Unidade 3 Função Afim Definição Gráfico da Função Afim Tipos Especiais de Função Afim Valor e zero da Função Afim Gráfico definidos por uma ou mais sentenças
Definição
C ( x) = 10. x + Custo fixo 200 Custo varíavel Esse é um exemplo de função definida por um polinômio do 1º grau que denominada de função afim.
Existem diversas situações do cotidiano que podem ser modeladas por uma função afim. Todas aquelas em que acréscimos iguais na variável independente (x) correspondem a acréscimos iguais na variável dependente (y) podem ser modeladas por meio de uma função afim. Conceito: Denomina-se função afim qualquer função f : R R definida por uma lei de forma y = f(x) = ax + b, em que a e b são números reais.
Na função afim f(x) = ax + b, o número a é o coeficiente da variável x e o número b é o termo independente. f(x) = 2x + 3 a = 2 e b = 3 f(x) = -x + 5 a = -1 e b = 5 f(x) = x a = 1 e b = 0 (chamado de função identidade) f(x) = 4x a = 4 e b = 0 (também chamado de função linear) f(x) = 2 a = 0 e b = 2 (também chamado de função constante)
Gráfico da Função Afim Como construir o gráfico de uma função afim? Vejamos algumas situações sobre a construção do gráfico desse tipo de função.
Situação 1: Acompanhe os procedimentos necessários para construir o gráfico da função f: R R, definida por y = f(x) = x 2. Para construir o gráfico dessa função, inicialmente atribuímos valores à variável independente x e obtemos os correspondentes valores da variável dependente y. Assim, encontramos as coordenadas (x; y).
Com as coordenadas, localizamos os pontos no plano cartesiano e, como domínio é o conjunto dos números reais, os pontos serão ligados convenientemente, formando uma reta.
Situação 2: Vamos construir o gráfico da função afim g: R R, definida por y = g(x) = - x + 3
Em seguida. Localizamos os pontos no plano cartesiano e construímos o gráfico.
Situação 3: Observe o gráfico a seguir. Como obter a expressão matemática da função deste gráfico?
Como o gráfico da função é uma reta, o modelo matemática que permite expressá-la tem forma de uma função afim definida por y = f(x) = ax + b. Pelo gráfico, observamos que a reta passa pelos pontos de coordenadas (0, 3) e (2, -1), ou seja f(0) = 3 e f(2) = - 1, assim: x = 0 y = f(0) = a. 0 + b = 3 b = 3 x = 2 y = f(2) = a. 2 + 3 = -1 2a + 3 = -1 2a = - 4 a = -2 Portanto, a expressão matemática da função é: y = f(x) = ax + b y = f(x) = -2x + 3 Note que o domínio é R e o conjunto-imagem é R.
Tipos de Função Afim Na função afim f: R R, definida por f(x) = ax + b, os coeficientes a e b podem assumir valores de reais quaisquer. Para determinados valores de a e b, teremos tipos especiais da função afim: Função constante; Função linear; Função identidade.
Função constante Se a = 0, a função afim é chamada de função constante. Conceito: Uma função constante é uma função f: R R cuja lei de formação é: y = f(x) = b constante Resolver Para você fazer p. 30
Todas as funções em que, independente do valor de x o valor de y é sempre o mesmo, são funções constantes. O gráfico dessas funções será sempre uma reta paralela ao eixo x, quando x R, coincidindo com o eixo x apenas quando y = 0. Qual é o conjunto-imagem da função f: R R dada por y = f(x) = k? Na função f(x) = k, qualquer que seja o valor de x, tem-se y = k. Logo, o conjunto-imagem da função é unitário e tem apenas o elemento k: Im(f) = {k}
Função Linear Considere um carro viajando a uma velocidade de 90km/h. A tabela a seguir indica deslocamento desse carro a cada hora.
Quando dobramos o tempo decorrido (de 1 para 2), por exemplo, o deslocamento também dobra (de 90 para 180). Logo, as variáveis envolvidas são diretamente proporcionais e, portanto, a razão entre elas é constante. deslocamento tempo = 90 1 = 180 2 = 270 3 = 360 4 =... = 90 constante de proporcionalidade A função que permite relacionar o deslocamento d em função do tempo t é definida por: d = 90 d = 90t t A função d = f(t) = 90t é chamada de função linear e o número 90 é a constante de proporcionalidade entre t e d.
Conceito Denomina-se função linear qualquer função afim f: R R definida por uma lei da forma y = f(x) = ax em que a 0. As funções lineares nada mais são do que funções afins da forma y= f(x) = ax + b em que a 0 e b = 0. O gráfico de uma função linear y = ax, cujo domínio é R, sempre passa pela origem, pois para x = 0 temos y = a. 0 = 0. Logo, o ponto (0; 0) pertence ao gráfico.
Função Identidade A função identidade é um caso particular de função linear y =ax, considerando a = 1. Dessa forma, o gráfico de uma função identidade será formado por pontos cuja abscissa é igual à ordenada, ou seja, o gráfico é a reta que divide ao meio 1º e 3º quadrantes (bissetriz dos quadrantes ímpares). Observe a figura ao lado. Na função identidade, a razão de proporcionalidade entre as variáveis x e y é 1, pois os valores de x e y são sempre iguais.
Conceito: Uma f: R R é chamada função identidade quando sua lei de formação é dada por y = f(x) = x.
Valor e zero da função afim A função L(v) = 5v 3000 relaciona o lucro L em reais que um posto de combustível tem com a venda de v litros de gasolina. Vamos observar o valor do lucro (função) para alguns valores de litros vendidos. v = = = 0 v = 100 v v v = 300 500 700 L ( 0) = L( 100) L( 300) L( 500) L( 700) litros 5.0 3000 = 3000 = 5.100 3000 = 2500 = 5.300 3000 = 1500 = 5.500 3000 = 500 = 5.700 3000 = + 500 vendidos lucro em reais
L Com exceção apenas de v = 700, o posto teve prejuízo nos demais valores de venda de gasolina (lucro negativo). Quantos litros da gasolina o posto deveria vender para não ter lucro nem prejuízo? Para não ter lucro nem prejuízo, o dono do posto deveria vender uma quantidade de gasolina tal que L(v) = 0, ou seja, 3000 5 ( v) = 0 5v 3000 = 0 5v = 3000 v = v = 600
Vendendo exatamente 600 litros de gasolina, o posto não tem lucro nem prejuízo, ou seja, L(600) = 0 Observe, no gráfico a seguir, que o valor v = 600 representa a abscissa do ponto em que o gráfico da função corta o eixo v. O valor v = 600 é chamado de zero da função L = 5v 3000 e é o valor de v para o qual L = 0
Pelo gráfico, observamos que o lucro varia de acordo com o valor de v da seguintes maneira: Para 0 v < 600, temos L(v) = 0; (vendendo entre 0 e 600 L, a prejuízo) Para v = 600, temos L(0); (vendendo 600L, há equilíbrio) Para v > 600, temos L(v) >0. (vendendo mais de 600 L, há lucros positivos)
Conceito: Em geral, para funções afins escritas na forma y = f(x) = ax +b, a 0, o zero da função é x = -b/a. Observe: y = f(x) = 0 ax = - b x = - b a
Gráficos definidos por uma ou mais sentenças No dia a dia, é possível encontrar diversas situações que necessitam de modelos matemáticos para sua interpretação. Nas situações de modelagem de um determinado fenômeno, utiliza-se frequentemente o conceito de função. Imagine que uma loja vende seus produtos com descontos que variam de acordo com o valor da compra feita pelo cliente. As regras são as seguintes:
Para compras abaixo de R$100,00, o desconto é de 5%. Para compras de R$ 100,00 até R$ 200,00, o desconto é de 8%. Para compras acima de R$ 200,00, o desconto é de 10%. Sendo c o valor da compra (em reais) e d o desconto concedido (em %) pela loja, como seria o gráfico dessa função?
Essa função, definida por várias sentenças, pode ser representada da seguinte maneira: 5, se 0 < c < 100 d = f ( c) = 8, se100 c 200 10, se c > 200
Nesse caso, a função foi definida por três funções constante, cada uma para certo intervalo de c. O domínio dessa função é o conjunto formado pelos números reais positivos e a correspondente imagem apenas pelos valores d = 5%, d = 8% e d = 10%. Pode ocorrer também que seja definida por sentenças que caracterizem outro tipo de função afim.
Por exemplo, suponha que certo fenômeno possa ser modelado pela função h, representada a seguir: y = h ( x) x 4, se x < -1 = 2x, se -1 x 3 5, se x > 3 Vamos construir o gráfico da função dessa função h.
À medida que os valores da variável x aumentam, os respectivos valores y podem diminuir, aumentar ou ser constantes. Observe esse fato nas seguintes representações: Para x < -1, os valores de y diminuem. Para -1 x 3, os valores de y aumentam Para x > 3, os valores de y são iguais (constantes). De que maneira podemos representar o domínio e a imagem da função h(x)?