AULA DE ALCV. Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia

Transcrição

1 AULA DE ALCV Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia

2 Uma seção cônica ou, simplesmente, cônica é uma curva obtida cortando-se qualquer cone de duas folhas por um plano que não passa pelo vértice, chamado de plano secante.

3 Se o plano secante for paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola. Se o plano secante não for paralelo a uma geratriz do cone e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse.

4 degeneradas Geratriz

5 Se o plano secante não for paralelo a uma geratriz do cone e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole. Se o plano secante for paralelo a base do cone, a cônica é uma circunferência.

6 degeneradas Geratriz

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8 No caso de um plano que passa pelo vértice do cone obtém-se as cônicas degeneradas: ponto; uma reta; ou par de retas concorrentes.

9 degeneradas Geratriz

10 Parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa, pertencentes a este mesmo plano.

11 Parábola é o conjunto de todos os pontos P do plano π tais que: d (P,F) = d (P,P ) ou PF = PP'

12 Elementos da parábola: Foco (F) eixo P Vértice (A) Diretriz (d) Parâmetro (p) A V foco d(v,f) = d(v,a) = p/ Vértice diretriz

13 Equação reduzida da parábola de centro na origem p diretriz: y = Vértice: V(0,0) x = py p>0 e y>0 côncava para cima p<0 e y<0 côncava para baixo

14 Equação reduzida da parábola de centro na origem diretriz: x = p Vértice:V(0,0) y = px p>0 e x>0 côncava para direita p<0 e x<0 côncava para esquerda

15 Translação: diretriz: y = k p Vértice: V(h,k) p Foco: F ( h, + k) ( ) x h = p( y k )

16 Translação: diretriz: x = h p Vértice: V(h,k) p Foco: F ( h +, k) ( ) y k = p( x h)

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18 Uma seção transversal de um refletor parabólico é mostrada na figura. A lâmpada é colocada em um foco, e a abertura no foco é de 10cm. a) Encontre uma equação da parábola. y = 10x b) Encontre o diâmetro da abertura, 11 cm a partir do vértice. 110

19 Uma criança joga uma bola a um ângulo de 45, da beira de um platô acima de uma colina de coeficiente angular, conforme a figura. a) Se a bola toca o solo a 50 metros da colina abaixo, ache a equação de sua trajetória parabólica (Ignore a altura da criança). 7 y = x + x 160 b) Qual a altura máxima da bola em relação ao solo? 5,3 m

20 O arco de uma ponte é semi-elíptico, com eixo maior horizontal. A base do arco tem 10 metros e a parte mais alta está a 3 metros acima da rodovia, conforme a figura. Determine a altura do arco a metros do centro da base.,75m

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22 A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos deste plano é constante. A circunferência é um caso particular da uma elipse, onde os dois pontos fixos são coincidentes.

23 A elipse é o conjunto de todos os pontos P do plano π tais que: d(p,f 1 ) +d(p,f )=a

24 c < a e b < a Vale a relação: a = b + c Elementos da elipse: Focos (F 1 e F ) Centro (C) Vértices (A 1 e A ) Distância focal (c) Eixo maior (a) Eixo menor (b) Excentricidade c 0 < e = < 1 a

25 Equação reduzida da elipse de centro na origem Eixo maior está sobre o eixo dos x: x a + b y = 1 Se na equação da elipse o número a é denominador de x, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo dos x.

26 Equação reduzida da elipse de centro na origem Eixo maior está sobre o eixo dos y: y a + b x = 1 Se na equação da elipse o número a é denominador de y, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo dos y.

27 Equação da elipse de centro fora da origem do sistema Eixo maior é paralelo ao eixo dos x ( x h) ( y k) a + b = 1 Translação C(h,k) F 1 (h-c,k) F (h+c,k) A 1 (h-a,k) A (h+a,k)

28 Equação da elipse de centro fora da origem do sistema Eixo maior é paralelo ao eixo dos y ( y k) ( x h) a + b = 1 Translação C(h,k) F 1 (h,k-c) F (h,k+c) A 1 (h,k-a) A (h,k+a)

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30 Primeira Lei de Kepler (Lei das órbitas elípticas) As órbitas dos planetas são elipses com o Sol como foco. Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele numa órbita elíptica, sendo que um deles ocupa o foco da elipse.

31 Em uma órbita lunar o ponto mais próximo da superfície da Lua é chamado de perilúnio, e o ponto mais distante da superfície da Lua é chamado de apolúnio. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em uma órbita lunar elíptica com altitude de perilúnio de 110km e altitude de apolúnio de 314 km (acima da Lua). Encontre uma equação dessa elipse se o raio da Lua for 178km e o centro da Lua estiver em um dos focos. x y = 1

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33 A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos deste plano é, em valor absoluto, constante.

34 A hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano π tais que: d(p,f ) d(p,f ) = a 1 ± d(p,f ) d(p,f ) a 1 = Quando o ponto P estiver no ramo da direita, a diferença é +a e, caso contrário, será a.

35 c > a Vale a relação: c = a + b Elementos da hipérbole: Focos (F 1 e F ) Centro (C) Vértices (A 1 e A ) Distância focal (c) Eixo real (a) Eixo imaginário (b) Assíntota Excentricidade c e = > 1 a

36 Assíntota Assíntota θ é ângulo de abertura da hipérbole Eixo imaginário Eixo real Quanto maior e, maior será θ. Se a=b, então θ =90

37 Equação reduzida da hipérbole de centro na origem Eixo real está sobre o eixo dos x: x a Equação da assíntota: b y y = ± = b x a 1

38 Equação reduzida da hipérbole de centro na origem Eixo real está sobre o eixo dos y: y a b x = 1 Equação da assíntota: y = ± a b x

39 Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema Eixo real é paralelo ao eixo dos x ( x h) ( y k) a b = 1 Translação Equação da assíntota: b ( y k) = ± ( x h) a C(h,k) F 1 (h-c,k) F (h+c,k) A 1 (h-a,k) A (h+a,k)

40 Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema Eixo real é paralelo ao eixo dos y ( y k) ( x h) a b = 1 Translação Equação da assíntota: ( y k ) = ± ( x h) a b C(h,k) F 1 (h,k-c) F (h,k+c) A 1 (h,k-a) A (h,k+a)

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43 No sistema de navegação LORAN (Long Range Navigation), duas estações de rádio localizadas em A e B transmitem simultaneamente sinais para um barco ou um avião localizado em P. O computador de bordo converte a diferença de tempo na recepção desses sinais em diferença de distância, e isso, de acordo com a definição de uma hipérbole, localiza o navio ou avião em um ramo de hipérbole (veja s figura). Suponha que a estação B esteja localizada 400 milhas a leste da estação A na costa. Um navio recebe o sinal de B 100 microssegundos (µs) antes de receber o sinal de A.

44 a) Assumindo que o sinal de rádio viaja a uma velocidade de 980 pés/µs, encontre uma equação da hipérbole na qual o navio esteja. 11x y = 1 b) Se o navio for esperado ao norte de B, a que distância da costa estará o navio? 48milhas

45 Em 1911, o físico Ernest Rutherford ( ) descobriu que quando partículas alfa são atiradas para o núcleo de um átomo, elas são eventualmente repelidas do núcleo segundo uma trajetória hiperbólica. A figura ilustra a trajetória de uma partícula que se encaminha para a origem ao longo da reta e chega a 3 unidades do núcleo. Determine a equação da trajetória.

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