Universidade dos Açores Departamento de Matemática Curso de Informática Redes e Multimédia Cálculo II Tema : Cálculo diferencial de funções de duas variáveis Este teto foi retirado do manual de apoio à disciplina de Matemática II, dos cursos de Economia e Gestão, da autoria de José Eduardo Carreiro 1Dominio e gráfico Consideremos a função z = f(, ) O lugar geométrico de todos os pontos P de coordenadas P(,, z), com (, ) D e z = f(, ), chama-se gráfico da função e representa-se por graf f, ou seja, Eemplo : Seja f (, ) 9 graf f = {(,, f(, )), (, ) D} = Determinemos o domínio de f e o seu gráfico Desenhemos, em seguida o gráfico de f (graf f) Em primeiro lugar comecemos por escrever a condição que temos de impor para que a função tenha significado: {(, ) Ñ :9 0} (, ) Ñ : 9 D= { } = + Concluímos, portanto, que o domínio da função f é um círculo de centro na origem e raio unidades, cuja representação geométrica é Para representarmos o gráfico de f comecemos por entender a sua epressão analítica: ( ) f, = 9 z = 9 z = 9 + + z = 9
trata-se portanto de uma esfera centrada na origem e raio unidades Como z = 9 então z 0 e, portanto, temos uma semiesfera, cuja representação geométrica é a seguinte: Derivadas parciais 1 Crescimento parcial e crescimento total de uma função Consideremos uma função z = f(, ) qualquer Para entendermos a influência do acréscimo dado a cada uma das variáveis no comportamento global da função comecemos por definir o que entendemos por crescimento parcial em relação a cada uma das suas variáveis Comecemos por afectar a variável de um acréscimo, variável Obtemos assim f (, ) parcial de z em relação a é dado por:, sem que se altere a + Portanto, podemos afirmar que o crescimento (, ) (, ) z = f + f Se, pelo contrário, afectarmos a variável de um acréscimo, a variável, obtemos f (, ) parcial de z em relação a é dado por:, sem que se altere + Portanto, podemos afirmar que o crescimento (, ) (, ) z = f + f Assim, o crescimento total de z = f(, ) é dado por: (, ) (, ) z = f + + f
Recordemos a definição de derivada de uma função real de variável real, num ponto ( ) f = 0 ( + ) ( ) f h f lim 0 0, h 0 h Derivadas parciais de uma função de duas variáveis Chama-se derivada parcial de z = f(, ) em relação a, ao limite do quociente do crescimento parcial em relação a pelo crescimento da variável, quando tende para zero, isto é: 0 0 ( +, ) (, ) z f f f lim = lim representa-se por: ; ; f (, ); z De modo análogo, chama-se derivada parcial de z = f(, ) em relação a, ao limite do quociente do crescimento parcial em relação a pelo crescimento da variável, quando tende para zero, isto é: 0 0 (, + ) (, ) z f f f lim = lim representa-se por: ; ; f (, ); z Eemplo : Usando as regras práticas da derivação, calculemos as derivadas parciais de 1ª ordem das funções: i) ) f(, ) = 5 + + ii) f (, ) = iii) z = sen e z = iv) z = ln + 1 v) f(, ) = r vi) ) f(r, s) = s vii) u = e + e z viii) f(, ) = e
Vejamos, esquematicamente, as derivadas parciais, de uma função de duas variáveis apenas, de várias ordens: f (, ) f f f f = = f f f f f f f = f f f f f f = f 1ª ordem ª ordem ª ordem ( L) ( L) ( L) Eemplo: Calculemos as quatro derivadas parciais de ª ordem de f(, ) = + 5 + +1 + 1 f(, ) = 1 f(, ) = e f(, ) = ln ( + ) f(, )= e log + sen log Derivada da função composta (Regra da cadeia) Seja z = f(u, v), em que u e v são funções das variáveis e, isto é, u = ϕ v = ψ (, ) (, )
Então: Assim, z = f (ϕ(, ), ψ(, )) Esquematicamente temos: u z v u v = + u v REGRA DA CADEIA u v = + u v Façamos o mesmo raciocínio para z = f (u, v, w), com Assim: u = ϕ v = ψ w = γ (, ) (, ) (, ) u v w = + + u v w u v w = + + u v w REGRA DA CADEIA 4 Diferencial total/parcial Definimos o crescimento total de z = f(, ) por: (, ) (, ) z = f + + f Se e são pequenos, então z dz onde dz = + é o diferencial total de z = f(, ) Eemplo: Área de um rectângulo
5 Derivada da segundo uma direcção Eemplo Suponhamos que t=f(,) designa a temperatura num ponto (,) situado no chão de uma oficina, onde se encontra um forno em funcionamento e uma porta aberta para o eterior É de esperar que aumente nas direcções que conduzem ao forno, e diminua nas que levam ao eterior Assim, as taas de variação da temperatura, dependem da direcção considerada Chama-se derivada da função z=f(,) no ponto M(, ) segundo a direcção do vector s = ( s 1, s ), e é denotado por f s, à epressão: f f f s1 s = cosα + cos β, onde cos α = ; cos β = s s s Nota: As derivadas parciais são as derivadas na direcção dos vectores unitários e 1 e e Eercício A superfície de um lago é representada por uma região do plano D, sendo a distância medida em metros, de modo que a profundidade (em pés) correspondente a um determinado ponto é dada por f (, ) = 00 a) Determine qual a profundidade do lago no ponto (4,9) b) Se um nadador se encontrar no ponto P(4,9), e nadar na direcção de P para a origem, a profundidade sob ele está a aumentar ou diminuir, e indique qual a taa de variação da profundidade Problemas de optimização 1 Etremos livres No caso de funções reais de variável real, uma das principais aplicações das derivadas é o estudo dos seus máimos e mínimos Os problemas de máimo e mínimo de funções de duas ou mais variáveis podem ser mais compleos Vamos restringir-nos, por agora, a uma introdução a este tipo de problemas, Etremos relativos e absolutos de uma função
nomeadamente para o caso de funções de duas variáveis Suponhamos que uma função z = f(, ) tem um valor máimo relativo (iremos apenas considerar este máimo tendo em conta pontos próimos de P 0, e como tal iremos omitir futuramente o termo relativo ) num ponto P 0 = ( 0, 0 ) no interior do seu domínio Isto significa que f(, ) está definida e que também f(, ) f( 0, 0 ) em alguma vizinhança de P 0 (ver eemplo, à esquerda, da figura seguinte) Mantendo-se fio no valor 0, z = f(, 0 ) transforma-se numa função de apenas e, como ela tem um valor máimo em = 0, a sua derivada deve ser zero nesse ponto, z z ou seja, = 0 nesse ponto De forma análoga podemos concluir que = 0 nesse ponto As equações z z = 0 e = 0 são, portanto, duas equações em duas incógnitas cuja solução são as coordenadas do ponto onde a função é máima ( 0, 0 ) Em muitos casos podemos resolver essas equações simultaneamente determinando o ponto ( 0, 0 ) e assim, o valor máimo real da função Essas mesmas considerações aplicam-se ao valor mínimo (ver eemplo ao centro da figura anterior) No entanto, quando tentamos localizar valores máimo ou mínimo de uma função resolvendo as equações anteriores, é necessário ter em conta que essas equações podem resultar nas coordenadas de um ponto de sela (ver eemplo à direita na figura anterior) onde a função tem um máimo numa determinada direcção e um mínimo em alguma outra Portanto, as equações anteriores significam apenas que o plano tangente à superfície é horizontal, cabendo-nos a decisão acerca de qual o significado desse facto À semelhança do que se faz para as funções de apenas uma variável, chamamos um ( 0, 0 ), em que ambas as derivadas parciais são nulas, de ponto crítico de f(, )
Eemplo 1: Calculemos as dimensões de uma caia rectangular com a parte superior aberta, com volume fio de 4 m e com a menor área de superfície possível Consideremos e as medidas dos comprimentos das arestas da base e z a altura A área total da caia será dada por: A = + z + z Uma vez que o volume é fio e é igual a 4 m, podemos escrever: e e V = 4 z = 4 4 z = Assim, a área pode ser epressa em função de duas variáveis apenas: 8 8 A = + + Procuramos, então, um ponto crítico dessa função, ou seja, um ponto em que: A 8 = 0 = A 8 = 0 = Para resolver essas equações simultaneamente, fazemos: e portanto, 8 = = 0 8 8 = 0 = 8, 8 8 8 8 0 = = = = 8 8 = 8 = 8 = 8 = = = = = 8 = 4 4 0 8 = 8 = 8 8 = 8 4 Sendo = = obtemos z = = 1, ou seja, a caia de volume dado, sem tampa com área de superfície mínima, tem uma base quadrada e altura medindo metade do valor da resta da base
Um instrumento útil para classificar os pontos críticos é fornecido pelo teste da segunda derivada: Teste de etremos: Teste da ª derivada (apenas para duas variáveis) Seja f(, ) uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança de um ponto crítico ( 0, 0 ), e seja o número D (chamado discriminante) definido por: então f( 0, 0 ) é: D = det H( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) f ( 0, 0 ) [ f ( 0, 0 )] ; (i) um máimo relativo de f, se D > 0 e f ( 0, 0 ) < 0; (ii) um mínimo relativo de f, se D > 0 e f ( 0, 0 ) > 0; (iii) um ponto de sela de f, se D < 0 Além disso, se D = 0, nada se pode afirmar, e qualquer dos comportamentos descritos em (i), (ii) e (iii) pode ocorrer Eemplo Determinemos os pontos críticos da função: z = + + + 10 + + 1, e utilizemos o teste da segunda derivada para classificá-los Etremos condicionados Multiplicadores de Lagrange Este é um instrumento muito útil em Economia, Geometria Diferencial e Mecância Teórica Avançada Todos os conceitos vistos no sub-capítulo anterior podem ser aplicados a funções com mais de duas variáveis Além disso, se w = f(,, z, ), com f dotada de derivadas parciais de primeira ordem, então é possível mostrar que só pode ocorrer um máimo ou mínimo relativos em (,, z, ) se w = 0, w = 0, w = 0, z Nas aplicações, em geral devemos achar os etremos relativos de f quando as variáveis,, z, sofrem determinada restrição Consideremos o eemplo seguinte:
Eemplo 1 Determinemos o volume máimo de uma caia rectangular com faces paralelas aos planos coordenados, que pode ser inscrita no elipsóide 16 + 4 + 9z = 144 Antes de passarmos a uma solução formal, notemos que, por simetria, basta eaminar a parte contida no primeiro octante Se P(,, z) é o vértice indicado, então o volume V da caia é dado por 8z O nosso objectivo é achar o máimo de V sujeito ao vínculo (ou condição lateral) 16 + 4 + 9z 144 = 0 Resolvendo esta equação em ordem a z e substituindo na fórmula do volume, obtemos: V = 8 144 16 4 Podem-se, então, achar os etremos Mas este processo é moroso em virtude do cálculo das derivadas parciais de V Outra desvantagem é que nem sempre é possível resolver em ordem a z Para problemas desse tipo, costuma ser mais simples utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange Iremos apresentá-lo de forma sucinta, aplicando-o, de seguida, ao eemplo anterior De um modo geral suponhamos f e g funções de, e z; desejamos determinar os etremos relativos de f(,, z) sujeitos ao vínculo g(,, z) = 0 Suponhamos, além
disso, ser possível resolver a última equação em relação a z, obtendo z = k(, ), k, f e g admitindo derivadas parciais de primeira ordem contínuas num domínio conveniente Definamos uma nova função de quatro variáveis w = f(,, z) + λg(,, z) onde a variável λ é chamada multiplicador de Lagrange O resultado de Lagrange afirma que os valores de,, z que dão os etremos de f estão entre as soluções simultâneas das quatro equações seguintes: ( ) w = 0, w = 0, w = 0, w = g,, z = 0 z λ Voltemos ao eemplo anterior Pretendemos maimizar V = f(,, z) = 8z, sujeito ao vínculo g(,, z) = 16 + 4 + 9z 144 = 0 A nova função será w = f(,, z) + λg(,, z) = 8z + λ(16 + 4 + 9z 144) Neste caso, pretendemos resolver o sistema : w = 8z+ λ = 0 w = 8z + 8λ = 0 w z = 8 + 18zλ = 0 w λ = + + z = 16 4 9 144 0 Eercícios 1 Calcule, pela regra da cadeia, e se z = u + v, u = + sen e v = log( + ) ( ) ( ) Rª: = + ln + ; = cos + ln + + + Suponha w = ln ( + z) com = sen (u ); = cos v; z = e uv w Utilizando a regra da cadeia, calcule, apresentando o resultado em função de u u e v
Calcule e se z = e u v com u = sen e v = + 4 Mostre que se u ln ( ) u u = + então + = 0 5 Dada a função u = + + z, determinar a derivada direcção do vector: 51) s r = i r + r j + k r u s no ponto M(1, 1, 1), na Rª: 1 14 5) s r = i r + r j + k r ( R ª: ) 6 Calcule a derivada da função z = 5 1 no ponto M(, 1) segundo a direcção da recta definida pelos pontos M e N(5, 5) R 47 ª: 5 7 Sendo f(, ) = + + 4 + 4 mostre que no ponto M, a zero, segundo qualquer direcção a derivada é igual 8 Calcule a derivada de f(,, z) = 4e + z no ponto P(1, 1, -1) e na direcção deste para o ponto (-, 5, 6) Rª: 0 9 9 Determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada, de cada uma das funções: 91) z = 5 + 15 + (Rª: Mínimo em (, 5)) 9) z = + + + 10 9 + 11 (Rª: Mínimo em (, )) 9) z = 5 + 4 5 (Rª: Ponto de sela em (-1, ) e de Mínimo em (1, )) 94) z = + 6 (Rª: Mínimo em (18, 6) e Ponto de sela em (0, 0)) 95) z = + 4 + (Rª: Pontos de sela em (-1, -) e (-, 8)) 96) z = + 6 + 7 (Rª: Pontos de sela em (-4/,-1,) e (/,1,) 97) z = + + +5 (Rª: Ponto de sela em (0, 0) e máimo em (-1, -1))
10 Utilizando os multiplicadores de Lagrange, calcule a área máima de um rectângulo com lados paralelos aos eios e inscrito na região limitada pelos eios e pela recta 1 + = Rª: A = 11 Uma firma produz dois bens A e B Se forem produzidas unidades de A e unidades de B, o lucro (em euros) é dado por L = + + 16 + 180 111 Determine as quantidades a produzir de cada um dos bens, de modo a maimizar o lucro, e indique o seu valor 11 Se a firma pretender produzir uma combinação dos dois bens que totalize 104 unidades, indique, utilizando o método do Multiplicadores de Lagrange, as quantidades a produzir de cada um dos bens, de modo a maimizar o lucro