ALOCAÇÃO DE CÉLULAS DE TELEFONIA CELULAR A CENTRAIS ATRAVÉS DE UM ALGORITMO DE BEAM SEARCH

ISSN 275-6295 Rio de Jaeiro- Brasil, 05 e 06 de agosto de 2008. SPOLM 2008 ALOCAÇÃO DE CÉLULAS DE TELEFONIA CELULAR A CENTRAIS ATRAVÉS DE UM ALGORITMO DE BEAM SEARCH Cassilda Maria Ribeiro FEG- Faculdade de Egeharia de Guaratiguetá - UNESP Av. Ariberto Pereira da Cuha 333. Pedregulho Guaratiguetá SP CEP: 256-40 cassilda@feg.uesp.br Rodolfo Florece Teixeira Jr. FEB- Faculdade de Egeharia de Bauru - UNESP Av. Eg. Luiz Edudo C. Coube 4-0 CEP: 7033-360 Bauru - SP rodolfo@feb.uesp.br Aíbal Tavares Azevedo FEG- Faculdade de Egeharia de Guaratiguetá - UNESP Av. Ariberto Pereira da Cuha 333. Pedregulho Guaratiguetá SP CEP: 256-40 cassilda@feg.uesp.br RESUMO O problea de atribuição de células as cetrais de telefoia óvel é u problea N- P difícil. Isto sigifica que ão existe u étodo de otiização exata que seja capaz de ecotrar a solução ótia global deste problea u tepo coputacioal razoável. Portato, ua alterativa é utilizar étodos heurísticos, pois eles perite que se ecotre ua solução de boa qualidade u tepo coputacioal bastate satisfatório. Neste artigo é apresetado u algorito de Bea Search para resolver o Problea de Atribuição de Células as Cetrais de Telefoia Móvel. Os resultados obtidos ostra que o algorito apresetado é bastate eficiete, quado coparado co outros étodos heurísticos. Palavras-Chaves: Problea de Atribuição; Bea Search; Otiização Cobiatória Telefoia Celular. Abstract This paper presets the assiget of cells to switches i a wireless etwork. Give cells ad switches i a etwork (whose locatios are fixed ad kow), the proble is assigig cells to switches such that the cost ca be iiized. Two types of costs had bee cosidered. Oe is the cost of cablig betwee a cell cite ad its associated switch. The other is the cost of hadoff betwee cells. The proble is costraied by the call volue that each switch ca hadle. The proble is forulated as a iteger prograig proble. For the first tie it was solved by the Bea Search techique ad its results had bee copared with previous works showig better solutio results i a affordable tie. Keywords: Assiget proble; Bea Search; Cobiatorial Optiizatio; Wireless ATM

. INTRODUÇÃO O crescieto prodigioso das telecouicações os últios aos faz co que ela esteja cada vez ais presete a sociedade odera. A popularização de u dos equipaetos ais extraordiários de todos os tepos: o telefoe celular acirrou a copetição etre as operadoras do serviço, fazedo co que a busca por ua rede de telefoia celular cada vez ais eficiete e co capacidade de ateder a deada sepre crescete, fosse iprescidível... DEFINIÇÕES E CONCEITOS. Ua rede se fio capaz de oferecer diferetes serviços tais coo: voz, vídeo, correio eletrôico, etc.; e acessível a partir de u terial úico é chaada Rede de Couicação Pessoal (RCP). Os diferetes serviços da RCP são oferecidos por regiões. Essas regiões, tabé chaadas de zoa de cobertura são divididas e pequeas áreas geográficas deoiadas de células. As células são etão, as uidades básicas do sistea de telefoia celular típica. Cada célula é resposável pelos serviços oferecidos (cobrir) a u certo úero de assiates. Para tato, e cada célula existe ua estação básica (atea) que faz a couicação etre os assiates pertecetes à esa célula. Alé disso, cada célula está coectada a ua cetral telefôica óvel (cetral de coutação) que é a resposável por fazer as ligações etre os assiates de duas células diferetes. As células possue, por razões de cálculos, o forato hexagoal, forado algo parecido co ua coléia de abelhas. O raio desse hexágoo varia de acordo co o úero de assiates por uidade de superfície (, 2, 4, 8, 6, 32 Quilôetros). Cada cetral óvel te capacidade de coutar u deteriado úero de assiates. Assi várias células pode ser coectadas a ua esa cetral, bastado que se respeite à capacidade áxia da esa. Cotudo, ua célula ão pode estar coectada a duas ou ais cetrais ao eso tepo. No exeplo da figura as células A e B estão coectadas a Cetral Telefôica e as células C e D estão coectados a cetral telefôica 2. Cetral Telefôica B A C D Cetral Telefôica 2 Figura. Divisão do sistea de telefoia celular e células. As ateas utiliza caais de radio para fazer a couicação etre os assiates da rede de telefoia óvel e para evitar iterferêcias, os grupos de caais de rádios utilizados por duas células adjacetes são diferetes. 2

Quado u usuário e couicação se ove de ua célula para outra, a estação básica da ova célula te a resposabilidade de ater a couicação deste usuário, devedo para isso alocar para ele u ovo caal de rádio. A trasferêcia de couicação de ua estação básica para outra é chaada (e iglês) de hadoff. O ecaiso que evolve a trasferêcia de u usuário etre duas estações básicas (células) ocorre quado o ível do sial recebido pelo usuário fica uito fraco. Existe dois tipos de hadoff. No exeplo da figura, quado o usuário se ove da célula A para a B, o hadoff é chaado de siples porque as duas células estão coectadas à esa cetral telefôica de coutação, e o custo iduzido para se fazer à trasferêcia de A para B ão é elevado. Por outro lado, quado o usuário se ove da célula A para a célula D, o hadoff é dito ser coplexo. O custo iduzido para se fazer esta trasferêcia é alto, pois as duas cetrais de coutação ( e 2) deve estar ativas durate o processo de hadoff e a base de dados cotedo iforações sobre os assiates deve ser atualizada. 2. O PROBLEMA DE ATRIBUIÇÃO DE CÉLULAS A CENTRAIS Ua das tarefas ais iportates o plaejaeto de redes de telefoia celular óvel é ecotrar ua a atribuição de células a cetrais telefôicas de coutação que seja ao eso tepo barata e eficaz. O que se pretede etão é ecotrar ua atribuição de células a cetrais que respeite alguas restrições e iiize o custo total de operação cosiderado dois fatores. O prieiro fator a ser cosiderado é o custo da ligação etre os assiates das células e a cetral telefôica a qual elas estão coectadas (custo de cabeaeto). Este custo depede da distâcia etre a célula e sua cetral. O segudo fator é o custo gerado pelo hadoff etre células. Assi, ua atribuição lógica é que duas células seja coectadas a ua esa cetral telefôica se a freqüêcia do hadoff etre elas é alta. O problea de se atribuir células a cetrais ua rede de telefoia celular é u problea NP copleto e por isso os étodos de busca exaustiva, ão são adequados para resolvê-los. Para se ecotrar a solução ótia desse problea através de ua busca exaustiva, seria ecessário exaiar todo o espaço de soluções possíveis. Por exeplo, para ua rede co 50 células e 4 cetrais telefôicas; rede esta cosiderada de taaho édio; seria ecessário exaiar (4 50 ) soluções possíveis. Utilizado-se u coputador capaz de exaiar ua solução a cada s, seria ecessários 6,46 0 73 aos para exaiar todas as soluções possíveis. Devido à sua iportâcia este problea ve sedo bastate estudado e ivariavelete os étodos utilizados são as heurísticas devido à dificuldade de resolução. U dos prieiros a propor ua heurística para a resolução do problea de atribuição de células a cetrais fora Merchat e Segupta [5], Battacharya et al [3] e Saha et al [22] apresetara alguas heurísticas e fizera alguas coparações co as heurísticas já existetes, coparado iclusive co a heurística de Merchad e Segupta. Pierre et al tê estudado este problea de aeira sisteática. Eles usara busca taboo (Houeto e Pierre []), algoritos geéticos (Hedible ad Pierre [9];) e Siulated Aealig (Quitero e Pierre [2]). Algoritos cobiado duas ou ais técicas de solução tabé já fora propostas. Na abordage proposta por Meo e Gupta [4] a técica de Geração de Coluas é cobiada co a eta-heurística Siulated Aealig. Quitero e Pierre [20] propusera u Algorito Meético e a coparação co o busca taboo, ele obtivera elhores resultados para probleas de taaho édio e grade. Saloão [23] propôs u étodo de geração de coluas e AbuAara M. H. et al [2] propusera ua heurística usado técicas de coputação evolutiva. 2.. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA O problea de atribuição de células a cetrais de coutação tal coo foi descrito por Merchat e Segupta [5] se forula coo a seguir: Seja células que deve ser atribuídas a cetrais de coutação. É assuido que a localização das células e das cetrais é fixa e cohecida. Seja H e H respectivaete os custos por uidade de tepo dos hadoffs siples e coplexo que 3

ocorre etre as células i e j ( i, j, Λ, ) =. As taxas de hadoffs etre células pode ser estiadas usado-se ou as estatísticas de edição do tráfico de chaadas existetes os sisteas, ou odelos aalíticos e de siulação (Aloso et al [], Nada [6]). Portato é assuido que os custos de hadoffs são cohecidos e proporcioais à freqüêcia de hadoffs que ocorre etre as células i e j. Seja C o custo de cabeaeto por uidade de tepo etre a célula i e a cetral de coutação k ( i, Λ, ; k =, Λ, ) uidade de tepo e seja =. Seja λ i o úero de chaadas que a célula i faz por M k a capacidade da cetral k de efetuar chaadas. O objetivo, deste problea, cosiste e atribuir cada célula a ua cetral de odo a iiizar o custo total por uidade de tepo. O custo total por uidade de tepo te dois copoetes: o custo do hadoff por uidade de tepo e o custo de cabeaeto etre as células e as cetrais. A otiização deste problea deve ser feita de odo que a capacidade áxia de cada cetral ão seja violada e que cada célula seja atribuída a ua úica cetral. A forulação ateática do problea descrito acia foi feita utilizado prograação iteira, e para tato fora defiidas as seguites variáveis. restrição: x k= λ x i se a célula i for atribuída a cetral k x = 0 caso cotrário. Coo cada célula só pode ser atribuída a ua úica cetral, te-se a seguite k= = para i =, Λ, (). A restrição de capacidade das cetrais de efetuar chaadas é dada por: M k para k =, Λ, (2). O custo total de cabeaeto é dado por:. C x i= k = Para se defiir os custos de hadoff fora criadas as seguites variáveis adicioais: z = x x para i, j =, Λ, e k =, Λ,. (3) k jk Observe a equação (3) acia que z = se as células i e j são coectadas a esa cetral de coutação k e z = 0 caso cotrário. Deste odo, pode-se defiir: y = z k k= k = para i, j =, Λ,. k Observe agora que y = se as células i e j são coectadas à esa cetral de coutação e y = 0 se elas estão coectadas a cetrais distitas. O custo total da rede é dado por: C x + H y + i= k= i= j= i= j= H ( y Segudo Hedible [9], o custo do hadoff siples H pode ser cosiderado irrelevate quado coparado ao custo do hadoff coplexo H. Fazedo-se etão: h = H H, substituido-a e (5) e descosiderado a parte costate, a fução objetivo a ser iiizada tora-se: C x + i= k = i= j h ( y ) Observe que as restrições (3) e (4) são restrições de igualdade que fora usadas para defiir as variáveis z k e y. Cosequeteete z k pode ser substituída e (4) de odo a se obter a equação y = x k= x jk (6) ) (4) (5), que por sua vez pode substituída a fução objetivo. Deste 4

odo o problea a ser resolvido é o seguite: Miiizar C x + x = para i =, Λ k = (7) sujeito a λ i x M k para k =, Λ, i = x = 0 ou para i =, Λ, e k =, Λ, Note que as restrições (3) e (4) fora itegradas a fução objetivo e por isso pudera ser eliiadas do problea. Observe que o problea de alocação de células às cetrais, tal coo forulado e (7) é ão liear. Este problea te sido resolvido coo u problea de Prograação Liear Iteira (veja: Meo e Gupta [4], Merchad e Segupta [5], Saloão [23]). Para isso basta que ão se icorpore as restrições (3) e (4) à fução objetivo. Deste odo, u problea que já é grade tora-se aior aida, pois para cada variável z, são acrescetadas ais quatro i = k = i = j = i = j = k = restrições. Neste artigo é proposto u algorito do tipo Bea-Search que utiliza a forulação ateática ostrada acia, se trasforá-lo e u problea liear. A seguir é apresetada ua coparação co o étodo desevolvido por Saloão [23]. 3. O ALGORITMO DE BEAM SEARCH O Bea Search é u étodo heurístico para resolver probleas de Otiização cobiatória. Pode-se dizer que ele é ua adaptação do étodo de Brach ad Boud ode soete os ós ais proissores de cada ível da árvore de busca são guardados a eória para sere visitados, equato que os deais ós são descartados peraeteete. Coo ua grade parte dos ós da árvore de busca é descartada, isto é, soete algus poucos ós são selecioados para sere aalisados, o tepo de execução do étodo é polioial co o taaho do problea. E resuo pode-se dizer que o Bea Search é ua técica de busca e árvore que utiliza u úero de soluções e paralelo. O úero de soluções e paralelo é chaado de largura da busca e é deotado por β. O Bea Search foi usado pela prieira vez pela couidade de Iteligêcia Artificial para tratar probleas de recohecieto de fala (Lowerre [3]). Desde etão, te aparecido a literatura várias aplicações deste étodo e probleas de seqüêciaeto da produção (Fox [7]; OW e Sith [9]). OW e Morto [7], [8] criara ua variação do étodo, para o qual dera o oe de Bea Search filtrado. Outra variate do étodo foi proposta por Della Croce e T'kidt [5]. A esta variate foi dado o oe de Bea Search Recuperado, e iglês: "Recoverig Bea Search". E 2005, Valete e Alves [25] desevolvera u Bea Search que istura as versões propostas por Morto e Della Croce. 3.. ÁRVORE COM TODAS AS SOLUÇÕES POSSÍVEIS. Coo já foi dito ateriorete, o algorito do tipo Bea Search cosiste ua técica de busca e árvore, logo é preciso que se gere ua árvore co as soluções possíveis do problea. Mas vale lebrar que está técica ão gera todas as soluções, pois ão se trata de u algorito de busca exaustiva. Assi serão geradas soete as soluções detro de ua, certa largura de busca β, pré-deteriada. Será utilizado u exeplo para ostrar coo seria a árvore de soluções se fosse cosideradas todas as soluções possíveis. Seja = 4, o úero de células (ateas) que deve ser atribuídas a = 2 cetrais de coutação. Cada célula (atea) A i te capacidade de realizar u úero fixo de chaadas λ i por uidade de tepo. Assi o úero de chaadas cobertas pela atea A é λ, e λ 2 é o úero de chaadas cobertas pela atea A 2 e assi por diate. Essas chaadas serão realizadas pela cetral de coutação C j, se a célula A i h k h x x jk 5

estiver coectada à cetral C j. Cada ua dessas cetrais te ua capacidade M j, de efetuar chaadas. Etão M é a capacidade da cetral C, M 2 é a capacidade da cetral C 2 e assi sucessivaete. Cada célula só pode estar coectada a ua úica cetral. A variável é x, ode x = sigifica que a célula i está coectada a cetral j e x = 0 caso cotrário. A Figura 2 apreseta ua represetação do problea e grafo bipartido. Figura 2: Represetação do problea de atribuição através de u grafo bipartido As Tabelas, 2, 3 e 4 ostradas a seguir apreseta as iforações sobre custo de cabeaeto, custo de hadoff, úero de chaadas de cada atea e capacidade das cetrais, para o problea da Figura 2. Atea Cetral Cetral 2 Atea\Atea 2 3 4 0 0 0 3 2 2 2 4 4 2 3 0 5 3 4 4 3 2 0 4 4 8 8 4 2 5 4 0 Tabela : Custo de Cabeaeto C etre as ateas e as cetrais Tabela2: Custo de hadoff h etre as ateas Atea No. chaadas Cetral Capacidade 4 0 2 4 2 0 4 4 Tabela 3: Núero de chaadas λ i para cada atea. Tabela 4: Capacidade M j de cada cetral Ates de costruir a árvore de decisões co todas as soluções possíveis para esse problea, é ecessário estabelecer as seguites defiições: (D.) A árvore é costruída por íveis e a cada ível k é estabelecida a atribuição da k- ésia Atea a ua Cetral. (D.2) (D.3) (D.4) Os ós da árvore associados ao ível são chaados de ó seete. De (D.) ve que a árvore possui íveis e que ua solução copleta, co a atribuição de todas as Ateas a todas as Cetrais só será obtido ao se defiir as atribuições até o ível. A cada ível k, ao se realizar a atribuição da k-ésia atea a ua cetral, são cotabilizados dois custos: custo fixo de cabeaeto e custo de hadoff cosiderado todas as k- atribuições ateriores. 6

Figura 3: Árvore de soluções factíveis cosiderado o ó seete C o ível (árvore da esquerda) e C2 o ível (árvore da direita). A Figura 3 ostra coo é a árvore de decisões, para esse problea, cosiderado-se todas as soluções possíveis. Os ós de cada ível da árvore represeta ua atribuição. Coeça-se a árvore fixado ua cetral, por exeplo, a cetral C e atribuido a ela ua célula, por exeplo, A. Assi, o ó do ível N sigifica que a célula A foi atribuída a cetral C, isto é, x =. A está atribuição iicial foi dado o oe de ó seete. Ua vez feita a atribuição do ó seete segue-se fazedo as deais atribuições, sepre levado e cota as atribuições que já fora feitas os ós ateriores. Note que o úero de ós seetes é igual ao úero de cetrais, logo vão ser criadas árvores, ua para cada cetral. E cada ó, da Figura 3, tabé estão represetados, os custos fixos de cabeaeto e custos de hadoff relativa à atribuição efetuada o ó. Os ós arcados co ua cruz forece ua atribuição ifactível e por esta razão eles são autoaticaete eliiados do processo. É iportate frisar que o úero total de soluções é de = 2 4 = 6 soluções possíveis, as que detre estas apeas 6 era factíveis, justificado a aplicação de u procedieto de busca e árvore. Lebrado que a cada ível é feita a atribuição de ua atea às cetrais. No ível é feita, por exeplo, a atribuição da atea A a cada ua das cetrais (ós seetes). No ível 2 é feita a atribuição da atea A 2 a cada ua das cetrais, o ível 3 é feita a atribuição da atea 3 e assi por diate. Observe, a Figura 3, que os ós do segudo ível são todos aqueles que estão ligados o ó do º ível. Os ós do 3º ível são todos aqueles que estão ligados aos ós do ível 2 e assi por diate. Etão, ua solução só será copleta quado se chega ao últio ível da árvore, isto é ao últio ó. O úero de íveis da árvore é igual ao coprieto da esa que por sua vez, é igual ao úero de ateas. Deste odo o rao da árvore cotedo os ós A C, A 2 C, A 3 C 2, e A 4 C 2 idica que fora feitas as seguites atribuições: x =, x 2 =, x 32 =, x 42 =. Os custos das soluções são calculados parcialete a cada ível. Nos ós do ível só se te o custo de cabeaeto (custo liear). Nos ós do ível 2 tê-se os custos lieares ais os custos do hadoff do ó raiz até o ó e questão. Etão, à edida que se vai descedo a árvore, o custo vai se copletado pela decisão toada. 3.2. ÁRVORE DE SOLUÇÕES DO BEAM SEARCH No algorito proposto ão são gerados todos os ós da árvore. Existe alguas regras para que eles possa ser gerados. Essas regras tê a fialidade de ipedir que seja geradas todas as soluções possíveis e co isso eliiar o crescieto expoecial da árvore de busca. As regras visa tabé, a ipedir a criação de soluções ifactíveis. E cada ó da árvore serão arazeadas as seguites iforações: () Idetificação da Cetral; (2) Idetificação da Atea (célula); (3) Soa dos custos de hadoff, desde o ó raiz; 7

(4) Capacidade restate de cetral que ele represeta. É subtraída da capacidade da cetral a quatidade de chaadas referete às deadas das ateas que já fora alocadas a ela. (5) Custo do ó: represeta o custo parcial da solução, pois ele copreede o custo total de cabeaeto ais o custo de hadoff, cosiderado a atribuição feita até àquele ó; O prieiro critério para se criar ou ão u ó, é a capacidade da cetral. U ó só vai ser criado se o úero de chaadas λ i cobertas pela célula (atea) A i é eor que a capacidade M j da cetral C j. Etão se M j < λ i,, todos os raos que origiaria deste ó ão vão existir, pois a célula i ão poderá ser atribuída a cetral j. Depois de passar pelo critério da capacidade da cetral, o ó só vai peraecer a árvore de solução se ele passar pelo critério da largura da busca β. Por exeplo, se a largura de busca escolhida pelo usuário for β =2, a cada ível, só vão peraecer a árvore, os ós que gerare as duas eores soluções calculadas pela técica do algorito guloso. Assi, de cada ó (para β =2) só sairão dois raos, e serão aqueles que gerara as soluções gulosas de eor custo. O algorito utilizado para se gerar a árvore é o seguite: Iicialete o algorito ecotra-se o ível de solução zero, pois as atribuições coeçarão a sere feitas agora. A seguir faz-se ível = e coeça ser criados os ós deste ível. Será etão criado u ó para cada cetral (ó seete) e para cada u desses ós é atribuída ua célula (atea) do vetor de células, levado-se e cota a capacidade da cetral. A seguir, calcula-se os custos de cabeaeto e hadoff de cada u desses ós. Equato (ível < úero de ateas) faça: º Passo: Faça ível = ivel + Criar os ós deste ovo ível de acordo co a regra de capacidade da cetral. Para cada ó criado o ível i, faz-se: Arazear a idetificação da cetral e da atea; Arazear o custo de hadoff do ó seete até o ó criado; Arazear o custo do ó, isto é, o custo de cabeaeto (custo liear) ais o custo do hadoff do ó seete até o ó criado; Arazear a capacidade restate de todas as cetrais; Observe que a partir do oeto que ua célula é atribuída a ua cetral, reduz-se da capacidade desta cetral a capacidade cosuida pela célula alocada a ela e atualiza-se a capacidade restate da esa. Se (ível < úero de ateas) Etão faça o 2º Passo abaixo. Neste passo é feita ua busca e profudidade a árvore, ido até ao últio ível da esa. A busca e profudidade é feita do seguite odo: Para cada ó criado o º. passo e cosiderado-se os custos calculados até etão, achar ua solução gulosa para o problea, partido deste ó. Para isto faz-se ua arborescêcia a partir deste ó, escolhedo para fazer parte desta solução gulosa os ós dos íveis abaixo do ível i que são factíveis e co eor custo local. As soluções gulosas vão servir para se escolher os ós do ível i que vão peraecer a árvore. Essa escolha é feita da seguite aeira: Ordear os ós criados o ível i, e orde crescete, de acordo co o resultado do custo da solução gulosa que eles gerara. Etre os ós do ível i escolher para peraecer a árvore os β ós que gerara as soluções gulosas de eor custo, ode β é a largura da busca. Cortar os deais os ós do ível i, isto é: Se largura de busca é β=2, só vão cotiuar a fazer parte da árvore os dois ós que gerara as duas soluções de eor custo. Excluir as soluções gulosas dos ós que peraecera a árvore; 8

Fi Equato Quado o ível da árvore de solução for igual ao úero de ateas, o algorito teria, pois já se chegou ao fial da árvore. Observe que, o cálculo da solução gulosa do 2º. passo, três valores são calculados e cada ó: () A capacidade reaescete a cetral j depois da atribuição da atea A i ; (2) O custo parcial liear, isto é o custo de se ligar a atea A i a cetral C j. (3) O custo parcial do hadoff, isto é o custo do hadoff do ó seete até o óatual. Soete após descer o últio ó do rao é que se terá o custo total do rao, isto é o custo liear ais custo de hadoff total. O valor do custo total para u rao da árvore ecotrado a solução gulosa, é usado coo liitate superior (corte) para se gerar ou ão os outros ós da árvore, o º. passo. Este liitate superior deve ser atualizado à edida que for ecotrado u rao co custo eor. Co isto tê-se dois critérios de corte para se gerar ou ão os ós da árvore. O prieiro deles é a capacidade das cetrais e o segudo é o custo total dos raos obtido pela solução gulosa. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 4: Passos da execução do Bea Search para o Exeplo da seção 3.. As Figuras 4 (a)-(f), apreseta a resolução detalhada do Exeplo da Seção 3. pelo algorito do Bea Search. No exeplo é cosiderada largura igual à β =2. Os passos a sere seguidos para se resolver o exeplo são: () Costruir os ós do Nível (u ó para cada cetral). Os custos de cabeaeto e hadoff, este ível são iguais à zero (veja os custos as tabelas e 2). (2) No Nível 2 iicialete são criados 4 ós, pois a partir da atribuição feita o ível, existe 4 atribuições possíveis para a atea 2 a saber: A 2 C, A 2 C 2, a árvore da 9

esquerda e A 2 C 2, A 2 C a árvore da direita. Esta situação esta descrita a Figura 4(a) e correspode ao º. Passo do Bea Search. Coo a largura da busca é dois, soete dois desses ós vão peraecer a árvore. (3) Para escolher quais ós do Nível 2 vão peraecer é realizada ua busca e profudidade, até o ultio ível, para cada ua das 4 alocações parciais do ivel 2. Está busca escolhe os ós co atribuições factíveis e co eor custo de cabeaeto ais hadoff. Tal situação esta descrita a Figura 4 (b) e correspode ao 2º. Passo do Bea Search. A Figura 4(c) ostra quais fora os ós escolhidos para ficar a árvore. A seguir é feita ua arborescêcia dos ós do ível 3 (passo ) e depois ua busca e profudidade a partir desses ós (Figura 4(d)), para se escolher quais ós do ível 3 vão peraecer a árvore. A Figura 4(e) ostra os ós escolhidos do ível 3. A figura 4(f) ostra arborescêcia (passo) dos ós da Figura 4(e) e ova solução gulosa(passo2). Obtê-se assi duas soluções fiais: A C, A 2 C 2, A 3 C, A 4 C 2 co custo de 28 e A C 2, A 2 C, A 3 C 2, A 4 C co custo de 36. Adotase etão a solução de eor custo etre as duas. 4. TESTES COMPUTACIONAIS Fora feito algus testes coputacioais co ituito de se fazer coparações etre o algorito aqui proposto e algus algoritos da literatura. Para tato fora utilizadas as esas istacias utilizadas por Saloão [23]; Hedible e Pierre [9] e Merchat e Segupta [5]. Fora rodadas 8 istacias coeçado co probleas de taaho cosiderado pequeo (5 ateas e 2 cetrais), até probleas de taaho édio (75 ateas e 3 cetrais). A tabela 5 ostra os valores de fução objetivo obtidos co o Método de Geração de Coluas de Saloão [23]; co a heurística de Merchat e Segupta, [5] e co o Bea Search aqui proposto. Valor da fução Objetivo Istâcia No. de No. de Geração de Merchat- Bea Search Células Ateas Coluas Segupta 5 2 30,90 30.9 30.90 2 5 3 24,624 24.624 24.6243 3 5 4 00,4599 00.833 00.8334 4 5 5 03,895 03.895 03.895 5 30 2 328,2806 328.28 328.2806 6 30 3 345.539 345.539 345.5388 7 30 4 285,995 285.995 303.4802 8 30 5 243,7274 245.727 246.7576 9 45 2 940,623 940.623 6.6 0 45 3 554,7255 546.088 584.8 45 4 507,574 507.574 640.43 2 45 5 426,9526 427.953 497.93 3 60 2 92,94 92.94 92.94 4 60 3 707,702 707.702 856.89 5 60 4 728,6649 729.07 750.78 6 60 5 693,0659 694.72 823.2 7 75 2 537,676 537.676 537.68 8 75 3 995,47 995.47 995.42 Tabela 5: Resultados para o problea de alocação de ateas Pode ser observado a tabela 5 que o algorito de Bea Search obteve elhores resultados que os obtidos co a heurística de Merchat e Segupta [5] e ce por ceto dos casos. Co relação ao étodo de Geração de Coluas, o Bea Search obteve elhores resultados e 5 casos e os deais, obteve resultados iguais. 5. CONCLUSÕES Até o presete oeto os testes realizados co o algorito proposto são uito bos. Testes co exeplos de diesões aiores aida estão sedo feitos e ão houve tepo hábil de icluí-los este artigo. 0

As coparações de tepo coputacioal etre os três étodos tabé ão foi possível ser realizada porque eles fora rodados e coputadores diferetes e ão estão ipleetados a esa platafora coputacioal. A heurística de Merchad e Segupta foi ipleetada e Matlab 7.0., Widows XP. O Bea Search foi ipleetado ua iterface desevolvida por Teixeira Jr. [24] que utilizou Borlad Delphi 7.0, gerado u sistea executável o sistea operacioal "Microsoft Widows". Os resultados do algorito de Geração de Coluas de Saloão fora obtidos através de sua tese de doutorado [23]. Tato a heuristica de Merchad e Segupta, coo o Bea Search fora executados u Petiu 4 co clock de 2 GHz e eória Ra de Gb e e todos os exeplos rodados o tepo de execução do Bea Search foi relativaete pequeo. Por exeplo, para o caso de 75 ateas e 3 cetrais o tepo de execução foi de,53 segudos. A grade vatage do Bea Search advé do fato dele ão ecessitar de ua solução iicial e toda solução que ele forece é sepre factível.. O Bea Search tabé pode ser facilete ipleetado e paralelo. Coo cada Cetral, o ível, resulta ua árvore idepedete (ó seete), basta colocar u processador para trabalhar e cada ua dessas árvores. A vatage da ipleetação e paralelo é que cada ua dessas árvores pode ser resolvidas de odo totalete idepedete, ão sedo ecessário ehua couicação etre processadores durate o processo de resolução das árvores. 6. REFERÊNCIAS [] Aloso, E.; Meier-Hellster, S.; Pollii, G.P., " Ifluece of Cell Geoetry o Hadover ad Registratio Rates i Cellular ad Uiversal Persoal Telecouicatios Networks", 8 th ITC Specialist Seiar o Uiversal Couicatio, Geova, Italy, 992. [2] AbuAara, M. H.; Sait, S. M.; Subha, A., "A Heuristics Based Approach for Cellular Mobile Network Plaig. The Iteratioal Wireless Couicatios ad Mobile Coputig Coferece (IWCMC06), July 2006, Vacouver, Caada. [3] Battacharya, P. S., Saha, D.; Mukherjee, A., Heuristic for assiget of cells to switches i a PCSN: a coparative study, Proceedigs 999 IEEE It. Cof. O Persoal Wireless Co, Feb 999, pp. 33-334. [4] Cery, V. Therodyaical approach to the travelig salesa proble: a efficiet siulatio algorith. Joural Optiizatio Theory Applicatios, v. 45,., p. 4-5, 985. [5] Della Croce, F.; T'kidt, V., "A Recoverig Bea Search Algorith for the Oe- Machie Dyaic Total Copletio Tie Schedulig Proble", Joural of the Operatioal Research Society, vol 54, pp. 275-280, 2002. [6] Diaati, M., Na, S., She, X., Karray, F., A Geetic Algorith Approach for Cell to Switch Assiget i Cellular Mobile Networks. Proc. 2003 Caadia Workshop o Ifor. Theory, pp. 59-62, Waterloo, Otario, Caada, May 8-2, 2003. [7] Fox, M.S., Costrait-Directed Search: A case Study of Job-Shop Shedulig, PhD. thesis, Caregie-Mello Uiversity, USA, 983. [8] Glover, F., Tabu Search-Oart I, ORSA Joural o Coputig, (3) (989), 90-206. [9] Hedible, C., Pierre, S., Geetic algorith for the assiget of cells to switches i persoal couicatio etworks, Electrical ad Coputer Egieerig, Caadia Cof. o, vol. 2, 2000, pp. 077-08, 2000. [0] Hollad, J. H., Adaptatio i atural ad artificial systes. A Arbor: The Uiversity of Michiga Press, 975.

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