MÓDULO 3 - AULA 5 Aula 5 Forma polar dos úmeros complexos Objetivos Represetar os úmeros complexos ão-ulos a forma polar. Multiplicar úmeros complexos a forma polar e iterpretar geometricamete a multiplicação. Coceitos: Números complexos e Trigoometria. Extrair raízes -ésimas de úmeros complexos. Vamos fazer uma outra represetação dos úmeros complexos ãoulos, chamada forma polar ou forma trigoométrica dos úmeros complexos. Esta represetação émuitoútil para multiplicar úmeros complexos, iterpretar geometricamete a multiplicação de úmeros complexos ão-ulos, extrair raízes -ésimas de úmeros complexos e visualizar a radiciação de úmeros complexos o plao. Sejam z = a+bi um úmero complexo ão-ulo e r = z = a + b 0oseumódulo. O poto P =(a, b)doplaoquerepresetaz 0,édiferete da origem O =(0, 0). Portato, o segmeto de reta OP determia com o eixo x um âgulo maior ou igual a zero grau e meor do que 360 graus, cuja medida θ, emradiaos,estáoitervalo[0, π). Oúmero real θ éoargumeto de z eescrevemosarg(z) = θ. Lembre que: Ocírculo trigoométrico éo círculo de raio 1. A medida em radiaos de um âgulo ão-egativo éo comprimeto do arco correspodete o círculo trigoométrico. O comprimeto da circuferêcia de raio 1 éπ radiaos. Osímbolo arg(z) =θ lê-se argumeto de zê igual a teta. Figura 5.1: Argumeto θ de z = a + bi 0er = a + b. Geometricamete, o argumeto de z é a medida em radiaos, o círculo trigoométrico, do âgulo que devemos girar o semi-eixo positivo da reta 1 CEDERJ
Em Matemática, o argumeto do úmero complexo z ão-ulo éa medida do comprimeto do arco correspodete o círculo trigoométrico. Na ossa liguagem, um argumeto éumraciocíio pelo qual se chega a uma coseqüêcia ou dedução. Cosulte um dicioário, para apreder outros sigificados da palavra argumeto as áreas de História, Filosofia e Astroomia. real, o setido ati-horário, até coicidir com o segmeto OP. Observeque a = r cos θ e b = r se θ. Portato, arg(z) =θ, com θ [0, π), cos θ = a e seθ = b r r Nas figuras a seguir, represetamos o poto P do plao correspodete ao úmero complexo z 0eavariação do sial do cosseo edoseo do âgulo de θ radiaos, ode θ =arg(z), coforme o quadrate em que se ecotra z. Quadrate I: 0 <θ< π cos θ>0e seθ>0. Quadrate II: π <θ<π cos θ<0e seθ>0. Quadrate III: π<θ< 3π cos θ<0e seθ<0. Quadrate IV: 3π <θ<π cos θ>0e seθ<0. Figura 5.: (cos θ, se θ). Poto Lembre que: Para cada θ [0, π), 1 cos θ 1 e 1 se θ 1. O cosseo e o seo de θ satisfazem a relação: cos θ +se θ =1, pois, qualquer que seja θ [0, π), o poto do plao (cos θ, se θ) estáocírculo de cetro a origem e raio 1, represetado a Figura 5.. Na Figura 5.3, estão os valores do cosseo e do seo de algus âgulos otáveis em radiaos etre θ =0 e θ =π, represetados o círculo de raio 1! CEDERJ
MÓDULO 3 - AULA 5 Figura 5.3: Represetação de θ radiaos, cos θ eseθ o círculo de raio 1. Exemplo 1 Determiemos o argumeto de cada um dos seguites úmeros complexos: a. z 1 =3,z = 3, z 3 =i e z 4 = i. Faça a represetação o plao desses úmeros complexos para visualizar os seus argumetos. z 1 e z estão situados sobre a reta real, sedo z 1 o semi-eixo positivo e z o semi-eixo egativo. Logo, θ 1 =arg(z 1 )=0 e θ =arg(z )=π. z 3 e z 4 estão situados sobre o eixo imagiário, sedo z 3 o semi-eixo positivo e z 4 o semi-eixo egativo. Logo, θ 3 =arg(z 3 )= π e θ 4 =arg(z 4 )= 3π. b. z 5 = i, z 6 = 1 3i. Primeiramete, observe que z 5 e z 6 estão os quadrates IV e III, respectivamete. Como r 5 = z 5 = +( ) = 8= 3 =, temos: cos(θ 5 ) = = 1 = 1 se(θ 5 ) = = 1 = 1 = = Logo, θ 5 =arg(z 5 )= 7π (veja a Figura 5.3). 4 Como r 6 = z 6 = ( 1) +( 3) = 4=,temosque: cos(θ 6 )= 1 = 1 Logo, θ 6 =arg(z 6 )= 4π 3 e se(θ 6 )= 3 (veja a Figura 5.3).. = 3. A forma polar ou forma trigoométrica do úmero complexo ão-ulo z = a + bi, com módulo r = a + b e argumeto arg(z) =θ é: z = r(cos θ + i se θ), ode cos θ = a r e seθ = b r. Curiosidade: Costuma-se escrever e iθ =cosθ + i se θ. Em particular, e iπ =cosπ + i se π = 1. ÉdevidoaEulerumadas mais belas fórmulas de Matemática e iπ +1=0, evolvedo cico úmeros importates 0, 1,e,π,i. 3 CEDERJ
Quado expressamos um úmero complexo ão-ulo a forma polar, explicitamos o seu módulo e o seu argumeto. Exemplo Vamosexpressarosúmeros complexos do Exemplo 1 a forma polar, aproveitado os cálculos dos seus módulos e argumetos: z 1 =3=3(cos0+ise 0), z = 3 =3(cosπ + i se π), z 3 =i =(cos π + i se π ), z 4 = i =(cos 3π + i se 3π ), z 5 = i = (cos 7π + i se 7π ), z 4 4 6 = 1 3i =(cos 4π + i se 4π ). 3 3 Produto de úmeros complexos a forma polar: Dadososcomplexosz 1 = r 1 (cos θ 1 + i se θ 1 ) e z = r (cos θ + i se θ ), temos: z 1 z = r 1 r (cos(θ 1 + θ )+i se(θ 1 + θ )). Arelação acima dá uma iterpretação geométrica para o produto de úmeros complexos ão-ulos: para calcular o produto, é suficiete calcular o produto dos módulos de z 1 e z e somar os seus argumetos θ 1 e θ. De fato, z 1 z = r 1 (cos θ 1 + i se θ 1 )r (cos θ + i se θ ) = r 1 r ((cos θ 1 cos θ se θ 1 se θ )+i(cos θ 1 se θ +seθ 1 cos θ )) = r 1 r (cos(θ 1 + θ )+ise(θ 1 + θ )). Na última igualdade, usamos as duas idetidades trigoométricas: cos(θ 1 + θ )=cosθ 1 cos θ se θ 1 se θ se(θ 1 + θ )=cosθ 1 se θ +seθ 1 cos θ. Exemplo 3 Vamos determiar a forma polar o produto z 1 z, sedo z 1 = 5+5 3i e z = 3 i. Temos r 1 = ( 5) +(5 3) = 5 + 5 3= 100 = 10 r = ( 3) +( ) = 4 3+4= 16 = 4. Portato, r 1 r =40. Note que z 1 e z estão os quadrates II e IV, respectivamete. Além disso, cos θ 1 = 5 10 = 1 = 1 e seθ 1 = 5 3 10 = 3,osdá θ 1 =arg(z 1 )= π 3 ; e cos θ = 3 4 = 3 e seθ = 4 = 1 = 1,osdá θ =arg(z )= 11π 6. CEDERJ 4
Assim, θ 1 + θ = π 3 + 11π 6 = 15π 6 = 1π 6 + 3π 6 =π + π. Logo, z 1 z = 40(cos(π + π)+ise(π + π )) = 40(cos π + i se π ). Ao marcarmos sobre o círculo trigoométrico os comprimetos de θ radiaos e θ +π radiaos, o setido ati-horário, começado o poto A =(1, 0), correspodete a 0 radiao, paramos o mesmo poto P. Assim, os segmetos OA e OP, segmetos iicial e fial para a determiação do âgulo em graus correspodete a θ radiaos e a θ +π radiaos, coicidem (Figura 5.4). θ e θ +π Figura 5.4: Cogruêcia de radiaos. MÓDULO 3 - AULA 5 Para visualizar os argumetos, faça a represetação o plao dos úmeros complexos z 1,z e z 1 z. Dizemos que θ radiaos e θ + π radiaos são cogruetes. Geometricamete, θ+π sigificaumavoltaamaisocírculo trigoométrico, a partir de θ. Dizemos que o cosseo e o seo são periódicas de período π porque satisfazem: cos θ =cos(θ +π) e seθ =se(θ +π). Qual é o argumeto do produto z 1 z? Como 0 θ 1 =arg(z 1 ) < π e 0 θ =arg(z ) < π, temos 0 θ 1 + θ < 4π eháum úico θ, com0 θ<π tal que cos θ =cos(θ 1 + θ )eseθ =se(θ 1 + θ ). Dizemos que θ, pertecete ao itervalo [0, π), é cogruete a θ 1 + θ earg(z 1 z )=θ. Assim, z 1 z éoúmero complexo, tal que z 1 z = r 1 r e arg(z 1 z )=θ [0, π), com θ cogruete a θ 1 + θ. Jea Robert Argad, um matemático amador, ascido a Suíça em 1768, ficou famoso pela sua iterpretação geométrica dos úmeros complexos, ode i é iterpretado como uma rotação de 90 o. Arepresetação o plao dos úmeros complexos é cohecida como plao de Argad-Gauss. Para saber mais sobre Argad, cosulte http://www-history.mcs.st -adrews.ac.uk/ history/ Mathematicias/Argad.html Exemplo 4 O que sigifica multiplicar um úmero complexo z 0pori? Oúmero complexo iz tem módulo iz = z e seu argumeto é cogruete aarg(z)+ π. O produto de i por z correspode a uma rotação de 90 o em toro da origem, o setido ati-horário, do poto do plao que represeta z (Figura 5.5). Figura 5.5: Multiplicação de z 0pori. 5 CEDERJ
Exemplo 5 Quado multiplicamos dois complexos z 1 e z de módulo 1 e argumetos θ 1 e θ, o produto éoúmerocomplexodocírculo de raio 1 cetrado a origem defiido por θ 1 + θ. Para ilustrar, cosideremos z 1 = 3 + 1i e z = 1 + 3i. Verificamos que z 1 =1, z =1,arg(z 1 )= π 6 earg(z )= π. Como π + π 3 6 3 = π,temos z 1 z =cos π + i se π = i. A multiplicação a forma polar permite determiar uma expressão para potêcias de expoete atural 1cujabaseéumúmero complexo ãoulo, coforme veremos a seguite proposição. Para apreder idução, cosulte o Módulo 3 de Matemática Discreta. Abraham De Moivre Vitry, Fraça. 1667-1754 Deu grades cotribuições para Estatística, Probabilidade e Trigoometria. Desevolveu o coceito de evetos estatisticamete idepedetes eescreveuum tratado importate de Probabilidade. Teve uma vida simples e modesta, como tutor particular de Matemática. Quer saber mais? Cosulte: http://www-history.mcs.st -adrews.ac.uk/ history/ Mathematicias/ De Moivre.html Proposição 5.1 (Fórmula de De Moivre) Seja z 0umúmero complexo dado a forma polar z = r(cos θ + i se θ). Etão, para cada úmero atural 1, z = r (cos(θ)+i se(θ)). Demostração: Esta demostração será feita por idução sobre o expoete, istoé: verificamos que a fórmula éválida para = 1, supomos a fórmula verdadeira para (hipótese de idução) e mostramos que éválida para +1. Temos z = r(cos θ + i se θ), que correspode à substituição de =1a expressão do euciado. Supohamos que a fórmula vale para. Etão, z +1 = z z = r(cos θ + i se θ) [r (cos(θ)+ise(θ))] = r +1 [cos(θ + θ)+ise(θ + θ)] = r +1 [cos (( +1)θ)+ise(( +1)θ)], ode a seguda igualdade segue da hipótese de idução, a terceira da multiplicação de úmeros complexos a forma polar e a última mostra a validade da fórmula do euciado em +1. Cocluímos, por idução, a validade da fórmula para todo úmero atural 1. Exemplo 6 Seja z = 3+i. Vamos calcular z 8. Nesse caso, r = ( 3) +1 = 3+1= 4=. Além disso, as relações cos θ = 3 3 = e seθ = 1 os dizem que arg(z) =θ = 5π ( 6. Logo, z = cos 5π 6 + i se 5π ) e 6 ( z 8 = (cos 8 8 5π ) ( + i se 8 5π )) ( = 56 cos 40π ) 40π + i se. 6 6 6 6 CEDERJ 6
MÓDULO 3 - AULA 5 Vamos determiar arg(z 8 ), isto é, θ [0, π) comθ cogruete a 40π 6. Escrevemos 40π = 0π 18π +π = =6π + π (6π correspode a 3 voltas 6 3 3 3 o círculo trigoométrico). Portato, θ = π ( 3 é o argumeto de z8 e z 8 = 56 cos π 3 + i se π ). 3 Exemplo 7 Seja z = 1+i. Vamos calcular z 6. Nesse caso, r = ( 1) +1 = 1+1=. Além disso, as igualdades cos θ = 1 = 1 = e seθ = 1 =, os dizem que arg(z) =θ = 3π 4. Logo, z = ( cos 3π 4 + i se 3π ) e 4 z 6 =( ( ) (cos 6 6 3π ) ( + i se 6 3π )) ( =8 cos 18π ) 18π + i se. 4 4 4 4 Vamos determiar arg(z 6 ), isto é, θ [0, π) comθ cogruete a 18π 4. Escrevemos 18π = 9π 4 = 8π + π =4π + π (4π correspode a voltas o círculo trigoométrico). Portato, θ = π ( é o argumeto de z6 e z 6 =8 cos π + i se π ) =8i. Curiosidade sobre De Moivre Previu a data da sua morte: morreria o dia que dormisse por 4 horas, cosiderado que dormia 15 miutos a mais cada oite. Para calcular o dia da sua morte usou uma progressão aritmética! Você, certamete, já observou que o cálculo do argumeto de z subtraímos de arg(z) ummúltiplo iteiro coveiete de π, demodoaobter um úmero real θ [0, π). Nesse caso, arg(z )=θ. Defiição 5.1 (Raízes complexas -ésimas) Dado um úmero complexo z 0eumúmero atural, defiimos as raízes complexas -ésimas de z como sedo os úmeros complexos w tais que w = z. A expressão -ésimas lê-se eésimas. Exemplo 8 Calculado, (3i) =9i = 9 e( 3i) =( 3) i = 9, cocluímos que 3i e 3i são raízes complexas quadradas de 9. Exemplo 9 Tomado z =1e = 4 temos que todo w {1, 1,i, i} satisfaz w 4 =1e é chamado uma raiz complexa quarta da uidade. Exemplo 10 As raízes complexas cúbicas de 8i são os úmeros i, 3+i, 3+i. 7 CEDERJ
De fato, temos ( i) 3 =( ) 3 i 3 =( 8) ( i) =8i. Para calcular o cubo dos úmeros 3+i e 3+i escrevemos primeiro a sua forma polar: ( 3+i = cos π 6 + i se π ) e ( 3+i = cos 5π 6 6 + i se 5π ). 6 Usadoafórmula de De Moivre, obtemos: ( ( 3+i) 3 = 3 cos π + i se π ) =8i, ( ( 3+i) 3 = 3 cos 5π + i se 5π ) ( ( = 3 cos π + π ) ( + i se π + π )) ( = 8 cos π + i se π ) =8i. Para cada úmero real r 0 e para cada úmero atural, o símbolo r sigifica o úmero real ρ 0, tal que ρ = r ρ = r, ρ 0. Lembre que: 4 16 =, 5 = 5, 6 1=1. Proposição 5. (Raízes complexas -ésimas) Todo úmero complexo z 0temexatamete raízes complexas -ésimas de z, para cada úmero atural, a saber, ( ( ) ( )) z k = θ +kπ θ +kπ r cos + i se, k =0, 1,..., 1, ode r = z e θ =arg(z). Lê-se ρ como rô eφ, comofi. Lê-se λ como lambda. Demostração: Seja umúmero atural dado. Primeiramete, escrevemos z a forma polar z = r(cos θ + i se θ), ode r = z e θ =arg(z). Vamoscalcularasraízes -ésimas também a forma polar. Queremos determiar os úmeros complexos w = ρ(cos φ + i se φ) taisquez = w. Como w = ρ (cos(φ)+ise(φ)), temos w = z se, e somete se, { { ρ = r ρ = r, ρ R,ρ>0 φ = θ +πλ, λ N φ = θ +πλ,λ N Aequivalêcia sobre φ foi obtida usado as idetidades cos(φ) = cosθ =cos(θ +π) =cos(θ +4π) = =cos(θ + λ π), se(φ) = seθ =se(θ +π) =se(θ +4π) = =se(θ + λ π), para todo úmero atural λ. Fazedo a divisão euclidiaa de cada λ N por, obtemos λ = q + k, sedo q N e 0 k 1. Assim, φ = θ +πλ θ +π(q + k) = = θ + πk +πq. Logo, φ é cogruete a φ k = θ + πk,parak =0, 1,..., 1. Portato, para cada k =0, 1,..., 1há uma raiz complexa -ésima de z, determiada pelo argumeto φ k,asaber: φ 0 = θ, φ 1 = θ + π, φ = θ + π,..., φ = θ +( ) π, φ 1 = θ +( 1) π, CEDERJ 8
MÓDULO 3 - AULA 5 sedo as raízes complexas -ésimas de z dadas por z k = r(cos φ k + i se φ k ), φ k = θ +kπ, k =0, 1,..., 1. Observação Quado z éumúmero real positivo, temos arg(z) = 0easraízes complexas -ésimas de z têm argumeto dado por φ k = kπ, ode k = 0, 1,..., 1. Geometricamete, as raízes complexas -ésimas do úmero real positivo z = z são os potos que dividem em partes iguais o círculo de raio z cetrado a origem. Exemplo 11 As 4 raízes complexas quartas de 16 são:, i,, i, determiadas por φ k = π k = π k 4,k =0, 1,, 3eρ = 4 16 =. Assim, φ 0 =0 z 0 =(cos0+ise 0) =, φ 1 = π z 1 =(cos π + i se π )=i, φ = π z =(cosπ + i se π) =, φ 3 = 3π z 3 =(cos 3π + i se 3π )= i. Veja a Figura 5.6 arepresetação geométrica das raízes complexas quartas de 16 o círculo de raio = 4 16 cetrado a origem. Figura 5.6: Raízes quartas de 16. As raízes complexas -ésimas de z = 1são chamadas raízes -ésimas da uidade. Nesse caso, θ = arg(1) = 0, φ k = kπ, ode k =0, 1,..., 1. As raízes complexas -ésimas da uidade são os potos z k,comk =0, 1,..., 1 do círculo trigoométrico que o dividem em partes iguais, sedo z 0 =1. Veja a Figura 5.6 a represetação geométrica das raízes complexas quartas da uidade o círculo de raio 1 cetrado a origem. Exemplo 1 Nas Figuras 5.7 e 5.8, estão represetadas as raízes complexas cúbicas da uidade e as raízes complexas sextas da uidade, respectivamete. Exemplo 13 Vamos determiar as raízes cúbicas de z = 7i. Temos r =7 e θ =arg(z) = 3π. Etão, θ = 3π = π, φ 3 6 k = π + k π, 3 k = 0, 1,. Portato, as raízes complexas cúbicas têm como módulo o úmero real ρ = 3 7 = 3 e argumetos φ k. Assim, 9 CEDERJ
Figura 5.7: Raízes complexas cúbicas de 1. Figura 5.8: sextas de 1. Raízes complexas φ 0 = π = z 0 =3(cos π + i se π )=3i; φ 1 = π + π = 7π = z 3 6 1 =3(cos 7π + i se 7π )=3( 3 i 1 )= 3 3 3 i 6 6 e φ = π + π = 11π = z 3 6 =3(cos 11π 11π +i se 6 6 )=3( 3 i 1)= 3 3 3i. Exemplo 14 Vamos determiar as raízes complexas quadradas de z =+ 3i. Temos r = +( 3) = 4+4 3 = 16 =4eρ = r = 4=. Seja θ =arg(z). Etão, cos θ = = 1 e seθ = 3 = 3. Logo, θ = π. 4 4 3 Assim, φ k = θ + k π = π + k π com k =0, 1. 6 Logo, φ 0 = π = z 6 0 =(cos π + i se π 6 6 )=( 3 + 1 i)= 3+i e φ 1 = π + π = 7π = z 6 6 1 =(cos 7π + i se 7π )=( 3 1i)= 3 i. 6 6 Resumo Você apredeu a forma polar de um úmero complexo ão-ulo, que explicita o módulo e o argumeto; a fazer a multiplicação de dois úmeros complexos escritos a forma polar; a calcular potêcias de expoete atural 1deúmeros complexos ão-ulos escritos a forma polar. Agora você sabe a iterpretação geométrica da multiplicação de úmeros complexos e apredeu a calcular as raízes complexas -ésimas de um úmero complexo ão-ulo. Exercícios CEDERJ 10 1. Determie o módulo, o argumeto e escreva o úmero complexo z a forma polar. Represete z o plao, idicado o seu móduloeoseu argumeto o deseho.
MÓDULO 3 - AULA 5 a. z =3 3i. b. z = 1+i. c. z =4+4i. d. z =5i. e. z = 7. f. z =+i. g. z = 3 i. h. z = 3 i. i. z = 1 1 i. j. z =5. k. z = i. l. z = 3i.. Calcule z 1 z : a. z 1 =(cos π + i se π ) 5 5 e z =3(cos 3π + i se 3π ). 5 5 b. z 1 =3(cos π 6 + i se π 6 ) e z =cos 5π 6 + i se 5π 6. c. z 1 = 3 7π 7π (cos + i se ) e z 1 1 =(cos 11π 11π + i se ). 1 1 d. z 1 =3(cos 3π 8 + i se 3π 8 ) e z =5(cos 7π 8 + i se 7π 8 ). 3. Calcule as potêcias: a. ( + i) 5. b. ( 1+i) 7. c. ( 3 i) 10. d. ( 1+ 3i) 8. 4. Refaçaoexercício 4, da Aula 19, usado a forma polar de um úmero complexo. 5. Dado z =cos π + i se π, determie: 15 15 z5, z 5 easraízes complexas 4-ésimas de z 0. 6. Determie os valores do úmero atural, para os quais ( + i) : a. éumúmero real. b. é um imagiário puro. 7. Determie as raízes complexas -ésimas de z: a. =,z =1 3i. b. =4,z =3. c. =3,z = 16 + 16i. d. =6,z = 1. 8. Determie e represete o plao as raízes complexas -ésimas de z =1, para =, 3, 4, 6, 8, 1. Auto-avaliação Você sabe determiar a forma polar de um úmero complexo z 0? Qual a utilidade da forma polar? Se você ão sabe respoder, volte ao texto, releia as defiições de módulo de z, argumeto de z eformapolardez erefaça os exemplos. Os cohecimetos elemetares de Trigoometria são importates para a determiação do argumeto de z. Talvez a sua dificuldade esteja a Trigoometria. Que tal uma revisão dessa matéria? As aplicações 11 CEDERJ
da forma polar sãoocálculo de potêcias de expoete atural e a radiciação de úmeros complexos. Os exercícios só requerem escrever a forma polar de um úmero complexo (Exercício 1), multiplicar úmeros complexos a forma polar (Exercício ) e saber determiar as potêcias aturais (Exercícios 3, 4, 5e6)easraízes complexas -ésimas de um úmero complexo (Exercícios 5, 7 e 8). CEDERJ 1