Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matmática Txto 6 Enunciados quivalnts Sumário 1 Equivalência d nunciados 2 1.1 Obsrvaçõs................................ 5 1.2 Exrcícios rsolvidos........................... 6 Nst txto, iniciamos as aplicaçõs dos concitos rsultados já studados na rsolução d problmas lógicos qu stão associados dirtamnt com a prática matmática. Vamos abordar o problma da quivalência d nunciados. Após studarmos st txto, vamos sr capazs d: ntndr a noção d quivalência d nunciados (construídos por aplicaçõs dos conctivos); dcidir quando dois nunciados (construídos por aplicaçõs dos conctivos) são quivalnts ou não. 1
1 Equivalência d nunciados Na prática, dpndndo d como ntndmos o significado d um nunciado, l pod sr simbolizado d mais d uma manira. Exmplo 1 O nunciado pod sr intrprtado como não é o caso qu 2 não é par (1) não (não (2 é par)), portanto, pod sr simbolizado dirtamnt como d acordo com a lgnda p p : 2 é par Mas, lvando m conta qu dizr qu 2 não é par é o msmo qu dizr qu 2 é ímpar, qu dizr qu 2 não é ímpar é o msmo qu dizr qu 2 é par, tmos qu o nunciado não é o caso qu 2 não é par qur dizr, simplsmnt, qu 2 é par. Assim, uma outra simbolização mais simpls para l, d acordo com a msma lgnda, pod sr Do qu foi dito acima, surg, ntão, a qustão d p dcidir s dois nunciados simbolizados d manira distinta xprssam ou não o msmo contúdo. Vamos vr agora como sta qustão pod sr rsolvida com o uso d tablas, quando os nunciados m qustão têm apnas ocorrências dos conctivos. Intrprtaçõs Sjam ϕ ψ dois nunciados simbolizados, não ncssariamnt distintos. Uma intrprtação para ϕ ψ é uma atribuição d valors, V ou F, para todas as variávis qu ocorrm m ϕ ψ, d modo qu a cada variávl sja atribuído um único valor. 2
Exmplo 2 (a) Os nunciados p p só têm ocorrências d p. Portanto, possum duas intrprtaçõs: p V F (b) Os nunciados (p q) p q só têm ocorrências d p, q. Portanto, possum quatro intrprtaçõs: p q V V V F F V F F (c) Os nunciados p (q r) (p q) r só têm ocorrências d p, q, r. Portanto, possum oito intrprtaçõs: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Obsrv qu, para cada intrprtação para a variávl p, os nunciados p ( p) assumm os msmos valors, como vmos ao comparar a primira a trcira colunas da tabla ( ): p p p V F V F V F Analogamnt, para cada intrprtação para as variávis p, q, os nunciados (p q) p q assumm os msmos valors, como vmos ao comparar a quarta a sétima colunas da tabla ( ): p q p q (p q) p q p q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V 3
Equivalências Sjam ϕ ψ nunciados simbolizados. Dizmos qu ϕ ψ são quivalnts s, para cada intrprtação para ϕ ψ, os valors d ϕ ψ são iguais. O qu qurmos rsolvr é o problma da quivalência d nunciados, isto é, o problma d dados dois nunciados, classificá-los como quivalnts ou não. A discussão acima nos lva a considrar qu podmos usar as tablas, d manira dirta, para rsolvr st problma. Exmplo 3 (a) A tabla ( ) na página 3 mostra qu os nunciados p ( p) são quivalnts. Esta quivalência garant qu não prcisamos scrvr duas aplicaçõs sucssivas do conctivo. (b) A tabla ( ) na página 3 mostra qu os nunciados (p q) p q são quivalnts. Esta quivalência garant qu a ngação d uma conjunção pod sr rscrita como uma disjunção d ngaçõs. (c) Vamos agora vrificar qu os nunciados p (q r) (p q) r não são quivalnts. Isto é, qu a manira como agrupamos os nunciados componnts m aplicaçõs itradas do conctivo é rlvant para a dtrminação do valor do nunciado. Para mostrar isto, dvmos mostrar qu não é o caso qu, para cada intrprtação para p, q, r, os valors d p (q r) (p q) r são iguais. Ou sja, dvmos mostrar qu para ao mnos uma intrprtação para p, q, r, os valors d p (q r) (p q) r são difrnts. D fato, comparando a quinta a sétima colunas da tabla: p q r q r p (q r) p q (p q) r V V V V V V V V V F F F V F V F V V V F V V F F V V F V F V V V V V V F V F F V V F F F V V V V V F F F V V V F obsrvamos qu na sxta linha (dscontando a linha d rfrência), 4
quando p é F, q é V r é F, o nunciado p (q r) é V o nunciado (p q) r é F. Como os valors d p (q r) (p q) r são difrnts para plo mnos uma intrprtação, ls não são quivalnts. 1.1 Obsrvaçõs Obsrvação 1 O método qu usamos para rsolvr o problma da quivalência d nunciados simbolizados pod sr rsumido do sguint modo: Sjam ϕ ψ nunciados simbolizados nos quais ocorrm (xatamnt) as variávis p 1,..., p m. A vrificação da quivalência d ϕ ψ pod sr fita mdiant a xcução dos sguints passos, qu constrom a tabla conjunta d ϕ ψ: 1. Em uma linha d rfrência, scrvmos as variávis p 1,..., p m. 2. Abaixo da linha d rfrência, scrvmos, como usual, todas as intrprtaçõs para p 1,..., p m. 3. Utilizando as tablas dos conctivos, calculamos gradativamnt todos os valors d cada nunciado simbolizado utilizado na formação d ϕ, até obtr o valor d ϕ. 4. Utilizando as tablas dos conctivos, calculamos gradativamnt todos os valors d cada nunciado simbolizado utilizado na formação d ψ qu ainda não foram avaliados, até obtr o valor d ψ. 5. Comparamos a coluna rotulada com ϕ com a coluna rotulada com ψ. S las são iguais, ϕ ψ são quivalnts. Caso contrário, não são. Obsrvação 2 Construir a tabla conjunta d ϕ ψ comparar s as colunas rotuladas com ϕ com ψ nsta tabla são iguais ou não, é o msmo qu construir a tabla do nunciado ϕ ψ vrificar s na última coluna dsta tabla ocorr somnt V. Assim, o problma da quivalência d dois nunciados ϕ ψ pod sr rsolvido tanto pla construção xam da sua tabla conjunta, quanto pla vrificação d s a bi-implicação ϕ ψ é V m todas as suas intrprtaçõs. Obsrvação 3 Exist uma infinidad d pars d nunciados quivalnts. D fato, uma lista infinita trivial é: p p p p p p 5.
Mas, alguns pars d nunciados quivalnts são mais importants do qu outros, pois xprssam propridads dos conctivos qu (1) sclarcm as intrrlaçõs xistnts ntr ls; (2) apontam smlhanças difrnças qu ls possum com rlação a partículas d outros domínios da Matmática como, por xmplo, as opraçõs aritméticas. No Exrcício 2, vmos xmplos d pars d nunciados quivalnts qu são usados para xprssarmos um conctivo usando os outros; no Txto 7, vmos xmplos d pars d nunciados quivalnts qu são usados para simplificar a rdação d ngaçõs; mais adiant, ainda, vamos usar crtos pars d nunciados quivalnts para raciocinar! Equivalência d nunciados é, d fato, um dos concitos mais importants da Lógica da Linguagm Matmáticas. 1.2 Exrcícios rsolvidos Exrcício 1 Dtrmin, usando tablas, s os nunciados dados são quivalnts. (i) p ( q) ( p) q (ii) p q (p q) (q p) (iii) p (q r) (p q) (p r) (iv) p (q r) (p q) (p r) (v) (p q) r p (q r) Exrcício 2 Já vimos acima dois xmplos muito importants d nunciados quivalnts: ( p) p (p q) ( p) ( q). Obsrv qu stas quivalências stão associadas a ngação d nunciados molculars. D fato, a primira garant qu a ngação da ngação d um nunciado é quivalnt ao nunciado; a sgunda, garant qu a ngação d uma conjunção pod sr rscrita como uma disjunção d ngaçõs. Nst xrcício, vamos tr contato com outros xmplos importants d nunciados quivalnts, rlacionados à intrdfinibilidad dos conctivos. Mostr, usando tablas, qu os sguints nunciados são quivalnts, quaisqur qu sjam os nunciados ϕ ψ. Equivalência Nom da quivalência (i) ϕ ψ ( ϕ ψ) Dfinição do a partir d (ii) ϕ ψ (ϕ ( ψ)) Dfinição do a partir d (iii) ϕ ψ ( ϕ ψ) Dfinição do a partir d (iv) ϕ ψ ( ϕ) ψ Dfinição do a partir d (v) ϕ ψ (ϕ ( ψ)) Dfinição do a partir d (vi) ϕ ψ ( ϕ) ψ Dfinição do a partir d 6
Exrcício 3 Dtrminar a quivalência d nunciados é uma habilidad qu todo studant d Matmática dv possuir pois, muitas vzs, uma afirmação matmática não é fita d uma forma dirta (ou sja, da manira qu o litor spra) mas, sim, na forma d um nunciado quivalnt. Nst xrcício, vmos vários xmplos dsta situação. Vrifiqu s os sguints nunciados são quivalnts ou não. Isto é, simboliz-os utiliz tablas para dcidir s são quivalnts. (i) (ii) não é o caso qu st triângulo é rtângulo ao msmo tmpo obtusângulo st triângulo é rtângulo, portanto, não é obtusângulo não é o caso qu: x é primo s, somnt s, x é ímpar x é primo ou ímpar (iii) (iv) s é prpndicular a t sgu d: r é paralla a s prpndicular a t r é paralla a s s não é prpndicular a t acarrta m r não é prpndicular a t s r é prpndicular a s s é prpndicular a t, ntão r é prpndicular a t s r não é prpndicular a s s não é prpndicular a t, ntão r não é prpndicular a t (v) s x é par primo, ntão x é difrnt d 2 s x = 2, ntão x nm é par nm primo Ants d lr as rspostas as rsoluçõs, tnt rsolvr os xrcícios usando os concitos studados. Rspostas do Exrcício 1: (i) Não são quivalnts. Na tabla d (p ( q)) (( p) q) ocorr F quando p, q são V, F. (ii) Equivalnts. Na tabla d (p q) ((p q) (q p)) ocorr V m todas as intrprtaçõs. (iii) Equivalnts. Na tabla d (p (q r)) ((p q) (p r)) ocorr V m todas as intrprtaçõs. (iv) Equivalnts. Na tabla d (p (q r)) ((p q) (p r)) ocorr V m todas as intrprtaçõs. (v) Não são quivalnts. Na tabla d ((p q) r) (p (q r)) ocorr F quando p, q, r são F, V, V. 7
Modlo d rsolução do Exrcício 2: (i) Construindo a tabla do nunciado θ : (ϕ ψ) ( ( ϕ ψ)), tmos: ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ( ϕ ψ) θ V V V F F F V V V F V F V F V V F V V V F F V V F F F V V V F V Como na tabla ocorr V m todas as intrprtaçõs, os nunciados são quivalnts. (ii) (vi): Raciocínios similars ao mprgado no itm (i) podm sr usados na vrificação d todas as quivalências. Rsolução do Exrcício 3: (i) O nunciado não é o caso qu st triângulo é rtângulo ao msmo tmpo obtusângulo pod sr rscrito como não ( (st triângulo é rtângulo) (st triângulo é obtusângulo)). O nunciado st triângulo é rtângulo, portanto, não é obtusângulo pod sr rscrito como s (st triângulo é rtângulo), ntão ( não (st triângulo é obtusângulo) ). Enunciados da forma ϕ portanto ψ são rscritos como s ϕ, ntão ψ. r : st triângulo é rtângulo D acordo com a lgnda: os nunciados podm sr simbolizados por (r o) r o. Na tabla d (r o) (r o) o : st triângulo é obtusângulo, ocorr V m todas as intrprtaçõs (Confira sta informação!) São quivalnts. (ii) Lgnda: Simbolização: (p i) p i Na tabla d p : x é primo i : x é ímpar. (p i) (p i) ocorr F quando p, i são V, V (Confira sta informação!) Não são quivalnts. (iii) O nunciado s é prpndicular a t sgu d: r é paralla a s prpndicular a t pod sr rscrito como s ( (r é paralla a s) (r é prpndicular a t) ), ntão (s é prpndicular a t). Enunciados da forma ϕ sgu d ψ são rscritos como s ψ, ntão ϕ. O nunciado r é paralla a s s não é prpndicular a t acarrta m r não é prpndicular a t pod sr rscrito como s (r é paralla a s) ( não (s é prpndicular a t) ) ntão, ( não (r é prpndicular a t) ) Enunciados da forma ϕ acarrta m ψ são rscritos como s ϕ, ntão ψ. p : r é paralla a s D acordo com a lgnda: q : r é prpndicular a t os nunciados podm sr r : s é prpndicular a t, simbolizados por (p q) r (p r) q. Na tabla d ((p q) r) ((p r) q) ocorr V m todas as intrprtaçõs (Confira sta informação!) 8
p : r é prpndicular a s São quivalnts. (iv) D acordo com a lgnda: q : s é prpndicular a t os r : r é prpndicular a t, nunciados podm sr simbolizados como (p q) r ( p q) r. Na tabla d ((p q) r) (( p q) r) ocorr F quando p, q, r são V, V, F. (Confira sta informação!) Não são quivalnts. (v) Para rsolvr st itm, sugrimos p : x é par qu você utiliz a lgnda: q : x é primo obsrv qu r : x = 2 Enunciados da forma nm ϕ nm ψ são rscritos como (não ϕ) (não ψ). Você dv dscobrir qu os nunciados não são quivalnts. Mas, para confrir a rsposta, discuta-a com outros alunos! c 2014 Márcia Crioli, Rnata d Fritas Ptrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF 9