ITA 00. (ITA 00) Cosidere as afirmações abaixo relativas a cojutos A, B e C quaisquer: I. A egação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s) (A) Apeas I (B) apeas II (C) apeas III (D) apeas I e III (E) apeas ehuma.. (ITA 00) Cosidere cojutos A, B IR e C (A B). Se A B, A C e B C são os domíios das fuções reais defiidas por l(x π ), (A) C = π,5 (B) C = [, π] (C) C = [, 5[ (D) C = [π, ] (E) C ão é itervalo. x + x 8 e. (ITA 00) Se z é uma solução da equação em, + z z+ z = ( + i) i pode-se afirmar que (A) i(z z ) < 0 (B) i(z z ) > 0 (C) z [5, ] (D) z [, 7] (E) z+ > 8 z x π, respectivamete, pode-se afirmar que 5 x. (ITA 00) Os argumetos pricipais das soluções da equação em z, iz + z + (z + z ) i = 0, pertecem a π π (A), π 5π (B), 5π π (C), 7 (D) π, π π, π π 7π (E) 0,, π
5. (ITA 00) Cosidere a progressão aritmética (a, a,..., a 50 ) de razão d. Se a é igual a (A) (B) (C) 9 (D) (E) 0 = a = 0 + 5d e 50 a = 550, etão d =. (ITA 00) Sejam f, g : R R tais que f é par e g é ímpar. Das seguites afirmações I. f. g é ímpar, II. f o g é par, III. g o f é ímpar, é (são) verdadeira(s) (A) apeas I (B) apeas II (C) apeas III (D) apeas I e II (E) todas. x x e π 7. (ITA 00) A equação em x, arctg (e + ) arc cot g x =, x IR \ {0}, e (A) admite ifiitas soluções, todas positivas. (B) admite uma úica solução, e esta é positiva. 5 (C) admite três soluções que se ecotram o itervalo,. (D) admite apeas soluções egativas. (E) ão admite solução. 8. (ITA 00) Sabe-se que o poliômio p(x) = x 5 ax + ax, a IR, admite a raiz i. Cosidere as seguites afirmações sobre as raízes de p: I. Quatro das raízes são imagiárias puras. II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. III. Apeas uma das raízes é real. Destas, é (são) verdadeira(s) apeas (A) I (B) II (C) III (D) I e III (E) II e II 9. (ITA 00) Um poliômio real p(x) = 5 = 0 ax, com a 5 =, tem três raízes reais distitas, a, b e c, que satisfazem o sistema a + b + 5c = 0 a + b + c = a + b + c = 5 Sabedo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p() é igual a (A) (B) (C) (D) (E)
0. (ITA 00) Cosidere o poliômio p(x) = afirmações: I. p( ) IR, II. p(x) ( + + 5 ), x [, ] III. a 8 = a é (são) verdadeira(s) apeas (A) I (B) II (C) III (D) I e II (E) II e III 5 = 0 ax. (ITA 00) A expressão ( + 5 ) 5 ( 5 ) 5 é igual a (A) 0 5 (B) 90 5 (C) 7 5 (D) 58 5 (E) 0 5 com coeficietes a 0 = e a = + i a, =,,..., 5. Das. (ITA 00) Um palco possui refletores de ilumiação. Num certo istate de um espetáculo modero os refletores são acioados aleatoriamete de modo que, para cada um dos refletores, seja de a probabilidade de ser aceso. Etão, a probabilidade de que, este istate, ou 5 refletores sejam acesos simultaeamete, é igual a (A) 7 (B) 9 8 (C) 5 (D) 79 79 5 (E) +. 5 a a a. (ITA 00) Cosidere a matriz A = 0 a a 5 M x(ir), 0 0 a em que a = 0, det A = 000 e a, a, a, a, a 5 e a formam, esta ordem, uma progressão aritmética de razão d > 0. Pode-se afirmar que (A) (B) (C) (D) (E) a d é igual a
x x x x y y y y. (ITA 00) Sobre os elemetos da matriz A = M x(ir), sabe-se que: 0 0 0 0 0 0 (x, x, x, x ) e (y, y, y, y ) são duas progressões geométricas de razão e e de soma 80 e 55, respectivamete. Etão, det(a ) e o elemeto (A ) valem, respectivamete, (A) 7 e (B) 7 e (C) 7 e (D) 7 e (E) 7 e 5. (ITA 00) O valor da soma (A) α α 79 (B) se α se α 79 α α (C) 79 (D) α α 79 (E) α α 79 = α α se se, para todo α IR, é igual a. (ITA 00) Se os úmeros reais α e β, com α + β = π, 0 α β, maximizam a soma seα + seβ, etão α é igual a π (A) (B) π (C) π 5 (D) 5 π 8 (E) 7 π
7. (ITA 00) Cosidere as circuferêcias C : (x ) + (y ) = e C : (x 0) + (y ) = 9. Seja r uma reta tagete itera a C e C, isto é, r tagecia C e C e itercepta o segmeto de reta OO defiido pelos cetros O de C e O de C. Os potos de tagêcia defiem um segmeto sobre r que mede (A) 5 (B) 5 (C) (D) 5 (E) 9 8. (ITA 00) Um cilidro reto de altura cm está iscrito um tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem cm, o volume do cilidro, em cm, é igual a π (A) π (B) π (C) π (D) 9 π (E) 9. (ITA 00) Um triâgulo eqüilátero tem os vértices os potos A, B e C do plao xoy, sedo B = (, ) e C = (5, 5). Das seguites afirmações: I. A se ecotra sobre a reta y = x + 5 II. A está a itersecção da reta y = x + com a circuferêcia (x ) + (y ) = 5, 8 III. A pertece às circuferêcias (x 5) + (y 5) 7 75 = 5 e x + (y ) =, é (são) verdadeira(s) apeas (A) I (B) II (C) III (D) I e II (E) II e III
0. (ITA 00) Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem cm. Se M é o poto médio do segmeto AB e N é o poto médio do segmeto CD, etão a área do triâgulo MND, em cm, é igual a (A) (B) 8 (C) (D) 8 (E) 9. (ITA 00) Sejam A, B e C cojutos tais que C B, (B\C) = (B C) = (A B), (A B) = e ((C), (A), (B)) é uma progressão geométrica de razão r > 0. a) Determie (C) b) Determie (P(B\C)).. (ITA 00) A progressão geométrica ifiita (a, a,..., a,...) tem razão r < 0. Sabe-se que a progressão ifiita (a, a,..., a 5+,...) tem soma 8 e a progressão ifiita (a 5, a 0,..., a 5,...) tem soma. Determie a soma da progressão ifiita (a, a,..., a,...).. (ITA 00) Aalise se a fução f : IR IR, f(x) = iversa f. x x é bijetora e, em caso afirmativo, determie a fução. (ITA 00) Seja f : IR IR bijetora e ímpar. Mostre que a fução iversa f : IR IR também é ímpar. 5. (ITA 00) Cosidere o poliômio p(x) = = 0 ax, com coeficietes reais, sedo a 0 0 e a =. Sabe-se que se r é raiz de p, r também é raiz de p. Aalise a veracidade ou falsidade das afirmações: I. Se r e r, r r, são raízes reais e r é raiz ão real de p, etão r é imagiário puro. II. Se r é raiz dupla de p, etão r é real ou imagiário puro. III. a 0 < 0.. (ITA 00) Uma ura de sorteio cotém 90 bolas umeradas de a 90, sedo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais. a) Retira-se aleatoriamete uma das 90 bolas desta ura. Calcule a probabilidade de o úmero desta bola ser um múltiplo de 5 ou de. b) Retira-se aleatoriamete uma das 90 bolas desta ura e, sem repô-la, retira-se uma seguda bola. Calcule a probabilidade de o úmero da seguda bola retirada ão ser um múltiplo de.
7. (ITA 00) Cosidere as matrizes A M x (IR) e X, B M x (IR): a b x b b a 0 A = y b ; X = e B = 0 0 0 z b a b w b a) Ecotre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial AX = B teha solução úica. b) Se a b = 0, a 0 e B = [ ] t, ecotre X tal que AX = B 8. (ITA 00) Cosidere a equação ( x) + tg tg x 0 =. a) Determie todas as soluções x o itervalo [0, π[. b) Para as soluções ecotradas em a), determie cotg x. x 9. (ITA 00) Determie uma equação da circuferêcia iscrita o triâgulo cujos vértices são A = (, ), B = (, 7) e C = (5, ) o plao xoy. 0. (ITA 00) As superfícies de duas esferas se iterceptam ortogoalmete (isto é, em cada poto da itersecção os respectivos plaos tagetes são perpediculares). Sabedo que os raios destas esferas medem cm e respectivamete, calcule a) a distâcia etre os cetros das duas esferas. b) a área da superfície do sólido obtido pela itersecção das duas esferas. cm, Gabarito. E, C. E. C 5. D. D 7. B 8. C 9. A 0. E. B. A. D. C 5. A. B 7. A 8. D 9. E 0. B