9. TRIGONOMETRIA 9.1. MEDIDAS DE ÂNGULOS O gru é um medid de ângulo. Um gru, notdo por 1 o, equivle 1/180 de um ângulo rso ou 1/360 de um ângulo correspondente um volt complet em torno de um eixo. Outr medid de ângulo é o rdino. Um rdino, denotdo por 1 rd, equivlente o ângulo centrl qundo o comprimento de rco equivle o rio d circunferênci em questão (vej figur bixo). (fonte d imgem: http://www.sofisic.com.br/conteudos/dicionrio/figurs/rdino.jpg) Há um equivlênci entre gru e rdino: π rdinos equivlem 180 grus (π é um constnte numéric equivlente 3,14159...). 9.2. TRIÂNGULOS RETÂNGULOS E O TEOREMA DE PITÁGORAS Um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto, isto é, possui 90 grus. Os ldos menores de um triângulo retângulo são chmdos ctetos, e o ldo menor é chmdo hipotenus (ver figur logo bixo). A relção entre ctetos e hipotenus é dd pelo Teorem de Pitágors: o qudrdo do vlor d hipotenus equivle à som dos qudrdos dos vlores dos ctetos. Isto é, se é o vlor d hipotenus e b e c são os vlores dos ctetos de um triângulo retângulo, então 2 = b 2 + c 2 (Teorem de Pitágors) Not: som dos ângulos internos de qulquer triângulo é 180 grus. Exercício resolvido: Se um cteto de um triângulo retângulo tem comprimento 7 e hipotenus tem comprimento 11, qul é o vlor do outro cteto?
Resolução: Se x é o cteto desconhecido, temos, pelo Teorem de Pitágors: 11 2 = 7 2 + x 2 Segue que x 2 = 11 2 7 2 = 121 49 = 72 Logo, x = 72 = 6 2 8,5 9.3. MEDIDAS TRIGONOMÉTRICAS As principis medids trigonométrics ssocids um ângulo são definids prtir do triângulo retângulo, como n figur bixo. (fonte d imgem: http://cbelovivolinux.files.wordpress.com/2009/08/fig_tri-6.jpg?w=284&h=353 )
Exercício resolvido: Um triângulo retângulo com hipotenus de comprimento 8 possui um ângulo interno de 30 o. Sbendo que sen 30 o = ½, determine: ) o vlor dos ctetos dos triângulos b) o vlor de cos 30 o e tg 30 o. Resolução: ) Se chmrmos b o cteto oposto o ângulo de 30 o, pel definição de seno temos que sen 30 o = (cteto oposto 30 o ) / (hipotenus) = b / 8 Como sen 30 o = ½, logo b/8 = ½. Segue que b = 8/2 = 4. Se chmrmos c o cteto djcente 30 o, pelo Teorem de Pitágors temos 8 2 = 4 2 + c 2 Logo c 2 = 8 2 4 2 = 64 16 = 48. Segue que c = 48 = 2 12. Not: 48 = 4.12 = 4 12 = 2 12 b) Por definição, temos cos 30 o = (cteto djcente 30 o ) / (hipotenus) = c / 8 = 2 12 8 = 12 4 e tg 30 o = (cteto oposto 30 o ) / (cteto djcente 30) = b / c = 4 2 12 = 12 6 Not: 4 2 12 = 2 12 = 2 12. 12 12 = 2 12 12 = 12 6 9.4. LEI DOS SENOS Considere o triângulo genérico d figur bixo:
(fonte d imgem: http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/prevestibulr/2005-1/mod1/img2068.png) Nest figur,, b e c são ldos, e A, B e C são os ângulos opostos, respectivmente. Pr qulquer triângulo, vlem s relções sen A = b sen B = c senc, conhecids como Lei dos Senos. Decorre d lei que, pr determinr s dimensões de um triângulo é necessário conhecer dois ldos e um ângulo interno ou um ldo e dois ângulos internos. Exercício resolvido: Dois dos ldos de um triângulo têm vlor 3 e 1 e o ângulo oposto este último é de 60 grus. Quis são os vlores do ldo e dos ângulos desconhecidos? Resolv empregndo Lei dos Senos. Resolução: Vmos dotr = 1 e b = 3. Segue do enuncido que o ângulo oposto b é B = 60 o. Pel lei dos senos, temos sen A = b sen B Sbendo que sen60 0 = 3/2, isolmos sen A e obtemos sen A = b sen B = 1 3 sen60o = 1 3 3 2 = 1 2 Ocorre que o ângulo cujo seno dá 1/2 é 30 grus. Logo, temos A = 30 o. Como som dos ângulos internos de um triângulos qulquer é sempre 180 o, isto é, A + B + C = 180 o, então temos que C = 180 o A B = 180 o 30 o 60 o = 90 o Aplicndo novmente lei dos senos, determinmos o ldo incógnito: sen A = c senc ; sbendo que sen90 0 = 1, decorre que c = sen A senc = sen 30 o sen90o = 1 1/2 1 = 2
Logo, o ldo desconhecido vle 2 e os ângulos desconhecidos são A = 30 o e C = 90 o. Note que se trt de um triângulo retângulo já que um dos ângulos internos é reto (de fto, 2 2 = 1 2 3 2 ). 9.5. LEI DOS COSSENOS Considerndo o mesmo triângulo genérico d figur cim, tmbém vlem s relções 2 = b 2 c 2 2bccos A b 2 = 2 c 2 2 c cos B c 2 = 2 b 2 2bcos C, conhecids como Lei dos Cossenos. Note que o ângulo que serve de rgumento o cosseno é sempre quele oposto o ldo do triângulo que está à esquerd d iguldde. Exercício resolvido: Considere o mesmo triângulo do exercício resolvido nterior. Determine o ldo e os ângulos desconhecidos empregndo Lei dos Cossenos. Resolução: Aplicndo Lei dos Cossenos nos ldos e ângulo disponíveis temos b 2 = 2 c 2 2c cos B, isto é, 3 2 = 1 2 c 2 2 1 ccos 60 o ; como cos60 0 = 1/2 temos 3 = 1 c 2 2c 1/2, que simplificdo nos dá c 2 c 2 = 0 Isto é um equção de 2o. gru, que pode ser resolvid pel conhecid fórmul de Bskr. Desprezndo solução negtiv pr c nest equção, determinmos c = 2. Pr obter um dos ângulos desconhecidos, por exemplo C, empregmos c 2 = 2 b 2 2 b cos C ;
substituindo os vlores, b e c gor conhecidos, temos 2 2 = 1 2 3 2 2 3cos C ; simplificndo temos 2 3cosC = 0, isto é, cos C = 0, o que ocorre somente pr C = 90 o. Como som dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 o, determin-se o ângulo A fcilmente. Imgens: cesso em gosto de 2010 (primeir e segund) e mio de 2011 (terceir).