Aos A Y 4, 4Bsn B sn 4 os

81 Cpíulo.6: Tbl: A solução Priulr d b g i ] sn... os... [ os sn B B B A A A P A A A P A A A P Y g n n n n s n n n s n n n s n n n i i β β β β α α α α α Obs.: Aqui, s dno o mnor iniro não-ngivo s, ou qu grn qu nnhum prl d Y i sj solução d qução homogên orrspondn.

82 Cpíulo.7: Vrição dos Prâmros Um qução não homogên é dd por p q g ond p, q, g são funçõs onínus m um inrvlo bro I. A qução homogên ssoid é p q Ns sção nós prndrmos o méodo d vrição dos prâmros pr rsolvr qução não homogên. Como no méodo dos ofiins indrmindos, s prodimno rqur o onhimno ds soluçõs d qução homogên. Vrição dos prâmros é um méodo grl, não rqur nnhum suposição dlhd sobr form d solução. Enrno, drminds ingris nssim sr vlids, ss pod prsnr difiuldds.

83 Cpíulo.7: Exmplo: Vrição dos Prâmros Nós prourmos um solução priulr pr qução bixo. 4 s Nós não podmos usr o méodo d ofiins indrmindos um vz qu g é um quoin d sn ou os, m vz d um som ou d um produo. Lmbrndo qu solução d EDO homogêni ssoid é h os sn Pr nonrr um solução priulr pr qução não homogên, nós omçmos om o formul u os u sn Enão u os u sn u sn u os ou u sn u os u os u sn

84 Cpíulo.7: Exmplo: Drivds, Equção D rsuldos nriors, u sn u os u os u sn No qu nós nssimos d dus quçõs pr nonrr u u. A primir qução é qução difrnil. Pr um sgund qução, om u os u sn Enão u sn u os Sgu, u sn 4u os u os 4u sn

85 Cpíulo.7: Exmplo: Dus quçõs Lmbrndo qu noss qução difrnil é Subsiuindo '' n qução, obmos u sn 4u os u os 4 u os u sn s Es qução simplifid fi u sn u os 4u sn Assim, pr rsolvr u u, nos mos dus quçõs: u sn u os 4 u s os u sn s s

86 Cpíulo.7: Exmplo: Rsolvndo o u ' Pr nonrr u u, nssimos rsolvr s quçõs D sgund qução, Subsiuindo s vlor n primir qução, u u sn os [ ] u u u u u u os sn os sn os sn sn s os sn s os sn os sn sn os s os sn u u u u

87 Cpíulo.7: Exmplo : Rsolvndo pr u u D rsuldos nriors, Enão Assim u sn s sn sn sn sn sn os sn sn os sn os os os o ln s sn s sn os d d u u d d u u u u u sn os, os

88 Cpíulo.7: Exmplo: Solução Grl Lmbrndo noss qução solução homogên C : s, h os sin Usndo s xprssõs pr u u vis nriormn, solução grl pr qução difrnil é u 4 os u sn os [ os sn sn os ] [ sn os sn os ] sn ln s sn ln s h o sn o sn ln s os os sn o sn ln s o sn sn h h h

89 Cpíulo.7: Rsumo Suponh qu, são soluçõs fundmnis pr qução homogên ssoid om qução não homogên im, ond no-s qu o ofiin m '' é. Pr nonrr u u, nssimos rsolvr qução Fzndo ssim, usndo o Wronskino, nós obmos Assim g u u u u u u g q p,,, W g u W g u,,, d W g u d W g u

90 Cpíulo.7: Torm.7. Considr qução S s funçõs p, q g são onínus no inrvlo bro I, s são soluçõs fundmnis pr Eq., não um solução priulr d Eq. é um solução grl é d W g d W g Y,, Y q p g q p