Versão prelmnr 6 de junho de ots de ul de Físc. OMTO, TOQU MOMTO GU... OMTO... O rolmento descrto como um combnção de rotção e trnslção... O rolmento sto como um rotção pur... 3 ener cnétc... 3 TOQU... 3 MOMTO GU... 4 MOMTO GU D UM SSTM D PTÍCUS... 5 MOMTO GU D UM COPO ÍGDO... 6 COSVÇÃO DO MOMTO GU... 7 SOUÇÃO D GUS POMS... 8... 8... 8 7... 9... 9 3... 7... 3... 44... 45... 3 46... 4 49... 5
Prof. omero Tres d Sl. olmento, torque e momento nulr olmento Consdere um ro de ro, rolndo sem deslzr em um superfíce pln horzontl. Qundo ess rod rr de um ânulo θ, o ponto de contto do ro com superfíce horzontl se deslocou um dstânc s, tl que; s θ O centro de mss do ro tmbém deslocou-se d mesm dstânc. Portnto, elocdde de deslocmento do centro de mss do ro tem form: s ds dθ De mner equlente podemos encontrr form d celerção do centro de mss do ro: s d d α O rolmento descrto como um combnção de rotção e trnslção Momento purmente rotconl, todos os pontos d rod moemse com mesm elocdde nulr. Momento purmente trnslconl, todos os pontos d rod moem-se pr dret com mesm elocdde. O momento de rolmento d rod é um combnção dos dos momentos nterormente descrtos. Cp romero@fsc.ufpb.br
Prof. omero Tres d Sl O rolmento sto como um rotção pur O rolmento pode ser entenddo como um rotção pur se obserrmos que cd nstnte o corpo está rndo em torno de um exo nstntâneo, que pss pelo ponto de contto entre esse corpo e superfíce que o suport. sse exo é perpendculr à dreção do momento. elocdde do centro d rod é e elocdde do topo d rod é Topo () xo nstntâneo de rotção ener cnétc Um corpo que rol sem deslzr pode ser sto cd nstnte como rndo em torno de um exo nstntâneo que pss pelo ponto de contto desse corpo com superfíce que o suport, e esse exo é perpendculr à dreção do momento. do corpo. Desse modo, su ener cnétc tem form: K onde é o momento de nérc do corpo em relção o exo mencondo. Obser-se esse momento como consstndo pens de rotção. Ms se lermos em cont o teorem dos exos prlelos: ener terá form: + M K + M Desse modo, obser-se esse momento como consstndo de um composção rotção + trnslção. Torque fur bxo mostr um prtícul loclzd pelo etor posção r, sob ção de um forç F. O torque exercdo por ess forç sobre prtícul é defndo como: τ r F Cp romero@fsc.ufpb.br 3
Prof. omero Tres d Sl Conenção pr smbolzr um etor sndo perpendculr à folh. Conenção pr smbolzr um etor entrndo perpendculr à folh. z y F θ τ r F r y F F r F θ x x Momento nulr O momento nulr de um prtícul de mss m loclzd pelo etor posção r, que tem momento lner p é defndo como: z r p xste um conexão entre o momento nulr de um prtícul e o torque ssocdo à forç resultnte que tu sobre el. Vmos consderr rção do momento nulr no tempo: d d ( r p) dr dp p + r r p r p θ y Ms dr p p m dp F Forç resul tnte Cp romero@fsc.ufpb.br 4
Prof. omero Tres d Sl loo: " r F τ otção Trnslção qulênc r p p τ r F F d dp τ F Momento nulr de um sstem de prtículs Qundo estmos consderndo um sstem de prtículs, o momento nulr totl é ddo por: + + # + De modo equlente à nálse do cso de pens um prtícul, mos clculr rção do momento nulr totl com o tempo: Ms ou sej loo d d d dr dp ( r p ) p + r m + r F d p T F F + F r F T + r F τ τ T T Vmos mostrr que o torque nterno é nulo. s forçs nterns surem os pres como nterção entre os pres de prtículs, ou sej: XT + τ + τ F f T j j XT τ XT XT T + τ XT Cp romero@fsc.ufpb.br 5
Ms ou sej: τ T τ Prof. omero Tres d Sl T r F τ T r fj j ( r fj + r j f j ) Ms usndo-se tercer e de eton, temos que τ T j [ ( r r j ) fj ] j r fj j f j f, loo onde ( r r ) é um etor contdo n ret que une s prtículs e j, e ess ret tmbém contém forç f j. Portnto o produto etorl é nulo pos os dos etores são prlelos, e fnlmente podemos conclur que j τ T Desse modo, concluímos que τ XT e ess equção tem su equlente no momento de trnslção: d P F XT Momento nulr de um corpo rído Pr clculr o momento nulr de um corpo rído que está rndo em torno de um exo ( neste cso exo z ) com elocdde nulr, mos dd-lo em pequenos olumes V cd um com um mss m, que tem momento lner p e estão loclzdos pelo etor posção r. O momento nulr dest pequen mss é: r p r z m θ p r y Obsere-se que o ânulo entre os etores r e p é 9. Desse modo: r p r m x Cp romero@fsc.ufpb.br 6
Prof. omero Tres d Sl Pr clculr componente z do momento nulr, temos que: ou sej: Ms z senθ (r senθ) m r m r ( r ) m z m r z z m r m m r r dm m onde r é componente do etor posção d mss m perpendculr o exo de rotção, ou sej é dstânc d mss m o exo de rotção, e portnto temos noss defnção ornl de momento de nérc. Desse modo: onde omtmos o índce z do momento nulr pos remos trtr pens de stuções onde o momento nulr de um corpo rído será prlelo o exo de rotção (nlsremos pens stuções onde o momento de nérc é um rndez esclr). stremos nteressdos em stuções onde e nd: τ τ α Conserção do momento nulr Qundo consdermos um sstem de prtículs, rção do momento nulr totl é ul o torque externo. τ Se esse sstem ester soldo, ou sej se o torque externo for nulo, o momento nulr totl será um constnte. XT cons tnte sse resultdo é o equlente d conserção do momento lner totl, e tem um snfcdo e mportânc smlr. Cp romero@fsc.ufpb.br 7
Prof. omero Tres d Sl Solução de luns problems Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção Um tubo de predes fns rol pelo chão. Qul é rzão entre s sus eners cnétcs trnslconl e rotconl, em torno de um exo prlelo o seu comprmento e que pss pelo seu centro de mss? nclmente mos clculr o momento de nérc do tubo mencondo, supondo que ele tenh ro e comprmento. z [( dθ ) ] σ dθ dm σ ds σ π 3 ( σ dθ ) σ r dm π dθ y σ M M π x M π ( ) M 3 π K K T M M( ) ( M ) Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção Um ro com um ro de 3m e um mss de 4k rol sobre um pso horzontl de modo que o seu centro de mss possu um elocdde de,5m/s. Qul é o trblho que dee ser feto sobre o ro pr fzê-lo prr? M K + M 3m M 4k,5m/s Consderndo que, temos que: K ( M ) + M( ) M 3,5J W K K F - K - K - 3,5J Cp romero@fsc.ufpb.br 8
Prof. omero Tres d Sl Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção 7 Um esfer sóld de peso ul P 35,58 sobe rolndo um plno nclndo, cujo ânulo de nclnção é ul θ 3. bse do plno, o centro de mss d esfer tem um elocdde lner de 4,88m/s. ) Qul é ener cnétc d esfer n bse do plno nclndo? K + Como M d K + M M θ h Pr esfer temos que M 5, loo ener cnétc terá form: 7 7 P K M 6,5J b) Qul é dstânc que esfer percorre o subr o plno? 7 7 F M Mh h,7m h 7 h d senθ d 3,4m senθ senθ c) respost do tem b depende do peso d esfer? Como mos n dedução nteror, respost não depende do peso. Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção Um esfer homoêne, nclmente em repouso, rol sem deslzr, prtndo d extremdde superor do trlho mostrdo seur, sndo pel extremdde d dret. Se H 6m, h m e o extremo dreto do trlho é horzontl, determne dstânc horzontl do ponto té o ponto que esfer toc o chão. M 5 K + K + M M M H h Cp romero@fsc.ufpb.br 9
Prof. omero Tres d Sl K 7 M F M ( H h) ( H ) 7 h M 7 ou sej: t h t t ( H ) h h h h 47,8m 7 Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção 3 Um bolnh de ude sóld de mss m e ro r rol sem deslzr sobre um trlho mostrdo seur, tendo prtdo do repouso em lum ponto do trecho retlíneo do trlho. ) Qul é ltur mínm h, medd à prtr d bse do trlho, de onde deemos soltr bolnh pr que el não perc o contto com o trlho no ponto ms lto d cur? O ro d cur é e consdere que >> r. condção pr que bolnh não perc contto é que norml sej nul n prte ms lt, ou sej que o peso sej únc forç rdl, e desse modo teremos: P m m h Q Ms como o sstem é conserto, ener mecânc será conserd: F U U F + K F ou sej mh m 7 7 7 7 ( ) + m m( ) + m( ) m H, b) Se bolnh for solt de um ltur ul 6 cm d bse do trlho, qul será componente horzontl d forç que tu sobre el no ponto Q? Usndo conserção d ener mecânc entre os dos pontos, temos que: 7 5 Q m( 6) m + m Q Q 7 Cp romero@fsc.ufpb.br
Prof. omero Tres d Sl forç horzontl no ponto Q é própr forç rdl nesse ponto, loo: F Q m m 5 7 F 5 7 m Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção 7 Dos objetos estão se moendo como mostr fur seur. Qul é o seu momento nulr em torno do ponto O? m 6,5k,m/s r,5m m 3,k 3,6m/s r,8m p m r m ˆ ˆj r r p r p kˆ ( jˆ ˆ ) ( ˆ ˆj ) m m p r r + m ˆj m r ˆ r + kˆ m kˆ m r ( m r m r ) k ˆ 9,798 k. m / s r r O r m y r m O m x r Cpítulo - Hlldy e esnck - dção nt 3 Mostre que um clndro deslzrá sobre um plno nclndo, cujo ânulo de nclnção é θ, qundo o coefcente de trto estátco entre o plno e o clndro for menor que (tnθ)/3. m cosθ m senθ F m F P Qundo estmos nteressdo em clculr θ Cp romero@fsc.ufpb.br
Prof. omero Tres d Sl o torque em relção um exo que concde com ret de contto entre o clndro e o plno, demos notr que pens forç de trto produz um torque em relção esse exo. À medd que ument nclnção umentndo forç de trto estátco necessár pr etr o deslzmento. lmte, ntes do deslzmento, temos que F (F ) M µ. mor celerção que o clndro poderá ter sem deslzr é defnd pel condção: α < F condção de deslzmento é: F < α Usndo seundo le de eton poderemos clculr celerção nulr α : m senθ - µ m cosθ m m α oo: α ( senθ µ cosθ ) ( µ m cosθ ) < ( senθ µ cosθ ) µ cosθ ( m + ) < senθ µ tnθ < m + Consderndo que o momento de nérc do clndro é m /, teremos: µ < tnθ 3 Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção 44 Três prtículs, cd um de mss m, são press ums às outrs e um exo de rotção por três cordões sem mss, cd um de comprmento, como mostr fur seur. O conjunto r em torno do exo de rotção em O com elocdde nulr, de tl form que s prtículs permnecem em lnh ret. Qus são, em termos de m, e e reltmente o ponto O m m ) O momento de nérc do conjunto? m m + m () + m (3) 4 m O b) O momento nulr d prtícul do meo? Se defnrmos o exo z como sendo perpendculr à folh de ppel e sndo del, o momento nulr ds três prtículs estrão no sentdo posto do exo z. Cp romero@fsc.ufpb.br
Prof. omero Tres d Sl 4 m c) O momento nulr totl ds três prtículs? 4 m Cpítulo - Hlldy e esnck - dção nt 45 Um clndro de comprmento e ro r tem peso P. Dos cordões são enroldos em olt do clndro, cd qul próxmo d extremdde, e sus ponts press nchos fxos no teto. O clndro é mntdo horzontlmente com os dos cordões extmente n ertcl e, em seud, é bndondo. ) Determne celerção lner do clndro durnte qued. F F F Como forç peso não produz torque em relção o exo de rotção, temos que: α τ Fr α F r Ms α r loo F r Consderndo s forçs que tum no clndro, d seund le de eton temos que: P + F + F M ou sej: P - F M F F P M M r + Mr + Mr F P Mr Consderndo que o momento de nérc do clndro tem form, Cp romero@fsc.ufpb.br 3
Prof. omero Tres d Sl encontrmos que 3 b) Determne tensão em cd cordão enqunto eles estão se desenrolndo. Mostrmos nterormente que: F r loo Mr F F r 3 M 6 Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção 46 s rods e d fur seur estão conectds por um corre que não deslz. O ro d rod é três ezes mor que o ro d corre. ) Qul ser rzão entre os momentos de nérc / se mbs tessem o mesmo momento nulr? r 3 r Como s dus rods estão conectds, s elocddes ds sus bords serão us, ou sej: ou sej: r r 3 3 r r Como 3 b) Qul ser rzão entre os momentos de nérc / se mbs tessem mesm ener cnétc de rotção? Como K K 9 Cp romero@fsc.ufpb.br 4
Prof. omero Tres d Sl Cpítulo - Hlldy, esnck e Wlker - 4. edção 49 Um jodor de bolche prncpnte jo um bol de mss M e ro cm n pst, com elocdde ncl 8,5m/s. bol é rremessd de tl mner que deslz um cert dstânc ntes de começr rolr. l não está rndo qundo tne pst sendo o seu momento purmente trnslconl. O coefcente de trto cnétco entre el e pst é,. ) Por qunto tempo bol deslz? M cm,m 8,5m/s µ C, Podemos sulzr o momento d bol como um composção de momentos: rotção + trnslção, e desse modo decompor s elocddes: T + OT Cd prte d rod ter um composção de elocddes peculr, s prtes superor e nferor são os extremos de dersdde: S T + OT SUP d SUP F T + T F T OT OT T - OT F Qundo bol tne pst elocdde de rotção é nul, e el só tem P elocdde de trnslção. À medd que bol começ deslzr, el tmbém nc rotção, dqurndo eloc- d dde nulr té lcnçr o lor qundo não ms deslz, tendo um momento de rolmento sem deslzmento. Os dos tpos de momento (rotção + trnslção) obedecem às equções: ( ) T ( ) T T T t d ( ) ( ) αθ ( α)( θ ) OT OT + αt αt OT t OT Cp romero@fsc.ufpb.br 5
Prof. omero Tres d Sl o contráro do rolmento com deslzmento, neste cso s elocddes de trnslção e rotção não estão conectds dretmente. sso só contecer qundo cessr o deslzmento, e nesse ponto. Pr o momento de trnslção, temos seund le de eton: Ms F + P + M P F M T F µ C µ C M T µ C Pr o momento de rotção temos: τ ( ) OT F α F µ α α OT µ C Consderndo o que já fo mostrdo, temos que: αt OT T t t t OT T T OT + OT ou sej: t T + OT M µ C + Consderndo que pr esfer M 5 encontrmos que: t,8s 7µ C b) que elocdde está se moendo qundo começ rolr? M 5 α t OT t µ C t µ C 6,7m/s c) Qul dstânc que el deslz n pst? Cp romero@fsc.ufpb.br 6
Prof. omero Tres d Sl Cp romero@fsc.ufpb.br 7 d d C T T µ 8,6m d) Qunts reoluções fez ntes de começr rolr? ( ) ( )( ) OT + θ α αθ ( ) 4 t M t t C OT OT OT µ π π π t C π µ 8 5 5,8re