Profª. Carmen Lucia Tancredo Borges

Transcrição

1 Aálise de Sisteas de otêcia rofª Care Lucia Tacredo Borges Edição: rof Sergio Sai Haza Leoardo Ne de A Guerra EE - UFRJ Departaeto de Eletrotécica Março 5

2 ROGRAMA Modelos de Redes de otêcia e Regie eraete Modelos dos Copoetes de Redes Equações odais Matrizes de aditâcia e ipedâcia odal 4Métodos de odificação e redução dos odelos das redes Estudos de Fluxo de otêcia Forulação do problea Métodos de solução: Gauss-Seidel Newto-Raphso Desacoplado Rápido e Liearizado Utilização do fluxo de potêcia: cotrole do fluxo de potêcia ativa cotrole de tesão etc Estudos de Estabilidade Tipos de estudos de estabilidade Modelos de geradores e cargas; equações de oscilação Estabilidade e regie peraete: coeficiete de sicroização 4Estabilidade trasitória: critério de áreas iguais; solução uérica da equação de oscilação; itrodução ao estudo de sisteas ultiáquias 4 rograação da Geração 4Operação ótia de geradores ligados a ua barra 4rograação ótia da geração e sisteas téricos; fórula de perdas 4trodução à prograação ótia de geração e sisteas hidrotéricos Bibliografia Joh J Graiger e Willia D Steveso ower Sste Aalsis Mc Graw-Hill Ed 994 WD Steveso Jr Eleets of ower Sste Aalsis 4th Editio McGraw-Hill 98 [Tradução º edição] (Cap e 4 O Elgerd Electric Eerg Sste Theor: A troductio McGraw-Hill 97 (Cap 7 8 e 4 A Moticelli Fluxo de Carga e Redes de Eergia Elétrica Edgar Blucher 98 (Cap -6

3 Ídice Capítulo Modelo dos Copoetes de u Sistea Elétrico de otêcia 5 Eleetos de u sistea elétrico de potêcia 5 Modelos da liha de trasissão 5 Modelo da liha curta (até 8 5 Modelo de liha édia (etre 8 e 4 6 Modelo da liha loga (acia de 4 7 Modelo do trasforador 8 Trasforador oofásico de dois erolaetos8 Trasforador oofásico de três erolaetos 9 Trasforador trifásico ou baco de três trasforadores oofásicos 4 Trasforador co coutação autoática de tape - odelo pi 4 Modelo do gerador 4 5 Modelo da carga4 5 Represetação da carga para fluxo de potêcia 4 5 Represetação da carga para estudo de estabilidade 4 5 Represetação da carga para estudo de curto-circuito 5 54 Represetação da carga pelo odelo Z 5 Capítulo Equações da Rede Elétrica e Regie eraete6 Objetivo 6 Tipos de represetação 6 Equações odais 6 Equivalêcia de fotes 6 Equações odais da rede quado odelada por aditâcias 7 Características de Y BARRA 9 4 Características de Z BARRA 9 5 terpretação física dos eleetos de Y BARRA e Z BARRA 5 Eleetos de Y BARRA 5 Eleetos de Z BARRA 4 Redução da rede 5 4 Objetivo 5 4 Eliiação de barra 5 4 Eliiação da barra ode ão existe fote de correte5 4 Eliiação de barra ode existe fote de correte idepedete 9 4 Equivaletes de rede 5 Motage da atriz Y BARRA co eleetos acoplados 6 Modificação da atriz aditâcia de barra 5 7 Motage e Modificação da atriz ipedâcia de barra 5 7 Modificação direta da atriz ipedâcia de barra 5 7 O eleeto é ligado etre a barra ova p e a referêcia 6 7 O eleeto é ligado etre a barra ova p e a barra existete 7 7 O eleeto é ligado etre a barra existete e a referêcia 7 74 O eleeto é ligado etre a barra existete e a barra existete j8 7 Motage direta da atriz ipedâcia de barra 4 7 Exclusão de u eleeto de ipedâcia z b da atriz Z BARRA 4 74 Modificação do valor da ipedâcia que liga duas barras 4 8 Obteção dos eleetos da colua da atriz ipedâcia de barra a partir da atriz aditâcia de barra4 8 Obteção de ua colua da atriz ipedâcia de barra 4

4 Aálise de Sisteas de otêcia 8 Obteção da difereça etre duas coluas da atriz ipedâcia de barra 4 Capítulo Fluxo de otêcia45 trodução45 Dados de etrada 45 Codição de geração e carga 45 Geração45 Carga 45 Restrições operativas 45 4 Dispositivos de cotrole 45 5 Solução da rede 45 6 Aplicações 46 7 Modelo da rede 46 8 Modelo ateático do fluxo de potêcia 46 9 Métodos de solução 46 9 Métodos baseados e Y BARRA 46 9 Métodos baseados e Z BARRA 47 9 Método de Newto-Raphso Métodos desacoplados47 95 Fluxo de potêcia liear 47 Forulação do problea de fluxo de potêcia e variáveis coplexas47 Equações do fluxo de potêcia e variáveis reais e a fora polar 48 Coceito de barra flutuate ou swig ou slac 5 Tipos de barras 5 Barra flutuate ou swig ou slac ou 5 Barra de carga ou Q 5 Barra de tesão cotrolada ou 5 4 Sistea de equações do fluxo de potêcia 5 4 Subsistea 5 4 Subsistea 5 Fluxo de otêcia pelo Método de Gauss-Seidel 5 Revisão do étodo de Jacobi 5 O étodo de Gauss-Seidel 54 Critério de covergêcia do étodo de Gauss-seidel 55 4 Fórula geral do étodo de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potêcia 55 5 Melhoria do étodo de Gauss-Seidel 55 6 Trataeto o caso de existir barra 55 4 Fluxo de potêcia pelo Método de Newto-Raphso58 4 Revisão do étodo o caso oovariável f(x 58 4 Revisão do étodo o caso ultivariável F(x [] 59 4 Aplicação do étodo de Newto-Raphso a solução do fluxo de potêcia Matriz jacobiaa geral 6 45 Matriz Jacobiaa aplicada à solução do fluxo de potêcia 6 46 Algorito da Solução do Fluxo de otêcia pelo Método de Newto-Raphso: 6 47 Eleetos das subatrizes H N M L do Jacobiao 6 48 Estrutura do jacobiao 6 5 Expressões do fluxo de potêcia ativa e reativa os diversos raos e shuts67 5 Liha de trasissão édia ou loga 67 5 Liha de trasissão curta 69 5 Trasforador 7 54 Eleetos shut 7 6 Fluxo de potêcia pelo Método Desacoplado Rápido 76 6 Fluxo de potêcia pelo Método de Newto desacoplado 76 6 Cosiderações sobre as atrizes H e L do étodo de Newto desacoplado 76 6 Forulação fial do étodo Desacoplado Rápido Artifícios ateáticos para elhorar o desepeho do étodo desacoplado rápido a preseça de raos co elevada relação r/x 8

5 Aálise de Sisteas de otêcia 64 Artifício da copesação 8 64 Copesação série8 64 Copesação paralela8 64 Método BX de va Aeroge8 64 Esquea iterativo flexível8 7 Fluxo de potêcia liearizado ou fluxo de potêcia DC84 7 Siplificações propostas 84 7 Desprezado as perdas do sistea 84 7 Forulação atricial85 7 Cosiderado as perdas do sistea 86 7 Forulação atricial88 7 Metodologia de solução88 74 Resuo do étodo liearizado 88 8 Utilização do estudo de fluxo de potêcia9 9 Cotroles e Liites 94 9 Modos de represetação 94 9 Ajustes alterados 94 9 Cotrole de tesão e barras Liites de tesão e barras Q Trasforadores e-fase co cotrole autoático de tap Trasforadores defasadores co cotrole autoático de fase Cotrole de itercâbio etre áreas Cotrole de tesão e barras reotas Cargas variáveis co a tesão 99 Capítulo 4 Estabilidade de Sisteas de otêcia 4 trodução 4 Tipos de istabilidade 4 Tipos de perturbação 44 Tipos de estudos de estabilidade 45 Coceitos básicos da áquia sícroa 45 ricípio de fucioaeto 46 Diâica do rotor da áquia sícroa 46 Equação de oscilação da áquia sícroa 46 Tipos de estudos 5 47 Equivalete de áquia ou áquia equivalete 5 47 alor da costate H a base do sistea 5 47 Máquias coeretes 5 47 Máquias ão coeretes 6 48 Equação potêcia-âgulo7 49 Coceitos sobre o regie trasitório da áquia sícroa 4 Critério das áreas iguais 4 otêcia elétrica trasitida igual a zero durate o curto 4 Âgulo crítico de eliiação da falta para potêcia elétrica ula trasitida durate a falta 4 4 Tepo crítico de eliiação de falta 5 44 Aálise de casos 6 45 Âgulo crítico de eliiação da falta co trasissão de potêcia elétrica diferete de zero durate a falta 7 4 Coeficiete de potêcia sicroizate 9 4 Aálise da equação de oscilação liearizada 9 4 Aálise gráfica da potêcia elétrica para pequeas oscilações

6 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Estudo de estabilidade ulti-áquias 4 Modelo clássico de estabilidade 4 Etapas do estudo 4 Fatores que afeta a estabilidade do sistea5 Capítulo 5 Operação Ecoôica de Sisteas de otêcia 6 5 trodução6 5 Características das uidades geradoras6 5 Operação Ecoôica de Sisteas de otêcia - problea da prograação da geração 7 5 Sistea térico 7 5 Sistea hidro-térico 7 54 Despacho ecoôico e sisteas téricos7 54 Característica das uidades téricas covecioais 7 54 Caso particular de geradores se perda a trasissão 8 54 Método dos ultiplicadores de Lagrage9 54 Extesão para o caso de geradores 544 Cosideração de liite a capacidade de geração se se cosiderar as perdas a trasissão 545 clusão das perdas a trasissão 7 4

7 Aálise de Sisteas de otêcia Capítulo Modelo dos Copoetes de u Sistea Elétrico de otêcia Eleetos de u sistea elétrico de potêcia a Liha de trasissão; b Trasforador de potêcia; c Gerador; d Carga Existe ais de u odelo para cada u dos eleetos listados ara cada tipo de estudo existe u odelo específico do eleeto Os odelos apresetados a seguir cosidera: a A rede e regie peraete; b O sistea elétrico siétrico e equilibrado logo soete copoetes de seqüêcia positiva; c alores e por uidade A Figura ostra u pequeo sistea elétrico de potêcia ode T e T são trasforadores G Cargas Gerador Liha de trasissão T T Figura Sistea elétrico de potêcia Modelos da liha de trasissão O odelo da liha de trasissão depede do coprieto da esa A seguir a odelage de cada u dos três coprietos típicos Modelo da liha curta (até 8 Neste caso a capacitâcia da liha por ser pequea é desprezada sedo a liha represetada pelos parâetros série ou seja a resistêcia e a idutâcia A Figura ostra o odelo da liha curta S r jωl R S R Figura Modelo da liha curta 5

8 Aálise de Sisteas de otêcia 6 Da Figura pode-se tirar as seguites equações: L j r z ω S R ( R R S z ( Explicitado-se as variáveis da receptora ve: R S S S R z Modelo de liha édia (etre 8 e 4 Neste caso cosidera-se a capacitâcia da liha cocetrada e abas as extreidades da esa A liha é represetada pelo odelo pi-oial ostrado a Figura Figura Modelo da liha de coprieto édio Da Figura pode-se tirar as seguites equações: z R S R R Substituido-se a correte a equação acia e agrupado teros ve: R R S z z ( S S Substituido-se a equação de S a correte e a tesão S e agrupado teros ve: R R R R S z z R R S z z (4 Explicitado-se as variáveis da receptora cosidere o sistea forado pelas Equações e 4: R R S b a R R S d c c b d a d c b a Δ S z S R R / /

9 Aálise de Sisteas de otêcia 7 S S S S b d d b R δ S S S S c a c a R δ Substituido-se valores ve: z z z z z z c b d a b d S S S S R 4 S S R z z z z z z z z c b d a c a S S S S R 4 S S R z z Observação: c b d a Modelo da liha loga (acia de 4 O odelo da liha loga é deteriado cosiderado-se os parâetros da liha distribuídos o que resulta e equações difereciais parciais as quais são ajustadas a u odelo pi-equivalete ostrado a Figura 4 Figura 4 Modelo da liha loga Os valores dos parâetros da Figura 4 estão ostrados a seguir l l seh Z z e equivalet γ (γ tah( l l Y e equivalet γ γ z γ costate de propagação l z Z e l Y ode l é o coprieto da liha R S S R equivalete / z equivalete equivalete /

10 Aálise de Sisteas de otêcia Modelo do trasforador Trasforador oofásico de dois erolaetos A Figura 5 ostra o odelo copleto de u trasforador oofásico de dois erolaetos r x r x r f x Figura 5 Modelo copleto do trasforador oofásico de dois erolaetos A Figura 6 ostra o odelo copleto do trasforador oofásico de dois erolaetos co todos os parâetros referidos ao priário ode a gradeza co prio desiga gradeza refletida r x r' x' ' r f x Figura 6 Modelo copleto do trasforador co parâetros referidos ao priário Cosiderado-se que a correte de agetização do trasforador é uito eor que a correte de carga e tabé cosiderado-se que o trasforador é u equipaeto de redieto elevado aior que 98% pode-se se perda de exatidão desprezar o rao paralelo e a resistêcia série do trasforador resultado o odelo da Figura 7 ode x eq x x' x eq ' Figura 7 Modelo do trasforador oofásico desprezado-se o rao paralelo e a resistêcia dos erolaetos 8

11 Aálise de Sisteas de otêcia Trasforador oofásico de três erolaetos A Figura 8 ostra o esquea de u trasforador oofásico de três erolaetos S T Figura 8 Costrução do trasforador oofásico de três erolaetos Dos esaios de curto-circuito te-se: x x x S T ST x x' as gradezas base são do erolaeto priário S x x' as gradezas base são do erolaeto priário S T x x' as gradezas base são do erolaeto secudário T Referido-se todos os parâetros esaiados a ua esa base te-se resolvedo-se o sistea de três equações ve que: x S x T x ST e x x x S T 5 ( xs xt xst 5 ( x x x S ST T 5 ( xt xst xs A Figura 9 ostra o circuito equivalete do trasforador de três erolaetos ode o poto de ecotro dos três erolaetos é fictício e ão te qualquer relação co o eutro do sistea x S x S S x T T T Figura 9 Circuito equivalete de u trasforador de três erolaetos Exeplo U trasforador trifásico de três erolaetos co tesões //66 te as seguites reatâcias e pu edidas etre erolaetos e referidas a MA : x 5 x 9 x ST 8 O erolaeto secudário de 66 alieta ua carga balaceada co correte de A co fator de potêcia e atraso de 8 e o erolaeto terciário de alieta u reator de j 5 Ω/fase coectado e estrela Calcular a tesão o erolaeto priário de para que a tesão o erolaeto secudário seja de 66 S T 9

12 Aálise de Sisteas de otêcia Solução: Na base de MA e ve: x 5 ( x x x 5 ( pu S T ST S 5 ( xs xst xt T 5 ( xt xst xs x 5 ( pu x 5 (9 8 5 pu alores base do erolaeto terciário: B S B MA Z S 6 Ω S 5486 A B B ( B B B / B alores base do erolaeto secudário: B 66 S B MA Z S 45 Ω S 64 A B B ( B B B / B alores base do erolaeto priário: B S B MA Z S 58 8 Ω S A B B ( B B B / B Correte secudária e pu: / B /64 76 pu O fator de potêcia é 8 e atraso e Reatâcia terciária e pu: x 5/6 8 pu S ara se ecotrar a solução do exeplo basta agora resolver o circuito equivalete da Figura ode todos os valores estão e pu j8 S j7 S j z L T j8 T Figura Circuito equivalete do trasforador de três erolaetos do Exeplo Toado-se as corretes de alha e ota-se o seguite sistea de equações: j j j 8 ( 8 ( ( j j8 ( j Agrupado teros ve: j j / j

13 Aálise de Sisteas de otêcia Outro étodo de solução: O potecial do poto M é: M S xs M j j4 Correte o erolaeto terciário: x x j j8 9 9 T L A correte o erolaeto priário é: j Tesão a reatâcia de dispersão do erolaeto priário: x X j Tesão os teriais do erolaeto priário: X M 87 7 j logo a tesão priária deve ser de 49 4 Trasforador trifásico ou baco de três trasforadores oofásicos A odelage do trasforador trifásico e estudos de curto-circuito é e geral diferete da odelage de três trasforadores oofásicos Na costrução do trasforador trifásico tipo úcleo evolvido difereteete do trasforador tipo úcleo evolvete é suposto que a soa dos fluxos das três fases é istataeaete ulo ão havedo portato caiho de retoro para estes fluxos ara regie peraete siétrico e equilibrado os odelos são iguais Ateção deve ser dispesada co relação à defasage etre as tesões de liha priária e secudária Sob codições balaceadas ão existe correte de eutro logo os eleetos de circuito que por vetura estão coectados ao eutro ão são represetados o diagraa de ipedâcias Se o trasforador estiver ligado e delta-delta (Δ-Δ ou estrela-estrela (Y-Y a odelage é idêtica ao odelo oofásico Se o trasforador estiver ligado e estrela-delta (Y-Δ ou delta-estrela (Δ-Y existe defasage de etre as tesões teriais priárias e secudárias A ora brasileira diz que idepedeteete do tipo da ligação ser Y-Δ ou Δ-Y as tesões de liha secudárias deve estar atrasadas de e relação às tesões de liha priárias A Figura ostra u trasforador trifásico Y-Δ co relação de trasforação oofásica N :N Deteriação do âgulo das tesões de liha a ligação Y-Δ seqüêcia de fase abc É suposto que o lado estrela seja o erolaeto priário A N :N a AB ca CN B N :N b AN ab BN C N :N c bc N Figura Trasforador Y-Δ e diagraas fasoriais das tesões teriais

14 Aálise de Sisteas de otêcia bc A Figura ostra que as tesões ca do lado delta respectivaete Relação de trasforação oofásica: N :N Relação de trasforação das tesões de liha N Y-Δ N ; Se AN está e fase co ab AB AN N ab AN N N AB ab N ab AB N N AN BN CN do lado Y estão e fase co as tesões ab : N N A Figura ostra o odelo do trasforador e pu escolhedo-se as bases de tesão co a esa relação de trasforação das tesões de liha Y-Δ x eq Da Figura ve: ( base N ( base N Figura Trasforador trifásico Y-Δ e seu odelo equivalete e pu x eq do odelo do trasforador trifásico e pu ão uda co o tipo de ligação do trasforador trifásico pois esta reatâcia ve do esaio e curto 4 Trasforador co coutação autoática de tape - odelo pi LTC: load tap chage ou TCAT: trasforador co coutação autoática de tape O tape passa a ser ua variável do odelo A aditâcia do odelo pode ser colocada do lado uitário ou do lado do tape Assue-se que o valor da aditâcia ão varia co a posição do tape A Figura represeta u trasforador co coutação autoática de tape co relação :t A seguir a dedução do odelo equivalete do TCAT a partir da Figura que será igualado ao circuito pi da Figura 4 ode A B e C são aditâcias i i :t j j Figura Diagraa esqueático de u trasforador co tape

15 Aálise de Sisteas de otêcia i j t i j t ( t ( j i t i (5 i t j logo i t j Substituido-se esta equação o valor de da Equação 5 ve: t t (6 i i i i B A C Figura 4 Modelo pi de u circuito elétrico geérico Equações do odelo pi da Figura 4 A ( i C A i A C A i ( A C (7 i B i i B i A i A ( A B A (8 i i gualado-se as equações (5 7 e (6 8 ve: t A A C t C C ( t ( t A B B t A B t t B t t O odelo pi do trasforador co tape está ostrado a Figura 5 i i (t t t ( t Figura 5 Modelo pi do trasforador co tape :t Se t ou seja se o trasforador está operado a relação oial o circuito equivalete se reduz ao odelo cohecido coo ostrado a Figura 6 ode z S S R R Figura 6 Circuito equivalete do trasforador co tape para t

16 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Modelo do gerador A Figura 7 ostra o odelo do gerador sícroo de rotor cilídrico (pólos lisos r a jx S E t Figura 7 Modelo do gerador de rotor cilídrico r a resistêcia da aradura X S reatâcia sícroa que é a soa da reatâcia X a devido a reação da aradura e da reatâcia X l devido a dispersão ode-se desprezar a resistêcia da aradura as áquias e que a resistêcia da aradura é uito eor que X S Regie peraete: X S Regie trasitório ou diâico: reatâcia trasitória (x' d ou sub-trasitória (x'' d 5 Modelo da carga A represetação da carga depede uito do tipo de estudo realizado A carga pode ser represetada por potêcia costate correte costate ou ipedâcia costate É iportate que se coheça a variação das potêcias ativas e reativas co a variação da tesão E ua barra típica a carga é coposta de otores de idução (5 a 7% aquecieto e iluiação ( a % e otores sícroos (5 a % Ebora seja exato cosiderar as características e Q de cada tipo de carga para siulação de fluxo de carga e estabilidade o trataeto aalítico é uito coplicado ara os cálculos evolvidos existe três aeiras de se represetar a carga 5 Represetação da carga para fluxo de potêcia A Figura 8 ostra a represetação da carga coo potêcia ativa e reativa costates L jq L Figura 8 Represetação da carga co potêcia costate para estudo de fluxo de potêcia 5 Represetação da carga para estudo de estabilidade Neste caso a ateção ão é co a diâica da carga as si co a diâica do sistea or esta razão a carga é represetada por ipedâcia costate coo ostra a Figura 9 z Figura 9 Represetação da carga para estudo de estabilidade co ipedâcia costate 4

17 Aálise de Sisteas de otêcia 5 Represetação da carga para estudo de curto-circuito Cargas estáticas e pequeas áquias são desprezadas Soete as áquias de grade porte cotribue para o curto logo apeas estas áquias são cosideradas 54 Represetação da carga pelo odelo Z Neste odelo parte da carga é represetada por ipedâcia costate parte da carga é represetada por correte costate e parte da carga é represetada por potêcia costate Carga Z cte cte cte ( oi al ( p p p z i p p z pi p p ode: p z é a parcela da carga represetada coo Z costate p i é a parcela da carga represetada coo costate p p é a parcela da carga represetada coo costate ( oi al Q ( q q q Q z i p q z qi q p ode: q z é a parcela da carga represetada coo Z costate q i é a parcela da carga represetada coo costate q p é a parcela da carga represetada coo costate 5

18 Aálise de Sisteas de otêcia Capítulo Equações da Rede Elétrica e Regie eraete Objetivo Deteriação das atrizes que represeta a rede elétrica de correte alterada e regie peraete seoidal para uso coputacioal Tipos de represetação a Modelo co parâetros de aditâcia; b Modelo co parâetros de ipedâcia As equações da rede serão extraídas utilizado-se a aálise odal da rede pois esta apreseta desepeho coputacioal ais eficiete Equações odais Equivalêcia de fotes As fotes da Figura são equivaletes se E z g zg g z g R E D E E z g R E D E g R E D E Figura Equivalêcia etre fote de correte e fote de tesão A otação usada o presete texto é: Letra aiúscula co ídice duplo correspode a u eleeto da atriz; Letra iúscula co ídice siples ou duplo correspode à ipedâcia ou aditâcia de u eleeto do sistea 6

19 Aálise de Sisteas de otêcia Equações odais da rede quado odelada por aditâcias Seja o sistea da Figura ode E represeta u otor E E T T T E Figura Sistea exeplo para as equações odais da rede Utilizado-se o odelo de cada eleeto o sistea fica coo ostra a Figura z g z t z z t z g E z z z z E z t z z E Figura Sistea exeplo co os odelos dos eleetos da rede A Figura 4 ostra o diagraa da rede da Figura e que cada fote de tesão e série co ipedâcia foi trasforada e fote de correte e paralelo co a aditâcia e as ipedâcias das lihas fora trasforadas e aditâcias 7

20 Aálise de Sisteas de otêcia 8 Figura 4 Diagraa uifilar do sistea exeplo co aditâcias z g z t E z E z g z t z z g z t E z E z g z t z z z t E z E z z t z 4 z 5 z 6 z Equações odais do circuito da Figura 4 Barra : ( ( ( 6 4 Barra : ( ( ( 4 5 Barra : ( ( ( 6 5 Barra : ( ( ( ( A equação da barra é liearete depedete das outras três equações Basta soar as equações das barras para verificar Agrupado-se teros das equações das barras ve: ( ( ( ( Colocado-se as Equações a fora atricial te-se para a atriz aditâcia odal BARRA Y : ( A Equação é da fora Y BARRA ode: é o vetor de ijeção de correte a rede por fotes idepedetes é o vetor de tesão as barras e relação à referêcia e BARRA Y é a atriz de aditâcia de barra ou atriz de aditâcia odal 4 5 6

21 Aálise de Sisteas de otêcia Características de Y BARRA Siétrica; Coplexa; Quadrada de diesão ode é o úero de barras do sistea se cotar a barra de referêcia; 4 Esparsa ais de 95% dos eleetos é ulo o que é ua vatage; 5 Os eleetos da diagoal pricipal são positivos; 6 Os eleetos fora da diagoal pricipal são egativos; 7 Os eleetos da diagoal pricipal Y são o soatório das aditâcias diretaete ligadas à barra ; 8 Os eleetos fora da diagoal pricipal Yj são o siétrico da soa das aditâcias que liga as barras e j As características 7 e 8 acia perite a otage direta da atriz Y BARRA por ispeção da rede ode-se tabé escrever a equação YBARRA coo Z BARRA ode Z BARRA Y atriz Z BARRA é cohecida coo atriz de ipedâcia de barra ou atriz de ipedâcia odal BARRA A 4 Características de Z BARRA Siétrica; Coplexa; Quadrada de diesão ode é o úero de barras do sistea se cotar a barra de referêcia; 4 Matriz cheia Exeplo Escrever as equações odais da rede a fora atricial ou seja escrever YBARRA que correspode ao diagraa uifilar da Figura 5 sabedo-se que E a 5 E b 5 67 E c 5 z g j5 z t j z j5 z 4 j z 4 j z 4 j5 z j4 e valores por uidade E a E c 4 E b Figura 5 Diagraa uifilar do exeplo A Figura 6 ostra o diagraa uifilar de ipedâcias do circuito da Figura 5 9

22 Aálise de Sisteas de otêcia E a 5 j5j j j5 E c 5 j5j j5 4 j4 E b 5 67 j5j j Figura 6 Diagraa uifilar de ipedâcias do circuito da Figura 5 A Figura 7 ostra o diagraa uifilar de aditâcias ode todas as fotes de tesão fora trasforadas e fotes de correte A seguir os cálculos para a deteriação dos parâetros do sistea da Figura 7 9 j8 6 j5 9 4 j4 j8 7 j j5 8 j5 j8 Figura 7 Diagraa uifilar de aditâcias do circuito da Figura 5

23 Aálise de Sisteas de otêcia E 5 a 9 j z z j5 g t E 5 67 b j96 z z j5 g t E 5 c 9 j z z j5 g j t j5 8 j5 8 j5 8 j5 4 j j 4 j j4 5 j 5 j5 8 j 5 5 j 6 j De acordo co a regra de otage da atriz Y Y Y Y j8 j4 j5 98 j j8 j5 j5 8 j j8 j4 j5 j8 5 j j5 j8 j j Y Y Y j4 4 Y4 j5 Y Y j 4 Y4 j5 Y 4 Y4 j Y Y 5 Y 8 7 j 8 j Y BARRA pode-se escrever: O sistea de equações co a atriz aditâcia de barra fica etão: j98 j4 j5 j8 j5 j5 j4 j5 j5 j8 j5 j5 j8 j8 4 O cálculo das aditâcias é siples quado as resistêcias são desprezadas A diagoal pricipal é egativa e os eleetos fora da diagoal pricipal são positivos 5 terpretação física dos eleetos de Y BARRA e Z BARRA Seja o circuito da Figura Figura 8 terpretação física dos eleetos de Y BARRA e Z BARRA

24 Aálise de Sisteas de otêcia 5 Eleetos de Y BARRA Seja a equação que descreve o circuito da Figura 8 pela atriz aditâcia de barra: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Os eleetos da atriz aditâcia de barra pode ser calculados pelo esaio e curto-circuito ode: Y : aditâcia própria de curto-circuito da barra i Y : aditâcia de trasferêcia de curto-circuito etre as barras i e Esaio de curto-circuito a barra da Figura 8: curto-circuito e todas as barras a exceção da barra Te-se portato [ ] Y Y Y Y Y Y A expressão geral de cada eleeto da atriz aditâcia de barra relacioa o efeito à causa e é: j i i j Y erificação: esaio de curto-circuito a barra da Figura 8 ou seja todas as tesões de barra co exceção da barra são zero ( ( ( ( 6 4 Y ( ( ( Y ( ( ( Y 5 Eleetos de Z BARRA Seja a equação que descreve o circuito da Figura 8 pela atriz ipedâcia de barra: Z Z Z Z Z Z Z Z Z Os eleetos da atriz ipedâcia de barra pode ser calculados pelo esaio e circuito aberto ode: Z : ipedâcia própria de circuito aberto da barra i Z : ipedâcia útua de circuito aberto etre as barras i e

25 Aálise de Sisteas de otêcia Esaio de circuito aberto a barra da Figura 8: fotes de correte ioperates ou ortas e todas as barras co exceção da barra Te-se portato Z Z Z [ ] Z Z Z A expressão geral de cada eleeto da atriz ipedâcia de barra relacioa o efeito à causa e é: i Zi Observações: j j se a correte (correte ijetada a rede durate o esaio é de pu Z Z Z ou seja os eleetos da colua são uericaete iguais às tesões Z é a ipedâcia equivalete da rede vista etre a barra e a referêcia co as deais fotes (Th de correte ioperates ou seja é a ipedâcia do equivalete de Thèvei Z Z elo sigificado físico dos eleetos de Y BARRA e Z BARRA evidecia-se que ão há reciprocidade etre estes eleetos ou seja Y Z Exeplo Resolva as equações odais do Exeplo para ecotrar a atriz ipedâcia de barra pela iversão da atriz aditâcia de barra Calcule etão as tesões de barra Solução: vertedo-se a atriz Y BARRA co auxílio da fução iv( do MATLAB obté-se: j4774 j76 j4 j44 j76 j487 j9 j46 j4 j9 j4558 j4 j44 j j46 7 j96 j4 j j47 4 O vetor tesão de barra é ecotrado efetuado-se a ultiplicação idicada ou seja: 4 j j j j Exeplo U capacitor co reatâcia de 5 pu as bases do sistea é coectado etre a barra 4 e a referêcia do circuito da Figura 7 Calcular a correte que passa pelo capacitor e a ova tesão da barra 4 A ipedâcia do capacitor é: z C j5 pu Z 44 é a ipedâcia equivalete da rede vista da barra 4 4 é a tesão da barra 4 ates do capacitor ser colocado Z 44 é obtido ivertedo-se a atriz Y BARRA A atriz Z BARRA está ostrada acia logo Z 44 j47 tabé ostrado acia vale 4 A Figura 9 ostra o circuito de Thèvei e e 4 questão 4 97

26 Aálise de Sisteas de otêcia 4 capacitor 4 Z 44 j5 Solução: Figura 9 Equivalete de Thèvei por eleeto de capacitor 6 78 Z44 j5 j47 j5 Z BARRA A ova tesão da barra 4 passa a ser: 6 78 j Notar que a ova tesão a barra 4 auetou de valor Exeplo 4 Se ua correte de 6 78 pu é ijetada a barra 4 do exeplo (esta é a esa correte que passa pelo capacitor co todas as outras fotes atidas ecotre as tesões as barras 4 Notar que ão existe capacitor este exeplo Cosiderado-se todas as fotes ioperates as tesões odais soete devidas a esta correte ijetada pode ser calculada a partir da atriz Z BARRA Basta ultiplicar a atriz Z BARRA pelo vetor correte ou seja basta ultiplicar a colua 4 da atriz Z BARRA pela correte 6 78 Efetuado-se esta operação ve: Z j pu Z j pu Z j pu 4 Z j pu ara se deteriar as ovas tesões as barras pode-se utilizar a superposição adicioado-se as tesões das barras soete devidas às fotes de correte co as tesões das barras devidas à fote de correte de pu pu pu pu Observar que a tesão da barra 4 é a esa da do exeplo 4

27 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Redução da rede 4 Objetivo As atrizes ipedâcia de barra e aditâcia de barra de u sistea elétrico real são uito grades diesão da orde de ilhares Nos estudos ão é ecessário se cohecer a tesão e todas as barras do sistea logo segue técicas para reduzir a diesão da rede eliiado-se trechos ão prioritários da rede para o estudo e questão 4 Eliiação de barra Seja a rede elétrica represetada pela atriz aditâcia de barra A eliiação se processa para duas diferetes situações: a ão existe fote de correte a barra a ser eliiada b existe fote de correte a barra a ser eliiada 4 Eliiação da barra ode ão existe fote de correte articioaeto da atriz Ordea-se as equações de tal fora que todas as barras se fote fique jutas e a parte iferior da atriz A B 4 Y 5 BA Y AA Y t AB Y Y AB BB 4 5 A B Supodo-se B A YAA YAB A t B YAB YBB B A YAA A YAB B t t Y Y Y Y B AB A BB B Substituido-se o valor de B a equação de A ve: t Y Y Y Y A AA A YA AB BB AB B Agrupado-se teros ve: t A ( YAA YAB YBB YAB A que está a fora A YA A A BB A orde da atriz Y A este exeplo é a do úero de barras co fote de correte Exeplo 5 Eliiação de apeas ua barra do sistea de três barras da Figura 8 co A B Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y A Y Y Y [ Y ] [ Y Y ] AB A A B 5

28 Aálise de Sisteas de otêcia Y Y Y Y Y Y Y Y Y A Y Y Y Y Y Y Y Y Esta atriz represeta u sistea equivalete ao sistea de três barras agora co diesão Colocado-se de fora escalar te-se que a eliiação da barra é: Yi Yj Y ' ij Yij Y que é chaada de eliiação de Kro ara aior eficiêcia coputacioal deve-se evitar a iversão da atriz Y BB O procedieto é etão o de eliiar ua barra por vez aplicado-se a eliiação de Kro tatas vezes quato o úero de barras a sere eliiadas A partir de Y A pode-se desehar o circuito equivalete No exeplo te-se agora duas barras ostradas a Figura ode os eleetos da ova atriz Y BARRA são: Y ' ' ' Y ' ' ' Y ' Y ' ' Resolvedo-se o sistea acia deteria-se ' ' ' ' ' ' Figura Sistea equivalete ao sistea de três barras Exeplo 6 Eliiar as barras e 4 do sistea da Figura sabedo-se que estas ão tê fote Desehar o circuito equivalete co estes ós eliiados e calcular as potêcias ativa e reativa ijetadas ou absorvidas e cada barra j8 6 j5 4 j4 7 j8 4 j8 5 j5 8 j5 Figura Sistea para a eliiação das barras e 4 6

29 Aálise de Sisteas de otêcia Y BARRA 4 j98 j4 j5 j8 j5 j5 Y BARRA j4 j5 j45 j8 j5 j5 j8 j8 Eliiação da barra 4 Y ' j5 j5 j98 j84 j8 j5 j5 Y ' Y ' j9 j8 j5 j8 Y ' Y ' j4 j6 j8 Y ' j5 j5 j8 j69 j8 j5 j8 Y ' Y ' j5 j47 j8 Y ' j8 j8 j45 j94 j8 Após a eliiação da barra 4 a atriz Y BARRA fica: j84 j9 j6 Y ' BARRA j9 j69 j47 j6 j47 j94 Eliiado-se agora a barra ve: Y '' j6 j6 j84 j487 j94 j6 j47 Y '' Y '' j9 j47 j94 Y '' j47 j47 j69 j487 j94 Após a eliiação das barras 4 e a atriz Y BARRA fica: j487 j47 Y '' BARRA j47 j487 A Figura ostra o sistea de duas barras que te a atriz Y BARRA coo acia equivalete ao sistea da Figura de quatro barras 7

30 Aálise de Sisteas de otêcia '' '' '' Figura Circuito equivalete após a eliiação das barras se fote 4 e ara se calcular os valores dos eleetos do circuito da Figura basta aplicar as regras da costrução da atriz Y BARRA e resolver o sistea Te-se etão: '' ( ' ' ' ' j487 '' ( ' ' ' ' j4 87 Y BARRA Y BARRA Y '' ( Y '' ( ' ' j47 BARRA BARRA Resolvedo-se o sistea ve: ' j47 ' ' ' j487 j47 8 ' ' j ara se calcular a potêcia ijetada e cada barra basta calcular prieiraete as tesões as barras Te-se que: j487 j47 j47 j487 ode o vetor correte é cohecido Utilizado-se o prograa MATLAB para iverter a atriz Y BARRA co a fução iv(y BARRA ve: j68 j57 j68 j57 j57 j68 j57 9 j j j * S S j * S S j erdas a liha de trasissão: 68 j ' ' ( ( j47 (

31 Aálise de Sisteas de otêcia otêcia ijetada a liha a partir da barra : * S (4 67 (46 87 S j otêcia ijetada a liha a partir da barra : * S (4 4 ( 5 87 S j5 S S 9 j A potêcia reativa cosuida a liha tabé pode ser calculada por: ' ' erda reativa a aditâcia do gerador : Q ' ' erda reativa a aditâcia do gerador : Q ' ' erda reativa total: Q total otêcia total ijetada o sistea: S total S S 49 j64 49 j64 S total j7 4 Eliiação de barra ode existe fote de correte idepedete A eliiação de barra ode existe fote de correte é seelhate a eliiação de Gauss Este étodo tabé vale quado ão existe fote de correte a barra eliiada sedo a fote de correte ula u caso particular A eliiação de Gauss cosiste e trasforar a atriz do sistea e ua atriz triagular superior Co isto ecotra-se o valor de ua variável e por substituição todas as deais variáveis Quado da eliiação de barra co fote pode ocorrer que ua barra origialete se fote fique co fote A eliiação de Gauss cosiste de duas etapas: a oralização da prieira equação b eliiação da variável pivotada as outras equações Seja o sistea YBARRA de diesão três por três escrito a fora estedida a seguir Y Y Y Y Y Y Y Y Y a Noralização da prieira equação Dividido-se a prieira liha por Y e atedo-se as outras lihas ialteradas ve: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 9

32 Aálise de Sisteas de otêcia b Eliiação da variável pivotada as deais equações Basta fazer a operação assialada a seguir ode o tero prio substitui a liha origial L ' L Y L L ' L Y L Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ' Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ' Y Y Y O sistea ficou etão reduzido a: Y Y ' ' Y ' ' Y ' ' A foração do tero Yi Yj seja Y ' ij Yij Y A foração das ovas corretes ijetadas é Y ' ij é a esa da redução de Kro para a eliiação da barra ou Y ' para a eliiação da barra i i i Y A Figura ostra o circuito equivalete se a barra ' ' ' ' ' Figura Redução de sistea de três barras co fote de correte a barra eliiada Exeplo 7 Eliiar as barras 4 e do sistea da Figura 7 cuja equação seguir Y está repetido a BARRA j98 j4 j5 j8 j5 j5 j4 j5 j5 j8 j5 j5 j8 j8 4 Eliiação da barra 4 do sistea da Figura 7 Y ' j5 j5 j98 j84 j8

33 Aálise de Sisteas de otêcia j5 j5 Y ' Y ' j9 j8 j5 j8 Y ' Y ' j4 j6 j8 j5 j5 Y ' j8 j69 j8 j5 j8 Y ' Y ' j5 j47 j8 j8 j8 Y ' j5 j74 j8 Após a eliiação da barra 4 o sistea fica: j84 j9 j6 j9 j69 j47 j6 j47 j74 Eliiação da barra j6 j6 Y '' j84 j5 j74 j6 j47 Y '' Y '' j9 j89 j74 j47 j47 Y '' j69 j5 j74 j6 9 ' 9 9 j64 j j74 j47 9 ' j j74 Após a eliiação da barra o sistea fica: j5 j89 j89 j5 A Figura 4 ostra o circuito equivalete do sistea o qual fora eliiadas a barra 4 que ão tiha fote e a barra que tiha fote j89 '' 84 9 j j '' Figura 4 Circuito equivalete co eliiação de barra que coté fote

34 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Equivaletes de rede Usa-se o equivalete de rede para substituir parte de u circuito o qual ão existe iteresse para deteriado estudo por seu equivalete A Figura 5 ostra a rede origial e a Figura 6 o equivalete da rede extera Rede itera Rede extera Figura 5 Circuito origial ' Rede itera a ' b ' Figura 6 Rede extera substituída por equivalete 5 Motage da atriz Y BARRA co eleetos acoplados A Figura 7 ostra u trecho de circuito e que existe aditâcia ou ipedâcia útua etre algus eleetos do sistea elétrico A polaridade da tesão iduzida é iportate i i ij z ij ji j j z z l l l l l Figura 7 - arte de circuito co ipedâcia útua olaridade relativa da correte E fora atricial ve: z z i j l ij z z l i j z l z ij ij l z z l l ij ij l ode a atriz Z é deoiada de atriz ipedâcia priitiva do eleeto assado-se para aditâcia ve:

35 Aálise de Sisteas de otêcia ij ij i j l l l ode a atriz Y é chaada de atriz aditâcia priitiva do eleeto Expadido-se a equação acia ve: ji ij ij ij i i ij ij j l l i i j j j l l l l l l l l Sabedo-se que atricial te-se: ij i ji j l l l e colocado-se a equação acia e fora i ij j ij l ij ij l l l l i j l Notar que os dois blocos co ij e l são teros da atriz Y BARRA se útua Regra prática para a otage da atriz Y BARRA co útuas: Deteriar a atriz Z priitiva dos eleetos co útua; verter a atriz Z priitiva do eleeto para ecotrar a atriz Y priitiva; Motar a atriz Y BARRA se cosiderar a aditâcia útua ; 4 cluir o efeito das útuas soado-se aos eleetos da atriz referetes aos teriais igualete arcados e subtraido-se dos eleetos da atriz referetes aos teriais arcados difereteete A Figura 8 ostra o circuito equivalete do circuito da Figura 7 co útuas i j ij l l Figura 8 - Circuito equivalete co eleetos acoplados Exeplo 8 Seja z z 4 j5 pu e z j5 pu coo ostrados a Figura 9 Deteriar a atriz Y BARRA do sistea z z z 4 4 Figura 9 - Circuito referete ao exeplo

36 Aálise de Sisteas de otêcia j5 4 j5 j5 j5 4 ode a atriz acia é a atriz Z priitiva A atriz Y priitiva é a iversa de Z priitiva j65 j75 Y RMTA j75 j65 j j i Se acoplaeto Y BARRA j65 j65 j65 j65 j65 j65 j65 j65 ii Cosiderado-se o acoplaeto Basta acrescetar e ( (4 ( (4 e acrescetar e (4 ( ( (4 j65 j65 j75 j75 j65 j65 j75 j75 Y BARRA j75 j75 j65 j65 j75 j75 j65 j65 Exeplo 9 Seja z z j 5 pu z j 5 pu Deteriar a atriz aditâcia de barra do circuito da Figura z z z Figura - Exercício de cálculo da atriz aditâcia de barra co útuas icialete deteria-se a atriz ipedâcia priitiva ivertedo-se esta deteria-se a atriz aditâcia priitiva deteria-se a atriz aditâcia de barra se se cosiderar as útuas e depois iclui-se as útuas seguido os passos do algorito j5 j5 j65 j75 Z RMTA Y RMTA j5 j5 j75 j65 i atriz aditâcia de barra se se cosiderar as aditâcias útuas é: j65 j65 Y BARRA j65 j65 j65 j65 j5 j65 j65 ii atriz aditâcia de barra co as aditâcias útuas Co a polaridade idicada o euciado do exercício deve ser adicioado aos eleetos ( ( ( ( e deve ser adicioado aos eleetos ( ( ( ( cluido-se as útuas a atriz acia ve: 4

37 Aálise de Sisteas de otêcia j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j Y BARRA A seguir os cálculos que coprova a exatidão da atriz Y BARRA ecotrada co a utilização da regra acia z z z z logo z z z z ( ( ( ( ( ( ( ( E fora atricial ve: que cofere co o exercício 6 Modificação da atriz aditâcia de barra A iclusão ou retirada de u eleeto da rede utiliza o eso procedieto já visto a otage da atriz aditâcia de barra co ou se útuas ara a eliiação da barra utiliza-se a redução de Kro 7 Motage e Modificação da atriz ipedâcia de barra A atriz ipedâcia de barra pode ser odificada para refletir udaças a rede elétrica Estas udaças pode ser a adição de eleeto retirada de eleeto ou odificação o valor da ipedâcia do eleeto Até o oeto as aeiras de se calcular a atriz ipedâcia de barra são: a versão da atriz aditâcia de barra b Esaio de circuito aberto Nehu destes étodos é utilizado a prática devido ao tepo ecessário para o cálculo 7 Modificação direta da atriz ipedâcia de barra Seja o sistea origial da Figura coposto de barras cuja atriz ipedâcia de barra é cohecida coo ORGNAL Z

38 Aálise de Sisteas de otêcia Sistea origial Figura - Sistea a ser odificado Z ORGNAL Z Z M Z Z Z Z M L L M L Z Z M Z A iclusão de u ovo eleeto deoiado z b atede a ua das quatro possibilidades a seguir 7 O eleeto é ligado etre a barra ova p e a referêcia Modificação da atriz ipedâcia de barra pela iclusão de u eleeto que possui ipedâcia própria z b ligado etre ua barra ova p e a referêcia Seja o sistea origial coposto de duas barras A Figura ostra este sistea acrescido de ua ova barra deoiada p z p z z z b Figura - Sistea origial acrescido de eleeto etre barra ova p e a referêcia A atriz Z ORGNAL do sistea da Figura é: Z ORGNAL Z Z Z Z Recordado o que foi explicado quado da iterpretação física dos eleetos da atriz ipedâcia de barra o valor dos eleetos da colua da atriz ipedâcia de barra é a tesão da barra dividida pela correte ijetada e deteriada barra co todas as outras fotes ortas Se esta correte tiver o valor uitário a tesão será uericaete igual à ipedâcia Esaiado-se a barra co correte uitária te-se que a tesão a barra p devido a esta correte é ula o eso acotecedo co a correte ijetada a barra Quado a correte ijetada a barra p é uitária a tesão que aparece a barra p é z b Z BARRA Z Z Z Z zb Regra : iclui-se ova liha e ova colua a atriz ipedâcia de barra origial sedo ulos os eleetos fora da diagoal pricipal O eleeto da diagoal pricipal é o valor da ipedâcia z b do eleeto Os valores dos eleetos da atriz ipedâcia de barra origial ão sofre alteração 6

39 Aálise de Sisteas de otêcia 7 O eleeto é ligado etre a barra ova p e a barra existete Modificação da atriz ipedâcia de barra pela iclusão de u eleeto que possui ipedâcia própria z b ligado etre ua barra ova p e ua barra existete Seja o sistea origial coposto de duas barras A Figura ostra este sistea acrescido de ua ova barra deoiada p z z b z z p Figura - Sistea origial acrescido de eleeto etre ua barra ova p e ua barra existete A atriz Z ORGNAL do sistea da Figura é: Z ORGNAL Z Z Z Z jetado-se correte uitária a barra a tesão a barra p é a esa que a tesão da barra jetado-se correte a barra a tesão a barra p tabé é a esa que a tesão da barra jetado-se correte a barra p a tesão será a ipedâcia vista da barra adicioada de z b Z BARRA Z Z Z Z Z Z Z Z Z z b Regra : iclui-se ova liha e ova colua a atriz ipedâcia de barra origial ode os eleetos fora da diagoal pricipal são iguais aos eleetos da liha e da colua (barra ode o ovo eleeto é coectado e o eleeto da diagoal pricipal é ( Z zb Os valores dos eleetos da atriz ipedâcia de barra origial fica idêticos 7 O eleeto é ligado etre a barra existete e a referêcia Modificação da atriz ipedâcia de barra pela iclusão de u eleeto que possui ipedâcia própria z b ligado etre ua barra existete e a referêcia Seja o sistea origial coposto de duas barras A Figura 4 ostra este sistea acrescido da ova ipedâcia z z z z b Figura 4 - Sistea origial acrescido de eleeto etre ua barra existete e a referêcia Z ORGNAL Z Z Z Z Este caso é abordado e duas etapas ostradas a Figura 5 7

40 Aálise de Sisteas de otêcia O eleeto ovo é icluído etre ua barra existete e ua barra ova ( fictícia curto circuita-se a barra fictícia para a terra pela redução de Kro z z b z z b z z z z Figura 5 - rocedieto para a iclusão de u eleeto etre ua barra existete e a referêcia Etapa : iclusão do eleeto etre ua barra existete e ua barra ova fictícia ( Z Z Z Z Z Z Z Z Z zb Etapa : curto circuita-se a barra fictícia ( para a referêcia e procede-se à eliiação de Kro para eliiar a barra ( A eliiação de Kro foi deduzida para a atriz aditâcia de barra e B O eso se aplica à atriz ipedâcia de barra e Regra : é o caso co eliiação de Kro clui-se teporariaete ua ova liha e ua ova colua a atriz ipedâcia de barra origial ode os eleetos fora da diagoal pricipal são iguais aos eleetos da liha e da colua e o eleeto da diagoal pricipal é ( Z zb referete à barra fictícia ( Eliia-se a barra fictícia aplicado-se a redução de Kro 74 O eleeto é ligado etre a barra existete e a barra existete j Modificação da atriz ipedâcia de barra pela iclusão de u eleeto que possui ipedâcia própria z b ligado etre ua barra existete e ua barra existete j Seja o sistea origial coposto de duas barras A Figura 6 ostra este sistea acrescido da ova ipedâcia z b j z B z z Figura 6 - Sistea origial acrescido de eleeto etre ua barra existete e ua barra existete j Z ORGNAL Z Z Z Z Este caso é abordado as duas etapas ostradas a Figura 7 clusão do eleeto etre barra existete e etre barra fictícia ( curto circuita-se a barra fictícia ( e a barra j 8

41 Aálise de Sisteas de otêcia z b j z b j z z z z z z Figura 7 - rocedieto para a iclusão de u eleeto etre barras existetes Etapa : iclusão de eleeto etre a barra existete e ua barra fictícia ( A atriz do sistea co a barra fictícia é: Z Z Z Z Z Z Z Z Z z b Etapa : as tesões j e são iguais logo fazedo-se a liha ( eos a liha j e colocado-se o resultado a liha ( ve: Z Z Z Z Z Z ( Z Z Z Z Z Z zb ara torar a atriz acia siétrica efetua-se a colua ( eos a colua j o lugar da colua ( Z Z Z Z Z Z Z Z ( Z Z Z Z Z Z Z Z zb Expadido-se as três lihas das Equações ve: Expadido-se as três lihas das Equações ve: Z Z Z ( Z Z Z (4 ( Z Z ( Z Z ( Z Z z (5 b Z Z Z Z (6 Z Z Z Z (7 ( Z Z ( Z Z ( Z Z Z Z z (8 b ara que as Equações 4 e 5 fique iguais respectivaete às Equações 6 7 e 8 basta soar Z a Equação 6 Z a Equação 7 e ( Z Z a Equação 8 ou seja basta soar ao do vetor correte da Equação A barra ( é fictícia se fote de correte logo pode-se aplicar a redução de Kro A equação fica etão: 9

42 Aálise de Sisteas de otêcia Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z zb Regra 4: iclui-se teporariaete ova liha e ova colua a atriz ipedâcia de barra origial ode os eleetos fora da diagoal pricipal são iguais à difereça etre os eleetos das coluas/lihas e j e o eleeto da diagoal pricipal vale Z Z jj Zj Z j zb Eliia-se a liha e a colua da barra fictícia aplicado-se a redução de Kro 7 Motage direta da atriz ipedâcia de barra a É u processo ais rápido que otar a atriz aditâcia de barra e depois iverter; b Trabalha-se diretaete co a lista dos copoetes da rede; c A atriz ipedâcia de barra é otada passo a passo icluido-se u copoete de cada vez recaido e u dos quatro casos de odificação da atriz ipedâcia de barra já vistos; d Restrição: a atriz ipedâcia de barra deve ser iiciada por copoete ligado à referêcia Quado ão existir tal eleeto ua barra é toada coo referêcia Exeplo Motar a atriz ipedâcia de barra passo a passo para o sistea da Figura 8 4 ~ 5 ~ 6 Figura 8 - Sistea exeplo para a otage da atriz ipedâcia de barra Dados dos raos e pu Núero do Barras pedâcia Aditâcia eleeto de para (pu (pu j5 j4 j j5 j8 j5 4 j6 j667 5 j6 j667 6 j7 j49 Eleeto ligado etre a referêcia e a barra ova Caso 47 Z BARRA [ j5] Eleeto ligado etre a referêcia e a barra ova Caso 47 Z BARRA j5 j 4

43 Aálise de Sisteas de otêcia Eleeto ligado etre a barra existete e a barra ova Caso 47 j5 j5 Z BARRA j j5 j j5 j8 Z zb Rearruado-se a atriz ve: Z BARRA para que a orde das coluas correspoda ao úero das barras Z BARRA j5 j5 j5 j j Eleeto 4 ligado etre a barra existete e a barra existete Caso 474 Z BARRA j5 j5 j5 j5 j j j j j59 Z j Z 4 j5 j Z Z z b 4 Após a aplicação da redução de Kro a barra 4 ve: j44 j j847 Z BARRA j j454 j9 j847 j9 j Eleeto 5 ligado etre a barra existete e a barra existete Caso 474 Ao ivés de se iserir u a u os eleetos pode-se iserir o paralelo dos eleetos 4 e 5 o caso j j44 j j8477 j55 j j454 j9 j5 j847 j9 j j j8 j55 j5 j j454 j j9 j9 j6 Aplicado-se a redução de Kro a barra 4 ve: j84 j7 j89 j7 j55 j79 j89 j79 j86 Eleeto 6 ligado etre a barra existete e a barra existete Caso 474 j84 j7 j89 j49 j7 j55 j79 j5 j89 j79 j86 j94 j86 j49 j5 j94 j84 j86 j89 j89 j7 4

44 Aálise de Sisteas de otêcia Aplicado-se a redução de Kro a barra 4 ve: Z BARRA j j74 j4 j74 j4 j4 j4 j4 j88 Utilizado-se o prograa MATLAB para iverter diretaete a atriz Y BARRA ecotra-se para Z : BARRA Y BARRA j79 j5 j49 j5 j4584 j4 j49 j4 j56 j j74 j5 Z BARRA j74 j4 j4 j5 j4 j88 Observação: ara aior eficiêcia do processo fecha-se o laço o ais cedo possível para se aplicar a redução de Kro e atriz de diesão eor 7 Exclusão de u eleeto de ipedâcia z b da atriz Z BARRA Basta icluir u eleeto de ipedâcia própria de valor zb pois o paralelo de z b co zb é u circuito aberto co a aplicação de dois dos quatro casos de odificação da atriz ipedâcia de barra 74 Modificação do valor da ipedâcia que liga duas barras Basta iserir u eleeto que e paralelo co o valor já existete foreça o valor desejado ara se trasforar o valor de z x o valor z etre as barras e coo ostra a Figura 9 basta iserir o eleeto z b de tal fora que z // z z x b z x z Figura 9 - Modificação do valor origial z x da atriz ipedâcia de barra z x //z b z 8 Obteção dos eleetos da colua da atriz ipedâcia de barra a partir da atriz aditâcia de barra a Utilizado quado ão é ecessária toda a atriz ipedâcia de barra b É ecessária ua colua da atriz ipedâcia de barra algus eleetos de ua colua da atriz ipedâcia de barra difereça etre duas coluas da atriz ipedâcia de barra etc E estudos de curto-circuito calcula-se a partir da atriz Y BARRA apeas ua colua da atriz Z BARRA a de iteresse ão sedo ecessário deteriar toda a atriz Z BARRA 8 Obteção de ua colua da atriz ipedâcia de barra Se a atriz ipedâcia de barra for ultiplicada pelo vetor que coté a liha e zero o resto ve: 4

45 Aálise de Sisteas de otêcia Z Z M M Z N L L M M L Z Z Z M M N L L M M L Z Z Z N N M M NN Z M Z M M M Z N ou seja ( Z l Z colua da atriz ipedâcia de barra BARRA BARRA ré ultiplicado-se a equação acia pela atriz aditâcia de barra ve: Y Z BARRA l YBARRA Z 44 4 BARRA 4 BARRA ( K BARRA Y Z l K ( BARRA sistea de equações lieares co icógita rocedieto para solução da equação acia: a otar a atriz Y BARRA b fatorar a atriz Y BARRA e LU ou seja L U YBARRA ( c solucioar o sistea L U Z BARRA l 44 e duas etapas H H l ( Z BARRA prieira etapa: solucioar L seguda etapa: solucioar U H (K Z BARRA O custo coputacioal do processo está e calcular as atrizes L e U 8 Obteção da difereça etre duas coluas da atriz ipedâcia de barra Seja Z Y Y BARRA ( j l j Z BARRA BARRA ( j Z BARRA l j YBARRA Z BARRA BARRA Z ( j BARRA ( j l L U Z BARRA l j j l j M Colua Colua j resolvido por decoposição LU da atriz Y BARRA ostrado ateriorete Exeplo Calcular a difereça dos eleetos (Z BARRA(44 Z BARRA(45 da atriz Z BARRA cohecedo-se a atriz Y BARRA Y BARRA j j j j j6 j6 j6 j6 j j j j j 4

46 Aálise de Sisteas de otêcia Z Z BARRA Z Z Z BARRA( 44 BARRA(45 BARRA(44 BARRA(54 logo só é preciso calcular a colua 4 da atriz a fatoração LU Basta fazer o prograa MATLAB o coado [L U] lu(barra que o prograa retora as atrizes L e U (4 L U Z 44 BARRA H rieira etapa: L H l Solução: H H H H H H H H H 4 L45 H5 H 4 ( L45 H5 L44 H 4 54 H 4 L55 H 5 H 5 L54 H 4 L55 98 L L 98 Seguda etapa: (4 U Z BARRA H j j j87 j6 j48 j j667 j467 j85 Z Z j Z j76 Z j Z BARRA(4 BARRA(4 BARRA(4 BARRA(44 BARRA(54 98 U U Z H Z H U 98 ( j 5 55 BARRA (54 5 BARRA( j 44 Z BARRA(44 U 45 Z BARRA(54 H j76 j5 Z BARRA ( 44 j55 j85 Z Z j 4 Z BARRA(44 H 4 U 45 Z U 44 BARRA(54 or iversão direta da atriz Y BARRA co auxílio do prograa MATLAB obté-se: j5 j5 j5 j5 j5 j5 j5 j5 j5 j5 Z BARRA j5 j5 j56 j5 j56 j5 j5 j5 j55 j5 j5 j5 j56 j5 j5 ode-se verificar da atriz Z BARRA que Z 44 Z 45 j55 j5 j5 que cofere co o cálculo aterior 44

47 Aálise de Sisteas de otêcia Capítulo Fluxo de otêcia trodução É o ais freqüete estudo feito os sisteas elétricos de potêcia É o estudo que forece a solução de ua rede elétrica e regie peraete para ua dada codição de operação isto é para ua dada codição de carga e geração sujeitas a restrições operativas e à ação de dispositivos de cotrole Dados de etrada Dados da rede elétrica resistêcia e reatâcia dos eleetos Geração ativa e reativa as barras do sistea Carga ativa e reativa as barras do sistea Codição de geração e carga Geração São os valores da potêcia ativa ( G e da potêcia reativa (Q G geradas as barras ou o valor da potêcia ativa ( G e ódulo da tesão gerada ( o caso de barras de tesão cotrolada Carga São os valores de potêcia ativa ( L e potêcia reativa (Q L cosuidas e cada barra do sistea ode a carga existir cosideradas costates Restrições operativas São etre outros os liites para o fluxo de potêcia as lihas e trasforadores o ódulo das tesões as barras a capacidade de geração das áquias 4 Dispositivos de cotrole Ajuda a cotrolar alguas gradezas tais coo: a A tesão ou fluxo de reativo odelado por trasforadores co tap ijeção de reativo etc; b Cotrole do fluxo de potêcia ativa (trasforador defasador itercâbio etre áreas etc para ateder potêcia coprada/vedida cotratada 5 Solução da rede a Calcula-se as tesões as barras e ódulo e âgulo; b Calcula-se os fluxos de potêcia ativa e potêcia reativa os eleetos da rede 45

48 Aálise de Sisteas de otêcia 6 Aplicações a Ferraeta para aálise da adequação de ua topologia do sistea para ua dada codição de geração e carga Utilizado o plaejaeto operação e cotrole do sistea de potêcia; b Utilizado coo parte itegrate de outros estudos tais coo: Curto-circuito: cálculo das tesões pré falta; Estabilidade: calcula a codição iicial e tabé calcula a solução da rede e cada passo de itegração; Cofiabilidade: cohecedo-se os dados probabilísticos de falha dos diversos copoetes da rede estiar a probabilidade de falha de suprieto ao cosuidor a fi de torá-la eor que u percetual especificado através de ivestieto o sistea O fluxo de potêcia serve para a verificação da adequação de cada estado co falha; Aálise de cotigêcia estática: o fluxo de potêcia é usado para aalisar cada cotigêcia (saída de equipaeto por exeplo da rede elétrica; Fluxo de potêcia ótio: este estudo forece a elhor topologia/cofiguração para iiizar o custo de operação ou iiizar as perdas É u fluxo de potêcia co as restrições de u problea de otiização 7 Modelo da rede ara o estudo de fluxo de potêcia supõe-se o sistea equilibrado logo só se usa a rede de seqüêcia positiva Este estudo é baseado e odelo odal e atriz aditâcia de barra Y BARRA Observação: e sisteas de distribuição usa-se a odelage trifásica para o cálculo do fluxo de potêcia pois o sistea de distribuição é essecialete desequilibrado 8 Modelo ateático do fluxo de potêcia a Sistea de equações algébricas ão lieares para represetar a rede; b Cojuto de iequações para represetar as restrições; c Cojuto de equações/iequações para represetar o cotrole O esforço coputacioal está quase que todo a solução do sistea de equações daí o uso de étodo eficiete de solução 9 Métodos de solução O prieiro étodo coputacioal utilizado para a solução do fluxo de potêcia foi o de J B Ward e H W Hale e surgiu e juho de 956 co o artigo ''Digital coputer solutio of power-flow probles'' 9 Métodos baseados e Y BARRA Estes étodos tê coo vatage a forulação siples e pouca ecessidade de eória devido a esparsidade de Y BARRA ser aior que 95% Coo exeplo o étodo de Gauss-Seidel A desvatage destes étodos é a covergêcia leta devido ao fraco acoplaeto etre variáveis (ifluêcia pequea etre barras sedo ecessárias cerca de iterações para se chegar a solução do problea 46

49 Aálise de Sisteas de otêcia 9 Métodos baseados e Z BARRA Coverge ais rápido pois a atriz é cheia poré ecessita de uita eória pelo eso otivo e o custo da otage da atriz Z é elevado 9 Método de Newto-Raphso BARRA Te coo vatage ser robusto pois coverge quase sepre e co poucas iterações Alé disto a covergêcia idepede da diesão do sistea Usa a atriz Y BARRA e a partir desta é otada a atriz jacobiaa É atualete o étodo ais utilizado 94 Métodos desacoplados Este étodo é ua particularização do étodo de Newto-Raphso e que se deixa apeas a depedêcia etre a tesão e a potêcia reativa ( e Q e etre a potêcia ativa e o âgulo da tesão da barra ( e O étodo desacoplado rápido surgiu e 974 e é atribuído a Bria Stott e Alsaç Te coo vatage ser rápido e utilizar pouca eória A desvatage é que só pode ser aplicado a sisteas co características apropriadas 95 Fluxo de potêcia liear Este é u étodo aproxiado de solução que aalisa soete o fluxo de potêcia ativa tabé chaado de fluxo DC Forulação do problea de fluxo de potêcia e variáveis coplexas Seja a barra co geração carga e lihas A Figura exeplifica esta barra G Geração ~ Q G L Q L Figura Barra co geração carga e lihas Nos estudos de fluxo de potêcia calcula-se a ijeção líquida de potêcia e cada barra ou seja calcula-se para cada barra : G L Q QG QL S jq Cosiderado-se a ijeção líquida de potêcia a Figura é a represetação da Figura para se adequar à equação YBARRA ode é a ijeção de correte a barra 47

50 Aálise de Sisteas de otêcia ~ Q Figura Figura co ijeção de potêcia líquida a barra S * * jq jq jq * Das equações odais te-se: Y * * * Y que só se aplica às barras coectadas co a barra As equações do fluxo de potêcia a fora coplexa são: S jq * * Y * ( que é a ijeção líquida de potêcia a barra e fução dos parâetros da rede e das tesões as barras Equações do fluxo de potêcia e variáveis reais e a fora polar É cou o desebraeto da equação coplexa e duas equações reais para e para Q Re{ S } Q { } S a Equação para a potêcia ativa * * Re Y Sabedo-se que Y G jb ve: Re ( G jb Colocado-se para detro do soatório ve: Re ( G jb 48

51 Aálise de Sisteas de otêcia Re Re ( G jb ( G ( j B ( Chaado-se ( de e extraido-se a parte real ve: { G cos( B cos( 9 } Colocado-se para fora do soatório e evidêcia e utilizado-se a idetidade cos( α 9 se( α ve: ( { G cos( B se( } b Equação para a potêcia reativa Q Q * * Y Sabedo-se que Y G jb ve: Q ( G jb Colocado-se para detro do soatório ve: Q Q Q ( G jb ( G jb ( G ( j B ( Chaado-se ( de e extraido-se a parte real ve: Q { G se( B se( 9 } Colocado-se para fora do soatório e evidêcia e utilizado-se a idetidade se ( α 9 cos( α ve: Q ( { G se( B cos( } 49

52 Aálise de Sisteas de otêcia Exeplo Escrever as equações do fluxo de potêcia da Figura a fora coplexa e a fora de variável real polar E E G jq G G jq G L jq L Figura Circuito exeplo da forulação das equações do fluxo de potêcia Equações a fora coplexa De acordo co a Equação ve: ( Y * Y Y ( Y * Y Y ( Y Y Y * S G jqg S G jqg S L jql Equações e variáveis reais e a fora polar De acordo co as Equações e ve: [ { G cos( B se( } { G cos( B se( } { G B se( }] cos( [ { G cos( B se( } { G cos( B se( } { G B se( }] cos( [ { G cos( B se( } { G cos( B se( } { G B se( }] cos( [ { G se( B cos( } { G se( B cos( } { G se B cos( }] Q ( [ { G se( B cos( } { G se( B cos( } { G se B cos( }] Q ( [ { G se( B cos( } { G se( B cos( } { G se B cos( }] Q ( 5

53 Aálise de Sisteas de otêcia Coceito de barra flutuate ou swig ou slac As perdas do sistea ão estão represetadas as equações do fluxo de potêcia A barra flutuate é resposável pelo suprieto de todas as perdas do sistea e por isto ão te a geração fixada A geração da barra flutuate é calculada após a solução do problea Do Exeplo te-se portato que G G L perdas _ ativas _ totais que só são cohecidas após a solução do fluxo de potêcia Supoha que a barra do exeplo seja flutuate logo G jqg ão é u dado do problea logo eliia-se a prieira equação do sistea posto a fora coplexa logo o sistea fica: ( Y * Y Y ( Y Y Y * S G jqg S L jql A equação relativa a barra foi eliiada Te-se equações e três icógitas O processo cosiste e fixar ua icógita o caso Após se ecotrar a solução e calcula-se e Q A barra flutuate é ua barra de tesão cotrolada e referêcia de âgulo para o sistea Tipos de barras Barra flutuate ou swig ou slac ou Esta barra existe para suprir as perdas do sistea descohecidas até a solução da rede Só existe ua barra flutuate e todo o sistea Dados de etrada: Calculado esta barra: Q Barra de carga ou Q Não existe qualquer cotrole de tesão esta barra A aioria das barras é deste tipo cerca de 95% do total de barras Dados de etrada: Q Calculado esta barra: A barra de carga pode ter gerador só que este forecerá e Q costates durate todo o processo de cálculo Barra de tesão cotrolada ou Existe dispositivos de cotrole que perite ater o ódulo da tesão e a ijeção de potêcia ativa e valores especificados tais coo gerador e copesador sícroo Alguas das barras do sistea são deste tipo represetado 5% do total de barras Dados de etrada: Calculado esta barra: Q 4 Sistea de equações do fluxo de potêcia Devido à variedade de tipos de barras o sistea de equações que descreve o sistea elétrico é dividido e dois subsisteas 5

54 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Subsistea Este subsistea coté as equações que deve ser resolvidas para se ecotrar a solução do fluxo de potêcia ou seja ódulo e âgulo das tesões as barras ( { Q } barras de carga e de tesão cotrolada Q Q ( { Q} barras de carga 4 Subsistea As icógitas aqui cotidas são deteriadas por substituição das variáveis calculadas o subsistea ( { } barra flutuate Q Q ( { } barra flutuate e barras de tesão cotrolada Exeplo Escrever as equações do sistea da Figura 4 a fora real polar separado-as os subsisteas e As variáveis especificadas estão ostradas a própria Figura 4 E E Q Subsistea a fora real polar Figura 4 Sistea do exeplo { G cos( B se( } { G cos( B se( } Q { G se( B cos( } A solução das três equações acia forece ara se deteriar as outras variáveis ( Q Q basta substituir as variáveis calculadas o subsistea o subsistea 5

55 Aálise de Sisteas de otêcia Subsistea a fora real polar { G cos( B se( } Q { G se( B cos( } Q { G se( B cos( } Observação: Núero de equações para solucioar u sistea elétrico Seja sistea elétrico co barras ode l destas barras são barras de tesão cotrolada e ua é a barra flutuate O úero de equações do sistea a fora real polar é l Seja o caso do sistea brasileiro co barras sedo barras de tesão cotrolada O úero de equações a sere resolvidas é Coclui-se deste úero que o étodo de solução deve ser eficiete Fluxo de otêcia pelo Método de Gauss-Seidel Revisão do étodo de Jacobi Seja sistea de equações lieares a x a x a x a x a a x a x a x x a a x a x a 4 x x L a L a LLLLLLLLLLLLLLL L a Reescrevedo-se o sistea para explicitar as variáveis da diagoal pricipal ve: x ( b a x a x a4 x4 L a x a x ( b a x a x a4 x4 L a x a (4 LLLLLLLLLLLLLLL x ( b a x a x a x a4 x4 L a x a x x x O étodo de Jacobi cosiste e iiciar o processo de solução co valores arbitrados Seja ( ( ( x x L x os valores arbitrados para a prieira iteração ode o sobrescrito correspode a ( ( ( iteração A partir deste cojuto substituido-o as Equações 4 obté-se o cojuto x x L x ais próxio da solução procurada A próxia etapa cosiste e substituir as Equações 4 os valores recé obtidos O processo se repete até que covergêcia seja obtida Aplicado-se a prieira iteração ao sistea de Equações 4 ve: x ( x ( x ( a b b b ( ( ( ( ( b a x a x a4 x4 L a x ( ( ( ( ( b a x a x a x L a x a 4 4 a LLLLLLLLLLLLLLLLLL ( ( ( ( ( ( b a x a x a x a x L a x 4 4 5

56 Aálise de Sisteas de otêcia O étodo de Gauss-Seidel Este étodo da esa fora que o étodo de Jacobi ão é atualete utilizado para solucioar u sistea elétrico de potêcia por ser uito leto pore é uito didático Ecotra utilização a elhoria dos valores arbitrados para iício de u outro étodo ais eficiete O étodo de Gauss-Seidel é u aperfeiçoaeto do étodo de Jacobi e difere deste soete quato ao cojuto de valores substituídos as Equações 4 A difereça é que os valores substituídos são aqueles ais recetes ou seja à edida que os valores são deteriados estes são utilizados o processo de substituição ou seja Seja cojuto de valores arbitrados ( i ( i ( i x b a x a x a ( ( ( x x x L Notar que a codição iicial da variável ( x é desecessária para este sistea poré o caso geral a esa variável pode aparecer e abos os lados do sial de igual As variáveis calculadas são utilizadas a esa iteração ou seja para a prieira iteração: x ( x ( x ( a ( ( ( ( ( b a x a x a4 x4 L a x ( ( ( ( ( b a x a x a x L a x a 4 4 a LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL ( ( ( ( ( ( b a x a x a x a x L a x 4 4 Geeralizado-se o processo ve: ( i ( i ( i ( i ( i x ( b a x a x a4 x4 L a x a ( i ( i ( i ( i ( i x b a x a x a4 x4 L a x a LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL ( i ( i ( i ( i ( i x b a x a x a x a4 x4 L a a ( ( i ( x O étodo de Gauss-Seidel usa forulação das equações do sistea elétrico de potêcia e úeros coplexos o que resulta e ua equação por barra excetuado-se a barra flutuate S S * jq Y jq * * Y * * flutuate flutuate Seja o sistea de três barras ostrado a Figura 4 ode a barra é a barra flutuate e ão existe barra de tesão cotrolada ( * jq Y Y Y logo: ( jq Y * Y Y jq Y * Y Y 54

57 Aálise de Sisteas de otêcia Do sistea acia as seguites variáveis são cohecidas: costates durate todo o processo pois pertece à barra flutuate Q Q costates durate todo o processo pois pertece à barra Q As variáveis calculadas são Critério de covergêcia do étodo de Gauss-seidel ( i ( i Δ ε especificado geralete etre 4 e 6 O étodo de Gauss-Seidel e sepre coverge alé de ser leto ara que haja covergêcia é iportate que o cojuto de valores arbitrados esteja próxio da solução 4 Fórula geral do étodo de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potêcia A seguir a fórula geral do étodo de Gauss-Seidel ode i correspode a iteração e { } barra do sistea Esta equação cosidera a barra flutuate i jq i i ( Y i ( Y ( (5 *( Y é a 5 Melhoria do étodo de Gauss-Seidel O fator de aceleração α é utilizado a tetativa de se chegar a solução do sistea de equações co eos iterações solução ( ( (acelerado( Figura 5 Fator de aceleração Δ ( i ( i ( i ( acelerado( i ( i ( i Δ α Na prática para os sisteas elétricos de potêcia o valor de α é 6 Este étodo é utilizado para as prieiras iterações do étodo de Newto-Raphso 6 Trataeto o caso de existir barra roblea: Q ão é especificado e é especificado Solução: a Calcular (calculado Q a cada iteração co a equação: ( * * S * * jq Q { * } S * S * S jq S * logo 55

58 Q Q ( calculado ( i ( calculado( i { } ( i ( i Aálise de Sisteas de otêcia *( i ( i Y (6 b Calcular o valor da tesão: ( calculado( i provisório i jq i ( ( Y ( Y Y * Desta equação sai calculado ( provisório( i ( provisório( i aproveito o argueto da tesão provisória calculada logo Coo é especificado só ( i ( especificado ( provisório( i ( i Exeplo Desevolver as três prieiras iterações do étodo de Gauss-Seidel do sistea ostrado a Figura 6 E j E G pu pu j j5 L 45 pu Q L 5 pu Figura 6 Sistea do exeplo Cosiderar codição iicial flat-start ou seja ( ( Deteriação da atriz YBARRA j j j j Y BARRA j j j5 j5 j j5 j j5 j j j j j5 j5 j j5 j5 Dados fixos: G L 4 5 Q L 5 ( ( Codições iiciais: ariáveis livres: Q G i jq i i ( Y i ( Y ( *( Y Forulação coplexa A barra é a barra flutuate jq G G Y * Y substituido-se os valores fixos ve: Y 56

59 Aálise de Sisteas de otêcia jq G j j5 j5 jq L L Y * Y substituido-se os valores fixos ve: Y 45 j5 j 5 * 5 j j Estiar valor de Q G pois pertece a barra de tesão cotrolada Aplicado-se a Equação 6 ve: Q ( calcilado( i *( i Y Expadido-se a expressão de Q ve: ( * Q estiado { ( Y Y Y } ( calculado * Q Y Substituido-se os valores fixos ve: ( Q estiado j j5 j5 { ( } rieira iteração { ( j j5 5 } ( j ( estiado ( estiado { j65} Q 65 Q estiado Q j65 j j5 j5 j ( 7 j Coo a tesão é especificada te-se: j5 j j j ( 45 j5 j j5 9 9 j5 ( j j 6 5 j 45 j95 9 j54 5 j ( 6 j j4 57 ( 57

60 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Fluxo de potêcia pelo Método de Newto-Raphso 4 Revisão do étodo o caso oovariável f(x Solução de sisteas algébricos ão lieares f(x f(x( f(x( f(x( f(x( x( x( x( x( x Figura 7 Revisão oovariável do étodo de Newto-Raphso Algorito: Arbitrar codição iicial x ( e fixar a iteração i (i (i Calcular f ( x e verificar a covergêcia Se f ( x ε Fazer i f ( x ( i ( i ( i i Liearizar a fução e toro de ( f ( x ( i ( i df ( x ( i Δx f ( x Δx dx ( i ( x 4 Solucioar o sistea liearizado ( i df ( x ( i f ( x Δx dx ( i ( x que te coo solução: ( i ( x ( i f Δ x ( df ( x dx ( i ( 5 Atualizar a solução do problea x parar x usado parte da série de Talor x ( i ( i ( i x Δx 6 oltar ao passo 58

61 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Revisão do étodo o caso ultivariável F(x [] Seja F x [ f f f ] t L [ x x L ] t x Arbitrar codição iicial x ( e fixar a iteração i { } ε (i ( i Calcular F ( x e verificar a covergêcia Se ax F ( x ( i ( i i Liearizar a fução e toro de ( F( x ( i ( i ( i ( i ( i ( x Δx F( x J ( x Δx Fazer i F parar x usado parte da série de Talor ode F J é a atriz jacobiaa x 4 Solucioar o sistea liearizado ( i ( i ( i ( x J ( x Δx F cuja solução é a solução de F ( i ( i ( i ( x J ( x Δx que é do tipo b A x 5 Atualizar a solução do problea x ( i ( i ( i x Δx 6 oltar ao passo 4 Aplicação do étodo de Newto-Raphso a solução do fluxo de potêcia Equações básicas do subsistea a sere solucioadas: Q { G cos( B se( } { Q } { G se( B cos( } { Q} Resíduos de potêcia (power isatches ( especificado ( calculado Δ ( { Q } ( especificado ( calculado Δ Q Q Q ( { Q} Sistea a ser solucioado pelo étodo de Newto-Raphso: Δ ΔQ { Q } { Q} 59

62 Aálise de Sisteas de otêcia 6 Cosidera-se sistea co barras sedo que: Barras Q: barras de a l Barras : barras de l a Barra : barra [ ] t Q l Q Q F Δ Δ Δ Δ Δ Δ L L [ ] t l x L L ( ( ( ( ( ( i i i i x x J x F Δ que e fora atricial é: ( ( ( i i i J Q Δ Δ Δ Δ que está a fora x A b Atualização das variáveis de estado: ( ( ( i i i Δ Δ Covergêcia: { } p ε Δ ax e { } q Q ε Δ ax 44 Matriz jacobiaa geral Seja [ ] t f f f F L e as variáveis x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f J L M M M M L L ( 45 Matriz Jacobiaa aplicada à solução do fluxo de potêcia Δ J x f J ( ( ( ( Δ calculado calculado epecificado l l l l l l l l l l l l l l Q Q Q Q Q Q L M Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q N H J L L M M M M M M L L L L L L M M M M M M L L L L ( ( L M N H J

63 Aálise de Sisteas de otêcia H M Q ( ( l ( Δ Q Δ ( i ( i ( i H M N L Δ Δ N l Q ( L l l RESUMO DO MÉTODO DE NEWTON-RAHSON Equações do subsistea : Q ( G cos( B se( { Q } ( G se( B cos( { Q} Sistea a ser solucioado: especificado ( ( calculado Δ { Q } ( especificado ( calculado Q Δ Q Q { Q} Sistea atricial: Δ Q Δ ( i ( i ( i Δ J Δ que está a fora b A x Atualizado-se as variáveis ve: ( i ( i ( i Δ Δ H N J M L H ( Q M l ( ( N l Q ( L l l 46 Algorito da Solução do Fluxo de otêcia pelo Método de Newto-Raphso: Motar a atriz Y BARRA ( ( Arbitrar codições iiciais das variáveis de estado ( e fazer i Calcular Δ e Δ Q e verificar covergêcia Se ax { Δ } ε p e ax { ΔQ } ε q parar Δ { Q } Δ Q Q { Q} ( especificado ( calculado ( especificado ( calculado Q 4 Fazer i i Motar a atriz jacobiaa J (i 6

64 Aálise de Sisteas de otêcia 6 5 Solucioar o sistea liearizado ( ( ( i i i J Q Δ Δ Δ Δ 6 Atualizar a solução do problea ( ( ( i i i Δ Δ 7 oltar para o passo Exeplo 4 No sistea da Figura 8 são dados: Q Calcular o processo iterativo Após a covergêcia calcular Q Q Figura 8 Sistea do exeplo 4 A equação do subsistea é: Δ Δ Δ Δ Δ Δ J Q ( ( ( i i i Δ Δ Δ Matriz jacobiaa o caso de diesão ( - l - Q Q Q J L M M N H H N H H J E E Q

65 Aálise de Sisteas de otêcia 47 Eleetos das subatrizes H N M L do Jacobiao H { G se( B cos( } H B { } G se( B cos( N { G cos( B se( } N G { G cos( B se( } M Q { G cos( B se( } Q M G { } G cos( B se( L Q { G se( B cos( } Q L B { G se( B cos( } ode se refere ao tero da diagoal ( e se refere ao tero fora da diagoal (liha colua 48 Estrutura do jacobiao Os eleetos fora da diagoal pricipal correspodetes a barras ão diretaete coectadas são ulos ou seja o jacobiao é altaete esparso { G se B cos( } H ( Se as barras e ão estão diretaete coectadas G logo H B As atrizes H N M L tê estrutura seelhate à da atriz Y BARRA exceto pelas lihas e coluas ão represetadas Se todas as barras fore Q a estrutura do jacobiao será seelhate a estrutura de Y BARRA e as subatrizes (H M N L são quadradas As atrizes H N M L são siétricas e estrutura Se existe H existe H o caso de atriz quadrada O jacobiao é assiétrico e valores assi coo H M N L poré são siétricos e estrutura isto é e relação a posição dos zeros pois se se( e cos( cos( ( 6

66 Aálise de Sisteas de otêcia Exeplo 5 Escrever a atriz jacobiaa do sistea da Figura 9 e teros dos eleetos das atrizes H M N L 4 Q Q Copesador sícroo Figura 9 Sistea do exeplo 5 Δ H Δ Δ H ΔQ M ΔQ H H M H H H M M N N L Δ N Δ N Δ Δ L Δ Exeplo 6 A Figura ostra u sistea elétrico forado por duas barras Resolvê-lo pelo étodo de ( Newto-Raphso Cosiderar a tolerâcia e Δ ε Cosiderar (Dados e pu a base do sistea ( j jb shut j jb shut j Dados das barras Dados da liha Figura Sistea exeplo para o étodo de Newto-Raphso Barra Tipo Q 4 Liha r x b shut - 64

67 Aálise de Sisteas de otêcia Motar Y BARRA Y ( j 9 j 96 9 j94 9 j96 Y BARRA 9 j96 9 j94 Y G jb BARRA BARRA BARRA 9 9 G BARRA B BARRA Teste de covergêcia co relação às codições iiciais i { G cos( B se( } G cos( B se( G cos( B se( G cos( B se( G [ { } { }] [ { } { } ] [ { 9769 cos( se( } 9769] 9769 cos( se( cos( se( 9769 ( ( especificado ( calculado ( Δ > ão covergiu O processo coeça Δ Δ ε rocesso iterativo de Newto-Raphso rieira iteração i i Δ J Δ H { H [ { G se( B cos( } { G se( cos( }] [ { G se( B cos( } { B }] B B B H H 94 9 se( 96 cos( 94 ( H 96 Δ [ H ] Δ ( 4 96 Δ 46 rad ( ( Δ rad 9 cos( se( 46 9 ( Δ Δ > ε Não covergiu O processo cotiua Δ Seguda iteração i i H 94 9 se( cos( H ( 8 65

68 Aálise de Sisteas de otêcia Δ [ H ] Δ ( 8 Δ 4 rad ( ( Δ rad 9 cos( se( 45 9 ( 99 Δ 4 99 < ε O processo covergiu Δ Solução ecotrada para todas as variáveis de estado ou seja e 45 rad Solução do subsistea : substituição das variáveis { G cos( B se( } Expadido-se a equação acia para este exeplo: G cos( B se( G cos( B se( [ { } { }] Siplificado-se a expressão ve: [ { G} { G cos( B se( }] Substituido-se valores fixos ve: [ { 9} { 9 cos( 96 se( }] Substituido-se os valores ecotrados o processo iterativo ve: 9 9 cos(45 96 se(45 44 pu Q { G se( B cos( } Expadido-se a equação acia para este exeplo e siplificado-a: Q B G se B cos( [ { } { }] ( Substituido-se valores fixos ve: Q [ { 94} { 9 se( 96 cos( }] Substituido-se os valores ecotrados o processo iterativo ve: Q 94 9 se(45 96 cos(45 Q 789 pu Q { G se( B cos( } Expadido-se a equação acia para este exeplo e siplificado-a: Q G se( B cos( B [ { } { }] Substituido-se valores fixos ve: Q [ { 9 se( 96 cos( } 94 66

69 Aálise de Sisteas de otêcia Substituido-se os valores ecotrados o processo iterativo ve: Q 9 se( cos( Q 6 pu x - 6 jb shut j jb shut j Figura Solução do fluxo de potêcia 5 Expressões do fluxo de potêcia ativa e reativa os diversos raos e shuts 5 Liha de trasissão édia ou loga série jb shut jb shut Figura Modelo da liha de trasissão édia e loga * S jq * S jq g jb z ( g jb g ( g b jb ( g b r Cálculo de e Q : jb ( shut ode barra Arruado-se teros ve: ( jbshut ( g jb jbshut ( g jb * ( g jb jb ( g jb S S * shut shut jx é a correte ijetada a liha de trasissão a partir da ( g jb jb ( g jb g jb jb shut g jb 67

70 Aálise de Sisteas de otêcia { S } g g cos( b 9 g g cos( b se( Q Q Re { S } b b g se( b 9 shut b bshut g se( b cos( Cálculo de e Q : jb ( shut ode da barra Arruado-se teros ve: ( jbshut ( g jb jbshut ( g jb * ( g jb jb ( g jb S S shut shut é a correte ijetada a liha de trasissão a partir ( g jb jb ( g jb g * jb jb shut g jb { S } g g cos( b 9 g g cos( b se( Re Q Q { S } b b g se( b 9 shut b bshut g se( b cos( Cálculo das perdas: As perdas ativas pode ser calculadas coo: g g g cos( perdas erdas resistivas a liha * * erdas série série r série série g ( g b * * g jb g jb g ( g b erdas erdas erdas ( ( ( ( ( ( g ( g erdas g g g cos( expressão idêtica à expressão de As perdas reativas pode ser calculadas coo (arazeada os capos elétrico e agético: Q Q Q b cos( b b perdas ( erdas reativas a liha * Q erdas série série b ( g b bshut bshut * * Q erdas b ( ( bshut bshut * * * Q b b b erdas erdas shut ( shut shut ( cos( b b shut shut Q b expressão de Q Q shut expressão idêtica à 68

71 Aálise de Sisteas de otêcia Te-se portato para perda de potêcia: ( perdas ( perdas Q Q Q 5 Liha de trasissão curta Figura Modelo da liha de trasissão curta S * jq ( ode é a correte que circula a liha de trasissão ( g jb ( * * * ( g jb ( * * S ( g jb ( * S ( ( g jb * * S g jb g jb Q Q Re { S } g g cos( b se( { S } b g b 9 b g se( b cos( S * jq ( ode é a correte que circula a liha de trasissão * ( g jb ( * * ( g jb ( * * S ( g jb ( * S ( ( g jb * * S g jb g jb Re { S } g g cos( b se( Q Q { S } b g b 9 b g se( b cos( 69

72 Aálise de Sisteas de otêcia erdas resistivas a liha: g g cos( b g ( g cos( se( g g cos( b se( * * erdas r g ( g b * * g jb g jb g ( g b erdas erdas erdas ( ( ( ( ( ( g ( g erdas g g g cos( expressão idêtica a da expressão de erdas reativas a liha: Q b g se( b cos( Q b g se( Q b ( b cos( b * * Q erdas x b ( g b * * Q g jb g jb b ( g b Q erdas erdas erdas ( ( ( ( ( ( b ( Q b Q erdas Q Q cos( b ( b cos( expressão idêtica à expressão de erda de potêcia ativa: erda de potêcia reativa: ( perdas ( perdas Q Q Q 5 Trasforador t (t t ( t Figura 4 Modelo de u trasforador co tape A Figura 4 ostra o odelo de u trasforador co tape cuja aditâcia é colocada do lado do tape t ( ( ( t t t t * S jq 7

73 Aálise de Sisteas de otêcia ( t ( ( t t * S jq Q Q Q ( t ( g t b ( perdas ( perdas g b t t t t g g b b cos( cos( t b t g cos( t b cos( t g se( se( se( se( g [( t t cos( ] Q Q b [( t t cos( ] 54 Eleetos shut Q (shut jb shut Figura 5 Capacitor shut A Figura 5 ostra u capacitor ligado a barra A potêcia reativa gerada pelo eso é shut Q ( bshut Caso fosse u reator a potêcia reativa ijetada a barra seria ( shut Q bshut ou seja a potêcia reativa estaria sedo cosuida (shut r shut /g shut Figura 6 Resistor shut A Figura 6 ostra u resistor ligado a barra A potêcia ativa gerada pelo eso é ( shut g shut ou seja há cosuo de potêcia ativa Cálculo do fluxo de potêcia as lihas do sistea da Figura Exeplo 6 (9 j96 j (9 j rad * S 47 j68 (9 j96 (9 j96 j rad * S j6 perdas Q perdas Balaço de potêcia: perdas Q perdas Q Q

74 Aálise de Sisteas de otêcia jeção de potêcia o eleeto shut ( shut shut Q Q pu ( Exeplo 7 Refazer o exeplo 6 cosiderado-se ua barra flutuate e ua barra de carga coo ostra a Figura 7 (Dados e pu a base do sistea ( j Q jb shut j jb shut j Figura 7 Sistea do exeplo 7 Dados: Q 7 tolerâcia para covergêcia e Δ é igual a tolerâcia para covergêcia e ΔQ ε ( ( Codição iicial: Calcular o processo iterativo: Após a covergêcia calcular: Q Solução: Deteriação da atriz Y BARRA Y G jb calculada o exeplo 6 BARRA BARRA BARRA 9 9 G BARRA B BARRA erificação de covergêcia G cos( { B se( } { Q } Expadido-se esta expressão para o presete exeplo ve: G cos( B se( G cos( B se( [ { } { }] Siplificado-se a expressão ve: G cos( B se( G [ { } { }] Substituido-se os valores fixos para este exeplo ve: 9 cos( 96 se( 9 [ { } { }] Avaliado-se a expressão lebrado que e ve: 9 9 [{ } { }] ( ( especificado ( calculado Δ Q { G se( B cos( } { Q} 7

75 Aálise de Sisteas de otêcia Expadido-se esta expressão para o presete exeplo ve: Q G se B cos( G se( B cos( [ { } { }] ( Siplificado-se a expressão ve: Q G se( B cos( B [ { } { }] Substituido-se os valores fixos para este exeplo ve: Q 9 se( 96 cos( 94 [ { } { }] Avaliado-se a expressão lebrado que e ve: Q Q [( ] ( ( especificado ( calculado ΔQ Q Q 7 9 Teste de covergêcia Δ > ão covergiu o processo cotiua ΔQ 9 > ão covergiu o processo cotiua rieira iteração do processo de cálculo As icógitas do processo são e logo Δ H N Δ ΔQ M L Δ H B { G se( B cos( } Expadido-se esta expressão para o presete exeplo ve: H B G se( B cos( B [ { } { }] Substituido-se os valores fixos para este exeplo ve: H 94 [ { 9 se( 96 cos( 94 } { }] ( Avaliado-se esta expressão ve: H ( H 96 { G cos( B se( } N G Expadido esta expressão para o presete exeplo ve: N G G cos( B se( G cos( B se( N G G cos( B se( G { } { } { } { } Substituido-se os valores fixos para este exeplo ve: N 9 9 cos( 96 se( 9 { } { } Avaliado-se esta expressão ve: N 9 ( N N ( 9 7

76 Aálise de Sisteas de otêcia M G { G cos( B se( } Expadido esta expressão para o presete exeplo ve: M G [ G cos( B se( G cos( B se( { } { }] Siplificado-se a expressão ve: M G G cos( B se( G [ { } { }] Substituido-se os valores fixos para este exeplo ve: M 9 9 cos( 96 se( 9 [ { } { }] Avaliado-se esta expressão ve: M ( M 9 { G se( B cos( } L B Expadido esta expressão para o presete exeplo ve: L B G se B cos( G se( B cos( { } { } ( Siplificado-se a expressão ve: L B G se( B cos( B { } { } Substituido-se os valores fixos para este exeplo ve: L 94 { 9 se ( 96 cos( } { 94} ( Avaliado-se esta expressão co e ve: L ( L 9 alores uéricos: ( H 96 ( N 9 ( M 9 ( L 9 Os valores uéricos do sistea Δ H ΔQ M N Δ L Δ são: Δ 9 Δ Utilizado-se a regra prática para iverter ua atriz que cosiste e trocar os eleetos da diagoal pricipal e trocar apeas o sial dos deais eleetos e dividir a atriz assi forada pelo deteriate da atriz origial ve: Δ Δ

77 Aálise de Sisteas de otêcia Δ Δ Δ 8 Δ Atualizado-se valores: ( ( Δ 8 ( ( Δ ( ( 8 4 erificação da Covergêcia: [ { ( } { 9}] [ 8 9] ( 9 [{ 9 ( 96 95} 94] [ ] Q Q Q ( Q ( especificado ( calculado Δ 9 ( especificado ( calculado ΔQ Q Q 7 5 Teste de covergêcia Δ > ão covergiu o processo cotiua ΔQ > ão covergiu o processo cotiua 5 Seguda iteração ( ( 978 Covergêcia: Δ ΔQ Covergiu pois são eores que 6 Após a covergêcia calcular as ijeções de potêcia e Q G cos( B se( G cos( B se( [ { } { }] { G} { G cos( B se( } { 9 cos( 96 (} 86 se Q 97 Observação: Estudar exeplo 8 do Steveso por Newto-Raphso cotedo u sistea de 5 barras sedo ua flutuate e Q 75

78 Aálise de Sisteas de otêcia 6 Fluxo de potêcia pelo Método Desacoplado Rápido 6 Fluxo de potêcia pelo Método de Newto desacoplado Este étodo é baseado o forte acoplaeto etre as variáveis e Q ou seja >> Q Q >> or este otivo as atrizes M e N Q são desprezadas O sistea fica etão: e Δ H Δ Q L Δ Δ Fica etão defiidos dois sisteas de equações que são: ( i ( i [ ] ( i [ H ] ( i [ Δ ] ( i ( i Δ [ Q] i [ L] i [ Δ ] i Δ que são cohecidos coo o étodo de Newto desacoplado 6 Cosiderações sobre as atrizes H e L do étodo de Newto desacoplado Estas cosiderações objetiva trasforar as atrizes H e L e atrizes costates Divisão das equações de resíduo pelo respectivo ódulo da tesão co a fialidade de acelerar a covergêcia ( especificado ( calculado Δ ( - (a barra flutuate é a excluída ( especificado ( calculado ΔQ Q Q ( l (barras Q O sistea fica etão: ( i Δ ( i ( i [ H '] [ Δ ] ( i ΔQ ( i ( i [ L' ] [ Δ ] Cada tero dos vetores Δ e ΔQ está dividido por sua tesão ode: H ' H { G se( B cos( } H H ' B { G se( B cos( } L L' G se( B cos( L L ' B { G se( B cos( } 76

79 Aálise de Sisteas de otêcia Hipóteses para o cálculo dos eleetos de H' e L' a Sistea pouco carregado Co esta cosideração assue-se pequeo e e coseqüêcia cos( b E lihas de EAT e UAT a relação B //G é alta de 5 a logo B >> G se( ou seja despreza-se o tero G se( c As reatâcias trasversais as barras (reatores capacitores cargas são uito aiores do que a reatâcia série logo B >> Q d As tesões e estão sepre próxias de pu Aplicado-se as cosiderações ateriores o cálculo dos eleetos das atrizes H e L chega-se a: [ H ] [ B ] [ H ' ] [ B ] [ L' ] [ B ] [ L' ] [ ] ' B As atrizes de coeficietes tora-se desta fora costates durate todo o processo iterativo passado a ser chaadas de: H' B' L' B'' Melhorias o desepeho do étodo são obtidas desprezado-se as resistêcias série e as reatâcias shut a otage de B' 6 Forulação fial do étodo Desacoplado Rápido Os eleetos de B' e B'' são defiidos coo: B' (7a x Ω B' (7b x B B' ' (8a B' ' (8b B ode: Ω é o cojuto das barras diretaete coectados co a barra excetuado-se a própria barra ; x é a reatâcia do rao ; B e B correspode à parte iagiária dos eleetos e respectivaete da atriz Y BARRA O étodo desacoplado rápido etão é forulado coo: Δ ΔQ [ B' ] [ Δ ] [ B' '] [ Δ ] de diesão a barra flutuate é excluída de diesão l úero de barras Q 77

80 Aálise de Sisteas de otêcia Exeplo 8 Forular as equações do fluxo de potêcia desacoplado rápido do circuito da Figura 8 E E j5 j5 j5 j5 j5 j5 Figura 8 Circuito do exeplo 8 Dados das barras: Barra Tipo G Q G L Q L 4 Q 4 Dados das lihas ε : Liha r x b shut (total Codições iiciais: e 99 j99 r jx j Motage da atriz Y BARRA 98 j88 99 j99 99 j99 99 j99 98 j88 99 j99 99 j99 99 j99 98 j G BARRA B BARRA

81 Aálise de Sisteas de otêcia Sistea de equações do étodo desacoplado rápido Δ Δ ΔQ ( i ( i B' B' B' B' [ ] [ ] ( i B'' Δ Cálculo de B' e B'' Sistea ( i Δ Δ Aplicado-se as Equações 7 ve: B ' B' x B ' B ' x x x x Sistea Q Aplicado-se as Equações 8 ve: B '' B 88 4 Misatch do processo iterativo apeas a barra flutuate ão está represetada ( i ( i ( i ( i Δ ( i Δ Δ ( i rieira iteração ( calculado ( ( Δ 4 ( ( calculado ( Δ ( ( ( ode ( e arbitrado ( calculado [ { 99 cos( 99 se( } { 98 cos( 88 se( } { 99 cos( 99 se( }] ( [{ 99} { 98} { 99} ] calculado ( calculado ( calculado [ { 99 cos( 99 se( } { 99 cos( 99 se( } { 98 cos( 88 se( }] ( calculado [ { 99 cos( 99 se( } { 99 cos( 99 se( } { 98}] ( calculado arbitrado arbitrado 79

82 Aálise de Sisteas de otêcia Δ 4 4 Δ Não covergiu 5 rieira iteração : atualizar ( ( e Δ Δ Δ B' B' Δ Δ B' B' Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ ( ( 67 5 ( ( 67 5 ( 6 rieira iteração Q: atualizar ( calculado ( ( ( ( Δ Q 4 Q ( ode ( ( ΔQ B' ' B 88 Solucioar e atualizar O processo cotiua até a covergêcia tato da iteração coo Q Exeplo 9 Resolver o sistea da Figura 9 pelo étodo desacoplado rápido (Dados e pu a base do sistea ( j Q jb shut j jb shut j Figura 9 Circuito do exeplo 9 ; Q 7; ε 9 j94 9 j96 Y BARRA 9 j96 9 j94 8

83 Aálise de Sisteas de otêcia 9 9 G BARRA B BARRA Sistea de equações Δ [ B' ] [ Δ ] ΔQ ' ( i B ' x B '' B [ ] [ ] ( i B' Δ 94 rocesso iterativo rieira iteração [ ( G cos( B se( G ] [ ( 9 cos( 96 se( 9] substituido-se a prieira iteração ve: ; Δ ( calculado covergêcia: > logo ão covergiu Δ Δ ( rieira iteração Q [ ( G se( B cos( B ] [ ( 9 se( 96 cos( 94] Q Q Se e Q 798 ( calculado ΔQ 7 Q > ε o processo cotiua ΔQ ' B' Δ Δ Δ

84 Aálise de Sisteas de otêcia Seguda iteração Δ Δ ( especificado ( calculado 74 6 Covergêcia: 6 > ε processo cotiua Atualização: Δ B' Δ 6 Δ Δ Seguda iteração Q Q ΔQ Covergêcia: 4 > ε o processo cotiua Mota-se o sistea: 4 94 Δ Δ Terceira iteração 95 Δ 5 Covergêcia: 5 > ε o processo cotiua 7 Terceira iteração Q Q 76 ΔQ 6 Covergêcia: 6 < ε covergiu logo ão atualizo as variáveis e testo o outro sistea de equações Quarta iteração Δ 9 Covergêcia: < ε logo todo o processo covergiu Solução ecotrada: radiaos 8

85 Aálise de Sisteas de otêcia Após a covergêcia do processo iterativo calcula-se as gradezas abaixo da esa fora coo descrito ateriorete: Fluxos as lihas; jeção a barra flutuate Q ; Fluxos a rede; erdas 64 Artifícios ateáticos para elhorar o desepeho do étodo desacoplado rápido a preseça de raos co elevada relação r/x A pequea defasage agular etre barras a relação >> G se( as tesões próxias de pu e o fluxo as lihas ser aior que o fluxo trasversal são sepre verdadeiros os sisteas de potêcia A exceção é a relação x/r alta A seguir artifícios ateáticos para cotorar este restrição 64 Artifício da copesação B 64 Copesação série r x r/x alto r x x' j x' x x' x'' r/x'' pequeo Figura Exeplo da copesação série 64 Copesação paralela r x x x A ipedâcia da liha e paralelo co a liha é r jx 64 Método BX de va Aeroge Figura Exeplo de copesação paralela O étodo desacoplado rápido covecioal é cohecido coo étodo XB pois a atriz B' só utiliza x a reatâcia do eleeto e B'' só utiliza b o egativo da parte iagiária da atriz Y BARRA No étodo BX B' só utiliza b e B'' só utiliza x Este te elhor desepeho quado a relação r/x é alta 64 Esquea iterativo flexível O esquea ão flexível faz sucessivaete ua iteração e ua iteração Q até a covergêcia do processo O étodo flexível faz por exeplo devido a aior dificuldade da covergêcia da equação Q ua iteração e duas iterações Q Se o sistea estiver uito carregado o úero de iterações Q aueta 8

86 Aálise de Sisteas de otêcia 7 Fluxo de potêcia liearizado ou fluxo de potêcia DC O fluxo de potêcia liearizado é baseado o acoplaeto e só leva e cota o fluxo de potêcia ativo As equações do fluxo de potêcia ativa o rao são: g g cos( b se( (9a g g cos( b se( (9b As perdas o trecho ativos o rao vale: perdas g g g cos( 7 Siplificações propostas a pu b pequeo logo se( 7 Desprezado as perdas do sistea r jx r x z r jx j g jb r jx x r r r x x Fazedo-se r te-se g e b x Aplicado-se as siplificações a e b as Equações 9a e 9b e desprezado-se as perdas chegase a seguite equação do fluxo de potêcia liearizado: b se( x x O fluxo de potêcia ativo é proporcioal ao âgulo daí o oe do étodo A equação acia ostra ua iportate difereça etre o fluxo de potêcia ac e o fluxo de potêcia dc O étodo ac liita a potêcia áxia trasitida pelo rao ao cotrário do étodo dc A Figura exeplifica esta afiração / x se( / x ( CC ( CA se solução CA Figura otêcia áxia trasitida pelo rao 84

87 Aálise de Sisteas de otêcia Os dois étodos forece praticaete a esa solução para âgulos pequeos O fluxo dc coverge eso para valores altos de o que ebora seja u resultado errado forece idicativo de quato a capacidade do rao foi excedida Sabe-se que ode Ω é o cojuto de todas as barras coectadas co a barra a Ω ( exceção da própria barra x ( Ω ( Ω Separado-se o soatório e dois lebrado que ve: ( Ω x x ( Ω 7 Forulação atricial ode: B' B' é a esa atriz do odelo desacoplado rápido ou seja B' x ( Ω B ' x é o vetor de ijeção líquida de potêcia ativa a barra é o vetor de fase da tesão de barra A orde de B' é ( a barra flutuate é excluída pois a potêcia ijetada esta barra é descohecida Exeplo Calcular o fluxo as lihas do sistea da Figura Utilizar o étodo liearizado x / 5 5 x / x / Figura Sistea do exeplo Não é ecessário otar a atriz Y BARRA Motage da atriz B' de diesão pois a barra flutuate é excluída 85

88 Aálise de Sisteas de otêcia B ' 5 x x B ' 4 x x B ' B' x B' B' B' B' / 4 5 /8 rad Fluxos de potêcia os raos / 4 x / 4 pu /8 x / 4 pu / 4 /8 pu x / 4 Ateção: ij ji pois ão há perda 7 Cosiderado as perdas do sistea Equações do fluxo de potêcia ativa: g g cos( b se( g g cos( b se( Aplicado-se as siplificações ateriores ou seja: a pu b pequeo logo se( e cos( cos( r jx r x c Coo r << x j g jb r jx r x r x r x g r e b r x x chega-se a equação do fluxo de potêcia ativa o rao cosiderado as perdas g g cos( b se( se( g { cos( } x g x 86

89 Aálise de Sisteas de otêcia E para a potêcia o setido cotrário: g g cos( b se( se( g { cos( } x g x Sabeos que a perda total e vale: perdas logo as expressões e g g g x x carrega cada ua a etade das perdas do rao A potêcia ijetada a barra pode ser escrita coo: g x ( Ω ( Ω ( Ω perdas perdas ( Ω ( Ω x x ode: perdas é a ova ijeção líquida o sistea se perdas; perdas é a etade do soatório das perdas os raos diretaete coectados a barra Represeta-se perdas coo carga adicioal a barra ode essa carga represeta a etade das perdas os raos diretaete ligados à barra Coclusão: as perdas são represetadas coo cargas adicioais obtidas dividido-se e partes iguais as perdas os raos etre suas barras teriais O esquea fica coo exeplificado a Figura 4 perdas perdas perdas Figura 4 Represetação das perdas o fluxo de potêcia liearizado perdas perdas perdas perdas perdas perdas perdas perdas perdas 87

90 Aálise de Sisteas de otêcia 7 Forulação atricial perdas B' 7 Metodologia de solução Calcula-se a solução do sistea desprezado-se as perdas B' ~ Calcula-se a perda total do rao co o ~ e a represeta coo carga adicioal o sistea ~ perdas g ( Ω Calcula-se a solução do sistea cosiderado-se as perdas perdas B' 4 Calcula-se os fluxos os raos utilizado-se a solução 74 Resuo do étodo liearizado Fluxo de potêcia liearizado ou fluxo DC Desprezado-se as perdas B' x Cosiderado-se as perdas ~ perdas etade para cada lado do rao g perdas B' x Exeplo Calcular o fluxo de potêcia do sistea da Figura 5 pelo étodo liearizado ou dc cosiderado-se as perdas ~ ~ 4 MW 8 MW Dados: z 5 pu j z 4 8 pu j Figura 5 Sistea do exeplo z 5 j5 pu A barra é a barra flutuate e a base é de Mva 88

91 Aálise de Sisteas de otêcia Solução: Motage da atriz B' B ' x x 5 B ' 5 5 x x 8 5 B ' B' x 5 Flow se perdas B' ~ 4 ~ 8 5 ~ ~ rad Cálculo das perdas ~ perdas g r 5 g 4 r x 5 r 4 g 5 r x 4 8 r 5 g 8 r x 5 5 erdas os raos: ~ perdas g g ~ g ~ g ~ perdas perdas ( perdas A perda do rao é represetada as barras teriais etade do valor destas perdas para cada lado perdas perdas perdas 97 perdas perdas perdas 975 Solução do sistea co perdas: perdas B'

92 Aálise de Sisteas de otêcia Cálculo dos fluxos os raos x 547 x 8 8 x ( x 5 pu 5 47 MW pu 5 MW 456 Cálculo da geração a barra flutuate perdas pu 45 6 MW perdas perdas perdas 986 pu pu MW Resuo dos dois exeplos de cálculo co e se perdas Solução se perdas: ~ x ~ x ~ x 5 pu ou 5 MW 48 pu ou 48 MW 45 pu ou 45 MW 4 MW 5 MW ~ ~ ~ 4 MW 48 MW 45 MW 8 MW ~ Figura 6 Fluxos de potêcia da solução se perdas 9

93 Aálise de Sisteas de otêcia Solução co perdas: 479 MW 547 MW 97 MW 986 MW ~ ~ 4 MW 5 MW 456 MW 8 MW 975 MW Figura 7 Fluxos de potêcia da solução co perdas 8 Utilização do estudo de fluxo de potêcia Aálise do coportaeto do sistea e de carga leve édia e pesada (t Figura 8 - Curva de carga típica t Deteriação da copesação shut (e derivação capacitiva ecessária para ater a tesão detro de liites aceitáveis Roda-se fluxo e carga pesada erifica-se a existêcia de barra co tesão abaixo da recoedável Deteria-se para esta barra a ijeção de reativo Qshut Bshut Roda-se ovaete o prograa de fluxo de potêcia sedo que este reativo é u dado de etrada para se cohecer o ovo perfil de tesão A tesão a barra ão depede apeas da ijeção de reativo ijetado esta Outra aeira de se fazer co que a tesão esta barra auete é odelar esta coo barra de tesão cotrolada ~ Q shut Figura 9 Barra co copesação shut 9

94 Aálise de Sisteas de otêcia Deteriação da copesação shut idutiva ecessária e carga leve a fi de ater a tesão terial das lihas detro de liites aceitáveis A cofiguração do sistea e carga leve é diferete da cofiguração do sistea e carga pesada pois existe reatores/capacitores lihas e paralelo áquias ~ Q shut Figura Copesação shut capacitiva 4 Deteriação da copesação série capacitiva ecessária e carga pesada de odo a auetar a capacidade de trasissão da liha ~ Figura Copesação série capacitiva se( x 5 erificação do itercâbio etre áreas O sistea elétrico é dividido e áreas coo por exeplo a área Furas a área CEMG a área Light Existe copra e veda de eergia etre áreas logo é ecessário previsão do quato de eergia egociar A tecologia FACTS flexible ac trasissio sste viabilizou o itercâbio prograado de eergia ~ ~ ~ área Sudeste área Sul ~ Figura Troca de eergia etre áreas 9

95 Aálise de Sisteas de otêcia 6 Deteriação da áxia trasação de potêcia etre duas barras Deteriação da áxia potêcia que ua barra de geração pode suprir a deteriada carga 4 ~ Figura Máxia trasação de potêcia 7 Aálise do colapso de tesão correspodete ao aueto da carga do sistea curva - Abaixo de deteriado ível de tesão provocado pelo aueto de carga a tesão colapsa ão existido caiho de volta Operação recoedada Operação arriscada oto de colapso de tesão Neste poto a atriz jacobiaa é sigular e o fluxo de potêcia ão coverge Figura 4 Curva do ariz rocedieto para se deteriar o poto de colapso de tesão: aueta-se gradativaete L e Q L e L e Q L o sistea exeplo da Figura 5 até que o prograa de fluxo de potêcia ão covirja A elhor abordage é usar o fluxo de potêcia cotiuado baseado e étodo predictor-corrector L Q L L Q L Figura 5 Estudo de colapso de tesão 9

96 Aálise de Sisteas de otêcia 9 Cotroles e Liites U sistea de eergia elétrica te ua série de dispositivos de cotrole que iflue diretaete as codições de operação e portato deve ser icluídos a odelage do sistea para que se possa siular corretaete seu desepeho À forulação básica do problea de fluxo de carga deve etão ser icorporadas as equações que represeta esses dispositivos de cotrole be coo as iequações associadas aos liites de operação do sistea Etre os cotroles geralete represetados e prograas de fluxo de carga teos: Cotrole de tesão: Cotrole de agitude de tesão odal por ijeção de reativos; Cotrole de agitude de tesão odal por ajuste de tap Cotrole de potêcia ativa: Cotrole de fluxo de potêcia ativa; Cotrole de itercâbio etre áreas Os liites de operação ais cous são: Liites de ijeção de potêcia reativa e barras ; Liites de tesão e barras Q; Liites de taps de trasforadores; E liites de fluxos e circuitos A referêcia básica para o texto a seguir é o livro Fluxo de Carga e Redes de Eergia Elétrica de Alcir Moticelli 9 Modos de represetação Existe basicaete três aeiras de represetar os cotroles ecioados ateriorete: a Classificação por tipo de barra (Q etc e o agrupaeto das equações correspodetes os subsisteas e b Mecaisos de ajuste executados alteradaete co a solução iterativa do Subsistea ou seja durate o cálculo de ua iteração as variáveis de cotrole peraece ialteradas e etre ua iteração e outra essas variáveis são reajustadas procurado-se fazer que as variáveis cotroladas se aproxie cada vez ais dos respectivos valores especificados c corporação de equações e variáveis adicioais ao Subsistea ou substituição de equações e variáveis depedetes desse subsistea por ovas equações e/ou variáveis E relação ao processo de resolução das equações básicas do fluxo de carga a itrodução da represetação de cotroles autoáticos traz alguas coplicações adicioais que deve ser observadas A covergêcia do processo iterativo geralete fica ais leta A iterferêcia etre cotroles que são eletricaete próxios pode levar e alguas situações à ão-covergêcia do processo iterativo Alé disso a ocorrêcia de soluções últiplas para u eso problea tora-se bastate freqüete quado os dispositivos de cotrole são icluídos a odelage do sistea 9 Ajustes alterados O processo de ajustes iterativos efetuados alteradaete co as iterações do processo de resolução do Subsistea objetiva ater a variável cotrolada z e u valor especificado z esp corrigido-se coveieteete a variável de cotrole u: Δu α Δz α (z esp z cal e que Δu é a correção a variável de cotrole; Δz é o erro a variável cotrolada (valor especificado eos valor calculado; e α é a relação de sesibilidade etre as variáveis u e z O esquea geral do procedieto de ajuste é descrito a seguir: 94

97 Aálise de Sisteas de otêcia i Defiir os valores iiciais; ii Obter ua solução iicial do Subsistea que forece o estado do sistea (Solução obtida co tolerâcias aiores ou co úero de prefixado de iterações; iii Estiar os valores atuais das variáveis cotroladas zcal e verificar se os erros Δz já estão detro das tolerâcias especificadas; depededo dos erros Δ e ΔQ e das equações do Subsistea o processo iterativo pode já estar teriado; se ão estiver ir para iv; iv Deteriar os ovos valores das variáveis de cotrole utilizado-se das relações do tipo avaliado-se previaete quado ecessário os fatores de sesibilidade α; v Efetuar ais ua iteração o processo de resolução do Subsistea e voltar ao passo iii A covergêcia desse processo iterativo depede tato da evolução dos cotroles quato da resolução do Subsistea sedo que e geral são os cotroles que deteria a covergêcia do processo coo u todo Deve-se otar fialete que o efeito dos dispositivos de cotrole e os liites de operação só deve ser icorporados ao processo iterativo de resolução após ter sido obtida ua covergêcia parcial a resolução do Subsistea Co este ato se evita probleas coo a atuação idevida de dispositivos de cotrole e violações de liites otivados pela escolha de valores iiciais uito distates do poto solução 9 Cotrole de tesão e barras Nas barras de geração e as barras e que são ligados copesadores sícroos o cotrole da agitude da tesão odal é feito pelo ajuste da correte de capo de áquias sícroas que pode operar sobre ou subexcitadas ijetado ou absorvedo reativos da rede de trasissão; o eso tipo de cotrole pode ser coseguido tabé pela atuação de dispositivos estáticos E u prograa de cálculo de fluxo de carga o cotrole de tesão é feito da fora descrita a seguir Cosidere ua barra a qual esp e iicialete Q i < Q cal < Q ax agie por cal exeplo que a cada iteração auete a ijeção de reativos Q ecessário para ater a tesão o valor especificado até que o liite Q ax seja atigido A partir daí a tesão tederá a cair devido à isuficiêcia de suporte de potêcia reativa Raciocíio aálogo vale quado é atigido a liite Q i caso e que a agitude de tesão tederá a subir As ijeções de potêcia reativa as barras deve portato ser recalculadas ao fial da cada iteração utilizado-se os valores atualizados do cal estado da rede para observar se esses valores estão detro dos liites especificados ou ão Se Q cair fora dos liites o tipo da barra é redefiido passado de para Q co a ijeção de reativos fixada o liite violado (Q esp Q li Ao eso tepo a agitude da tesão da barra é liberada passado a ser recalculada a cada iteração Quado ocorre ua udaça de tipo de barra (de para Q deve ser iseridas a atriz Jacobiaa as lihas relativas às derivadas δq / δ e δq / δ e as coluas correspodetes às derivadas e relação a isto é δ / δ e δq / δ A esa observação vale e relação à atriz B Após ua barra ter sido trasforada e Q deve-se testar a cada iteração subsequete a possibilidade de essa barra voltar ao seu tipo origial Cosidere-se por exeplo u caso e que a esp ijeção de reativos esteja fixada o liite áxio ou seja Q Q ax A variável correspodete recalculado a cada iteração poderá ser aior eor ou igual ao valor especificado esp cal Se < esp ada se altera pois para se auetar a agitude de tesão cal dever-se-ia auetar a ijeção de reativos a barra o que seria ipossível já que Q esp Q ax cal Etretato se > esp para se diiuir a agitude de tesão cal basta que a ijeção de reativos a barra seja diiuída o que é perfeitaete viável pois Q esp Q ax sso sigifica que se Q esp Q ax e cal > esp a barra poderá ser recovertida a seu tipo origial ou seja ao tipo or raciocíio aálogo chega-se à coclusão de que isso tabé é possível quado Q esp Q i e cal < esp 94 Liites de tesão e barras Q E prograas de cálculo de fluxo de carga as agitudes das tesões das barras Q são recalculadas a cada iteração durate o processo de resolução do Subsistea Quado o valor calculado de cai fora dos liites i e ax o tipo da barra a qual ocorre a violação é redefiido passado de Q para co agitude de tesão especificada o liite violado ( esp li Ao eso tepo a ijeção de reativo Q essa barra é liberada passado a ser recalculada a cada iteração Cosidera-se por exeplo que a agitude da tesão seja especificada o valor íio ou seja esp i Neste caso a iteração e que ocorre a fixação o liite o valor 95

98 Aálise de Sisteas de otêcia cal calculado de ijeção de reativos a barra será Q Q esp ΔQ e que ΔQ é u valor positivo (Capacitor shut ligado a barra Aalogaete quado a violação ocorre o liite superior isto é esp ax o icreeto de ΔQ a ijeção será egativo (dutor shut ligado a barra Coo decorrêcia das alterações o Subsistea quado ocorre essa udaça de tipo de barra (de Q para deve-se reover da atriz Jacobiaa a liha que coté as derivadas δq / δ e δq / δ e a colua correspodete às derivadas e relação a isto é δ / δ e δq / δ Coetário aálogo vale para a atriz B Após ua barra Q ter sido trasforada e deve-se testar a cada iteração subsequete a possibilidade de essa barra voltar ao seu tipo origial Cosidera-se que a agitude de tesão esteja fixada o liite íio isto é esp i A variável Q correspodete recalculada a cada iteração poderá ser aior eor ou igual ao valor especificado Q esp cal Se Q > Q esp ada se altera cal pois a ijeção extra de reativos ou seja ΔQ Q - Q esp > é idispesável para ão deixar a agitude de tesão cair abaixo de i Etretato se Q cal < Q esp a ijeção icreetal ΔQ será egativa sigificado que se ela for eliiada a agitude de tesão auetará etrado a faixa peritida sso sigifica que se esp i e Q cal < Q esp a barra poderá ser recovertida a seu tipo origial isto é ao tipo Q or raciocíio aálogo chega-se à coclusão de que isso tabé é possível quado esp ax e Q cal > Q esp 95 Trasforadores e-fase co cotrole autoático de tap Os trasforadores co cotrole autoático de tap pode ser utilizados a regulação de agitudes de tesões odais Cosidere u trasforador e-fase co teriais e cuja relação de trasforação a deve ser variada para cotrolar a agitude de de ua das tesões teriais Os fluxos de potêcia e u trasforador e-fase obedece ao eso tipo de equação que os fluxos e ua liha de trasissão co a úica difereça de que e lugar de aparece a : A relação de sesibilidade (a g (a g cos (a b se Q -(a b (a b cos (a g se Δa αδ pode ser utilizada a deteriação da correção Δa a ser itroduzida a variável de cotrole a objetivado corrigir o erro Δ esp - cal e que esp cal é o valor especificado e é o valor calculado a iteração ais recete Se a barra que é o terial oposto do trasforador for rígida ou seja se a agitude de tesão for pouco suscetível às variações de relação de trasforação a etão o fator de sesibilidade α será aproxiadaete uitário A barra passa a ser classificada coo sedo do tipo Q isto é as variáveis Q e são especificadas Co isso o Subsistea fica co ua icógita a eos ( que é etão substituída o vetor de variáveis depedetes pela relação de trasforação a Esqueaticaete a atriz Jacobiaa passa a ter a seguite fora geral: NQ N NQ NQ NQ Q δ δ δq δ δ δ δq δ δ δa NQ N NQ NQ δq δa a NT NQ ode NQ é o úero de barras Q; N é o úero de barras ; NT é o úero de trasforadores co cotrole autoático e tap; e NQ é o úero de barras Q 96

99 Aálise de Sisteas de otêcia 96 Trasforadores defasadores co cotrole autoático de fase Esse tipo de trasforador pode ser utilizado para regular o fluxo de potêcia ativa os raos ode são iseridos Os fluxos de potêcia através de u defasador puro obedece ao eso tipo de equação que os fluxos e ua liha de trasissão co a úica difereça de que e vez de abertura agular aparece o âgulo ϕ e que ϕ é a fase do defasador g g cos( ϕ b se( ϕ Q - b b cos( ϕ g se( ϕ A siulação do cotrole do fluxo de potêcia ativa através do defasador pode ser feita utilizadose a relação de sesibilidade Δϕ αδ e que Δϕ é a correção itroduzida a variável de cotrole ϕ e Δ é o erro Δ esp - cal sedo esp o valor especificado do fluxo o defasador e cal o valor calculado a iteração ais recete O sigificado do fator de sesibilidade α pode ser ais be etedido pela aálise do circuito equivalete liearizado da figura a seguir o qual o sistea é reduzido a dois ós teriais do defasador O equivalete é caracterizado por dois parâetros a reatâcia equivalete x eq e as ijeções equivaletes eq e eq Note-se que x eq é a reatâcia equivalete etre os ós e excluido-se o defasador As duas leis de Kirchhoff aplicadas ao circuito da figura resulta e: ϕ x eq eq - eq x eq eq eq eq Costate ϕ x x eq eq Assi: ϕ (x x eq x eq eq Seja Δ a alteração provocada o fluxo pela correção Δϕ o âgulo do defasador; Assi: ou seja o fator de sesibilidade α é dado por: Δϕ (x x eq Δ α Δϕ / Δ x x eq Esse fator pode ser iterpretado da seguite aeira Se alé do defasador existe caihos alterativos de baixa reatâcia etre os ós e a reatâcia equivalete x eq será pequea o que iplica u α próxio a x ou seja α será suficiete para produzir ua alteração sigificativa o fluxo or outro lado se o úico caiho etre e for pelo próprio defasador (x eq ou se os caihos paralelos apresetare reatâcia uito elevadas (x eq > x etão será isesível ou praticaete isesível às variações de ϕ Da esa fora que ocorre co os trasforadores e-fase e vez de se efetuare as correções pode-se represetar o efeito dos trasforadores defasadores redefiido-se o Subsistea ara cada 97

100 Aálise de Sisteas de otêcia defasador é icluída ua ova equação que relacioa co φ ou seja o Subsistea fica acrescido de ua equação Δ e ua icógita φ Esqueaticaete a atriz Jacobiaa passa a ter a seguite fora geral: δ δ δ δ δ δφ Q δq δ δq δ δq δφ ND D δ D δ δ D δ δ D δφ φ ND 97 Cotrole de itercâbio etre áreas E ua rede iterligada é ecessário que seja cotrolados os itercâbios de potêcia ativa etre as várias áreas que copõe o sistea E ua rede co NA áreas são cotrolados os itercâbios de NA áreas pois o itercâbio de ua delas fica defiido pelas deais O itercâbio líquido de potêcia ativa de ua área é defiido coo a soa algébrica dos fluxos as lihas e os trasforadores que iterliga essa área co as deais (as exportações são cosideradas positivas e as iportações egativas A cada área do sistea é associada ua barra de folga (slac sedo que a barra de folga de ua das áreas fucioa tabé coo barra de folga do sistea (e geral é ua barra do tipo que serve tabé coo referêcia agular para o sistea Co exceção da barra de folga do sistea as ijeções de potêcia ativa as barras de folga das deais áreas são ajustadas para ater os itercâbios líquidos dessas áreas os valores especificados Note-se que o cotrole de itercâbio regula o itercâbio total de ua área ou seja até e u valor especificado a soa algébrica dos itercâbios idividuais as lihas e os trasforadores que iterliga a área co o resto do sistea Se alé do itercâbio líquido for ecessário o cotrole do fluxo de potêcia ativa e ua ligação especifica deve-se utilizar u trasforador defasador Ua aeira de se cosiderar o cotrole de itercâbio etre áreas cosiste e itercalare-se as correções dadas pela relação de sesibilidade etre duas iterações cosecutivas do processo iterativo de resolução do Subsistea Neste caso teos: ΔF i Δ i e que α ; ΔF i é a correção a geração da barra de folga da área i; e A i é o erro o itercâbio liquido da barra i dado por Δ i i esp - i cal sedo esp i o valor especificado para o itercâbio da área i e cal i o valor calculado a iteração ais recete A represetação do cotrole de itercâbio etre áreas tabé pode ser feito por alterações itroduzidas o Subsistea As barras de folga das áreas co exceção da barra de folga do sistea (barra são classificadas coo do tipo (só as agitudes das tesões odais são especificadas ou seja as ijeções de potêcia ativa essas barras deixa de ser especificadas e as equações dos resíduos correspodetes ( esp cal i - i sae do Subsistea e passa a ser calculada o Subsistea No lugar dessa equação é itroduzida a equação de itercâbio da área: i esp - i cal atedo-se dessa fora a igualdade etre o úero de equações e icógitas do Subsistea Esqueaticaete a atriz Jacobiaa passa a ter a seguite fora geral: NQ N NQ Q N δ δ δq δ δ δ δ δ δq δ δ δ δ δ F δq δ F δ δ F NQ N NQ F N NA - 98

101 Aálise de Sisteas de otêcia 98 Cotrole de tesão e barras reotas Esse tipo de cotrole pode ser executado tato por trasforadores e-fase coo por ijeção de reativos No caso do cotrole por trasforadores autoáticos a úica difereça e relação ao que foi visto é que a barra cuja tesão é cotrolada ão é u dos teriais do trasforador Dessa fora o essecial cotiua válidas todas as observações feitas aquela seção O cotrole reoto de agitude de tesão por ijeção de reativos apreseta alguas difereças e relação ao caso e que a ijeção de reativos é utilizada para cotrolar a tesão da própria barra A barra de cotrole é classificada coo do tipo equato a barra cuja agitude de tesão é cotrolada é classificada coo do tipo Q Ua barra do tipo é represetada o Subsistea por ua equação ( esp cal ua barra tipo Q cotribui co duas equações ( esp cal e Q esp cal Q or outro lado a ua barra do tipo estão associadas duas icógitas ( do Subsistea e a ua barra do tipo Q correspode ua úica icógita ( Dessa fora u par forado por ua barra do tipo (barra de cotrole e ua barra do tipo Q (barra cotrolada cotribue para o Subsistea co três equações e três icógitas Esqueaticaete a atriz Jacobiaa passa a ter a seguite fora geral: NQ NQ N N NQ NQ δ δ δ δ NQ NQ N N Q δq δ δq δ NQ N 99 Cargas variáveis co a tesão A represetação de cargas por ijeções costates de potêcia ativa e reativa e sepre correspode ao coportaeto real do sistea A rigor a odelage por ijeção de potêcia costate só seria iteiraete correta se as agitudes das tesões odais das cargas peraecesse iguais aos respectivos valores oiais Etretato e alguas aplicações do cálculo do fluxo de carga coo é o caso dos prograas de aálise de estabilidade trasitória a odelage das cargas te efeito direto sobre os resultados a odelage por potêcia costate (idepedete da tesão é e geral ais crítica que a odelage por aditâcia costate (a carga varia co o quadrado da agitude da tesão Nesse tipo de aplicação freqüeteete são observados casos estáveis classificados coo istáveis siplesete porque ão fora cosideradas as variações das cargas co as agitudes das tesões U odelo geral para cargas ativas e reativas é dado pelas expressões: esp (a p b p c p o Q esp (a q b q c q Q o e que a b c ou seja para pu as cargas esp e Q esp assue os valores oiais o e Q o Essa alteração a defiição das cargas provoca alguas pequeas udaças a otage da atriz Jacobiaa pois agora esp e Q esp deixa de ser costates e passa a ser fuções de São afetados os eleetos N e L das subatrizes N e L que passa a ser dados por: N - (b p c p o - ( G L - (b q c q Q o - (Q - B e que e Q são os valores calculados e fução da estiativa ais recete do estado da rede durate o processo iterativo de resolução das equações do fluxo de carga 99

102 Aálise de Sisteas de otêcia Capítulo 4 Estabilidade de Sisteas de otêcia 4 trodução Estabilidade de u sistea é a propriedade que o sistea te de peraecer e u estado de equilíbrio e regie peraete ou atigir u estado de equilíbrio após ser subetido a ua perturbação A preocupação do estudo de estabilidade é e relação à resposta diâica do sistea frete a perturbação 4 Tipos de istabilidade a erda de sicroiso: é u feôeo de istabilidade agular (posição agular do rotor; b Colapso de tesão: caso de istabilidade de tesão 4 Tipos de perturbação a Grades perturbações: curto-circuito variação brusca de carga perda de geradores perda de liha; b equeas perturbações: variações orais da carga 44 Tipos de estudos de estabilidade a Agular i Grade perturbação: estabilidade trasitória; ii equea perturbação: estabilidade e regie peraete para carga leve carga édia e carga pesada ou estabilidade diâica ode se cosidera o cotrole de tesão e o cotrole de velocidade; b Tesão i Grade perturbação; ii equea perturbação A estabilidade trasitória aalisa o âgulo itero da áquia co o tepo A solução deste estudo é u gráfico âgulo versus tepo exeplificado a Figura 4 O objetivo deste estudo é o cohecieto de u cojuto de edidas que faça co que o sistea coo u todo peraeça estável para deteriados evetos δ(t Figura 4 - Âgulo delta tepo t

103 Aálise de Sisteas de otêcia 45 Coceitos básicos da áquia sícroa A Figura 4 ostra u esquea da áquia sícroa de pólos salietes ode se pode ver a parte fixa da áquia ou estator ode estão colocados os três cojutos de bobias ode serão iduzidas as tesões e a parte óvel ou rotor o qual é alietado co correte cotíua a ω ecâico φ F c' b b' c δ φ E Capo agético devido à circulação de corretes as bobias do estator a' Figura 4 - Esquea da áquia sícroa 45 ricípio de fucioaeto Co a aquia descoectada da rede alieta-se o erolaeto do rotor co correte cotíua o que gera u fluxo agético estacioário φ F Gira-se o eixo do rotor co o auxílio de ua áquia otriz e este fluxo agético que agora gira elaça os erolaetos do estator produzido ua tesão iduzida estes erolaetos 4 π f ω ωecâico p p ode: ω ecâico é a velocidade agular do rotor e radiaos ecâicos/segudo ω é a velocidade agular da tesão e radiaos elétricos/segudo f é a freqüêcia elétrica e Hz p é o úero de pólos da áquia sícroa δ é o âgulo de carga ω ecâico T ecâico T e Figura 4 - Torques o rotor do gerador sícroo Se a áquia alieta ua carga existe circulação de corretes as bobias do estator as quais cria u capo φ E ostrado a Figura 4 Te-se portato a velocidade ecâica e o torque ecâico e u eso setido e o torque eletroagético ou apeas elétrico o setido cotrário ostrados a Figura 4 O âgulo delta varia de acordo co o torque ecâico aplicado Se a vazão de água da áquia otriz é auetada auetado a potêcia ecâica etregue para o gerador e a potêcia elétrica é

104 Aálise de Sisteas de otêcia atida costate o âgulo delta aueta Se por outro lado a potêcia elétrica etregue pelo gerador aueta atida a vazão de água costate o âgulo delta aueta A preocupação deste estudo está o balaço eletro-ecâico etre a potêcia ecâica forecida ao gerador e a potêcia elétrica gerada A Figura 44 ostra o circuito equivalete da aquia sícroa e regie peraete jx S E δ t cos(φ Figura 44 - Circuito equivalete da aquia sícroa e regie peraete A partir da Figura 44 pode-se escrever: E δ t Cosidera-se para o estudo de estabilidade trasitória (odelo clássico que a tesão itera da áquia E é costate Assue-se co isto que o cotrole de tesão é rápido jx otêcia elétrica forecida pela áquia sícroa e regie peraete: 46 Diâica do rotor da áquia sícroa S E t e se(δ X 46 Equação de oscilação da áquia sícroa A Figura 45 ostra os torques evolvidos e o setido de rotação da áquia S ω ecâico rotor ω ecâico T ecâico ecâico T e Referecial fixo Figura 45 - Rotor da áquia sícroa ode: ecâico é o deslocaeto agular do rotor e relação a u referecial fixo e radiaos ecâicos T ecâico é o torque ecâico e N T e é o torque eletroagético ou torque elétrico líquido já descotado atrito vetilação e outros e N Da Figura 45 pode-se escrever: ode: J é o oeto de iércia do rotor e g T a é o torque de aceleração e N T a ecâico d Tecâico Te J N (4 dt

105 Aálise de Sisteas de otêcia Se a áquia está e regie peraete d ecâico T ecâico T e T a dt e a velocidade do rotor é ω ecâico igual a velocidade ω Secâico velocidade sícroa do rotor Quado T ecâico é diferete de T e T a e ωecâico ωsecâico Coo o iteresse é co relação ao desvio da velocidade do rotor e relação à velocidade sícroa o referecial agora gira co a velocidade sícroa ω Secâico coo ostra a Figura 46 velocidade do rotor ω ecâico ecâico δ ecâico velocidade sícroa ω Secâico Referecial fixo Figura 46 - Rotor co referecial que gira a velocidade sícroa Da Figura 46 pode-se escrever: ecâico ωsecâico t δ ecâico d dt ecâico dδ ecâico ωsecâico dt ou seja a velocidade do rotor d ecâico dt é a soa da velocidade sícroa do rotor co o deslocaeto agular do rotor e relação a velocidade sícroa e ecâico d ecâico d δ (4 dt dt ou seja a aceleração do rotor e relação ao referecial fixo é a esa que a aceleração do deslocaeto agular do rotor Substituido-se a Equação 4 e 4 ve: T a δ ecâico d Tecâico Te J N (4 dt Multiplicado-se toda a Equação 4 por ω ecâico ve: δ ecâico d Ta ω ecâico Tecâico ωecâico Te ωecâico J ωecâico dt Chaa-se J ωecâico de oeto agular E operação estável a velocidade da áquia ão difere de aeira sigificate da velocidade sícroa Defie-se M J ωsecâico de costate de iércia da áquia edida a velocidade sícroa logo: δ ecâico d a ecâico e M (44 dt Devido à variedade de potêcias e taahos das áquias os fabricates forece os dados das áquias co a costate H Co isto a gaa de valores tabelados fica bastate reduzida

106 Aálise de Sisteas de otêcia Defie-se a costate H da áquia coo a razão etre a eergia ciética arazeada o rotor da áquia a velocidade sícroa e sua potêcia elétrica trifásica aparete Eergia _ ciética _ arazeada _ o _ rotor _ a _ velocidade _ sícroa H MJ/MA s S J ω Secâico M ω Secâico H s S S H S M MJ/rad Mec (45 ω Secâico Substituido-se a Equação 45 a Equação 44 ve: δ ecâico H S d a ecâico e (46 ω dt Secâico ode δ ecâico é a defasage agular do rotor e relação ao eixo que gira a velocidade sícroa ω S do rotor Colocado-se a Equação 46 e pu dividido-a pela potêcia aparete oial da áquia ve: Sabedo-se que δ ecâico H d a ecâico e pu ω dt ecâico Secâico ω ( p / ω relação etre a velocidade agular elétrica e a velocidade agular ecâica e que δ ( p / δ relação etre o âgulo elétrico e o âgulo ecâico ve: ecâico H d δ a ecâico e ω pu (47 S dt ode: H é a costate da áquia e MJ/MA ou segudos ω π f está e radiaos elétricos por segudo S δ está e radiaos elétricos a ecâico e estão e pu a base da áquia A Equação 47 é a equação de oscilação da áquia sícroa (swig equatio Ela relacioa ua perturbação de potêcia co o desvio do âgulo delta e relação a posição de equilíbrio A solução da equação de oscilação forece o gráfico do âgulo delta e fução do tepo A Figura 47 exeplifica sistea estável e sistea istável δ(t δ(t t t Figura 47 - Curvas de oscilação da áquia 4

107 Aálise de Sisteas de otêcia 46 Tipos de estudos Ua áquia versus barra ifiita que represeta o resto do sistea; Máquia oscilado cotra a áquia ; Multiáquias Observação: a estabilidade é ua propriedade relativa (defasage agular etre as áquias ( δ e e geral a referêcia é a aior áquia 47 Equivalete de áquia ou áquia equivalete 47 alor da costate H a base do sistea H gerador S gerador S base _ do sistea H a _ base do _ sistea H gerador Sgerador S base _ sistea do 47 Máquias coeretes A Figura 48 ostra duas áquias coeretes pois o eveto de ua perturbação estas oscila jutas G ~ δ(t G ~ δ Figura 48 - Máquias coeretes δ t A difereça do ódulo do âgulo delta das duas áquias δ δ é desprezível Represeta-se as duas áquias G e G por ua úica áquia equivalete G equivalete δ δ δ G : G : ecâico ecâico δ H d e ω dt S δ H d e ω dt S Soado-se as duas equações obté-se a seguite equação para a áquia equivalete: G equivalete : ecâico H d δ e ω ode H H H ecâico ecâico e e e e dt S 5

108 Aálise de Sisteas de otêcia Exeplo 4 Seja os dois geradores a seguir G : 5 MA H 4 8 MJ/MA G : MA H 7 MJ/MA e a potêcia base do sistea S base MA Se G e G são coeretes deteriar a costate H da áquia equivalete a base do sistea H 6759 MJ/MA ode H é a costate equivalete a base do sistea que é de MA o prieiro tero é a costate H da áquia a base do sistea e o segudo tero é a costate H da áquia a base do sistea 47 Máquias ão coeretes A Figura 49 ostra sistea de duas áquias ão coeretes δ(t G ~ ~ G δ t Figura 49 - Máquias ão coeretes G : G : ecâico ecâico δ H d e ω dt S δ H d e ω dt S Explicitado-se o tero de seguda derivada e abas as equações ve: d d δ dt δ dt H ω S ecâico ecâico H ω S e e (48 (49 Fazedo-se a difereça etre as Equações 48 e 49 obté-se: d δ d δ dt dt ecâico e ecâico H H ω S e Chaado-se δ δ de δ ultiplicado-se a equação por ωs e rearruado-se teros ve: d δ ω dt S H ecâico H ecâico e e H H Multiplicado-se a equação por H H H ( H ve: H 6

109 Aálise de Sisteas de otêcia H ω S d δ dt H ecâico H H H e H H H H H ecâico e H H H que está a fora H d δ ω dt S ecâico e ode: H H H H H ecâico ecâico H ecâico H e H H e e H e H H H A solução da equação de oscilação é a difereça etre δ e δ ostrada a Figura 4 δ Figura 4 - Solução co áquias ão coeretes Exeplo 4 G é gerador sícroo e G otor sícroo coectados por rede puraete reativa Desprezado-se as perdas ve: G ecâico ecâico e e e ecâico ecâico e e t H d δ ω dt S ecâico e 48 Equação potêcia-âgulo Esta equação reúe o odelo do balaço eletroecâico equação de oscilação co o odelo elétrico do sistea que são as equações do fluxo de potêcia ou seja Hipóteses: H d δ ω dt S ecâico e A potêcia ecâica forecida para a áquia é costate devido à diâica leta do regulador de velocidade da áquia otriz logo toda a perturbação só está a potêcia elétrica Se e ecâico a áquia está e regie peraete e gira a velocidade sícroa ω S se e < ecâico a áquia acelera se e > ecâico a áquia freia A variação da velocidade é pequea ( Δ ω esta ão afeta a tesão itera da áquia logo E é costate Modelo da áquia sícroa A Figura 4 ostra o odelo da áquia sícroa ode x' d é a reatâcia trasitória de eixo direto 4 Os âgulos de carga são edidos e relação a ua referêcia úica a referêcia do sistea 7

110 Aálise de Sisteas de otêcia jx' d E δ t α Figura 4 - Modelo da áquia sícroa Seja gerador ligado ao sistea e este ligado a outro gerador coo ostrado a Figura 4(a jx' d jx' d E ~ ~ Sistea (a E Sistea co E δ ~ x' d das ~ E δ áquias (b Figura 4 - Represetação do sistea e das áquias As tesões as barras e são as de iteresse pois guarda o âgulo delta da tesão itera A rede sistea acrescido co x' d ostrado a Figura 4(b é represetada pela atriz aditâcia de barra Y Y Y BARRA Y Y ela equação do fluxo de potêcia { G cos( B se( } que para a barra fica E G E E G cos( δ E E B se( δ Substituido-se esta equação Y G jb Y cos( j Y se( ve: E G E E Y cos( cos( δ E E Y se( se( δ Colocado-se teros e evidêcia fica: ( cos( δ se( se( E G E E Y cos( δ Lebrado-se que cos( a b cos( a cos( b se( a se( b ve: E G E E Y cos( δ Chaado-se γ / ve: π cos( δ cos( δ γ π / se ( δ γ 8

111 Aálise de Sisteas de otêcia fora: γ E G E E Y se( δ que é a equação potêcia-âgulo Esta equação é da ta áxio se δ ostrada a Figura 4 cos te ( γ costate áxio costate γ γ π/ δ Figura 4 - Gráfico da equação potêcia-âgulo Caso particular: soete reatâcias despreza-se as resistêcias G Y γ π / π / π / x E E se( δ e x ode x é a reatâcia de trasferêcia etre as barras e A Figura 44 ostra a potêcia versus o âgulo delta de sistea represetado soete por reatâcias áxio π/ δ Figura 44 - otêcia e sistea represetado soete por reatâcias Exeplo 4 Deteriar a curva potêcia-âgulo e δ do sistea da Figura 45 as codições de operação a seguir sabedo-se que a barra a é barra ifiita j j4 G G a E a e j4 Figura 45 - Sistea do Exeplo 4 ode a barra a é ua barra ifiita x' d ; e pu logo ecâico pu; t pu (tesão terial do gerador; H 5 MJ/MA ou 5 s 9

112 Aálise de Sisteas de otêcia a Codição oral de operação A Figura 46 ostra o diagraa de ipedâcias do sistea da Figura 45 e codição oral de operação E G j4 j j a t α j4 G E a Figura 46 - Diagraa de ipedâcias pré falta do sistea da Figura 45 E E (a ( regie _ peraete a e ( regie _ peraete x a ( regie _ peraete a j j j4// j4 j x se( δ 5 otêcia elétrica trasitida etre as barras t e a ( ta( regie _ peraete t a e se( δ ( regie _ peraete t x ( regie _ peraete ta xta j j4 // j4 j Substituido-se valores ve: ( ta( regie _ peraete se( α se( α α 746 e E j E t j t Ea 746 j δ (a ( regie _ peraete se( δ e se( δ 5 (a ( regie _ peraete e b Curto-circuito trifásico o eio da liha iferior Se δ ve: A Figura 47 ostra o diagraa de ipedâcias do sistea da Figura 45 quado subetido a curto trifásico o cetro de ua das lihas de trasissão E j4 j j a j j G G E a Figura 47 - Diagraa de ipedâcias do sistea da Figura 45 sob falta E Ea se( δ ( falta x (a ( falta e a

113 Aálise de Sisteas de otêcia Método para resolver a rede: deteriar Y BARRA o caso de diesão e depois reduzi-la para a diesão igual ao úero de geradores A Figura 48 ostra a rede redesehada co a falta as barras reueradas e agora co as aditâcias dos eleetos j5 j E E a G G j5 j5 Figura 48 - Diagraa de aditâcias do sistea da Figura 45 sob falta Utilizado-se o algorito de costrução da atriz Y BARRA ve: j j Y BARRA j75 j5 j j5 j8 Deseja-se a reatâcia de trasferêcia etre as barras e Fazedo-se a eliiação da barra por Kro ve: Y ' j j j j8 j8 j j5 Y ' Y ' j769 j8 Y ' j5 j5 j75 j69 j8 j8 j769 Y ' BARRA j769 j69 A aditâcia de trasferêcia etre as barras e é: Y 769 j x j769 5 (a ( falta se( δ e 88 se( δ ode as duas tesões são costates (a ( falta e c Os dois disjutores da liha iferior são abertos para a eliiação da falta A Figura 49 ostra o diagraa de ipedâcias do sistea da Figura 45 co a liha sob falta reovida E j j j4 a G G E a Figura 49 - Diagraa de ipedâcias do sistea da Figura 45 co a liha sob falta reovida E 5 (a ( pós _ falta se( δ se( δ 5 se( δ ( pós _ falta e x 7 (a ( pós _ falta e ode as duas tesões são costates

114 Aálise de Sisteas de otêcia d Equações de oscilação dos três casos abordados Ates da falta d δ se( δ 77 dt Durate a falta d δ 88 se( δ 77 dt Após a falta d δ 5 se( δ 77 dt A Figura 4 resue as três curvas obtidas potêcia elétrica versus âgulo e o poto de operação ates da falta e 5 curva pré falta lihas curva pós falta liha curva e falta lihasfalta ecâico 88 δ Figura 4 - Figura co os casos a b c estudados δ 49 Coceitos sobre o regie trasitório da áquia sícroa O sistea exeplo da Figura 45 opera e regie peraete o poto a ostrado a Figura 4 E t ocorre curto-circuito trifásico teporário os teriais do gerador co potêcia elétrica trasitida igual a zero e a áquia passa a operar o poto b Durate o curto a potêcia elétrica trasitida é igual a zero ( e a áquia acelera e o âgulo delta aueta Quado t t crítico e δ δ crítico o curto é eliiado ficado o sistea co a esa cofiguração iicial A áquia volta a operar a seóide o poto d e coeça a frear pois e > ecâico poré devido a iércia do rotor o âgulo delta cotiua a auetar No caso do sistea ser estável para esta perturbação e para este tepo de lipeza da falta o poto e para o qual a velocidade do rotor é a sícroa ão pode passar de δ áxio Neste caso (estável a áquia desacelera poré ão fica o poto de operação a devido a iércia do rotor ido etão até o poto f ode a velocidade é a sícroa Novaete a áquia acelera e cotiua a oscilar até se estabilizar o poto a pois a cofiguração do sistea é a esa ates da falta e após a eliiação da falta e áxio ecâico ω R a d e ω R b c δ ω R f δ δ crítico δ δ áxio π δ Figura 4 - Oscilação da áquia para falta trifásica e potêcia elétrica trasitida ula A Tabela 4 resue o balaço de potêcia e cada u dos potos de iteresse da curva potêciaâgulo da Figura 4

115 Aálise de Sisteas de otêcia oto de operação Balaço de potêcia Aceleração d δ dt elocidade agular a e ecâico ω S b c e < ecâico > ω S d e e > ecâico > ω S e e > ecâico ω S e a e > ecâico < ω S a f e < ecâico < ω S f e < ecâico ω S Critério das áreas iguais: A acelera e A freia A > A istável Tabela 4 - Balaço de potêcia e regie trasitório A áquia pode operar e regie peraete até 9 4 Critério das áreas iguais O critério das áreas iguais é usado para aalisar a estabilidade trasitória de ua áquia cotra ua barra ifiita ou para exaiar a estabilidade trasitória de duas áquias se a ecessidade de solucioar a equação de oscilação A seguir coceitos para esta aálise 4 otêcia elétrica trasitida igual a zero durate o curto A A 4 ode a área vai até o eixo ecâico A áquia ão pode passar a parte descedete da curva da potêcia ecâica e áxio ω R ecâico A A δ δ δ crítico δ δ áxio π δ Figura 4 Critério das Áreas guais Seja a equação swig H d δ ecâico e Se ωs dt ω R é a velocidade do rotor e relação à velocidade sícroa ω é a velocidade do rotor ω S é a velocidade sícroa etão ω R ω ωs dδ dt Multiplicado-se o ebro da esquerda da equação swig por ω R e o ebro da direita por dδ dt e lebrado-se que d δ dt dωr dt ve: H dωr dδ ωr ( ecâico e ωs dt dt H dωr ω S ( dδ ecâico e

116 Aálise de Sisteas de otêcia H ω S H ω S ω ω R R dω R δ ( ecâico e δ dδ δ ( ωr ωr ( ecâico e δ dδ Cosiderado-se que tato o poto δ quato o poto δ a velocidade do rotor é a sícroa isto é ω ω S ω R ω R δ ( e dδ δ ecâico que resue o critério das áreas iguais que pode ser aplicado a quaisquer dois potos e que a velocidade do rotor é a velocidade sícroa tegrado-se a equação acia ve: δ δ crítico ( e dδ ( ecâico e dδ δ crítico δ δ ecâico δ crítico ( d ( ecâico A e δ δ dδ δ e ecâico crítico A a potêcia elétrica é assuida zero pois a falta é a barra do gerador A Figura 4 ostra as áreas A e A 4 Âgulo crítico de eliiação da falta para potêcia elétrica ula trasitida durate a falta e áxio ecâico A A δ δ δ crítico δ áxio π δ Figura 4 - Critério das áreas iguais Se δ > δ o sistea é istável A abertura A δ A crítico δ crítico ( ecâico e dδ ecâico δcrítico δ ecâico durate a falta é zero δ áxio δ áxio ( dδ ( se( δ A e ecâico áxio ecâico dδ A pois a potêcia elétrica trasitida δ crítico δ crítico áxio cos( δ áxio áxio cos( δ crítico ecâico δ crítico ecâico δ áxio 4

117 Aálise de Sisteas de otêcia gualado-se A e A ve: ecâico cos( δ crítico ( δ áxio δ cos( δ áxio áxio Sabedo-se que δ áxio π δ e cos( δ cos( δ se( δ ecâico e δ áxio áxio ve: cos( δcrítico se( δ ( π δ cos( δ Tirado-se o valor de δ crítico ve: { se( δ ( π δ cos( δ } δ crítico cos radiaos (4 A fórula de δ crítico para potêcia elétrica trasitida igual a zero durate a falta só depede de δ logo a estabilidade do sistea só depede do poto de operação 4 Tepo crítico de eliiação de falta Este tepo está associado ao âgulo δ crítico ara o período de aceleração A ve: d δ ωs ωs ecâico ( ecâico e pois a potêcia elétrica trasitida durate a falta é dt H H zero e a velocidade relativa do rotor é: t ecâico R dδ ωs ecâico ωs ω dt dt H H t t ωs ecâico t ωs ecâico t δ ωr dt dt δ pois e t o âgulo é δ H 4 H t O tepo crítico que correspode ao delta crítico é: ( δ δ crítico 4 H tcrítico segudos ode os âgulos estão e radiaos álida soete quado ωs ecâico a potêcia elétrica trasitida durate o defeito é zero Se o tepo de eliiação do defeito (t abertura for aior que o tepo crítico (t crítico o sistea será istável Exeplo 44 Deteriar o tepo crítico e o âgulo crítico para o sistea da Figura 44 operado e regie peraete quado ocorre falta trifásica a saída do gerador H 5 MJ/MA 5 s j j4 E a G G j4 Figura 44 - Sistea exeplo Deteriação do âgulo de operação e regie peraete ( δ Do exeplo aterior e se( δ pu δ radiaos or substituição direta da fórula deteria-se o âgulo crítico δ { se( δ ( π δ cos( δ } δ 46 radiaos ou δ 87 ostrado a Figura 45 crítico crítico cos crítico 5

118 Aálise de Sisteas de otêcia e ecâico δ Figura 45 - Curva potêcia âgulo do sistea exeplo ates da falta ( t crítico segudos ou ciclos 77 δ crítico δ áxio δ 44 Aálise de casos Seja o sistea da Figura 44 Falta trifásica o eio da liha eliiada istataeaete pelo desligaeto da liha e posteriorete religada co sucesso A falta ocorre quado a áquia opera e regie peraete co âgulo δ Na ocorrêcia do curto esta passa a operar a curva iferior pois a liha e falta foi aberta istataeaete A áquia oscila e após algu tepo te coo poto de repouso o âgulo δ pois este poto e ecâico Quado e δ a liha é religada e a áquia volta a operar a curva superior Esta oscila até repousar e δ A Figura 46 ostra o exposto e lihas liha ecâico δ δ δ crítico δ áxio δ Figura 46 - Curvas potêcia âgulo e caso de defeito Falta trifásica o eio da liha que é posteriorete eliiada pela abertura da liha e falta e depois religada co sucesso E δ crítico ocorre o desligaeto da liha e falta E δ t ocorre o religaeto da liha A áquia opera e regie peraete e δ Quado ocorre o curto-circuito trifásico esta passa a operar a curva iferior e acelera Quado e δ crítico a liha é aberta e a áquia passa a operar a curva do eio Devido a iércia do rotor o âgulo δ cotiua a abrir (auetar e quado e δ t a liha é religada co sucesso e a áquia passa a operar a curva superior A Figura 47 ostra o exposto ecâico e lihas liha lihasfalta δ δ δ crítico δ t δ áxio δ Figura 47 - Falta ão reovida istataeaete O sistea é estável se co apeas liha o poto de equilíbrio é δ 6

119 Aálise de Sisteas de otêcia 45 Âgulo crítico de eliiação da falta co trasissão de potêcia elétrica diferete de zero durate a falta A Figura 48 ostra o sistea a ser estudado e a Figura 49 ostra as três diferetes curvas potêcia-âgulo G G E a Figura 48 - Sistea exeplo e ecâico lihas liha lihasfalta δ δ δ crítico δ áxio δ Figura 49 - Curvas potêcia-âgulo O sistea da Figura 48 opera e regie peraete co o âgulo itero da áquia δ e co ecâico e quado ocorre curto-circuito trifásico o cetro da liha iferior A áquia passa etão a operar a curva iferior da Figura 49 e acelera A lipeza da falta acotece e δ crítico co a abertura da liha e falta e a áquia passa a operar a curva do eio Devido a iércia do rotor o âgulo delta cotiua a abrir (auetar A lipeza da falta te que ser tal que A A O âgulo delta crítico ( δ crítico de abertura será a codição A A crítico áxio ( falta ( pós _ falta ( ecâico e dδ A ( e ecâico A δ δ δ dδ Sabedo-se que a potêcia trasitida e regie peraete é: δ crítico ( regie _ peraete e áxio se( δ ( falta ( falta áxio e se( δ r áxio áxio se( δ ( pós _ falta ( pós _ falta áxio e se( δ r áxio áxio r ( falta ( pós _ falta áxio áxio r áxio áxio se( δ ode δ crítico ecâico áxio ( ecâico crítico áxio A A δ δ ( r se δ dδ ( δ δ r ( cos( δ ] crítico δ crítico ecâico δ r áxio cos( δ crítico r cos( ecâico áxio δ δ 7

120 Aálise de Sisteas de otêcia A δ áxio áxio ( ecâico áxio δ ecâico crítico crítico δ áxio ( r se δ dδ r ( cos( δ ] ( δ ] áxio δ crítico δ A δ crítico ecâico δ áxio r áxio cos( δ crítico r áxio cos( δ ecâico áxio gualado-se as expressões de A e A ve: ( r r áxio cos( δ ( δ δ crítico ecâico áxio áxio cos( δ áxio r áxio cos( δ ecâico ( δ áxio δ r cos( δ áxio r cos( δ áxio cos( δ crítico r r ecâico ( δ áxio δ r cos( δ áxio r cos( δ cos áxio δ crítico r r δ r ( pós _ falta δ áxio 8 δ r áxio se( δ ecâico e ecâico se( δ ecâico áxio Não existe fórula aalítica para a deteriação do tepo crítico se a potêcia elétrica for diferete de zero durate a falta Exeplo 45: Calcular o âgulo crítico de lipeza da falta trifásica do sistea da Figura 4 cujos dados são os esos dos ostrados a Figura 45 G G E a ( pré _ falta e ( falta e 88 ( pós _ falta e 5 se( δ se( δ pu ecâico se( δ Figura 4 Sistea exeplo Cálculo do âgulo de operação e regie peraete ecâico se( δ δ radiaos 5 r 88 r Cálculo do âgulo delta áxio 5 se ( δ δ 7 radiaos ou δ 4 8 δ áxio π 7 4 radiaos ou 8 9 8

121 Aálise de Sisteas de otêcia ecâico ( δ áxio δ r cos( δ áxio r cos( δ cos áxio δ crítico r r substituido valores ve: 5 88 ( cos(4 cos(496 δ cos crítico δ 44 rad crítico 876 Quado a potêcia trasitida foi zero o âgulo foi de Coeficiete de potêcia sicroizate O coeficiete de potêcia sicroizate (S é u idicador da estabilidade do poto de operação da áquia A Figura 4 ostra a curva potêcia-âgulo de ua áquia Cohecedo-se a potêcia ecâica forecida ao gerador existe dois potos de operação possíveis δ e (π δ O objetivo é idetificar quais destes potos são aceitáveis U poto de operação é aceitável se quado este poto de operação a áquia ão perde o sicroiso para pequeas alterações da potêcia elétrica de saída da áquia e ecâico δ π δ Figura 4 - otos de operação possível δ 4 Aálise da equação de oscilação liearizada Aálise da estabilidade para pequeas perturbações é o eso que aálise liearizada da estabilidade Seja áquia operado co as codições iiciais δ Nestas codições ( e áxio se( δ ( e Seja a perturbação δ δ Δδ que iplica e e e Δe A expressão geral da potêcia elétrica trasitida é: e áxio se(δ Substituido-se a perturbação esta equação ve: e áxio ( ( ( se( δ cos( Δδ se( Δδ cos( e Δe se( δ δ δ Δ áxio Coo o âgulo Δδ é icreetal cos( Δδ e se (Δ δ Δδ ( e Δ se δ cos( δ Δδ e áxio ( áxio O prieiro tero da potêcia elétrica é aquela da codição iicial idêtica à potêcia ecâica e o segudo tero é a variação icreetal da potêcia elétrica Δ e áxio cos( δ Δδ 9

122 Aálise de Sisteas de otêcia O coeficiete de potêcia sicroizate é defiido coo: S áxio cos( δ erifica-se que cos( δ é a tagete da curva potêcia âgulo o poto de operação δ ou seja áxio e δ δ δ d S icliação da tagete à curva e o poto δ d e S > S < ecâico δ π δ δ Figura 4 - Coeficiete de potêcia sicroizate Seja a equação de oscilação da áquia sícroa ecâico H d δ e ω Substituido-se os valores da perturbação: dt S ( δ Δδ H d Δe S Δδ ω dt Coo δ é costate ( Δδ S d ωs S Δδ que é ua equação diferecial hoogêea de seguda orde cuja dt H solução depede do sial de S Resolvedo-se esta equação pelo poliôio característico ve: ω S S S H S ± Se S > ωs S H S ± j ωs S H ωs S Se S < S ± H decrescete portato istável Solução geral o doíio do tepo S t S t Δδ ( t A e B e S Seja S ω H ω Se S > jω t que correspode a ovieto oscilatório de aplitude costate que correspode a ua expoecial crescete e ua expoecial jω t Δδ ( t A e B e δ δ Figura 4 - Solução para S positivo t Se S < ω t ω t Δδ ( t A e B e

123 Aálise de Sisteas de otêcia δ δ Figura 4 - Solução para S egativo 4 Aálise gráfica da potêcia elétrica para pequeas oscilações e ( e Δ e ( e ecâico δ δ δ Δδ π δ Δδ π δ Figura 44 - terpretação do coeficiete de potêcia sicroizate Observado-se a Figura 44 coclui-se que se: o poto de operação δ o aueto do âgulo de carga (δ Δδ iplica e u aueto e ( e ( e Δe Coseqüeteete coo e > ecâico a áquia freia tededo a retorar ao poto de operação origial Raciocíio aálogo aplica-se quado e < ecâico (a áquia acelera Ou seja o poto de operação δ é u poto de equilíbrio estável o poto de operação π δ o aueto do âgulo de carga (π δ Δδ iplica e u ( redução e e ( e Δe Coseqüeteete coo e < ecâico a áquia acelera tededo a auetar aida ais o âgulo δ Raciocíio aálogo aplica-se quado e > ecâico (a áquia freia Ou seja o poto de operação π δ é u poto de equilíbrio istável Coclusão Os potos de operação aceitáveis são aqueles ode o coeficiete de potêcia sicroizate é positivo ou seja δ < 9 A freqüêcia agular atural da oscilação é: ω S S ω [radiaos elétricos/segudo] H A freqüêcia atural de oscilação é: f ωs S π H [Hz]

124 Aálise de Sisteas de otêcia Exeplo 46 O sistea da Figura 45 está a codição oral de operação e regie peraete co δ 8 44 H 5 MJ/MA 6 Hz sedo e se( δ Deteriar a freqüêcia agular atural de oscilação ω da áquia sabedo-se que esta sofreu u pequeo distúrbio elétrico teporário Deteriar tabé a freqüêcia atural de oscilação f E a G G Figura 45 Sistea Exeplo e ecâico δ δ Figura 46 Curva de Âgulo de otêcia S cos( δ S ω 84 radiaos elétricos/segudo ω f Hz valor típico para sistea de 6 Hz e T /f 75 s π 4 Estudo de estabilidade ulti-áquias O estudo de estabilidade ulti-áquia serve para aalisar a estabilidade trasitória do sistea É aplicado para qualquer úero de áquias 4 Modelo clássico de estabilidade O odelo clássico de estabilidade cosidera: jeção de potêcia ecâica costate durate todo o período de aálise otêcia de aortecieto desprezível Que o odelo da áquia sícroa cosiste de fote de tesão itera e série co a reatâcia de eixo direto ( x' d 4 Que a posição agular do rotor coicide co a fase da tesão itera ou seja E E δ 5 Que as cargas do sistea são represetadas por odelo de ipedâcia costate 6 E geral apeas o curto-circuito trifásico para efeito de estudo

125 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Etapas do estudo A codição pré falta é obtida da solução do fluxo de potêcia que forece Q e cada barra Calcular a partir da solução do fluxo de potêcia e cada barra a tesão itera das áquias ou seja deteriar E coo exeplificado a Figura 47 Q t E x' d t Figura 47 - Deteriação da tesão itera das áquias E jx' t d * * S jq S * * t Coversão das cargas odeladas por potêcia costate para o odelo de ipedâcia costate jq Figura 48 - Coversão das cargas para odelo de ipedâcia costate O odelo de represetação da carga é ipedâcia costate poré coo se precisa otar a atriz Y BARRA odela-se esta carga coo aditâcia jq ou 4 Motage da atriz Y BARRA auetada cluir as cargas odeladas por ipedâcia costate assi coo as reatâcias trasitórias dos (auetada geradores a atriz Y BARRA resultado a atriz Y BARRA A diesão da atriz Y BARRA será auetada do úero de geradores de iteresse x' d (auetada Y BARRA E E x' d Y BARRA Figura 49 - Matriz Y BARRA auetada 5 Redução da atriz (auetada Y BARRA à diesão do úero de geradores (

126 Aálise de Sisteas de otêcia A atriz resultate é a atriz aditâcia de barra pré falta e regie peraete isto é ( reduzida ( pré _ falta Y Y BARRA BARRA (reduzida Y BARRA E E Figura 44 - Matriz aditâcia de barra reduzida (auetada 6 Modificação da atriz Y BARRA para represetar as codições de falta e redução à diesão do úero de geradores ( reduzida _ de _ falta Y load flow de falta BARRA (auetada 7 Modificação da atriz Y BARRA para represetar as codições pós falta e redução à diesão do úero de geradores ( reduzida _ pós _ falta Y load flow pós falta BARRA 8 Equações de oscilação dos geradores as codições de falta e pós falta Codição de falta potêcia ecâicoi ei δi H d ω dt S i ode ( pré _ falta ecâicoi ei calculado o fluxo de Resolve-se o sistea de equações de oscilação das áquias co o uso de u étodo de itegração de t istate da aplicação da falta até o tepo de eliiação da falta A cada passo de itegração resolve-se o load-flow e atualiza-se a potêcia elétrica pois o âgulo delta varia logo varia a potêcia elétrica ijetada δ δ falta eliiada Codição pós falta Figura 44 - Âgulo de carga para u sistea co ua áquias t ecâicoi δi ( pós _ falta H d ei ω i dt S Usa-se agora o étodo de itegração do tepo de eliiação da falta até o tepo fial de siulação oralete e toro de segudos A cada passo de itegração resolve-se o fluxo de ( reduzida _ pós _ falta potêcia agora co a atriz Y BARRA A saída do prograa são gráficos δ i t u para cada áquia que deve ser aalisados por coparação A Figura 44 exeplifica os gráficos de saída 4

127 Aálise de Sisteas de otêcia para sistea de três áquias Os gráficos são e relação a ua áquia de referêcia oralete a áquia δ(t δ δ δ t t Figura 44 Âgulo de carga para u sistea co três áquias Notar que se o tepo fial de siulação for t haverá a falsa iterpretação de que a áquia é istável 4 Fatores que afeta a estabilidade do sistea Tepo de eliiação da falta; oto de operação e regie peraete (S >>> ; Tipo da falta: trifásica bifásica e oofásica e orde decrescete de severidade; 4 Localização da falta; 5 pedâcia de trasferêcia etre a áquia e o sistea copesação série das lihas diiuir a reatâcia e auetar a potêcia trasitida; 6 Características costrutivas da áquia iércia; 7 Cotrole de velocidade; 8 Codição pós falta; 9 Abertura oopolar dos disjutores; Reatâcia trasitória da áquia iflui a ipedâcia de trasferêcia; Lihas e paralelo 5

128 Aálise de Sisteas de otêcia Capítulo 5 Operação Ecoôica de Sisteas de otêcia 5 trodução A frase a seguir resue a operação ecoôica de u sistea de potêcia A operação do sistea elétrico de potêcia para qualquer codição de carga requer que a cotribuição de cada uidade geradora seja deteriada de odo a que o custo da potêcia forecida seja íio A prograação da geração cosiste e estabelecer etas de geração de cada uidade para diferetes horizotes de tepo de odo que o custo seja íio luriauais (5 a aos; Auais; Mesais; Diárias; Horárias (despacho a próxia hora; statâeo (despacho ecoôico Os fatores levados e cosideração para a prograação da geração são: Ecoôico (custo da geração; Capacidade do sistea de trasissão; Seguraça (cofiabilidade do suprieto íio risco de falta de eergia elétrica 5 Características das uidades geradoras Uidades téricas a carvão óleo ou gás atural; a Custo da operação depede diretaete da potêcia gerada; b Não há a pricípio liitação a quatidade de potêcia gerada e u período de tepo Uidades ucleares; a O custo de operação é praticaete costate para qualquer potêcia gerada pois a aior parte do custo é para a auteção e é uito elevado; b Usadas coo usias de base Uidades hidrelétricas a O custo de operação é praticaete zero pois só depede do custo de auteção; b Decisões operativas (quato despachar a áquia possue acoplaeto teporal isto é decisão toada agora iflui e decisão futura A previsão da vazão dos rios é feita por séries históricas; c Usias e cascata; d Afluêcia de rios; e Grades reservatórios (regulação pluriaual A prograação da geração é ais siples e sisteas téricos pois o cobustível pode ser estocado ao cotrário dos sisteas hidráulicos que tê o cobustível previsto 6

129 Aálise de Sisteas de otêcia 5 Operação Ecoôica de Sisteas de otêcia - problea da prograação da geração 5 Sistea térico a Coissioaeto de uidades (uit coitet; Devido ao fato da carga total de u sistea elétrico de potêcia variar o decorrer do dia e atigir diferetes valores de pico de u dia para o outro a cocessioária de eergia elétrica te que decidir co atecedêcia quais geradores serão ligados quado coectá-los ao sistea e tabé a seqüêcia e que os geradores deve ser desligados e por quato tepo O étodo coputacioal para toar tais decisões é cohecido coo coissioaeto de uidades i Decidir quais uidades estarão 'o-lie'; ii Questão do custo do 'start up' e 'shutdow'; iii Questão de reserva girate; iv Horizote de 4 horas; b Despacho ecoôico i Decidir qual a elhor (custo íio repartição de carga para as uidades 'o-lie' ii Levar e cosideração as perdas do sistea de trasissão e outras restrições operativas (seguraça cofiabilidade etc 5 Sistea hidro-térico a Solucioar o eso problea para as uidades téricas b Solucioar o problea auetado para as uidades hidrelétricas o qual é preciso iiizar o custo acrescido do risco de falta de água 54 Despacho ecoôico e sisteas téricos 54 Característica das uidades téricas covecioais A Figura 5 ostra a plata de ua usia térica cobustível caldeira H: vazão e Btu/hora A turbia cosoe H Btu/hora ou te u custo C e $/hora turbia gerador potêcia elétrica serviços auxiliares Figura 5 - lata de ua usia térica Existe relação etre a vazão de cobustível H e a potêcia elétrica de saída e A Figura 5 ostra a curva etrada-saída ou 'Heat-rate characteristic' H ou C Figura 5 - Curva típica etrada-saída de ua turbia e 7

130 Aálise de Sisteas de otêcia Coo a curva varia icreetalete qual a relação Δ ΔC ou seja qual a curva de custo icreetal A Figura 5 ostra a curva de custo icreetal referete à Figura 5 ΔC ($/MWh Δ liear para o itervalo válido dc d (íio e (áxio e e (MW Figura 5 - Curva de custo icreetal custo argial e $/MWh odelo do ercado atacadista de eergia (MAE 54 Caso particular de geradores se perda a trasissão A Figura 54 ostra u sistea forado por duas uidades geradoras diretaete ligadas à carga ~ ~ D Figura 54 - Sistea se perdas a trasissão O problea cosiste e iiizar o custo da geração das duas áquias sujeito a restrição o que cosiste e resolver o seguite problea de otiização: D ( C ( C ( i( f C fução objetivo sujeito a h D fução restrição A solução do problea são os valores de e de custo íio e que satisfaz ao cojuto de restrições Seja a fução objetivo: i( f C( C( C( sujeita a restrição: D A Figura 55 ostra a fução objetivo e a fução restrição e três diesões e tabé e projeção vista de C C h D / D D / h f D D D Figura 55 - Fução custo co restrição 8

131 Aálise de Sisteas de otêcia 9 ropriedades do gradiete de ua fução a É sepre perpedicular à curva de ível da fução Defiição do gradiete da fução vetorial f: x f x f f M b O gradiete apota para a direção de áxio crescieto local No poto ótio (íio a curva de ível da fução objetivo é tagete à curva da fução restrição No poto ótio o gradiete da fução objetivo f está alihado co a fução restrição h (esa direção logo são liearete depedetes logo h f λ que é a expressão que rege o processo de otiização λ é cohecido coo ultiplicador de Lagrage 54 Método dos ultiplicadores de Lagrage a Costruir a fução (objetivo ou custo auetada ou Lagrageao h f L λ b A solução ótia ocorre quado L λ L x L x L L M o poto ótio terpretação da solução para o caso dos dois geradores L λ L L L L ode cada tero do gradiete do lagrageao deve ser zero ( D L λ Na solução te-se: λ L λ L ( D L λ

132 Aálise de Sisteas de otêcia Resolvedo-se o sistea acia ve: λ λ λ D Solução: / D λ Caso geral: L C C λ ( D L dc dc λ λ d d L dc dc λ λ d d L ( D h λ Coclusão: A codição ecessária para que u poto de operação seja de custo íio é que os custos icreetais dos geradores seja iguais a u valor λ que por sua vez pode ser calculado pelo étodo dc dc dos ultiplicadores de Lagrage A Figura 56 ostra a codição λ ode D d d ˆ ˆ dc d dc d λ ˆ ˆ Figura 56 - oto de operação de íio custo Exeplo 5 A Figura 57 ostra dois geradores que alieta carga de 5 MW o próprio barraeto do (íio gerador Deteriar o custo total íio de geração C T 7 C 4 ($/h C 4 ($/h 8 ~ ~ D 5 MW Figura 57 - Sistea se perdas a trasissão

133 Aálise de Sisteas de otêcia Solução: f C C h D 5 L f λ h L é a solução procurada L L 4 λ 4 λ λ 6 L 5 λ 5 λ 8 Colocado-se o sistea e fora atricial ve: vertedo-se a atriz do sistea ve: λ t λ ou aida λ λ 86 A solução do sistea é: 4 MW MW λ 86 $/MWh Custo íio total: ( C íio T $/h Outras restrições que deve ser cosideradas o processo de otiização: Capacidade da áquia; erdas a trasissão; Capacidade da trasissão Se a otiização evolver perda reativa o problea fica ão liear Será portato ecessário usar u prograa de fluxo de potêcia ótio que cosiste e rodar u load flow sujeito a restrições coo íia perda as lihas e íio custo de geração

134 Aálise de Sisteas de otêcia 54 Extesão para o caso de geradores A Figura 58 ostra u sistea co geradores que alieta carga Não existe perda e restrição a capacidade das áquias ~ ~ Figura 58 - Sistea co geradores se perdas a trasissão Objetivo: i ( f C C ( C ( K ( D restrição: h K A solução ótia é: C sujeito a dc dc dc K λ A Figura 59 ostra a solução ótia ode ˆ ˆ ˆ K D d d d ~ M D dc d λ dc d dc d ˆ ˆ ˆ Figura 59 - oto de operação de íio custo para sistea co geradores ˆ ˆ ˆ K D 544 Cosideração de liite a capacidade de geração se se cosiderar as perdas a trasissão Etede-se por liite a capacidade de geração se pelo eos ua das áquias ão puder ateder à geração para ela especificada Seja o sistea da Figura 5 ~ ~ M D ~ Figura 5 - Sistea se perdas co liite de geração e cada áquia

135 Aálise de Sisteas de otêcia Objetivo: i( f C C ( i i sujeito a restrição: i D i h ( íio ( áxio LLLLLLLLL ( íio ( áxio restrições de desigualdade Não se pode usar o ultiplicador de Lagrage co esta forulação pois este só fucioa para igualdade as equações de restrição Estratégia de solução i ( áxio ( áxio i i si i ( íio ( íio i i si i i ode s i e s i são positivos e são chaadas de variáveis de folga O problea fica agora co variáveis e pode-se usar o étodo dos ultiplicadores de Lagrage Noção ituitiva Rodar o problea se se cosiderar as restrições Se pelo eos u gerador ultrapassar o liite estes tê a geração fixada o liite Os deais geradores são despachados obedecedo a regra dos custos icreetais iguais ode-se tabé ajustar áquia a áquia A Figura 5 ostra solução ecotrada que ão atede restrição das três áquias dc d λ dc d dc d ˆ ( íio ( áxio ˆ ( íio ( áxio ˆ ( íio ( áxio Figura 5 - Sistea de três áquias e que a solução ão atede às restrições Solução cosiderado as restrições: ˆ dci d i dci d i dci d i D λ < λ > λ ( áxio ( íio ( íio ( áxio i i i i i (áxio i (íio i

136 Aálise de Sisteas de otêcia Exeplo 5 Deteriar λ para diferetes codições de carga Seja duas áquias ligadas ao eso barraeto da carga isto é se perdas e que todas as áquias estão o tepo todo ligadas dc 8 d dc d $/MWh 5 5 MW D 65 MW 65 MW $/MWh a Codição de carga íia: D 5 MW dc dc λ d d dc 8 8 λ d dc d dl dλ λ D Motado-se o sistea ve: ode D λ 5 vertedo-se a atriz do sistea co auxílio do prograa MATLAB ve: λ 5455 A solução é: λ 866 λ 866 $/MWh MW: passou do liite iferior que é de MW MW MW: deve ser ajustado para 5 5 MW por causa do liite de dc Se MW λ $/MWh d dc Se 5 MW λ $/MWh d A Figura 5 ostra a solução ecotrada para a carga íia especificada 4

137 Aálise de Sisteas de otêcia dc d dc d λ λ4 λ88 λ86 λ8 λ784 λ76 λ Figura 5 - Solução para carga íia e carga áxia Deteriação do custo total C total dc d 5 dc 64 d d d (8 8 d (96 ( 4 8 ] ( 48 6 ] 5 C total 4 C $/h total b Codição de carga áxia: D 5 MW dc dc d d λ dc 8 8 λ d dc d dl dλ λ D Motado-se o sistea ve: ode D 5 d λ 5 A atriz do sistea é a esa de quado e carga íia logo: λ λ 778 5

138 Aálise de Sisteas de otêcia A solução é: λ 77 $/MWh 659 MW passou do liite superior que é de MW 5996 MW deve ser ajustado para MW 65 MW λ $/MWh 65 MW λ $/MWh A Figura 5 ostra estes valores c Toada de carga para valores 5 < D < 5 Se preciso de MW a áquia é que deve suprir esta potêcia pois te custo eor sto ocorre até λ 88 i De D > 5 MW até λ λ 88 que correspode a D 5 MW supre deada λ 8 5 MW 8 ii Se D 5 MW λ λ 4 que correspode a D 75 MW e supre deada jutos co o eso λ λ 4 55 MW iii De D > 75 MW até 5 MW supre a deada Resuo do despacho de carga as várias codições de carga D (MW (MW (MW λ ($/MWh Coetário assue a carga assue a carga e assue a carga e assue a carga e assue a carga e assue a carga e assue a carga assue a carga 6

139 Aálise de Sisteas de otêcia 545 clusão das perdas a trasissão Seja a Figura 5 ode o gerador G está diretaete ligado a barra de carga e o gerador G está ligado a barra de carga por liha de trasissão Objetivo: i( f C C ( i i sujeito à restrição: i total do sistea de trasissão G ~ i D L ode L represeta a perda Equações para represetar as perdas: Equações do fluxo de potêcia; Equação das perdas f Figura 5 - Despacho ótio e sistea co perdas L G ( i Seja sistea exeplo da Figura 54 ~ D L ~ r r r ~ L Figura 54 - Sistea exeplo para represetar as perdas L r * * * r r * * * Substituido-se e * a equação de L ve: * * * * L r r r ( ( * * * * L r r r ( * * L r r r r r ( ( ( * * cos( α ode α é a difereça etre os âgulos dos fasores e ( r r ( r r r ( α L cos( cos( cos( Substituido-se valores a equação de L ve: ( r r ( r r L r cos( α cos ( cos ( cos( cos( L B B B ode: r r B cos ( coeficietes das perdas r r B cos ( r cos( α B são chaados de cos( cos( 7

140 Aálise de Sisteas de otêcia O problea se resue a: Objetivo: i( f C C ( i sujeito a restrição: i Coo as equações de restrição só evolve igualdades pode-se usar o étodo dos ultiplicadores de Lagrage L C λ ( No poto de operação ótia L logo: i( i ( i D L i L dc d L λ d d L dc d L λ d d LLLLLLLLLLL L dc d L λ d d L i D L ( i λ Coclusão: deve-se trabalhar co u eso custo icreetal cou para todos os geradores só que agora o custo icreetal é: i D L ( i dci λ ode o fator d d i L d i pi dl d i é chaado de fator de pealidade e dl d i é a perda dc i icreetal devido ao gerador i As áquias são agora despachadas co λ pi d Exeplo 5 Deteriar o despacho ótio do sistea da Figura 55 ode D 5 MW G ~ i Figura 55 - Sistea exeplo de operação ótia co perda a trasissão C 4 $/h 7 8 C 4 $/h L 5 ( 5 L 8 7 λ dl d 8 5 ( 7 λ dl 8 λ λ d ( 8 dl 5 5 dλ Solução: 5 MW MW L MW G ~ L D 8

141 Aálise de Sisteas de otêcia Se ão houver perda ou seja o eso sistea poré se a equação de L ter-se-ia: ( 5 L λ dl 7 λ λ 7 d dl 8 λ λ 8 resultado copatível co usia uclear pois o custo icreetal é d costate A Figura 56 ostra esta codição dc d 7 dc d 8 Figura 56 - Custo icreetal de usia uclear A solução ótia este caso se perda cosiste e despachar toda a carga pela áquia pois esta apreseta custo icreetal eor que a outra áquia logo 5 e A característica de custo das áquias téricas é quadrática Exeplo 54 Meso sistea aterior co D 5 MW poré co os seguites custos e restrições: 7 C 4 $/h C 4 $/h 7 h L ( 5 L λ dl dc d L λ 7 4 λ ( 4 d d d dl dc d λ L 7 4 λ d d d dl i D L ( i 5 dλ Solução do sistea ão liear: 4 λ λ 4 7 λ Substituido-se a expressão de a expressão de λ ve: λ λ

142 Aálise de Sisteas de otêcia Substituido-se esta últia expressão de λ a expressão ão usada ve: ( que ao se agrupar teros forece: Multiplicado-se esta equação por 6 ve: Utilizado-se o prograa MATLAB e a fução roots ve: pol [ 4 44 ]; raiz roots(pol forece coo úica raiz real para o valor 4656 E coseqüêcia as perdas são L 44 λ ( 7 4 /( e Tato o valor de quato o valor de estão fora dos liites especificados Solução: 4656 MW valor abaixo do íio Ajusta-se este valor para 7 valor íio Co este valor as perdas são: L 9 8 MW MW valor acia do áxio valor de A abordage seguite cosiste e fixar o gerador para seu liite áxio pois este ão apreseta perdas e o custo é o eso que o do gerador 4 Os restates MW e as perdas serão supridas pelo gerador logo basta escrever que e se arruado teros forece a equação As raízes desta equação são 684 e 897 A solução toada é o eor destes valores 897 As perdas são 8966 L MW Co estes valores de potêcias λ 6 89 e λ 86 O custo total é: C total C C (4 7 (4 7 C total Observação: A solução de perda íia ão é ecessariaete a de eor custo ode-se usar ais de ua fução objetivo para iiização coo por exeplo o problea de iiizar custos e perdas Outro exeplo é utilizar ua fução objetivo para iiizar o risco de déficit Exeplo 55 Meso sistea aterior co D 5 MW poré co os seguites custos e restrições: 7 C 4 $/h C 4 $/h 8 h L 4

143 Aálise de Sisteas de otêcia ( 5 L λ dl dc d L λ 7 4 λ ( 4 d d d dl dc d λ L 8 4 λ d d d dl i D L ( i 5 dλ Solução do sistea ão liear: 4 λ λ 4 7 λ Substituido-se a expressão de a expressão de λ ve: λ λ 8 4 Substituido-se esta últia expressão de λ a expressão ão usada ve: ( Que ao se agrupar teros forece: Multiplicado-se esta equação por 6 ve: Utilizado-se o prograa MATLAB e a fução roots ve: pol [ 4 48 ] raiz roots(pol forece coo úica raiz real para o valor E coseqüêcia as perdas são L 89 λ ( 7 4 /( e Tato o valor de quato o valor de estão fora dos liites especificados Solução: 649 MW valor abaixo do íio Ajusta-se este valor para 7 valor íio Co este valor as perdas são: L 9 8 MW MW valor acia do áxio valor de A abordage seguite cosiste e fixar o gerador para seu liite áxio pois este ão apreseta perdas 4 Os restates MW e as perdas serão supridas pelo gerador logo basta escrever que e se arruado teros forece a equação As raízes desta equação são 684 e 8966 A solução toada é o eor destes valores 8966 As perdas são MW Co estes valores de potêcias λ e λ 8 6 O custo total é: L C total C C (4 7 (4 8 C total 4