Sejam todos bem-vindos! Física II Pof. D. Cesa Vandelei Deimling
Bibliogafia: Plano de Ensino
Qual a impotância da Física em um cuso de Engenhaia? A engenhaia é a ciência e a pofissão de adquii e de aplica os conhecimentos matemáticos, técnicos e científicos na ciação, apefeiçoamento e implementação de utilidades, tais como mateiais, estutuas, máquinas, apaelhos, sistemas ou pocessos, que ealizem uma deteminada função ou objetivo. Física (do gego antigo, physis, "natueza") é a ciência que estuda a natueza e seus fenômenos em seus aspectos mais geais. Envolve o estudo da matéia e enegia, além de suas popiedades, abangendo a análise de todas as suas consequências. Busca a compeensão dos compotamentos natuais do Univeso, desde as patículas elementaes até o Univeso como um todo. Falkik wheel (Scotland, UK)
Capítulo - Gavitação A Lei da Gavitação de Newton; O pincípio da Supeposição; A Gavitação nas Poximidades da Tea; Gavitação no Inteio da Tea; A Enegia Potencial Gavitacional; Planetas e Satélites: As Leis de Keple; Satélites: Óbitas e Enegias;
Capítulo - Gavitação A Lei da Gavitação de Newton;
Capítulo - Gavitação Pé-equisitos Geometia (seno, cosseno, tangente, teoema de Pitágoas...); Vetoes (decomposição, montagem, pojeções, módulo, veto unitáio); Tabalho, Enegia cinética, Consevação de enegia; Consevação do momento angula; Deivadas; Integais;
Cap. - A Lei da Gavitação de Newton Newton enunciou a lei da Gavitação da seguinte maneia: Matéia atai matéia na azão dieta das massas e na azão invesa do quadado da distância que sepaa as massas. F F F F F F F GMM d G = 6,67x0 - m /kg*s Na foma vetoial temos: F GM M ˆ ˆ
Cap. - A Lei da Gavitação de Newton G = 6,67x0 - m /kg*s ˆ GM M F y x M M ˆ k z j y x i ˆ ˆ ˆ k z j y i x ˆ ˆ ˆ k z z j y y i x x ˆ ) ( ) ˆ ( )ˆ ( ) ( ) ( ) ( z z y y x x
Cap. - A Lei da Gavitação de Newton y Exemplo : Detemina as componentes da foça confome o esquema abaixo. M F y F GMM ˆ G = 6,67x0 - m /kg*s M F x x GMM GM M F cos iˆ sen ˆ j Fx Fy
Cap. O Pincípio da Supeposição das Foças O pincípio da supeposição de foças é usado paa detemina a foça esultante em uma patícula devido a uma distibuição de patículas nas vizinhanças. m F F F es m m Sistema de patículas: F es F F Sistema de n patículas: F F F... F es n n F es F i i. F Paa copos com dimensões finitas: F df
Cap. O Pincípio da Supeposição das Foças F BA Exemplo : Detemina o módulo, a dieção e o sentido da foça esultante que atua em B confome o esquema abaixo. F BC F B cos F F, es B, es sen F F B,es BC BA Dados: M A = M c = 4 kg M B = 6 kg d = cm d = *d tg F F BA BC o 75,9 F B F GMM G = 6,67x0 - m /kg*s F B GM M GM M B C B A es iˆ ˆ, j d d F B, es ˆ F iˆ, es BC F 0 6 BA iˆ 40 ˆj 6 ˆj N 6 6 0 4 F B, es 0 6 F B, es 4, 0 N
Cap. O Pincípio da Supeposição das Foças Exemplo -) pg. : A figua abaixo mosta um aanjo de 5 patículas de massas m = 8 kg, m = m = m 4 = m 5 = kg; a = cm e = 0. Qual é a foça gavitacional esultante que atua sobe a patícula? Na dieção do eixo x as foças se anulam! Na dieção y temos: Gmm ˆ Gmm 5 cos j cos ˆ, j a a F es F GMM ˆ G = 6,67x0 - m /kg*s Como: m 5 Gmm cos ˆ, j a F es -6 m 4,6 0 ˆj N F, es
Cap. O Pincípio da Supeposição das Foças Poblema -) pg. 50: A figua abaixo mosta uma cavidade esféica no inteio de uma esfea de chumbo de aio R = 4 cm; a supefície da cavidade passa pelo cento da esfea e toca o lado dieito da esfea. A massa da esfea antes da cavidade se abeta ea de M =,95 kg. Com que foça gavitacional a esfea de chumbo com a cavidade atai uma pequena esfea de massa m = 0,4 kg que se enconta a uma distância d = 9 cm do cento da esfea de chumbo, sobe a eta que liga os centos das esfeas e da cavidade? O poblema se esume em calcula a foça gavitacional da esfea maciça de chumbo e desconta a contibuição da cavidade, consideando que a mesma fosse composta po chumbo! Como descobi a massa da cavidade, m c, de aio,, caso a mesma fosse de chumbo? M 4R M V t m V c c mc 4 R m c M 8 F G M m 8 d ( d ) F 8,0 9 N
Cap. O Pincípio da Supeposição das Foças Poblema -6) pg. 50: Na figua abaixo uma patícula de massa m = 0,67 kg está a uma distância d = cm de uma das extemidades de uma baa de compimento L =,0 m e massa M = 5 kg. Qual o módulo da foça gavitacional que a baa exece sobe a patícula? Paa cada dm teemos um valo de difeente! Dessa maneia pecisamos esceve dm em função de d. dm M L M L dm d d F L Cada elemento dm da baa execeá uma foça gavitacional sobe m. Integando temos: df Ld d Gmdm df Gm M L d Ld d L L d d L Ld d L d 6,670 (5)0,67 F,0 0 d( L d) 0,( 0,) d L d d L d 0 N
Cap. Distibuições Contínuas de Massa Exemplo) Calcule o módulo da foça gavitacional que atua em uma patícula de massa m, distante de x, devido a pesença de um anel de massa M e aio R. dm cos x df R cos x x x x df R y Devido à simetia do poblema, na dieção de y as foças se cancelam aos paes. Na dieção x negativa temos: GmdM df x cos m é constante; é constante; cos é constante, e po isso a integal tona-se de fácil esolução. df F M Gm cos dm cos 0 x R x x R x x R
Cap. Distibuições Contínuas de Massa Exemplo) Calcule o módulo da foça gavitacional que atua em uma patícula de massa m, distante de z, devido a pesença de um disco de massa M e aio R. m O Foça Gavitacional está oientado na dieção de z negativo. df h dm GmdM df z cos h M dm dm R da d h z hcos z cos z h z M dm d R z u u z du d du u u df F R 0 Gm ( z ) z z M R z d R z R z R R 0 R 0 R z d z z
Cap. A Gavitação nas Poximidades da Tea A intensidade da foça gavitacional da Tea sobe uma patícula de massa m, localizada foa da Tea a uma distância do cento da Tea é: F G Mm A aceleação da gavidade depende da altua,. (quanto mais alto meno a aceleação gavitacional) Pela a Lei de Newton, temos: ma g G Mm Altitude (km) (m/s ) F ma g GM a g aceleação da gavidade Massa da Tea: 5,98x0 4 kg Raio da Tea: 6,7x0 6 m Exemplo A aceleação da gavidade depende da massa do planeta, M. (quanto meno a densidade do planeta meno a aceleação gavitacional) 0 9,8 Supefície média da Tea 8,8 9,80 Monte Eveest 6,6 9,7 Balão tipulado mais alto 400 8,70 Óbita do ônibus espacial 5700 0,5 Satélites de comunicação
Cap. A Gavitação nas Poximidades da Tea a g e g são denominadas aceleação gavitacional, poém esta aceleação até agoa foi consideada constante (g = 9,8 m/s ) mas na ealidade ela é vaiável de acodo com a localização do copo.. A massa da Tea não está unifomemente distibuída; M V. A Tea não é uma esfea; a g GM. A Tea Gia; Ela não é um efeencial inecial. Existe aceleação centípeta. mv F c m Pólo equado Pólo Equado A aceleação em queda live aumenta a medida que avançamos, no nível do ma, do equado em dieção a um dos pólos.
Cap. A Gavitação nas Poximidades da Tea O pincípio da equivalência compõe a base do postulado fundamental da teia da elatividade geal poposta po Eistein, segundo o qual a gavitação e a aceleação são equivalentes.
Cap. Gavitação no Inteio da Tea Uma casca esféica unifome de matéia atai uma patícula que se enconta foa da mesma como se toda a massa da casca estivesse concentada no seu cento, o cento de massa! Uma casca esféica unifome de matéia não exece foça gavitacional esultante sobe uma patícula localizada no seu inteio
Cap. Gavitação no Inteio da Tea Exemplo -4) pg. 5. Calcula a foça gavitacional de uma cápsula que miga em dieção ao cento da tea. Considea a densidade da tea constante. Calcula a massa da esfea intena à posição da cápsula em função da densidade. Esceve a equação da foça gavitacional. F = 4π (G*m*ρ) / Análogo com a Lei de HooK
Cap. Gavitação no Inteio da Tea Foça gavitacional sobe uma patícula de massa m (a) foa e (b) dento de uma esfea de massa M com densidade unifome. a) Patícula foa da esfea b) Patícula dento da esfea m M R R M int F R
Cap. A Enegia Potencial Gavitacional
Cap. A Enegia Potencial Gavitacional A Foça Gavitacional é consevativa, pois o tabalho ealizado po essa foça não depende da tajetóia, apenas do ponto final e inicial. d W F ds 0 A toda a foça consevativa podemos associa uma enegia potencial! W F ds U Consideando o tabalho da foça gavitacional, em um deslocamento de (ponto inicial) e = (ponto final). Além do mais ds = d W F ds W ( ˆ) ds ( ) d
Cap. A Enegia Potencial Gavitacional d W U U U U U U Po convesão, sempe adotaemos U = 0, e dessa foma temos: U ( ) M = massa da Tea; = dist. ente o copo e o cento da Tea. Paa mais de duas patículas: U Gmm Gmm Gmm
Cap. A Enegia Potencial Gavitacional Velocidade de Escape: Qual é a velocidade mínima que um objeto necessita paa atingi o infinito com v = 0? v Da consevação de enegia: K i Ei E f U i K f U f F g mv e 0 v e GM Velocidade de Escape
Cap. A Enegia Potencial Gavitacional
Cap. A Enegia Potencial Gavitacional Exemplo-5) pg. 9 Um asteóide, em ota de colisão com a Tea, tem uma velocidade de km/s em elação ao planeta quando está a uma distância de 0 aios teestes do cento da Tea. Despezando os efeitos da atmosfea da Tea, detemine a velocidade do asteóide, v f, quando ele atinge a supefície da Tea. F g R T 0R T Não podemos usa as equações da cinemática pois a aceleação vaia! Pela Consevação da Enegia temos: K i v v f U i K 0GM 0R f U v i f f GM 0R mv i 9(6,67x0 )5,98x0 000 6 5(6,70 ) 0R v 4 f mv f GM v i 9 5R R 4 v f,6 x0 m/ s
Cap. As Leis de Keple Pimeia A Lei das Óbitas: Os planetas descevem óbitas elípticas em tono do Sol, que ocupa um dos focos da elipse descita. a R p R a e( a) a R p a = semi-eixo maio b = semi-eixo meno R a = aio do afélio R b = aio do peiélio e = excenticidade F = foco da elípse b Caso a excenticidade seja: e = ; elipse muito alongada e = 0; cicunfeência
Cap. As Leis de Keple Segunda Lei de Keple: O segmento imagináio que une o cento do Sol e o cento do planeta vae áeas popocionais aos intevalos de tempo dos pecusos. L A S,t A A S,t t A Do momento angula: L p m v mvsen m t sen cte da dt cte Nas situações em que v é pependicula a : ( d ) dt da dt d dt cte v a a v p p
Cap. As Leis de Keple Teceia lei de Keple: O peíodo do planeta, T, isto é, o intevalo de tempo paa ele da uma volta completa em tono do Sol é popocional ao cubo de, a medida do semieixo maio de sua óbita, também denominado aio médio, expessa po: T GM 4 a G = 6,67 0 - N.m /kg é a constante gavitacional univesal. T = peíodo; a = semi-eixo maio da óbita; M = massa do copo cental em tono do qual o planeta gia (Sol). b Patindo da segunda lei de Newton, temos: F ma mv m T
Cap. As Leis de Keple Exemplos -6) pg. 4. O cometa Halley gia em tono do Sol com um peíodo de 76 anos; em 986, chegou à sua meno distância do Sol, R p, que vale 8,9x0 0 m. a) Qual a maio distância do sol - a distância do afélio - R a. b) Qual a excenticidade da óbita do cometa Halley? Com base no peíodo do cometa obtemos o semi-eixo maio, a. T GM 4 a 0 s 6,670 (,990 )(76(65)4(60)60) a,70 GM T 4 a R p R a m R a 4 0 a R (,7 0 ) 8,90 5,0 p m A excenticidade: a Rp e e 0, 97 e( a) a a R p Óbita bastante alongada.
Cap. Satélites: Óbitas e Enegias Consideando o planeta uma esfea de aio R, detemine a velocidade de obita paa uma tajetóia cicula de aio, de um satélite de massa m. Da segunda lei de Newton, temos: mv v GM A Velocidade de obita paa uma tajetóia cicula não depende da massa do satélite!
Cap. Satélites: Óbitas e Enegia Consideando as enegias em uma óbita cicula: E K U v GM mv K U K E Enegia Mecânica paa uma óbita cicula. Paa óbitas elípticas temos: E a
Cap. Satélites: Óbitas e Enegias Poblema -68) pg. 54 Duas pequenas espaçonaves, ambas de massa m = 000 kg, estão em óbita cicula em tono da Tea a uma h = 400 km acima da supefície. Kik, o comandante de uma das naves chega a qualque ponto fixo da óbita 90 s antes de Picad, o comandante da segunda nave. a) Detemina o peíodo e a velocidade das naves. T GM 4 T T 4 GM T ( h R T ) 5,540 4 (6,670 )(5,980 s 9,min 4 (40 ) 5 6,70 6 ) v GM v 6,670 5 (40 4 (5,980 ) 6 6,70 ) v 7,680 m/ s
Cap. Satélites: Óbitas e Enegias Poblema -68) pg. 54 (Continuação) Duas pequenas espaçonaves, ambas de massa m = 000 kg, estão em óbita cicula em tono da Tea a uma h = 400 km acima da supefície. Kik, o comandante de uma das naves chega a qualque ponto fixo da óbita 90 s antes de Picad, o comandante da segunda nave. a) Detemina o peíodo e a velocidade das naves. No ponto P da figua abaixo, Picad dispaa um etofoguete instantâneo na dieção tangencial à obita, eduzindo a velocidade em %. Depois do dispao a nave assume uma óbita elíptica. Detemine; c) a enegia cinética e a enegia potencial imediatamente após o dispao. Na óbita elíptica de Picad, quais são: d) a enegia total, e) o semi-eixo maio a e f) o peíodo obital? g) Quantos segundos Picad chega antes de Kik no ponto P. c) Enegia Cinética: 000((0,99)7,680 ) 0 K 5,780 J c) Enegia Potencial: U mv K U 4 6,670 (5,980 )000 5 6 (40 6,70 ),80 J d) Enegia Total: E K U E 0 5,780,80 6,0 0 0 J e) O semi-eixo maio: E a a E 6,60 6 m
Cap. Satélites: Óbitas e Enegias Poblema -68) pg. 54 (Continuação) Duas pequenas espaçonaves, ambas de massa m = 000 kg, estão em óbita cicula em tono da Tea a uma h = 400 km acima da supefície. Kik, o comandante de uma das naves chega a qualque ponto fixo da óbita 90 s antes de Picad, o comandante da segunda nave. a) Detemina o peíodo e a velocidade das naves. No ponto P da figua abaixo, Picad dispaa um etofoguete instantâneo na dieção tangencial à obita, eduzindo a velocidade em %. Depois do dispao a nave assume uma óbita elíptica. Detemine; c) a enegia cinética e a enegia potencial imediatamente após o dispao. Na óbita elíptica de Picad, quais são: d) a enegia total, e) o semi-eixo maio a e f) o peíodo obital? g) Quantos segundos Picad chega antes de Kik no ponto P. f) Peíodo: T a GM 4 c) O Tempo que Picad chega antes que Kik ao completa uma volta é:: T 5,70 s T T c T e 5,540 5,7 T 70s 0 t 70 90 80s
Cap. Gavitação Lista de Execícios:,, 4, 7,,,, 4, 6, 7, 7,, 4, 5, 9,,, 7, 8, 49, 54, 6, 65, 68, 89, 97, 99, 0. Refeências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletomagnetismo. 8 a ed. Rio de janeio: LTC, 009. Vol.. TIPLER, P. A.; Física paa Cientistas e Engenheios. 4a ed, LTC, 000. v.. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletomagnetismo. a ed. São Paulo: Peason Addison Wesley, 008. v..