MAT54 Matemática na Educação Básica TG7 Uma Intodução ao Cálculo de olumes Gabaito Demonste que o volume de um bloco etangula cujas medidas das aestas são númeos acionais é o poduto das tês dimensões esposta: Seja um bloco etangula como abaixo: Temos que p, q e s Є Q, potanto podem se expessos sob a oma de ações: a p, b c q, d s e Podemos convete p, q e s em ações de mesmo denominado: p a d b d, q c b b d, s e b d b d Agoa podemos dividi as aestas em pates de omando cubinos com este compimento de lado b d ~ ~
Temos que a quantidade de cubinos deste tipo que omam um cubo unitáio é b d Logo se dividimos a quantidade de cubinos deste tipo que temos dento do bloco po b d obtemos o volume do bloco, pois cada b d bloquinos epesentam uma unidade de volume A quantidade Q de cubinos necessáios paa cobi todo o bloco é a multiplicação dos numeadoes das ações: do bloco: ( a d )( c b )( e b d ) b d ( a c e) Q Potanto, se dividimos Q po b d obteemos o volume ( a c e) b d a c e a c e p q s b d b d b d Assim, podemos conclui que o volume do bloco etangula é a multiplicação das suas tês dimensões (p,q,s), quando as suas aestas são númeos acionais 2 Moste que o volume de qualque bloco etangula é o poduto de suas dimensões esposta: Seja o bloco etangula como o abaixo: Com p *, q, s ~ 2 ~
Pelo teoema undamental da popocionalidade: Dado * e o volume do bloco (p, q, s), temos: (p, q, s) (p, q, s) (p, q, s) (p, q, s) (p, q, s) Podemos, então, toma : (p, q, s) (p, q, s) (p, q, s) p(, q, s) p(, q, s) pq(,, s) pq(,, s) pqs(,, ) Mas (,, ) é o volume do cubo unitáio, ou seja, é uma unidade de volume Potanto o volume do bloco etangula é igual a pqs, que é o poduto das dimensões do bloco 6 Demonste que o volume de um pisma qualque é o poduto da áea da base pela altua esposta: Já sabemos que o volume de um bloco etangula é o poduto de suas tês dimensões Então, dado um pisma qualque, podemos constui um pisma etangula de base com mesma áea da base do pisma que queemos sabe o volume Podemos toma uma seção dos dois pismas po um plano paalelo à base e a áea da secção dos pismas seá igual à áea ~ ~
da base Como a seção é a mesma a altua é a mesma, potanto, pelo pincípio de Cavaliei, temos que o volume dos dois pismas é o mesmo Logo, como o volume do pisma etangula é Ab H e o volume, a áea da base e a altua do pisma qualque são iguais as do pisma etangula podemos conclui que o volume do pisma é também Ab H 7 Divida o pisma tiangula em tês piâmides tiangulaes de mesmo volume esposta: Seja um pisma etangula como abaixo: Queemos dividi-lo em tês piâmides de mesmo volume Paa tanto temos que gaanti que duas a duas as piâmides tenam uma mesma base e uma mesma altua, só assim teemos a ceteza de que elas possuem o mesmo volume eja as iguas abaixo: ~ 4 ~
A piâmide A e a piâmide B Possuem uma base e uma altua em comum, que são a mesma base e altua do pisma Potanto possuem o mesmo volume A piâmide B e a piâmide C possuem em comum uma base, que é são os tiângulos omados pela diagonal da ace etangula do pisma A altua em comum é a altua da base elativa ao vétice Potanto, a piâmide B e a piâmide C possuem o mesmo volume Pela tansitividade podemos conclui que as tês piâmides possuem o mesmo volume Com isso dividimos o pisma tiangula em tês piâmides de mesmo volume 8 Demonste que o volume de qualque piâmide é a teça pate do poduto da áea da base pela altua esposta: Dada uma piâmide, podemos constui mais duas piâmides de mesmo volume que a pimeia de oma a constitui um pisma de base tiangula ou quadangula, como vimos no execício 5 do TG6 e no execício anteio O volume do pisma é dado pela multiplicação da áea da base pela altua Como as tês piâmides possuem o mesmo volume podemos dize que o volume de cada piâmide é a teça pate do volume do pisma ~ 5 ~
Moste que o volume de um tonco de cone de altua cujas bases são cículos de aios e é dado po: ( ) esposta: Seja o cone como o abaixo, com tonco de altua : O volume do tonco de cone é o volume do cone maio menos o volume do cone meno: H ( H ) () Poém podemos utiliza as elações que existem ente as medidas do cone paa obte uma expessão da altua maio em unção das outas medidas H H H ( ) H H H H H ~ 6 ~
~ 7 ~ Agoa substituo em (): ( ) ( )( ) ( )