GEOMETRIA ANALÍTICA 1

GEOMETRIA ANALÍTICA

Presidente d Repúblic Luiz Inácio Lul d Sil Ministro d Educção Fernndo Hddd Secretri de Educção Profissionl Tecnológic Eliezer Moreir Pcheco Instituto Federl de Educção, Ciênci e Tecnologi do Rio Grnde do Norte IFRN Reitor Belchior de Olieir Roch Diretor d Unidde Sede Enilson Arújo Pereir Diretori de Pesquis José Yn Pereir Leite Coordendor d Editor do IFRN Smir Cristino de Souz Conselho Editoril Smir Cristino de Souz (Presidente) André Luiz Cldo de Arújo Antônio Luiz de Siqueir Cmpos Dnte Henrique Mour Jerônimo Pereir dos Sntos José Yn Pereir Leite Vldenildo Pedro d Sil

Robson Sntn Pcheco GEOMETRIA ANALÍTICA 008 3

Geometri Anlític Copright 008 d Editor do IFRN Todos os direitos reserdos Nenhum prte dess publicção poderá ser reproduzid ou trnsmitid de qulquer modo ou por qulquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópi, grção ou qulquer tipo de sistem de rmzenmento e trnsmissão de informção, sem préi utorizção, por escrito, d Editor do IFRN. Diisão de Seriços Técnicos. Ctlogção d publicção n fonte. Bibliotec José de Arimtéi Pereir - IFRN Pcheco, Robson Sntn Geometri nlític / Robson Sntn Pcheco. Ntl (RN): editor do IFRN, 009. 49 p. ISBN 978-85-8957-53-. Geometri nlític.. Vetores. I. Título. IFRN / BJAP CDU 54. EDITORAÇÃO Smir Cristino de Souz DIAGRAMAÇÃO E CAPA Kroline Rchel Teodosio de Melo CONTATOS Editor do IFRN A. Sendor Slgdo Filho, 559, CEP: 5905-000 Ntl-RN. Fone: (84)4005-668/ 35-733 Emil: dpeq@cefetrn.br 4

SUMÁRIO APRESENTAÇÃO... 7 AGRADECIMENTO... 9 PREFÁCIO... Cpitulo VETORES... 3 Introdução... 3 Vetor... 6 Eercícios... 7 Cpitulo O PLANO... 9 Sistem de Coordends... 9 Vetores no Plno... 0 Eercícios... 5 Produto Esclr... 7 Ângulo de dois Vetores... 9 Projeção de um Vetor... 33 Eercícios... 35 Rets... 37 Ângulos entre rets... 4 Distânci entre o ponto e um ret... 45 A Circunferênci... 48 Posições reltis entre ponto e Circunferênci... 50 Eercícios... 5 Cpitulo 3 CÔNICAS... 55 Elipse... 55 Eercícios... 6 Hipérbole... 64 Eercícios... 7 Prábol... 74 Eercícios... 80 5

Trnslção de Eios... 8 Cpitulo 4 ESPAÇO... 87 Introdução... 87 Vetores no Espço... 9 Módulo de um etor... 93 Operções com etores... 93 Produto Esclr... 94 Produto Vetoril... 96 Produto Misto... 0 Eercícios Propostos... 03 Cpitulo 5 RETAS E PLANOS... 09 Plno... 09 Eercícios Propostos... 4 Rets... 6 Ângulo entre dus rets... 5 Distnci de um ponto um ret... 8 Distnci entre rets... 3 Distnci de um ponto um plno... 36 Eercícios Propostos... 40 Cpitulo 6 SUPERFICIE ESFERICA... 45 Equção d Superfície Esféric... 47 Posição entre um ponto e um Superfície Esféric... 5 Plno tngente... 54 Eercícios Propostos... 6 REFERÊNCIAS... 67 6

APRESENTAÇÃO Em 59 Frnçois Viète (540-603) publicou um pequeno liro, In Artem Anlticm Isgoge (Introdução à Arte Anlític), com o seguinte e rrojdo propósito: não deir nenhum problem sem solução. A inoção contid em seu liro, que o leou pensr em poder resoler todos os problems do mundo, er introdução dos métodos simbólicos n álgebr. Como quse sempre contece, idéi reolucionári não ngriou clmção gerl n comunidde mtemátic n erdde, gerou polêmics que durrim cerc de dois séculos. Não obstnte, o eentul sucesso d idéi de Viète foi tão completo, que hoje em di é difícil conceber mtemátic sem os seus símbolos. O efeito (reltimente) imedito, porém, foi trnsformção d geometri nlític em um poderosíssimo instrumento pr modelção de problems mtemáticos, tnto os d mtemátic pur, qunto os d mtemátic plicd; ssim como um importnte propedêutic pr o desenolimento de ários dos métodos de Cálculo infinitesiml. O presente liro do Prof. Robson Sntn Pcheco, embor não pretend resoler todos os problems do mundo, comprtilh com o de Viète, no mbiente pedgógico, o que este contribuiu pr o percurso histórico. Isto é, o presente liro pretende proporcionr o luno tul os requisitos necessários pr utilizr geometri nlític como um instrumento de nálise, tnto d mtemátic pur, qunto d mtemátic plicd. Aind mis, tmbém pretende proporcionr o luno prte do conhecimento necessário pr que este poss embrcr no estudo do Cálculo sem embrço. Digo prte do conhecimento porque o Prof. Robson Sntn Pcheco não cheg trtr ds funções trigonométrics, logrítmics e eponenciis neste liro. A presentção segue o modelo trdicionl no ensino d mtemátic definição, eemplo, teorem com um modificção importnte, sber, pouc ênfse é dd o ppel d demonstrção. No seu lugr, ressltm-se s plicções, isto é, eemplificções de como proceder pr resoler os problems de como usr, de form concret, geometri nlític. Isto, em conjunto com nturez esprtn do teto, dá o liro o cráter de um workbook, deindo fcilmente identificáeis pelos estudntes, os elementos essenciis e relçndo, como prte essencil d eperiênci pedgógic do leitor, os eercícios. Ao leitor, enfim, desejmos sorte e sucesso no estudo dess bel prte d mtemátic. John A. Foss 7

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AGRADECIMENTO Agrdeço inicilmente Deus, por ter-me ddo pciênci, persistênci e conicção relizção do projeto que islumbrei, ind como estudnte de mtemátic, n possibilidde de contribuir pr o ensino ds ciêncis, como tmbém de me dr espernç ns hors de desânimo, pernte os obstáculos, n construção do conhecimento pr o eercício d docênci. E pel prátic d docênci tornou-me possíel contribuir, com o meio cdêmico, com est pequen obr. O mgistério, qundo occiondo, trnsform-se em um erddeiro scerdócio e nos dei honroso qundo se ie. Agrdeço tmbém minh espos, Juçr, e filhos, Alessndr, Fábio e Robson André por terem compreendidos usênci que os proporcionei em tod inestid profissionl que fiz. Em especil, Sr. Teres Dnts de Arujo, funcionári d FARN (Fculdde Ntlense pr o Desenolimento do Rio Grnde do Norte), que com dedicção de que lhe é peculir soube com pciênci digitr os mnuscritos iniciis dest obr, os lunos do Curso de Sistem de Informção-FARN e os professores, que souberm colher e criticr os escritos iniciis que hoje se trnsformm nest pequen obr. Estes sim, souberm lpidr com trblho, sugestões e crítics o mteril que or erm-lhes ofertdos pr estudo. Finlizndo, grdeço Direção Gerl do CEFETRN, trés d su editor, publicção deste liro. Robson Sntn Pcheco 9

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PREFÁCIO Trblhndo com estudntes dos diersos cursos n áre tecnológic e de ciêncis ets, sempre procurei, com zelo de quem é perfeccionist, ser o mis clro e objetio possíel nquilo que me epunh fzer como docente d disciplin de Geometri Anlític. Senti, durnte nos necessidde, por prte dos estudntes, de um teto mis compcto e descritio, que ussse de ilustrções e demonstrções geométrics e objetisse um compreensão imedit do ssunto trtdo cd momento no conteto de cd ul. Resoli, então, construir bse do progrm d disciplin oferecendo os estudntes de Sistem de Informção um teto que, plicdo e replicdo por três semestres seguidos, constitui-se como pilr do teto cdêmico or em curso. Tenho consciênci de que muitos detlhes form deliberdmente omitidos, o que fcilitou este fscículo não ser muito etenso e, o mesmo tempo, despertr curiosidde do leitor pr su prticipção no processo de ensino prendizgem. Há um elho proérbio frncês que diz: Aquele que tent eplicr tudo, cb flndo sozinho. Por isso, fiz opção n escrit deste liro por um cminho, entre dizer demis e dizer de menos. Pr o estudo d Geometri Anlític se fz necessário, priori, noções de álgebr cursd no ensino básico, e Geometri Pln como tmbém de um bo bstrção n isulizção dos conceitos básicos. Estes conceitos são gerencidores d compreensão e ds resoluções de situções rids. Um dos objetios d Geometri Anlític é relcionr álgebr, form bstrt, com geométric, form concret. Por isso, se fz necessári perfeit compreensão dos conceitos gregdos, sempre que possíel, d form geométric dos mesmos. Neste liro bordremos o estudo conceitul sobre os etores no cpitulo 0 ; álgebr com etores, rets no espço bi-dimensionl nos cpítulos I e II; cônics e circunferênci, nos cpítulos II e III; etores, rets e plnos no espço tri-dimensionl no cpitulo IV e concluímos com um estudo sobre Superfície Esféric no cpítulo V. Há um cmpo bem robusto de eercícios resolidos como tmbém propostos, lguns clássicos. Concluindo, espero ter contribuído de lgum form no que diz respeito o despertr, no leitor, pelo estudo d mtemátic como tmbém em um isão que tenho d própri mtemátic.

. VETORES Introdução Eio É tod ret munid de um orientção em seu suporte. Conencion-se como positi orientção dd, e negti contrári. r Segmento Orientdo Um segmento orientdo AB é um segmento de ret determindo pelos pontos A e B, d ret, designdos respectimente como origem e etremidde do segmento. Será designdo por um set. A B Segmento Nulo Um segmento orientdo AB é nulo se e somente se A coincide com B, ou sej AB. Será representdo por AA. 3

Segmentos Opostos Sendo AB um segmento orientdo, firmmos que o segmento orientdo BA é oposto de AB. Medid de um segmento É um número rel positio que epress medid de seu comprimento em relção um unidde de medid. A medid de um segmento orientdo AB é o seu comprimento ou módulo. Direção Denomin-se de direção de um segmento orientdo inclinção d ret que o contem. Dest feit dois segmentos orientdos possuem mesm direção qundo s rets suportes que os contem são prlels. r r r B s B B s D A D A A C D C () () C (3) 4

Sentido Sentido de um segmento orientdo é orientção em seu suporte. Dest mneir dois segmentos orientdos possuem sentidos opostos se possuem mesm direção. Segmentos Eqüipolentes Dois ou mis segmentos orientdos são eqüipolentes qundo possuírem mesm direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo. B B B B A A A A Obserção: AB ~ A' B' ~ A'' B'' ~ A''' B''' A eqüipolênci de segmento orientdo é um relção de equilênci. ) AB ~ AB (Reflei) ) Se AB ~ CD, então CD ~ AB (Simétric) 3) Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF (Trnsiti) 5

Vetor Definimos como um etor determindo por um segmento orientdo AB o conjunto de todos os segmentos orientdos eqüipolentes o segmento AB. O etor será representdo por qulquer elemento d clsse de segmentos orientdos eqüipolentes um segmento AB. O etor determindo pelo segmento orientdo AB será denotdo por AB ou B A ou. As crcterístics de um etor são s mesms de qulquer de seus representntes: sentido, direção e módulo. O tmnho ou norm (ou intensidde ou comprimento) de um etor u é um grndez modulr que corresponde o comprimento do segmento orientdo que o represent e é denotdo por u. u. Dizemos que u é um ersor ou etor unitário se e somente se Algums firmções sobre etores são decorrentes d definição de seus representntes: i) Os etores u e são prlelos, u //, se os segmentos orientdos que os represent forem prlelos. Dest feit eles podem ter o mesmo sentido ou sentidos contrários. ii) Os etores u e são iguis, u, se e somente se tem mesm norm, mesm direção e mesmo sentido. 6

iii) Os etores u e são ortogonis, s contem forem ortogonis. u, se s rets que i) O etor u é nulo se e somente se su norm for zero, u 0. Eercícios:. Verddeiro ou Flso? ) Vetor é um grndez esclr. b) A norm de um etor é sinônimo de tmnho do etor. c) A norm do etor AB é igul norm do etor BA. d) Qulquer que sej o etor u tem-se u 0 e u // 0.. Se dois etores u e são prlelos um mesm ret então eles são prlelos. Justifique. 3. Não podemos firmr que: Se u e são etores prlelos um mesmo plno então eles são prlelos. Por quê? 4. Se u então u. Justifique. 5. Demonstrr que s digonis de um prlelogrmo se cortm o meio. 7

6. N figur o ldo eprim os seguintes etores: ) ( B A) ( C B) b) ( D A) ( B D) c) ( A E) D E B A C D 7. Sendo α < 0 podemos firmr que α // pr lgum etor? Justifique. E 8

. O PLANO Sistem de Coordends O plno crtesino é o plno determindo por dois eios que se interceptm de form perpendiculr ou oblíqu. Y Y P P X π α < X N clssificção teremos então: i) Sistem crtesino ortogonl; ii) Sistem crtesino oblíquo. A cd ponto do plno P no plno crtesino corresponde um pr ordendo (, ) de números reis e, inersmente, pr cd (, ) tem como seu correspondente um ponto P no plno; escreemos P(, ) pr indicr estes ftos. O pr ordendo (, ) será denomindo de coordends crtesins do ponto P e, e serão denominds bsciss e ordend do ponto P. 9

Distânci entre dois pontos Sejm P(, ) e Q(, ) pontos do plno. Conforme mostr figur bio; e d(p, Q) distnci entre os pontos; ou sej d ( P Q) PQ Pelo tringulo retângulo determindo PQR, concluímos que:,. P Q R PQ PR QR dí: (, ) (, ) d( P, Q) Vetores no PLANO Sej AB um segmento orientdo no plno XOY. O etor A (Fig..) B determindo por AB é ddo por: { XY / XY AB} AB ~. Por est definição emos que eiste um segmento eqüipolente AB cuj origem coincide com origem do plno (Fig..). Tomndo como tl segmento orientdo o denominremos como o etor do plno. Assim teremos: 0

AB B A Operções com etores Sejm (, ) e ( c, ) e λ R. As operções dição b d e multiplicção por esclr serão definids por: i) ( c, b ) d ii) λ ( λ, λ ) b Como conseqüênci dests operções teremos diferenç de etores ). ( ( ) ( c, b d) Proprieddes: ) Adição: i) (Comutti) ii) ( 3) ( ) 3 (Associti) iii) θ θ (Elemento Neutro) com θ (0,0) b) Multiplicção por esclr. Sendo k e k R, e e etores no plno: i) ( k k) k k. ) k ( ) k k i) k ( k ) ( k k )

ii) iii) 0 θ sendo θ (0,0) Obserção: É fácil de se erificr que e k são etores de mesm direção; pr k 0, e conseqüentemente prlelos e que: () Se k > 0 preserm o mesmo sentido, cso contrário sentidos opostos; () Se k > teremos um diltção e 0 < k < em contrção.. Pr representr grficmente o etor u fz-se uso d construção do prlelogrmo conforme ilustrção bio. (Fig..) Y O u u X (Fig..)

Norm ou Módulo Sej u (, b) um etor do plno. Então u b. b O u E D Conforme mostr ilustrção o ldo o tringulo OED é retângulo. Assim OE OD ED OE OD ED. Como u OE tem-se que u b. Proposição: Sejm u e etores do plno e i) k u O k 0 ou u O ii) u 0 e u 0 u O k R, então: iii) u u (Desiguldde tringulr) i) k u k u 3

.. Ponto Médio de um segmento Então: M M e Demonstrção: M. Sej AB um segmento de ret sendo (, ) e (, ) s coordends crtesins dos pontos A e B respectimente; e M o ponto médio de AB com ( ), sus coordends. M M Os etores AM e MB são equilentes, (Fig..3), logo: AM, ) e ( M M MB ( M, Assim: M M A M M O (Fig..3) M B M M ) M M Eemplo: Considere A (,3) e B ( 5, ) s etremiddes do segmento AB. Determine s coordends do ponto médio de AB. Solução: 4

Sej M M, ) o ponto médio de AB, logo: ( m 5 7 3 ( ) M e m.. Vetor unitário Define-se como etor unitário o etor de norm. Eemplo: u, é unitário pois: 5 5 u 5 5 4 5 Cso gerl: Ddo um etor o etor µ é o etor unitário de. Eercícios: ) Determine o lor de pr que AB CD, sendo A (,3), B (,), C ( 3, 5) e D (,5). Resp.:. Determine o ponto de intersecção d ret meditriz com o segmento AB sendo A(3,5) e B(-,-). Resp.: L(, 3 ) 5

3. Determine etores u, tis que u u. 4. Determinr o etor w n iguldde w 3u w, sendo ddos u (,3 ) e (,). Resp.: 9 w 4, 5. Determinr e tis que u, sendo u (,), ( 4, ) e w (,8 ). Resp.: 3 e - w 6. Sbendo que os etores u e não são prlelos e que ( α β ) u ( α β ) 0, determine α e β. Resp.: α e β 3 7. Sbendo que u e são etores prlelos e que (,) determine o etor u tl que u. Resp.: t ± 5 8. Se A e B são dois pontos do plno, designe por d(a, B) distânci entre A e B, d(a,b) B-A. Mostrr que d(a,b)d(b,a), e que pr três pontos A, B, C quisquer, temos: d ( A, B) d( A, C) d( B, C). 6

Produto Esclr Define-se como o produto esclr (ou produto interno) de dois etores u, ) e, ) que se represent por u ou ( ( < u, >, o número rel < u, >. Eemplo: Se u ( 3, ) e (,4) etores do plno tem-se < u, > 3 ( ) 4 6 4. Eemplo: Ddos os etores u (,) e (, ) e o os pontos A(,) e B(0,), determinr o lor de < u, AB >. Solução: AB B A (0,) (,) (,0) < u, AB >< (,), (, ) 3 ou ind : 4 3 R tl que (,0) >< (,), ( 3, ) > 7

Obserção: i) Sendo (, b), o módulo de é ddo por <, > b. ii) Sendo A e B pontos do plno, d(a,b) A,B. Proprieddes do produto esclr Sendo u,, w etores do plno e I) <, > 0 e <, > 0 0 II) <, u w ><, u > <, w > III) <, u >< u, > IV) < m u, >< u, m > m < u, > V) < u, u > u m R, é fácil erificr que: TEOREMA (Desiguldde de Cuch-Schwrz) Sendo u, etores no plno, então Demonstrção: < u, > u. Sendo 0 desiguldde é erddeir. Suponhmos 0 e sejm <, > e propriedde (I) temos: -<u, > esclres. Então pel < u, u > 0 e desenolendo encontrmos: < u, u > < u, > <, > 0. Procedendo s substituições encontrmos: 8

9...,,,,, 0,,, 0,,,, 0,,,,,,, c q d u u u u u u u u u u u u u u u u u u > < > < > < > < > < > > < < > < > < > > < < > < > < > > < < > < > < > < > < Ângulo de dois etores Sejm u e etores do plno e ^ α o ângulo entre os etores; então ) cos(, ^ α > < u u Com efeito, usndo ilustrção (Fig..4) e plicndo lei dos cossenos temos: ) cos( ^ α u u u α u - u (Fig..4)

Como, u u < u, >, teremos pós comprção: u u ^ cos( α) u < u, > < u, > u ^ cos( α) Obserções: i) Se < u, >>0 signific que o ângulo entre os etores é gudo ( 0 < α < 90 ). ii) Se < u, ><0 signific que o ângulo entre os etores é obtuso ( 90 < α < 80 ) iii) Se < u, >0 signific que o ângulo entre os etores é reto ( α 90 ). Neste cso dizemos que u e são etores perpendiculres. Eemplo:. Determine o lor de m pr que os etores do plno (m,-) e u (m-,5) sejm perpendiculres. Solução: Como u, temos: 30

3 4 8 4 9 ' ' 5 4 0 4 9 ' 4 9 4 80 0 0 0 5 ) ( 0 ),,5),( ( 0, ± ± > < > < m m m m m m m m m u. Clculr o ângulo entre os etores u (,) e (3,-). Solução: 5 5 ) cos(, 0 5 5 ) ( 3 3, ) cos( ^ > < â Logo u u α 3. Sbendo que o etor u (,-3) form um ângulo de 60 com o etor AB determindo pelos pontos A(,) e B(m-,3 m), clculr m. Solução:

AB B A ( m,3m ) (,) ( m 3,3m ) Ms < u, AB > u AB cos 60 donde :.... 3

Projeção de um etor Ddos u e etores do plno e ^ α o ângulo entre eles. O nosso objetio é determinr o etor m denotdo por pro (u), projeção de u sobre, conforme é ilustrdo. (Fig..5) u α u α m (Fig..5) m Pel colineridde de m e eiste nosso intuito é determinr o lor de k. Então: k R tl que m k. O m k k k m ( A) Por definição: < u, > u ^ cos( α) 33

34 u m sej ou u m u u se tem u m com e > < > <,, ) cos( ^ α Substituindo em (A) teremos: u u proj m dí u k > < > < > < ) ( : ;, Eemplo: Clcule projeção do etor u (,) sobre o etor (,4). Solução: (,4) 7 5 ) ( (,4) 4 4 ) ( (,4) (,4) (,4), (,4) (,),,, ) ( > < > < > < > < u proj u proj u u proj

Eercícios propostos: 9. Sejm u (,) e (4,0) etores do plno. Clcule: ) <u, > b) O ângulo formdo pelos etores c) O etor w, de modulo, e que fz um ângulo de 30 com o etor u. Resp.: ) 8 b) rc.cos 5 c) 5 5 5 5, ou 5 5 5 5 5 5, 5 5 0. Sendo A(,0), B(,5) e C(-,3) pontos do plno. Clssifique o tringulo ABC quntos os ldos. Resp.: Isósceles. Escre etor u (7,-) como som de dois etores, um dos quis é prlelo e o outro é perpendiculr o etor w (,-). Resp.: ( 3,3), ( 4, 4). Se Pr oj ( ) (,), u (4,) e 6, µ determine. 35

Resp.: 0 55 5 55, ou 5 5 0 55 5 55, 5 5 3. Mostre que, se u e são etores do plno, u u. Sugestão: Use desiguldde de Cuch-Schwz. 4. Sendo A(,-), B(5,) e C(-,) pontos do plno e értices de um tringulo, determine: ) Os ângulos internos ^ ^ ^ A, B, C. b) As projeções dos ldos AC e AB sobre o ldo CB. c) A áre do tringulo ABC. 5. Determine ltur (relti o ldo AD) do prlelogrmo cujos értices são A(,0), B(,), C(5,3) e D(4,). 36

Rets Definimos como equção etoril d ret (r) pssndo por um ponto P, n direção do etor µ, como sendo: () PX t u como t R e X ponto do plno. P P tu u Conhecidos P(,b) um ponto do plno, u ( m, n) direção pretendid e X (, ) ponto do plno que stisfz equção () concluímos: () tm btn, prmétrics d ret. t R. Conhecid como equções Eemplo: Determinr s equções prmétrics d ret (r) que pss por A(,-3) com direção u (5,4). 37

Solução: X A tu (, ) (, 3) t(5,4) (r) 5t -34t, t R Por eliminção do prâmetro t n equção (), trés ds operções elementres, obteremos equção n form: n m n bm Como, n, b e m são lores mis conhecidos, tomemos cn-bm o que result em form simplificd: n m c (3) Est equção (3) é determind de equção crtesin d ret. Considerções geris: 0. Se u (o,n) ret é perpendiculr o eio e su equção é reduzid form nc;. Se u ( m,o) ret é perpendiculr o eio Y e su equção é reduzid form m-c; 38

Y Y u c n X c m u X ( c n > 0) ( c m < 0 ). Sendo m, n 0 ret é oblíqu o eio dos e su equção pode ser reduzid form n c denomind de Equção reduzid d ret. m m Y D ilustrção cim emos que coeficiente ngulr d ret. θ n u θ m n X tg θ denomindo de m Eemplo:. Encontre s equções prmétrics e crtesins d ret (r) que pss pelo ponto A(-,4) possuindo direção u (,5). 39

Solução: Sej X (, ) um ponto do plno pertencente ret (r). Assim: X A tu, t R. Substituindo os lores n equção temos: (, ) (,4) t(,5) -t 45t Eliminndo o lor de são s equções prmétrics. t R teremos: 4 t e t, 5 4 5 5 8 5 5 8 5 5 3 dí :. Determine equção d ret que pss pelos pontos A(,-) e B(5,4). Solução: Como ret pss pelos pontos A e B, ssim um etor diretor d ret é ddos por AB. AB B A ( 5,4) (, ) (3,5) Tomndo X(,) do plno que stisfz: X A t AB, teremos: (, ) (, ) t(3,5), logo: 3t 40

-5t que é equção prmétric d ret. 3. Determine equção crtesin d ret (r) que poss pelo ponto A(3,-) e tem como o etor u (,5). Solução: Sej u Γ seu etor diretor perpendiculr µ r o etor diretor d ret (r), e sendo perpendiculr µ temos que: < µ Γ, u > 0, logo se u r (, b) teremos: < (, b),(,5) > 0 ou sej: 5b 0 Tomndo 0, encontrmos um diretor pr (r). Como sugestão sej 5, logo b -; ssim µ r (5,-). Sej X (, ) um ponto do plno. Assim equção d ret será: X A tu r ou sej: (, ) (3, ) t(5, ) e mis precismente: 35t --t que são s equções prmétrics do ret. Eliminndo t obtemos equção crtesin de (r). 5 4

4. Encontre o ponto de intersecção entre s rets de equções -- 5 e 3 respectimente. Solução: A solução consiste unicmente d resolução do sistem liner: -5 3 Usndo o método d dição encontrmos: 6: logo 3; Substituindo em qulquer ds equções tem-se 8. Assim P(8,3) é o ponto de intersecção. Representção Gráfic Y 3-3 - - 3 4 5 6 7 8-5 X Ângulo entre rets Sejm (r) e (s) rets e Problem: µ r e µ s etores diretores respectimente. Encontrr o menor ângulo formdo pels rets. Pr solucionr este problem temos dois cso considerr: 4

) (r) e (s) são prlels. Assim o menor ângulo é 0 Y (r) Y (s) (r) (s) r r (coincidentes) (não coincidentes) b) (r) e (s) não prlels. O menor ângulo (α ) entre s rets é ddo trés do produto interno de seus etores diretores. < µ, µ u r r s u s > cos( α ) Cso o cos(α ) sej negtio tem-se que 90 < α < 80, logo o menor será ( π α ). 43

Ilustrção: Y (r) µ s α O µ r α ( π α) X (s) ( π < α < π ) Eemplo: Determine o menor ângulo entre s rets (r) e (s) dds por sus equções e - respectimente. Solução: Clculmos inicilmente os etores diretores ds rets (r) e (s). µ (,) e µ (, ) r s Em seguid determinmos o cos( α ^ ), sendo ( α ^ ) o ângulo entre os etores, pel equção: ^ < µ r, µ cos( α ) u r u > < (,), (,) > cos( α ) (,) (,) ^ 3 cos( α ) 0 s s, ssim 5 44

Como cos( α ^ ) > 0, então ^ 3 α rccos. 0 0 < α < π. Logo Distânci de um ponto um ret Sej P 0, ) um ponto do plno e (r) um ret de equção ( 0 b ; então distânci do ponto P ret (r) é dd por: 0 0 b d ( P,( r)) () Demonstrção: Se P ( r) d( P,( r)) 0. Suponhmos que P (r). A distânci 0 P 0 d ( P,( r)) d( P, A), (r) sendo A o pé d A perpendiculr trçd de P ret (r). Assim d ( P, A) AP. Sendo µ ( r, ), o etor perpendiculr µ é do tipo u (,) o qul é coliner AP ; r logo AP t(,). Dí, d( P, A) t(,) pr lgum t R. 45

46 Portnto: (*) ), ( t A P d Conhecido o lor de t o nosso objetio estrá concluído. Sej ( ) ) (, r A, ssim: t(,) AP podendo tmbém ser escrito: ( ) ( ) t t,, 0 0 e; t t 0 0 e t t 0 0 Dí, substituindo n equção d ret (r) tem-se: ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b t t b t b t b t t b t t ( ) ( ) () 0 0 0 0 c.q.d,, obtemos : Substituindo em (*) b A P d b t A P d

Eemplo:. Determine distânci do ponto A (,4) ret de equção 3. Solução: A solução deste problem consiste no emprego d relção: d d ( A, ( r) ) ( A, ( r) ) 0 0 b 4 3 ( ) 3 ( ) ; dí : 9. Determine distânci entre s rets ( ): 3 e ( s) : 3-0 r. Solução: Como trt-se de rets prlels, µ (,3) e (,3) r 0 s 9 0 µ, bst tomrmos um ponto qulquer de um ds rets e clculr distânci deste ponto outr ret. Ou sej: tome P ( r) com P (,3 ) (,5 ) e determine d ( P, ( s) ). 0 P Or d ( P, ( s) ) ( ) ( 0) 5 3 3 0 d 0 Assim d (( r), ( s) ) u.c. 0 (r) 47

Obserção: Sendo ret de equção d fórmul () não se plic e conforme representção gráfic o ldo. d ( P, ( r) ) d 0 A Circunferênci Definimos como circunferênci o lugr geométrico cujos pontos que o constituem eqüidistm de um ponto centrl fio, denomindo de centro, ou sej: { P R ; d( P, C) R} Elementos d circunferênci: i) Centro; ii) Rio: distânci de qulquer de seus pontos o centro; iii) Diâmetro: é tod cord pssndo pelo centro d circunferênci. Y b A C R B X C (, b) centro R rio AB diâmetro 48

Equção Crtesin A equção crtesin d circunferênci de centro C(,b) e rio R é dd por: ( ) ( b) R () Desenolendo os termos dest equção chegremos num equção mis gerl que nos possibilitrá encontrr seus elementos mis fcilmente, como tmbém erific se ddo um equção de gru é de um circunferênci. Vejmos: Tomndo b b b b A B, C, D b e E R R b 0 0 - R chegremos form mis gerl: A B C D E 0. Lem: A equção do tipo A B C D E 0 represent um circunferênci então: A B 0 e C D 4AE > 0. Demonstrção: Deimos pr o leitor demonstrção. Eemplo:. Determine equção crtesin d circunferênci de centro C(,) e rio R3. 49

Solução: Bst o emprego d equção (), logo: ( ) ( ) 3.. Verifique se equção 6 7 0 represent equção de um circunferênci. Solução: Usndo s condições do lem.3. teremos: A B o.k. C D 4EA ( 6) ( ) 4 ( 7) 36 56 37569< 0 Como um ds condições não é stisfeit equção não represent um circunferênci. Posições reltis entre ponto e circunferênci Nem todos os pontos P (, ) do plno pertencem circunferênci ( γ ) de equção ( ) ( b) R ; somente queles que stisfzem equção. Assim temos três posições considerr: i) ( P C) R P ( γ ) d, ; ii) d ( P C) > R iii) d ( P C) < R, então o ponto é eterior circunferênci;, então o ponto é interior circunferênci. 50

Vej s figurs correspondentes: º cso º cso 3º cso C R P C R P C P ( P, C) R d ( P, C) > R d ( P, C) < R d Eemplo: Dê posição do ponto A(3,-) em relção circunferênci ( γ ): de rio 5 e centro C(,-). Solução: Clculmos distânci do ponto A o centro, ou sej: d ( A, C) ( 3) ( ( ) ) 4 0 Como <5 concluímos que P é interior circunferênci. Eercícios: 6. Escre equção prmétric e crtesin d ret que pss pelo ponto A(,0) e tem direção do etor (, ) µ. Resp.: -t e -0 t 7. Escre equção crtesin d ret que pss pelos pontos A(,5) e B(-,3). 5

Resp.: 3 0 8. Escre equção crtesin d ret meditriz o segmento de etremos A(5,) e B(0,4). Resp.: 5 3 5 0 9. Determine o ponto de intersecção entre s rets (r) e (s), sendo (r) ret que pss pelos pontos A(,5) e B(0,) e (s) ret de equção -. Resp.: (, 3) 0. Determine o lor de t R pr que o ponto ( t, ) A t pertenç ret de equção crtesin 3 0. Resp.: -6. Determine projeção ortogonl do ponto A(,5) sobre ret (r) de equção 6 0. 9 97 Resp.:, 0 0. Determine o menor ângulo entre s rets de equções crtesins e 0 respectimente. Resp.: rc.cos 0 3. Clcule distânci do ponto P(,5) ret que pss pelo ponto L(-,-3) e tem direção do etor (,3) Resp.: 0. 5

4. Determine equção prmétric d ret que pss pelo ponto A(,) e é prlel ret de equção crtesin 8 0. Resp.: t t 5. Escre equção d ret (s) que pss pelo ponto A(,-3) e é perpendiculr ret (r) que pss pelos ponto B(0,) e C(,). Resp.: 6. Determine equção d circunferênci que possui como um dos diâmetros o segmento AB onde A(0,5) e B(,). 7 Resp.: ( ) ( ) 0 7. Determine o centro e o rio d circunferênci de equção crtesin 7 8 0 0. 7, r Resp.: C (, 4) 03 8. Escre equção d circunferênci que contem os pontos A(,), B(0,3) e C(-,). Resp.: 3 0 9. Dê posição d ret (r) de equção crtesin 0 em relção circunferênci de equção ( ) ( ) 6. Resp.: secnte 53

30. Determine os pontos de intersecção d ret (r) de equção 0 e circunferênci de equção 9. 7 Resp.:, 7 7 ou, 7 3. Determine equção d circunferênci que pss pelos pontos intersecção ds rets dds pels equções crtesins, 7 0 e 0. Resp.: 3 3 0 3. Dê posição do ponto A(4,3) em relção circunferênci de equção crtesin 8 0. Resp.: Eterior 54

3. CÔNICAS: As cônics form mteril de estudo pelos gregos. Os estudos proferidos por Apolônio eles tornrm-se um documento de grnde releânci d geometri clássic greg. Embor tenhm sido estudds há muits décds pssds, els ind hoje são de grnde importânci como podemos er: prábol é de grnde utilizção n form dos espelhos dos fróis de eículos; elipse gnhou importânci no estudo ds leis de Kepler (57-630); hipérbole é usd pr mostrr como se comport um prtícul-lf no cmpo elétrico de um átomo. Clssificmos como cônics s curs: Elipse, Hipérbole e Prábol. Elipse Ddos dois pontos F e F do plno e um lor rel r > 0 tl que ( F F ) r ( P F ) d( P F ) r d, <, o conjunto de todos os pontos do plno em que d, é denomindo de elipse., Construção mecânic: Fie dois pregos em um tbu e em seguid mrre eles um brbnte de comprimento mior que d ( F, F ). Com um lápis encostdo no brbnte e esticndo-o, mo-o; O mesmo descreerá um elipse. F F F F 55

Consideremos gor este lugr geométrico no plno crtesino, onde F e F estrão loclizdos no eio dos X e origem coincidirá com o ponto médio de F F. (Conforme fig. ) Y B P A O F F A X B (Fig. ). Os pontos A e A são tis que d ( A A ) r,. É fácil de compror, bst pr isso fzer P coincidir e como com A, pois r d( A, F ) d( F A ) ;, ( F, A ) d( F, A ) d( A, F ) d( F, A ) d( A A ) d tem-se que: r., Nomencltur:. A A é chmdo de eio mior d elipse e B B ( B B ) r d <, é chmdo de eio menor., onde. Os pontos F e F são chmdos de pontos focis e A, A, B e B são chmdos de értices d elipse. 56

57 A noss pretensão é descreer um equção nlític que crcterize o lugr geométrico (conforme fig. ). Tomemos P(,), A (,0), A (-,0), B (0,b), B (0,-b), F (c,0) e F (-c,0). Aplicndo propriedde que crcteriz elipse temos: ( ) ( ) r F P d F P d,,. Como ( ) ;, r r A A d dí: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) (I) : ind temos o qudrdo, Elendo : escreer ind Podemos 4 4 4 0 4 4 4 4 : obtemos termos, os mbos o qudrdo Elendo 0 0,,,, 4 4 4 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c F P d F P d F P d F P d

Consideremos o tringulo B F F e podemos obserr que:. d tem - se : ( B, F ) d( B, F ) r e como d( B, F ) d( B, F ) d( B, F ) B d( B, F ). OF c e OB b F O F Logo: c b b c c b (II) Substituindo II em I teremos: b b Como e b são não nulos, temos: b NOTA: Qundo os focos d elipse estão sobre o eio de Y tmbém é fácil mostrr que equção permnece inlterd. Pr isso teremos que obserr n (fig. ) que: Y B F A O F A X B Fig. 58

i) O eio mior gor é B B e que d( B B ) b, ii) d ( A F ) b isto que d( A, F ) d( A, F ) b iii) Pelo tringulo OF A temos que: Resumindo: b c c b Em quisquer dos csos mostrdos n fig. e fig. concluímos que:. represent elipse; b. Se >b os focos encontrm-se no eio dos X; 3. Se <b os focos encontrm-se no eio dos Y. Eemplo:. Determine equção d elipse cujos focos são ddos por F (3,0), F (-3,0) e eio mior 8. Solução: Como os focos encontrm-se no eio dos X então A A é o eio mior d elipse. E como d ( A A ) 8 4.,, então 59

Sendo >b, então c b b c dí: b ± 4 3 ± 7 Assim equção d elipse será: 6 7. Sendo pede-se: 9 49 ) Os értices e os focos d elipse; b) O eio mior; c) Fç representção gráfic. Solução: ) Pel equção d elipse em que: b b 9 ± 3 49 b ± 7 Como < b c ± b c ± 49 9 ± 0 A F Assim: ( 3,0), A ( 3,0), B ( 0,7), B ( 0, 7), ( 0, 0) e F ( 0, 0) 60

b) O eio mior e B B encontrndo-se no eio dos Y. F B 0 A -3 3 A - 0 F B 6

Eercícios:. Um elipse tem seus focos no eio OX e seu centro em O. sbendo que o eio mior mede 8, e distânci focl é 4, dê um equção pr elipse. Resp.: 5. Determine s equções ds elipses seguintes: Y (0,6) O (0,0) X 4 (0,-6) -9 X Resp.: ( 0) 00 36 3. Determine os focos d cônic de equção ( 3) ( ) 5 9. Resp.: F (, 3) F ( 6, 3) 4. Dê o centro C, o eio mior e o eio menor d elipse ( ). 9 6 Resp.: C (,0), B B 8, A A 6 6

5. Determine o lor de m pr que ret m sej 9 4 tngente elipse de equção 9 4. 6. Verifique se há intersecção entre ret e elipse de equção: 4. Resp.: Sim. 7. Determine o lor de m pr que o ponto A(m,-m) 9 6 ( ) pertenç elipse de equção Resp.: não eiste. 8. Dê posição do ponto L(,5) em relção elipse de equção 9 5. Resp.: Eterior. 9. Determine os pontos de intersecção d elipse de equção crtesin ( ) ( ) 9 coordendos (OX e OY). Resp.: 0 4, 3 4, 0, 3 4 3, 3,0. com os eios 3 e 3,0 63

Hipérbole Hipérbole é um lugr geométrico do plno cuj diferenç ds distâncis de um ponto, dois pontos fios do plno é constnte, em lor bsoluto. Sejm F e F dois pontos do plno em que d ( F F ) c e R, onde <c. de hipérbole. Assim o conjunto do plno: { P R d( P, F ) d( P, F ) } é denomindo ; P F O F (Fig.. ) Pel propriedde d( P F ) d( P, F ) ( P F ) d( P, F ),, temos que: d dest feit concluímos que hipérbole é, ± um cur de dois rmos. Pr o ponto P do plno em que d ( P F ) d( P, F ) 0, > figur.. e cso contrrio do ldo d esquerd., ele estrá loclizdo do ldo direito d Pr simplificção de obserção considere F e F disposto no eio X e pelo ponto médio de F e F trcemos um perpendiculr ( Y ). Ao ponto de intersecção d cur com o eio dos X tribumos os lores pontuis de A e A respectimente. 64

Y M M A F F A X (Fig...b) M 4 M 3 Pode-se obserr fcilmente que cd rmo d hipérbole é simétrico em relção o eio dos X e que os rmos são simétricos em relção o eio dos Y. Dí se M é d hipérbole eiste M, M 3, M 4 onde M e M ou M 3 e M 4 são simétricos em relção o eio Y e M e M 3 ou M e M 4 são simétricos em relção o eio X. Bsedo nest conclusão emos que: d d ( A, F ) d( A, F ) ( A, F ) d( A, F ) Como A é simétrico A pode-se concluir: ( A, F ) d( A F ) d, Dí podemos escreer: d d ( A, F ) d( A, F ) ( A, F ) d( A, F ) Vê-se tmbém que d( A A ) hipérbole le relção: ( F A ) d( A, F ) 0 ou sej : d (*) Por outro ldo:,. Or como o ponto A é d 65

( F, A ) d( F, A ) d( A A ) d, Dí substituindo (*) temos: ( F A ) d( A, A ) d( A, F ) d, Como ( F, A ) d( A F ) d, tem-se:, ( A A ) d,. ELEMENTOS PRINCIPAIS: F e F O ponto médio de F F c distânci focl medid do eio rel b medid do eio trnserso c A A B B focos eio rel ou trnserso eio imginário c e ecentricidde b relção especil denomindo de centro 66

B b c F A O A F X B (Fig...c) Obsere que sendo hipérbole um cur bert, o eio imginário tem significdo bstrto. Consideremos gor o retângulo obtido em intersecção d circunferênci de centro O e rio C e pels rets pssndo por A e A perpendiculres respectimente o eio rel, conforme mostr (Fig...c). (r) P c b α F A A F (Fig...d) (s) 67

As rets (r) e (s) que contem s digonis do retângulo são chmds de ssindots d hipérbole e possui como equções crtesins b b e respectimente. Definimos como rets ssíndots d hipérbole s rets em que os pontos d hipérbole tende se proimr dos pontos d ret n medid em que se fstm dos focos. Definimos como ecentricidde d hipérbole o lor e ddo por: e. c A ecentricidde está relciond com bertur ( α ) d hipérbole, conforme Fig...c. Obserndo o quociente c, ê-se que diminuindo o lor de frção cresce em conseqüênci o ângulo (bertur d hipérbole) cresce o que torn cur d hipérbole mis berts. α F A A F c b (Fig...e) 68

Pr b o lor do ângulo ^ α é de π rd chmd de hipérbole eqüiláter. (Fig...e), e neste cso hipérbole é Por nlogi tem-se todo um estudo d hipérbole qundo o eio rel encontr-se sob o eio Y; conforme mostr figur..f. F (0,c) A (0,b) b c A (0,-b) (Fig...f) F (0,-c) Neste cso d( P F ) d( P, F ) b, e c b e c e. b Equção Crtesin Reduzid d Hipérbole Como referênci pr dedução dest equção fimos noss tenção (fig...d). Sej P (, ) um ponto d hipérbole. Usndo propriedde de pertinênci no lugr geométrico em estudo teremos: ( P F ) d( P, F ) d ou sej:, 69

70 ( ) ( ) F P d F P d,, ±, ou ( ) ( ) ( ) c c 0 ± Elendo o qudrdo iguldde: (i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 4 4 ou, como 0 : (ii) iguldde o qudrdo Elendo (ii) 4 4 4 4 4 4 4 b c b c b c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c ± ± ± ± ± temos: 0 ) ( b b e mis: b b Sendo e 0 b b b b simplificndo: (I) b

No cso em que o eio rel encontrr-se no eio Y teremos: (Fig...f) b (II) Eemplos:. Determine os focos, os értices e ecentricidde d hipérbole de equção 5 9. Solução: A equção dd nos mostr que o eio rel encontr-se no eio X, ssim: 5 e b 9, logo ±5 e b ± 3 Como c b tem-se: c ± 5 9 ± 34. Conseqüentemente: A F ( 5,0), A ( 5,0) ( 34,0) e F ( 34,0) Como ecentricidde é dd por: e 34 5 c e temos que: 7

. Qul distânci focl d hipérbole cuj equção é: ( ) ( ) 36 Solução: 64? Procedendo um mudnç de coordends tomemos: Y e X e substituindo n equção encontremos: Y X 36 64 Comprndo com equção II obsermos que hipérbole encontr-se com eio rel sob o eio Y. ssim b 36 e 64 ; e como c b teremos: c 36 64 00 c ± 0. Como distânci focl é dd por c. eremos que distânci focl le 0. Eercício: 0. Deduz um equção d hipérbole: ) de focos F (4,0) e F (-4,0) e értices A (3,0) e A (-3,0); b) de focos F (3,3) e F (-3,-3) e értices A (,) e A (-,-). Resp.: ) 9 7 b) 7 7 8 3 7

. Qul ecentricidde d hipérbole cuj equção é ( ) 4 9? Resp.: e 3. Determine equção d hipérbole que tem s crcterístics: ) centro no ponto (,0); b) um foco em (,-); c) um dos értices em (,). Resp.: 3 4 7 3. Dig em que eio coordendo estão os focos d hipérbole, e clcule medid do eio rel, do eio trnserso e distânci focl, nos csos: ) 6 4 b) 4 5 c) 4 7 48 6 4 ( ) ( ) d) Resp.: ) eio X, 8, b4, c 4 5 73

4. Um hipérbole de eio trnserso e eio rel contidos nos eio coordendos contem os pontos (3, 5 ) e 4 ( 5, 9 ). ) Dê equção crtesin d hipérbole; b) Dê s coordends dos focos e dos értices; c) Clcule ecentricidde. Prábol Definição: Sejm F um ponto e (r) um ret no plno, com F não pertencente ret (r). Define-se como prábol o lugr geométrico do plno cujos pontos que o constituem eqüidistm do ponto F e d ret (r), em outrs plrs prábol é dd pelo conjunto: { P R ; d( P, F ) d( P, ( r) )}. Construção: Sej (r) um ret e F um ponto no plno, conforme figur.4. bio. Por F trçmos um ret (s) perpendiculr (r), chmdo eio de simetri d prábol. 74

(r) P F A (s) (Fig..4.) P,. Por A trcemos Sej A ( s) onde d ( A ( r) ) d( F, ( r) ) um ret prlel ret (r) e centrndo o compsso em F com bertur igul ( F ( r) ) propriedde de que d ( P F ) ( P, ( r) ) d, mrquemos os pontos P e P. Tis pontos stisfzem, logo pontos d prábol. De mneir nálog trcemos outros pontos e ligndo estes pontos obteremos prábol. Por est construção podemos de imedito obserr que prábol é simétric em relção ret (s). Fzemos recir sobre os eios coordendos X e Y do plno X 0 Y o eio de simetri (s) e ret (r) poderemos ter qutro situções conforme mostr figur..b bio. 75

Y (r) Y (r) V F (s) X F V (s) X Y (s) V (r) X F V (r) X (Fig..4.b) F Y (s) Elementos principis: F foco (s) ret de simetri (r) ret diretriz V értice d prábol p distânci de F (r) 76

Equção Crtesin Reduzid d Prábol Pr dedução dest equção tomemos como prte de estudo o cso em que (s) coincide com o eio Y e F(0,p) ou F(0,-p) conforme figur bio. (Fig..4.c) (I) Y (s) F P(,) X (II ) d Y (s) F (r) X -d (r) (Fig..4.c) Tomndo como influênci representção (I) d Fig..4.c, temos que: F(0,p) e (r) possui equção -p (p>0). Sej P(,) letório d prábol e plicndo propriedde temos: ( P F ) d( P ( r) ) d,,, ( 0 ) ( p) p elendo o qudrdo: e mis: ( 0) ( p) ( p) p p p p 77

dí chegmos : 4 p (A) Se considerrmos representção (II) d Fig..4.c e fzendo procedimento nálogo chegremos : 4 p (B) Tomndo (s) coincidindo com o eio X no sistem ortogonl de coordends e F(p,0) ou F(-p,0) obteremos s equções respectimente: 4 p e 4 p Eemplo:. Fç representção gráfic d prábol de equção crtesin X. Solução: A prábol possui o foco de coordends,0 isto que 8 ou sej p ; e diretriz. Assim su 4 p 8 8 representção gráfic é dd por: Y F (s ) X 78

. Encontrr equção d prábol de foco F(,), sendo 3 equção d ret diretriz. Solução: Conforme os ddos cim poderemos concluir que o értice terá coordends (,) de cordo com o gráfico o ldo. ( P F ) d( P ( r) ) d,, ou ind: ( ) ( ) 3 Y P F 3 X elendo o qudrdo: ( ) ( ) ( 3 ) e mis ind: ( ) 6 9 ( ) ( ) 4 8 4( ) ( ) 4( ) ou sej 3. Determinr o értice, o foco, um equção pr ret diretriz e um equção pr o eio de simetri d prábol de equção 4 8 0. Solução: Completndo o qudrdo em n equção temos: 4 4 4 8 0, ou sej: ( ) 8( ) 0, 79

e mis: 8 ( ) ( ) temos que:, logo p. 4 p 8. Confrontndo com equção (B) Assim V (, ) e foco F (, 3) isto que ( V, F ) d. Como (r) ret diretriz teremos isto que d ( V, ( r) ) sendo ret de simetri (s) contendo o értice (, ) (, 3) F terá como equção crtesin -. Confir representção gráfic. Y ; e V e o foco Eercícios: 5. Encontrr equção de cd um ds prábols, sbendo que: - - V ) V(0,0); diretriz (r) : -3; b) F(3,0); diretriz (r) : -3. F (s - - -3 (r) X Resp.: ) b) 80

6. Determinr o foco, o értice, equção d diretriz e o eio de simetri, e esboce representção gráfic ds prábols cujs equções são: ) 4 b) 6 6 c) d) Resp.: 6 ) F,0, V ( 0,0), X, eio X 8 Y 6 F X 7. Mostre que tod prábol cujo eio de simetri é prlelo o eio Y é de equção em form: Y b c. 8. Deduz um equção d prábol com eio de simetri prlelo o eio Y e pss pelos pontos A(0,0), B(,) e C(3,). 8

Resp.: 4 3 3 9. Encontre equção d prábol com eio de simetri coincidente com o eio OY e tem como értice origem ( 0,0) θ e pss pelo ponto (,4). Resp.: 4 Trnslção de Eios Pr nosso estudo trnslção de eios tem como objetios simplificr s equções ds cônics d form mis gerl à form reduzid ou cnônic; ou sej d form: A pr um dos modelos. b B c d e f b 4, b, 4 p, 4 p conforme sej cur considerd. 0 ou, 4 p Eemplo: Sej prábol de equção crtesin 0 39 0. Determine o seu értice e seu foco. Solução: 8

D form como equção é presentd não nos é de fácil percepção identificção do que foi pedido em irtude de todo um trblho que foi direciondo csos prticulres. Em irtude disso é que o processo comprtio se dá medinte identificção de forms. Dest feit o que nos é foráel é trblhrmos equção fornecid n busc de su simplificção que é Tomndo equção: 4 p. 0 39 0 fçmos completção do qudrdo n riáel. dí: 0 39 0 ( ) 0 40 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ), ou sej: Tomndo Y e X teremos form reduzid: Y X 0 Dest feit p 5. 0 4 p Logo V(,-) e como d ( V, F ) 5 e F (,b ) ( ) 5 b 3 b. Assim F(,3). tem-se que 83

bio: Pr um entendimento mis clro fremos representção gráfic Y 3 F O 5 X - O V Considerndo em um mesmo plno dois sistems ortogonis de coordends XOY e XOY em que OX é prlelo OX e o mesmo contecendo pr os eios OY e OY conforme figur.5.b. Y Y ' ' P ( α ) b O O ' X X ' (Fig..5.b) 84

O sistem ortogonl de coordends XOY pode ser considerdo como o trsldo do sistem XOY em que O fz-se coincidir com O. Considere um ponto P do plno. Sendo isto sob cd referencil ele possui coordends diferentes. Vejmos: pr o sistem ortogonl XOY terá como coordends (,) e pr XOY será (,). como O possui coordends (,b) em relção o referencil XOY segue s equções: (I) ' b ', ' ' b dí : As equções em (I) ão nos possibilitr fzer s mudnçs de coordend do ponto P do referencil de XOY pr XOY e iceers. No eemplo podemos obserr que prábol no sistem ortogonl de coordend XOY possui equção: Y X 0, e que em nd fic lterdo os seus elementos. Eemplo: Usndo um trnslção coneniente, elimine os termos do primeiro gru d equção d elipse 4 9 8 36 4 0 e dê o centro e os értices. Solução: O método usdo é completção de qudrdos pr equção: 4 9 8 36 4 0. 85

Agrupndo os termos segundo mesm riáel temos: 4 4 4 ( ) 9( 4) 4 ( ) 4 9( 4 4) ( ) 9( ) ( ) ( ) 9 4 0, dí : 36, ou ind Dest feit em comprção com equção: b 36 4 0 temos que: 9 e b 4 ou sej ± 3 e b ±. Por outro ldo fzendo mudnç de riáel tomndo e teremos: b (,), A (,), B (,4 ), (,0) A. 4 B :. 86

4. ESPAÇO Introdução O plno como um termo indefinido d geometri está bem determindo por dus rets concorrentes não coincidentes. Tomndo em cd ret seu etor diretor constituímos um bse; o que nos le firmr que todo e qulquer etor do plno é descrito como um combinção liner destes etores. Ms clrmente, sendo u r e os diretores ds ret (r) e (s) que determinm o plno ( α ), segue-se que pr qulquer etor do plno eistem, R onde s u ; conforme ilustr figur 3.0.. r s (r) u r O u s (s) (Fig 3.0.) Em irtude do conjunto { u r, u s } reproduzir todo e qulquer etor do plno, dizemos que o plno é de dimensão ou bi-dimensionl. 87

Pr o espço, todo conjunto de três etores, não coplnres e não múltipls dois dois. {, u, u 3} u é um bse, e de form nálog mostr-se que todo etor no espço é um combinção liner destes etores, ou sej,, z R tl que u u zu3. Sistem de Coordends Considere o conjunto de etores { i j, k}, onde são não coplnres, perpendiculres dois dois e de norm. Tl conjunto será denomindo de bse ortonorml do espço. Situemos estes etores prtindo de um mesmo ponto O. (Fig. 3..) k O j i (Fig. 3..) Trcemos três rets concorrentes em O e com direções respectis de i, j, k. A ret com direção i representd por OX (eio ds bcisss); com direção j por OU (eio ds ordends) e com direção k representremos por OZ (eio ds cots). 88

Z X k O j i (Fig. 3..b) Y Em irtude de dois etores não colineres determinr um plno, podemos erificr de cordo com (Fig. 3..b) que o espço fic diidido em oito octntes; 04 cim do plno XY e 04 bio. Como eemplo, temos como º octnte tomdo pelos plnos determindos pelos plnos XY, YZ e XZ. A cd ponto do espço se fz corresponde um tern (,,z) com,, z R e cd tern (,,z) fz-se corresponder um ponto do espço. A isso dizemos que eiste um correspondênci biuníoc entre os pontos do espço e o conjunto de terns (,,z) com Dest feit representremos o espço pelo conjunto. Ε {(, z) /,, z R},, e cd ponto do espço por P (,, z),, z R. onde serão chmdo de coordends crtesins de P. Conforme nos mostr Fig. 3..c o ponto P será sempre o értice de um prlelepípedo. 89

Z z P k i j Y X (Fig. 3..c) Como mostr figur 3..c podemos concluir que: O ponto P (,, z) encontr-se: (i) no eio OX se z 0 (ii) no eio OY se z 0 (iii) no eio OZ se 0 (i) n origem se z 0 () no plno XY se z 0 (i) no plno YZ se 0 (ii) no plno XZ se 0 90

Eemplo: Represente os pontos, A, B, C e D do espço no sistem de eios coordendos ortogonis, sendo A (,,3), B (0,,4), C (,4,0), D (0,0,). Solução: Z 4 B 3 A D 4 C Y X Vetores no espço Definimos como um etor no espço todo etor cuj origem coincide com origem do sistem crtesino. De form nálog o plno, todo ponto P(,,z) do espço e origem O definirá um etor no espço ou ind como eiste um correspondênci biuníoc entre os pontos do espço e s terns (,,z), como,, z R, não configur dulidde o representr por um etor no espço um tern (,,z). Assim OP. 9

Ms OP P O (,, z) ( 0,0,0) ou sej, (,, z) será dornnte denotdo como um etor no espço. Sendo { i, j, k} um bse ortogonl do espço poderemos ind escreer como sendo: i (,, z ) i j z k sendo (,0,0 ), j ( 0,,0 ) e k ( 0,0,) Ddos dois pontos do espço A(,b,c) e B(,b,c ), definimos o etor AB como sendo: plno teremos ind: 3... AB AB B A. De form nálog o estudo no ( b b c c),, conforme mostr figur Z B A Y X (Fig 3..) Sendo AB um segmento orientdo, eiste um segmento orientdo que lhe é eqüipolente prtindo d origem. Dí cd pr de pontos que dá origem um etor eiste um etor no espço o qul lhe represent (fig. 3..). Este etor tendo s mesms crcterístics será o etor: (, b b c c), 9

Módulos Sej (, b, c) um etor no espço. Definimos como, norm de, o número: b c Obsere que norm de é igul o comprimento do segmento orientdo que o represent (fig. 3..b). Z c b Y X (Fig 3..b) Operções com etores Sejm u (,, z), (, z ) etores no espço e, k R. Como foi isto com etores no plno estenderemos o espço s mesms definições. I) Adição e Subtrção 93

u u (,, z z ) (,, z z ) II) Multiplicção de um esclr por um etor ( k, k kz) k u, Slientmos que s proprieddes reltis s ests operções, como tmbém representção gráfic são s mesms pr etores no espço. Eemplo: e k Sendo u (,, ) e (,3,4) u e k u, u. Solução: u u u (,,) (,3,4) ( 3,5,6) (,, ) (,4,4) (,,) (,3,4) (,, ) ; determine os etores Produto esclr Sejm u (,,z) e (,,z ) etores do plno, denote por ou < > u, ou ( ) Definição: u u, o produto esclr dos etores u e. z z u Est definição é tmbém conhecid como produto esclr cnônico dos etores u e. Deimos o leitor erificr que tods s 94

proprieddes pr est operção no cpítulo tmbém são erddeirs pr o espço. Eemplo:. Clcule o produto esclr dos etores sendo (,,0 ) (,3,4 ). ) u b) u ( u ) Solução: c) ( 3 u) u e ) (,,0 ) (,3,4 ) ( ) 3 0 4 u ou sej u ( ) (,,0 ) ( 3,, 4) 3 ( ) 0 ( 4) u ( u ) (,,0 ) (,,0 ) (,3,4 ) b) ou ind: u ( u ) 3 ( ) (,3,4 ) ( 6,3,0 ) (,3,4 ) ( ) 3 3 0 4 ( 3u) 3(,,0 ) c) 6 logo, ( 3 u ) 3 95

. Determine o lor de R pr que u 0 u (,,) e (,4, ) Solução:., sendo Por definição d operção temos ( ) 4 u e como 0 5 6 0 ou 6 5 3. Mostre que sendo u (, b, c) Solução: u tem-se:, então u µ u. µ µ, b, c, b, c b c, Por definição ( ) ( ) e como u b c temos que: µ u u, ou sej u µ u Produto Vetoril Definimos um no operção no conjunto de etores no espço, tl que cd pr de etores ( u, ) do espço est ssocido um etor do espço, indicdo por u X, que stisfz s seguintes proprieddes: i) u u sen( u, ) 96

ii) u é perpendiculr simultnemente u e. iii) O terno ( u, u ) 3..4.), é positio (ej figur ) u u Conseqüêncis d definição: ) u u 0 Sendo { i j, k} compror que:, bse ortogonl pr o espço é fácil de Proprieddes: k i j, i j k, j k i Sendo u,, w etores no espço e (I) Não comuttio: k R, então le: (II) u u Não ssocitio: 97

98 ( ) ( ) w u w u (III) Distributi: ( ) ( ) w w u w u w u u w u (IV) ( ) ( ) ( ) kw u w u k w u k Considere gor { } k j i,, um bse ortogonl ( ) z u,, e ( ),, z dois etores do espço. Com uso d propriedde (III) do produto etoril mos encontrr s coordends de u. Como k z j i zk j i u e temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k z zk j zk i zk k z j j j i j k z i j i i i k z j i zk k z j i j k z j i i k z j i zk j i u E como { } k j i,, é um bse ortogonl temos que: i j k k i j j k i j i k i k j k j i k k j j i i,,,, 0

Assim: u ( ( z u ( z ) k ( z z ) i ( z z, z ) j ( z, ) k z z ) j ( i z ) ) k j z i Obserndo cuiddosmente epressão: ( z z ) i ( z z ) j ( ) k podemos concluir sem muito esforço que trt-se do determinnte, i j k z z, dí podemos definir o produto etoril como sendo: u i j k z z Com bse ns proprieddes do determinnte ê-se fcilmente comproção ds proprieddes d operção produto etoril. Eemplo:. Clcule o produto etoril dos etores u (,,3) e (4,-,0). Solução: 99

i j k u 3 4 0 ( 0i j k) (4k 0 j 3i) u j k 4k 3i (3,, 6). Clcule áre do prlelogrmo definido pelos etores u e Solução: h θ u Como fcilitdor de compreensão sej figur cim. A ltur h do prlelogrmo é dd por: ( u ) h sen, e como: áre bse. ltur temos que: áre u senθ. 00

Por outro ldo: ( u ) u u sen, Logo: A u 3. Determine áre do tringulo que tem com dois de seus ldos os etores u e. Solução: Sendo áre do tringulo é metde d áre do prlelogrmo, podemos firmr que: Áre u Produto misto Combinndo o produto interno e o produto etoril poderemos definir o produto misto. A cd terno de etores ( u, w), do espço podemos ssocir um número rel ddo por ( u ) w. Definição: Sej u (, b, c), (, b, c ), e w (, b c ) etores no espço. Definimos o produto misto:, 0

( ) u w b b b c c c Interpretção Geométric. Considere figur 3..5. u α w R u (Fig 3..5.) Pel geometri espcil temos que o olume de um prlelepípedo é igul o produto d ltur pel áre de bse. Conforme mostrdo nteriormente temos que: ( u ) w u w cos ( u, w) O termo w cos ( u, w) é igul ltur do prlelepípedo e como u é áre do prlelogrmo (bse) temos que: 0

Vol ( u ) w (I ) Eemplo: Clcule o olume do prlelepípedo definido pelos etores (,0,4 ), ( 0,,5 ), (,0,0 ) u w. Solução: Usndo o resultdo (I) teremos: ( u ) w 0 0 4 5 0 0 ( 0 0 0) ( 4 0 0) 4 4 Eercícios:. Represente os pontos no sistem coordendos de eios ortogonis. ) A (,0,3) b) B (,,) c) C (,-3,4) d) D (0,0,3). Represente no sistem coordendo de eios ortogonis os etores: ) AB sendo A (,5,4) e B (3,,) b) (,3,5) 03

3. Determine o ângulo entre os etores u e sendo: ) u (,0,) e (,,) b) u (,,0) e (0,,-) Resp.: ) rc.sen 6 3 α rc.sen 0 4. Clcule norm dos etores: ) AB sendo A (,,0) e B (5,,-) b) (,,0) Resp.: ) 0 b) 5 5. Sendo u (,,0), (3,-,4) e w (0,,-) clcule o produto etoril: ) u u b) u ( w) c) ( u w) ( w) Resp.: ) 0 b) ( 5, 0, 7) c) ( 0, 3,0) 6. Determine áre do prlelogrmo de ldos formdo pelos etores u (-,3,4) e (3,,0). Resp.: 60 04

7. Determine áre do triângulo ABC sendo que A (,,0), B (-,-3,) e C (,0,4). Resp.: ) 336 8. Clcule o olume do prlelepípedo que tem um értice no ponto A (,,) e os três értices djcentes nos pontos B (,3,), C (4,,3) e D (,,6). Resp.: 5 09. Clcule os seguintes produtos etoriis: ) ( i 3 j 5k) ( i 3 j k) b) ( i j k) ( 3i j k) Resp.: ) 9i j 3k b) j k 0. Determine um etor u que sej simultnemente perpendiculr os etores (,-,0) e w (0,-,5). Resp.: w ( 5, 5, ) 0. Complete o enuncido ds seguintes proposições: ) u 0 se e somente se u...... b) u 0 se e somente se u...... c) ( u ) w 0 se e somente se u...... 05

. Sejm u (,0,) e (0,,). Clcule w perpendiculr u e e tl que w 3. Resp.: ( 3, 3, 3) ou ( 3, 3, 3) 3. Mostre que u ( w) u ( w ) 4. Se A (,, z ) e B (, z ) espço, e ( A B) d são pontos do, d, distnci do ponto A o ponto B, então: ( A, B) ( ) ( ) ( z z ) (Sugestão: clcule AB ) 5. Determine etores do espço ortogonl o etor (,0, ) u. Resp.: (, b, ) /, b R 6. Considere u (,,4 ) e (,,0 ) etores do espço. ) Determine o etor unitário simultnemente ortogonl os etores u e. 06

7. Sendo (,0,0), j ( 0,,0 ) e k ( 0,0,) i etores d bse cnônic do espço, mostre que: ) i j k b) j k i c) i k j d) k k 0 8. Sendo (,,3) e w (,,0) u etores do espço, determine um etor do espço tl que u w. Resp.: ( 0,0, ) 07

08

5. RETAS E PLANOS: Plno Ddo um ponto A e um etor no espço, eiste um único plno que contem A e é perpendiculr (, b, c) no espço. A α P Qulquer ponto P (,, z) AP 0 (I) E ind: do plno stisfz equção etoril: ( P A) 0 ( 0, 0, z z0 ) (, b, c) ( ) b( ) c( z z ) onde d 0 b cz d 0 () 0 0 b 0 cz 0 0 0 0 09

A equção () é chmd de equção crtesin do plno e o etor u (,b,c) é chmdo de etor diretor do plno. Obseremos que ess equção é liner, isto é, enole pens termos do primeiro gru em, e z. Eemplo:. Determine equção do plno ( α ) que contem os pontos A(,,), B(0,,) e C(0,,0). Solução: Sej P (,, z) um ponto do plno ( α ). Dest feit os etores AP, AB e AC por pertencerem o mesmo plno ( α ) são etores linermente dependentes e por conseguinte: ( AP AB) AC 0 0 0 z 0, ou ind: 0, ou z 0 0, que pode ser escrit como: 0 z 0. Determine equção crtesin de um plno ( β ) que contém o ponto A (,,0) e é perpendiculr o etor (,,3) Solução: u. 0

Como u é perpendiculr o plno ( β ), ssim todo e qulquer etor em ( β ) é perpendiculr u. Sej ( β ) (, z) P ; P,. O etor AP é perpendiculr u, logo: ou ind: AP u 0 ( P A) u 0 (, ( ), z 0) (,,3) 0 que pode ind ser escrit: 3 z 0 3. Determinr equção do plno (s) que pss pelo ponto A(,,) e é prlelo os etores u (,,) e (,,-). Solução: Inicilmente obsermos que u e não são colineres, logo linermente independentes. Dest feit eistirá um só plno (s) que contenh o ponto A e sej prlelos os etores. A (s) u P

Sej P (,,z) um ponto de β, então ( AP u) 0 ind, z 0 que pode ind ser escrito: 3 5 z 8 0, ou 4. Determine intersecção entre os plnos ( α ) : z 0 e ( β ) : z 3 0. Solução: O nosso problem consiste em determinrmos o conjunto de pontos do espço que stisfz simultnemente s equções dos plnos (α ) e (β ). Pr isto nos restringimos resoler o sistem: z 0( I ) z 3 0( II) Usndo o método d substituição isolmos em (I) riáel z, e substituindo em II. ( z ) z 3 0, ou ind: z 4 0 ; donde isolndo z temos : z 4 Clculndo :

4 3 5 Assim intersecção será ret ddo pelo conjunto de pontos: (r){(,3 5, 4)/ R} 5. Encontrr o ponto de intersecção do plno z 3 0 com os eios 0, 0 e 0z. Solução: Sej P, Q, M ( α ) (i) Um ponto P 0X P (,0,0) logo: 0 0 3 0 3 ou sej P (3,0,0) (ii) De form nálog, Q 0Y Q (0, b,0), ou ind: 0 b 0 3 0 b 3 ou sej Q (0,3,0) (iii) Finlmente M 0Z M (0,0, c), ou sej 0 0 c 3 0, donde c 3. 3

Assim M(0,0,3). (confir figur 4..) z 3 0 3 Y 3 Fig. 4.. Eercícios:. Determine distânci entre os pontos: ) A(,,0) e B(-,3,5) b) M(-,3,5) e N(,-4,-5) Resp.: ) 38 b) 58. Encontre equção do plno (α ) que pss pelos pontos: ) A(,,0), B(,,) e C(-,,5) b) A(3,-,4), B(0,,0) e C(,-,3) Resp.: ) z 0 b) z 0 3. Determine equção do plno que é perpendiculr o etor r r r r u i 3 j 4k e pss pelo ponto A(,-,0). Resp.: 3 4z 8 0 4

4. Encontre equção do plno (α ) que pss pelo ponto r r r r L(,-,0) e é prlelo os etores u i j k e r r r r 3 i j 4k. Resp.: z 0 5. Determinr equção do plno (α ) prlelo o plno (β ) de equção 3 z e pss pelo ponto A (,,). Resp.: 3 z 0 6. Determinr um etor unitário, norml o plno que pss pelos pontos A(,-,0), B(,-,3) e C(0,0,). Resp.: u 3, 4, 6 6 6 7. Encontre os pontos de intersecção do plno (α ) de equção crtesin 3 z 0 com os eios coordendos 0, 0 e 0z. Resp.: (,0,0), ( 0,,0), ( 0,0, ) 3 8. Ache equção do plno (α ) que pss pelo ponto A(,,) e é prlelo o plno (β ) de equção crtesin z 4 0. Resp.: z 4 0 9. Determine os lores de m e n R pr que o ponto A(m-,n,m-n) pertenç simultnemente os plnos (α ) e 5

Rets (β ) de equções crtesins z 3 0 e 4z 0. Resp.: n e m 3 0. Usndo fórmul d distânci entre dois pontos, mostre que equção d esfer de centro C(,b,c) e rio R é dd por: ( - ) ( - b) (z c) R, com P(,,z) um ponto qulquer d esfer.. Encontre equção d esfer de: ) centro A(,,0) e rio 5 b) centro C(,-,) e rio 3 Resp.: ) ( ) ( ) z 5 b) ( ) ( ) ( z ) 9 Sejm A(,,z ) e B(,,z ) dois pontos do espço não coincidentes. Então eiste um únic ret que pss por estes pontos simultnemente. Um ponto P(,,z) pertence est ret se e somente se os etores AP r e r r r AP λ. AB.() AB r são colineres, logo eiste Em termos de coordends, temos: que é equilente : ( -, -,z - z ) λ (,,z z ) λ R tl que: 6

7 ) ( ) ( ) ( z z z z λ λ λ () chmd de equções prmétrics d ret (r) que pss por A n direção de B A r. O etor B A r é chmdo de etor diretor d ret. Obsere que pr cd R λ em () temos um ponto d ret (r); e reciprocmente cd ponto P d ret (r) eiste um esclr R λ. Sendo ret (r) não prlel nenhum dos plnos XY, YZ ou XZ, em outrs plrs z z,,, podemos tmbém eliminr λ em () e escreermos su form simétric: z z z z (3) que é conhecid como equção crtesin d ret (r). z A P B (Fig. 4..) (r) A L P B (r) (s)

Eemplo:. Determinr equção d ret que pss pelos pontos A(,,3) temos que: e B(4,5,-). Solução: Como AB r não é prlelo nenhum dos plnos XY, YZ e XZ z 3 ou sej: 4 5 3 3 z 3 3 4. Encontre um etor diretor d ret que pss pelos pontos A(-,0,3) e B(0,-4,). Solução: Como o etor diretor é o etor que dá direção d ret e como A e B são pontos d ret, ssim temos: r r u AB B A (0, 4,) (,0,3) r u (, 4, ) 3. Determine s equções prmétrics d ret (r) que pss pelos por L(-,,0) e é perpendiculr ret (s) que pss pelos pontos B(-,,5) e A(,-,3) Solução: Vmos primeiro determinr um etor diretor pr ret (s), ou sej: r r u AB B A (,,5) (,,3) dí u r (3,,). 8

Em fce do problem possuir solução únic, deemos r r encontrr P (s) no qul PL AB. Pr tnto clculemos s equções prmétrics d ret (s) r r Se P (s) então AP λab, ou equilentemente: r P A λab, ou ind pr todo (,, z 3) λ( 3,,) O que nos le : z 3λ λ 3 λ Dest feit P ( 3λ, λ,3 λ) é ponto de (s) λ R. Impondo condição do problem temos que: r r < PL, AB > 0, ou ind: 0 < ( ( 3λ), ( λ),0 (3 λ)),( 3,,) > < ( 4 3λ, λ, 3 λ),( 3,,) > 0 onde: Assim: 3( 4 3λ) ( λ) ( 3 λ) 0 9λ 4 4λ 6 4λ 0 0 7λ 0 0 λ 7 Substituindo λ em P temos: 9

L. form equilente: P 4 7 3, 7 7, 7 Clculemos gor s equções d ret (r) que pss por P e r r Sej X (,, z) ( r), então PX t. PL ou em 4 7, 3 7 que pode ind ser escrito: 7, z t. 7 4 7, 3 7 7,0 7 (r). 4 38 t 7 7 3 4 t 7 7 7 7 z t 7 7 que são s equções prmétrics de 4. Determine equção crtesin d ret (s) que pss pelo r r r r ponto A(,3-) e é prlel o etor µ i j k. 0

Solução: Obsere n grur solução geométric do problem. A u (s) Sej µ r s um etor diretor d ret (s). Como sendo µ r µ r (s) // s t. u r. Fzendo t, como poderi ser outro lor 0, temos que µ r s u r. A equção etoril d ret (s) será; r P A λu, com P(,,z) um ponto qulquer d ret (s). Substituindo os ddos nest equção encontrmos s equções prmétrics: λ 3 λ z λ Eliminndo o prâmetro λ temos: 3 z que é equção crtesin d ret (s).

5. Verifique se s rets (r) e (s) dds respectimente pels equções crtesins z 3 prlels. Solução: 4 z 3 são concorrentes, reerss ou As rets são prlels se os etores diretores respectios µ r r e µ r s são prlelos. Or µ r (3,-,) e µ r s (,-3,) e como não eiste são prlels. Sejm r t R tl que µ r s t µ r r firmmos que não 4 z m, n R tl que m 3 z n 3 As rets (r) e (s) são concorrentes se e somente se o sistem: reerss. 4 3m -m z m n 3n z n, é solúel; cso contrário (r) e (s) são rets Resolendo o sistem teremos: 4 3m n -m 3n e e

equções: m n ou ind; Considere gor o sistem formdo pels dus primeirs 4 3m n, m 3n teremos como solução m e n 0. Substituindo n terceir equção. ( ).0, concluímos que tmbém stisfz. Logo o sistem é solúel e P (,,) é o ponto de intersecção ds rets (r) e (s). Assim s rets são concorrentes. 6. Verifique se ret (r) dd pel equção z 3 4 equção crtesin 3z 0. Solução: é concorrente o plno (α ) de A ret (r) é concorrente o plno (α ) se e somente se (r) ( α ) φ. Logo o nosso problem consiste n resolução do sistem: z 3 4 3z 0 Com o uílio de um prâmetro λ R temos que: 3

teremos: λ 3 λ z 4λ Substituindo n equção do plno s riáeis,,z λ (3 λ) 3( 4λ) 0 ind pode ser escrito: 8λ 0 0 ou ind: λ 0. Logo o ponto de intersecção entre ret (r) e o plno (α ) é: P (,3,-). 4

Ângulo entre dus rets Sejm (r) e (s) rets no espço. Pode ocorrer um dos três csos: (i) (r) e (s) são prlels não coincidentes (ii) (r) e (s) são concorrentes (iii) (r) e (s) são reerss Sendo (r) e (s) concorrentes, els formm entre si qutro ângulos, dois dois opostos pelo értice no ponto de concorrênci P. (β ) (α ) P (α ) (Fig. 4...) (β ) (s) (r) Definição: Define-se como ângulo, entre s rets (concorrentes), o menor ângulo determindos por els. Sendo prlels o ângulo entre els será de 0 o. Sendo (r) e (s) rets reerss, tom-se um ponto em um dels, eemplo (s), e por este ponto trç-se um prlel (r) ret (r). O ângulo entre (r) e (s) será ddo pelo ângulo entre (r) e (s). 5

Z (r) (r) Y X P θ (s) Dest form sendo µ r r e µ r s etores diretores ds rets (r) e (s) respectimente, o ânguloθ entre els será tl que: r r < µ r, µ s > cos( θ ) r u. u r s Eemplo:. Clcule o ângulo entre s rets (r) e (s) dds por sus 3 z equções crtesins: e 3 z respectimente. 3 Solução: Tome µ r r (,,3) e µ r s (,3,-) como etores diretores ds rets (r) e (s) respectimente. O ângulo θ entre s rets será tl que: 6

r < µ cos( θ ) r u r r 4. r, µ r. u s s >, dondeθ 54..3 3( ) 3. rccos( 3 ) 54 ( ). Clculr o lor de λ pr que s rets 3 z ( r ) : λ 5 t ( s) : 3 t sejm ortogonis. z 5t e Solução: r Os etores no espço µ (, λ,5) e µ r s (,,5 ) são etores diretores respectios de (r) e (s). Como o proposto é que (r) sej ortogonl (s) tem-se: µ r, r > 0 ou: < r µ s < (, λ,5),(,,5) > 0.. λ 5.5 0 λ 7 r 7

Distânci de um ponto um ret Sej (r) um ret e P um ponto no espço; e d(p, (r)) distânci do ponto P ret (r). Se P (r), então d(p, (r))0. Suponh que (Figur 4...) P (r), e tomemos A e B pontos d ret (r) P D (r) h B A (Fig. 4...) etores por: É fácil obserr que AP r e AB r é um etor diretor d ret (r) (A B). Os AB r constituem ldos do triângulo ABP cuj áre é dd r S AB. h (I) com h ltur do triângulo em relção o értice P. Fzendo uso do produto etoril (Eercício 3, cp. IV), imos tmbém que 8

S r r AP AB (II) Comprndo (I) com (II) podemos escreer que: r r r A P AB AB. h Não é difícil de erificr que h d(p, (r)) Dest feit concluímos que: r r AP AB D(P, (r)) r AB Eemplo:. Clcule distânci do ponto A(,,5) ret de equções prmétrics: t ( s) : 3 t z 5t Solução: Atribumos dois lores quisquer pr t fim de termos dois pontos d ret. Pr: t 0 A (, 3,) t B (3,, 3) 9

Consideremos os etores fórmul d distânci (4..) r r AP AB d( P, ( r)) r AB A A r e AB r e pliquemos Or. r A A A A (,,5) (, 3,) (0,5,3) r A B B A (3,, 3) (, 3,) (,, 5) r r r i j k r r A A AB 0 5 3 8i 6 j 0k 5 AB (, 4, 8) 84 A A A B ( 8) 6 ( 0) 90 Dí chegmos concluir que: 90 30 d ( A, ( r)) 3,3 84 30

Distânci entre rets. Sendo (r) e (s) rets no espço temos três csos considerr.. Prlels ) (r) e (s) coincidentes, então d((r),(s))0 b) (r) e (s) distints. Escolhendo letorimente um ponto P (r), distânci d((r), (s)) d(p, (s)). Z (s) d((r),(s )) P Y X (r) (Fig. 4..3.). Concorrentes As rets (r) e (s) são concorrentes, então eiste um ponto P em comum. E como distânci entre els é menor, temos que d((r),(s))0. (Fig. 4..3.b) 3

(s) P (r) (Fig. 4..3.b) 3. Reerss. As rets (r) e (s) são reerss, logo ( r ) ( s) φ melhor compreensão considere figur (4..3.c).. Pr Tomemos A um ponto em (r) e B um ponto em (s) letorimente e fçmos projeção do etor com BA r sobre µ r µ µ r e µ r s etores diretores de (r) e (s) respectimente. s, 3

r r r Obsere que µ r µ s é prlelo o eio 0 Z, neste cso. Como r d(( r), ( s)) proj r AB temos que: µ r r µ s AB µ S d(( r), ( s)) (confir.9.) µ, µ R r r r µ s Eemplo:. Clcule distânci entre s rets (r) e (s) dds por: Solução: t t ( r) : t e ( s) : 3 t z 3 3t z 3t Pelos etores diretores de (r) e (s), r r µ r µ (,,3) concluímos que els são prlels. Portnto s escolhemos um ponto P em (r) e clculmos distânci d(p, (s)). Tomemos t0, logo P(,0,3). Assim d((r), (s)) d(p, (s)) Pr cálculo de distânci d(p, (s)) é necessário que sejm ddos dois pontos de (s). Sejm por eemplo A(-,3,) e B(,4,4). Dest feit: r r AP AB d((r), (s)) d(p, (s)) r AB Or: 33

(, 3,), AP r i r r AP AB 3 r r AP AB ( ) ( ) r AB 4 Portnto pode-se concluir que: AB (,,3) r r j k r r r 3 i j 8k 8 99 d((r), (s)) 99 4. Clculr distânci entre s rets (r) e (s) dds por: t z 3t ( r) : t e ( s) Solução: n : n z 3n Sendo µ (,,3 ) e (,,3 ) r µ etores diretores ds rets (r) e (s) respectimente podemos concluir que s rets não são prlels. Dest feit s rets serão concorrentes ou reerss. As rets (r) e (s) são concorrentes se e somente se o sistem: s 34

t t z 3t n n z 3n Resolendo o sistem teremos: t n t n 3t 3n Tomndo s dus primeirs equções: t n t n t n Substituindo n terceir equção: ( ) 3 ( ), tenh solução. teremos como solução 3 concluímos que não é stisfeito tis lores. Logo o sistem não possui solução pr tnto s rets são reerss. Tomemos gor um ponto A ( r) e B ( s) ( 0,,0 ) (,0, ) A B e pliquemos fórmul de distânci ; ou sej: d (( r),( s) ) AB, u u r r u u s s 35

ou sej: d (( r),( s) ) 6 9 9 9 (,, ), (,,3) (,,3 ) (,,3 ) (,,3 ) 6 3 3 3 Distânci de um ponto um plno. Sej P ( 0, 0,z 0 ) um ponto e (α ) um plno de equção crtesin bczd0. É nosso objetio encontrr relção que nos forneç distânci do ponto P o plno. (Figur 4..4.) µ r P α (α P ( α ) (Fig. 4..4.) 36

Sej P(,,z ) projeção ortogonl de P o plno (α ). Definiremos como d(p, (α ) ), distânci do ponto P o plno (α ), como sendo norm do etor P r ' P r, ou sej: d( P, ( α )) r P' P Se P (α ) podemos então concluir que d ( P,( α) 0. Suponh que P (α ). Como o etor P' P r é perpendiculr (α ), logo prlelo o etor diretor do plno µ r α (, b, c). Tomemos o etor unitário de µ r r µ α α, ou sej r. Assim podemos firmr que: µ α r r α (,( )) ' < ', µ r d P α P P P P r > () µ α ou ind: r r d ( P, ( α)) r. P' P, µ µ α α Ms: r µ α b c, e r r < P' P, µ α >< ( 0, 0, z0 z), (, b, c) > r r < P' P, u > b cz ( b cz ) α 0 O leitor pode ind obserr que: b cz -d. Assim sendo podemos concluir que: r P ' P, µ r > b cz d < α 0 0 0 0 0 37

Fzendo s deids substituições em () podemos ind escreer: d( P,( α )) 0 b 0 b cz 0 c d () Eemplo:. Determine distânci do ponto A(5,,) o plno (α ) de equção crtesin z 3 0. Solução: Aplicndo relção () podemos dizer que: d ( A,( α )) 5. ( ). ( 3) ( ) donde: d ( A,( α )) 6. Determine distânci entre os plnos (α ) e (β ) sendo ddos por sus equções crtesins -z00 e -z-50. Solução: Como os plnos (α ) e (β ) são prlelos r r µ α µ (,,) firmmos que: β d( ( α ),( β )) d(p,( β )) com P (α ) ou d( ( α ),( β )) d(b,( α)) com B (β ) Dí o problem se restringe clculr distânci de um ponto um plno. 38

Sej P ( 0,5, 5) ( α ), então d ( P,( β )).0 ( ).5 ( 5) ( 5) ( ) e ind: d (( α),( β )) 5 3. Determine distânci d ret (r) o plno (α ) sendo ddos por: t ( r) : 3 t ( α ) : z 0 z 4 t Solução: 6 Como distânci de um ret o plno somente é definid qundo ret for prlel plno, o leitor pode fcilmente obserr trés dos diretores d ret e do plno ddos que são ortogonis, ou sej: µ r (,,) diretor d ret (r), µ r (,, ) diretor r do plno (α ) e µ, µ r >< (,,),, ) >.. ( ) 0 < r r α Logo como teremos: r r µ r µ α temos que ( ) //( r) d (( r),( α)) d( P,( α )) com P (r) Ddo P (, 3,4) ( r), pr t 0, teremos: α α. Assim 39

d (( r),( α)). ( 3) ( ).4 ( ) o que tmbém pode ser escrito: 4 d (( r),( α)) 3 Eercícios:. Determinr s equções prmétrics e crtesins ds rets que pssm pelos pontos: ) A(,,0) e B(0,0,4) b) L(,-,) e M(,-,4) z Resp.: ) 4 λ ; λ z 4λ 3. Encontrr equção crtesin d ret que: ) pss pelo ponto A(,-,5) n direção do etor r (,,3) z 5 Resp.: 3 b) pss pelo ponto M(0,,) n direção do etor u r (,,0) Resp.: z 40

4 4. Escre equção prmétric d ret que pss pelo ponto M(,-,3) e é perpendiculr ret (s) de equção crtesin 3 z. Resp.: t z t t 9 3 3 5. Ache equção d ret (r) que pss pelo ponto A(,0,) e é prlel os plnos 3z0 e -z0. Resp.: 5 4 z 6. Encontrr equção crtesin d ret (r) que pss pelo ponto M(,3,-) e é prlel o etor k j i u r r r r. Resp.: 3 z 7. Mostrr que os pontos A(-,4,-3), B(,,3) e C(4,-,7) são colineres. Resp.: (Sugestão: Produto misto) 8. Determine um ponto e um etor diretor de cd um ds seguintes rets:

4 ) 3 z b) t z t t 3 3 c) 4 z 9. Encontrr o ponto de intersecção ds rets, csos eistm. ) 3 : ) ( z r e : ) ( z s b) 4 5 3 : ) ( z r e t z t t s 7 5 : ) ( 0. Determinr equção crtesin d ret que pss pelo ponto M(-,0,) e é prlel ret (s) de equção crtesin: z Resp.: 0 e z. Ache equção crtesin do plno que pss pelos pontos A(,0,), B(,,0) e C(,,). Resp.: 0 z

. Determine um plno (α ) perpendiculr o plno ( β ) : z 8 e que pss pelo ponto M(,,). Resp.: z 5 0 3. Encontre intersecção entre os plnos ( α ) : z 0 e ( β ) : z 3 0. 4. Ache o ângulo entre s rets 3t z ) ( r ) : e ( s) : 4 t 3 z t b) ( ) : z 4 z 3 r e ( s ) : 4 Resp.: ) 90º, b) θ rccos 7 5. Clcule distânci do ponto ret (r) nos seguintes csos: ) P(,,5) e ( r ) : Resp.: 3 b) P(0,,0) e ( s ) : z 3 3 3 Resp.: 4 z 3 43

44 c) P(-,,) e t z t t s 4 3 : ) ( Resp.: 6 75 6. Ache distânci entre s rets seguintes: ) 4 3 : ) ( z r e : ) ( z s Resp.: 6 b) t z t t r 3 0 : ) ( e t z t t s 3 4 : ) ( Resp.: 4 35 c) 3 3 : ) ( z r e t z t t s 3 3 : ) ( Resp.: 0 7. Determine o lor de R m, pr que o ponto M(-m,m,-3m) pertenç o plno (α): -z70. Resp.: 6 7 m 8. Clcule distânci do ponto P o plno (α) nos seguintes csos:

) P(,-,4) e (α): z 0 Resp.: 3 b) P(0,-,) e (α): 0 Resp.: c) P(,-,3) e (α): z 0. Resp.: 0 9. Ache os pontos de intersecção do plno (α): z com os eios coordendos (0X,0Y,0Z). Resp.: (,0,0), (0,-,0), (0,0,) 30. Encontre distânci entre os plnos (α): 3 z 7 e (β): 3 z 0 0. Resp.: 3 3. Mostre que se (α) e (β) são plnos prlelos ddos por sus equções crtesins b cz d 0 e b c z d 0 respectimente, então distânci entre eles é dd por: d(( α ),( β )) d d b c 3. Ddos M(0,,), N(-,,) e P(5,7,9), escre s equções prmétrics d ret que contém medin, relti o ldo MN, do triângulo MNP. 45

Resp.: t 6t z 3 5 t 33. Determine o ponto de intersecção d ret (r) com o plno (α) pr os seguintes csos: z ) ( r ) : e ( α ) : z 3 3 Resp.: P ( 5, 7, 6 ) 3t b) ( r) : 4t e ( α ) : z 4 z t 6 3 Resp.:,, 5 5 5 t c) ( r) : 4t e ( α ) : z 7 z t Resp.: ( r ) ( α ) φ t d) ( r) : z t e ( α ) : z 0 3t Resp.: ( r ) ( α ) ( r) 46

6. SUPERFÍCIE ESFÉRICA Equções d Superfície Esféric. Sejm C(,b,c) um ponto do espço e r R * ; superfície esféric de centro C e rio r é um lugr geométrico cujos pontos que constituem stisfz equção d(p,c) r (figur 5.) Z C P r Y X (Fig 5.) temos: CP r Sendo P (,,z) um ponto letório d superfície esféric, r, obtemos: CP r P C (, b,z c), e como d(c,p) 47

( ) ( b) (z c) r () denomind de equção reduzid d esfer de centro C e rio r. A prtir d equção (), e desenolendo os qudrdos encontrmos que: z b cz b c r 0 Como, b, c, r R são constntes pré-definid, podemos escreer. z B C Dz E 0 () qul denominmos de Equção Gerl d Superfície Esféric. Obsere que: B - C -b D -c E b c r (3) Proposição: () A equção, z B C Dz E 0, é de um superfície esféric se e somente se B C D 4E > 0. Demonstrção: Bst substituir os lores de,b,c em E e impor condição de eistênci pr r. Proposição:() Se um esfer é dd pel equção crtesin: 48

z B C Dz E 0, então o centro C ( B, C, D ) e o rio R B C D 4E Eemplo:. Determinr equção reduzid d superfície esféric de centro C(,0,4) e rio r5. Solução: Aplicndo equção () obtemos: ( ) (z 4) 5. Verifique se um superfície esféric pode ser descrit pel equção z 4 3z 5 0, e cso poss determinr o seu centro e o seu rio. Solução: Pel equção z 4 3z 5 0, consttmos que B -4, C, D -3 e E 5 e como B C D 4E (-4) (-3) 4.5 6 0 6, concluímos pel proposição () que trt-se de um equção d superfície esféric. Assim o centro e o rio é obtido n form: B C D C,, e o que pode ser escrito por: r B C D 4E C (, /,3/ ) e r 3/ 49

3. Determine o lor de m R pr que o ponto A(-m,m,3) pertenç superfície esféric de equção ( ) (z ) 6. Solução: Se A pertence superfície esféric, então s coordends de A stisfzem equção dd, ou sej: ou ind: ( m ) (m) ( 3 ) 6 m 4m 6 5m 6 m 3 ou m 3 4. Encontre os pontos de intersecção d superfície esféric dd pel equção z 6z 0 com os eios coordendos 0X, 0Y e 0Z. Solução: Sejm A,B,C pontos no espço nos quis A OX, B OY e C OZ. Dest feit temos: A (,0,0), B (0,,0) e C (0,0,z) os supostos pontos de intersecção d esfer com os eios coordendos. Ponto A: Aplicndo cd ponto n equção teremos: 0 0 6.0 0 0 ( ) 0 dí A (,0,0 ) 50

Ponto B: Ponto C: 0 0.0 6.0 0 0, então R. Logo superfície esféric não intercept o eio OY. 0 0 z.0 6.z 0 z 6z 0 Resolendo est equção obtemos: z ' 3 ou z " 3 Dí concluímos que superfície esféric intercept o eio 0Z em dois pontos. C ( 0,0,3 ) e C ( 0,0,3 ) Posição entre o Ponto e Superfície Esféric São três s posições do ponto P em relção superfície esféric. P C P C P C (Fig. 5.) I) Interior superfície se e somente se d(p,c) < r II) N superfície, se e somente se d(p,c) r III) Eterior superfície se e somente se 5

d(p,c) > r Onde C é o centro e r é o rio d superfície esféric. Eemplo:. Dê posição do ponto P (,-,4) superfície esféric de equção ( ) ( ) z 49. Solução: Como o centro é o ponto C (,-,0) e o rio r 7, é bstnte comprrmos d(p,c) com o rio. Or; d ( P, C) ( ) ( ) (4 0) ou ind: d ( P, C) 8 Logo P é um ponto interior superfície esféric hj isto que 6 < 7. Ache o (s) ponto (s) de intersecção entre ret z (r): e superfície esféric d equção reduzid z 6. Solução: Se P é o ponto de intersecção entre ret (r) e superfície esféric, sus coordends stisfzem mbs s equções. Inicilmente tomemos um ponto genérico d ret (r) ou sej: P ( t, -t, - t) pr esféric trés de su equção reduzid. t R ; em seguid pliquemos superfície 5

Logo: ( t) (-t) (- t) 6 Desenolendo os qudrdos e reduzindo, temos: 3t t 0 Dí encontrmos t - ou t /3. Dest form ret intercept superfície esféric nos pontos: P (, -, - ) (-,-,-) P (.,, ) (7 / 3, / 3, / 3) 3 3 3 3. Decid se ret (r) é eterior superfície esféric de equção z, sendo: 4 3t ( r) : t z t Solução: A ret (r) é eterior superfície esféric se e somente se d(c, (r))>r onde C e R são o centro e o rio dest superfície respectimente. Pr clculrmos distânci do centro C ret pel fórmul é necessário obtermos um ponto d ret (r). Pels equções prmétrics de (r) obtemos sem muito esforço um de seus pontos e um etor diretor, por eemplo: P (4,0,) e µ r r (3,, ) 53

Dí: d( C,( r)) r u r ( 3) r r OP µ r u t r ; ms 4 CP u r i 4 3 j 0 k i j 4k, e CP u Dest feit: r ( ) ( ) 4 38 38 d ( C,( r)) 4 Como o rio d superfície le D(C, (r)) > R. Logo (r) é eterior esfer. 69 / 7, concluímos que Plno Tngente. Diz-se que um plno ( α ) é tngente um superfície esféric (S) se e somente se eistir um único ponto P comum mbos (Fig. 5.3) S C P ( α ) (Fig 5.3) 54

Proposição : Um ponto P é ponto de tngênci entre um plno ( α ) e um superfície esféric (S) se e somente se o etor CP é ortogonl o plno. Demonstrção: Sej C( 0, 0,z 0 ) o centro e r o rio d superfície esféric. Sej P ( z ) ( α ) ( S), e como, (, z z ) CP, termos 0 0, 0 ( ) ( ) ( z z ) R CP 0 0 Por outro ldo, sbendo que P é ponto de tngênci, temos que ( C ( α )) R d,. Assim d ( C ( α )) CP ( α ) CP., o que nos le concluir que Como CP ( α ) e P ( ) ( S) ( C ( α )) R α temos que d,. Logo P é ponto de tngênci. 0 Eemplo:. Escre equção crtesin do plno ( α ) tngente superfície esféric (S) de equção reduzid ( ) ( ) z 7 no ponto (,0, 3) Solução: P. 55

Pel proposição () o etor CP é ortogonl o plno ( α ), com C (,,0 ); logo: CP ( ( ),0, 3 0) CP (,, 3) Sej A(,,z) um ponto rbitrário do plno ( α ); então: PA CP 0 (, 0, z 3) (,, 3) ( ) ( ) 3( z 3) 0 O que tmbém pode ser escrito: 3z 5 0. Determine equção crtesin do plno ( α ) tngente superfície esféric z 4 e prlelo o plno ( β ) de equção z 0. Solução: Como o plno ( α ) é prlelo o plno ( β ) temos que: ( α ) : z d 0 Por outro ldo: ( C, ( α )) R por ( ) d esféric (S). Logo podemos ter: 0 0 0 α ser tngente superfície ( ) 0 ( ) d 56

Ou sej: d 3 Assim teremos os plnos: ( α ): z 3 0 ( α ): z 3 0 3. Determine o centro e o rio d circunferênci de intersecção d esfer z 6 com o plno ( α ): z 5. Solução: Anlisemos figur: ( α ) C 0 M S C D equção d superfície esféric (S) temos que C(0,0,0) e R 4, são o centro e o rio de S. sej C 0 (,b,c) o centro d circunferênci intersecção do plno ( α ) com superfície esféric. O etor CC 0 é ortogonl o plno ( α ); logo podemos escreer: CC (,, ) 0 t 57

Onde: ou ind: (,b,c) t(,,-) t b t c -t Em irtude de ( α ) t t t 5 ou sej: t 5 3 C temos que: 0 Dest feit C ( 5, 5, 5 0 ) relção: 3 3 Pr determinr o lor do rio d circunferênci usmos 3 0 C0M CM CC, que pode ser reescrit: ( 5, 5, 5 ) 4 3 3 3 r, com r o rio d circunferênci intersecção. Assim: r ou 6 : r 75 9 69 3 69 9 58

4. Escre equção do plno ( α ) que contém ret de equções prmétrics t, t e z 0 e é tngente superfície esféric (S) de equção () () (z). Solução: Sej b cz d 0 equção do plno ( α ). Como o plno ( α ) contém ret (r), podemos escreer: t bt c.0 d 0 com Pr t 0 Pr t 0( b) d 0... d 0 t R. b 0 0, onde -b. Substituindo n equção do plno ( α ), teremos: - cz 0 Aplicndo condição de tngênci pr o plno. ou ind: ( C ( α )) r d,, ou sej: ( ) ( ) c 0 c c c Elendo o qudrdo iguldde em: 4c c, ou ind: 3c 0 59

Ftorndo epressão, temos que: ( 3c)( 3c) 0 Dí podemos firmr que: ou sej: 3c 0 ou 3c 0 c ± 3 Substituindo n equção do plno tem-se que: ± Ou ind: z 0 3 z 0 ou z 0 3 3 Comprndo com o lor do rio d superfície esféric, concluímos que o plno intercept superfície esféric. 5. Decid se o plno ( α ) intercept superfície esféric (S), sendo: ( α ) (S) : : z 0 Solução: d ( ) z 6 O plno ( α ) interceptrá superfície esféric (S) se ( C ( α )) r esféric.,, com C o centro e r o rio d superfície Como C(0,,0) e r4, dí: 60

d ( C, ( α )) 0 ( ) 0 ( ) ( ), ou ind: d, 3 ( C ( α )) Comprndo com o lor do rio d superfície esféric, 4, concluímos que o plno intercept superfície 3 esféric. 6. Escre equção de um plno ( α ), tngente superfície esféric (S): ( ) (z ) 5 no ponto P(0,,). Solução: Pel proposição () o etor CP é ortogonl o plno ( α ), com C o centro d superfície esféric. Como C (0,-,), dí: CP ( 0,, ) ( 0,, ) CP ( 0,, ) Sej M (, z) ( α ) plno ( α ): ou ind: 3, ou sej :,, podemos então escreer: PM CP 0, o que nos lerá equção do ( 0,, z ) ( 0,, ) 0 ( ) ( z ) 0 0 6

( α ): z 4 0 Eercícios:. Encontre equção reduzid d superfície esféric (S), onde: ) C (,,0) e r 3 Resp.: ( ) ( ) z 9 b) C (0,0,0) e r 8 Resp.: z 64 c) C (,-,4) e r 3 Resp.: ( ) ( ) ( z 4) 3. Decid quis ds equções represent um superfície esféric. ) z 4 8 z - 0 0 b) z 8z 9 0 c) z 4 5 5 0 3. Determine o lor de m R pr o qul o ponto A pertenç superfície esféric S. ) (S): z 4 0 e A (m,-m,) ± 5 Resp.: b) (S): z - 4z 9 e A(0,,m) Resp.: ± 0 4. Encontre os pontos de intersecção d superfície esféric (S) e os eios coordendos 0X, 0Y e 0Z. 6

) ( ) ( ) (z ) Resp.: Não intercept os eios coordendos. b) z 0 Resp.: eio OY no ponto (0,,0) 5. Sej ( α ) um plno tngente superfície esféric (S) e prlelo o plno ( β ). Encontre equção crtesin de plno ( α ). ) (S): z 6 z 6 0 e ( β ): z0 Resp.: ( α ): z 4 4 3 0 ( α ): z 4 4 3 0 ou b) (S): z 9 e ( β ): z 0 6. Decid se ret (r) intercept superfície esféric (S). ) (S): z 6 e ( r) Resp.: intercept. b) (S): 0 e ( r ) Resp.: não intercept. t : t z t z : 3 7. Dê posição do ponto A em relção superfície esféric (S) ) A (,-,) e (S): z 9 Resp.: interior. b) A (0,-,4) e (S): 4 z z 0 63

Resp.: eterior. c) A (,0,3) e (S): z 6 0 0 Resp.: A S 8. Determine os pontos de intersecção entre ret (r) e superfície esféric (S), sendo: z ( r ): e (S) : z 5 Resp.: (-, -, 0) e 5 4 (,, ) 3 3 3 9. Encontre equção do plno ( α ) tngente superfície esféric (S): z z 3 0 no ponto A(,,). Resp.: z 3 0 0. Determine equção do plno ( α ) tngente superfície esféric (S): z 6 z 5/4 0 e prlelo o plno ( β ): z 5 0. Resp.: z 3/ 0 ou z / 0. Dê equção crtesin do plno ( α ) que contém ret ( ) z : r e é tngente superfície esféric (S): () z.. Verifique se o plno ( α ) intercept superfície esféric (S), pr os csos: ) ( α ): z 0 e (S): z 5 Resp.: intercept. b) ( α ): - z 0 e (S): ( ) (z ) 6 Resp.: não intercept. 64

3. Encontre o centro e o rio d circunferênci d intersecção d superfície esféric z 5 com o plno ( α ): z 4. 65

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REFERÊNCIAS ÁVILA, Gerldo. Cálculo : funções de um riáel. 6.ed. Rio de Jneiro: Liros Técnicos e Científicos, 994. 355 p. BOULO, Pulo; CAMARGO, In de. Introdução à geometri nlític no espço. São Pulo: Mkron Books, 997. 39 p. EDWARDS JR., C. Hen; PENNEY, Did E.. Cálculo com geometri nlític. Rio de Jneiro: Prentice Hll do Brsil, 997. 486 p. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometri nlític. 3.ed. São Pulo: Hrbr, 994. 685 p... LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometri nlític. 3.ed. São Pulo: Hrbr, 994. 490 p... REIS, Genésio Lim dos; SILVA, Vldir Vilmr d. Geometri nlític..ed. Rio de Jneiro: Liros Técnicos e Científicos, 996. 4 p. SIMMONS, George F.. Cálculo com geometri nlític. São Pulo: McGrw-Hill, 987. 807 p. STEINBRUCH, Alfredo. Geometri nlític..ed. São Pulo: Mkron Books, 987. 9 p. BOLDRINI,José Luiz..[ET AL.]. Àlgebr Liner.3 ed.sãopulo:hrbr,980.44p. LANG,Serge. Algebr Liner. São Pulo: Edgr Blucher,97,67p. 67