Universidade do Esado do Rio de Janeiro Insiuo de Maemáica e Esaísica Economeria Variável dummy Regressão linear por pares Tese de hipóeses simulâneas sobre coeficienes de regressão Tese de Chow professorjfmp@homail.com
Variável dummy Variável explicaiva (X) que assume apenas dois valores: 0 e 1 (variável indicadora). Indica a presença (1) ou ausência (0) de um aribuo. Finalidade: Permiir a inserção de variáveis qualiaivas em um modelo de regressão, por exemplo, esado civil e sexo. Por exemplo, considere um modelo de regressão linear em que o rendimeno anual do rabalho (Y) é explicado por variáveis que caracerizam o perfil do rabalhador: escolaridade (anos de esudo), idade e sexo. rendimeno anual (Y i ) = 0 + 1 escolaridade i + idade i + 3 sexo i + i A variável sexo é qualiaiva com duas caegorias: feminino e masculino. Para inserir a variável sexo no modelo devemos criar uma variável dummy que aribui os valores 0 e 1: Sexo i = 1 se o sexo do rabalhador i é masculino Sexo i = 0 se o sexo do rabalhador i é feminino A inversão na aribuição dos valores 0 e 1 aos sexos não muda as conclusões obidas a parir do modelo.
Variável dummy Se a variável qualiaiva em K caegorias, enão devemos incluir K-1 variáveis dummies no modelo. Exemplo: Uma forma usual de mensurar o nível de escolaridade consise em pedir ao enrevisado que marque uma das opções abaixo: Analfabeo Ensino básico incompleo Ensino básico compleo Ensino fundamenal compleo Ensino fundamenal incompleo Ensino Superior compleo Ensino Superior incompleo Esa variável qualiaiva em see caegorias (K=7), logo K-1=6 variáveis dummies devem ser incluídas no lado direio do modelo de regressão, por exemplo: Caegorias Variáveis dummies Dummy(1) Dummy() Dummy(3) Dummy(4) Dummy(5) Dummy(6) Analfabeo 0 0 0 0 0 0 Ensino básico incompleo 1 0 0 0 0 0 Ensino básico compleo 0 1 0 0 0 0 Ensino fundamenal incompleo 0 0 1 0 0 0 Ensino fundamenal compleo 0 0 0 1 0 0 Ensino superior incompleo 0 0 0 0 1 0 Ensino superior compleo 0 0 0 0 0 1 Para um rabalhador analfabeo odas as variáveis dummies são iguais a 0. Para um rabalhador com nível superior compleo, apenas a variável dummy 6 assume valor igual a 1
Variável dummy Modelo de regressão linear múlipla com as variáveis dummies rendimeno anual i = 0 + 6 j1 Dummy j Escolaridade j i + idade i + 3 dummy i + i Dummy = 1 se rabalhador i é masculino Dummy = 0 se rabalhador i é feminino
Variável dummy Três formas de inserção das variáveis dummies em um modelo de regressão linear: Forma adiiva Forma muliplicaiva Forma misa
Variável dummy Forma adiiva A variável dummy alera o ermo consane (inercepo) do modelo de regressão linear. Y i X 0 1 i D i i Y = salário do indivíduo i X = anos de esudo do indivíduo i D = variável dummy: 1 para indivíduo do sexo masculino 0 para indivíduo do sexo feminino Por hipóese E i 0 logo: Y i 0 X i E 1 E 0 1 Y i X i Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo masculino (D =1) Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo feminino (D =0)
Variável dummy Forma adiiva Salário Y Rea de regressão para os homens E 1 Y i 0 X i 0 Rea de regressão para as mulheres E Y i 0 1X i Os ponos são as observações mulheres homens 0 Escolaridade X é o diferencial enre os salários médios de homens e mulheres O modelo adiivo admie que ese diferencial é consane e independe do nível de escolaridade do rabalhador. Esa hipóese parece pouco plausível para ese problema.
Variável dummy Forma muliplicaiva A variável dummy alera o coeficiene de uma variável explicaiva do modelo de regressão linear. Y i X 0 1 i Por hipóese D i X Y i 0 1 X i E E i 0 E 0 1 Y i X i logo: i Ineração enre escolaridade e sexo i Y = salário do indivíduo i X = anos de esudo do indivíduo i D = variável dummy: 1 para indivíduo do sexo masculino 0 para indivíduo do sexo feminino Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo masculino (D =1) Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo feminino (D =0)
Variável dummy Forma muliplicaiva O efeio de cada ano de esudo adicional sobre o salário médio depende do sexo do indivíduo (EFEITO DE INTERAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS EXPLICATIVAS) Salário Y Rea de regressão para os homens E Y i 0 1 X i 0 Rea de regressão para as mulheres E Y i 0 1X i Os ponos são as observações mulheres homens 0 Escolaridade X Para as mulheres cada ano de esudo adicional acrescena 1 $ ao salário médio. Para os homens cada ano de esudo adicional acrescena 1 + $ ao salário médio.
Variável dummy Forma misa A variável dummy alera o inercepo e o coeficiene de uma variável explicaiva do modelo de regressão linear. Y i 0 1X i Di 3Di X i i Y = salário do indivíduo i Por hipóese E i 0 logo: X = anos de esudo do indivíduo i D = variável dummy: 1 para indivíduo do sexo masculino 0 para indivíduo do sexo feminino Y i 0 1 X i E 3 Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo masculino (D =1) E 0 1 Y i X i Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo feminino (D =0)
Variável dummy Forma misa Salário Y Rea de regressão para os homens E 3 Y i 0 1 X i Rea de regressão para as mulheres E Y i 0 1X i 0 Os ponos são as observações mulheres homens 0 Escolaridade X
Variável dummy em séries de empo Indicador de períodos com racionameno e sem racionameno de energia: uma dummy que assume valor 0 para o período anerior e o valor 1 para o período poserior. Também permie disinguir o comporameno de um fenômeno em períodos de empo com caracerísicas diversas, por exemplo: Sazonalidade: para dados mensais usamos 11 dummies, enquano para dados rimesrais usamos 3 dummies. Por exemplo, para represenar as quaro esações do ano podemos usar rês variáveis dummies. Noe que no verão odas as dummies valem zero (caegoria de referência). Esações Variáveis dummies Dummy(1) Dummy() Dummy(3) Verão 0 0 0 Ouono 1 0 0 Inverno 0 1 0 Primavera 0 0 1 Períodos anerior e poserior a uma medida econômica: uma dummy que assume valor 0 para o período anerior e o valor 1 para o período poserior.
Exemplo 1 (Maos, 1997) A redução de consumo provocada pelo horário de verão em efeio significaivo no consumo anual de energia elérica? Para responder esa perguna vamos esimar o seguine modelo de regressão linear múlipla a parir de dados anuais do Sisema Elérico Brasileiro: Q 0 1T P 3 D u Q = demanda de energia elérica no ano T = arifa média no ano P = PIB no ano D = variável dummy: 0 se ano não em horário de verão 1 se ano em horário de verão Com base na eoria econômica esperamos que as esimaivas dos coeficienes de regressão perençam aos seguines inervalos: 1 0 0 3 0
Exemplo 1 (Maos, 1997) As séries de demanda (Q), arifa média (T) e PIB (P) esão expressas em índices (ano base = 1986). O horário de verão foi inroduzido em 1985. Y 69 76 81 90 94 X 100 103 108 113 115 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 143 134 117 111 109 100 137 1 85 90 84 85 8 86 93 100 104 104 107 10 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Esimador de mínimos quadrados ˆ T 1 T X X X Y ˆ 5,7319 ˆ 0,645 1 ˆ ˆ 0 3 1,660 0,5958
Saída do Excel Exemplo 1 (Maos, 1997) P-valor > 5% Tese não rejeia a hipóese nula 3 =0 Inervalo de confiança coném o zero, logo não rejeiamos a hipóese 3 =0 Qˆ 5,73 0,6T 1,7P 0, 60D Apesar da pequena amosra, os sinais dos coeficienes de regressão esão de acordo com o esperado. O coeficiene da variável dummy não é esaisicamene significaivo, logo pode-se inferir que a economia de energia promovida pelo horário de verão não significaiva em relação ao consumo anual.
Vendas ($) Exemplo (Ragsdale, 004) Previsão de vendas rimesrais com modelo de regressão linear 3000 500 A série hisórica das vendas apresena endência e sazonalidade 000 1500 1000 500 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 rimesres
Exemplo (Ragsdale, 004) Modelo de regressão linear a ser ajusado Vendas 0 1 3D1 4D 5D3 u = conador de rimesres endência sazonalidade No hisórico vai de 1 aé 0 4 rimesres, logo a sazonalidade é represenada por 3 dummies D D D 1 3 1 0 1 0 1 0 Se primeiro rimesre Se não é primeiro rimesre Se segundo rimesre Se não é segundo rimesre Se erceiro rimesre Se não é erceiro rimesre
Exemplo (Ragsdale, 004) Vendas 0 1 3D1 4D 5D3 u Vendas esperadas E E E Vendas 0 1 3 Vendas 0 1 4 Vendas 1 5 0 Vendas E 0 1 primeiro rimesre segundo rimesre erceiro rimesre quaro rimesre
Exemplo (Ragsdale, 004) Hisórico Objeivo: com base no hisórico 1998 00 gerar previsões rimesrais para 003
RESUMO DOS RESULTADOS Esaísica de regressão R múliplo 0,99741 R-Quadrado 0,985534 R-quadrado ajusad 0,980368 Erro padrão 8,1965 Observações 0 Exemplo (Ragsdale, 004) Valores menores que o nível de significância usual 5%, logo aceio as hipóese nulas 1 =0 e 3 =0 R Menor que os nívei de significância usual 5%, logo rejeio a hipóese nula 1 = = 3 = 4 = 5 = 0 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 5 6443613,818 18873 190,768,3157E-1 Resíduo 14 94578,83513 6755,631 Toal 19 653819,653 Coeficienes Erro padrão Sa valor-p 95% inferiores 95% superiores Inerseção 84,477 71,38844455 11,54911 1,53E-08 671,359597 977,5858361 Period 17,31886 13,43309658 1,8968 0,18-11,499666 46,13000806 Time^ 3,485476 0,60679918 5,615577 6,37E-05,15448511 4,8167093 1-86,805 5,88906781-1,6417 0,13007-00,408838 6,63085515-44,737 5,4044365-8,1058 1,18E-06-537,189039-31,3445769 3-13,453 5,09941535 -,36957 0,03719-35,195588-11,7111443 Vendas 84,47 17,31 3,46 86,81D1 44,74D 13,45D3
vendas Exemplo (Ragsdale, 004) 3000 500 000 1500 1000 previso observado 500 0 0 5 10 15 0 5 rimesres
Exemplo (Ragsdale, 004) Previsão de vendas para o rimesre Vendas 84,47 17,31 3,46 86,81D1 44,74D 13,45D3 Previsão de vendas para o primeiro rimesre de 003 (=1) Vendas 1 84,47 17,311 3,461 86,81 57,03 Previsão de vendas para o segundo rimesre de 003 (=) Vendas 84,47 17,31 3,46 44,74 455,19 Previsão de vendas para o erceiro rimesre de 003 (=3) Vendas 3 84,47 17,313 3,463 13,45 99,49 Previsão de vendas para o quaro rimesre de 003 (=4) Vendas 4 84,47 17,314 3,464 3109,4
Regressão linear por pares piece-wise regression
Regressão linear por pares (piecewise regression) Uso de efeios de ineração com variáveis dummy Exemplo: No esado do Amazonas, o consumo de energia elérica na classe residencial (MWh) guarda uma associação com o PIB do seor comercial (R$ milhões) Correlação = 0,9548
Regressão linear por pares (piecewise regression) Na modelagem da demanda por energia elérica é basane comum o uso da seguine especificação: Elasicidade E PIB 1e 0 Erro Consumo de energia elérica da classe residencial PIB do seor comercial Transformação logarímica Equação de regressão linear ln E ln ln PIB 0 1
Dados Regressão linear por pares (piecewise regression) Esimação por MQO ln Eˆ 1,811,4ln PIB R = 0,89 Noe que há uma esruura nos resíduos.
Regressão linear por pares (piecewise regression) O gráfico do Ln E conra Ln PIB sugere uma mudança de endência. A mudança de endência foi provocada por uma modificação na meodologia do cálculo do PIB em 00. Rea de regressão ln Eˆ 1,811,4ln PIB 00
Regressão linear por pares (piecewise regression) Por meio da regressão linear por pares pode-se ajusar um modelo que considere a mudança de endência, mas sem desconinuidade em 00. Especificação com adição de um ermo de ineração (piecewise). ermo de ineração enre Ln PIB e uma dummy ln E ln PIB PIB D ln 0 1 ln PIB ln 00 D é uma variável dummy D = 1 para 00 D = 0 para 001 Observe que com uma única equação de regressão podemos ajusar equações diferenes para os períodos anerior e poserior ao ano de 00. No ano de 00 as duas equações fornecem o mesmo valor esperado da variável dependene. ln E ln 0 1 ln PIB Para 001 ln PIB 0 ln 00 1 ln ln E PIB Para 00
Dados Regressão linear por pares (piecewise regression) ln Eˆ 6,98,ln PIB 1,47ln PIB ln PIB00D Esimação por MQO R = 0,9839 R ajusado = 0,981
Regressão linear por pares (piecewise regression) ln Eˆ 6,98,ln PIB 1,47ln PIB ln PIB00D ln Eˆ 6,44 0,75ln PIB ln Eˆ 6,98,ln PIB
Tese de hipóeses simulâneas sobre coeficienes de regressão
Tese de hipóeses simulâneas sobre coeficienes Considere o modelo de regressão linear múlipla Y i = 0 + 1 X i,1 +...+ m X i,m + m+1 X i,m+1 +... + k X i,k + i Esamos ineressados em avaliar a significância esaísica de um subconjuno dos coeficienes de regressão. Por exemplo, avaliar a significância dos m primeiros coeficienes simulâneamene. Para ese fim, vamos esar a hipóese nula de que nennhum dos m componenes sejam significaivos, conra a hipóese alernaiva de que pelo menos um deles seja: H 0 : 1 =... = m =0 Y i = 0 + m+1 X i,m+1 +...+ k X i,k i Modelo resrio H 1 : 1 0 ou... ou m 0 Esaísica ese sob H0 SQE SQE J SQEIrresrio n k 1 Resrio Rejeia H 0 se F calculado >F críico Irresrio ~ F J, n k 1 Y i = 0 + 1 X i,1 +...+ k X i,k + i Modelo irresrio SQE Resrio = Soma dos quadrados dos resíduos do modelo resrio SQE Irresrio = Soma dos quadrados dos resíduos do modelo irresrio n = número de observações K = número de variáveis explicaivas J = número de resrições em H0 (nese caso, J=m)
Exemplo 3 ( Oliveira e al, 1997) Exemplo: Uma análise das imporações poruguesas, para o período 1981 a 1999, forneceu o seguine conjuno de resulados, esimados a parir de observações rimesrais: ln(imp ) = 4,9 + 0,0491 (R = 0,9814) ln(imp ) = 4,9 + 0,0487-0,365D + 0,01D. (R = 0,9869) onde é um conador de rimesres. IMP é o oal de imporações no rimesre. D é uma variável dummy que vale 1 para observações após a enrada de Porugal na CEE, em 1986, e 0 caso conrário. Tese a hipóese que as imporações após a enrada de Porugal na CEE iveram comporameno semelhane ao período anes da adesão.
Exemplo 3 ( Oliveira e al, 1997) Exemplo: Uma análise das imporações poruguesas, para o período 1981 a 1999, forneceu o seguine conjuno de resulados, esimados a parir de observações rimesrais: ln(imp ) = 4,9 + 0,0491 (R = 0,9814) 0 1 Variáveis associadas com a enrada de Porugal no CEE ln(imp ) = 4,9 + 0,0487-0,365D + 0,01D. (R = 0,9869) 0 1 3 Tese a hipóese que as imporações após a enrada de Porugal na CEE iveram comporameno semelhane ao período anes da adesão. H 0 : = 3 = 0 (modelo resrio) Esaísica ese sob H0 H 1 : 0 ou 3 0 (modelo irresrio) SQE SQE J SQEIrresrio n k 1 Resrio Irresrio ~ F J, n k 1
Exemplo 3 ( Oliveira e al, 1997) Exemplo: SQE SQE J SQEIrresrio n k 1 Resrio Irresrio R J, n k 1 SQR SQT Subsiuindo SQE por (1-R )SQT em-se que ~ F SQT SQE SQT R No lugar das somas dos quadrados dos resíduos (SQE) foram fornecidos os coeficienes de deerminação (R ) Irresrio R n R J Irresrio SQE 1 SQE 1 R SQT Resrio k 1 ~ F J, n k 1 variação oal da variável dependene Y SQT Parcela não explicada da variação oal da variável dependene Y
Conclusão: não rejeiamos H0 Exemplo: Exemplo 3 ( Oliveira e al, 1997) Uma análise das imporações poruguesas, para o período 1981 a 1999, forneceu o seguine conjuno de resulados, esimados a parir de observações rimesrais: n = 19 x 4 = 76 rimesres ln(imp ) = 4,9 + 0,0491 modelo resrio (R resrio = 0,9814) ln(imp ) = 4,9 + 0,0487-0,365D + 0,01D. (R irresrio = 0,9869) R Irresrio R n R J Irresrio Resrio k 1 76 3 1 F calculado = 0,0175 0,9869 0,9814 0,9814 0,0175 F críico = INVF(0.05;;7) no Excel = 3,1 qf(0.95,,7) no R
Tese de Chow ese de mudança esruural
Tese de Chow Tese de quebra esruural (Gregory Chow, 1960) Tesa a igualdade dos coeficienes de duas equações de regressão. Úil na avaliação de quebra esruural. Permie deerminar se as variáveis independenes êm impacos disinos em diferenes subrupos da população. Considere o modelo de regressão linear: Y i = 0 + 1 X i,1 +... + k X i,k + i Se os dados são divididos em dois grupos, podemos er duas esimaivas para o mesmo modelo: Y i = 0,1 + 1,1 X i,1 +... + k,1 X i,k + i Y i = 0, + 1, X i,1 +... + k, X i,k + i Modelo a ser esimado com n 1 obs. do grupo 1 Modelo a ser esimado com n obs. do grupo O ese de Chow envolve as seguines hipóeses: H 0 : 0,1 = 0,, 1,1 = 1,,..., k,1 = k, H 1 : 0,1 = 0,, 1,1 = 1,,..., k,1 = k,
Tese de Chow H 0 : 0,1 = 0,, 1,1 = 1,,..., k,1 = k, H 1 : 0,1 = 0,, 1,1 = 1,,..., k,1 = k, Esaísica ese SQE resrio SQE Modelo_1 n SQE 1 n Modelo_1 k 1 SQE SQE Modelo_ k 1 Modelo_ SQE resrio é obida na ANOVA do modelo esimado com oda a amosra SQE Modelo_1 é obida na ANOVA do modelo esimado com a amosra do grupo 1 SQE Modelo_ é obida na ANOVA do modelo esimado com a amosra do grupo
Exemplo 4 (OLIVEIRA e al, 1997) Com o objeivo de avaliar o impaco ambienal de diferenes políicas de gesão de Parques Naurais, foi efeuado um esudo, cobrindo os anos de 1960 a 1987, referene ao Parque Naural em Porugal (siuado numa região froneiriça), que enre ouras, produziu a seguine esimação, pelo méodo dos mínimos quadrados: 1960-1987 S Y =54.893,18 Y 1,67 3,74X1 9,61X 1,09 17,30,16 R =0,984 Onde Y = número de espécies animais e vegeais em perigo de exinção, no ano X = número de visianes no parque (em milhares), no ano X 3 = despesa com pessoal especializado na conservação da naureza, a preços de 1980 (em milhões de escudos), no ano. No início de 197, foi abero à circulação de auomóveis em um das froneiras do parque. As seguines equações de regressão foram esimadas: 1960-1971 S Y =143,33 Y 34,9 0,51X 0,51X 1 6,3 0,98 9,9 R =0,344 197-1987 S Y =8.956,48 Y 31,11 3,4X 8,31X 1 9,34 0,07 1,73 R =0,997
A um nível de significância de 5% e face à evidência esaísica disponível em 197, um aumeno do número de visianes não influencia significaivamene o número de espécies em exinção, a afirmação não podia ser refuada. Exemplo 4 (OLIVEIRA e al, 1997) Em 197, durane a polêmica gerada, um auarca defensor da aberura da froneira do parque afirmou que, com base na experiência anerior, o aumeno do número de visianes não iria provocar efeios significaivos ao nível das espécies exisenes no parque. Poder-se-ia refuar, na alura, al afirmação? Para responder, precisamos omar os resulados da regressão esimada com dados período 1960-1971. 0 1 1960-1971 S Y =143,33 Y 34,9 0,51X 0,51X 1 6,3 0,98 9,9 R =0,344 H 0 : 1 =0 ( número de visianes em efeio nulo sobre conservação das espécias ) H 1 : 1 0 ( número de visianes em efeio não nulo sobre conservação das espécias ) Esaísica ese ˆ 1 ~ s ˆ 1 n 3 calculado 0,51 0,051 9,98 críico ao nível alfa de 5% = INVT(0,05;9) =,6 calculado < críico, não rejeiamos a hipóese nula.
Exemplo 4 (OLIVEIRA e al, 1997) O enão direor do parque conrapôs, na alura, que o passado não podia ser validamene uilizado como guia do que se passaria após a aberura da froneira, uma vez que era de recear uma aleração do ipo de visianes, menos preocupados com o ambiene, com repercussões que se alargariam ao impaco de ouras variáveis. Verifique, se o emop veio dar ou não razão ao direor. A argumenação do direor do parque baseia-se na possibilidade de aleração dos impacos ambienais, uma mudança esruural. Enão é apropriado aplicar o ese de Chow e esar a hipóese de permanência da equação de regressão anes e após a aberura da froneira do parque. 0 1 Modelo I 1960-1971 S Y =143,33 Y 34,9 0,51X 0,51X 1 6,3 0,98 9,9 R =0,344 Modelo II 197-1987 S Y =8.956,48 Y 31,11 3,4X 8,31X 1 9,34 0,07 1,73 R =0,997 H 0 : 0,I = 0,II e 1,I = 1,II e,i =,II ( não houve mudança esruural ) H 1 : 0,I 0,II ou 1,I 1,II ou,i,ii ( houve mudança esruural )
Tese de Chow Exemplo 4 (OLIVEIRA e al, 1997) H 0 : 0,I = 0,II e 1,I = 1,II e,i =,II ( não houve mudança esruural ) H 1 : 0,I 0,II ou 1,I 1,II ou,i,ii ( houve mudança esruural ) Esaísica ese SQE resrio SQE Modelo_ I n SQE 1 n Modelo_ I k 1 SQE SQE Modelo_ II k 1 Modelo_ II ~ F k 1, n n 1 ( k 1) k+1 = 3 n 1 = 1 n = 16 No lugar das somas dos quadrados dos resíduos (SQE) foram fornecidos os coeficienes de deerminação (R ) e S Y
Tese de Chow Exemplo 4 (OLIVEIRA e al, 1997) H 0 : 0,I = 0,II e 1,I = 1,II e,i =,II ( não houve mudança esruural ) H 1 : 0,I 0,II ou 1,I 1,II ou,i,ii ( houve mudança esruural ) Esaísica ese SQE resrio SQE SQE Modelo_ I Modelo_ I 3 SQE SQE Modelo_ II Modelo_ II R SQT SQE SQR SQT n i1 SQT SQE SQT Y Y SQT n S i R n 1S 1 Y SQE 1 SQE 1 R SQT 1 Y SQT
Exemplo 4 (OLIVEIRA e al, 1997) Tese de Chow H 0 : 0,I = 0,II e 1,I = 1,II e,i =,II ( não houve mudança esruural ) H 1 : 0,I 0,II ou 1,I 1,II ou,i,ii ( houve mudança esruural ) SQE SQE SQE resrio Modelo_ I Modelo_ II 1 0,9848 154.89,175 3686, 1 0,3441 1143,33 1.034,7 1 0,99716 18.956,48 1.303, 04 F calculado 3.686, 1.034,7 1.303,04 3 1.034,7 1.303,04 66,98 F calculado = 66,98 F críico = INVF(0,05;3;) = 3,04 F calculado > F críico, logo rejeiamos H 0 A evidência esaísica disponível poseriormene (aé 1987) veio dar razão aos argumenos apresenados em 197, pelo direor do parque
Referências Bibliográficas Maos, O.C. Economeria básica: eoria e aplicações. Ediora Alas, São Paulo, 1997. Oliveira, M.M., Aguiar, A., Carvalho, A., Mendes, V., Porugal, P. Economeria: Exercícios, Ediora McGraw Hill de Porugal, Alfragide, 1997. Ragsdale, C.T. Spreadshee Modeling & Decision Analysis: A pracical inroducion o managemen science, 4e, Thompson, 004.