Análise de Sistemas Contínuos por Transformada de Laplace

Transcrição

1 ES 4 Análi d Sim Conínuo por Trnformd d Lplc Prof. Aluizio Fuo Riiro Arújo Dpo. of Sim d Compução Cnro d Informáic - UFPE Cpíulo 4

2 Inrodução Conúdo A Trnformd d Lplc A Trnformd Invr Propridd d Trnformd d Lplc Solução d Equçõ Difrncii Ingro-difrncii Digrm d Bloco Rlizção d Sim -

3 Dfiniçõ Trnformd d Lplc i Dcompõ- o inl f m ini ponncii complo d form p ond é um vriávl compl frqüênci compl do inl. Ddo um inl, rnformd ilrl d Lplc é: A rnformd ilrl invr d Lplc é dfinid como: c j d πj c j, ond c é um conn qu gur convrgênci d ingrl; é um inl no domínio do mpo; é um inl no domínio d frqüênci. -

4 Orvçõ Trnformd d Lplc ii Simolicmn, m- qu: L[ ] L [ ], logo pod - infrir L { L[ ]} L{ L [ ]} O pr d rnformd d Lplc pod mém r indicdo por: E rnformd, chmd d ilrl ou doi-ldo pod rr d ini qu im m odo inrvlo d mpo, io é, ini cui ou não-cui. A Trnformd Unilrl ou d um ldo d Lplc, r dfinid poriormn, ó conidr ini cui. -4

5 - Trnformd d Lplc iii Crcríic Linridd oprdor: Rgião d convrgênci ROC: A rgião d convrgênci ou rgião d iênci d é o conjuno d vlor d pr o qui i ingrl qu dfin rnformd d Lplc. ] [ ] [ Prov não ; pr Sjm o L

6 Trnformd d Lplc iv Emplo: Drmin u Por dfinição R > lim R < Logo R > ou u R > A rgião d convrgênci d é R >. rgião d convrgênci pr u, como u, u <, não -6

7 Emplo: Trnformd d Lplc v -7

8 Orvçõ Trnformd d Lplc vi Rgião d convrgênci pr ini d durção fini: E inl é crcrizdo como iindo pn no inrvlo [, ]. Pr um inl d durção fini qu j olumn ingrávl, ROC é odo o plno. Io ocorr poi ponncil d dfinição d Trnformd d Lplc é fini, um vz qu é ingrd no inrvlo finio d iênci do inl. Ppl d ROC: Rqurido pr vlir Trnformd Invr d Lplc. A oprção pr chr l Trnformd rqur ingrção no plno complo. O cminho d ingrção dv r no ROC ou iênci pr. -8

9 Trnformd d Lplc vii Trnformd Unilrl d Lplc Trnformd n qul odo ini ão rringido rm cui. É um co pcil d Trnformd ilrl. El é ncári pr qu i corrpondênci um-pr-um, nr, qundo não m pcificdo o ROC como ilurdo no mplo nrior. O limi d ingrção pm r zro infinio. Trnformd Unilrl d Lplc d um inl : O limi infrior gur incluão d rpo o impulo prmi o uo d condiçõ inicii no inn do limi infrior pr olucionr quçõ difrncii mprgndo Trnformd d Lplc. -9

10 Trnformd d Lplc viii Trnformd Unilrl d Lplc Em princípio não há difrnç nr Trnformd d Lplc Unilrl Bilrl. A Trnformd Unilrl é Trnformd Bilrl qu lid com ucl d ini qu im prir d. A prão pr Trnformd Invr prmnc inlrd m mo o co. Eiênci d Trnformd Unilrl d Lplc: logo ingrl convrg [ σ ] jω, σ ond < jω -

11 Trnformd d Lplc i Emplo: Drmin Trnformd d Lplc guir δ ; u ; c coω u. uou - c L L L [ δ ] [ ] L u Lmr- qu [ ] [ jω jω coω u L u u ] δ propridd d morgm u coω ω [ jω jω ] [ coω u ], R ± jω R >, u φ δ - u, jω φ, R > logo jω -

12 - A Trnformd Invr i Drminção d Trnformd Invr Buc- prr como o omório d funçõ mi impl qu podm r nconrd m l Logo, d Invr Emplo :Enconr Trnform d u k k k k

13 - A Trnformd Invr ii Drminção d Trnformd Invr 7 7 Logo, 8 7. ond função imprópri é um ond d Invr Emplo : Enconr Trnform d u k k k k N M δ

14 -4 A Trnformd Invr iii Drminção d Trnformd Invr ] 6.9 co [6 6 Logo, 4 4 polr m form 4, d Invr Emplo : Enconr Trnform d 4 / n 4/ n 4 / n 4 / n * * u j j j j k j j j j j k j j k j k j k k j j j j j j j

15 Propridd d Trnformd d Lplc i Moivção: S Úi pr nconrr Trnformd d Lplc pr rminr oluçõ d quçõ Ingro-difrncii. Dlocmno no Tmpo:, não pr E propridd pod r lrnivmn u Dlocmno n Frqüênci: Propridd d Difrncição no Tmpo d, não, n n d nk k n n, não, m - u, não k pr m grl como, : -.

16 -6 Propridd d Trnformd d Lplc ii Propridd d Ingrção no Tmpo: Eclonmno: Convolução no Tmpo Convolução n Frqüênci d d d, não, τ τ τ τ τ τ não, [ ] frqüênci n Convolução mpo no Convolução. Conidr j π

17 Propridd d Trnformd d Lplc iii Adição Muliplicção Eclr Adição Muliplicção por clr Propridd d Difrncição n Frqüênci: d, não d Propridd d Ingrção n Frqüênci:, não τ dτ Vlor Inicil Trorm do vlor inicil :S u d / êmtrnform d d Lplc, não Vlor finl Trorm do vlor finl :S k lim d Lplc, não lim lim k u,, co ou no io imginário. dd d / qu não hj olimi i. êm Trnform d pólo no RHP -7

18 -8 Propridd d Trnformd d Lplc iv Emplo 6 lim lim lim lim lim lim qu Aim m - : ddo por pr d fini vlor inicii o Drmin y y y

19 Soluçõ d Equçõ i Soluçõ d Equçõ Ingro-difrncii A rnformd d Lplc uiui quçõ difrncii por quçõ lgéric n rolução do im dinâmico guindo oprçõ: Onção d quçõ difrncii; Onção d rnformd d Lplc difrncii; d quçõ Rolução d quçõ lgéric pr vriávi d inr; Onção d rnformd invr d Lplc d olução nconrd. -9

20 Soluçõ d Equçõ ii Equçõ Difrncii Rolv- quçõ difrncii com coficin conn. Lmr- qu Trnformd d Lplc d um qução difrncil é um qução lgéric. Emplo: Rolv EDlinr d gund com condiçõ y d y ; inicii dy y y y& ordm: y y& D D 6 y d y dy d R -crvndo prão : 6y Pl propridd d Trnform d d Lplc m - :, nrd D 4 u -

21 - Soluçõ d Equçõ iii Emplo coninução: [ ] [ ] Logo : 4 / / m - : Aim, 4 ; 4 d Trnform d d Lplc m - : pl propridd Aind 4 4 u y k k k d y dy y d d u

22 Soluçõ d Equçõ iv Componn d Enrd Zro Edo Zro d Rpo: No mplo nrior, componnnrd m - zro qu : 4 componndo 7 / / 4 4 y 7 u u 4444 rpo nrd zro zro rpodo 6 zro 44 cond.inicii { 4 nrd -

23 Soluçõ d Equçõ v Comnário or Condiçõ Inicii: A condiçõ inicii m zro mno ão ifi pl rpo d nrd zro, não pl rpo ol. A rpo ol ifz condiçõ inicii no mpo zro mi, condiçõ, m grl, diin dqul m zro mno. -

24 Soluçõ d Equçõ vi Emplo: N figur io, chv é fchd por um longo príodo n do mpo, qundo l é r innnmn. Drmin corrn no induor y, pr. -4

25 Soluçõ d Equçõ vii Emplo coninução: Condiçõ dy Pr y y y τ dτ Aim,, m - qu y Com chv r, qução do lço é : inicii : y τ dτ não y τ dτ Pr corrn no cpcior : ; y τ dτ v C u dy y τ dτ nrd y q C Cv u C -

26 -6 Soluçõ d Equçõ viii Emplo coninução: 6.6 co Concluindo : / n ; ; 4 / ; n ; ond, co : Invr Trnform d / d Lplc d qução d lço : rnformd Enconrndo u y r c c A B A c AB B c A r c B A u r u d y y dy θ θ θ τ τ

27 Soluçõ d Equçõ i Emplo coninução: -7

28 D N Pr y D N D N D rpo Rpo d Edo Zro i Eprão Grl d um Sim LTIC Sj o im LTIC d ordm N : Q D y N N K D N d do zro, o im N dy d y d y K Além dio, nrd é cul, io é, N d d d d K N Aim, m - rnformd d Lplc u, K, N D y N é inicilmn rldo, io é, y N k d k k P D d N y N ou, N N drivção no mpo -8

29 Rpo d Edo Zro ii Eprão Grl d um Sim LTIC Logo, N Trnform d d Lplc pr o im N N N K N N N N K K N N LTIC é : E é função d rnfrênci d qução difrncil qui d. Inrprção Inuiiv d Trnformd d Lplc N N Pod- prr qu odo o ini d uilidd práic como um omório d ponncii incn or um inrvlo conínuo d frqüênci. Como é um frqüênci compl d p, por io, o méodo com Trnformd d Lplc é chmdo d méodo do domínio d frqüênci. N N K N H N -9

30 - Rpo d Edo Zro iii Emplo: finlmn, Aim, 6 é im íd ] [ mém, 6 por conqüênc i, 6 nrd inicii : Condiçõ 6 LTIC: do im rpo Ach u y H u L Q P H D y D D u y y d y dy y d D P D Q &

31 - Rpo d Edo Zro iv Emplo: H d y H d y H T y T T T idl: Um ingrdor c Um difrncidor idl: : gundo d d Um rdor idl d rnfrênci funçõ Enconr τ τ

32 Eilidd i Criério d Eilidd Ainóico Pr P Q m for comun, o criério pod r pro m rmo d pólo d função d rnfrênci d um im: Um im LTIC é inoicmn ávl ó odo pólo impl ou rpido d função d rnfrênci H ão no miplno qurdo pr rl ngiv. Um im LTIC é inávl ó um d du condiçõ for vrdd: i o mno um pólo d H nconr- no miplno dirio; ii houvr pólo rpido d H or o io imginário. Um im LTIC é mrginlmn ávl ó não houvr pólo d H no miplno dirio houvr pólo nãorpido or o io imginário. A loclizção do pólo d H dnro d um mmo mi-plno não influnci n ilidd d um im. -

33 Inrodução Digrm d Bloco i Um im grnd pod r formdo por númro norm d componn i como ocorr no digrm d um circuio d rádio ou um rcpor d lvião. Pod-, não, rolvr prolm rvé do mprgo d uim inrconcdo qu podm r crcrizdo m rmo d rlçõ nrdíd. Em priculr, um im linr pod r crcrizdo por u função d rnfrênci H. O uim podm r inrconcdo m cc, prllo por rlimnção. A função d rnfrênci rlcion vriávi conrold com conroldor, rprnndo rlção cu-fio d mnir qumáic rvé d digrm d loco. E digrm é dfinido como um loco oprcionl unidircionl qu rprn função d rnfrênci d vriávi d inr. -

34 Emplo: Digrm d Bloco ii -4

35 - Digrm d Bloco iii Emplo: Sim mulivriávi R R G G G G R R G G G G

36 -6 Digrm d Bloco iv Emplo: Função d rnfrênci d um im d mlh fchd. G R H E B [ ] [ ] digrm. pr d rduçõ d écnic rvé ouro mi impl d loco pod r rduzido Um digrm não, como, qu Tm - H G G R R G H G H G R G H R G E G H R B R E

37 Digrm d Bloco v Emplo: Rovr d Mr ojournr, limndo por nrgi olr. -7

38 Digrm d Bloco vi Emplo: Sim d conrol pr o rovr: mlh r m rlimnção; mlh fchd com rlimnção. MASTER 47 R Conrollr K 4 D Rovr Vhicl poiion D R r, K Rovr Vhicl poiion Figur 4. Conrol ym for rovr; opn-loop wihou fdck nd clod-loop wih fdck. Th inpu i R /. Copyrigh 998 yaddionwlylongmn. All righrrvd. -8

39 Inrodução Rlizção d Sim i Méodo imáico d rlizção ou implmnção d um função d rnfrênci rirári. A rlizção crcriz- por: Coniuir- m um prolm d ín; Eiir, m grl, mi d um mnir d ocorrr; Emprgr ingrdor, difrncidor, diciondor muliplicdor. O prolm d rlizção ud como nconrr um rprnção por vriávi d do d um im LTI prir d um função d rnfrênci. -9

40 -4 Rlizção d Sim ii Rlizção: Form Dir I DFI Inicilmn rá poo um co priculr: rlizção d um im d rcir ordm: loco invrid. do poiçõ com conão m cc um opção nrior é quivln propridd comuiv, d Por cu. d por conão m cc rlizr Pod -. H H H H H H H

41 -4 Rlizção d Sim iii Rlizção: DFI E im é dcrio pl quçõ: W W W H H H H

42 Rlizção d Sim iv Rlizção: DFI W -4

43 Rlizção d Sim v Rlizção: DFI N W N Sim d ordm N: No qu é ncário N ingrdor pr rlizr l im. N ipo d rlizção, primiro rliz- H dpoi H. N N -4

44 -44 Rlizção d Sim vi Rlizção: Form Dir II DFII Inicilmn rliz- H dpoi H. Com rpio o co nrior, ordm do loco é invrid. Pr o im nrior d rcir ordm, m-: A mm iução é ndid pr um im d ordm N.. H H H

45 Rlizção d Sim vii Rlizçõ Cc Prll: Um função d rnfrênci H pod r pr como um produo d funçõ d rnfrênci ou como um om: H lrnivmn, m - qu H H H 4 Do pono d vi práico, form prll lgum cc prfrívi pqun à form dir vriçõ d prâmro poi qul odo coficin inrgm nri. no im H ndm r mno um. H vz qu no ão nívi úlimo co, -4

46 Rlizção d Sim viii Rlizçõ Cc Prll: Rlizçõ d função nrior:

47 Ercício Rcomnddo Propoo pr o MATLAB ou SCILAB Todo Prolm 4.- é , 4.- é é 4.-, 4.- é 4.-9, é é