1 33 * * *

Paorama Histórico A civilização egípcia atiga culmiou a aproximadamete 2000 a.e.c.. Sua escrita era predomiatemete hieroglífica e somete coseguimos compreeder os papiros egípcios através da trascrição da Pedra da Rosetta em 1822 por Champollio. Neste artefato ecotramos as traduções da escrita hierática (sagrada) como uma simplificação dos hieróglifos. Abaixo da escrita hierática estava a escrita grega. No Egito Atigo aida ecotramos resquícios da escrita demótica (pupular). O ao egípcio tiha 365 dias e as estações do ao eram defiidas como iudação, ivero e verão. As classes sociais mais privilegiadas eram a família real, os sacerdotes, os obres e os guerreiros. Havia uma classe itermediária formada por escribas, comerciates, artesãos e algus campoeses mas a maior parcela da sociedade compuha-se de servos e escravos. As costruções egípcias tomaram grade destaque etre aquedutos, divisão de terras e a costrução das pirâmides. A grade pirâmide de Quéops foi erigida utilizado 2 500 000 blocos de pedra, cujo peso aproximado de cada era 2 toeladas. Segudo o historiador Heródoto cerca de 100 000 homes trabalharam em sua costrução durate 23 aos, para atigir seus 144 m de altura aproximada. Sua base é quadragular e mede 230 m de comprimeto e seu âgulo de elevação vale 51º 23 19. Observe: h ta h 115 ta 115 114 115 ta ta 51,38º 51º23' 19" 114 115 Aritmética Egípcia A maioria dos problemas ecotrados o papiro Rhid e o papiro de Moscou são de ordem prática. Um exemplo disso é o método das duplicações, utilizado para resolver multiplicações e divisões baseado o fato de todo úmero poder ser represetado por uma adição de potêcias de 2. Como exemplo de multiplicação determiaremos o produto etre 26 e 33. Como 26 = 16 + 8 + 2, basta somarmos os múltiplos correspodetes de 33. Assim: 1 33 * 2 66 4 132 * 8 264 * 16 528 26 858

2 Para dividir, por exemplo, 753 por 26, dobramos sucessivamete o divisor 26 até o poto em que o próximo dobro exceda o dividedo 753. Observe: 1 26 2 52 * 4 104 * 8 208 * 16 416 28 Como 753 = 416 + 208 + 104 + 25, ou seja o quociete é 28 = 4 + 6 + 16 e o resto é 25. Este método elimia a ecessidade de apreder as tabuadas da multiplicação e serve de base para a costrução do ábaco que perdurou tempos depois. Os egípcios eram exímios calculistas evolvedo frações do tipo uitárias, aquelas cujo umerador vale 1. A úica exceção era a fração 2/3. Para isso utilizavam tábuas que davam a represetação de frações do tipo 2/. Os problemas do papiro Rhid são precedidos de uma dessa tábuas para todos os ímpares de 5 a 101. Assim, 2/7 era expresso como ¼ + 1/28, 2/97 como 1/56 + 1/679 + 1/776 e 2/99 como 1/66 + 1/198. Apeas uma decomposição é dada para cada caso. A tábua é utilizada em algus dos problemas do papiro. As otações uitárias eram idicadas, em otação hieroglífica egípcia, podo-se um símbolo elíptico sobre o úmero do deomiador. Um símbolo especial era utilizado para a fração 2/3. Álgebra Egípcia A matemática egípcia era extremamete prática e seus problemas versavam sobre balaceameto de rações para gado e aves domésticas e sobre armazeameto de grãos. Para resolver estes problemas, que ecessitavam geralmete de apeas uma equação liear simples, o método empregado ficou cohecido depois a Europa como método da falsa posição. O problema XXIV do papiro Rhid poderia ser traduzido da seguite forma: Qual o valor de ahá sabedo-se que ahá mais 1/7 de ahá dá 24? Em otação atual temos: x x 7 24 assumimos um valor coveiete para x, como x = 7. Substituido o valor coveiete o primeiro membro da equação 7 temos x x 7 7 1 8, como 8 é um terço da resposta esperada devemos multiplicar o úmero substituído por 7 7 3, o que resultaria em 7 x 3 = 21. Outro problema, ecotrado um papiro que data por volta de 1950 a.e.c., ecotrado em Kahu, cotém o seguite problema:

Uma dada superfície de 100 uidades de área deve ser represetada como a soma de dois quadrados cujos lados estão etre si como 1 está para ¾. 3 Em otação atual, temos: 2 2 x y 100 e 3y x, 4 se elimiarmos y teremos uma fução quadrática em x. Utilizado o método da falsa posição poderíamos atribuir para y o valor de 4. Etão x = 3 e x 2 + y 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 em vez de 100. Como 25 é quatro vezes meor que o valor desejado, devemos corrigir o valor estipulado duas vezes, obtedo x = 6 e y = 8. Um Problema Curioso do Papiro Rhid Embora ão tehamos ecotrado muita dificuldade para decifrar e etão iterpretar a maioria dos problemas do Papiro Rhid, existe um, o de úmero LXXIX, cuja iterpretação ão é tão precisa. Nesse problema ecotramos a seguite descrição: Bes Casas 7 Gatos 49 Ratos 343 Espigas de Trigo 2 401 Hecates de Grãos 16 807 19 607 Facilmete se recohecem os úmeros como as cico primeiras potêcias de 7, jutamete com sua soma. Em 1907 o historiador Moritz Cator deu uma iterpretação iteressate e plausível. Ele viu o problema um precursor de um popular problema da Idade Média que costa do Liber abaci de Leoardo Fiboacci. Detre os muitos problemas dessa obra há o seguite: Há sete sehoras idosas a estrada de Roma. Cada sehora tem sete mulos; cada mulo trasporta sete sacos; cada saco cotém sete pães; com cada pão há sete facas; para cada faca há sete baihas. Etre mulheres, mulos, sacos, pães, facas e baihas, quatos estão a estrada de Roma? De acordo com a iterpretação origial de Cator, o problema do papiro Rhid podia etão ter a seguite formulação: Uma relação de bes cosistia em sete casas; cada casa tiha sete gatos; cada gato comeu sete ratos; cada rato comeu sete espigas de trigo; e cada espiga de trigo produzia sete hecates de grãos. Casas, gatos, ratos, espigas de trigo e hecates de grãos, quato haiva disso tudo?. Como resposta o papiro idica que devemos multiplicar 7 por 2801. Usado o método das duplicações sucessivas temos: * 1 2801 * 2 5602 * 4 11204 7 19607

4 Em otação atual, observamos que trata-se de uma Progressão Geométrica do tipo (a1, a1q, a1q 2,..., a1qq 1 ) de cico termos e razão q = 5, ode o primeiro termo é a1 = 7. Como sabemos que a soma dos termos de uma P.G. fiita pode ser dada pela relação S S 1 q a1, substituido os valores, temos: 1 q 5 1 q 1 7 116807 16806 a1 7 7 7 7 2801 19607 1 q 1 7 6 6 Geometria Egípcia No campo da geometria, são propostos problemas depedetes de fórmulas que ão são deduzidas o texto. Vite e seis dos 110 problemas dos papiros Rhid e Moscou têm caráter geométrico. A maioria destes problemas decorre da ecessidade de mesurar áreas, terreos e volume de grãos. Para os egípcios a área do círculo correspodia a um quadrado de lado igual a 8/9 de seu diâmetro e o volume de um cilidro reto equivalia ao produto da área da base pelo comprimeto da altura. Ivestigações recetes mostrar que os egípcios acreditavam que a área de um triâgulo qualquer era dada pelo semi-produto da base pela altura. Erros acoteciam como a fórmula a c b d A para a área de 4 um quadrilátero arbitrário cujas medidas dos lados sucessivos eram a, b, c e d. Algus problemas chegaram a utilizar o coceito de co-tagete do âgulo diedro etre a base e uma face da pirâmide e existe até mesmo um problema evolvedo a fórmula do volume de um troco de pirâmide de base quadrada que revela o resultado exato. Exercícios 1. Efetuar as seguites operações usado o método da duplicação egípcia: a) 13 x 7 b) 4 x 3 c) 10 x 10 d) 25 x 32 e) 19 x 11 f) 168 : 8 g) 100 : 10 h) 168 : 9 2. O processo egípcio de multiplicação gerou posteriormete um método melhor cohecido por duplatio e mediatio, cujo objetivo era escolher mecaicamete os múltiplos de um dos fatores que se precisavam somar a fim de obter o produto desejado. Assim, para a multiplicação 26 por 33, podemos mear 26 e dobrar 33 simultaeamete. Observe: 26 33 13 66 * 6 132 3 264 * 1 528 * 858 Na colua dos dobros somam-se os múltiplos de 33 correspodetes aos úmeros ímpares da colua das metades. Somado-se assim 66, 264 e 528 para obter o produto desejado 858. O processo de duplatio e mediatio é utilizado em computadores eletrôicos de alta velocidade.

a) multiplique 424 por 137 usado duplatio e mediatio b) ecotre, pelo método egípcio tradicioal, o quociete e o resto da divisão de 1043 por 28 5 3. Os egípcios tiham algus métodos para escreverem suas frações uitárias. Quado o deomiador fosse um úmero ímpar e o umerador fosse o úmero 2 a fração 2/ podia ser expressa através da soma de duas frações uitárias de 2 1 1 acordo com a relação. Em outros casos ode o umerador fosse 2 e o deomiador fosse o 1 1 2 2 produto etre dois úmeros iteiros p e q, a fração 2/pq podia ser expressa através da soma de duas frações uitárias de acordo com a relação 2 1 1. De acordo com o exposto, calcule e expresse as p q p q p q p q 2 2 frações abaixo como a soma de frações uitárias utilizado os hieróglifos egípcios atigos: a) 5/6 b) 19/8 c) 2/5 d) 16/3 e) 2/15 4. Mostre que as relações do exercício aterior são verdadeiras para quaisquer, p e q iteiros. 5. Resolva pelo método da falsa posição as seguites equações: a) 1 x x 32 d) x 7 11 5 b) x 2x x 36 e) x 21 3 3 3 4 c) x 2x x 50 7 7 6. Resolva os problemas abaixo utilizado o método da falsa posição: a) O proprietário de uma chácara cria galihas e coelhos, um total de 92 cabeças. Sabedo-se que a criação cotamos 248 pés, perguta-se: quatos são os coelhos e quatas são as galihas? b) Qual é o úmero cuja terça parte somada com sua quarta parte resulta 56? 7. O problema L do papiro Rhid diz: Calcular a área de uma porção circular de terra de 9 varas de diâmetro. Como os egípcios utilizavam a relação temos: A que valor de isso leva? 2 8 S d para determiar a área S do círculo de diâmetro d, 9 2 8 8 2 S d 9 8 64 varas 9 9 2

8. Os egípcios cosideravam o caso geral para o cálculo da área de um quadrilátero qualquer a relação a c b d S ode a, b, c e d são as medidas dos lados cosecutivos do quadrilátero. Verifique a 2 2 precisão ou a imprecisão da fórmula egípcia para cada caso abaixo: a) caso o quadrilátero seja um quadrado de lado l; b) caso o quadrilátero seja um retâgulo de dimesões x e y; c) caso o quadrilátero seja um losago de lado 2 ; d) caso o quadrilátero seja um losago cuja diagoal maior vale 2 e a diagoal meor vale 1; e) caso o quadrilátero seja um trapézio de base maior 2, base meor 1 e altura 1; f) caso o quadrilátero seja um trapézio de base maior 3, base meor 1 e altura 1. 6 BIBLIOGRAFIA BOYER, Carl B História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996. EVES, Howard Itrodução à História da Matemática. Campias, Editora da Uicamp, 1995 Iteret - http://www-history.mcs.st-adrews.ac.uk/history/biogidex.html