CAPÍTULO 4 - DERIVADAS

CAPÍTULO 4 - DERIVADAS 4.- Icremetos e Rão Icremetl Sej m ção rel de vriável rel, cotí em m ddo itervlo do ql em prte os úmeros reis e e esses úmeros são mito próimos etre si, isto é, < δ o tede ero. Nests codições são ceits s segites deiições: Icremeto d vriável idepedete : A vriável idepedete pode vrir, metr o dimiir de té, vrição est, deomid icremeto o créscimo d vriável, idicd por:. Icremeto d ção A ção o vriável depedete pode vrir de té, vrição est deomid meto o créscimo d ção, o ql é idicdo por:. Rão Icremetl d Deomi-se rão icremetl d ção rão etre os icremetos e. 4 Derivd de m Fção Sej deiid e cotí em m ddo itervlo rel, deomi-se ção derivd o derivd de ção qe se obtém trvés do ite d rão icremetl de qdo o icremeto d d d d vriável idepedete tede ero. Tl ção é idicd por: ; ; ; ;. d d d Eercícios Se este ite eistir e or iito. Sej determie.. Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi idetermição 55

Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 56.l l : Lembrr....l e e e : Lembrr 4.- Derivd de m ção em m poto Sej cotí em m domíio D e m poto de cmlção de D. Deomi-se derivd de o poto o ite:. Notção: d d Idetermição

Eercícios Sej, determir derivd de o poto qe. - - - - - - - Sej se, determir derivd de o poto qe. se se se pr.. 4.- Teorem d Eistêci d Derivd em m Poto Eistirá derivd de m ção deiid e cotí em m poto se e somete se s derivds lteris o poto de bciss orem igis, isto é: 4..- Derivds Lteris eistirá se e somete se. Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi. 57

Eercícios Veriicr se eiste derivd de em. se se < são dieretes 4.4- Iterpretção Geométric d Derivd Sej m ção cotí e derivável em m domíio D. tgete α β t β tα 4.4.- Eqção d Ret Tgete à crv o poto P, Eercícios P, m. m Determir eqção d ret tgete à crv o poto ode. m P, m 4 4 P,4. 4 4 4 8 m 4 4 4 Eqção d ret tgete Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 58

Observção: A derivd de m ção em m poto é m úmero qe correspode o coeiciete glr d ret tgete à crv o poto. 4.4.-Eqção d Ret Norml m crv o poto P, Eercícios. ode, m m Determir s eqções d ret tgete e d ret orml à crv deiid pel eqção ode. P m, d d m Eqção d ret tgete m Eqção d ret orml m 4 4.5- Álgebr ds Derivds Spoh qe h, e g em qe: h { { g { Derivd d Som h g Derivd d Som Demostrção: Sbstitido : d d d d d d se A derivd d som o d diereç é som o diereç ds derivds. Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 59

Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 6 Eercícios. l b Derivd do Prodto se d d d d d d d d qdo Sbstitido : Eemplo:...l. c Derivd do Qociete se d d d d d d qdo

Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 6 Eercícios.l.. d Derivd ds Fções Elemetres k k k.. Eercícios 5 5. 4 k. k. Lembrr

-. -4 5-5. 6 5 Formlário de Derivds k Derivd do costte k em relção. - 4.l 5.l 6 l 7 se cos 8 cos - se 9 t sec cot - cossec sec sec. t cossec - cossec. cot Demostrções Fórml 5: e e e e 4444.l Lembrr k k e Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 6

Fórml 7: se se se.cos Fórml 9: se.cos se se cos se.cos 44 4 cos cos se cos se cos cos se t cos v v Se v v cos.cos se. cos 644 7 448 cos se cos cos Fórml : sec sec cos cos. cos se cos se cos se cos.cos t.sec se se Proprieddes k. v k. v ± v ± v. v.v v. v v 4 v v Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 6

4.6- Regr d Cdei pr Derivção de Fção Compost Sej ção compost h og g sedo g derivável em relção e derivável em relção g. Nesss codições demostr-se qe derivd dess ção h g g. Sedo g e, d d d Regr d Cdei d d d 4.6.-Geerlição d Regr d Cdei pr Derivd ds Fções Composts d d w v w v 4 d d dw dv Regr d Cdei d dw dv d Eercícios e d e e d d d d d d d d d d e d se 5 d se cos d d 5 5 d d d d d d d d cos 5 5 d se d se cos d d d d cos. d d cos d 4 se 7 cos 7. Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 64

5 5 4 e e 5 4. 4.6.- Regrs d Derivd ds Fções Composts Sejm e v ções em, e k, e costtes. k. -. 4.l. 5 e e. 6 b.l b 7 l 8 se cos. 9 cos - se. t sec. cot - cossec. sec sec. t. cossec - cossec. cot. Proprieddes k. v k. v ± v ± v. v.v v. v v 4 v v 4.7- Derivção de Fção Dd Implicitmete Cosideremos m eqção s vriáveis e. Diemos qe m ção é dd implicitmete por tl eqção se, pr todo o domíio de, o poto, or solção d eqção. F, ms Eercícios d Determir d 5 4 5. 5 5 v se v 5 v v cos v.v 5 v v cos v 5 v v cos v 5 Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 65

5.... 4.... 4 4.... 4. 4. d 4.8- Iterpretção de como m qociete dierecil d 4.8.- Dierecil d Até qi, tem sido visto como m simples otção pr derivd de. O qe remos segir é d d iterpretr como m qociete etre dois créscimos. Iicilmete, vmos olhr pr d como m créscimo em d e, em segid, procrremos m iterpretção pr o créscimo d. d. Se olhrmos, etão, d d pr d como créscimo orded d ret tgete T, correspodete o créscimo d em, teremos. d Observe pelo gráico sobre iterpretção geométric de derivd qe d é o créscimo qe ção sore qdo se pss de d. O créscimo d pode etão ser olhdo como m vlor proimdo pr ; evidetemete, o erro d qe se comete proimção de por d será tto meor qto meor or d. Deiição: Sej m ção e sejm e, vriáveis e relciods por. Etão dierecil Sbemos qe é o coeiciete glr d ret tgete T, o poto,, e qe d é m úmero qlqer do domíio de pr o ql eiste, dierecil de d é deiid por d d Eemplo: Se, chr d. Solção: 6 d 6 d Deve observr-se diereç etre dierecil d d vriável idepedete e dierecil d d vriável depedete. Pois, d pode ssmir qlqer vlor, ms o vlor de d depede de, d, e, por tto, de. 4.8.- Iterpretção geométric de d comprdo-o Aqi, spõe-se qe é diereciável em e tom-se d, represet-se como m icremeto o vlor té e será vrição correspodete em, isto é,. Etretto, desde qe é o coeiciete glr d ret tgete o gráico de em,, isto é,,,sege-se qe d d será o icremeto correspodete o vlor de, segido se direção d tgete. Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 66

Ret tgete T em P d Ret tgete T o poto P, P, e Q, Y d 44 d ção e ret secte S qe pss por d ção. P Q } d S T ret S secte por P e Q } X N Figr, tem-se qe o icremeto d ção qe é dd por Note qe qdo se dá o icremeto, o poto P desloc pr Q, e observe qe o poto P pss m T, eqto por P e Q, pss m ret secte S. Aplicdo o coceito de ite, qdo tede pr ero, o poto Q tede pr o poto P, e ret secte tede pr ret tgete em ret tgete P, o créscimo Assim, tede pr dierecil d e tede pr dierecil d. d [ ] d d, o ilmete : d d d A epressão cim é própri deiição de dierecil, e pel Figr observ-se qe qto meor or meor será diereç etre o créscimo e dierecil d. Assim, dierecil de m ção é obtid pelo prodto d derivd d ção pel dierecil d vriável de derivção., dierecil sege seqüêci bio Pr m ção Fção derivd Dierecil d d d d g t dg d g g t dt dg t dt, Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 67

Eercícios - Achr dierecil d ção 5 Solção: Primeiro ch-se s derivd, qe é 6 em segid escreve-se dierecil, d d 6 d. t 5 -Dierecir ção g t e t5 Solção: g t e dg, portto dierecil é t5 t g t dt e dt D Figr ic clro qe d pode ser cosiderdo m bo proimção de sej sicietemete peqeo. A rão peqeo α, dode desde qe d e qe d qdo qe diere de por m úmero etremmete d d d α d α d d α d d d α d α d d α d d d α d d d d 44 d d α d d d d d d d d Assim, d Observção: A dierecil pode ser sd pr eetr cálclos proimdos. Eercícios - Clclr ri 4 Clclr, pr, d, etmete b Fer m estimtiv de, sdo d d c Determir o erro ε d Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 68

4 5,, 4 5, 8 5,8 5,8 b d d 6 d 6,, 8 c O erro é: ε d,8,8, - Usr diereciis pr estimr 5. Pr isso tom-se ri cohecid mis próim como reerêci, o sej, 6 6 e -se 6 d 5 6, etão 5 6 6 d 6 6 6 d,8k 5 6 6,8 K 5, 966 K - Clclr ri 8. Assim, Pr isso tom-se ri cohecid mis próim como reerêci, o sej, 7 e -se 8, o d d 8 7, etão 7. 8 d d 6 8,7,7. 7 o 4- Avlir por diereciis o 44 cos.. 6 Pr isso tom-se o coseo cohecido mis próim como reerêci, o sej, cos 45 o o cos cos 45. Assim, cos cos 44, o d d 44 45 π 8 o,745k, etão o e -se cos cos o o 44 d se 45 o 44,745 K, 794 K d Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 69

5- O rio de m eser de ço mede,5 cm e sbe-se qe o erro cometido medição é meor o igl, cm. Estimr o erro possível o cálclo do volme d eser. O volme de m eser é clcldo prtir do rio é V ço terá como medid r,5 ± rcm, ode r, cm, por tto, 4 π r. Note-se qe, esse cso, o rio d eser de V 4 4 4 4 π,5 ± V π,5 V π,5 ± V π, 5, Estimdo-se V por dv V r dr, dv d 4 V r π r 4π r V 4π r dr dr dr e como r dr dr, cm, tem-se,5 ±, ± 4π,5, ±, π V 4π r dr 4π 9, V ±,9π ±,87 V,9π,87 cm qe é o erro possível o cálclo do volme d eser, o sej, ε,87 cm. 6- Usr Diereciis pr ecotrr o volme proimdo de m csc cilídric circlr V C, com ltr de 6 cm, cjo rio itero mede cm e possi espessr, cm. O volme de m cilidro é clcldo prtir do rio e d bse, isto é, V h b, ode h 6 cm e b π r, ssim o volme é V 6π r. Como espessr d csc é r dr dr, cm, tem-se qe volme d csc cilídric circlr é V, portto, estimdo-se V por dv V r dr, V dv dr d dr r 6π r π r V π r dr π V π r dr π 5, 4π cm o volme proimdo d csc cilídric circlr, o sej, C V 7,5 cm. Como oi visto pode ser importte determir dierecil d, de m ção qlqer. Porém m ve qe se d poss derivd dess ção sempre é ácil determir d, pois d d cso d ção v d d d d dv d dv d d d d d d d, isto é, d d, como o d d d 7- Ecotrr dierecil d d ção 47 d d 47 4 4 Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 7

d 4 4 d 8- Ecotrr dierecil d d ção 5 5 5 d d 4 5 4 5 5 5 d 5 4 5 d 9- Ecotrr dierecil d d ção 4 d 4 d d d 4[ ] d d d 8 4 d d d d d d d d 4 8 d d 8 8 4 8 d d d d 4 d - Ecotrr dierecil d d ção cos cos d cos [ cos ] d d [ ] d d cos se d [ ] d d 4 d [ cos ] se d d d se cos d d se cos se d cos d 4.9- Derivds Scessivs o Derivds de Ordem Sperior ordem o eésims Sej deiid cotí e derivável em m itervlo rel. Nesss codições derivd de, d idicd por ; ; é deiid por. d Se este ite eistir e or iito teremos etão, se est ção or derivável s derivd de cordo com deiição poderá ser clcld por, se este ite eistir e or iito teremos Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 7

m ção idicd por o o 4 d o ; e v o v d o. 4 5 d d o o 5 d. d d ;scessivmete terímos o o d d ; e iv o iv d Eercícios: Determie derivd de 5 ordem de 5. 5.. 5 4 9 8-8 iv 6 v 6 Dd 4 4, clclr - e vi 5: 4 6 8 8 - - - 8-4 - iv 4 v vi vi 5 4.- Derivd ds Fções Iverss Trigoométrics rcse se Determir : se se cos cos. cos se cos * se cos rcse rccos cos Derivdo implicitmete: - se. se se cos se cos * cos se cos Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 7

rccos rct t Derivdo implicitmete: sec. sec t sec t * t t rct 4 rccot 5 rcsec 6 rccosec Eercícios: rcse -5 5 rct 5 5 rcse. 4 rcse cos se cos Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 7

5 rccos l l 4.- Derivd d Fção Ivers Sej derivável e iversível em m ddo itervlo rel. Se dmite s ivers qe - d d idicmos por, etão pr determir derivd tom-se simplesmete epressão : d d d d Eercícios d Se, determir : d d d d d d d d d Se d 4, determir o : d - 4 Determir : 4 4 4-4 4 4 4 o Determir : --4 --4-4 4 4 4 4 4 4 4.- Derivd d Fção Form Prmétric t t Eercícios t t 4t Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 74

t d d d dt d d d dt dt d d dt d t 4 d t, ms d d t dt d d dt d dt d dt, etão e t d d t d dt d dt t d t d t e. d, determir : d t t 4 t 5t d t 5 d t 4.- Fções Hiperbólics Itrodção: As ções hiperbólics são costríds prtir ds ções e e. Els têm iteresse porqe têm mits proprieddes ás às ds ções trigoométrics e porqe precem o estdo d qed dos corpos, cbos sspesos, ods o oceo e otros tópicos em Ciêci e Egehri. 4..- O seo e o co-seo hiperbólicos O seo e o co-seo hiperbólicos são represetdos por seh e cosh. Eles têm s segites deiições: Deiição : Pr qlqer úmero e e e e seh e cosh Observemos qe seh, como se, tem o vlor em e qe cosh tem o vlor em. d d A derivd e e e e e os levm às ormls de derivção d d d d d seh cosh e cosh seh d Eercício Clclr derivd de seh 6 7 5 4..- Os gráicos de seh e cosh Os gráicos de seh e cosh são mostrdos s igrs bio. Ses spectos chve podem ser cilmete obtidos d deiição e ds órmls de derivção, lembrdo qe e e e são positivs pr todo, qe e tede e Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 75

, qdo tede, e tede qdo tede e qe qdo tede. e tede qdo tede e tede 4..- Otrs ções hiperbólics As deiições de tgete, co-tgete, secte e co-secte hiperbólics são ás às deiições ds ções trigoométrics correspodetes. Deiição: A tgete e secte hiperbólics são deiids pr todo e co-tgete e co-secte hiperbólics, pr todo por seh e tgh cosh e cot gh sec h cos ech tgh cosh seh e e cosh e seh e e e e e e e As órmls desss qtro ções são ás às órmls pr s ções trigoométrics correspodetes, ms ão são mito importtes. Os gráicos ds ções tgh, cotgh, sech e cosech são mostrds s igrs bio. Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 76

4..4- Fções Hiperbólics Iverss Assim como s ções hiperbólics orm deiids em termos de ções epoeciis, s ções hiperbólics iverss iverss rc seh, rc cosh etc. podem ser epresss em termos do ritmo trl. Eercício - Dr m epressão pr rc seh em ção do ritmo trl. Solção. Cosidermos seh e e obtemos eqção e e qdrátic. e clclmos o vlor de rc seh. Mltiplicdo por, qe reescrevemos sob orm e e ± 4 4 e ± Devemos sr o sil mis, pois e é positivo. Portto, rcse h l e,. Etão pel órml Discipli de Cálclo Dierecil e Itegrl I Pro. Slete So de Oliveir Boi 77