Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre as coordeadas do poto de iterseção das diagoais AC e BD. Questão 0 Tópico:.. Geometria aalítica plaa. A) (até três potos) Utilizado o procedimeto usual, temos que y 0 0 =. x 0 0 Daí segue que a equação pedida é x y = 0. B) (até três potos) y 0 0 Da mesma forma, = implica que x + y = 9. x C) (até quatro potos) As coordeadas do poto de iterseção, M(a,b), devem satisfazer as equações das retas ecotradas. Sedo assim, precisamos resolver o sistema de equações lieares a b = 0 a + b = 9 A aplicação correta de qualquer método os leva aos valores a = e b =. 0. Cosidere as seguites regiões do plao cartesiao xoy: A = { P ( x,y ); x + y x y + 0 } e B = { P ( x,y ); 0 y x }. A) Idetifique e esboce graficamete a região A. B) Idetifique e esboce graficamete a região B. C) Calcule a área da região AI B. Vestibular 009 º Etapa Matemática Pág. de 5
Questão 0 Tópico: III. Geometria. A) (até três potos) Pelo método de completar quadrados, verificamos que a seteça que defie a região A é equivalete à seteça ( x ) + ( y ), ou seja, A é um círculo de raio r = e cetro C (,). B) (até três potos) A região B é a iterseção de três semi-plaos, quais sejam, { P( x, 0 y} { P( x, y x} I { P( x, x } I. Portato, B é a região limitada pelo triâgulo retâgulo esboçado a seguir. C) (até quatro potos) Como o cetro do círculo é o poto médio da hipoteusa do triâgulo retâgulo B e seu raio mede, a região AI B é um semi-círculo de raio. Logo, a sua área é igual a π. 0. Cosidere o úmero real A) Mostre que, > 9.,. B) Mostre que, < 0. Sugestão: log 0, 8 0 < e, <, 0. Questão 0 Tópico:.. Números reais;. Fuções logarítmicas e expoeciais. A) (até três potos) x A fução expoecial f : R ( 0, + ), f ( x) =, é crescete, pois a base é maior que. Pela defiição de fução crescete, vale a implicação a seguir: <, (, ) = 9, 9 = f ( ) < f <,. Vestibular 009 º Etapa Matemática Pág. de 5
B) (até sete potos) Observe a desigualdade,, log0 =, log0 < 0,8,0 = 0,97 < log 0 < = log 0 0. Como a fução logarítmica ( x ) = log x é crescete,, < 0. g 0 0. Os úmeros complexos distitos z e w são tais que z + w = e z w =. A) Calcule z. B) Calcule o valor z + w sabedo-se que z está o primeiro quadrate do plao complexo. Questão 0 Tópico:.. Números complexos. A) (até quatro potos) A seguda idetidade garate que z 0, iformação que os permite escrever w =. Substituido z esse valor a primeira idetidade, após maipulações algébricas simples, obtemos z z + = 0. Os dois valores possíveis para z são seja o valor, o seu módulo é, pois z = z z = + = ±. z = + i ou z = i. Idepedetemete de qual B) (até seis potos) π π Nesse caso, temos z = cos + ise e, pelo fato de o módulo de z ser, a seguda idetidade π π garate que w é o cojugado de z, isto é, w = cos ise = z. Verifiquemos essa afirmação: w = w = w z z = z = z. Pela fórmula de De Moivre e pelas propriedades da cojugação, valem as igualdades a seguir: z + w = z + z π π π π π = cos + ise + cos ise = cos =. Vestibular 009 º Etapa Matemática Pág. de 5
05. Cosidere as fuções f : R R e g : R R defiidas, respectivamete, por f ( x) = x + e g( x ) = cos( x ) se( x ). A) Explicite a fução composta h ( x) = f ( g( x)). B) Determie o valor máximo da fução composta h ( x) = f ( g( x)). Questão 05 Tópico: IV. Aálise de fuções. A) (até três potos) Aplicado a defiição de fução composta, temos que h(x) = (cos(x) se(x)) B) (até sete potos) se x se(x) =. Recordado que ( ) + = cos (x) + se 06. A progressão geométrica ifiita (, a,..., a,...) positivo tal que 89 S >. 096 (x) cos(x) se(x) + = se(x)., temos que o maior valor da fução h(x) = se(x) é, que é obtido quado a tem razão q = e a =. Determie o meor iteiro S, a soma dos primeiros termos da progressão, satisfaz a desigualdade Questão 06 Tópico:.. Seqüêcias uméricas. (até dez potos) Observamos que a fatoração por primos do deomiador da fração dada é umerador está relacioado com o deomiador pela igualdade 096 = e que o 89 = =. Por outro lado, a soma dos primeiros termos da progressão vale a aq S = = =. q Esses cometários reduzem a solução ao estudo da desigualdade = > = S S, ou seja, devemos examiar quado a desigualdade S S > 0 ocorre pela primeira vez. Obviamete, a difereça é positiva se, e somete se, >, pois S = S + a e a > 0. Etão, o meor atural que satisfaz a codição pedida é =. Vestibular 009 º Etapa Matemática Pág. de 5
07. Seja C um cubo com medida de aresta igual a 00 ( uc ). A) Calcule o volume da esfera S iscrita o cubo C. B) Seccioa-se C em mil cubos cogruetes, C, C,..., C 000, e iscreve-se uma esfera S k em cada cubo C k, k =,..., 000. Calcule a soma dos volumes das esferas S k, k =,..., 000. Questão 07 Tópico:.. Geometria euclidiaa espacial. A) (até três potos) Como S está iscrita o cubo, o raio mede a metade da aresta. Sedo assim, o volume é vol ( S) = π 50. B) (até sete potos) Como os cubos meores são cogruetes, suas arestas são cogruetes e, portato, os volumes são iguais. Mais aida, eles foram obtidos ao seccioarmos C ; logo, a soma de todos os volumes dos cubos meores é igual ao volume do cubo C : vol( C ) 000 = k= vol( C ) =000 vol( C ). k 6 Se a é a medida das arestas do cubo C, a expressão acima os dá a igualdade 0 = 000 a, de ode segue o valor a = 0. As esferas iscritas os cubos meores têm raios r = a 5 =. Por isso, os volumes de todas as esferas iscritas os pequeos cubos são iguais. Calculemos a soma desses volumes: 000 k = vol( S k ) = 000 vol( S ) = 000 π 5 = π 50. 08. Uma comissão de 5 membros será formada escolhedo-se parlametares de um cojuto com 5 seadores e deputados. Determie o úmero de comissões distitas que podem ser formadas obedecedo à regra: a presidêcia da comissão deve ser ocupada por um seador, e a vice-presidêcia, por um deputado (duas comissões com as mesmas pessoas, mas que a presidêcia ou a vice-presidêcia sejam ocupadas por pessoas diferetes, são cosideradas distitas). Questão 08 Tópico:.6. Aálise combiatória. (até dez potos) Escolha da presidêcia: Escolha da vice-presidêcia: Escolha dos outros membros: escolha em 5 possíveis. escolha em possíveis. escolhas em 6 possíveis. Aplicado o Pricípio Fudametal da Cotagem, o úmero de comissões distitas é igual a 6 5 C 5 C C6 = 5 = 00. Vestibular 009 º Etapa Matemática Pág. 5 de 5