CAPÍTULO IV SÉRIES DE TERMOS REAIS

CAPÍTULO IV SÉRIES DE TERMOS REAIS. Itrodução A oeração de adição de úmeros reais é uma oeração biária suostamete bem cohecida do leitor: a cada ar de úmeros reais (a b) a oeração de adição associa a resectiva soma a + b verificado-se diversas roriedades com as quais o leitor está familiarizado. A artir do coceito de soma de dois úmeros reais facilmete se defie soma de úmeros reais : dados os reais a a... a fazedo A = a A = A + a A 3 = A + a 3... A = A - + a o úmero A obtido o fial é a soma dos úmeros dados reresetado-se or qualquer dos símbolos: a + a +... + a ou. a i i= Proomo-os geeralizar o coceito de soma ao caso em que em vez de se artir de um úmero fiito de reais se arte dos ifiitos termos de uma sucessão u u... u.... Tal geeralização faz-se do seguite modo: a) Forma-se a sucessão das somas arciais S = u S = u + u S 3 = u + u + u 3... S = u + u +... + u... ; b) Calcula-se em seguida lim S ( limite da sucessão das somas arciais). Ates de rosseguir covém otar que este rocedimeto ou algoritmo ode ão coduzir a um resultado real (lim S ode ser + ou - ) ou ode mesmo ão coduzir a ehum resultado como acotece quado ão existe lim S. Ideedetemete de coduzir ou ão a um resultado o algoritmo descrito desiga-se or série e rereseta-se or qualquer dos símbolos u + u +... + u +... ou u ; = os termos u da sucessão de que se artiu desigam-se este cotexto or termos da série. Qualquer dos dois símbolos usados ara reresetação da série retede sugerir o rocedimeto ou algoritmo a que são sujeitos os termos u : cálculo das somas arciais seguido do cálculo de S = u + u +... + u = u i i= 8

lim S = lim (u + u +... + u ) = lim u i i= Quado o algoritmo descrito (a série) coduz a um resultado os símbolos u + u +... + u +... ou u = são também usados ara reresetar o rório resultado desigado-se este or soma da série. Quado o resultado (a soma da série) seja fiito a série diz-se covergete ; quado seja ifiito ou ão exista a série diz-se divergete (divergete ifiita se lim S for + ou - divergete oscilate quado ão exista lim S ). Esta ambiguidade resultate do dulo sigificado atribuído aos símbolos u + u +... + u +... ou u = está cosagrado e ão tem grades icoveietes ráticos: o cotexto ermite ormalmete saber qual dos sigificados está em causa. Assim or exemlo quado se fala a covergêcia da série + / + / +... + / - +... ou = é a série que se esa; mas quado se escreve + / + / +... + / - +... = ou = os símbolos dos rimeiros membros das igualdades retedem já sigificar a soma da série.. / / = Em muitas situações são aresetados como reresetado séries símbolos como u u =0 = =3 u etc. em que o ídice toma valores o cojuto N {0} ou um certo subcojuto N = { + +... } de N. É óbvio que tais símbolos odem reresetar o algoritmo descrito ateriormete (ou idistitamete o resultado a que ele coduz) alicado resectivamete às sucessões u 0 u... u... ; u u 3... u... ; u 3 u 4... u... ; etc.. Aliás os símbolos referidos odem facilmete ser recovertidos à situação stadard aresetada iicialmete: u em vez de = =0 u + em vez de = = u + em vez de = =3 etc. u u u 8

Por exemlo qualquer dos símbolos = / /( + ) = 0 = rereseta a série + / + /3 +... + / +.... 4 /( 3) No desevolvimeto da teoria usaremos semre a símbolo stadard com o ídice de sumação a tomar valores em N sedo os resultados obtidos evidetemete alicáveis aos restates casos.. Exemlos otáveis de séries. - Série geométrica A série a + a r + a r +... + a r - +... ou a r = em que cada termo se obtém do recedete multilicado-o or uma costate (a razão) desiga-se or série geométrica. Dado que a sucessão das somas arciais tem termo geral S = a + ar + ar + + ar = a a ar r se r se r = e como lim r é fiito ( e esse caso ulo) se e só se r < coclui-se que lim S existe fiito se e só se r < e esse caso = a r = lim S = a r. Em qualquer outra situação lim S ou ão existe ou é ifiito e a série é divergete.. - Série a + a r + 3 a r +... + a r - +... Esta série estuda-se do oto de vista da covergêcia de forma semelhate à série geométrica. A sucessão das somas arciais tem or termo geral S = a + a r + 3 a r +... + a r - ; multilicado ambos os membros desta igualdade or r e subtraido em seguida ordeadamete obtém-se S = a + a r + 3 a r +... + a r - 83

ou aida ara r r S = ar + a r + 3 a r 3 +... + (-) a r - + a r ( - r) S = a + a r + a r +... + a r - - a r S = a ar ( r ) - ( - r) S = a ar - a r r ar a a. [ + ( r). ]. r = r ( r ). Para r = tem-se S = a + a + 3 a +... + a = ( + ) a. As exressões obtidas ara S ermitem cocluir tal como o caso da série geométrica que lim S existe fiito se e só se r < e esse caso = ar = lim S = a ( r ). Relembre-se ara maior facilidade de comreesão do resultado obtido que r < lim r = 0. Em qualquer outra situação quato ao valor de r lim S ou ão existe ou é ifiito e a série é divergete..3 - Séries redutíveis ou de Megoli Cosidere-se a série u e admita-se que o resectivo termo geral se ode exrimir = como a difereça etre os termos a e a + de uma certa sucessão a a... a... ou seja u = a - a +. Nesse caso a exressão que dá o termo geral da sucessão das somas arciais da série admite uma simlificação otável: S = u + u +... + u - + u = = (a - a ) + (a - a 3 ) +... + (a - - a ) + (a - a + ) = a - a + elo que a série = = u = a - lim a +. u será covergete se e só se lim a + for fiito sedo etão 84

Com vista a geeralizar o resultado recedete cosidere-se agora a série u e = admita-se que o resectivo termo geral se ode exrimir como a difereça etre os termos a e a + de uma certa sucessão a a... a... : u = a - a +. Nesse caso a exressão que dá o termo geral da sucessão das somas arciais da série admite igualmete uma simlificação otável: S = u + u + u 3 + u 4 +... + u - + u - + u = = (a - a 3 ) + (a - a 4 ) + (a 3 - a 5 ) + (a 4 - a 6 ) +... + + (a - - a ) + (a - - a + ) + (a - a + ) = (a + a ) - ( a + + a + ) elo que = sedo etão = u será este caso covergete se e só se lim ( a + + a + ) for fiito u = (a + a ) - lim ( a + + a + ). Em geral ara a série u com u = a - a + ( N fixo) a exressão que dá o = termo geral da sucessão das somas arciais será S = u + u + u 3 + u 4 +... + u - + u - + u = = (a + a +... + a ) - ( a + + a + +... + a + ) e a série será covergete se e só se lim ( a + + a + +... + a + ) for fiito sedo etão = u = (a + a +... + a ) - lim ( a + + a + +... + a + ). Em articular se lim a = (fiito) tem-se também lim a + j = ara j =... e etão = u = (a + a +... + a ) -.. Aida mais em articular se lim a = 0 será etão = u = (a + a +... + a ). Vejamos algus exemlos de séries redutíveis. ) Na série = ( + ) tem-se u = ( + ) = + 85

tratado-se ortato de uma série redutível com =. Como lim / = 0 a série em causa é covergete e tem-se = ( + ) = = ( + ) = - 0 =. ) Na série = ( + )( + 3 ) tem-se u = ( + )( + 3) = / / + + 3 tratado-se ortato de uma série redutível com =. Dado que lim /( +) = 0 a série em causa é covergete e tem-se = ( + )( + 3 ) = / / + 3 0 = 5/. 3) No caso da série = + + tem-se u = + + = + ( + + )( + ) = + = = ( ) ( + ) sedo ortato de uma série redutível com =. Dado que lim ( + ) = + a série em causa é divergete..4 - Série exoecial Trata-se da série x x + x + + +! ( )! + ou = x ( )!. O termo geral da sucessão das somas arciais desta série é dado or S (x) = x x + x + + +! ( )! ; 86

tedo em cota a igualdade do euciado do teorema 5 do caítulo sobre sucessões reais tem-se e x x - S (x) = ξ ( x ) ;! cosiderado agora a majoração obtida as cosiderações que recedem o mecioado teorema ou seja x ξ ( x ) ara + > x + x coclui-se que ara cada x R limξ ( x ) = ; e tedo aida em cota que lim x /! = 0 resulta lim e x - S (x) = o que imlica ser lim S (x) = e x. Em coclusão: a série exoecial é covergete ara todo o x R e tem-se e x = x x + x + + +! ( )! + = = x ( )!. 3. Proriedades elemetares das séries Estudam-se seguidamete algumas roiedades elemetares das séries cujo cohecimeto é imortate: P : Sedo u uma série covergete etão lim u = 0 = Demostração : Covergido a série a sucessão das somas arciais S S... S... com S = u + u +... + u tem limite fiito: s = lim S. A sucessão A = 0 A = S A 3 = S... A = S -... tem também limite igual a s (se os termos S verificam a codição S - s < ε a artir de certa ordem ε o mesmo acotece com os termos A a artir da ordem ε + ). Etão a sucessão de termo geral S - A = S - S - = u terá de ter limite ulo lim u = lim ( S - A ) = s - s = 0 como se queria rovar. Corolário : Sedo ão ulo ou ão existido o limite do termo geral u da série = u etão a série é divergete Demostração : É uma cosequêcia imediata da roriedade P. Note-se que do facto de ser ulo o limite do termo geral de uma série ão ode iferir-se a covergêcia da série. Por exemlo é divergete a série ( + ) (série = redutível com = e lim + = + ) e o etato lim ( + ) = 0. P : A atureza de uma série (covergêcia ou divergêcia) ão deede do valor dos seus m rimeiros termos ou seja sedo m N são da mesma atureza as séries a e = = b tais que a = b ara > m 87

Demostração : Desigado or A e B resectivamete os termos gerais das sucessões das somas arciais das séries do euciado tem-se ara > m A = a + a +... + a m + a m+ +... + a B = b + b +... + b m + b m+ +... + b = b + b +... + b m + a m+ +... + a dode resulta ara > m A - B = ( a + a +... + a m ) - ( b + b +... + b m ) = (costate) ou aida A = B + (com costate) ; esta última igualdade ermite cocluir que lim A é fiito se e só se o mesmo acotecer com lim B. Em coclusão a covergêcia de uma das séries imlica a da outra e o mesmo se ode dizer quato à divergêcia. P3 : As séries u e u + ( N ) são da mesma atureza (ambas covergetes ou = = ambas divergetes) Demostração : Reresetado or S e S resectivamete os termos gerais das sucessões das somas arciais das séries do euciado tem-se S = u + u +... + u e S = u + + u + +... + u + e é óbvio que S + = ( u + u +... + u ) + S. Como é fixo a soma detro do aretisis o segudo membro da igualdade é uma costate o que ermite cocluir dode se tira a coclusão do euciado. lim S = lim S + fiito lim S fiito Como cometário ao resultado estabelecido a roriedade aterior covém referir que a série u + é usualmete desigada or série resto de ordem da série u : a = = rimeira série ode cosiderar-se que foi obtida a artir da seguda or suressão dos termos iiciais desta. A roriedade afirma que uma série e a corresodete série resto de ordem ( com N ) são da mesma atureza (ambas covergetes ou ambas divergetes). No caso de covergêcia a igualdade estabelecida o decorrer da demostração da roriedade ou seja S + = ( u + u +... + u ) + S ermite cocluir que = u = lim S = lim S + = ( u + u +... + u ) + lim S = = ( u + u +... + u ) + u +. = Podemos assim euciar 88

P4 : A soma de uma série quado covergete é igual à soma dos seus rimeiros termos mais a soma da resectiva série resto de ordem Aida o caso de covergêcia a artir da igualdade u = ( u + u +... + u ) + = = u + ode cocluir-se assado ao limite em que u = lim ( u + u +... + u ) + lim = = e como lim ( u + u +... + u ) = u resulta que lim u = = u + + = 0. Ou seja P5 : A soma da série resto de ordem de uma série covergete tede ara zero quado tede ara ifiito P6 : Sedo u e v covergetes etão também coverge a série ( u + v ) e = = = tem-se quato às resectivas somas a igualdade: ( u + v ) = u + v = = = Demostração: Reresetado or U V e W os termos gerais das sucessões das somas arciais resectivamete das séries u v e ( u + = = = v ) tem-se: W = (u + v ) + (u + v ) +... + (u + v ) = U + V. E etão u e = = v covergetes lim U e lim V fiitos lim W = lim U + lim V fiito ( u + v ) covergete e ( u + v ) = u + v. = = = = A roósito da roriedade que acaba de ser aresetada covém otar que a soma termo a termo de séries divergetes ode origiar uma série covergete. Por exemlo somado termo a termo as séries divergetes ( ) e ( ) obtém-se uma = = série com todos os termos ulos que é obviamete covergete (tem soma igual a zero). 89

P7 : Sedo u uma série covergete e um qualquer real tem-se que ( u ) é = = igualmete covergete e ( u ) =. u = = Demostração : Reresetado or U e W os termos gerais das sucessões das somas arciais resectivamete das séries u e ( u ) tem-se : = = E etão W = u + u +... + u =.U. = u covergete lim U fiito lim W =. lim U fiito ( u ) covergete e ( u ) =. u. = = = Como cosequêcia imediata das roriedades P6 e P7 tem-se: P8 : Sedo u e v covergetes e λ e µ úmeros reais etão também coverge a = = série ( λ u + µ v ) e tem-se a seguite igualdade: ( λ u + µ v ) = λ. u + µ. v = = = = A roriedade seguite fudameta a ossibilidade de associação de termos cosecutivos as séries covergetes: P9 : Associado-se termos cosecutivos em série covergete matém-se a covergêcia e a soma Demostração : Cosidere-se a série u e associem-se ela os α rimeiros termos os = α - α seguites os α 3 - α seguites e assim sucessivamete. Obtém-se assim uma ova série = v com termos v = u + u + + u α v = u u + + u α+ + α+ α α + + uα + + uα3 v 3 = u +... v = u u α + α + + + + u α 90

... Tem-se etão reresetado or U e V resectivamete os termos gerais das sucessões das somas arciais das séries u e v : = = V = v + v +... + v = Uα. Se a série u for covergete tem-se lim U fiito ; como Uα é uma subsucessão = de U será também fiito lim V = lim Uα = lim U igualdades que ao mesmo temo rovam a covergêcia da série = = u. v e que a soma desta é igual à soma da série iicial Covém referir a roósito da roriedade que acaba de ser demostrada que a associação de termos cosecutivos em série divergete ode origiar uma série covergete. Assim or exemlo associado cada um dos termos da série divergete ( ) com o termo seguite (o rimeiro com o segudo o terceiro com o = quarto etc.) obtém-se uma série com termos todos ulos que é obviamete covergete. 4. Codição ecessária e suficiete de covergêcia de uma série Com base a codição ecessária e suficiete de covergêcia de uma sucessão cocluise imediatamete que: Teorema : A codição ecessária e suficiete ara a covergêcia da série u é = que ε > 0 ε : > m > ε u m+ + u m+ +... + u < ε Demostração : A série u será covergete se e só se for covergete a sucessão das = somas arciais S = u + u +... + u. E esta sucessão será covergete se e só se verificar a codição de Cauchy ou seja se e só se ε > 0 ε : > m > ε S - S m < ε ; mas como S - S m = u m+ + u m+ +... + u resulta logo de imediato a codição do euciado. Vejamos como exemlo de alicação deste teorema que é divergete a série harmóica = /. Atededo a que com > m 9

+ + + m + m + m tem-se tomado em articular = m > m m + + + = / ; m + m + m m etão fixado or exemlo ε = /3 ão existe uma ordem tal que > m > + + + < /3 m + m + orque ara todo o m tomado em articular = m > m tem-se como se viu + + + /. m + m + m 5. Critérios de covergêcia ara séries de termos ão egativos 5. - Itrodução O estudo da covergêcia de uma série e cálculo da resectiva soma directamete a artir da defiição é tarefa ormalmete imraticável. A obteção de uma exressão ara o termo geral da sucessão das somas arciais que ermita o cálculo rático do resectivo limite (ara assim se achar a soma ou iferir a divergêcia) só muito excecioalmete é ossível. Os casos estudados o oto. em que foi ossível estudar a covergêcia das séries dadas e calcular a resectiva soma ela defiição ão são a regra. Por orma o estudo da covergêcia de uma série faz-se or métodos idirectos (critérios de covergêcia) e o cálculo da soma o melhor que se cosegue é o seu cálculo aroximado com um grau de recisão fixado reviamete. Vamos estudar seguidamete algus critérios de covergêcia alicáveis às séries de termos ão egativos deixado a questão do cálculo aroximado da soma de uma série ara tratameto osterior. Embora os critérios de covergêcia que vamos estudar sejam deduzidos a hiótese de os termos das séries evolvidas serem todos ão egativos eles são também alicáveis quado: a) A série em questão teha termos ão egativos de certa ordem em diate ois este caso os critérios são alicáveis à série resto de ordem (que terá etão aeas termos ão egativos) e as coclusões que se tirem sobre a covergêcia ou divergêcia desta são alicáveis à série iicial; b) A série em questão teha termos ão ositivos de certa ordem em diate ois este caso multilicado os termos da série or - obtém-se uma série da mesma atureza (covergete ou divergete como a iicial) cujos termos são ão egativos da ordem em diate e à qual se alicam ortato como se disse em a) os critérios de covergêcia que vamos estudar. Face ao que acaba de ser dito ode cocluir-se que os critérios que vamos estudar só ão são alicáveis quado a série em questão teha uma ifiidade de termos ositivos e uma ifiidade 9

de termos egativos. Aida assim os critérios que estamos referido são alicáveis como veremos a detecção de uma modalidade esecial de covergêcia (a chamada covergêcia absoluta que adiate defiiremos). 5. - Critérios gerais de comaração Cosidere-se uma série a de termos todos ão egativos. Reresetado or A o termo = geral da sucessão das somas arciais tem-se A = a + a +... + a a + a +... + a + a + = A + or ser a + 0 (or hiótese a série tem termos todos ão egativos). Mas sedo crescete a sucessão A terá limite fiito (se for majorada) ou + (se ão for majorada); ou seja série de termos todos ão egativos ou é covergete ou é divergete ifiita (soma igual a + ) ão odedo ser divergete oscilate. Esta coclusão é imortate ara o que vai seguir-se. Teorema : Sedo 0 a b ara todo o tem-se : a) b covergete a covergete ; = = b) a = divergete b = divergete Demostração : a) Reresetado or A e B resectivamete os termos gerais das sucessões das somas arciais das séries a e b tem-se A B (orque or hiótese a b = = ara todo o ); mas etão elas cosiderações que recedem o euciado do teorema tem-se: = b covergete b 0 e a 0 B sucessão majorada e a 0 A sucessão majorada e a 0 = a covergete. b) Decorre de a). Com efeito se b for covergete etão a série a ão oderá ser = = divergete (coforme se rovou a alíea aterior) ; ortato a divergêcia desta imlica a divergêcia daquela. Corolário : O euciado do teorema é válido mesmo que o equadrameto 0 a b se verifique aeas de certa ordem em diate Demostração : Sedo a ordem a artir da qual se verifica o equadrameto 0 a b as imlicações do euciado do teorema são válidas ara as séries resto de ordem das séries evolvidas. E como uma série e a resectiva série resto de ordem são da mesma atureza as imlicações são evidetemete válidas ara as séries origiais. Corolário : Sedo a 0 b > 0 e a / b (com > 0) de certa ordem em diate temse: a) b covergete a covergete ; = = 93

b) = a divergete = b divergete Demostração : As codições do euciado garatem que 0 a. b de certa ordem em diate e etão: a) Pela roriedade P7 a covergêcia de b imlica a de ( b ) e a desta imlica a de = = = a (corolário ); b) Pelo corolário a divergêcia de = = a imlica a de = b (ois se esta última série fosse covergete também o seria ( = P7). ( ) e a desta imlica a de b b ) ela rorieda-de Corolário 3 : Existido úmeros ositivos c e d tais que 0 < c a / b d de certa ordem em diate as séries = a e = b são da mesma atureza (ambas covergetes ou divergetes) Demostração : Sedo b covergete o corolário assegura a covergêcia de a. = = Sedo = = a covergete como b / a /c de ovo o corolário assegura a covergêcia de b. Etão suodo verificadas as codições do euciado tem-se: = b covergete = e ortato as séries são da mesma atureza. a covergete ; Corolário 4 : Sedo a 0 b > 0 e = lim a / b etão: a) Com = 0 b covergete a covergete ; = = b) Com = + b divergete a divergete ; = = c) Com 0 + as séries são da mesma atureza (ambas covergetes ou divergetes) 94

Demostração : a) Com = 0 tem-se a / b < ε de certa ordem em diate e etão o corolário assegura a coclusão. b) Com = + tem-se a / b > /ε ou seja b / a < ε de certa ordem em diate e etão o corolário assegura de ovo a coclusão. c) Com 0 + tem-se fixado ε > 0 tal que - ε > 0 0 < - ε < a / b < + ε de certa ordem em diate e etão o corolário 3 assegura a coclusão. Corolário 5 : Sedo a > 0 b > 0 e aida de certa ordem em diate a+ b + a b etão : a) b covergete a covergete ; = = b) = a divergete = b divergete Demostração : Da desigualdade do euciado decorre que a + a b + b ara > m (com certo m) ou seja a / b é uma sucessão decrescete de certa ordem m em diate. Etão > m a am+ = b bm + sedo as imlicações a rovar asseguradas elo corolário. Vejamos algus exemlos de alicação do teorema e seus corolários. A) Exemlos de alicação directa do teorema : ) A série = a é divergete orque e diverge a série =. ) A série = ( + ) é covergete orque 0 < ( + ) < ( + ) = + e coverge a série redutível = +. 95

B) Exemlos de alicação do corolário 4 : 3) A série = é covergete orque lim / /( + ) = lim ( + ) = e como se viu o exemlo ) coverge a série. = ( + ) 4) A série é divergete. Com efeito a série redutível = ( + ). log( + = = ) [ oglog( + ) log log( + ) ] l é divergete e ortato também diverge a série [ oglog( + ) log log( + ) ] l uma vez que esta se obtém da recedete multilicado os seus termos or -. Ora lim log log( + ) log log( + ) = ( + ). log( + ) log ( + ) = lim ( + ). log ( + ). log = log ( + ) como o leitor ode cocluir (o cálculo do limite idicado costitui um bom exercício de revisão). O corolário 4 assegura ortato a divergêcia da série. = ( + ). log( + C) Exemlo de alicação do corolário 5 : ) 5) A série = e = (4 / 5) é covergete ois com a = e b = ( 4/ 5) tem-se 5 5 a + ( + ) 5 b 4 + = = ( + / ) = + a 5 5 5 b é covergete (série geométrica de razão 4/5). 5.3 - Critério de Dirichlet 96

Trata-se de um critério esecial de comaração com a série / cuja atureza = tem ortato de ser estabelecida reviamete. Já ates vimos a título de exemlo algus casos articulares desta série: com α = a série diverge o mesmo acotecedo com α = = / ; com α = vimos que a série é covergete. Vamos seguidamete fazer o estudo comleto desta série: a) Com α tem-se / α / e como / diverge o teorema assegura a = α divergêcia de / α ; = b) Com α > a série redutível é covergete e dado que = α ( + ) α lim α ( + ) α α = lim. + = lim. α + α = = lim. + ( ). + α ζ = α - > 0 o corolário 4 do teorema ermite cocluir que = covergete. Podemos etão euciar: / α (α > ) é igualmete Teorema 3 : Dada a série = Etão: a com λ = lim a) Se for λ = 0 com α > a série coverge ; b) Se for λ = + com α a série diverge ; a 0 calcule-se (caso exista) a α / = lim α. a. c) Se for λ 0 + : c) Com α > a série coverge ; c) Com α a série diverge (Critério de Dirichlet) Demostração : Resulta imediatamete do corolário 4 do teorema cosiderado b = / α e otado que / coverge ou diverge cosoate seja α > ou α. = α 97

Note-se que o critério do teorema 3 ermite as duas seguites situações icoclusivas: λ = 0 e α ; λ = + e α >. 5.4 - Critério da razão. Critério de D Alembert O corolário 5 do teorema e o facto de as séries covergetes terem termos gerais que tedem ara zero ermitem demostrar o seguite: Teorema 4 : Dada a série = a com a > 0 a) Se existe um úmero ositivo r < tal que a artir de certa ordem se teha a + r < etão a série coverge; a b) Se a artir de certa ordem se tem a + etão a série diverge a (Critério da razão) Demostração : a) Como 0 < r < a série geométrica = que or hiótese a + r = a = a coverge. r r r é covergete e dado o corolário 5 do teorema ermite cocluir que b) A desigualdade do euciado imlica que a artir de certa ordem a sucessão a é crescete o que imlica ão oder ser ulo o lim a (orque or hiótese a > 0 ). Em cosequêcia a série a tem de ser divergete (em série covergete o termo geral = tede ecessariamete ara zero). Este teorema admite o seguite corolário de frequete alicação rática: Corolário : Dada a série a com = a) Se λ < a série coverge; a > 0 se existir λ = lim a + tem-se: a b) Se λ > a série diverge (Critério de D Alembert) Demostração : a) Sedo λ < escolha-se ε > 0 tal que λ + ε <. Por defiição de limite ter-se-á a artir de certa ordem λ - ε < a a + < λ + ε < 98

e a alíea a) do teorema 4 garate a coclusão. b) Sedo λ > escolha-se ε > 0 tal que λ - ε >. Por defiição de limite ter-se-á a artir de certa ordem < λ - ε < a a + < λ + ε < e a alíea b) do teorema 4 garate a coclusão. Note-se que o critério do corolário recedete (critério de D Alembert) é icoclusivo + quado seja λ = lim a =. No etato este caso se se verificar a a a (covergêcia ara or valores à direita) a alicação directa do teorema 4 garate a divergêcia da série. Vejamos um exemlo de alicação. Para a série c! com c > 0 tem-se: = + c.( + )! lim + ( + ) = lim c ( + ) + c! ( + ) ( + ) = c / e. Etão se for c < e a série coverge ; se for c > e a série diverge ; o caso c = e embora o limite seja uitário dado que e. = e. ( +) ( + / ) > a alicação directa do teorema 4 ermite cocluir divergêcia. + 5.5 - Critério da raiz. Critério de Cauchy O teorema ermite aida deduzir um outro critério de covergêcia de larga alicação rática. Trata-se de critério da raiz e do seu corolário (critério de Cauchy). Teorema 5 : Dada a série a com a 0 = a) Se existe um úmero ositivo r < tal que a artir de certa ordem se teha r < etão a série coverge; a b) Se ara ifiitos valores de se tem a (Critério da raiz) etão a série diverge Demostração : a) Tem-se a artir de certa ordem a r e como com 0 < r < a série geométrica = r é covergete o teorema garate a coclusão. 99

b) Se ara ifiitos valores de se tem a lim a = 0 e etão a série diverge. ou seja a ão ode ter-se NOTA IMPORTANTE : Cotrariamete ao critério da razão em que a codição suficiete de divergêcia era a verificação da desigualdade a + a artir de certa a ordem o critério da raiz basta que a desigualdade ifiitos valores de ara se oder iferir divergêcia. a seja verificada ara O teorema recedete admite o seguite corolário de frequete alicação rática: Corolário : Dada a série = a) Se λ < a série coverge; a com a 0 sedo λ = lim máx a b) Se λ > a série diverge (Critério de Cauchy) Demostração : a) Sedo λ < escolha-se ε > 0 tal que λ + ε <. Aeas um úmero fiito de termos da sucessão u = a odem exceder λ + ε ; caso cotrário existiria uma subsucessão de u com todos os termos a exceder λ + ε e claro que tal subsucessão admitiria um sublimite u λ + ε ; u seria também sublimite da sucessão u = a que teria assim um sublimite suerior ao resectivo limite máximo o que é imosível. Tem-se etão a artir de certa ordem a < λ + ε < e a alíea a) do teorema 5 garate a coclusão. b) Sedo λ > escolha-se ε > 0 tal que λ - ε >. Por defiição de limite máximo existe uma subsucessão de u = a com limite λ e ortato tem-se ara ifiitos valores e > λ - ε > e a alíea b) do teorema 5 garate a coclusão. a Note-se que o critério do corolário recedete (critério de Cauchy) é icoclusivo quado seja λ = lim máx a =. No etato este caso se se verificar a ara ifiitos valores de a alicação directa do teorema 5 garate a divergêcia da série. Nota imortate: Nos casos mais corretes existe lim a e ortato o critério alica-se com lim a = lim máx a. 00

Vejamos dois exemlos de alicação. ) Para a série =. e c com c > 0 tem-se 0 0 < c < lim c. e = lim c. e = e c = + c > Logo a série coverge se 0 < c < e diverge se c.. ). Para a série ão existe lim = ) [ 3 + ] [ 3+ ( ] = lim ( ) 3 + ( ) No etato como lim máx = / < 3 + ( ) fica garatida a covergêcia da série. 5.6 - Teorema de Kummer O teorema seguite costitui um resultado de otável simlicidade e geeralidade que os irá ermitir deduzir osteriormete ovos critérios de covergêcia a utilizar quado os critérios já estudados sejam icoclusivos. Teorema 6 : Existido úmeros ositivos ω...... que façam a + a + + ω a série = a coverge. Se or outro lado a a + e diverge / etão também diverge a (Kummer) = = Demostração : a) Vejamos a arte em que o teorema afirma a covergêcia. Tem-se + a + a + + ω ω a + a - + a + 0

a + ω ( a + a + ). Ora a série redutível ( a + a+ ) ω = é covergete. Com efeito ω a + + + a + a + a + a (or ser ω a + 0) ; coclui-se assim que a é uma sucessão decrescete de termos ão egativos (logo miorada) existido ortato fiito o lim + a +. O teorema ermite etão cocluir que é covergete a série = série resto de ordem. a + e ortato também a série = a de que aquela é a b) A seguda arte do teorema também se demostra com facilidade. Da seguda desigualdade do euciado tira-se a + a / / + e como or hiótese / diverge também diverge a (corolário 5 do teorema = = ). Como habitualmete as coclusões do euciado do teorema recedete ão exigem que as desigualdades sejam verificadas ara todo o bastado que o sejam a artir de certa ordem. Com efeito o teorema ode ser alicado à série resto de ordem da série a estudar a qual tem a mesma atureza desta. É iteressate otar que com = o teorema de Kummer dá o critério da razão do teorema 4. O teorema de Kummer admite aida como corolários dois critérios ráticos muito usados e que ermitem em grade úmero de casos estudar a covergêcia quado sejam icoclusivos outros critérios. Trata-se dos critérios de Raabe e de Gauss que vamos estudar os otos seguites. 5.7 - Critério de Raabe Trata-se de um critério que resulta do teorema 6 (teorema de Kummer) fazedo ele =. Assim Teorema 7 : Dada a série a com a > 0 = a) Se existe ω > 0 tal que de certa ordem em diate 0

a série coverge; a. a + + ω b) Se de certa ordem em diate a série diverge a. a + (Critério de Raabe) Demostração : a) A rimeira desigualdade do euciado imlica aós algumas maiulações algébricas que a + a + + ω e alicado o teorema 6 com = coclui-se que a série coverge. b) A seguda desigualdade do euciado imlica que a + a + e alicado o teorema 6 com = coclui-se que a série diverge. Na rática o critério de Raabe do teorema aterior é ormalmete alicado calculado a λ = lim. a +. Se for λ > escolhedo ε > 0 tal que λ - ε > tem-se de certa ordem em diate a. a + a > λ - ε > ou seja. a + > + ω > com ω = λ - ε - > 0 ; etão o teorema 7 assegura a covergêcia da série a. = Se for λ < escolhedo ε > 0 tal que λ + ε < tem-se de certa ordem em diate a. a + < λ + ε < e etão o teorema 7 assegura a divergêcia da série a. = Podemos ortato euciar: 03

Corolário : Dada a série = a) Sedo λ > a série coverge; b) Sedo λ < a série diverge a com a > 0 sedo a λ = lim. a Note-se que quado seja λ = ada se ode cocluir a meos que + a. a + caso em que a alicação directa do teorema 7 dá a divergêcia da série. Vejamos um exemlo de alicação. Para estudar a atureza da série! = α ( α + )... ( α + ) com α > 0 vamos começar or alicar o critério de D Alembert : tem-se ( + )! lim a + α ( α + )... ( α + )( α + ) = lim = lim + a! + α = α ( α + )... ( α + ) ão odedo ortato em ricíio tirar-se qualquer coclusão ; o etato ara 0 < α tem-se a + = + a + α e a alicação directa do teorema 4 (critério da razão) ermite cocluir que a série diverge. Para α > o critério da razão e seu corolário revelam-se icoclusivos e vamos ver que a alicação do critério de Raabe esclarece comletamete a questão. Tem-se a λ = lim. a + + α + = lim ( ) = α - 04

dode resulta (ver corolário do teorema 7) : se α - > ou seja α > a série coverge; se α - < ou seja α < a série diverge ; ara α = o limite obtido seria icoclusivo (= ) mas otado que este caso a. a = + + a alicação directa do teorema 7 leva à coclusão de que a série diverge. 5.8 - Critério de Gauss Estuda-se a seguir um ovo critério que se obtém em arte do critério de Raabe e em arte ela alicação directa do teorema 6 (teorema de Kummer). Trata-se do critério de Gauss or vezes útil ara esclarecer situações em que o critério de Raabe é icoclusivo. Teorema 8 : Dada a série a com a > 0 sedo = a l = + + + a + com l sucessão limitada e α > 0 a) Sedo > a série coverge; α b) Sedo a série diverge (Critério de Gauss) Demostração : As coclusões corresodetes ao casos > e < obtêm-se imediatamete ela alicação do critério de Raabe. Falta ortato justificar a coclusão referete ao caso =. Para tal recordemos aqui a exemlo 4) do oto 5. em que se viu ser divergete a série ; = ( + ). log ( + ) alicado o teorema de Kummer com = ( + ) log ( + ) bastará rovar que ou seja que a + a ( + ) log ( + ). ( + ) log ( + ) ( + ) log ( + ) a a + - ( + ) log ( + ) 0 de certa ordem em diate ara rovar que a série a diverge. Ora = a lim [ ( + ) log ( + ). - ( + ) log ( + )] = a + 05

l = lim [ ( + ) log ( + ). ( + + + α ) - ( + ) log ( + )] = - < 0 como se ode verificar aós algus cálculos que se deixam ao cuidado do leitor ( ateder a que l é sucessão limitada e α > 0 ) o que justifica a verificação da desigualdade retedida de certa ordem em diate. Como ara os critérios ateriores areseta-se um exemlo de alicação do critério de Gauss. Para a série [( ) ]! = [ + (0 ) ].[ + ( ) ].[ + ( 3) ]..... [ + ( ) ] o critério de Gauss dá divergêcia ois a = + + = + +. + a + O leitor ode verificar que a alicação dos critérios da razão e de Raabe à série dada ão ermitiria esclarecer a sua atureza. 6. Covergêcia absoluta e covergêcia simles Dada uma série u de termos quaisquer cosidere-se a série u dos módulos = dos termos da rimeira (abreviadamete a série dos módulos). No teorema seguite rova-se que a covergêcia da série dos módulos imlica a da série iicial e estabelece--se uma desigualdade etre as resectivas somas. = = Teorema 9 : Sedo covergete a série u também coverge a série u e = tem-se a seguite desigualdade etre as resectivas somas: = u u = Demostração : A série u será covergete se e só se for verificada a seguite codição: ε > 0 ε : > m > ε u m+ + u m+ +... + u < ε como se viu o teorema ; mas como u m+ + u m+ +... + u u m+ + u m+ +... + u = = u m+ + u m+ +... + u = a referida codição verifica-se também ara os termos da série u o que garate a = covergêcia desta última. 06

A desigualdade etre as somas rova-se sem dificuldade. Tem-se desigado or S * a = soma dos rimeiros termos de u e or S idêtica soma relativa a u = S * = u + u +... + u u + u +... + u = S e etão em caso de covergêcia resulta imediatamete u = lim S = lim S lim S * = u. = = Nos termos do teorema recedete a covergêcia de u é semre acomahada da de u dizedo-se etão que esta última é absolutamete covergete. = Note-se o etato que u ode ser covergete sem que o seja u dizedose esse caso que a rimeira é simlesmete covergete. Um exemlo de = série simlesmete covergete é a série = = ( ) = =./. Com efeito a série dos módulos é / que sabemos ser divergete; o etato como adiate se verá a série = ( )./ é covergete. Como observações óbvias sobre o coceito de covergêcia simles covém otar que (a justificação fica ao cuidado do leitor): a) As séries de termos todos ão egativos ão odem ser simlesmete covergetes (ou são absolutamete covergetes ou divergetes) o mesmo acotecedo às séries de termos todos ão ositivos; b) A coclusão da alíea aterior subsiste se a ão egatividade (ou a ão ositividade) dos termos da série se verificar iiterrutamete de certa ordem em diate; c) Para oder haver covergêcia simles é ois ecessário que a série teha ifiitos termos egativos e ifiitos termos ositivos. O estudo da covergêcia absoluta de uma série faz-se estudado a atureza da série dos módulos à qual or se tratar de série com termos ão egativos são alicáveis os critérios estudados o oto 5. 07

Vejamos um exemlo. Cosidere-se a série α ( α ) α ( α )( α ) α ( α )...( α + ) + α + + + + +! 3! ( )! com α { 0 3... } (ote-se que ara α = 0 3... os termos da série são ulos de certa ordem em diate e claro que etão a série será semre absolutamete covergete). A série dos módulos será + α α α α... α + α + + + +! ( )! e etão a + = α + α = a de certa ordem em diate (ara > α + ) ; como lim a + = lim α = a o critério de D Alembert é icoclusivo; o etato ara α + 0 ou seja α - tem-se a artir de certa ordem a + = α a cocluido-se ser divergete a série dos módulos ara tais valores de α (critério da razão do teorema 4). Para α > - o estudo da atureza da série dos módulos ode fazerse elo critério de Raabe : tem-se a λ = lim. a = lim. = α + + α cocluido-se ortato que a série dos módulos coverge ara α > 0 e diverge ara α < 0. Em coclusão : A série dada é absolutamete covergete ara α > 0 e ão o é ara α < 0. Reortado-os aida ao exemlo recedete covém referir que a série em causa oderá aida evetualmete ser simlesmete covergete ara certos valores α < 0. Para α - a ossibilidade de covergêcia simles ode desde logo ser elimiada dado que como vimos esse caso de certa ordem em diate a + = α a e dai resulta que ão ode ter-se lim a = 0 (or ser a crescete de certa ordem em diate e a > 0 ) ; e ão covergido ara zero a sucessão dos módulos dos termos da 08

série o mesmo acotece com a sucessão dos termos da mesma série a qual ão ode ortato ser covergete. Subsiste etão a ossibilidade de covergêcia simles ara - < α < 0 caso que será estudado o oto seguite. 7. Estudo da covergêcia de séries ão absolutamete covergetes 7. - Séries alteradas decrescetes. Cosidere-se a série ( ) a com a a... a a +... 0. Os = termos desta série são alteradamete ositivos e egativos e os resectivos módulos (-) -. a = a formam uma sucessão decrescete. Uma série deste tio desiga-se or série alterada decrescete. Sabemos já que em qualquer série covergete o resectivo termo geral tede ara zero e claro que em articular o mesmo se verifica ara as séries alteradas decrescetes. No etato ara estas séries a covergêcia ara zero do resectivo termo geral é além de codição ecessária também codição suficiete ara a covergêcia da série os termos do teorema seguite:. Teorema 0 : Dada a série ( ) a com a a + 0 a codição ecessária e = suficiete ara que seja covergete é que lim a = 0 Demostração: Basta evidetemete rovar que a codição do euciado é codição suficiete ara a covergêcia da série alterada decrescete. Para tal: a) Notemos em rimeiro lugar que a soma fiita A = a + - a + + a +3 - a +4 +... + (-) -. a + é semre um úmero ão egativo quaisquer que sejam N. Com efeito or ser a +j a +j+ associado cada arcela ão egativa com a seguite obtém-se um úmero ão egativo e etão se for ar (úmero ar de arcelas) da associação referida resultam / arcelas ão egativas que somadas dão um úmero ão egativo; se for ímar da associação referida resultam (-)/ arcelas ão egativas e sobra uma o fial que é ão egativa [ ímar - ar (-) - > 0 ]. b) Por ser A 0 ara quaisquer N resulta A + - = a + - a +3 +... + (-) -. a + 0 e A = a + - A + - ; coclui-se etão que 0 A a + ou seja A a +. c) Podemos agora ver com facilidade que a codição lim a = 0 imlica a covergêcia da série do euciado utilizado ara tal a codição ecessária e 09

suficiete de covergêcia de uma série. Com efeito ara > m tem-se usado o resultado estabelecido em b) (-) m. a m+ + (-) m+. a m+ +... + (-) -. a = = a m+ - a m+ +... + (-) -m-. a m+(-m) = A m-m a m+ ; e de lim a = 0 decorre que sedo ε > 0 existe uma ordem ε tal que > ε 0 a < ε e etão > m > ε > m m+ > ε A m-m a m+ < ε ou seja tem-se ara > m > ε (-) m. a m+ + (-) m+. a m+ +... + (-) -. a < ε que é a codição ecessária e suficiete de covergêcia de = ( ). a. São corolários imediatos do teorema recedete os seguites: Corolário : Dada a série ( ). a com a a + 0 a codição ecessária e = suficiete ara que seja covergete é que lim a = 0. Demostração : As séries ( ) a e ( ). a são da mesma atureza = = orque uma se obtém da outra multilicado os resectivos termos or -. Etão: = ( ). a coverge = ( ). a coverge lim a = 0. Corolário : Cosidere-se uma série = codições a artir de certa ordem: b cujos termos verifiquem as seguites a) Sejam alteradamete ositivos e egativos (ou egativos e ositivos); b) b b +. A codição ecessária e suficiete ara que uma tal série seja covergete é que lim b = 0 Demostração : Seja a ordem a artir da qual se verificam as codições do euciado: ara > os termos alteram de sial e decrescem em valor absoluto. A série resto de 0

ordem ou seja a série b + equadra-se etão uma das situações descritas o = teorema 0 ou corolário. Portato = b coverge = b coverge lim b + = 0 lim b = 0. + Corolário 3 : Cosidere-se a série b com termos alteradamete ositivos e = egativos (ou egativos e ositivos) a artir de certa ordem e suoha-se que b b + = + + l + β com l sucessão limitada e β > 0. Nestas codições a série b é covergete se e só se > 0. = Demostração : Basta rovar que só com > 0 é que a sucessão b tem limite ulo que este caso b b + de certa ordem em diate e alicar o corolário. Da igualdade do euciado resulta l log b log b + = l o g ( + + ) ; + β escrevedo esta igualdade ara os aturais somado membro a membro as igualdade obtidas e simlificado obtém-se li log b log b = l o g ( + + ). + β i i i = l Ora a série l o g ( + + ) : a) Tem os termos ositivos de certa ordem em + β = diate e é divergete se > 0 ; b) Tem os termos egativos de certa ordem em diate e é divergete se < 0 ; c) É absolutamete covergete se = 0. No caso a) coclui-se que lim log b = ou seja lim b = 0 ou aida lim b = 0 ; os casos b) e c) coclui-se que lim b ão ode ser ulo. No caso de ser > 0 da igualdade do euciado resulta logo que b b + de certa ordem em diate assim se rovado o que se retedia. Vejamos dois exemlos de alicação destes resultados. ) A série ( ). / que ateriormete já referimos ão ser absolutamete = covergete é covergete (simlesmete covergete) orque se ecotra as codições do teorema 0. ) A série

+ α + α ( α ) α ( α )( α ) α ( α )... ( α + ) + + +! 3! ( )! + com α { 0 3... } em relação à qual tiha ficado em aberto a ossibilidade de ser simlesmete covergete ara - < α < 0 (ver fial do oto 6.) é efectivamete covergete ara tais valores de α. Para qualquer destes valores do arâmetro α os termos da série alteram de sial e vamos que se verificam as codições do euciado do corolário 3. Desigado or a o valor absoluto do termo de ordem da série tem-se a = a + α + = α + l ( α + ). = + + com l = α α assim se cocluido que é covergete ara - < α < 0 (ois este caso α + > 0). 7. - Critérios de Abel e Dirichlet Vamos rovar dois critérios de covergêcia ambos baseados a idetidade que se areseta de seguida. Dados os úmeros a a... a... e b b... b... defia-se A m = m a = = 3... sedo ortato ( ara m = 3... ) e A 0 = 0. Etão a = A - A - ara a b = = ( A A ) b = = A b A b = = = = A b A b = = = A b A b = = + = = A b A b = = + = A b A b + A b = = + + ou seja a b = = A ( b b ) + A b = + +. Podemos agora euciar e rovar o Teorema : Seja = a uma série cuja sucessão das somas arciais seja limitada. Seja b uma sucessão decrescete com limite ulo. Etão a série ab = (Critério de Dirichlet) coverge

Demostração : Fazedo A = a = tem-se que A é or hiótese uma sucessão limitada ou seja existe uma costate M tal que A < M ara = 3.... Como or hiótese lim b + = lim b = 0 tem-se que lim A b + = 0. Vejamos agora que coverge a série = A ( b b + ) A ( b - b + ) M.( b - b + ) : tem-se or ser b sucessão decrescete e como = M ( b b + ) coverge ( or ser série redutível com = e lim b + = 0 ) = também coverge A ( b b+ ) e ortato a série A ( b b+ ) é absolutamete covergete. Etão or ser como vimos lim A b + = 0 e utilizado a idetidade = demostrada as cosiderações que recedem o teorema coclui-se que lim a b = = + = lim A ( b b ) = + + lim A b + = lim A ( b b ) existe fiito e etão a série = a b é covergete como se queria rovar. Teorema : Seja = a uma série covergete e b uma sucessão moótoa covergete. Etão a série = ab coverge (Critério de Abel) Demostração : Fazedo A = a = tem-se que A é or hiótese uma sucessão covergete. Como or hiótese lim b + = lim b existe fiito tem-se que também existe fiito lim A b +. Vejamos agora que coverge a série A ( b b+ ). Por ser = covergete a sucessão A é limitada ou seja existe uma costate M tal que A < M ara = 3... ; tem--se etão se b for decrescete e A ( b - b + ) M.( b - b + ) A ( b - b + ) M.( b + - b ) se b for crescete ; em qualquer dos dois casos os termos da série A ( b b ) são majorados elos termos de uma série redutível covergete o que imlica a = + covergêcia absoluta de A ( b b ). = + 3

Etão or existir fiito lim A b + e utilizado a idetidade demostrada as cosiderações que recedem o teorema coclui-se que lim a b = + = = lim A ( b b ) + lim A b + existe fiito e etão a série = ab é covergete como se queria rovar. Exemlo de alicação: A série ( ). (/ ). ( + / ) que facilmete se rova = ão ser absolutamete covergete é covergete elo critério de Abel dado que = ( ) covergete.. (/ ) é covergete e b = ( + / ) é uma sucessão moótoa 8. Proriedades eseciais das séries absolutamete covergetes 8. - Comutatividade Seja = a uma série absolutamete covergete e or reordeação dos resectivos termos costrua-se uma ova série = b. O teorema seguite assegura que a série reordeada é também absolutamete covergete e tem a mesma soma que a série origial. Teorema 3 : Sedo = = a uma série absolutamete covergete qualquer série b obtida daquela or reordeação dos resectivos termos é também absolutamete covergete e tem-se = a = = b Demostração : Vamos rovar rimeiro que = que = b é absolutamete covergete ou seja b é covergete. Fazedo B * * = tem-se que B é uma sucessão i = b i crescete e vejamos que é limitada o que rovará a desejada covergêcia ara = b. Como os termos b b... b se ecotram todos a série origial = a existirá uma ordem m() suficietemete grade or forma que etre os termos a a... a m() se ecotrem os termos b b... b da série reordeada e etão 4

B * = i = b i m ( ) i = a i a = com a fiito (soma de uma série covergete). = a = = Falta etão rovar que = covergetes as sucessões das somas arciais b. Como ambas as séries são absolutamete B = i = b i têm todas limites fiitos: B * = i = b i A = a i i = e A * = i = a i B = lim B B * = lim B * A = lim A e A * = lim A *. Etão dado ε > 0 existe uma ordem m tal que Como todos os termos de A m - A < ε / e A m * - A * < ε /. a = se ecotram em b = a artir da ordem m referida ode achar-se tal que etre os termos b b... b se ecotrem os termos a a... a m da série iicial; ara a difereça i = b i m - a i reduzir-se-á (aós elimiação dos termos a a... a m ) a termos que a série origial têm ordes sueriores a m ou seja ter-se-á: b i i = m - a i i = i = a m+ + a m+ +... = A m * - A * < ε /. Tem-se etão ara > - (a ordem - deede do ε fixado o iício orque é fixado a artir de m e este a artir de ε ) B - A B - A m + A m - A B - A m + A m - A = = b i ou seja lim B = A o que rova ser i = m - a i + A m - A < ε / + ε / = ε i = b = = lim B = A = lim A = a = que é a igualdade retedida. 5

Note-se que o resultado do teorema recedete ão subsiste se a série origial for aeas simlesmete covergete. A este reseito vamos estudar o oto seguite um teorema devido a Riema que afirma ser ossível or reordeação dos termos de uma série simlesmete covergete obter uma série com a soma que se deseje ou aida divergete. 8. - Teorema de Riema Cosiderem-se duas séries = a e = b a rimeira com termos a 0 e a seguda com termos b < 0 ambas divergetes ifiitas ( a rimeira com soma + e a seguda com soma - ) e tais que lim a = lim b = 0. Nestas codições vamos ver que é ossível formar uma série cotedo todos os a e todos b coveietemete disostos que seja covergete e cuja soma seja um úmero real λ reviamete fixado. Na demostração vamos utilizar as duas roriedades seguites: a) Como = a = + tem-se = a = + e é semre ossível com qualquer iteiro ositivo tomar termos a ( ) em úmero fiito suficietes ara que a sua soma exceda qualquer úmero real ré-fixado. Do mesmo modo como = = b = - tem-se b = - e é semre ossível com qualquer iteiro ositivo tomar termos b ( ) em úmero fiito suficietes ara que a sua soma seja iferior a qualquer úmero real ré-fixado. b) Sedo θ < λ e θ + µ > λ etão θ + µ - λ < µ ; do mesmo modo sedo θ > λ e θ + µ < λ etão θ + µ - λ < µ. Teorema 4 : Dadas as séries = a e = b a rimeira com termos a 0 e a seguda com termos b < 0 ambas divergetes ifiitas ( a rimeira com soma + e a seguda com soma - ) e tais que lim a = lim b = 0 etão é ossível formar uma série cotedo todos os a e todos b coveietemete disostos que seja covergete e cuja soma seja um úmero real λ reviamete fixado Demostração : A artir das séries = a e = b as codições do euciado costrua--se uma ova série cotedo todos os a e todos b rocededo do seguite modo cuja exequibilidade é garatida ela roriedade a) vista as cosiderações que recedem o euciado do teorema: 6

- Tomem-se os termos a a... a r estritamete ecessários ara se ter a desigualdade a + a +... + a r > λ e em seguida os termos b b b... r estritamete ecessários ara se ter a + a +... + a + b + b +... + b < λ ; r - Deois tomem-se os termos a a... a estritamete ecessários ara se ter r + r + r + r 3 a + a +... + a + b + b +... + b + a + a +... + a > λ r r r + r + r + r 3 e em seguida os termos br br b + +... r+ r também estritamete ecessários ara se 4 ter a + a +... + a + b + b +... + b + a +... + a + b +... + b < λ ; r r r + r + r r + r + r 3 4 - Proceda-se sucessivamete como se idicou escolhedo alteradamete um certo úmero de termos a i (semre aeas os estritamete ecessários) que façam a soma exceder λ e de termos b i (também aeas os estritamete ecessários) que façam a soma voltar a ser iferior a λ. Assim se obtém a série a + a +... + a + b + b +... + b + a +... + a + b +... + b + r r r + r + r r + r + r 3 4 r +... + a +... + a + r + r + + r + r + r + + r + r 3 3 + + br r r +... + br r r r +.... + + + + + + + + + 4 4 Sedo S o termo geral da sucessão das somas arciais da série costruída como se idicou as codições que residiram a tal costrução bem como a roriedade b) das cosiderações que recedem o teorema ermitem cocluir que: - Se r + r +... r + < r + r +... r + etão S - λ < a r + r3 + + r + ( = 0... ) ; - Se r + r +... r + < r + r +... r +3 etão S - λ < b r + r4 + + r + ( = 0... ). E como or hiótese lim a = lim b = 0 tem-se a r + r3 + + r + < ε e b r + r4 + + r + < ε 7

ara > m ε ou seja ara = ε = m ε +. E etão cosiderado a ordem ε = r + r +... r + - com = ε tem-se > ε r + r +... r + S - λ < ε ou seja lim S = λ como se retedia demostrar. É ortato ossível costruir a artir das duas séries as codições do euciado uma ova série cotedo todos os termos das ateriores e cuja soma é um úmero qualquer que se fixe reviamete. E agora em comlemeto do teorema aterior Teorema 5 : Dadas as séries a = e b = a rimeira com termos a 0 e a seguda com termos b < 0 ambas divergetes ifiitas ( a rimeira com soma + e a seguda com soma - ) e tais que lim a = lim b = 0 etão é ossível formar uma série cotedo todos os a e todos b coveietemete disostos que seja divergete ifiita (com soma + ou - à escolha) ou aida divergete oscilate Demostração : a) Para costruir uma série cotedo todos os a e todos os b que seja divergete e teha soma + tomem-se rimeiro termos a a... a r or forma que a + a +... + a r > e a seguir o rimeiro termo b (egativo) ; deois de ovo termos ão egativos a a... a tais que r + r + r + r a + a +... + a + b + a + a +... + a > r r + r + r + r e em seguida o segudo termo egativo b ; e assim sucessivamete obtedo-se deste modo a série a + a +... + a + b + a + a +... + a + b +... + r r + r + r + r + b + a +... + a + b +.... r + r + + r r + r + + r + r Sedo S o termo geral da sucessão das somas arciais da série costruída como se idicou tem-se r + r +... r - + (-) < r + r +... r + (-) S > - - b - com = 3.... E como a sucessão em u = - - b - tede ara + (or ser lim b - = 0 ) tem-se ara = ε - - b - > /ε ; fazedo etão ε = r + r +... r - + (-)- com = ε tem-se > ε r + r +... r - + (-) S > /ε assim se rovado que lim S = +. 8