DEDUÇÃO DAS QUANTIDADES GAUSSIANAS FUNDAMENTAIS A PARTIR DA PARAMETRIZAÇÃO DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO

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1 II Simpósio Brsiliro d Gomátic Prsidnt Prudnt - SP 4-7 d julho d 007 V Colóquio Brsiliro d Ciêncis Godésics ISS p DEDUÇÃO DAS QUATIDADES GAUSSIAAS FUDAMETAIS A PARTIR DA PARAMETRIAÇÃO DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO CARLOS HERIQUE OLIVEIRA DA ROCA FURAS Cntris Elétrics SA Dirtori d Engnhri DE Suprintndênci d Engnhri SE Dprtmnto d Engnhri Civil DEC.E Divisão d Gotcni Sgurnç d Brrgns DGSB.E Ru Rl Grndz 9 Bloco A Sl 50 CEP crlosho@furns.com.br RESUMO - Um importnt tp no prndizdo d qulqur disciplin é cpcidd d o luno prndr os concitos qu nortim qul disciplin lvndo su cpcidd cognitiv. Dntro dst prcito o prt trblho trt d ddução ds Quntidds Gussins Fundmntis ou Quntidds Gussins d Primir Espéci pr suprfíci lipsoidl. Tis ntidds mtmátics dfinm s propridds intrínscs d um suprfíci. Prtnd-s dst fit qu os lunos sjm incntivdos tntr provr por si msmos s quçõs com qu lidm com isso tornrm-s sbdors d ciênci qu studm. ABSTRACT - An importnt stg for lrning ny disciplin it is th studnts cpcity to show th qutions tht ldrs tht disciplin growing up thir cpcity to thinking. Insid of this objctiv this ppr shows on of th mthmticl wy to find out th Gussin Fundmntl Quntitis for th llipsoidl surfc. Ths mthmticl ntitis dfin th intrinsic propritis of surfc. This work ims tht studnts b ncourging to try by thmslvs to dduc th qutions tht thy dl with nd to bcm known of scinc tht thy study. ITRODUÇÃO As propridds gométrics d um suprfíci são d fundmntl importânci à comprnsão à utilizção d dtrmindos concitos. A vivênci do studnt d Godési com dduçõs ds quçõs nortdors dst ciênci grnt fixção d concitos não pns mmorizção. Dntro dst prmiss rsolvu-s scrvr st rtigo pr mostrr um ddução ds Quntidds Gussins Fundmntis d Primir Espéci visndo forncr os studnts um incntivo pr dduzir outrs formulçõs com qu vnhm ntrr m contto. Prtnd-s mostrr tmbém qu s dduçõs são cssívis qulqur studnt qu quir rlizá-ls. Vl lmbrr qu qundo form citds s Quntidds Gussins str-s-á rfrindo pns às quntidds d primir spéci m qu s bsim s propridds intrínscs d um suprfíci. Rsslt-s qu os litors stão livrs pr propor novs soluçõs novos cminhos srm trilhdos ns dmonstrçõs té msmo pr rfutr lgum psso qu porvntur tnh sido ml xcutdo. C.H.O. d Roch PARAMETRIAÇÃO DO ELIPSÓIDE A figur bixo ilustr gomtri do lipsóid dfin lguns prâmtros qu são prtinnts às dduçõs qu sguirão. Figur - Coordnds Godésics Elipsoidis dfinição do Sistm Crtsino.

2 II Simpósio Brsiliro d Gomátic Prsidnt Prudnt - SP 4-7 d julho d 007 V Colóquio Brsiliro d Ciêncis Godésics A qução crtsin do lipsóid d rvolução grdo pl rotção d um smi-lips m torno do su ixo mnor tm sguint form: Y b Figur Y são os ixos crtsinos é ltitud godésic é longitud godésic é o smi-ixo mior do lipsóid b é o smi-ixo mnor prtir do conhcimnto d d b pod-s dduzir outros prâmtros: b f b ond: f é o chtmnto é primir xcntricidd lvd o qudrdo. Figur rio d curvtur primiro vrticl é ddo pl sguint qução: 4 Pr o dcorrr dos trblhos é importnt conhcr qução do rio d curvtur mridino: M 5 Sguindo mrch pr ddução qu s propõ st rtigo fz-s ncssário utilizr outros prâmtros pr suprfíci lipsoidl. o cso do lipsóid d rvolução os prâmtros nturis srm utilizdos são s coordnds godésics curvilíns. D gomtri prtd pl Figur pod-s dduzir s quçõs prmétrics Y : 6 Y 7 8 ond - é qução d pqun norml rprtdo o sgmnto d rt qu un o trço d norml no qudor com o trço d norml no lipsóid os outros lmntos form dfinidos ntriormnt. Fz-s um convit os litors dduzir s quçõs cim. QUATIDADES GAUSSIAAS FUDAMETAIS As Quntidds Gussins Fundmntis dscrvm s propridds intrínscs d um suprfíci. Aos litors intrssdos m um studo mis complto rcomnd-s LEICK 004; HRADILEK HAMILTO 97; KRAKIWSKY 97. Sgundo LEICK 004 um distânci infinitsiml n suprfíci do lipsóid d rvolução tm sguint qução utilizndo como prâmtros : ond: ds Ed Gd Fdd 9 Y E 0 Y G Y Y F E F G são s Quntidds Gussins Fundmntis têm plicção imdit n dfinição ds propridds ds projçõs crtográfics como xmplo n dfinição do ftor d scl n condição d conformidd KRAKIWSKY 97.. Quntidds Gussins Fundmntis pr Suprfíci d Rfrênci Elipsoidl Tomndo por bs s quçõs d 6 8 d 0 pss-s à ddução propost nst trblho. O primiro psso é dmonstrr s drivds prciis d d Y d m rlção os prâmtros. As drivds prciis m rlção à longitud são d obtnção imdit plicndo-s s rgrs d drivção: Y Um propridd trigonométric importnt sr utilizd ns dmonstrçõs bixo é: C.H.O. d Roch

3 II Simpósio Brsiliro d Gomátic Prsidnt Prudnt - SP 4-7 d julho d 007 V Colóquio Brsiliro d Ciêncis Godésics C.H.O. d Roch θ θ 6 Em rlção à ltitud drivd prcil d srá: Lmbrndo qu tmbém é função d ltitud pl rgr d cdi: As quçõs pr s outrs drivds prciis m rlção à ltitud são: Y A drivd d é: Substituindo st últim xprssão n qução d drivd prcil : Pondo os trmos comuns m vidênci: Anlisndo xprssão cim pod-s notr qu o último trmo é igul M multiplicdo por ssim: M Por nlogi: M Y Rst sbr xprssão d : Insrindo n xprssão ntrior os trmos dduzidos cim tm-s:

4 II Simpósio Brsiliro d Gomátic Prsidnt Prudnt - SP 4-7 d julho d 007 V Colóquio Brsiliro d Ciêncis Godésics Gussino G: Substituindo s drivds prciis n qução tm-s: G M Pr mior concisão s quçõs ds drivds prciis stão runids: Y 0 M Y M M A prtir ds drivds cim s pod continur ddução ds Quntidds Gussins Fundmntis.. E E C.H.O. d Roch Gussino E: Substituindo s drivds prciis n qução [ M ] [ M ] [ M ] [ M ] [ M ] [ M ] Colocndo o trmo M m vidênci nos dois primiros trmos do ldo dirito d qução cim. E M M M M Colocndo M m vidênci. E M Finlmnt: E M 7 G Colocndo o trmo Então: Gussino F m vidênci: G 8 Substituindo s drivds prciis n qução tm-s: F M M Assim: F 0 9 O rsultdo cim s xplic plo fto d s curvs qu dfinm s coordnds curvilíns srm ortogonis. Rsumindo: 4 COCLUSÕES E M 0 G F 0 Os cminhos sguidos cim não são dfinitivos o litor dv s tir vontd pr trilhr sus próprios cminhos ncontrr novs forms d mrch nos cálculos té msmo rfutr tis dduçõs cso hj lgum incorênci nst studo. Espr-s com st rtigo incntivr os studnts tntr buscr por si próprios mbsmnto tórico sólido smpr tntndo s mntr indpndnts. Procurou-s tmbém suprir flt d mtril m português sobr o ssunto rvisr litrtur xistnt mostrr m um msmo trblho os divrsos pssos ds dduçõs proposts. É mistr lmbrr qu o trblho proposto não vrs sobr gomtri difrncil nm sobr projçõs crtográfics pois sri um trblho muito xtnso

5 II Simpósio Brsiliro d Gomátic Prsidnt Prudnt - SP 4-7 d julho d 007 V Colóquio Brsiliro d Ciêncis Godésics fugiri ds proposiçõs iniciis. Form citds lgums plicçõs ds frrmnts dduzids qui pr qu o litor fç um litur mis profundd ns rfrêncis listds principlmnt quls m mio ltrônico nquls qu o utor não tv csso. A prmtrizção do lipsóid pod sr utilizd pr qu sjm rlmbrdos concitos d Anális Vtoril Cálculo Difrncil Intgrl Cálculo umérico pr citr lguns. LEICK 004 prt o formto finl d lgums drivds prciis tndo por suprfíci prmtrizd o lipsóid d rvolução o utor considrou mlhor dduzir dsd o início s xprssõs cim por chr mis didático. Sri intrssnt o litor qu possuir tl rfrênci bibliográfic qu utiliz s drivds li mostrds pr chgr os msmos rsultdos. REFERÊCIAS HRADILEK L. HAMILTO A.C. Systmtic Anlysis of Distortions in Mp Projctions p. Disponívl m Acssdo m jniro 006. KRAKIWSKY E.J. Conforml Mp Projctions in Godsy p. Disponívl m Acssdo m jniro 006. LEICK A. GPS Stllit Survying. w Jrsy John Wily & Sons Inc p. C.H.O. d Roch