Aula 35-icunfeência 1) icunfeência (definição) 2)Equação eduzida 3) Equação geal 4) Posições elativas 5) Resolução de execícios
1) icunfeência definição. A cicunfeência é o luga geomético definido como: onjunto de pontos que eqüidistam do ponto, chamado de cento, a uma distância ( > 0), chamada de aio.veja o desenho abaixo: P 2) Equação eduzida da cicunfeência. Podemos coloca a cicunfeência no gáfico catesiano, e sendo assim deteminamos uma equação paa os pontos que fomam a cicunfeência. Y P(x,y) b (a,b) 0 a X Vamos aplica a fómula de distância ente dois pontos dada po: ()()22b yabbaadxxy=-+-, com ()()b; e Bx;abbAxyy
()(); e Px;yab Utilizamos os pontos ()()22 ypdxab=-+-, e aplicado na fómula, obtemos: ( aio) Pd=, mas então ficamos com: ()()22 yxab-+-=, e elevando-se os dois lados ao quadado, obtemos finalmente: ()()222 y xab-+-= Essa equação é denominada equação eduzida da cicunfeência. 3) Equação geal da cicunfeência. Paa obtemos a equação geal da cicunfeência, basta desenvolvemos a equação eduzida, vejamos: ()()22222222 y x22xabaxaybxb-+-=fi-++-+= e odenando de maneia conveniente, obtemos: 22222 y220xaxbyab+--++-= Essa equação é denominada equação geal da cicunfeência.
Obsevação: É comum escevemos a equação geal da seguinte maneia: substitui-se 22222Ï-=Ô-=ÌÔ+- e, finalmente ficamos com: 22 y0++++=xmxnyp 4) Posições elativas da cicunfeência. 4.1- Posição de um ponto em elação a uma cicunfeência. Um ponto P(x; y) do plano, em elação a uma cicunfeência de cento e aio, pode se inteno, exteno ou petence à cicunfeência. Paa sabemos em qual situação o ponto se enquada, basta calculamos a distância do cento ao ponto, e compaá-la com a medida do aio. Obseve o quado. P inteno à cicunfeência P petence à cicunfeência P exteno à cicunfeência d cp P d cp P d cp P < cpd = cpd > cpd 4.2- Posição de uma eta em elação a uma cicunfeência.
Uma eta : + by c = 0sax do plano, em elação a uma cicunfeência de cento e aio, pode se exteio, tangente ou secante à cicunfeência. Paa sabemos em qual situação a eta se enquada, basta calculamos a distância do cento à eta, e compaá-la com a medida do aio. Obseve o quado. s é exteio à cicunfeência s s é tangente à cicunfeência s s é secante à cicunfeência s > d = d < d 4.3- Posição de uma cicunfeência em elação a outa cicunfeência. Vamos considea as cicunfeências abaixo: ()()()()22211112222222:x-a + y-b( consideemos d a distância ente seus centos.a medida desta distância vai detemina que as cicunfeências podem se:
Extenas Tangentes extenamente Secantes 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 +12 > d +12 = d +12 < d Tangentes intenamente oncênticas Intenas não concênticas 12 1 = 2 2 1 1 1 2 2 1 2-12 = d =0 d <-120 < d 5) Resolução de execícios
1) Obte a equação eduzida das cicunfeências nos seguintes casos: a) (4,6) e = 3. Temos que a equação eduzida é dada po: a po 4,b po 6 e po 3, obtemos ()()224 y6 9-+-=x ()()222 y -+-=xab ()()2224 y6 3-+-=x e substituindo e finalmente: b) (-3,1) e 32=. Temos que a equação eduzida é dada po: a po -3,b po 1 e po 32, obtemos ()()2293 y14++-=x ()()222 y -+-=xab ()()22233 y1 2ʈ++-=Á Ë x e substituindo e,finalmente: c) (0,0) e = 5. Temos que a equação eduzida é dada po: ()()2220 y05-+-=x ()()222 y -+-=xab e substituindo a po 0,b po 0 e po 5, obtemos e, finalmente: 22 y25+=x
2) Dadas as equações das cicunfeências, obte o cento e o aio, espectivos: ()()226 y2 9-+-=x a) Temos que a equação eduzida é dada po: ()()226 y2 9-+-=x, obsevamos que: 26293ab=ÏÔ=ÌÔ ()()222 y-+-=xab e compaando com Então temos que: ()6,2 e = 3 b) ()()223 y + 1 25-+=x Temos que a equação eduzida é dada po: ()()223 y + 1 25-+=x, obsevamos que: 231255ab=ÏÔ=- ()()222 y-+-=xab e compaando com Então temos que: ()3,1 e = 5c) ()2216 y+225+=x Temos que a equação eduzida é dada po: ()2216 y + 225+=x ()()222 y-+-=xab e compaando com 202164255abÏÔ= obsevamos que: Então temos que: ()40,2 e = 5-
3) Obte a equação eduzida da cicunfeência cujo gáfico é: ()()222xayb-+-= Sabemos que Y ()()2224211-+--=fi então: ()()22222+-=fi 244+=fi 28822=fi=fi=. 1 (2,1) 0 2 4-1 P(4,-1) X Potanto temos que 2, b = 1 e = 22a= ()()()2222122xy-+-= e vem logo a equação eduzida fica: ()()22218xy-+-=, 4) Obte a equação geal do execício anteio. Basta desenvolvemos ()()22218xy-+-=, que fica: 2222222.2.22.1.1844218xxyyxxyy-++-+=fi-++-+=fi 2222425804230xyxyxyxy+--+-=fi+---= logo a equação geal é: 224230xyxy+---=
222690xyxy++++= 5) Detemina o cento e o aio da cicunfeência de equação:. Lembando da equação 222690xyxy++++= 22 y0++++=xmxnyp obtemos: e compaando com a equação ()()22222222222262269911331139ÏÏ=-=-=ÏÔÔÔ= Então temos que: ()1,3 e = 1-- Teíamos o seguinte gáfico desta equação: Y -1 X (-1,-3) =1-3
22610180xyxy++-+= 5) Detemina o cento e o aio da cicunfeência de equação:. Lembando da equação 22610180xyxy++-+= 22 y0++++=xmxnyp obtemos: e compaando com a equação ()()2222222262261022101818335543518ÏÏ=-=-=ÏÔÔ Então temos que: ()3,5 e = 4-6) Qual a posição do ponto P em elação à cicunfeência l, em cada um dos casos abaixo? ()22) P3,1 e : x16ayl+= 22x16y+= Basta substitui os valoes de x = 3 e y = 1 na equação ()()2222x16311691161016y+=fi+<fi+<fi<, então: Logo: P é inteio a l
()22) P3,1 e : x2340ayxyl++--= b) 22x2340yxy++--= Basta substitui os valoes de x = 3 e y = 1 na equação ()()2222x2340312.33.140916340167090yxy++--=fi++--=fi++--=fifi-=fi>, então: Logo: P é exteio a l 7) Esboça o gáfico das seguintes inequações das cicunfeências. ()()222) x-549 que 5 Obsevação: essa egião é denominada cículo. ()()222) x-549 que 5