ÁREA FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA PROF: ARTUR PASSOS DIAS LIMA CURSO DE NIVELAMENTO
List de Figurs Figur: Gráfico do poliômio f ( ) 8 7 Figur: Gráfico d fução costte 9 Figur : Gráfico d fução idetidde Figur : Gráfico d segud issetriz Figur : Gráfico d primeir issetriz Figur 6: Gráfico d fução do primeiro gru decrescete Figur 7: Gráfico d fução do primeiro gru crescete Figur 8: Gráfico d fução f ( ) 8 6 Figur 9: Gráfico d fução Figur : Gráfico d fução Figur : Gráfico d fução ( ) f ( ) f ( ) f Figur : Gráfico d fução epoecil crescete Figur : Gráfico d fução epoecil decrescete Figur : Gráfico d fução ( ) f Figur : Gráfico d fução f ( ) 6 Figur 6: Gráfico d fução f ( ) 6 Figur 7: Gráfico d fução f ( ) 7 Figur 8: Gráfico d fução logrítmic crescete Figur 9: Gráfico d fução logrítmic decrescete Figur : Gráfico d fução ( ) y log, Figur : Gráfico d fução y log ( ), Figur : Gráfico d fução y log ( ), Figur : Gráfico de um seóide 6 Figur : Gráfico de um cosseóide 66 i
Sumário ª Prte Potecição Rdicis Rciolizção de Deomidores Produtos Notáveis 6 Ftorção 7 6 Poliômios 7 Recursos do Mtl 6 ª Prte 8 Fução do º gru 9 9 Fução do º gru Fução Modulr 8 Fução Epoecil Fução Logrítmic ª Prte Fução Trigoométric 6 Biliogrfi 8 ii
Itrodução O que seri d vid sem mtemátic? Há muitos os trás os grdes estudiosos como Guss, Newto, Kepler e muitos outros, dedicrm sus vids formulções mtemátics e té os dis de hoje, utilizmos sus descoerts pr o crescimeto d humidde e eplicções dos feômeos d turez O estudo d mtemátic requer muit persistêci e lógic, pois relcior úmeros e letrs em determidos prolems como: o cálculo d eergi elétric, distâci d terr té o sol, formção do cledário perte rotção d terr, por que o celulr fucio? Por que o vião fic suspeso o r? Não é de um di pr o outro A leitur é um ftor primordil o etedimeto dos feômeos, rrr o cotecido, rciocir como e por que cotece é em mis que um terpi Um grde cietist precis de emsmeto teórico e pr isso, s iliogrfis são idispesáveis su cultur A utilizção dos ossos eurôios é pouc, pois uc se descore tudo e o mudo que os ossos olhos eergm é stte limitdo, ms mesmo ssim somos vecedores qudo ligmos imgição à relidde Com iveção do computdor, muitos softwres form lçdos o mercdo, fcilitdo id mis mtemátic e um deles é o Mtl Est etrordiári ferrmet é muito usd pelos egeheiros, qul utilizo em lgums simulções mostrdo o etedimeto ds resposts dos prolems propostos este livro Procuro retrtr lgus ssutos d mtemátic do º gru, e sedo coordedor do curso de ivelmeto, espero fcilitr o etedimeto d mtemátic, pr que os futuros egeheiros d Fculdde Áre, coclum o curso só o ituito de preder, pois o predizdo uc se perde, ele se cumul em tod oss vid Agrdeço o professor e mestre Álvro Ferdes pelo póio e revisão deste módulo e o professor e doutor Edurd Motgomery que me icetivou fzer este livro Todo o emsmeto teórico deste módulo foi tirdo de diversos livros que estão dispoíveis iliogrfi O utor Artur Pssos Dis Lim 6 de dezemro de A verddeir riquez é o cohecimeto e sedori Artur Pssos iii
ª Prte - Potecição A potecição é utilizd em muitos cálculos em mtemátic e o ojetivo é estudr s seis proprieddes, pr serem utilizds os coteúdos deste livro Multiplicção de mesm se Multiplicção de mesm se coserv-se se e somm-se os epoetes: m m Divisão de mesm se Divisão de mesm se coserv-se se e sutrem os epoetes: m m : As regrs seguir vlem s igulddes: ) ( ) m m ) ( ) m m c) ( ) p m p m A A d) m m A A Eercícios de Potecição ) Resolv s seguites potêcis ) ) c) 9 d) e) : f) 8 9 g) 9 : h) : i) : j) l) 8 : 9 m) )
o) p) 9 9 : q) : 7 : 9 r) : - Rdicis Cosiderções prelimires Como A B A B devido à eistêci d operção ivers etre potecição e rdicição, tem-se que ( N / ), ou sej, o vlor de deve ser pr Proprieddes dos rdicis A riz -ésims de um produto é igul o produto ds rízes d cd ftor, desde que sejm positivos Assim, temos: A B A B ( A, B ) A riz -ésim de um quociete é igul o quociete etre s rízes -ésims do dividedo e do divisor, desde que A sej positivo e B estritmete positivo Assim, temos: A A ( ) B B A e ( B > ) Qudo o epoete do rdicdo é igul (ou múltiplo) o ídice d riz, pode ser retirdo do rdicl, stdo pr tto dividir o epoete pelo ídice d riz, quociete este que é ovo epoete do ftor retirdo do rdicl Assim, temos: m m m A B A B A B ( A, B ) A itrodução de um ftor, detro do rdicl, sei-se o cso terior, stdo pr tto fzermos o iverso, isto é, o ivés de dividir, devemos multiplicr o epoete do ftor cosiderdo pelo ídice d riz, produto este que é o epoete do ftor itroduzido o rdicl Assim, temos: m m m A B A B A B ( A, B )
Epoete frcioário Cosiste em: d A d A, A e ou sej: o deomidor (d) do epoete frcioário é o ídice d riz, se pss ser o rdicdo elevdo o umerdor () do epoete frcioário Assim, temos: 7 7 Simplificção de rdicis Cosiste em: A m : k m: k A,, K A ; Assim, temos: 6 6; : Redução de rdicis o mesmo ídice Ddos: m p A ; B; C k MMC (, m, p) m p Logo: Assim, temos: m p m p A ; m p p B ; m p k m C ; ; MMC (,,) 6 ; ; 9
Comprção de rdicis Bsei-se o cso terior, isto é, depois de reduzi-los o mesmo ídice, será mior o que cotiver o mior rdicdo e meor o que cotiver o meor rdicdo 6 Operções com rdicis 6 Adição e sutrção Oper-se seprdmete pr cd rdicl Assim, temos os eemplos seguir: ) ) 8 Oserve que o cso do eemplo, foi ecessário ftorr o úmero 8 6 Multiplicção e Divisão A A m m m m B A B m A m B m m m m m m : B A : B A B, B Em mos os csos, só hverá solução, se os ídices forem iguis Cso cotrário reduz-se primeirmete o mesmo ídice e depois se efetu operção idicd Assim, temos: 6 6 6 6 6 89 7 : 6 6 6 6 : : : 9 Eercícios de Rdicis ) Efetue os seguites rdicis ) 8 ) c) d) e) f) g) 8 h) 8 7 i) 8 98 7 8 j) l) ( 6 )( ) m) ( 6 )( ) ) ( )( )( ) 7 o) ( ) y q) 6 : 8 r) 8 : s) p) ( y) 6 : t)
u) v) ) z) - Rciolizção de Deomidores Rciolizção é operção que cosiste elimição de rdicis em deomidores Aqui, serão vistos lgus csos: I ) II ) III ) 7 7 7 7 ( ) IV ) ( )( ) 7 7 7 ( ) V ) ( ) ( VI ) ( ) ( )( ) )Rciolize s epressões: 7 6 ( ) ( ) ( 7 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) 9 Eercícios de Rciolizção de Deomidores ) ) 7 c) d) e) f) g) h) i) j) 7 l) y m) ) o) 7 p) 9 q) 7 6 r)
s) y t) 8 8 u) y 7 y v) 6 ) c z) 8 7 z - Produtos Notáveis Qudrdo d som de dois termos Vmos lgericmete, clculr ( ) ( )( ) como temos que, etão: ( ) Qudrdo d difereç de dois termos D mesm form, ( ) : ( ) ( )( ) como, temos: ( ) Produto d som pel difereç de dois termos Utilizdo propriedde distriutiv d multiplicção, vmos clculr: ( )( ) Cuo d som de dois termos ( )( ) Utilizdo s proprieddes de potêcis, podemos escrever que: ( ) ( )( ) desevolvedo ( ), e plicmos propriedde distriutiv: ( ) ( )( ) temos: ( ) 6
( ) Cuo d difereç de dois termos O processo lgérico é idêtico o processo utilizdo pr o cuo d som: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ) Resolv os seguites produtos otáveis: Eercício de Produtos Notáveis ) ( ) ) ( y ) c) ( y ) d) ( y ) e) ( - ) f) ( y ) g) ( y ) h) ( 9 6) i) ( y) ( y) j) ( - y) l) ( )( ) m) ( m ) ) ( ) o) ( ) p) ( m ) ( m ) 8 r) q) ( )( ) s) ( m) t) ( ) ( ) u) ( ) ( ) 7 9 6 v) ( ) ) ( ) - Ftorção 8 m p z) ( m ) m m O processo de ftorção cosiste em trsformr um epressão lgéric em produto Em ritmétic est operção é stte simples, por eemplo: Ftorr o úmero 7
Ftorr o úmero Oserve os eemplos seguir, s epressões lgérics ftords: y ( y) ( )( ) ( )( ) ( ) 6 8 9 6 9 Note que, se plicrmos propriedde distriutiv o º memro, otemos epressão do º memro Pr ftorr epressões lgérics, álise deve ser feit tedo em vist os seguites csos: Ftor comum Neste cso, devemos oservr se cd prcel preset um ftor comum, que deverá ser colocdo em evidêci, coforme os eemplos: ) 9 ftor comum 9 ( ) Os resultdos otidos detro dos prêteses são proveietes d divisão de cd prcel pelo ftor comum, ou sej: 9 ) 8 ftor comum temos, etão: 8 ( ) 8 Os: o ftor comum d prte literl são s letrs comus com o meor epoete Agrupmeto Aqui os ftores comus precem em grupos, oserve: 8
( ) y ( ) ( ) é ftor comum é ftor comum y y y é ftor comum y y ( )( y) Note que, se plicrmos propriedde distriutiv à últim iguldde, oteremos epressão lgéric iicil Eercício resolvido: Ftorr s epressões: ) Resolução: Note que os dois primeiros termos têm como ftor comum, e os dois últimos têm como ftor comum Colocmos em evidêci: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ) m p 8m p 6m p é ftor comum Resolução: mp é ftor comum d prte literl Colocdo em evidêci s letrs com os meores epoetes, temos etão que m p é ftor comum N prte uméric colocmos em evidêci o mior divisor comum etre,8 e 6, que é o úmero m p 8m p 6m p ( p p) m p 9 c) 9 Resolução: Temos, este eercício, um triômio Verificremos se o termo do meio é o doro ds rízes qudrds dos outros, ssim poderemos compor o qudrdo d som de dois termos 9
( ) 9 Simplifique: ) m m Resolução: Lemre-se que, pr simplificr frções, devemos ter s epressões lgérics ftords Oserve que: o umerdor podemos ftorr por grupmeto; o deomidor temos um difereç de dois qudrdos ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) m m m m m m ) Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) c) 6 9 9 Resolução: 6 9 9 6 9 9 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6
) Ftore s seguites epressões: Eercício de Ftorção ) ( y ) ) ( y ) c) y - z yz d) 8 e) 7 f) ( ) ( ) g) - 9 h) ( ) - i) ( )( ) ( 7) j) 9 - l) - m) - 6 ) ( ) o) ( ) - 9 p) - 6 - Poliômios 6 Defiição Sejm dois poliômios, f() como dividedo e g() como divisor, como g() Dividir f() por g() é determir outros dois poliômios: o quociete q() e o resto r(), tis que: º) f() g()q() r() º) gru r < gru g ou r() Um possível esquem de divisão é presetdo seguir: dividedo resto f() r() g() q() divisor quociete 6 Teorem do resto Sej p() um poliômio tl que gru p O resto d divisão de p() por é igul p (), ou sej, r p() Demostrção Temos: p ( ) ( ) q( ) r Os: o vlor de r pertece o cojuto dos úmeros compleos Clculdo o vlor umérico do poliômio cim pr, vem:
p ( ) ( ) q( ) r, isto é p ( ) q( ) r r p( ) Eemplo Podemos determir o resto d divisão de f ( ) por g ( ) sem efetur divisão Bst otr que: Eemplo * A riz do divisor é * Pelo teorem do resto, temos que: r f( ), isto é, r D mesm form que o eemplo terior, pr determir o resto d divisão de p por h ( ), fzemos: ( ) * A riz de h() é * Utilizdo o teorem do resto, vem: r p ( ) ( ) ( ) ( 7) Eplicremos dois métodos importtes divisão de poliômios: o Teorem de D Alemert e o Dispositivo de Briot-Ruffii 6 Teorem de D Alemert Um poliômio f () é divisível por Demostrção Há dus implicções provr: se, e somete se, é riz de f () º - f() é divisível por é ríz de f () D hipótese, semos que o resto d divisão de f () por é igul Ms, pelo teorem do resto, r f() Etão f () Logo, é riz de f º - é riz de f ( ) f ( ) é divisível por Se é riz de f (), etão f ( ) Ms, pelo teorem do resto, f () é o resto d divisão de f () por Etão, r, o que mostr que f () é divisível por Eemplo Vmos determir m de modo que f ( ) m sej divisível por : Pelo teorem de D Alemert, é riz de f (), isto é, f ( ) Dí:
m m m Eemplo Sejm e, respectivmete, os restos d divisão de um poliômio f () por e por É possível, trvés do que vimos, determir o resto d divisão de f () por ( )( ): Pelo teorem do resto, temos que: f (I) e f ( ) (II) ( ) Qudo dividimos f () por g ( ) ( )( ), temos que gru r (pois gru r < gru g e gru g ),isto é, o gru do resto é o máimo Assim, escrevemos r Devemos determir e Temos:? ( ) ( ) ( )( ) q( ) f g ( ) Clculdo o vlor umérico desse poliômio em e em, vem: ( )( ) q( ) f () f r( ) II ( ) ( )( ) q( ) ( ) Resolvedo o sistem cim, ecotrmos r ( ) 6 Método de Briot-Ruffii I e Sejm f ( ) ( ) e g( ) Cosideremos divisão de f ( ) por g ( ) O quociete q ( ) dess divisão é um poliômio de gru ), ddo por: ( ) q q q q Dess form, o resto é ( pois gru q f gru g q O resto r dess divisão é um úmero compleo (idepedete de ); de fto, como gru r < gru g e gru g, segue que gru r Nosso ojetivo é determir o resto d divisão e os coeficietes q( ) : q, q,, q e q Temos: f g q r ( ) ( ) ( ),
isto é, ( )( ) ( ) ( ) r q q q q q q q q r q q q q Agrupdo os moômios de mesmo gru: ( ) ( ) ( ) r q q q q q q D idetidde de poliômios segue que: * * * * q r r q q q q q q q q q q M A determição do resto d divisão de ) ( f por ) ( g e dos coeficietes de ) ( q tor-se mis rápid com plicção do dispositivo prático de Briot-Ruffii Cosideremos divisão de ) ( f por ) ( g, mos escritos segudo potêcis decrescetes de Pr costruir o dispositivo, sigmos o seguite roteiro: Psso: clculr riz do divisor ) ( g e, o seu ldo, colocr os coeficietes ordedos do dividedo ) ( f riz de ) ( g : - - Psso: ir o º coeficiete do dividedo () e multiplicá-lo pel riz do divisor ) ( - -
Psso: somr o produto otido com o coeficiete seguite ( ( ) ) resultdo é colocdo io desse coeficiete - - - O Psso: com esse resultdo, repetir s operções ( multiplicr pel riz e somr com o coeficiete seguite), e ssim por dite - - - O último dos resultdos otidos o lgoritmo de Briot-Ruffii é o resto d divisão Assim, r Os demis resultdos otidos o lgoritmo correspodem os coeficietes ordedos do quociete d divisão Dess meir, q ( ) ( )( ) Eemplo Vmos, trvés do dispositivo de Briot-Ruffii, oter o quociete e o resto d divisão de f ( ) por g ( ) : Covém iicilmete otrmos que f ( ) Assim, costruímos o lgorítmo: r 8 Assim: q( ) - - - - 8 Eemplo 6 Vmos oter pr que o resto d divisão de sej igul : Costruímos o dispositivo de Briot-Ruffii: f ( ) por g ( ) - - - - - --8 Assim, devemos ter r, isto é, 8
Eemplo 7 Vmos determir m pr que f ( ) m sej divisível por g ( ) : - - m - - - - - m Do eucido, vem r m m Eercício de Poliômio ) ( 7 m ) ( m ) ) ( y y 7) ( y y 7) c) ( m y ) y d)( m m)( m) f) ( )( )( ) [ ] e) ( )( ) ( )( ) g) ( )( ) h) ( )( ) i) ( 7 ) ( ) j) ( 6 ) ( ) l) ( 9) ( ) m) ( 6) ( ) ) ( ) ( ) o) ( ) ( ) 7 - Recursos do Mtl O Mtl cotém diverss fuções pr mipulção de poliômios Os poliômios são fcilmete diferecidos e itegrdos, e é fácil ecotrr rízes poliomiis Etretto, poliômios de ordem elevd crim dificulddes umérics em muits situções e, ssim, devem ser usdos com precução Em lgus csos especiis é ecessário dividir um poliômio por outro No Mtl, isso pode ser feito com fução decov Por eemplo: No eemplo queremos dividir f ( ) por g ( ), etão utilizmos os comdos do Mtl, pr chrmos o quociete e o resto d divisão >> [ - ]; [ -]; >> [q,r]decov(,) q r Note que o Mtl utilizmos os coeficietes dos poliômios do dividedo e do divisor, com isso o Mtl mostrrá tmém o coeficiete do poliômio do quociete e o vlor do resto 6
No eemplo utilizmos os mesmos comdos: >> [ - ]; [ ]; >> [q,r]decov(,) q - - - r 8 No Mtl tmém podemos clculr os poliômios utilizdo os seguites comdos represetdos pelo gráfico Figur: Queremos clculr o poliômio f ( ) 8 >> p[- - - 8]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> title('fução : -{^}-{^} {^}-{^}8') % Título do teto Figur: Gráfico do poliômio ( ) 8 f Eercícios Geris d ª Prte ) Clcule os seguites rdicis (Neste cso você deve primeirmete simplificr epressão dd e logo pós sustituir o vlor de ddo) ), ), c) 7
d), e), f), g), h) 6, 8 i) ;, > j) 7, 9 l), m), ) Neste eercício você deve primeirmete simplificr epressão dd e logo pós sustituir o vlor de ddo: ), ), 8 c), d), 8 e), 8 f), g),, h) ( ),, m), 6 8
ª Prte 8 - Fução do º gru 8 Defiição Chm-se fução poliomil do º gru, ou fução fim, qulquer fução f de R em R dd por um lei d form f ( ), ode e são úmeros reis ddos e N fução f ( ), o úmero é chmdo de coeficiete de ou coeficiete gulr d ret, determido su iclição e o úmero é chmdo termo costte ou coeficiete lier, determido itersecção d ret com o eio Oy O domíio e imgem d fução do primeiro gru pr < e > será R Pr um fução costte, o domíio será R e imgem o próprio vlor de A fução de º gru pode ser clssificd de cordo com seus gráficos Cosidere sempre form geéric f ( ) 8 Fução costte: se, etão y, R Dest form, y é fução costte, pois, pr qulquer vlor de, o vlor de y ou f ( ) será sempre Utilizdo o recurso do Mtl podemos oter o gráfico represetdo pel Figur d fução y >> p[ ]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X')%leged do eio horizotl >> ylel('eio Y')% Leged do eio verticl >> title('fuço: y') % Título do teto Figur: Gráfico d fução costte 9
8 Fução idetidde: se e, etão y Nest fução e y têm sempre os mesmos vlores Temos utilizdo o recurso do Mtl o respectivo gráfico represetdo pel Figur >> p[ ]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X')%leged do eio horizotl >> ylel('eio Y')% Leged do eio verticl >> title('fuço y') % Título do teto Figur : Gráfico d fução idetidde A ret y ou f ( ) é deomid issetriz dos qudrtes ímpres Ms, se e, temos etão y A ret determid por est fução é issetriz dos qudrtes pres, coforme mostr o gráfico represetdo pel Figur : >> p[- ]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X')%leged do eio horizotl >> ylel('eio Y')% Leged do eio verticl >> title('fuço y-') % Título do teto Figur : Gráfico d segud issetriz
Os: e y têm vlores em módulo, porém com siis cotrários 8 Fução lier: é fução de º gru qudo, e, e R Eemplos: f( ), f( ), y, y Os: Pr costruir os gráficos deste eemplo, utilize o recurso mostrdo os ites e deste tópico 8 Fução fim: é fução de º gru qudo,, e R Eemplos: f ( ), y, f( ) 86 Gráfico d fução do º gru A represetção geométric d fução de º gru é um ret, portto, pr determir o gráfico é ecessário oter dois potos dest ret Em prticulr, procurremos os potos em que ret cort os eios O e Oy Por eemplo, fução y, o poto do eio O é determido pel equção, ode O poto procurdo é, portto,, Alogmete, pr determir o poto do eio Oy, y ; y O poto procurdo é (,) e o gráfico dest fução será represetdo pel Figur : >> p[ ]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X')%leged do eio horizotl >> ylel('eio Y')% Leged do eio verticl >> title('fuço y ') % Título do teto Figur : Gráfico d primeir issetriz
D mesm form, fução ( ) f, temos: Que será o poto do eio O (,), e Oy é (,) >> p[- ]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X')%leged do eio horizotl >> ylel('eio Y')% Leged do eio verticl >> title('fuço y -') % Título do teto, sedo represetdo pel Figur 6 Figur 6: Gráfico d fução do primeiro gru decrescete De modo gerl, dd fução f ( ), pr determirmos itersecção d ret com os eios, procedemos do seguite modo: º) igulmos y zero, etão,, o eio O ecotrmos o poto º) igulmos zero, etão f ( ) f( ) (,) De ode cocluímos que: f ( ) é crescete se é um úmero positivo ( > ) ; f ( ) é decrescete se é um úmero egtivo ( < ), o eio Oy ecotrmos o poto
87 Riz ou zero d fução de º gru A riz ou zero d fução de º gru é o vlor de pr o qul y f( ) Grficmete é o poto em que ret cort o eio O Portto, pr determir riz d fução st igulrmos zero: Eemplo f ( ) Determie riz d fução f : R R tl que f ( ) Resolução Igulmos f() zero, portto: Qudo determimos (s) riz(es) de um fução, o(s) vlor(es) ecotrdo(s) deve(m) ser epresso(s) so form de cojuto, deomido cojuto-verdde (v) ou cojuto solução (S), d seguite form: S Eemplo Determie m pr que - sej riz d fução f : R R dd por f ( ) m Resolução Se - é riz, etão pr - temos que f(); sustituímos estes ddos fução: f ( ) ( ) m m m m m
88 Estudo do sil d fução de º gru Estudr o sil de um fução de º gru é determir os vlores de pr que y sej positivo, egtivo ou zero Estudemos, por eemplo, o sil d fução f : R R dd por y- Vmos costruir o gráfico d fução represetdo pel Figur 7 Se etão y, y Poto ( ) Se y etão Poto, >> p[ -]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X')%leged do eio horizotl >> ylel('eio Y')% Leged do eio verticl >> title('fuço y -') % Título do teto Figur 7: Gráfico d fução do primeiro gru crescete Oserve que fução é crescete ( ) Alisdo o gráfico podemos cocluir que: se se se < etão y < ; > etão y > ; etão y é riz d fução Est álise é o estudo do sil d fução, porém, pr efetuá-l podemos recorrer pes um esoço do gráfico, coforme mostr figur:
Sil de y pr > / Sil de y / pr < / riz 89 Regr prátic pr o estudo de sil d fução f ( ) º) Determimos riz d fução, iguldo- zero riz : : º) Verificmos se fução é crescete ( > ) ou decrescete ( < ) possiiliddes: ; temos etão dus > < Etão podemos resumir o qudro o estudo do sil d fução do º gru ) fução é crescete ) fução é decrescete Se Se Se etão y Se < etão y < Se > etão y > Se etão y < etão y > > etão y <
Eemplo Estude o sil d fução f ( ) Resolução Riz d fução: fução é crescete, fçmos o esoço: o coeficiete de é positivo ( ), portto se etão y se < etão y < se > etão y > 8 Iequção do º gru A iequção se crcteriz pel preseç de um dos seguites siis de desigulddes: >, <, ou Vmos recordr lgums proprieddes ds desigulddes: º) Somdo ou sutrido um úmero cd um dos memros, desiguldde ão se lter: < < < >7 > 7 > º) Multiplicdo ou dividido os dois memros d desiguldde por um úmero positivo, desiguldde ão se lter: < 8 ( ) < 8 ( ) < 6 > > > º) Multiplicdo ou dividido os dois memros d desiguldde por um úmero egtivo, é ecessário iverter desiguldde pr que seteç sej verddeir: 6
7< 7 ( ) > ( ) > >9 9 < < Ests proprieddes são vlids pr resolução de iequção do º gru São eemplos de iequções: Produto ( 6 )( ) < Quociete Vmos resolvê-ls: º) ( 6 )( ) < f g Sil de f: Sil de g: 6 g f ( ) ( ) 6 Vzemos gor o jogo do sil: f g / - - - - - - fg o o Etão solução d iequção é < / ou > º) f } { g 7
Sil de f: Sil de g: f ( ) g( ) - Fzemos gor o jogo do sil: - f - g - f g - o - Note que o úmero foi ecluído d solução, pois ul o deomidor { R / < } S 8 Domíio de um fução Determir o domíio de um fução é oter o cojuto de todos os vlores de pr que fução eist Eemplos ) O domíio d fução f ( ) é R, pois todo úmero rel pode ser elevdo o qudrdo ) O domíio d fução g ( ) é R, pois só podemos etrir riz qudrd de um úmero rel ão egtivo * ) O domíio d fução h( ) é R, pois ão eiste divisão por zero ) O domíio d fução f ( ) é R, pois podemos etrir riz cúic de qulquer úmero rel 8
Eercício d Fução do º gru ) O gráfico de f é o segmeto de ret que ue os potos (-, ) e (,) O vlor de f é: ) Determie o domíio d fução f defiid por f() ) A fução f do º gru é defiid por f() - K O vlor de K pr que o gráfico corte o eio ds ordeds o poto de orded é : ) Um fução do º gru é tl que f(-) e f() - Etão, f() e riz d fução vlem, respectivmete )O esoço o ldo refere-se o gráfico d fução rel defiid por f() m Determie o vlor de m - 6) O gráfico d fução rel dd por f() m p itercept o eio ds scisss em (,) Qul é o vlor de m p? 7) Se f é fução ivers d fução f, de R em R, defiid por f() etão f (-) é igul : 8) Sej um úmero positivo Cosidere fução f: R em R dd por f () Se f f 97 o vlor de é? 9) Se f é um fução rel tl que f( ), etão quem é f()? ) Sejm f e g fuções reis defiids por f() - e g() Etão f g g f é igul : ( ( )) ( ( )) ) Resolv s seguites iequções: ) ( )( )( ) 9
< 7 ) 8< ( ) > ( ) c) ) Determie o domíio d fução: f ( ) ) As fuções f e g são dds por f ( ) e g ( ) Se-se que f ( ) g( ) O décuplo do vlor de f( ) g é: ) A tel io mostr tempertur ds águs do oceo Atlâtico (o ível do equdor) em fução d profudidde: Profudidde Superfície m m m m Tempertur 7ºC ºC 7ºC ºC,8ºC Admitido que vrição d tempertur sej proimdmete lier etre cd dus medições feits pr profudidde, tempertur previst pr profudidde de m é: 9 - Fução do º gru 9 Defiição Chm-se fução do º gru ou fução qudrátic, de domíio R e cotr-domíio R, fução f ( ) c ode, e c são úmeros reis e é o coeficiete de é o coeficiete de C é o termo idepedete Chm-se fução complet àquel em que, e c são ão ulos, e fução icomplet àquel em que ou c são ulos São eemplos de fuções de º gru: f (, e c ) * ( ) f 8 ( 8, - e c -) * ( ) * f( ) ( -, e c ) f (, e c -) * ( )
Os: Tod fução do º gru tem por gráfico um práol 9 Revisdo equção do º gru Rízes Fórmul de Bháskr Os potos ode o gráfico d fução y c cort o eio são s rízes ou zeros dess fução Nesses potos, devemos oter os vlores de pr os quis y Assim devemos resolver seguite equção do º gru: O úmero c (multiplicdo por ) c (somdo os ldos ) c c (ftordo o º memro) ( ) c ± c ± c ± c (Fórmul de Bháskr) c é chmdo de discrimite, e idic-se por (letr greg delt) Se >, equção c possui dus rízes reis e distits, isto sigfic que práol cort em dois potos o eio Se, equção c possui dus rízes reis e iguis (riz dupl), isto sigific que práol tgeci o eio Se <, equção c ão possui rízes reis, isto sigific que práol ão cort o eio 9 Som e Produto ds Rízes Vmos ver o que cotece qudo sommos e multiplicmos s dus rízes d equção c S ( ) ( ) ( c) c c P Atrvés d som e do produto ds rízes, podemos chr s rízes d equção c
Vmos ecotrr s rízes d equção 6 Como, - e c 6, etão: c 6 S e P 6 Quis são os úmeros cujo produto é 6 e som? Verific-se que esses úmeros são e, pois 6 e Assim s rízes são e Eemplo Determie, em R, s rízes ds equções: ) 7 6 Resolução Sempre que tivermos um equção complet, utilizremos fórmul de Bháskr pr resolver: c ( 6) ( 7) 6 8 6 8 ± 6± 8 6 8 6 8 7 ) Resolução Qudo equção é icomplet, podemos dispesr Bháskr e resolvemos do seguite modo: (equção produto) ( )
Pr que o produto sej zero, é ecessário que pelo meos um dos ftores sej zero, ssim: ou S, c) 8 ± ± S 8 {, } 9 Vértice d Práol O vértice d práol é o seu poto de máimo (qudo < ) ou de míimo (qudo > ) d fução A ret prlel o eio y que pss pelo vértice é o eio de simetri d práol Sedo y c, pr teremos y c, isto é, práol cort o eio y o poto de orded c Eiste outro poto de orded igul c Vmos chr su sciss c c ( ) já ecotrdo ou, ssim Por simetri d práol, sciss do vértice é: v v Pr otermos orded do vértice st sustituir v em y c Etão, y v c y v c c c c ( c) Logo, V,
Os: O domíio de um fução do º gru, pr > e < será R, com isso imgem depede do y v, ficdo: imgem será Im { y R y y v } imgem será Im { y R y } Pr > Pr < Eemplo ) Fç o gráfico d seguite fução y 8 6 destcdo: Solução y * Rízes: ) s rízes, se eistirem ) s coordeds do vértice c) itersecção com o eio y d) e dê o cojuto imgem 8 6 c 8 6 c 8 6 ( 8) 6 6 8 6 y v ± ( 8) ± 8± *coordeds do vértice y v v ( 8) 6 V (, )
Covém destcr que se fução y c possui dus rízes reis e distits, ( e ), podemos oter sciss do vértice, fzedo médi ritmétic etre s dus rízes, isto é: v sustituido por fução y 8 6, temos y v Etão: y v 8 6 *Itersecção com o eio y: Nesse poto, etão 6 *Esoço do gráfico d Figur 8 y Temos o poto (,6) Utilizdo o recurso do Mtl, segue os comdos: >> p[ -8 6]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y ^-86') % Título do teto 9 Estudo do sil Figur 8: Gráfico d fução f ( ) 8 6 Estudr o sil de um fução sigific verificr os vlores de pr os quis est fução é positiv ou egtiv
> < > - < - - - - - - - Eemplo ) Estude o sil d seguite fução: y Solução: > etão cocvidde d práol é pr cim ( ) 6 >, etão eistem dus rízes reis e distits, isto é, práol cort o eio em dois potos distitos ± 8 Rízes: 6 Sil 6
pr < ou >, temos y > pr < <, temos y < 96 Iequção do º gru Qulquer iequção do tipo c>, c<, c ou c, ode,,c são úmeros reis com são chmds iequções do º gru Resolvemos um iequção do º prtir do estudo do sil d fução correspodete Eemplo Resolv seguite iequção: Solução S P <, práol tem cocvidde pr io Sil: - - o o - Como devemos ter (destcdos grficmete pel região em egrito), etão: Eercício d Fução do º gru ) A fução f() c possui como rízes os úmeros e, e seu gráfico é um práol com o vértice (,-) O vlor de c é: ) Se m e são rízes de 6, etão vle: m ) Sej 7 difereç etre s rízes d equção c Etão, o vlor d costte c é : 7
) O domíio d fução y é: ) Resolv s seguites iequções: ) 6) Determie o domíio d fução ) ( 8)( 6)( 6) f ( ) ( )( ) 7 7) O lucro de um loj, pel ved diári de peçs, é ddo por: L ( ) ( )( ) O lucro máimo por di, é otido com ved de peçs, e o vlor do lucro correspodete é l Os vlores de e l são, respectivmete - Fução Modulr Defiição O módulo de um úmero rel é, se for positivo o oposto de (- ), se for egtivo Simolicmete, Eemplo Clcule: ), 7,7 ) 9 9 c) Neste cso d letr c, o vlor umérico depede d icógit Como ão semos se é positivo ou egtivo, temos que cosiderr os dois csos: º cso: se for positivo ou zero, coserv-se o sil, tem-se que º cso: se for egtivo, troc-se o sil, tem-se que Resumido temos: d) 8
Vmos cosiderr os dois csos: ºcso) se for positivo ou zero, coserv os sil º cso)se for egtivo, troc-se o sil Resumido, tem-se que: < < < Gráfico d fução modulr Defiição Fução modulr é tod fução f, de domíio R e cotr-domíio R, tl que ou y O gráfico d fução modulr pode ser otido de dus forms: º modo: prtir d defiição de módulo; º modo: por simetri em relção o eio O f ( ) Eemplo ) Esoçr o gráfico d seguite fução: ) f ( ) Podemos primeiro fzer o gráfico de f ( ) *Esoço do gráfico d Figur 9: Utilizdo o recurso do Mtl, segue os comdos: >> p[,]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-7,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y ') % Título do teto 9
Figur 9: Gráfico d fução f ( ) Agor fremos seguite fução f ( ) egtiv pr cim, ficdo como o gráfico io *Esoço do gráfico d Figur : Utilizdo o recurso do Mtl, segue os comdos: >> p[ ]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-8,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,s()); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y s()') % Título do teto isso sigific que devemos refletir prte Figur : Gráfico d fução f ( ) Filmete fzemos o gráfico f ( ), isso sigific que devemos descer css
*Esoço do gráfico d Figur : Utilizdo o recurso do Mtl, segue os comdos: >> p[,]; % os coeficietes do poliômio >> lispce(-8,); % potos os quis p será clculdo >> ylispce(-,); % potos os quis p será clculdo >> vpolyvl(p,(s()-)); % cálculo de p os potos do vetor >> plot(,v) % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y s()-') % Titulo do teto Equção modulr Defiição Figur : Gráfico d fução ( ) f Pr resolver equções modulres, utilizremos sicmete defiição de módulo Sempre que tivermos um fução modulr devemos cosiderr que, depededo do vlor d icógit, o vlor umérico d fução poderá ser positivo ou egtivo Eemplo Resolver equção modulr Note que, este eercício, temos um equção do º gru ode icógit é Pr fcilitr resolução podemos utilizr um mudç de vriável, sustituido, por eemplo, por y, etão: y Em fução de y, temos seguite equção:
Agor que temos os vlores de y, podemos clculr : como y, etão: ou ou ão eiste ehum vlor de que stisfç equção, pois o módulo de um úmero é sempre positivo Iequção modulr As iequções modulres se crcterizm pel preseç de um dos siis de desiguldde: >, Oserve resolução dos eercícios seguites Verificmos que s iequções pr >, temos seguite regr: º) Se <, etão º) Se >, etão < < < ou > Eemplo Determir o vlor de iequção > Resolução: Aplicdo propriedde, tem-se que: < < < > Multiplicdo por -, ivertedo o sil de desiguldde: ou > > > > < < Eemplo Resolv iequção, Solução: tem-se que em R
ou Solução Solução ( ) ( ) 7 Resolvedo, tem-se que: Resolvedo tem-se que: Fzedo S S,ou sej, itersecção etre s soluções tem-se que solução gerl d iequção será: Eercício d Fução Modulr ) Resolv s equções modulres: ) ) c) d) e) 6 ) Resolv s iequções modulres: ) > ) < c) ) Determie o domíio d fução f ( )
) Esoce o gráfico ds fuções io: ) f ( ) ) f ( ) - Fução Epoecil A fução epoecil f, de domíio R e cotr-domíio R, é defiid por sedo > e y, f : R R y sedo > e São eemplos de fuções epoeciis: ) y ) y ( ) c) y π d) e) De form gerl, dd fução y : se > fução epoecil é crescete; se < < fução epoecil é decrescete Grficmete tem-se que: y y > epoecil crescete < < epoecil decrescete Figur : Gráfico d fução epoecil crescete Figur : Gráfico d fução epoecil decrescete Domíio: D { R} Domíio: D { R} Imgem: Im R * Imgem: Im R *
Eemplo Costruir o gráfico d seguite fução: f ( ) Devemos oservr que fução epoecil está detro do módulo, com isso podemos seguir os seguites pssos pr costrução do gráfico: º) Costruir fução f ( ), seguido s regrs de potecição visto primeir prte deste livro, em como s regrs pr costrução de gráficos epoeciis Utilizdo o recurso do Mtl tem-se que: >> lispce(-,); % vlores o eio >> ylispce(,); %vlores o eio y >> y^; % fução epoecil clculd >> plot(,y), % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y^') % Titulo do teto E otemos Figur como pode ser visto io: Figur : Gráfico d fução f ( ) º) Costruir fução f ( ), seguido s regrs de potecição visto primeir prte deste livro, em como s regrs pr costrução de gráficos epoeciis, ote este cso o gráfico deverá descer qutro css sedo está últim ssítot (semi-ret que limit fução, com o qul fução ão deverá tocá-l) Utilizdo o recurso do Mtl tem-se que: >> lispce(-,); % vlores o eio >> ylispce(-7,); %vlores o eio y >> y^-; % fução epoecil clculd >> plot(,y), % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y^-') % Titulo do teto E otemos Figur como pode ser visto io:
Figur : Gráfico d fução f ( ) º)Costruir fução f ( ), seguido s regrs de potecição visto o primeiro cpítulo deste livro, em como s regrs pr costrução de gráficos epoeciis, ote este cso será rretdo pr cim prte egtiv, ou sej, ode os vlores de y são egtivos Utilizdo o recurso do Mtl tem-se que: >> lispce(-7,); % vlores o eio >> ylispce(,); %vlores o eio y >> ys(^-); % fução epoecil clculd >> plot(,y), % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço ys(^-)') % Titulo do teto E otemos Figur 6 como pode ser visto io: Figur 6: Gráfico d fução f ( ) º)Costruir fução f ( ), seguido s regrs de potecição visto o primeiro cpítulo deste livro, em como s regrs pr costrução de gráficos epoeciis, ote este cso o gráfico deverá descer dus css Utilizdo o recurso do Mtl tem-se que: >> lispce(-7,); % vlores o eio >> ylispce(-,); %vlores o eio y >> ys(^-)-; % fução epoecil clculd >> plot(,y), % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço ys(^-)-') % Titulo do teto 6
E otemos Figur 7 como pode ser visto io: Figur 7: Gráfico d fução f ( ) Equção epoecil A equção epoecil crcteriz-se pel preseç d icógit o epoete Pr resolver ests equções, lém ds proprieddes de potêcis, vists ª prte, utilizremos seguite propriedde: Se dus potêcis são iguis, tedo s ses iguis, etão os epoetes são iguis m m sedo > e Eemplo Resolver s seguites equções epoeciis: ) ) resolução: resolução: ± c) resolução: plicdo regr de potecição tem-se que: 7
( ) 7 7 Iequção epoecil A iequção epoecil crcteriz-se pel preseç d icógit o epoete e de um dos siis de desiguldde:, >, <, ou Pr fução crescete, coserv-se o sil d desiguldde pr comprr os epoetes, desde que s ses sejm iguis Pr fução decrescete, iverte-se o sil d desiguldde pr comprr os epoetes, desde que s ses sejm iguis Eemplo Resolver seguite iequção epoecil ) ) ( ) 9 8 8 9 8 8 8 8 ( ) ( ) 6 6,, 8
Pr cohecimeto O úmero e tem grde importâci em diversos rmos ds ciêcis, pois está presete em vários feômeos turis, por eemplo: ) crescimeto populciol; ) crescimeto de populção de ctéris; ) desitegrção rdiotiv N áre de Ecoomi, é plicd o cálculo de juros Foi o mtemático iglês Joh Niper ( 67) o resposável pelo desevolvimeto d teori logrítmic utilizdo o úmero e como se O úmero e é irrciol, ou sej, ão pode ser escrito so form de frção, e vle: e,7888 sedo chmdo de úmero eperio, em homegem o mtemático Como o úmero e é ecotrdo em diversos feômeos turis, fução f ( ) e é cosiderd um ds fuções mis importtes d mtemátic, merecedo teção especil de cietists de diferetes áres do cohecimeto humo Eercício de Fução Epoecil ) Resolv s seguites iequções epoeciis: ) > ) ( ) ) A epressão é igul : ) Sejm e y os úmeros reis que torm verddeirs s seteçs Nesss codições, o vlor de y vle? y y ) O vlor de que stisfz equção 8 vle? ) O vlor de 6) A som ds rízes d equção 8 é: 6 9 7) So certs codições, um populção de microorgismo cresce oedecedo à lei P C KT qul T é o umero de hors, P é o úmero de microorgismos o istte T e C e K são costtes reis Se P 86 e T, etão C e K vlem, respectivmete: é: 9
8) Esoce os gráficos ds fuções, ddo o domíio e imgem: ) f ( ) ) f ( ) c) d) f ( ) f ( ) 9) Os vlores de pr os quis ( ) ( ) ( ),8 - Fução Logrítmic Defiição >, 8 O logritmo de um úmero, se, sedo e positivos e é diferete de um, é um úmero, tl que é o epoete de pr se oter, etão: log, sedo >, >, (codição de eistêci) é chmdo de logritmdo é chmdo de se é o logritmo Pr os logritmos decimis, ou sej, queles em que se é, est frequetemete é omitid Eemplo Logritmo de se, otção: log Logritmo de se, otção: log Logritmo de se e, otção: log e esse tipo de logritmo é chmdo de logritmo eperio e pode ser defiido como sedo l Ddo um úmero rel (com < ) chm-se fução logrítmic de se, fução de R em R dd pel lei f( ) log * Pr > tem-se um fução crescete Pr < < tem-se um fução decrescete Grficmete tem-se que:
y log y log > logrítmic crescete < < logrítmic decrescete Figur 8: Gráfico d fução logrítmic crescete Figur 9: Gráfico d fução logrítmic decrescete Domíio: D R Domíio: D R R Im R Imgem: Im { } Imgem: { } Eemplo Costruir o gráfico d seguite fução y log, ( ) Primeiro devemos tirr codição de eistêci, ou sej: > > com codição de eistêci chd, o domíio d fução é própri codição de D R > Pr chr os potos de itersecção com os eios, eistêci, ficdo { } st igulr pr chr y e y pr chr O gráfico io correspode fução y log, ( ) Utilizdo o recurso do Mtl tem-se Figur : >> lispce(-,); % vlores o eio >> >-; %codição de eistêci >> ylog()/log(); %fução logrítmic clculd >> plot(,y); % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y log,()' % Titulo do teto Figur : Gráfico d fução ( ) y log,
Note que este cso fução y log ( ) fz com que, o gráfico se desloque pr, io em dus css Utilizdo o recurso do Mtl tem-se Figur : >> lispce(-,); % vlores o eio >> >-; %codição de eistêci >> y(log()/log())-; %fução logrítmic clculd >> plot(,y); % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y log,()-' % Titulo do teto Figur : Gráfico d fução y log ( ), Filmete rretemos prte egtiv pr prte positiv, por cus do módulo como vemos fução y log ( ) Utilizdo o recurso do Mtl tem-se Figur :, >> lispce(-,); % vlores o eio >> >-; %codição de eistêci >> ys((log()/log())-); %fução logrítmic clculd >> plot(,y); % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y s(log,()-)' % Titulo do teto Figur : Gráfico d fução y log ( ),
Coseqüêcis Decorrem d defiição de logritmo s seguites proprieddes: º) O logritmo de em qulquer se é igul log, pois º) O logritmo d se, qulquer que sej el, é igul log, pois º) A potêci de se e epoete log é igul log, pois o logritmo de se é justmete o epoete que se deve dr à se pr que potêci fique igul º) Se dois logritmos em um mesm se são iguis, etão os logritmdos tmém são iguis pois log log c log log c c c log c Eemplo Clculr o vlor de log log 8 log tem-se que 8 ( ) ( ) log Eemplo Clculr o vlor de tl que ( ) log ( ): log com isso devemos ter, sedo o vlor de Proprieddes opertóris dos logritmos º) Logritmo do produto Pr qulquer se, o logritmo do produto de dois úmeros reis e positivos é igul à som dos logritmos dos úmeros Com isso tem-se que: se <, > e c >, etão: Ess propriedde tmém é válid pr o logritmo de três ou mis úmeros reis e positivos, ou sej: se < e,,, >, etão: > >
Eemplo ) ) º) Logritmo do quociete Pr qulquer se, o logritmo do quociete de dois úmeros de dois úmeros reis e positivos é igul à difereç etre o logritmo do dividedo e o logritmo do divisor Com isso tem-se que: se <, > e c >, etão: Eemplo 6 log c log log c ) log log log 6 ) log log 6 log log log log º) Logritmo d potêci Pr qulquer se, o logritmo de um potêci de se rel e positiv é igul o produto do epoete pelo logritmo d se d potêci Com isso tem-se que: se <, > e r R, etão: Eemplo 7 7 ) log 7log ) log log log Cologritmo r log r log Defie-se o logritmo como o oposto do logritmo, portto: Eemplo 8 co log ) co log log log log, sedo >, > e ) co log log log log 7 ( ) 7 7 7 7 7
Mudç de se A mudç de se é importte, pois é usd pr oter um mesm se dos logritmos em um equção ou iequção Lemrmos que resolução ds mesms só é possível com mesm se Etão tem-se que: Pr resolver questões deste tipo, utilizremos um propriedde que os permite mudr se do logritmo pr outr que for mis coveiete: log m log m, sedo m >, >,, > e log Eemplo 9 Ddos log, e log, 77, clcule: ) log resolução: mudremos se pois os ddos do prolem trzem se, etão: ) log log,77 log,8 log, resolução: este cso teremos que mudr se pr e plicr s proprieddes opertóris coveietes log ( ) log log log log log log log log log log log log,77 log,,97 6 Equção logrítmic A equção logrítmic crcteriz-se pel preseç do sil de iguldde e d icógit o logritmdo Pr resolver um equção, tes devemos ecotrr codição de eistêci do logritmo, determido os vlores d icógit pr que o logritmdo e se sejm positivos, e se diferete de, oservdo s proprieddes coveietes pr cd situção Eemplo Resolv s seguites equções logrítmics: ) log ( ) resolução:
Codição de eistêci > >, logo o domíio d fução é D R >, com isso temos: { } Como 8 log 8 ( ) 7 stisfz codição de eistêci, temos solução { 8} ) log log( ) log( ) resolução: primeiro devemos tirr codição de eistêci: > > > S tirdo itersecção temos que >, sedo etão o domíio d fução será D R > Aplicdo propriedde d potêci temos: log log log log 6 [( )( ) ] ( 6) 6 Resolvedo equção do segudo gru, tem-se que s rízes são: ou, como ão fz prte d região do domíio, etão será solução 7 Iequção logrítmic Idetificmos s iequções logrítmics pel preseç d icógit o logritmdo e de um dos siis de desiguldde:,, <, ou > N resolução de iequções logrítmics, procurmos oter logritmos de ses iguis os dois memros d iequção, pr poder comprr os logritmdos Porém, pr que ão ocorrm distorções, devemos verificr se s fuções evolvids são crescetes ou decrescetes De form gerl, qudo resolvemos um iequção logrítmic, temos que oservr o vlor umérico d se, pois estdo os dois memros d iequção compostos por logritmos de mesm se, pr comprr os respectivos logritmdos temos dois csos cosiderr: 6
Se se é um úmero mior que (fução crescete) utilizmos o mesmo sil d iequção Se se é um úmero etre zero e (fução decrescete), ivertemos o sil d iequção Eemplo Resolver s seguites iequções: ) log < resolução: Primeiro devemos clculr codição de eistêci: > > Clculdo iequção, verificmos que se do logritmo é mior que, logo fução é crescete, com isso, tem se que: < < 8 8 < < A resolução d iequção terá setido se resolvermos à itersecção d respostd iequção com codição de eistêci Logo respost d questão será: ) log ( ) log ( ) { R < < } S resolução: Clculdo codição de eistêci, temos: > > > > > < Tirdo itersecção temos, < < que será codição de eistêci Resolvedo iequção temos: Como s ses são iguis e está etre < <, logo fução é decrescete, com isso devemos iverter o símolo d iequção, comprdo os logritmdos 7
Fzedo itersecção com codição de eistêci temos: S R < < Eercício d Fução Logrítmic ) O úmero rel, tl que 9 log, é : ) Sej m solução rel d equção 7 ) Se log, etão vle: O vlor de m 8 log é: ) Ddo A B C, ode A ( l ), B l e C 8 l A solução d equção é: ) Sedo A e 6 B o vlor de 6 A B log log será ddo por: 6) Esoce o gráfico ds fuções ddo o domíio e imgem: ) f ( ) log ) f ( ) log c) 7) Resolv s seguites equções logrítmics: f ( ) log ) { log [ log ( ) ]} log ) log ( ) colog ( ) log ( ) c) y 6 log log y log 8 d) log log log 8 7) Resolv s seguites iequções: ) log ( ) > log ( ) ) log colog( ) > log 8
Eercícios Geris d ª Prte ) Esoce os gráficos ds fuções ddo o domíio e imgem: ) f(), se,, se, < ) f(), se,, se, < <, se, c) f(), se,, se, < d) f() e) f(), se, <, se,, se, > f) f(), se, >, se, < g) f() log, se, >, se,, se, < ) Costru o gráfico ds seguites fuções: ) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) g) f ( ) log h) f ( ) i) 7 f ( ) log j) f ( ) log 7 ) Complete os qudrdos: ) ) 7 c) y y d) 6 6 7 e) y 6y f) 9 y 6 y g) 9 8 9
- Fução Trigoométric ª Prte Arcos e Âgulos uiddes de medids Tomdo-se dois potos quisquer A e B sore um circuferêci, otemos dois rcos AB e BA Defii-se etão um rco como um ds sus prtes de um circuferêci, limitd por dois potos Uiddes de Medids Pr se medir rcos, dotm-se comumete dus uiddes ásics: Gru uidde segesiml Rdio uidde circulr Dividido-se circuferêci em 6 prtes iguis e ssocido-se cd rco medid de gru (º), etão circuferêci terá 6º Dizemos, portto, que o gru é d circuferêci Covecioou-se que medid do rco AM é igul à medid 6 do âgulo cetrl, A O ) M tomds em relção um mesm uidde Defii-se o rdio (rd) como sedo medid do rco (ou do âgulo cetrl) cujo comprimeto é igul o rio d circuferêci Com isso, têm-se relção de trsformção de âgulo pr rdio, com ess, podemos chr por um regr de três simples o equivlete dos outros grus em rdio Eemplo Quto vle 6º em rdio? Resolução fzedo regr de três tem-se que: 8º π 6º Oservção: Covecioou-se que º 6' e ' 6", com isso º 6", lemrdo que: 6
' miuto e " segudo Eemplo Quto vle o âgulo em rdio? Resolução ou fzedo π,, tem-se que: Eemplo Qul o âgulo coveo formdo pelos poteiros de um relógio o mrcr h mi Resolução α º? α º 9º (º ) Cálculo de : G( poteiro dos miutos) P(poteiro ds hors) qudo G d 6º, P d º qudo G d 7º, P d 6º º Logo:,º 7º Clculdo α º, tem-se que: ou 6
Circuferêci Orietd É circuferêci sore qul fimos um setido positivo de orietção e origem A de medids de rcos Covecioou-se que: Setido-ti-horário os rcos têm sil positivo Setido horário os rcos têm sil egtivo Arcos e Âgulos Côgruos Dois ou mis rcos são ditos côgruos se, e somete se, um mesm circuferêci orietd possuírem mesm origem e mesm etremidde Logo epressão que os dá todos os rcos côgruos, será: sedo: meor determir de ou redução de à primeir volt k úmero de volts módulo de cogruêci Eemplo Qul primeir determição positiv do rco 9º? Resolução 9º? Logo vem que: se questão pedisse primeir determição egtiv, respost seri: º 6º 7º Circuferêci Trigoométric ou Ciclo Trigoométrico É circuferêci orietd que possui s crcterístics: I Rio igul ; II Cetro origem dos eios coordedos e y; III A (,) é origem dos rcos 6
Oserve que os eios coordedos divide circuferêci em qutro rcos, chmdos rcos qudrtes y y ºq ºq ºq ºq Podemos oservr tel seguir: Vrição dos Arcos e côgruos 9º 9º 8º 8º 7º 7º 6º Qudrte correespodete º qud º qud qud qud 6 Fuções Circulres ou Fuções trigoométrics 6 Itrodução São cohecids seis fuções circulres ásics: seo, co-seo, tgete, cotgete, secte e co-secte Pr o estudo desss fuções são ssocidos qutro o ciclo trigoométrico: y B t c A A B eio, que será chmdo de eio dos co-seos; eio y, que será chmdo de eio dos seos; eio t, que será chmdo de eio ds tgetes; eio c, que será chmdo de eio ds co-tgetes 6
Sedo que ão eiste o eio ds sectes em ds co-sectes 7 Fução Seo 7 Coceito Chm-se de fução seo plicção que ssoci cd âgulo cetrl (ou rco AM) à orded PM do poto M, que é igul OQ Ess orded é chmd de se () Isto é: f : PM OQ se( ) f ( ) se( ) ou y se() 7 Domíio e Imgem D ( f ) R, pois R, se() R Im( f ) [,], ou sej, R, se ( ), sedo - e, respectivmete, o míimo e o máimo vlores do seo de 7 Sil d fução 7 Pridde d fução Tomemos um âgulo do º qudrte A ele fz-se correspoder o segmeto se() Tomdo-se o âgulo (o setido horário) o segmeto correspodete será -se() Estededo-se os outros qudrtes o mesmo cotecerá: trocdo-se por, fução tmém mud o sil de se() pr -se() Coclui-se, portto, que: Como R, se( ) se( ), dizemos, etão que fução seo é ímpr 7 Gráfico d fução: seóide >> lispce(-*pi,*pi); % vlores o eio >> ysi(); %fução seo clculd >> plot(,y); % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y se()') % Titulo do teto Segue io Figur referete o gráfico d fução seo 6
76 Periodicidde d fução: Figur : Gráfico de um seóide Dizemos que um fução y f () é periódic qudo há represetções ds imges pr vlores do domíio tomdos em itervlos de mesm vrição A fução seo é periódic de período π rd, pois sedo α um ds determições, s outrs determições serão dds pro α kπ, k Z Tods esss determições, etretto, têm mesm etremidde e, por coseqüêci tods tem o mesmo seo, ou sej: se ( α) se( α kπ ) 8 Fução Co-seo 8 Coceito Chm-se de fução co-seo plicção que ssoci cd âgulo cetrl (ou rco AM à sciss OP do poto M) Ess sciss é chmd de cos( ) Isto é f : OP cos( ) f ( ) cos( ) 8 Domíio e Imgem D ( f ) R, pois R cos( ) R Im( f ) [,], ou sej: R, cos( ), - e, respectivmete, o míimo e o máimo vlores co-seo de 8 Sil d fução 6
8 Pridde d fução Tomemos um âgulo do º qudrte A ele fz-se correspoder o segmeto cos() Tomdo-se o âgulo (o setido horário) o segmeto correspodete será cos() Estededo-se os outros qudrtes o mesmo cotecerá: trocdo-se por, fução ão mud o sil Coclui-se, portto, que: Como R, cos( ) cos( ), dizemos, etão que fução co-seo é pr 8 Gráfico d fução: cosseóide >> lispce(-*pi,*pi); % vlores o eio >> ycos(); %fução seo clculd >> plot(,y); % gráfico com os resultdos >> lel('eio X') %leged do eio horizotl >> ylel('eio Y') % Leged do eio verticl >> title('fuço y cos()') % Titulo do teto Segue io Figur referete o gráfico d fução co-seo Figur : Gráfico de um cosseóide 86 Periodicidde d fução De modo álogo à fução seo, podemos cocluir que o co-seo de um âgulo repete-se de π em π rd Ou melhor: R, cos( π ) cos( ) Dizemos, etão, que fução co-seo é periódic e seu período é π rd ou 6 9 Relções Fudmetis São relções especiis que correspode o estudo do seo e co-seo, vejmos: ) A fução tgete é rzão etre fução seo e co-seo: 66 se( ) tg ( ) cos( )
cos( ) ) A fução co-tgete é ivers d fução tgete: cot g ( ) se( ) ) A fução secte é ivers d fução co-seo: sec( ) cos( ) ) A fução co-secte é ivers d fução seo: cos sec( ) se( ) Relção Fudmetl d Trigoometri Ddo o ciclo trigoométrico, idéi cetrl é costruir um trigulo retâgulo com hipoteus correspodete o rio igul y Como o eio dos correspode fução co-seo e eio dos y correspode fução seo, etão posemos firmr que: se () cos( ) Utilizdo relção de Pitágors temos: Relções Derivds São dus s mis cohecids: se ( ) cos ( ) Vmos provr s fórmuls cim: 67
Dividido relção fudmetl se ( ) cos ( ) memro memro por cos ( ), vem que: se ( ) cos ( ) sec ( ) tg ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) Dividido gor memro memro por se ( ), tem-se: se ( ) cos ( ) cos sec ( ) cot g ( ) se ( ) se ( ) se ( ) Trsformções Trigoométrics se cos o o O segmeto ST, etão o cos( α º β º ) Por outro ldo temos: op op o ST o ST o ot ST PT cos( α º β º ) cos( α º β º ) op op op op ot op PT o ot cos( α º β º ) ot ot ST PT PT op cos( α º β º ) cosα ºcosβ º seα º seβ º cos( β ) cos( β ) Como: se( β ) se( β ) pr temos, pois o seo é um fução ímpr e o co-seo é um fução 68
cos( α º β º ) cos( α º ( β º )) cosα ºcos( β º ) seα º se( β ) cos( α º β º ) cosα ºcosβ º seα º seβ º Lemrr que Temos etão: cos(9α º ) seα º se(9α ) cosα º se( α º β º ) cos(9º ( α º β º )) se( α º β º ) cos[(9º α º ) β º ] se( α º β º ) cos(9º α º )cosβ º se(9º α º ) seβ º se( α º β º ) seα ºcosβ º cosα º seβ º se( α º β º ) se( α º ( β )) se( α º β º ) seα ºcos( β º ) cosα º se( β º ) se( α º β º ) seα ºcosβ cosα º seβ º Com s epressões do co-seo e do seo podemos relciodos com som dos rcos, podemos chr epressão pr tgete se( α º β º ) seα ºcosβ º seβ ºcosα º tg( α º β º ) cos( α º β º ) cosα ºcosβ º seα º seβ º tg( α º β º ) tgα º tgβ º tg( α º β º ) tgα º tgβ º seα ºcosβ º cosα º seβ º cosα ºcosβ º cosα ºcosβ º cosα ºcosβ º seα º seβ º cosα ºcosβ cosα ºcosβ º 69
De modo álogo temos que: tgα º tgβ º tg( α º β º ) tgα º tgβ º Pr s epressões d tgete temos que α, β e Pr rcos duplos temos que: se(α º ) se( α º α º ) seα ºcosα º seα ºcosα º se(α º ) seα ºcosα º α β diferetes de π kπ, k Z cos( α º α º ) cosα ºcosα º seα º seα º cos( α º α º ) cos ( α º ) se ( α º ) tgα º tgα º tg( α º α º ) tgα º tgα º tgα º tg( α º α º ) tg α º 7
Trsformção em Produto Pr ftorção de certs epressões, trigoometri dispõe de lgums fórmuls própris que, qudo ssocids os recursos lgéricos de que já dispomos, permitirão ftorção de epressões como se ( ) se( y), cos( ) cos( y), se ( ) cos( ) etre outrs Trsformção de soms e difereçs de seos: Dd s epressões do seo d som e do seo d difereç de dois rcos: Somdo-se e sutrido s dus epressões memro memro, otemos: se ( α º β º ) se( α º β º ) seα ºcosβ º se ( α º β º ) se( α º β º ) seβ ºcosα º Fçmos α º β º p e α º β º q resolvedo o sistem tem-se que: α º pq β º pq Temos etão: p q p q sepº seqº se cos p q p q sepº seqº se cos Trsformção de soms e difereçs de cosseos: Tomemos s epressões do cosseo d som e do cosseo d difereç de dois rcos: Somdo-se e sutrido s dus epressões memro memro, otemos: cos( α º β º ) cos( α º β º ) cosα ºcosβ º cos( α º β º ) cos( α º β º ) seα ºcosβ º 7
Fçmos α º β º p e α º β º q resolvedo o sistem tem-se que: α º pq β º pq Temos etão: p q p q cos pº cos qº cos cos p q p q cos pº cos qº se se Redução o º qudrte Qulquer âgulo do segudo, terceiro e qurto qudrte, tem relção com o primeiro qudrte Com isso, podemos trsformr esses âgulos com s seguites relções: Redução do º qudrte pr o º qudrte 8º α º β º Redução do º qudrte pr o º qudrte 8α º β º Redução do ºqudrte pr o º qudrte 6º α º β º Os: O âgulo α será o âgulo que queremos chr e o âgulo β, o âgulo do qudrte ser reduzido Eercício d Fução Trigoométric 9π ) f ( ) se cos, etão o vlor de f é: π ) Se cos e < <, etão tg () vle: ) Se se cos com π < <, etão, clcule o se () ) O vlor de K pr o qul ( cos se) k secos é: ) Se α ecosβ se e se α e β estão o º qudrte, etão ( α β) se é: 6)O vlor de ( ) tg cot g se é: 7
π 7) Qul é o período d fução y se 8) Determie o domíio ds seguites fuções: ) tg( 6º ) y ) y cos6 9) Determie o período, imgem, domíio e pridde costruido o seu gráfico ) y se ) y se π c) y cos d) y cos π e) y cos ) Qul o âgulo formdo pelos poteiros de um relógio o mrcr hors e miutos? 6 6 ) Mostre que se ( ) cos ( ) se ( )cos ( ) ) É verdde que se 8º se 7º? Justifique ) O vlor umérico d epressão seº tgº cos º y é: seº cot g6º se7º ) Determie se7º,cosº e sec º ) Prove que se ( c) secos cos c se se sec cos secos c cos cos sec 6) Sedo π y e π y simplifique epressão se ( ) cos( y ) 6 7) Se 7 se θ, π θ θ < θ < etão 8 se cos é igul : 7
Grito Potecição ) ) ) 6 c) d) 8 9 e) f) g) 7 h) i) j) 8 7 l) m) ) 6 o) 9 9 p) q) 7 6 r) Rdicis ) ) ) c) d) e) 8 f) g) 7 h) i) j) l) m) ) o) p) ( y) y 7 q) r) s) 6 t) 6 u) 6 v) 8 ) z) 8 Rciolizção de Deomidores ) ) ) f) g) ( y) l) y 7 6 ( ) m) ( ) c) 9 d) ( ) h) ) o) 7 6 p) ( i) 9 9 q) ) ( ) e) j) 6 r) s) 6y y t) u) 9 y v) 6 ) c z) c 8 z z Produtos Notáveis ) ) 6 6 ) 9 6 6 y y y c) 6 9 y 6 y d) y y e) 6 f) y y y 7
g) y y h) 9 7 6 8 9 6 6 i) y j) 8 6 y 6 y y y l) m) m m ) o) 9 6 p) m 6 m q) 9 7 6 r) s) m m m m 6m m t) u) v) 7 ) m p mp m p z) m Ftorção ) ) ( y)( y)( y ) ) ( y)( y) c) ( y z yz) d) ( 8) e) 7 ( 6) f) ( ) g) ( )( ) h) ( )( ) i) ( )( ) j) ( )( ) l) ( )( ) m) ( 6) ) ( ) o) ( 6) p) ( )( ) Poliômio ) m ) y 7 y c) m d) m m m e) f) 7 8 g) h) i) j) l) m) 8 ) o) Eercícios Geris d ª prte ) ) ) c) d) 8 e) - f) g) h) i) j) - 6 l) 8 m) 8 7
) ) ) c) d) 6 e) f) g) h) i) 7 Fução do º gru ) ) { R / > } ) ) - e ) 6) 7) 8) 9) f ( ) ) ) ) ) R / < < 9 S c) S { R/ > } 6 S ) ) { R / > } ),ºC Fução do º gru ) 9 ) ) - ) S ] ; [ ] ; [ ) ) S { R / > } ) ) 6) { R / } S 7) 7 e 9 Fução Modulr ) {,} S ) {,, } S c) 8, 7 S d) S {,} e) S {,} ) ) ) c) R / S ) S { R/ } 76
) ) ) Fução Epoecil ) ) { R / > } S ) ) 7 ) 9 ) ) 6) 7) e 8) ) ) c) d) 77
9) S { R /,< <,} Fução Logrítmic 8 ) 6 ) ) ) ) 6) ) ) c) 7) ) ) c) {(,)(,,) } S d) S 9, 9 8) ) S { R / < < } ) S { R / > } 78