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1 Exm d Fotónic Docnt rsponsávl: Prof Crlos Piv Ano Lctivo: 6/7 Exm d d Junho d 7 ª DATA An xprt is somon who hs md ll th mistks Hns Albrcht Bth No problm vricionl d brquistócron dtrmin rlção min rct pr L H É ncssário rsolvr m ordm Θ s quçõs L Θ sin Θ H cos Θ supondo qu L H são conhcidos Rsolvndo mbs s quçõs m ordm igulndo, obtém-s L H f ( Θ ) L cos( Θ) H Θ sin( Θ ) Θ sin Θ cos Θ Pr L H solução é Θ Dqui s infr qu Ms ntão min rct Θ g g min ( L + H ) rct + ( 4 + 8) 4 8 gh g 9646 Os procssos d intrcção ntr fotõs átomos num cvidd óptic provocm flutuçõs no númro d fotõs m cd modo d oscilção Sndo n o númro médio d fotõs à tmprtur bsolut T, dtrmin probbilidd P( n 8) d distribuição d Plnck Pr T K dtrmin, ind, o comprimnto d ond λ pr o qul s tm n

2 Crlos R Piv A distribuição d Plnck fornc probbilidd P n n n n+ ( + n ) Pr n n 8, obtém-s P 44 Por outro ldo, tm-s hc n λ ω kt B xp ln + kt B n Pr T K n, obtém-s λ 59mm Not: Tm-s 8 c m/s, h Js k B 865 J/K Um fix gussino d comprimnto d ond λ 6µm (mitido por um lsr d CO ) prsnt lrgurs w 699mm w 8mm m dois pontos sprdos por um distânci d cm Dtrmin cintur w do fix gussino Pr rsolvr st problm são pns ncssáris s xprssõs w z z z w z w + + z w z kw w λz λ w Assim, vm sucssivmnt, fzndo z z+ d, w λ z z λ z z z z w w z w z 8555m

3 Exm d Fotónic ( w w ) ( z + d) z d( z + d) ( ) w w z z w w z z + d w z z z λ d α 54 λ d f z α z z z d α z z + d A solução pr z obtém-s ncontrndo riz d f z Vm ntão z 857 mm Dqui s tir qu cintur do fix é w mm Not-s qu vm, tmbém, z cm z cm 4 Considr o problm quântico d um prtícul num cix (unidimnsionl) Admit qu o stdo quântico inicil ψ ( x) é o rprsntdo n Fig Dtrmin constnt A m A ψ ( x) trmos d lrgur d cix clcul probbilidd d um mdid d nrgi dr o vlor próprio E m Sugstão: x sin ( x ) dx sin ( x ) x cos( x ) Figur x Comcmos por notr qu ψ ( x) x A, < x< x A, < x< sndo ψ ( x) pr x < pr x > Pr normlizr função d ond é ncssário tr-s x x ψ ( x) dx A dx A dx + d form qu x x x A + A x+ A A Prtnd-s clculr o coficint c

4 4 Crlos R Piv x c u ( x) ψ ( x) dx ( x) sin dx ψ 4 x x x x sin dx sin dx + 4 x y ysin ( y) dy zsin ( z) dz + x 4 z ysin ( y) dy 4 A probbilidd dsjd é ntão 96 p c 986 % 4 4 sin cos ( y) y ( y) 5 Mostr qu num fibr óptic monomodl, oprd m rgim linr, o produto B L é constnt dsd qu L LD C Admit qu B 4σ Clcul ss produto m ( Gb/s) km Considr: 6 C ; ps ; β ps / km ; lsrs smicondutors monomodis (i, com V ) β ps / km Suponh β L βl β L 4 σ V + C C σ σ σ σ L D σ β L β L L ( + C ) + ( + C ) C βc σ σ 4σ σ 4B 4 8 β ( C ) β ( C ) BL σ BL BL 9 Gb/s km 8β ( + C ) + β ( + C )

5 Exm d Fotónic 5 6 N propgção d impulsos num fibr óptic m rgim não-linr é usul dfinir o prâmtro N LD LNL Expliqu fisicmnt rzão pl qul o solitão fundmntl corrspond N Pr ps, β ps km γ W km (fibrs d disprsão modificd), clcul: (i) potênci d pico P do solitão fundmntl; (ii) corrspondnt potênci médi P s do sistm RZ pr um débito binário B Gb/s Qul dv sr vrição longitudinl do coficint β d DVG pr qu o solitão fundmntl s propgu sm prturbção qundo xistm prds? Justifiqu fisicmnt su rspost Um solitão fundmntl é um impulso qu rsult do quilíbrio prfito ntr s cçõs ntgónics d disprsão d vlocidd d grupo (fito linr) d uto-modulção d fs (fito não-linr) Ess quilíbrio prfito trduz-s n qução LD LNL qu corrspond β β γ γp P A potênci d pico P do solitão fundmntl é β P 5mW γ Por outro ldo B q 5 q B A potênci médi do sistm RZ (rturn to zro) é, considrndo os dois símbolos ( ) quiprovávis, P Ps E s( B ) ( P ) 5mW 4q q Qundo xistm prds tm-s P( z) P( ) xp( α z) tr-s β ( z) β ( α z), d modo qu xp ( ) ( ) β γ constnt P Logo, pr qu γ constnt, dvrá

6 6 Crlos R Piv 7 Mostr qu, no âmbito d álgbr gométric bc,, com C, s tm ( ) b c b c m qu Expliqu por qu rzão é qu não xist mbiguidd n scrit do produto misto b c sm rcorrr quisqur prêntsis Intrprt gomtricmnt o produto misto Pr +, b c +, clcul: b c; (ii) ( b c) ; (iii) bc; (iv) xp( b ) ; (v) xp( ) (i) b b c ( b c) b c + b c b c b c b c Não xist mbiguidd n scrit d b c porqu st xprssão só fz sntido s intrprtd n form ( b c ); xprssão ( b) c crc d significdo A intrprtção gométric é do volum do prllpípdo grdo plos três vctors,, bc b b c volum do prllpípdo b c b c b c 4 b c 4 b c 4 b

7 Exm d Fotónic 7 b c + 4 b c 4 ( ) ( ) ( ) 4 b c b c c b c b ( ) 4 bc b c b+ b c + c ( b) + xp cosh sinh ( b) ( ) + xp xp cos sin 8 Num cristl bixil tm-s ε, ε 5 ε 4 Dtrmin o ângulo φ ntr os ixos ˆd ˆd d função diléctric ( E) D o ângulo θ ntr os dois ixos ópticos ĉ ĉ do cristl Qul é rzão ntr s constnts d propgção ds dus onds crctrístics qundo s considr qu dircção d propgção é kˆ c ˆ? Justifiqu fisicmnt su rspost ε ε + ε cos( φ) φ 6 ε ε η 5 ε η η + η η ( θ) θ ε η η 4 cos η 5 ε θ ε φ ε φ ε ε tn tn tn θ tn Como kˆ c ˆ corrspond à propgção o longo d um ixo óptico infr-s qu s dus constnts d propgção ds dus onds crctrístics dvm sr iguis

8 8 Crlos R Piv 9 Num cristl bixil com ε 5ε ε ε dmit qu, no rfrncil dos ixos diléctricos principis, s considr dircção ˆ sin ( Θ) cos( Φ ) + sin ( Φ ) + cos( Θ) Θ9 u Φ s Pr clcul o ângulo δ do multivctor u ED xp( δ Bˆ ) B ˆ sin ( δ ) Qul é o significdo físico d δ? Dtrmin os prs (, ) ED DE Justifiqu fisicmnt su rspost Not qu ΘΦ pr os quis Fçmos ζ ε ε κ ε ε Vm sucssivmnt ( sˆ) ( sˆ) ε sˆ sˆ D sˆ sˆ s+ s+ s cos( δ ) D D D ( sˆ ) ε s + ε s + ε s ε ( s + ζ s + κζ s ) ( sˆ ) ε ( s ζ s κ ζ s) D + + ( sˆ) sˆ D ( sˆ) ( s + s + s ) ( s + s + s ) ε ε ζ κζ ( s ˆ) ( s s s) ε ε + ζ + κζ cos ( δ ) s + ζ s + κζ s s + ζ s + κ ζ s Pr Θ 9 é s vm simplsmnt δ cos cos cos ( Φ ) + ζ sin ( Φ) ( Φ ) + ζ sin ( Φ) Pr Φ ζ 5 obtém-s ntão ( ED) δ, δ 4 Est é o ângulo qu, m grl, xist ntr o cmpo léctrico E o dslocmnto léctrico D num mio nisotrópico Só o longo dos ixos diléctricos principis é qu, msmo num mio nisotrópico, s tm δ Qundo δ é u ED ED plo qu u u, i, ED DE Assim, ED DE qundo δ ; ou sj, st condição vrific-s nos três csos sguints: (i) Θ 9 Φ ; (ii) Θ 9 Φ 9 ; (iii) Θ Φ qulqur

9 Exm d Fotónic 9 x θ i θ r θ Figur ĉ z Um ond pln monocromátic incid n intrfc x d Fig provnint do r ( x > ) O mio qu prnch rgião x < é um cristl unixil positivo com ε 4 ε Dtrmin o ângulo θ d ond xtrordinári Suponh qu o ixo óptico é cˆ qu o ângulo d incidênci é θ i Pls condiçõs frontir dvrá tr-s ( i ) n k ( i ) β k sin θ sin θ n ( θ ) β k sin θ θ sin θ sin θ Por outro ldo o vctor k d ond xtrordinári é tl qu k ε ε εε k n ( θ ) ε ε ( kˆ) ( kˆ) Logo, igulndo s dus xprssõs pr εε ε ( kˆ ) sin sin ( θi ) ( θ ) n θ, obtém-s qu dv sr rsolvid m ordm θ Agor, notndo qu s tm ( kˆ) kˆ D( kˆ) ( ˆ ˆ + c k) + ( ) sin ( ) sin ( ) + cos ( ) ε ε ε ε ε ε ε θ ε θ ε θ infr-s qu εε sin θi ε sin θ + ε cos θ sin θ Fzndo x sin ( θ ), vm ntão sin εε sin θi ε θi x ε x+ ε x x εε ε ε sin θ θ x sin 9995 ( i )

10 Crlos R Piv Anxo Problm do xm Cotção () Problm Problm Problm 5 Problm 4 Problm 5 Problm 6 Problm 7 5 Problm 8 5 Problm 9 5 Problm