A Matemática do Ensino Médio, volume 3 CAPÍTULO 5. = 1+2a2 +a 4

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1 A Matemática do Esio Médio, volume SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS CAPÍTULO = cos 00 +i se 00 (1 ) 5 = 5 cos(5 00 )+ise(5 00 )= cos i se 1500 = cos 60 + i se 60 = (cos60 + i se 60 ) = 1 + i = i. Seja z = 1+ai = (1+ai) (1+ai) = (1+ai) = 1+ai a = 1 a a + i 1 ai (1 ai) (1+ai) 1+a 1+a 1+a 1+a 1 a 1+a + a 1+a = 1 a +a 4 +4a = 1+a +a 4 = (1+a ) (1+a ) (1+a ) 1+ai 1 ai =1 z = (1+a ) =1. Seja z = x + iy, comx e y reais. Seja θ o argumeto de z, demodoquez = x + iy = ρ(cos θ + i se θ). Seja ω = x + y e α o argumeto de ω. Como ( x) +( y) = x + y, etão ω = ρ(cos α + i se α), se θ = y ecosθ = x ρ ρ se α = y ρ ecosα = x ρ Etão, α θ é igual a uma quatidade ímpar de meias voltas. α θ =(k +1) π, k Z 4. Seja z = x + iy, comx e y reais. Seja θ o argumeto de z, demodoquez = x + iy = ρ(cos θ + i se θ). Etão, ta θ = y x S Seja α o argumeto do cojugado z. z = x iy. Portato, ta α = y x = ta θ =ta( θ) α = θ +kπ. Etão, a soma α + θ é igual a uma quatidade iteira de voltas α + θ =kπ. 1

2 5. +i =1 cos 0 + i se 0 ( +i) 1 =(cos0 +i se 0 ) 1 = 1 cos( 1 0 )+i se( 1 0 )= cos( 60 + i se( 00 )= 1 cos i se 0 = z = + i 1 = cos 0 + i se 0 +se0 1+z + z + + z 50 = z51 1 (soma dos termos de uma P.G.) z 1 z 51 =1 51 cos(51 0 )+ise(51 0 )=1 cos i

3 10. i =1cos90 + i se 90 1 cos 0 + i se i = 1 cos i se cos 70 + i se 70 1 cos 0 + i se 0 = + i 1 cos i se 150 = + i 1 cos 70 + i se 70 = i Resposta: + i, + i, i = 16[cos i se 180 ] cos45 + i se [cos i se 180 ]= cos 15 + i se cos 5 + i se cos 15 + i se 15 cos 45 + i se 45 =( + i )= + i cos 15 + i se 15 =( + i )= + i cos 5 + i se 5 =( i )= + i cos 15 + i se 15 =( i )= i Resposta: + i, + i, i, i 1. z = z z = ρ [cos θ + i se θ] z = ρ(cos θ i se θ) =ρ(cos( θ)+i se( θ)) = ρ [cos( θ)+i se( θ)] z = ρ [cos θ + i se θ ρ [cos θ + i se θ] =ρ[cos θ + i se θ] = ρ =0ouρ =1 ρ =0 z =0 ρ =1 θ = θ +kπ 4θ =kπ θ = kπ,k Z z 1 =0 z =1[cosθ+i se te] =1 1[cos π +cos π ]=i 1[cos π +i se π ]= i

4 Resposta:0, 1, i, 1, i 1. Seja z =7+i 15 z =49+15=64 z =8 z = z = 14. z = a +i, a R. Sejaθ o argumeto de z. ta θ = a Se θ = π 6,etão = a a = 15. Seja z = a + bi, etão 1 z =(1 a) =(1 a) bi e 1 = 1 = a bi z a+bi a +b z = a + b 1 z = (1 a) +( b) 1/z = a (a +b ) + b (a +b ) = 1 a +b a + b = (1 a) + b a =(1 a) a =1 a a =1/ ou a = 1+a impossível a + b = 1 a +b a + b = b =1 b = ± z = 1 + i ou z = 1 i 16. Vamos pesar em z +1+i = z ( 1 1) =1. Ou seja, queremos todos os complexos z tais que a sua distâcia ao úmero fixo 1 i vale 1. O cojuto de todos os valores que podemos atribuir a z forma uma circuferêcia de raio 1 cetrada em 1 i. Queremos o de módulo máximo, ou seja, aquele que estámaisdistatedaorigem. Trace uma reta que passa pela origem e pelo cetro da circuferêcia. Essa reta itersecta a circuferêciaemdoispotos:omaispróximo da origem e o mais distate da mesma. Essa reta é y = x, odex e y são reais. Assim, (x +1) =1 (x +1) =1 x +1= 1 x +1= x = 1 ou (x +1) =1 x 1= 1 x 1= x = 1 4

5 logoocomplexodemódulo máximo é 1 + i Como o problema aterior, z =1é uma circuferêcia de raio 1 cetrada em + a. A seguir, trace a reta que passa pelo cetro da circuferêcia e por i. Essa reta é y = 1 x =1. Queremosomíimo e o máximo de z ( i), ouseja, adistâcia míima e a distâcia máxima de i à circuferêcia. Como a distâcia de i ao cetro é 5eoraioé1,asdistâcis procuradas são 5 1e z+i z i = z+i = distâciadocomplexoao i z i distâciadocomplexoaoi Além disso, z =, que correspode a uma circuferêcia de raio cetrada a origem. Devemos procurar o maior umerador com o meor deomiado. Logo, z =i Etão, o máximo valor de z+i = i+i =. z i i i 19. a) z =1 d(z;0)=1 circuferêcia de cetro 0 e raio 1 b) z + i 1 d(z; i) 1 semicircuferêcia de cetro i, istoé, (0, 1) e raio 1. c) z + i = 1 z d(z; i) =d(z;1) mediatriz do segmeto de extremos i e1. d) 1+z + 1 z =4 d(z; 1) + d( 1)=4 elipse de focos 1 e1eeixomaior4. e) 1+z + 1 z = d(z; 1) + d(z;1)= segmeto de reta (fechado) de extremos 1 e1. f) se z = x + yi (x, y reais), 1+z = 1 z (1 + x) + y = (1 x) + y x +y 10x +=0 x 10 x + y +1=0 x frac5 + y = 16 9 circuferêcia de cetro ( 5, 0) e raio 4 5

6 g) Se z = x + yi (x, y reais), z 1 = x 1+yi = x 1+yi z+1 x+1+yi x+1+yi = x 1+y +i[y(x+1) y(x 1)] (x+1) +y x+1 yi x+1 yi = é imagiário puro se e só se x + y 1=0e(x +1) + y =0. Circuferêcia de cetro (0, 0)eraio1,excetoopoto( 1, 0). 0. Seja z = x + iy, comx e y reais. z z =(x + iy)(x iy) =x ixy + ixt i y = x + y = z. 1. Seja z = x + iy, comx e y reais. 1 z + 1+z = 1 x yi + 1+x + yi =(1 x) + y +(1+x) + y = =1 x + x + y +1+x + x + y =(1+x + y )=(1+ z )=+ z Resposta: D. a) z +iz 5=0 =(i) 4 1 ( 5) = 4+0=16 z = i±4 z 1 = i z = i b) z +1=0 z = 1= cos i se 180 = 1 cos 60 + i se 60 = 1 cos i se cos 00 + i se 00 z 1 = 1 + i z = 1 z = 1 i c) z + z + z +1=0 z 4 1 z 1 =0 As raízes são as raízes quartas da uidade, àexceção de z =1. Respostas; 1, 1, i, i d) z 5 z 4 + z + z 1=0 z 6 1 z+1 =0. As raízes são as raízes sextas de 1, àexceção de z = 1. Respostas: 1, ω 1 ± 6

7 e) z 6 +7z 8=0 =49 4 1( 8) = 81 z = 7±9 f) z =(z 1), >1 z = 0. Etão (z 1) =1 z 1 z z 1 1 =coskπ z =1 z= 1cos0 +i se 0 z = 8 z= 8 cos i se 180 =1 1 1 z =1 1 1 = 1 z z = 1 + i se kπ 1cos0 + i se 0 z 1 =1 1 cos 10 + i se 10 z = 1/+ i/ 1 cos 40 + i se 40 z = 1/ i/ cos 60 + i se 0 z 4 =1+ i cos i se 10 z 5 = cos 00 + i se 00 z 6 =1 i z = 1 1 cos kπ kπ = +i se cos kπ kπ i se como cos A =cos A se A =1 se A etão cos kπ =1 se kπ e como se A = se A cos A etão se kπ = se kπ cos kπ Logo z = 1 se kπ 1i se kπ cos kπ = 1 se kπ 1 se kπ i cos kπ = se kπ +i cos kπ se kx = = cot kπ k =1,,..., 1 g) z = 1,etão 1 = (z+1) (z 1) = z+1 z 1 = z 1+ z 1 1+ z 1 = 1 1+ z 1 =coskπ z = z = + i se kπ kπ cos,k = {0, 1,..., 1} z = kπ kπ [(cos +1)+i se ] [(cos kπ kπ [(cos kπ 1)+i se kπ 1) i se ] = i se kπ ] [(cos kπ m = i se kπ kπ 1) i se ] cos kπ cos kπ 1 i se kπ m cos kπ kπ i se = cos kπ se kπ cos kπ 1 se kπ = i cot kπ,k=1,..., 1 h) z = z 5 1=z 4 com z = 0 sedo uma das soluções. z = 4 1cos0 + i se 0 =1cos0 + i se 0 z =1 1 cos 90 + i se 90 z = i 1 cos i se 180 z = 1 1 cos 70 + i se 70 z = i Resposta: 0, 1, 1, i, i cos kπ kπ +i se +1 +i se kπ 1 i) z =( z) Seja z = ρ cos θ + i se θ. Etão ρ cos θ + i se θ =(ρ cos( θ)+i se( θ)) 1 ρ cos θ + i se θ = ρ 1 cos θ + i se θ. Etão ρ = ρ ρ =1 e e Logo, z =1cos0 π =π +kπ θ =kπ

8 . a) z + ω z + ω =7 e z + ω z + ω =1. Resposta: 1 z + ω 7 b) z ω = z +( ω)) z + ω =+4=7 e z ω = z +( ω) z ω = 4 =1 Resposta: 1 z ω 7 c) z ω = z ω = 1. Resposta: z ω =1 d) z ω = z ω = 4 Resposta: z = ω 4 4. Sejam α o argumeto de z e β oargumetodeω. Etão z =cosα + i se α e ω =4 cos β + i se β. a) z + ω =5 z + ω =cosα +ise α +4cosβ +4seβ z + ω = ( cos α +4cosβ) +(seα +4seβ) = = 9cos α +4cosα cos β +16cos β +9se α +4seαse β +16se β = = 5 + 4(cos α cos β +seα se β) =5. Etão, cos(α β) =5 cos(α β) =0 α β = π + kπ, k Z b) z + ω =7 Pelo mesmo argumeto utilizado em a), cos(α β) =49 cos(α β) =1 α β =kπ, k Z c) z + ω = cos(α β) =1 cos(α β) = 1 α β = π +kπ, k Z d) z + ω = 7 α β + π cos(α β) =7 cos(α β) = 1 +kπ, k Z ou α β = 5π +kπ, k Z 5. Sejam z = z [cos α + i se α] ew = w [cos β + i se β]. a) zω = z ω [cos(α + β)+ise(α + β)] Para que o produto seja um real, α + β = kπ, k Z b) z ω = z ω [cos(α β)+ise(α β)] Para que seja real, α β = kπ, k Z c) z ω imagiário puro. α + β = π + kπ, k Z 8

9 d) z ω imagiário puro. α β = π + kπ, k Z 6. Ao úmero fixo +i, está sedo somado um úmero variável (depede de θ). Omódulo de z será máximo quado 0, +i e z forem colieares. Dessa forma: ta 0 = seθ cosθ ta θ = θ =0 z = +i z = = 4 max Outra solução: z =( +cosθ)+i(1 + se θ) z = ( +cosθ) +(1+seθ) = +4 cosθ +4cos θ + i +4seθ +4se θ = 8+8 cos θ + 1 se θ = 8+8 se(60 + θ) Comoomáximo valor de seo é1. z = = 4 max 7. 1+cos π + i se π =1+ cos π + i se π i =1+cos + i se cos π + i se π =1+cos + i se cos + i se =1+cos + i se cos =1+cos (I) se cos =se (II) =1+cos cos cos =0 = cos ou cos = 1 =1+ cos 1 cos = 1 ō ) se cos =0,etão = π + kπ k = +k com k iteiro. Nesse caso, ão será iteiro.logoesssasolução será descartada. ō ) se cos = 1,etão = ± π +kπ = ± 1 +k = ±1+6k com k iteiro. se =0 se =se π se =se cos ou cos = 1 9

10 1 ō ) se se =0,etão = kπ =k com k iteiro. ō ) se cos = 1,etão = ± 1+6k com k iteiro. As soluções que satisfazem simultaeamete a (I) e (II) são = ± 1+6k, com k iteiro. 8. z = z +4 lugar geométrico dos úmeros complexos que equidistam de e de 4, ou seja, a meidatriz do segmeto que ue (, 0) e ( 4, 0) x = 1 z + z + =0 elisedefocos(, 0) e (, 0) e eixo maior 10. Resolvedo o sistema x = 1 ( 1) + y y = =1 1 5 = 4 5 y = 4 5 y = ± Soluções: i 5 ; e 1 8 6i 5 9. Como os coeficietes são reais, etão, se z = x + iy éraiz, z = x iy também é. Além disso, x + y =4. r 1 = r r = x + iy r = x iy r 1 + r + r =0 r + x + iy + x iy =0 r +x =0 r = x r 1 r + r 1 r + r r = 5 rx + riy + rx riy + x + y = 5 rx +4= 5 rx = 9 Etão, ( x)x = 9 4x =9 x = ± / er = ± 4= q q =1 Além disso, r 1 r r = r(x + y )= q 4= q q = 1 Soluções: 1 e 1 0. Se ω éumcomplexo,etão ω éoseudobroe5ωi éoseuquítuplo girado de 90,osetido ati-horário. AO =5 ω +4 ω =9 ω AO = ω 9 cos AOB = ω 9 ω 9 = 9 10

11 1. θ fial =60 variação = 60 θ iicial =0. θ iicial =0 variação = 0 θ fial =0. Como 1 z = 1 z e z > 1, o complexo 1 z tem módulo meor que 1, sedo, portato, sua imagem iterior ao círculouitário. Além disso, se z = z (cos θ + i se θ), z 1 = 1 z (caso i se θ), ou seja, os argumetos de z e 1 z são simétricos. Resposta: t 4. a) 1 + cos θ + i se θ =cos θ + ise θ cos θ θ = =cos θ [cos θ + i se θ ] b) 1 cos θ i se θ =se θ i se θ cos θ = =se θ [se θ i cos θ ]= =se θ [cos( θ π )+ise( θ π )]. 5. Seja z = a + bi, a e b reais e ω = c + di, c e d reais. Observe que z ω =(a + bi)(c di) =ac adi + bci + bd e zω =(a bi)(c + di) =ac + adi bci + bd Logo, z ω + zω =(ac + bd) Se imagiarmos z e ω como vetores, teremos z =(a, b) e ω =(c, d). Sabedo que z ω = z ω cos θ, etão ac + bd = z ω cos θ z ω+ zω = z ω cos θ cos θ = z ω+ zω z ω 6. s ω =(ω z)(cos 10 + i se 10 ) s ω z s = ω z s ω z s =(s ω)(cos 10 + i se 10 ) s sω + ω = zω z sω + sz z + s + ω =ω + sω + sz 7. (z p)(cos ±60 + i se ±60 )=w p, odep éoafixo do cetro. Resolvedo, p = z(cos ±60 +i se ±60 ) w ) w = z( 1 cos ±60 +i se 60 ±i 1 1 ±i 11

12 8. A =0 B =1 C =1+i D =4 a) f(z) =z f(a) =0 f(b) = f(c) =+i f(d) =i b) f(z) = z f(a) =0 f(b) =1 f(c) =1 i f(d) = i c) f(z) =iz f(a) =0 f(b) =i f(c) = 1+i f(d) = 1 d) f(z) =i z f(a) =0 f(b) =i f(c) =1+i e) f(z) = z f(a) =0 f(b) = 1 f(c) = 1 i f(d) = i f) f(z) =(1+i)z f(a) =0 f(b) =1+i f(c) =i 1

13 f(d) = 1+i g) f(z) =z +1 i f(a) =1 i f(b) = i f(c) = f(d) =1 h) f(z) =z + i f(a) =i f(b) =+i f(c) =+i f(d) =i i) f(z) =(1 i)z ++i f(a) =+i f(b) = f(c) =4+i f(d) =+i 9. a) f é uma homotetia de razão. A imagem é uma circuferêcia de cetro (, 4) e raio 6. b) f é uma simetria em relação ao eixo real. A imagem éumacircuferêcia de cetro (1, ) eraio. c) f éumarotação de 90 em toro da origem. A imagem é uma circuferêcia de cetro (, 1) e raio. d) f é uma simetria em relação ao eixo real seguida de uma rotação de 90 emtorodaorigem. Aimageméumacircuferêcia de cetro (, 1) e raio. e) f é uma simetria em relação à origem. A imagem é uma circuferêcia de cetro ( 1, ) eraio. f) f(z) =(1+i)z = cos π 4 + i se π 4 z éumarotação de π 4 em toro da origem seguida de uma homotetia de razão. A imagem é uma circuferêcia de cetro (1 + i) (1 + i) = 1+i, ou seja, ( 1, ) e raio. g) f éumatraslação. A imagem éumacircuferêcia de cetro 1 + i +1 i =+i, ou seja, (, 1) e raio. h) f é uma homotetia de razão seguida de uma traslação. A imagem é uma circuferêcia de cetro (1 + i)+i =+5i, istoé, (, 5) e raio 6. i) f(z) =(1 i)z +(+i) = cos π π 4 + i se 4 z ++i éumarotação de π 4 em toro da origem, seguida de uma homotetia de razão, seguida de uma traslação. A imagem éuma circuferêcia de cetro (1 i)(1 + i)+(+i) =5+i, istoé, (5, ) e raio. 1

14 40. S 1 =1+cosθ + i se θ +cosθ + i se θ + +cosθ + i se θ. Esta é a soma dos termos de uma P.G. de termo iicial 1 e razão (cos θ + i se θ). Logo, S 1 = 1 [(cos θ+i se θ) 1] cos θ+i se θ 1 (cos θ+i se θ) 1 = cos θ+i se θ 1 = = = 1 se θ 1 se θ θ θ θ se [ se +i cos ] = se θ cos( π se θ [ se θ +i cos θ + θ )+i se( π + θ ) ] se θ cos( π + θ )+i se( π + θ ) se θ se θ cos( θ θ θ )+ise( θ ). θ θ +i se cos 1 = +i se θ cos θ 1 b) S =1+cosθ +cosθ + +cosθ éigualàparterealdasolução acima (item a)). θ se S = cos( θ se θ θ θ )+ise( θ ) c) S =1+seθ +seθ + +seθ éigual à parte imagiária da solução do item a). S = se θ se θ se( θ θ ) e) f(z) = z f(c) =( 1, ) f(p )=( 1 5) f(q) =( 4, ) f(r) =( 11, 1) f(s) =(, ) f) f(z) =(1+i)z f(c) = 1, +i f(p )= 4+6i c =( 1, ) P =( 4, 6) f(q) =+6I Q =(, 6) f(r) = R =(, 0) f(s) = 4 S =( 4, 0) g) f(z) =z +1 i f(c) =+i f(p )=+4i c =(, 1) P =(, 4) f(q) =+6i Q =(, 6) f(r) = i R =(, ) f(s) = 1+i S =( 1, 1) h) f(z) =z + i f(c) =+5i f(p )=+11i c =(, 5) P =(, 11) f(q) =8+5i Q =(8, 5) f(r) = i R =(, 1) f(s) = 4+5i S =( 4, 5) i) f(z) =(1 i)z ++i f(c) =5+i f(p )=8+5i c =(5, ) P =(0, 5) f(q) =8 i Q =(8, 1) f(r) = i R =(, 1) f(s) =+5i S =(, 5) 14

15 Capítulo 5 Págia a) (1+i) +4i = 1+4i+4i +4i = 1+4i 4 +4i = +4i +4i = = +4i +4i 4i 4i = ( 4i) ) 9 16i = (9 4i+16i ) = 9+4i+16 5 = 7+4i 5 = i. b) (1 i) 1 =[(1 i) ] 6 =(1 i + i ) 6 =(1 i 1) 6 = =( i) 6 =[( i) ] =(4i ) =( 4) = 64. c) i. Divida por Etão i = i 1 = i = i d) 1 + i + i + + i 1789 Cada quatro potêcias cosecutivas somam zero. 1+i + i + i +i 4 + i 5 + i 6 + i 7 + +i i i i i i 1789 = i i 1789 = zero zero zero = i 0 + i 1 = 1+i. a) +ai 1 i = (+ai)(1+i) (1 i)(1+i) = +i+ai+ai 1 i = +i(+a) a = a + i (+a) 1+1 Para que seja real, +a =0 a =. b) Para que seja imagiário puro, a =0 a =.. z + z + z =0 z(z + z +1)=0 Uma das raízes é z 1 =0. z + z +1=0 = = z = 1± Etão: z = 1+ i e z = 1 i 4. a) 5 1i = 5 144i = Faça A = 5 eb = 144 Use o fato de que A B = = = ± i b) i = 0+ 1=± 1 = ± + 1 A+ A B = ± 0+ 0 ( 1) = = ±( + i ) A A B ( 1) = 5 1 = ±( 9) = 15

16 5. z = z. Seja z = a + bi, coma e b reais. (a + bi) (a bi) a +abi + b i = a bi a b +abi = a bi a b = a ab = b i) se b = 0,etão a = 1 a = b = 1 b = 4 b = ou b = ii) se b =0,etão a = a a =0 ou a =1. Respostas: 1 + i, 1 i, 1e0 6. a) Seja z = x + iy, comx e y reais. (x + iy)(x iy) =1 x i y =1 x + y =1 circuferêcia cetrada a origem e com raio 1 b) Seja z = x + iy, comx e y reais. (x + iy) = x +yi + i y = x y +xyi éimagiário puro. Etão x y =0 x y x = ±y duas retas cocorretes a origem. Essas retas bissectam os quadrates c) Seja z = x + iy, comx e y reais. Re(z) > 1 semi-plao x>1 d) Seja z = x + iy, comx e y reais. x+iy = x iy iy =0 y =0 reta real (eixo horizotal o plao de Argad-Gauss e) Seja z = x + iy, comx e y reais. (x+iy)(x iy)+x+iy+x iy =0 x +y +x =0 (x+1) 1+y =0 (x+1) +y =1 circuferêcia de raio 1 e cetro em ( 1, 0) f) Seja z = x + iy, comx e y reais. x + iy + 1 x+iy = x + iy + y = y x +y =0 y = y x +y 1(x iy) x iy = x + iy + = x + x + i (x+iy)(x iy) x +y x +y i) se y =0,x équalquerão ulo. z =realão ulo ii) se y = 0,x + y =1 y circuferêcia de raio 1 e cetro em (0, 0) uião com o eixo real, exceto z =0 y éreal x +y 16

17 g) Seja z = x + iy, comx e y reais. z +1=(x +1)+iy e z 1=(x 1) + iy (x+1)+iy (x 1)+iy = [(x+1)+iy][(x 1) iy] [(x 1)+iy][(x 1) iy] = x 1 y(x+1)i+y(x 1)i+y (x 1) +y = (x +y 1) yi(x+1 x+1) (x 1) +y Re( z+1 z 1 )= x +y 1 (x 1) +y =1 x + y 1=x x +1+y x =1 reta vertical x = 1, exceto z =1 7. z = t + i 1 t = x + iy Etão x = t e y = x + y =1 1 t.observequey =1 t =1 x e y 0 e y 0 semi-circuferêcia de raio 1 e cetro a origem 8. Sejam x e y reais. z = x + iy z = x iy um retâgulo z = x iy z = x + iy 9. (1 i) z + iω = i z +(1+i) ω =0 Se z +(1+i) ω =0,etão seu cojugado também éulo. Assim z +(1 i)ω =0. Ficamos com (1 i) z + iω = i (1 i) z +iω =i iω (1 i) ω =i z +(1 i)ω =0 (1 i) z +(1 i) ω =0 iω (1 i 1)ω =i iω +iω =i ω = 1 Etão z +(1+i) 1 =0 z = 1 i z = 1 4 i z + 1 z =1 z +1=z z z +1=0 z = 1± 1 4 = 1 ± i 11. a) a = p + q b = r + s ab =(p + q )(r + s )=(p + iq)(p iq)(r + is)(r is) = =(pr + ips + iqr + i qs)(pr ips iqr + i qs) = 17

18 =[(pr qs)+i(ps + qr)][(pr qs) i(ps + qr)] = =(pr qs) i (ps + qr) =(pr qs) +(ps + qr) b) p =5 q =6 r =7 s =10 (5 +6 )(7 +10 )=( ) +( ) =5 +9 Observação: Há outrasolução, Se os coeficietes são reais, etão 1 + i também éraiz. Se o poliômio éde ō grau, etão podemos escrevê-lo como [x (1 + i)] [x (1 i)] = x (1 i)x (1 + i)x +(1 9i )= x x +10 Observação: Há outras soluções, mútliplas reais de x x z +(a + i)z + i =0 Seja z = x +0i umaraizrealdopoliômio dado. x +(a + i)x + i =(x + ax +)+i(x ) = 0 Etão x =0 x =e x + ax +=0 9+a +=0 a = 11/ 14. a) + + = = + = = b) 7+4 = = = + = Se P (z) éumpoliômio de coeficietes reais, etão P ( z) =P (z). Assim, se z =1 i, etão P ( z) =P (1 + i) =+i = i 16. z 1 =1+i éraiz.etão, como os coeficietes são reais, z =1 i é raiz. Pela paridade de x 4 + bx + c, sex éraiz, x também é. Logo, z = 1+i e z 4 = 1 i 17. i 1 = 1 i = i = i i i + i = i +(i 1 ) = i +( i) = i +( 1) i Se for par, a expressão vale i,quepodeserou. Se for ímpar, a expressão vale zero. Resposta: três i + i + + i = i (soma dos termos de uma P.G.) i) Se =4k, k Z i +1 = i eaexpressão valerá i 1 i 1 =1. ii) Se =4k +1,k Z i +1 = 1 eaexpressão valerá 1 1 i 1 = i 1 = ( 1 i) ( 1+i) ( 1 i) = +i 1 i = 1(1+i) =1+i 18

19 iii) se =4k +,k Z i +1 = i e a expressão valerá i 1 i 1 = (i+1) ( 1 i) ( 1+i) ( 1 i) = (i+1)(1+i) = i = i iv) se =4k +,k Z i +1 = 1 e a expressão valerá 1 1 i 1 =0. 0. a) + z =6+i (a + bi)+ (a bi) =6+i a +a + bi bi =6+i a bi =6+i a =eb = 1 z = i b) (1 + i)z +i z =+i (1 + i)(a + bi)+i(a bi) =+i a + bu + ai b +ai +b =+i a +b + i(b +4a) =+i a +b = a =0eb =1 4a + b =1 z = i 19

20 Capítulo 5 Págia Seja z um complexo ão-ulo. Seja w uma raiz -ésima de z, w = z, w = 0. Sejam ε 0, ε 1,...,ε 1 as raízes -ésimas da uidade. w ε 1,wε 1,...,wε 1 são complexos distitos (pois w = 0easraízes -ésimas da uidade são distits) e (w ε k ) = w (ε k ) = z 1 =z, ouseja,w ε 1,wε 1,...,wε 1 são as raízes -ésimas de z.. Sejam ε k =cos kπ kπ + i se (k =0, 1,..., 1) as raízes -ésimas da uidade. ε 0 + ε 1 + ε + + ε 1 =1+ε 1 +(ε 1 ) + +(ε 1 ) 1 =1 (ε 1) 1 ε 1 1. Seja ε k =cos kπ kπ + i se =1 1 1 ε 1 1 =0. (k =0, 1,..., 1) as raízes -ésimas da uidade. Observemos que ε k = ε k 1.Temos ε p 0 + εp 1 + εp + + εp 1 =1+εp 1 +(ε 1) p + +(ε 1 ) (x 1)p =1 1 (εp 1 ) =0, 1 ε p 1 pois ε p 1 =1(p ão émúltiplo de ) e(εp 1 ) =(ε 1 )p =1 p =1. 4. Não possuem iverso aqueles que ão são relativamete primos com 1. Resposta: {0,,, 4, 6, 8, 9, 10}. 5. Todos os que ão são relativamete prmos com. 6. a) = 16 b) 7 9=6 11 c) 9 11 = Logo 6 éoiversode11. d) 7= 4 9 e) + = a) ε 1 ε 19 =cos[1 kπ 4 ]+i se[1 kπ 4 ] cos[19 kπ 4 ]+i se[19 kπ 4 =cos[6 kπ kπ ]+ise[6 4 4 ]=ε 6 Basta usar a aritmética modular: = 40 6(mod4) kπ kπ ]=cos[40 ]+i se[ ]= b) (ε 1 ) 1 = ε 1 ε 1... ε 1 = ε 0 pois =1 1 = (mod 4) c) ε 1 ε = ε 4 =1. Logo(ε 1 ) 1 = ε d) ε 4 : ε 5 = ε 1 = ε 1 8. Basta que k seja relativamete primo em 15 k = {1,, 4, 7, 8, 11, 1, 14}. Resposta: ε 1, ε, ε 4, ε 7, ε 8, ε 11, ε 1, ε Precisamos cotar quatos s

21 φ(100) = = =40 Resposta: Este problema é equivalete ao problema. 11. a) Se d = MDC[p, q], existem iteiros positivos a e b tais que p = ad e q = bd. Se z d =1,etão z p = z ad =(z d ) a =1 a =1ez q = z bd =(z d )b =1 b =1,ouseja,sez Ad, etão z Ap e z Aq, istoé, Ad Ap Aq. b) Se d = MDC[p, q], existem iteiros s e t tais que d = sp + tq (Teorema de Bézout). Se z p =1ez q =1,etão z d = z sp+tq =(z p ) s (z q ) t =1 s 1 t =1,ouseja,sez Ap e z Aq, etão z Ad, istoé, Ap Aq Ad. c) Se AD Ap Aq e Ap A q Ad, temosab Aq = Ad. 1. a) Se uma raiz -ésima da uidade étambém raiz p-ésima da uidade para algum p<,suas potêcias são também raízes p-ésimas da uidade. Logo, essas potêcias poderão ter, o máximo, p valores distitos, ão podedo, portato, gerar todas as raízes -ésimas da uidade; ou seja, ela ão é raiz -ésima primitiva da uidade. b) Se uma raiz -ésima da uidade, ε k =cos kπ kπ + i se (k =0, 1,..., 1), ão é primitiva, k ão é relativamete primo com. Logo, existem k 1 e p<tais que k = k1 p e ε k =cos kπ kπ + i se éraizp-ésima da uidade, com p<. k1π =cos p + i se k1π p 1. a) 1 + 1) = c 0 + c 1+c + + c c 0 + c1 + c + + c = b) (1 1) = c 0 c 1 + c + + c =0 c,d) Somado e subtraido os resultados de a) e b), 1[c 0 + c + c + ] 1[c 1 + c + c5 + ]= Daí, c 0 + c + c 4 + = c 1 + c + c 5 + = 1 = 1 e,f,g) Sejam ε 0 =cos 0 π + i se 0 π =1 ε 1 =cos 1 π + i se 1 π = 1 + i e ε =cos π + i se π = 1 i as raízes cúbicas da uidade. Sejam s 0 = c 0 + c + c6 +, s 1 = c 1 + c 4 + c 7 +, s = c + c5 + c8 +. e 1

22 (1 + ε 0 ) = c 0 + c1 ε1 0 + c ε c ε 0 = c0 + c1 + c + + c jáqueε 0 =1 (1 + ε 0 ) = c c c = s 0 + s 1 + s = (1 + ε 1 ) = c 0 + c1 ε1 1 + c ε 1 + c ε c ε 1 No etato, ε 0 1 = ε 1 = ε6 1 = =1 ε 1 1 = ε4 1 = ε7 1 = = ε 1 ε 1 = ε 5 1 = ε 7 1 = = ε Etão (1 + ε 1 ) = c 0.1+c 1 ε 1 + c ε + c.1+c 1 ε 1 + c 5 ε + + c ε 1 = s 0 + ε 1 s 1 + ε s (1 + ε ) = c 0 + c 1 ε 1 + c ε + c ε + + c ε No etato, ε 0 = ε = ε 6 = =1 ε 1 = ε4 = ε7 = = ε ε = ε5 = ε8 = = ε 1 Etão (1 + ε ) = c 0. 1+c1 ε + c ε 1 + c. 1+c4 ε + c 5 ε c ε = s 0 + ε s 1 + ε 1 s (1 + ε 0 ) = s 0 + s 1 + s Temos (1 + ε 1 ) = s 0 + ε 1 s 1 + ε s (1 + ε ) = s 0 + ε s 1 + ε 1 s s 0 + s 1 + s = ou seja, s 0 +( 1 + i )s 1 +( 1 i i )s =( 1 + i ) s 0 +( 1 + i )s 1 +( 1 + i i )s 1 =( 1 + i ) s0 + s 1 + s = s 0 1 (s 1 + s )+i (s 1 s )=cos 6 i se 6 Somado as equações: s 0 = +cos 6 Daí, c 0 + c + c6 + = s 0 = + cos 6 i (s 1 s )=i se 6 s 1 s = se 6 Etão: s 1 + s = s 0 = s 1 s = se 6 s 1 = s = Além disso: subtrado a terceira equação da seguda: cos 6 = cos 6 e cos 6 + se 6 s 1 = 1 cos 6 + se 6 cos 6 se 6 s = 1 cos 6 se 6

23 h) (1 + i) = c 0 + ic1 + i c + c c + i4 c 4 + (cos 4 + i se 4 )=[c0 c + c 4 + ]+i[c 1 c + c 5 m ] c 0 c + c4 = = Re[ (cos mπ 4 + i se 4 0] = cos 4