Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Teorem Sejm α, β, γ, m, n, p R, com α, β, γ distintos. Então existem A,B,C R tis que mx 2 +nx +p (i) (x α)(x β)(x γ) = A x α + B x β + C x γ ; (ii) (iii) mx 2 +nx +p (x α)(x β) 2 = A x α + B x β + C (x β) 2 ; mx 2 +nx +p (x α) 3 = A x α + B (x α) 2 + C (x α) 3. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Exemplo Clcule 2x + x 3 x 2 x + dx. Como é riz de x 3 x 2 x +, sbemos que (x ) é um ftor e obtemos x 3 x 2 x + = (x )(x 2 ) = (x ) 2 (x +). A decomposição em frções prciis é 2x + x 3 x 2 x + = A x + + B (x ) + C (x ) 2. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Então, 2x + = A(x ) 2 +B(x +)(x )+C(x +). Fzendo x = obtemos 3 = 2C ou C = 3. Fzendo x =, obtemos 2 = 4A ou A = 4. Fzendo x = 0, obtemos = 4 B + 3 2 ou B = 4. Assim, 2x + x 3 x 2 x + dx = 4 x + dx + 4 x dx + 3 2 (x ) 2 dx = 4 ln x + + 4 ln x 3 2x +k. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Queremos clculr integris do tipo P(x) x 2 +bx +c dx, onde P é um polinômio e = b 2 4c < 0. Então devemos reescrever o denomindor como som de qudrdos. Em seguid, fzemos um mudnç de vriável e clculmos integrl. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Exemplo Clcule 2x + x 2 +2x +2 dx. Escrevmos o denomindor como som de qudrdos x 2 +2x +2 = x 2 +2x ++ = (x +) 2 +. Fzendo u = x +, temos du = dx; 2x + x 2 +2x +2 dx = 2x + 2(u )+ (x +) 2 + dx = u 2 du + 2u = u 2 + du + u 2 + du = ln(+u 2 ) rctgu +k = ln(+(x +) 2 ) rctg(x +)+k. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Exemplo 4x 2 3x +2 Clcule 4x 2 4x +3 dx. Como o gru do denomindor é igul o gru do denomindor, primeiro vmos dividir os polinômios, 4x 2 3x +2 4x 2 4x +3 = + x 4x 2 4x +3 = + x (2x ) 2 +2. Fzendo u = 2x ou x = u +, temos du = 2dx, ssim 2 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
4x 2 ( 3x +2 4x 2 4x +3 dx = + ) x (2x ) 2 dx +2 u+ 2 = x + 2 u 2 +2 du = x + u 4 u 2 +2 du = x + u 4 u 2 +2 du 4 u 2 +2 du = x + 8 ln u2 + ) u rctg( +k 4 2 2 = x+ 8 ln (2x )2 + 4 2 rctg2x +k. 2 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Agor, vmos considerr integris do tipo P(x) (x α)(x 2 +bx +c) dx, onde P é um polinômio e = b 2 4c < 0. Teorem Sejm m, n, p,, b, c, α R tis que = b 2 4c < 0. Então existem A,B,D R tis que mx 2 +nx +p (x α)(x 2 +bx +c) = A Bx +D + x α x 2 +bx +c. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Exemplo x 5 +x + Clcule x 3 dx. 8 Observe que x 3 8 = (x 2)(x 2 +2x +4). Dividindo obtemos x 5 +x + x 3 8 = x 2 + 8x2 +x + x 3 8 = x 2 + 8x 2 +x + (x 2)(x 2 +2x +4). Pelo método de frções prciis, 8x 2 +x + (x 2)(x 2 +2x +4) = A Bx +C + x 2 x 2 +2x +4. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Então, 8x 2 +x + = A(x 2 +2x +4)+(Bx +C)(x 2). Fzendo x = 2 obtemos 35 = 2A ou A = 35. Fzendo x = 0, obtemos 2 = 4A 2C ou C = 6. Fzendo x =, obtemos 3 0 = 7A B C ou B = 6 2. Assim, 8x 2 +x + 35 (x 2)(x 2 dx = +2x +4) 2 6 x 2 dx + 2 x + 6 3 x 2 +2x +4 dx = 35 ln x 2 + 2 2 6x +64 x 2 +2x +4 dx. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Pr clculr últim integrl, escrevemos x 2 +2x +4 = (x +) 2 +3 e fzemos u = x + ou x = u e du = dx; portnto, 6x +64 x 2 +2x +4 dx = 6x +64 6(u )+64 (x +) 2 +3 dx = u 2 du +3 = 6 u u 2 +3 du+3 = 6 2 ln((x +)2 +3)+ 3 3 rctg x + 3 +k. Finlmente, x 5 +x + x 3 8 dx u 2 +3 du=6 2 ln(u2 +3)+ 3 rctg u +k 3 3 = x3 3 + 35 6 ln x 2 + 2 24 ln((x +)2 +3)+ 3 2 + rctgx +k. 3 3 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Integris Imprópris N definição de integrl definid b f(x)dx exige-se que função f estej definid num intervlo limitdo e fechdo [,b] e que f sej limitd nesse intervlo. A seguir estendemos o conceito de integrl definid pr csos mis geris. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Integris Imprópris - Invervlos infinitos Consideremos função f(x) = e clculemos áre A limitd x2 pelo gráfico de f e pels rets y = 0, x = e x = b, com b >. Então b A = x 2 dx = b x = b. Fzendo b +, temos A. Isto quer dizer que áre A do conjunto ilimitdo é finit e igul. {(x,y) R 2 : 0 y f(x), x } Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Definição (Integrl Imprópri do Tipo ) Se Se t f(x)dx existe pr cd número t, então definimos se o limite existir. b t t f(x)dx = lim f(x)dx, t f(x)dx existe pr cd número t b, então definimos b se o limite existir. b f(x)dx = lim f(x)dx t t Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Qundo um ds integris imprópris cim existir e for finit, diremos que el é convergente. Cso contrário, el será dit divergente. Exemplo Determine se integrl dx = lim x t t x dx é convergente ou divergente. ln x t t = lim lnt =. t dx = lim x Como o limite é infinito, integrl é divergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Exemplo Determine se integrl t dx = lim x3 t dx é convergente ou divergente. x3 dx = lim x3 t 2x 2 Como o limite é finito, integrl é convergente. Exemplo Determine se integrl 0 xe x dx = lim t 0 0 t t = lim t 2t 2+ 2 = 2. xe x dx é convergente ou divergente. xe x dx = lim t ( tet +e t ) =. Como o limite é finito, integrl é convergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Definição Se s integris f(x)dx, convergentes, então definimos f(x)dx = f(x)dx existem e são f(x)dx + f(x)dx. Observção: Se um ds integris imprópris f(x)dx for divergente, então f(x)dx ou f(x)dx tmbém o será. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Exemplo Avlie dx. É conveniente escolher = 0 n definição: +x2 +x 2 dx = Clculemos s integris. 0 0 Portnto, 0 t dx = lim +x2 t 0 +x 2 dx + 0 dx = lim +x2 +x 2 dx. rctg x t 0 dx = lim dx = lim +x2 t t +x2 rctg x t +x 2 dx = π 2 + π 2 = π. t 0 = π 2. 0 t = π 2. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I
Testes de Convergênci Testes de Convergênci Algums vezes não é possível encontrr um vlor exto pr um integrl imprópri, ms podemos sber se el é convergente ou divergente usndo outrs integris conhecids. Teorem (Teste d Comprção) Sejm f e g funções contínus stisfzendo f(x) g(x) 0 pr todo x. Então, (i) Se (ii) Se convergente. divergente. f(x)dx é convergente, então g(x)dx é divergente, então g(x)dx tmbém é f(x)dx tmbém é Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I