urso de lingugem mtemátic Professor Rento Tião 1. s dimensões de um prlelepípedo reto-retângulo são m, 4m e 1m. lcule: ) Su áre totl. b) Seu volume. c) Su digonl.. s dimensões x, y, z de um prlelepípedo retângulo estão em progressão ritmétic. Sbendo que som desss medids é igul cm e que áre totl do prlelepípedo é igul 694 cm, clcule: ) rzão d P.. b) s dimensões do prlelepípedo c) O volume do prlelepípedo d) medid d digonl do prlelepípedo. lcule o volume dos seguintes sólidos sbendo que sus rests lteris medem 7m e s rests de sus bses medem 6m: ) Prism tringulr regulr. b) Prism qudrngulr regulr. c) Prism hexgonl regulr. d) Pirâmide tringulr regulr. e) Pirâmide qudrngulr regulr. f) Pirâmide hexgonl regulr. 4. Um pirâmide hexgonl regulr tem rests com medids, em metros, iguis e 7. lcule: ) medid do pótem d su bse b) medid do pótem d pirâmide c) ltur d pirâmide d) áre d bse d pirâmide e) áre lterl d pirâmide f) o volume d pirâmide 5. Um pedço de crtolin retngulr de 60cm por 80cm será recortdo, como mostr figur. Depois do recorte, montmos um sólido fzendo coincidir os pontos 1,, e 4, os pontos 1,, e 4, os pontos 1 e e os pontos D 1 e D. 1 D 1 1 4 1 4 ) Determine áre totl d superfície deste sólido. b) Determine ltur deste sólido. c) Determine o volume deste sólido. D 60cm 6. onsidere um tetredro regulr D de rest m e clcule: ) áre d su superfície totl b) Su ltur c) Seu volume d) distânci entre dus de sus rests oposts 7. onsidere um octedro regulr DEF de rest m e clcule: ) áre d su superfície totl b) Su digonl c) Seu volume d) tngente do ângulo diedro entre sus fces 8. Respond às seguintes pergunts sobre um cilindro circulr reto de ltur 8cm cujo rio d bse mede cm: ) Qul o vlor d áre de su superfície lterl? b) Qunto vle su áre totl? c) Qul seu volume? d) Qunto mede mior distânci entre dois pontos de su superfície? 9. Um recipiente cilíndrico cujo rio d bse é 6 cm contém águ té um cert ltur (fig. 1). Um esfer de ço é colocd no interior do recipiente ficndo totlmente submers (fig. ). Sbendo que ltur d águ subiu 1 cm, clcule medid do rio d esfer. 10. onsidere um lt cilíndric de rio r e ltur h completmente chei de um determindo líquido. Este líquido deve ser distribuído totlmente em copos tmbém cilíndricos, cuj ltur é um qurto d ltur d lt e cujo rio é dois terços do rio d lt. Quntos copos são necessários, no mínimo? 11. onsidere um cone circulr reto de 6m de ltur cujo diâmetro d bse mede 8m e respond às seguintes pergunts: ) Qunto mede gertriz deste cone? b) Qul o vlor d áre de su superfície lterl? c) Qunto vle su áre totl? d) Qul seu volume? 1. lcule cpcidde, em litros, dos sólidos gerdos pels revoluções do triângulo retângulo, cujos ctetos e medem respectivmente 80cm e 60cm, em torno ) do cteto b) do cteto c) d hipotenus d) d ret que pss por e é prlel à hipotenus
urso de lingugem mtemátic Professor Rento Tião 1. Num cilindro circulr reto sbe-se que ltur h, e o rio d bse R são tis que os números π, h e R formm, nest ordem, um progressão ritmétic de som 6π. lcule áre totl deste cilindro. 14. emblgem de cert mrc de btts frits tem o formto de um cilindro circulr reto de ltur 5cm e cujo diâmetro d bse mede 10cm. Sbendo que s bses são de um metl cujo preço de custo é R$1,40 o metro qudrdo e que superfície lterl é feit de um tipo de ppelão que cust R$0,0 o metro qudrdo determine: ) O volume d emblgem. b) áre lterl d emblgem. c) O custo de produção de mil emblgens. (π 7 ) 15. figur seguir present um triângulo eqüilátero de ldo e um semicírculo de diâmetro. onsidere o sólido gerdo pel revolução dest figur em torno do seu eixo de simetri, ou sej, d ret determind pelo vértice do triângulo e pelo ponto médio de su bse. M ) Determine ltur P do sólido. b) Determine áre totl d superfície deste sólido. c) Determine o volume deste sólido. 16. lcule o rio d esfer inscrit em ) um cubo de rest 10cm. b) um tetredro regulr de ltur 8cm. c) um octedro regulr de rest 6 cm. d) um cone circulr reto de ltur 8cm e gertriz 10cm. e) um cilindro eqüilátero de volume 50π cm. f) um pirâmide qudrngulr regulr de pótem 5cm cuj rest d bse mede 6cm. 17. lcule o rio ds esfers circunscrits nos seguintes sólidos cujs medids são dds em centímetros: ) ubo de rest 10. b) Tetredro regulr de ltur 8. c) Octedro regulr de rest 6. d) one circulr reto de ltur 8 e gertriz 10. e) ilindro circulr reto de ltur 8 e rio d bse 6. f) Prlelepípedo reto-retângulo de dimensões 6, 8 e 10. P 18. Um poliedro regulr inscreve-se num cubo de tl form que seus vértices coincidem com os centros ds fces deste cubo. ) Que poliedro e esse? b) Qunts rests possui este poliedro? c) Qul rzão entre s medids ds rests do cubo e deste poliedro inscrito? d) Qul rzão entre áre de um fce do cubo e áre de um ds fces deste poliedro? e) Qul rzão entre s áres totis do cubo e do poliedro? f) Qul rzão entre os volumes do cubo e do poliedro? 19. Dois poliedros de 9 rests são tis que os vértices de um deles coincidem com os centros ds fces do outro. Determine quntos vértices e fces têm cd um deles. 0. lcule o volume e áre d superfície totl dos seguintes sólidos inscritos no cubo rest. ) EFG b) HD c) HGE d) HD e) H f) HF H D 1. Dus esfers E 1 e E de rios r 1 e r respectivmente são tis que um dels circunscreve o mesmo cubo n qul outr está inscrit. Sbendo que r 1 > r, clcule rzão entre s superfícies esférics de E 1 e E, e clcule tmbém rzão entre os seus volumes.. Um cubo está inscrito num semi-esfer de rio 6 de tl form que bse d semi-esfer contenh um ds fces do cubo como mostr figur em perspectiv. Determine medid d rest deste cubo.. lcule o volume do octedro regulr inscrito num cubo de rest 6m, sbendo que os vértices do octedro são os centros ds fces do cubo. 4. lcule o volume do octedro regulr cujos vértices são os pontos médios ds rests de um tetredro regulr de volume 6m. 5. Determine áre ds secções de um esfer determinds por um plno α, perpendiculr o diâmetro que mede 10m, nos csos em que é dividido ) o meio b) n rzão de 1 pr c) n rzão de 1 pr 5 d) n rzão de 1 pr 9 G E F
urso de lingugem mtemátic Professor Rento Tião 6. Um superfície esféric de rio 1 cm é cortd por um plno situdo um distânci de 1 cm do centro d superfície esféric, determinndo um circunferênci. lcule medid do rio dest circunferênci. 7. O prism reto cujs bses são os hexágonos regulres DEF e D E F de ldos medindo 0cm tem ltur =0cm. Deste prism, pedimos: ) Su cpcidde em litros e áre totl de su superfície em metros qudrdos. (Use 1,7) b) medid d su mior digonl. c) áre d secção determind pelo plno D E. 8. Determine s áres ds secções digonis de um prism qudrngulr regulr de ltur d bse mede cm. 7 cm cuj rest 9. Um plno α seccion um cilindro circulr reto de ltur 10cm de form que o ângulo diedro entre o plno α e o plno d bse do cilindro tenh tngente igul 0,5. Sbendo que o rio d bse do cilindro é cm e rest do diedro est 8cm de distânci do centro d bse do cilindro, clcule o volume do mior tronco determindo por est secção. 0. onsidere um cone circulr reto de ltur 8cm cujo rio d bse mede 6cm. Sbendo que um plno prlelo bse deste cone, divide su ltur pl metde, clcule: ) gertriz do cone originl. b) o rio d secção. c) áre d secção. d) áre d superfície lterl do tronco de cone determindo por est secção. e) áre totl deste tronco de cone. f) o volume deste tronco. 1. figur present um cubo de rest em que X, Y e Z são os pontos médios ds rests, GH e F. G Y H D lcule s áres ds secções deste cubo determinds pelos plnos que pssm pelos seguintes pontos ), e G b), D e Y c), F e H d), X e Z e) D, X e Z f) X, Y e Z. Determine o volume e áre d superfície totl de um tronco de cilindro circulr, sbendo que o rio de su bse mede 4cm, su secção meridin é um trpézio retângulo de bses 1cm e 7cm, e que áre de um E F Z X elipse é dd pel expressão πb em que e b são os semieixos d elipse.. onsidere um pirâmide qudrngulr regulr de ltur 6cm e rest d bse mede 16cm. Um plno prlelo bse d pirâmide que divide su ltur pl metde determin um tronco. Deste tronco clcule: ) distânci entre s rests prlels de um fce lterl b) áre de um fce lterl. c) áre totl do tronco d) o volume deste tronco. 4. Um plno α prlelo bse de um cone circulr reto de ltur m, divide-o em dois sólidos. ) Qul será rzão entre os volumes destes dois sólidos se o plno α dividir ltur do cone o meio. b) Qul será rzão entre os volumes destes dois sólidos se secção determind pelo plno α tiver metde d áre d bse do cone. c) que distânci d bse deve estr o plno α pr que ele divid o cone em dois sólidos equivlentes. 5. secção meridin de um cone circulr reto é um triângulo isósceles de bse e ltur. Determine, em função de os vlores do volume e d áre d superfície lterl deste cone. 6. secção meridin de um cilindro circulr reto é um retângulo de áre 4m determine o volume e áre d superfície totl deste cilindro sbendo que rzão entre su ltur e o rio de su bse é 0,75. Testes 1 Fuvest. Sejm π e π s fces de um ângulo diedro de 45º e P um ponto interior esse diedro. Sejm P e P s respectivs projeções ortogonis de P sobre π e π. Então medid, em grus, do ângulo P PP é: P 45º π ) 0 ) 45 ) 60 D) 90 E) 15. Se rest d bse de um prism diminui 10% e ltur ument 0%, o seu volume: ) ument,8%. ) ument 1,5%. ) Diminui 1,5%. D) Diminui,8%. E) Não se lter. P P π
urso de lingugem mtemátic Professor Rento Tião Fuvest. O número de fces tringulres de um pirâmide é 11. Pode-se, então, firmr que est pirâmide possui: ) vértices e rests ) 1 vértices e 11 rests ) vértices e 11 rests D) 11 vértices e rests E) 1 vértices e rests 4. ssinle lterntiv que present o vlor mis próximo, em centímetros qudrdos, d áre totl de um pirâmide qudrngulr regulr em que tods s rests medem 1 cm. ) 1 ) ) D) 4 E) 5 5. cpcidde de um pirâmide de 1 rests tis que seis dels medem 1m e s outrs seis medem m é de: ) 1,5L )15L ) 150L D) 1.500L E) 15.000L 6. Existem dois poliedros distintos com cinco vértices. Se tods s rests de mbos os poliedros têm mesm medid, então rzão entre s áres ds superfícies totis destes dois poliedros é ) 4 + 6 ) 6 + 9 ) 4 + D) + 6 E) + 9 7. Um slme tem form de um cilindro reto com 40 cm de ltur e pes 1 kg. Tentndo servir um freguês que queri meio quilo de slme, João cortou um pedço, obliqumente, de modo que ltur do pedço vri entre cm e 6 cm. O peso do pedço é de: ) 600 g ) 610 g ) 60 g D) 60 g E) 640 g 8. Um pedço de crtolin possui form de um semicírculo de rio 0 cm. om ess crtolin um menino constrói um chpéu cônico e o coloc com bse poid sobre um mes. Qul distânci, em centímetros, do bico do chpéu à mes? )10 ) 10 ) 0 D) 0 E) 10 9 Fuvest. Um metlúrgic fbric brris cilíndricos de dois tipos, e, cujs superfícies lteris são moldds prtir de chps retngulres de ldos e ª, soldndo ldos opostos desss chps, conforme ilustrdo seguir. rril do tipo Se V e V indicm os volumes dos brris do tipo e, respectivmente, tem-se: ) V = V ) V = V ) V = V D) V = 4V E) V = 4V rril do tipo 10 Puc. Um pirâmide qudrngulr regulr é inscrit num cubo de rest. áre totl d pirâmide é igul : ) ) 5 ) ( + 5 ) D) ( 5 +1) E) (5 + 5 ) 11. Qul é medid, em metros, do rio d esfer que tem seu volume em metros cúbicos, numericmente igul áre de su superfície totl em metros qudrdos? ) 1 ) ) D) 4 E) π 1. Um esfer de rio 0 cm é mergulhd num copo cilíndrico de 40 cm de rio, té encostr no fundo, de modo que águ do copo recubr extmente esfer. ntes de esfer ser colocd no copo, ltur d águ, em centímetros, er ) 7,5 ) 0 ),5 D) 5 E) 7,5 1. Sendo D medid do diâmetro d bse de um cone circulr reto e G medid d gertriz deste mesmo cone, podemos firmr que su ltur mede: ) D) 4G 4G D 4 D ) G 4D E) G D ) G 4 D 14 Unesp. Sej r um número rel positivo e P um ponto do espço. O conjunto formdo por todos os pontos do espço, que estão um distânci de P menor ou igul r, é: ) um segmento de ret medindo r e tendo P como ponto médio ) um cone cuj bse é um círculo de centro P e rio r ) um cilindro cuj bse é um círculo de centro P e rio r D) um esfer de centro P e rio r E) um círculo de centro P e rio r 15 Fuvest. Num cix em form de prlelepípedo reto-retângulo, de dimensões 6cm, 17cm e 8cm, que deve ser tmpd, coloc-se mior esfer que nel couber. O número máximo de esfers iguis ess que cbem junts n cix é ) 1 ) ) 4 D) 6 E) 8 16. Um cubo de volume unitário está inscrito num pirâmide qudrngulr regulr de form que os vértices de um ds bses do cubo coincidm com os pontos médios ds rests lteris d pirâmide e os vértices d outr bse do cubo estejm sobre s digonis d bse d pirâmide. O volume dest pirâmide é ) 4 ) 4 ) 8 D) 8 E) 16
urso de lingugem mtemátic Professor Rento Tião 17 Um lrnj pode ser considerd um esfer de rio R, compost por 1 gomos extmente iguis. superfície totl de cd gomo mede: ) πr ) πr ) 4πR D) 4 πr E) 4 πr 19. Um cone circulr reto de ltur cm está inscrito num esfer de rio 5cm. áre d superfície lterl deste cone, em centímetros qudrdos, é ) 64π ) 600π ) 578π D) 480π E) 960π 18 UERJ. Três bols de tênis, idêntics, de diâmetro igul 6cm, encontrm-se dentro de um emblgem cilíndric, com tmp. s bols tngencim superfície intern d emblgem nos pontos de contto, como mostr figur. frção do volume d emblgem ocupdo pels bols é ) ) 5 6 ) 4 D) 1 E) 5 8 0 Fuvest. Um cone circulr reto está inscrito em um prlelepípedo reto-retângulo, de bse qudrd, como mostr figur. g rzão b/ entre s dimensões do prlelepípedo é / e o volume do cone é π. Então, o comprimento d gertriz do cone é ) 5 ) 6 ) 7 D) 10 E) 11 1. O formto d intersecção entre um plno e um cubo não pode ser: ) Tringulr ) Qudrdo ) Pentgonl D) Hexgonl E) Octogonl. ssinle lterntiv corret: ) medid digonl de um cubo coincide com medid do diâmetro d esfer nele inscrit. ) mior distânci entre dois pontos d superfície de um cilindro circulr reto coincide com um diâmetro de su esfer circunscrit. ) medid d rest de um cubo inscrito num esfer coincide com medid do rio dest esfer. D) medid d rest de um cubo inscrito num esfer coincide com medid do diâmetro dest esfer. E) O prism que possui seis fces tem como bse um hexágono regulr. b Fuvest. Os segmentos V, V e V são rests de um cubo. Um plno α, prlelo o plno, divide esse cubo em dus prtes iguis. intersecção do plno α com o cubo é um: ) triângulo ) qudrdo ) retângulo D) pentágono E) hexágono 4. Um pirâmide tem ltur H. que distânci do vértice deve-se pssr um plno prlelo à bse, pr dividi-l em dus prtes de mesmo volume? H H ) ) ) H D) H H E) 5. Um triedro tri-retângulo é secciondo por um plno determinndo um triângulo isósceles de ldos 5cm, 5cm e 4 cm. ssinle lterntiv que present o volume do tetredro determindo por est secção é ) 9 cm ) 8 cm ) 7 cm D) 6 cm E) 5 cm 6 Unesp. s rests de o prism tringulr reto mostrdo n figur têm, tods, mesm medid. Seccionse o prism por meio de um plno pelos vértices R e Q e por um ponto M d rest. R M Pr que o tetredro MQR tenh volume igul 1 do volume do outro sólido em que se dividiu o prism, deve-se ter M igul : ) 4 ) ) 5 D) 1 E) 1 6 7. Um plno α que contém o eixo de um cilindro circulr reto divide-o em dus peçs sólids congruentes entre si. Se este cilindro tem 10cm de ltur e su bse tem 14cm de diâmetro, lterntiv mis próxim do vlor d superfície totl de um ds peçs, em centímetros qudrdos, é: ) 100 ) 00 ) 00 D) 400 E) 500 8. Derretermos um peç de chumbo no formto de um cilindro eqüilátero e usmos o chumbo derretido pr fundir um outr peç: um cone com mesm bse e mesm ltur do cilindro originl. Supondo que não hj desperdício de mteril, se quisermos usr o chumbo restnte pr fundir esfers com metde do rio do cilindro originl, teremos chumbo suficiente pr extmente ) 8 esfers ) 6 esfers ) 4 esfers D) esfers E) 1 esfer P Q
urso de lingugem mtemátic Professor Rento Tião 9. áre lterl de um cone circulr reto é igul o triplo d áre de su bse. Se executrmos plnificção de su superfície lterl, obteremos um setor circulr cujo ângulo centrl mede ) 90º ) 100º ) 110º D) 10º E) 10º 0. Qunto mede, em metros, o rio d esfer que circunscreve um cone eqüilátero de ltur m? ) 1m ) m ) m D) 4m E) 5m IV Gbrito 1. ) 19 m b) 144 m c) 1 m. ) 4m b) 7m, 11m e 15m c) 694 m d) 95 m. ) 6 m b) 5 m c) 78 m d) 111 m e) 1 1 m f) 18 9 m 4. ) m b) 5 m c) 4 m d) 18 m e) 0 m f) 4 m 5. ) 4.000 cm b) 40 cm c) 16.000 cm 6. ) 1 m b) m c) 6 m d) 6 m 7. ) 8 m b) m c) 8 m d) 8. ) 48π cm b) 66π cm c) 7π cm d) 10 cm 9. cm 10. 11. ) 5m b) 40π m 1. ) 96πL b) 18πL c) 76,8πL d) 15,6πL 1. 1π 14. ) 875π cm b) 50π cm c) R$44,00 15. ) 1+ b) 4π c) + π 16. ) 5cm b) cm c) cm d) cm e) 5cm f) 1,5 cm c) 56π m d) π m 17. ) 5 cm b) 6cm c) cm d) 15 4 cm e) 5cm f) 5 cm 8 18. ) octedro b) 1 c) d) e) f) 6 19. Um deles possui 6 vértices e 5 fces e o outro possui 5 vértices e 6 fces. 0. ) e ( + ) b) e ( + ) c) d) 6 e + e) 6 e 1+ + f) e + + 6 e 1. e. 6. 6m 4. m 5. ) 1,14L e 5.676cm b) 50cm c) 00 1 cm 6. 5cm 7. ) 5π m b) 7,5π m c) 16π m d) 9π m 8. 7 cm e cm 9. 16π cm 0. ) 5 cm b) cm c) 9π cm d) 45π cm e) 90π cm f) 5π cm 1. ) 4 cm b) 5 cm c) cm d) 1,5 cm e) 4,5 cm f) cm. 64π m e 90π m. ) 5 cm b) 60 cm c) 50 cm d) 448 cm 4. ) 1 7 b) 4 c) ( π π 5 4 ) 5. e 1 4 1. E. D. E 4. 5. D 6. 7. 8. E 9. 10. D 11. 1. E 1. 14. D 15. D 16. 17. D 18. E 19. 0. E 1. E.. E 4. 5. 6. 7. E 8. 9. D 0. 6. 48π cm e 58π cm