FCULDDE DE CIÊCIS E TECOLOGI Redes de Telecomuicações (6/7) Egª de Sistemas e Iformática Trabalho º4 (ª aula) Título: Modelação de tráfego utilizado o modelo de Poisso Fudametos teóricos (cotiuação) 7. Duração das chamadas T c Em algumas aplicações é suficiete cohecer o tempo médio de duração das chamadas, ou seja,e( Τ c )h. Em outros casos exige-se uma iformação mais detalhada, como seja, o cohecimeto da fução desidade de probabilidade. distribuição usada ormalmete para caracterizar a duração das chamadas telefóicas é a distribuição expoecial egativa. Usado esta distribuição coclui-se que a probabilidade de Τ c : exp ( / ) P T > t t h () c 8. Estatística do úmero de chamadas em progresso Para um grupo de circuito o úmero de chamadas em progresso está compreedido etre e. O comportameto deste grupo pode-se descrever por uma cadeia de Markov com + estados, como se represeta a Figura 5. O sistema está o estado j quado o úmero de circuitos ocupados é igual a j. chegada de uma chamada faz aumetar o estado do sistema de, passado do estado j para o estado k (kj+). termiação de uma chamada faz com que o estado do sistema decresça de, ou seja, se estiver o estado k passa para o estado j. P(j) é a probabilidade de o sistema se ecotrar o estado j e P(k) a probabilidade do sistema se ecotrar o estado seguite k. Pj,k é a probabilidade do sistema trasitar do estado j para o estado k, equato Pk,j é a probabilidade de trasitar do estado k para o estado j. ssim, as probabilidades P(), P(), P() desigam-se por probabilidades de estado, equato Pj,k, Pk,j são desigadas por probabilidades de trasição.
Figura 5. Diagrama de trasição de estados para circuitos. Cosidere-se um itervalo de tempo ifiitesimal δt com iício em t e admita-se que a probabilidade de ocorrerem dois ou mais evetos é desprezável. Os evetos que podem ocorrer em δt são os seguites: Chegada de uma chamada, com probabilidade P(a); Termiação de uma chamada, com probabilidade P(b); usêcia de mudaças de estado, com probabilidade -P(a)-P(b). equação 3 permite cocluir que o úmero médio de chamadas que chegam durate o itervalo de tempo δt é δt/h. tededo ao facto de δt ser um itervalo ifiitesimal, tem-se que δt/h<< represeta a probabilidade P(a) de uma chamada chegar o itervalo de tempo δt. ssim, P P a t h (3) j, k δ / Se o tempo médio de duração de uma chamada é h e o úmero de chamadas em progresso é k, espera-se que o itervalo h termiem em média k chamadas. O úmero médio de chamadas termiadas em δt será por coseguite k δt/h. Com base um raciocíio idêtico ao do caso aterior pode-se escrever que P P b k t h (4) k, j δ / Tedo presete que a probabilidade de existirem j chamadas em progresso o istate t é P(j), etão a probabilidade de trasição de j para k o itervalo de tempo δt é dada por δ / p j k P j P a P j t h (5) Se a probabilidade de haver k chamadas o istate t é P(k), etão a probabilidade de uma trasição do estado k para o estado j durate δt é δ / p k j P k P b P k k t h (6) dmitido-se que existe um estado de equilíbrio estatístico. Segudo esta hipótese, o úmero médio de chamadas em progresso matém-se costate (ou, haverá
aproximadamete tatas chegadas ao sistema como termiações) o que faz com que a probabilidade de abadoar o estado j seja igual à probabilidade de mudaça para ele, o que leva a escrever p( j k ) p ( k j) (7) ou seja k P( j) p k (8) Repetido a equação 8 vezes obtém-se (9) P P( )! hipótese de um tráfego puramete aleatório implica a existêcia de um úmero de fotes muito elevado. ssim, pode-se cosiderar que varia etre zero e ifiito, de modo que a codição de ormalização de probabilidade adquire a forma P () Utilizado-se 9 e obtém-se P e! () equação () mostra que o úmero de chamadas em progresso segue uma distribuição de Poisso, o que é cosequêcia do facto de se admitir que a chegada de chamadas também é descrita por uma estatística de Poisso. Esta estatística requer um úmero de circuitos ifiito para escoar as chamadas. Como o úmero de circuitos é ecessariamete fiito haverá um certo úmero de chamadas que são perdidas (ou atrasadas as redes de pacotes) e a estatística das chamadas em progresso deixa de ser Poissoiaa. a secção seguite ir-se-á aalisar esta questão, cosiderado um sistema com perdas, isto é, um sistema em que as chamadas são perdidas o caso de ão haver circuitos livres. 9. Fórmula de Erlag para sistemas com perdas Para se calcular o úmero de chamadas em progresso para um sistema com um úmero de circuitos fiito vai admitir-se que são válidas as seguites codições: tráfego puramete aleatório; 3
existe equilíbrio estatístico, isto é, o úmero de chamadas origiadas um determiado período (ex. exemplo hora mais carregada) é em média igual ao úmero de chamadas termiadas esse período; acesso completo, ou seja, se as chamadas que chegam são ligadas aos circuitos de saída por comutadores, estes ão itroduzem bloqueio (destaque-se que em grade úmero de casos práticos isto ão é verdade, como se irá ver mais tarde); sistema com perdas, ou seja, as chamadas chegadas que ão ecotram circuitos livres são perdidas. codição do sistema com perdas tem implícito, que qualquer chamada perdida ão ocupa o equipameto durate ehum tempo, e que o úmero máximo da chamadas em progresso ão pode ultrapassar o úmero de circuitos dispoíveis, isto é,. esta situação a equação reescreve-se a forma P () o que, atededo a (9) permite cocluir que: P ( )! (3) Iserido esta equação em (9 deduz-se que P! k k! k (4) Esta equação traduz a primeira distribuição de Erlag e represeta a probabilidade de o cojuto das circuitos cosiderados existirem ocupados ( chamadas em progresso). utilização da fórmula de Erlag vai permitir obter o grau de serviço. Para isso, admitase que o tráfego é oferecido sequecialmete aos diferetes circuitos. ssim, o tráfego é, em primeiro lugar, todo oferecido ao. estas codições, a probabilidade de ocupação deste circuito é dada por p ( ) + (5) Durate a ocupação do circuito o tráfego será desviado para o circuito, que vê oferecido o tráfego perdido pelo circuito, ou seja 4
(6) of p ( ) + p Do tráfego é portato, trasportado pelo circuito ( ) t of P (7) probabilidade de ocupação do circuito, tedo presee que o circuito está ocupado, será: P ( ) / + + / (8) Idêtico raciocíio para o circuito, permite escrever que: P ( + ) p of + /! /! (9) Tedo presete que existem uicamete circuitos, tem-se que o tráfego perdido pelo circuito (que teoricamete é igual ao tráfego oferecido à iexistete troca +) dividido pelo tráfego iicial oferecido ao cojuto dos circuitos dá precisamete o grau, B, de serviço oferecido por estes circuitos, ou seja, p /! B E, /! (3) Esta expressão é cohecida como fórmula de Erlag B, e desempeha um papel relevate a teoria do teletráfego. fórmula de Erlag B pode-se aida simplificar por E,! e (3) expressão idêtica à da distribuição de Poisso, que é, por vezes, cohecida como fórmula de Gristead. Essa simplificação baseou-se a aproximação 5
e i i i! (3) Esta aproximação é válida para /! << Execução Prática Exercício (Duração uma aula) a) Simulação do modelo de tráfego Erlag-B Cosidere um sistema de perda com acesso total a caais e represete a actividade do cojuto de utilizadores que acedem ao sistema através de uma fote que gera chamadas a uma taxa λ (processo de Poisso) e que cada chamada tem uma duração média d m, com distribuição expoecial (modelo Erlag-B). Desevolva um programa de simulação deste sistema, que lhe permita obter: - o estimador da probabilidade de bloqueio B; - o estimador do tráfego médio trasportado por caal t/; - os estimadores das probabilidades de o sistema estar em cada um dos estados possíveis ( a ); - o histograma das durações das chamadas; - o estimador do valor médio da duração das chamadas. b) Simulação do tráfego de chamadas uma estação base GSM Cosidere o caso cocreto de uma estação base de uma rede GSM, à qual é oferecido um tráfego com as seguites características, a hora mais carregada: taxa global de chegada de chamadas λ,5/s; duração média das chamadas d m 5 s. Usado o programa aterior, e por iteração realizada através da etrada de dados pela cosola, dimesioe o úmero míimo de caais que o sistema requer, sem exceder a probabilidade de bloqueio de B%. Compare os resultados obtidos com os valores previstos teoricamete. 6