Profª. Carmen Lucia Tancredo Borges

Transcrição

1 Aálise de Sisteas de otêcia rofª Care Lucia Tacredo Borges Edição: rof Sergio Sai Haza Leoardo Ne de A Guerra EE - UFRJ Departaeto de Eletrotécica Março 5

2 ROGRAMA Modelos de Redes de otêcia e Regie eraete Modelos dos Copoetes de Redes Equações odais Matrizes de aditâcia e ipedâcia odal 4Métodos de odificação e redução dos odelos das redes Estudos de Fluxo de otêcia Forulação do problea Métodos de solução: Gauss-Seidel Newto-Raphso Desacoplado Rápido e Liearizado Utilização do fluxo de potêcia: cotrole do fluxo de potêcia ativa cotrole de tesão etc Estudos de Estabilidade Tipos de estudos de estabilidade Modelos de geradores e cargas; equações de oscilação Estabilidade e regie peraete: coeficiete de sicroização 4Estabilidade trasitória: critério de áreas iguais; solução uérica da equação de oscilação; itrodução ao estudo de sisteas ultiáquias 4 rograação da Geração 4Operação ótia de geradores ligados a ua barra 4rograação ótia da geração e sisteas téricos; fórula de perdas 4trodução à prograação ótia de geração e sisteas hidrotéricos Bibliografia Joh J Graiger e Willia D Steveso ower Sste Aalsis Mc Graw-Hill Ed 994 WD Steveso Jr Eleets of ower Sste Aalsis 4th Editio McGraw-Hill 98 [Tradução º edição] (Cap e 4 O Elgerd Electric Eerg Sste Theor: A troductio McGraw-Hill 97 (Cap 7 8 e 4 A Moticelli Fluxo de Carga e Redes de Eergia Elétrica Edgar Blucher 98 (Cap -6

3 Ídice Capítulo Modelo dos Copoetes de u Sistea Elétrico de otêcia 5 Eleetos de u sistea elétrico de potêcia 5 Modelos da liha de trasissão 5 Modelo da liha curta (até 8 5 Modelo de liha édia (etre 8 e 4 6 Modelo da liha loga (acia de 4 7 Modelo do trasforador 8 Trasforador oofásico de dois erolaetos8 Trasforador oofásico de três erolaetos 9 Trasforador trifásico ou baco de três trasforadores oofásicos 4 Trasforador co coutação autoática de tape - odelo pi 4 Modelo do gerador 4 5 Modelo da carga4 5 Represetação da carga para fluxo de potêcia 4 5 Represetação da carga para estudo de estabilidade 4 5 Represetação da carga para estudo de curto-circuito 5 54 Represetação da carga pelo odelo Z 5 Capítulo Equações da Rede Elétrica e Regie eraete6 Objetivo 6 Tipos de represetação 6 Equações odais 6 Equivalêcia de fotes 6 Equações odais da rede quado odelada por aditâcias 7 Características de Y BARRA 9 4 Características de Z BARRA 9 5 terpretação física dos eleetos de Y BARRA e Z BARRA 5 Eleetos de Y BARRA 5 Eleetos de Z BARRA 4 Redução da rede 5 4 Objetivo 5 4 Eliiação de barra 5 4 Eliiação da barra ode ão existe fote de correte5 4 Eliiação de barra ode existe fote de correte idepedete 9 4 Equivaletes de rede 5 Motage da atriz Y BARRA co eleetos acoplados 6 Modificação da atriz aditâcia de barra 5 7 Motage e Modificação da atriz ipedâcia de barra 5 7 Modificação direta da atriz ipedâcia de barra 5 7 O eleeto é ligado etre a barra ova p e a referêcia 6 7 O eleeto é ligado etre a barra ova p e a barra existete 7 7 O eleeto é ligado etre a barra existete e a referêcia 7 74 O eleeto é ligado etre a barra existete e a barra existete j8 7 Motage direta da atriz ipedâcia de barra 4 7 Exclusão de u eleeto de ipedâcia z b da atriz Z BARRA 4 74 Modificação do valor da ipedâcia que liga duas barras 4 8 Obteção dos eleetos da colua da atriz ipedâcia de barra a partir da atriz aditâcia de barra4 8 Obteção de ua colua da atriz ipedâcia de barra 4

4 Aálise de Sisteas de otêcia 8 Obteção da difereça etre duas coluas da atriz ipedâcia de barra 4 Capítulo Fluxo de otêcia45 trodução45 Dados de etrada 45 Codição de geração e carga 45 Geração45 Carga 45 Restrições operativas 45 4 Dispositivos de cotrole 45 5 Solução da rede 45 6 Aplicações 46 7 Modelo da rede 46 8 Modelo ateático do fluxo de potêcia 46 9 Métodos de solução 46 9 Métodos baseados e Y BARRA 46 9 Métodos baseados e Z BARRA 47 9 Método de Newto-Raphso Métodos desacoplados47 95 Fluxo de potêcia liear 47 Forulação do problea de fluxo de potêcia e variáveis coplexas47 Equações do fluxo de potêcia e variáveis reais e a fora polar 48 Coceito de barra flutuate ou swig ou slac 5 Tipos de barras 5 Barra flutuate ou swig ou slac ou 5 Barra de carga ou Q 5 Barra de tesão cotrolada ou 5 4 Sistea de equações do fluxo de potêcia 5 4 Subsistea 5 4 Subsistea 5 Fluxo de otêcia pelo Método de Gauss-Seidel 5 Revisão do étodo de Jacobi 5 O étodo de Gauss-Seidel 54 Critério de covergêcia do étodo de Gauss-seidel 55 4 Fórula geral do étodo de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potêcia 55 5 Melhoria do étodo de Gauss-Seidel 55 6 Trataeto o caso de existir barra 55 4 Fluxo de potêcia pelo Método de Newto-Raphso58 4 Revisão do étodo o caso oovariável f(x 58 4 Revisão do étodo o caso ultivariável F(x [] 59 4 Aplicação do étodo de Newto-Raphso a solução do fluxo de potêcia Matriz jacobiaa geral 6 45 Matriz Jacobiaa aplicada à solução do fluxo de potêcia 6 46 Algorito da Solução do Fluxo de otêcia pelo Método de Newto-Raphso: 6 47 Eleetos das subatrizes H N M L do Jacobiao 6 48 Estrutura do jacobiao 6 5 Expressões do fluxo de potêcia ativa e reativa os diversos raos e shuts67 5 Liha de trasissão édia ou loga 67 5 Liha de trasissão curta 69 5 Trasforador 7 54 Eleetos shut 7 6 Fluxo de potêcia pelo Método Desacoplado Rápido 76 6 Fluxo de potêcia pelo Método de Newto desacoplado 76 6 Cosiderações sobre as atrizes H e L do étodo de Newto desacoplado 76 6 Forulação fial do étodo Desacoplado Rápido Artifícios ateáticos para elhorar o desepeho do étodo desacoplado rápido a preseça de raos co elevada relação r/x 8

5 Aálise de Sisteas de otêcia 64 Artifício da copesação 8 64 Copesação série8 64 Copesação paralela8 64 Método BX de va Aeroge8 64 Esquea iterativo flexível8 7 Fluxo de potêcia liearizado ou fluxo de potêcia DC84 7 Siplificações propostas 84 7 Desprezado as perdas do sistea 84 7 Forulação atricial85 7 Cosiderado as perdas do sistea 86 7 Forulação atricial88 7 Metodologia de solução88 74 Resuo do étodo liearizado 88 8 Utilização do estudo de fluxo de potêcia9 9 Cotroles e Liites 94 9 Modos de represetação 94 9 Ajustes alterados 94 9 Cotrole de tesão e barras Liites de tesão e barras Q Trasforadores e-fase co cotrole autoático de tap Trasforadores defasadores co cotrole autoático de fase Cotrole de itercâbio etre áreas Cotrole de tesão e barras reotas Cargas variáveis co a tesão 99 Capítulo 4 Estabilidade de Sisteas de otêcia 4 trodução 4 Tipos de istabilidade 4 Tipos de perturbação 44 Tipos de estudos de estabilidade 45 Coceitos básicos da áquia sícroa 45 ricípio de fucioaeto 46 Diâica do rotor da áquia sícroa 46 Equação de oscilação da áquia sícroa 46 Tipos de estudos 5 47 Equivalete de áquia ou áquia equivalete 5 47 alor da costate H a base do sistea 5 47 Máquias coeretes 5 47 Máquias ão coeretes 6 48 Equação potêcia-âgulo7 49 Coceitos sobre o regie trasitório da áquia sícroa 4 Critério das áreas iguais 4 otêcia elétrica trasitida igual a zero durate o curto 4 Âgulo crítico de eliiação da falta para potêcia elétrica ula trasitida durate a falta 4 4 Tepo crítico de eliiação de falta 5 44 Aálise de casos 6 45 Âgulo crítico de eliiação da falta co trasissão de potêcia elétrica diferete de zero durate a falta 7 4 Coeficiete de potêcia sicroizate 9 4 Aálise da equação de oscilação liearizada 9 4 Aálise gráfica da potêcia elétrica para pequeas oscilações

6 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Estudo de estabilidade ulti-áquias 4 Modelo clássico de estabilidade 4 Etapas do estudo 4 Fatores que afeta a estabilidade do sistea5 Capítulo 5 Operação Ecoôica de Sisteas de otêcia 6 5 trodução6 5 Características das uidades geradoras6 5 Operação Ecoôica de Sisteas de otêcia - problea da prograação da geração 7 5 Sistea térico 7 5 Sistea hidro-térico 7 54 Despacho ecoôico e sisteas téricos7 54 Característica das uidades téricas covecioais 7 54 Caso particular de geradores se perda a trasissão 8 54 Método dos ultiplicadores de Lagrage9 54 Extesão para o caso de geradores 544 Cosideração de liite a capacidade de geração se se cosiderar as perdas a trasissão 545 clusão das perdas a trasissão 7 4

7 Aálise de Sisteas de otêcia Capítulo Modelo dos Copoetes de u Sistea Elétrico de otêcia Eleetos de u sistea elétrico de potêcia a Liha de trasissão; b Trasforador de potêcia; c Gerador; d Carga Existe ais de u odelo para cada u dos eleetos listados ara cada tipo de estudo existe u odelo específico do eleeto Os odelos apresetados a seguir cosidera: a A rede e regie peraete; b O sistea elétrico siétrico e equilibrado logo soete copoetes de seqüêcia positiva; c alores e por uidade A Figura ostra u pequeo sistea elétrico de potêcia ode T e T são trasforadores G Cargas Gerador Liha de trasissão T T Figura Sistea elétrico de potêcia Modelos da liha de trasissão O odelo da liha de trasissão depede do coprieto da esa A seguir a odelage de cada u dos três coprietos típicos Modelo da liha curta (até 8 Neste caso a capacitâcia da liha por ser pequea é desprezada sedo a liha represetada pelos parâetros série ou seja a resistêcia e a idutâcia A Figura ostra o odelo da liha curta S r jωl R S R Figura Modelo da liha curta 5

8 Aálise de Sisteas de otêcia 6 Da Figura pode-se tirar as seguites equações: L j r z ω S R ( R R S z ( Explicitado-se as variáveis da receptora ve: R S S S R z Modelo de liha édia (etre 8 e 4 Neste caso cosidera-se a capacitâcia da liha cocetrada e abas as extreidades da esa A liha é represetada pelo odelo pi-oial ostrado a Figura Figura Modelo da liha de coprieto édio Da Figura pode-se tirar as seguites equações: z R S R R Substituido-se a correte a equação acia e agrupado teros ve: R R S z z ( S S Substituido-se a equação de S a correte e a tesão S e agrupado teros ve: R R R R S z z R R S z z (4 Explicitado-se as variáveis da receptora cosidere o sistea forado pelas Equações e 4: R R S b a R R S d c c b d a d c b a Δ S z S R R / /

9 Aálise de Sisteas de otêcia 7 S S S S b d d b R δ S S S S c a c a R δ Substituido-se valores ve: z z z z z z c b d a b d S S S S R 4 S S R z z z z z z z z c b d a c a S S S S R 4 S S R z z Observação: c b d a Modelo da liha loga (acia de 4 O odelo da liha loga é deteriado cosiderado-se os parâetros da liha distribuídos o que resulta e equações difereciais parciais as quais são ajustadas a u odelo pi-equivalete ostrado a Figura 4 Figura 4 Modelo da liha loga Os valores dos parâetros da Figura 4 estão ostrados a seguir l l seh Z z e equivalet γ (γ tah( l l Y e equivalet γ γ z γ costate de propagação l z Z e l Y ode l é o coprieto da liha R S S R equivalete / z equivalete equivalete /

10 Aálise de Sisteas de otêcia Modelo do trasforador Trasforador oofásico de dois erolaetos A Figura 5 ostra o odelo copleto de u trasforador oofásico de dois erolaetos r x r x r f x Figura 5 Modelo copleto do trasforador oofásico de dois erolaetos A Figura 6 ostra o odelo copleto do trasforador oofásico de dois erolaetos co todos os parâetros referidos ao priário ode a gradeza co prio desiga gradeza refletida r x r' x' ' r f x Figura 6 Modelo copleto do trasforador co parâetros referidos ao priário Cosiderado-se que a correte de agetização do trasforador é uito eor que a correte de carga e tabé cosiderado-se que o trasforador é u equipaeto de redieto elevado aior que 98% pode-se se perda de exatidão desprezar o rao paralelo e a resistêcia série do trasforador resultado o odelo da Figura 7 ode x eq x x' x eq ' Figura 7 Modelo do trasforador oofásico desprezado-se o rao paralelo e a resistêcia dos erolaetos 8

11 Aálise de Sisteas de otêcia Trasforador oofásico de três erolaetos A Figura 8 ostra o esquea de u trasforador oofásico de três erolaetos S T Figura 8 Costrução do trasforador oofásico de três erolaetos Dos esaios de curto-circuito te-se: x x x S T ST x x' as gradezas base são do erolaeto priário S x x' as gradezas base são do erolaeto priário S T x x' as gradezas base são do erolaeto secudário T Referido-se todos os parâetros esaiados a ua esa base te-se resolvedo-se o sistea de três equações ve que: x S x T x ST e x x x S T 5 ( xs xt xst 5 ( x x x S ST T 5 ( xt xst xs A Figura 9 ostra o circuito equivalete do trasforador de três erolaetos ode o poto de ecotro dos três erolaetos é fictício e ão te qualquer relação co o eutro do sistea x S x S S x T T T Figura 9 Circuito equivalete de u trasforador de três erolaetos Exeplo U trasforador trifásico de três erolaetos co tesões //66 te as seguites reatâcias e pu edidas etre erolaetos e referidas a MA : x 5 x 9 x ST 8 O erolaeto secudário de 66 alieta ua carga balaceada co correte de A co fator de potêcia e atraso de 8 e o erolaeto terciário de alieta u reator de j 5 Ω/fase coectado e estrela Calcular a tesão o erolaeto priário de para que a tesão o erolaeto secudário seja de 66 S T 9

12 Aálise de Sisteas de otêcia Solução: Na base de MA e ve: x 5 ( x x x 5 ( pu S T ST S 5 ( xs xst xt T 5 ( xt xst xs x 5 ( pu x 5 (9 8 5 pu alores base do erolaeto terciário: B S B MA Z S 6 Ω S 5486 A B B ( B B B / B alores base do erolaeto secudário: B 66 S B MA Z S 45 Ω S 64 A B B ( B B B / B alores base do erolaeto priário: B S B MA Z S 58 8 Ω S A B B ( B B B / B Correte secudária e pu: / B /64 76 pu O fator de potêcia é 8 e atraso e Reatâcia terciária e pu: x 5/6 8 pu S ara se ecotrar a solução do exeplo basta agora resolver o circuito equivalete da Figura ode todos os valores estão e pu j8 S j7 S j z L T j8 T Figura Circuito equivalete do trasforador de três erolaetos do Exeplo Toado-se as corretes de alha e ota-se o seguite sistea de equações: j j j 8 ( 8 ( ( j j8 ( j Agrupado teros ve: j j / j

13 Aálise de Sisteas de otêcia Outro étodo de solução: O potecial do poto M é: M S xs M j j4 Correte o erolaeto terciário: x x j j8 9 9 T L A correte o erolaeto priário é: j Tesão a reatâcia de dispersão do erolaeto priário: x X j Tesão os teriais do erolaeto priário: X M 87 7 j logo a tesão priária deve ser de 49 4 Trasforador trifásico ou baco de três trasforadores oofásicos A odelage do trasforador trifásico e estudos de curto-circuito é e geral diferete da odelage de três trasforadores oofásicos Na costrução do trasforador trifásico tipo úcleo evolvido difereteete do trasforador tipo úcleo evolvete é suposto que a soa dos fluxos das três fases é istataeaete ulo ão havedo portato caiho de retoro para estes fluxos ara regie peraete siétrico e equilibrado os odelos são iguais Ateção deve ser dispesada co relação à defasage etre as tesões de liha priária e secudária Sob codições balaceadas ão existe correte de eutro logo os eleetos de circuito que por vetura estão coectados ao eutro ão são represetados o diagraa de ipedâcias Se o trasforador estiver ligado e delta-delta (Δ-Δ ou estrela-estrela (Y-Y a odelage é idêtica ao odelo oofásico Se o trasforador estiver ligado e estrela-delta (Y-Δ ou delta-estrela (Δ-Y existe defasage de etre as tesões teriais priárias e secudárias A ora brasileira diz que idepedeteete do tipo da ligação ser Y-Δ ou Δ-Y as tesões de liha secudárias deve estar atrasadas de e relação às tesões de liha priárias A Figura ostra u trasforador trifásico Y-Δ co relação de trasforação oofásica N :N Deteriação do âgulo das tesões de liha a ligação Y-Δ seqüêcia de fase abc É suposto que o lado estrela seja o erolaeto priário A N :N a AB ca CN B N :N b AN ab BN C N :N c bc N Figura Trasforador Y-Δ e diagraas fasoriais das tesões teriais

14 Aálise de Sisteas de otêcia bc A Figura ostra que as tesões ca do lado delta respectivaete Relação de trasforação oofásica: N :N Relação de trasforação das tesões de liha N Y-Δ N ; Se AN está e fase co ab AB AN N ab AN N N AB ab N ab AB N N AN BN CN do lado Y estão e fase co as tesões ab : N N A Figura ostra o odelo do trasforador e pu escolhedo-se as bases de tesão co a esa relação de trasforação das tesões de liha Y-Δ x eq Da Figura ve: ( base N ( base N Figura Trasforador trifásico Y-Δ e seu odelo equivalete e pu x eq do odelo do trasforador trifásico e pu ão uda co o tipo de ligação do trasforador trifásico pois esta reatâcia ve do esaio e curto 4 Trasforador co coutação autoática de tape - odelo pi LTC: load tap chage ou TCAT: trasforador co coutação autoática de tape O tape passa a ser ua variável do odelo A aditâcia do odelo pode ser colocada do lado uitário ou do lado do tape Assue-se que o valor da aditâcia ão varia co a posição do tape A Figura represeta u trasforador co coutação autoática de tape co relação :t A seguir a dedução do odelo equivalete do TCAT a partir da Figura que será igualado ao circuito pi da Figura 4 ode A B e C são aditâcias i i :t j j Figura Diagraa esqueático de u trasforador co tape

15 Aálise de Sisteas de otêcia i j t i j t ( t ( j i t i (5 i t j logo i t j Substituido-se esta equação o valor de da Equação 5 ve: t t (6 i i i i B A C Figura 4 Modelo pi de u circuito elétrico geérico Equações do odelo pi da Figura 4 A ( i C A i A C A i ( A C (7 i B i i B i A i A ( A B A (8 i i gualado-se as equações (5 7 e (6 8 ve: t A A C t C C ( t ( t A B B t A B t t B t t O odelo pi do trasforador co tape está ostrado a Figura 5 i i (t t t ( t Figura 5 Modelo pi do trasforador co tape :t Se t ou seja se o trasforador está operado a relação oial o circuito equivalete se reduz ao odelo cohecido coo ostrado a Figura 6 ode z S S R R Figura 6 Circuito equivalete do trasforador co tape para t

16 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Modelo do gerador A Figura 7 ostra o odelo do gerador sícroo de rotor cilídrico (pólos lisos r a jx S E t Figura 7 Modelo do gerador de rotor cilídrico r a resistêcia da aradura X S reatâcia sícroa que é a soa da reatâcia X a devido a reação da aradura e da reatâcia X l devido a dispersão ode-se desprezar a resistêcia da aradura as áquias e que a resistêcia da aradura é uito eor que X S Regie peraete: X S Regie trasitório ou diâico: reatâcia trasitória (x' d ou sub-trasitória (x'' d 5 Modelo da carga A represetação da carga depede uito do tipo de estudo realizado A carga pode ser represetada por potêcia costate correte costate ou ipedâcia costate É iportate que se coheça a variação das potêcias ativas e reativas co a variação da tesão E ua barra típica a carga é coposta de otores de idução (5 a 7% aquecieto e iluiação ( a % e otores sícroos (5 a % Ebora seja exato cosiderar as características e Q de cada tipo de carga para siulação de fluxo de carga e estabilidade o trataeto aalítico é uito coplicado ara os cálculos evolvidos existe três aeiras de se represetar a carga 5 Represetação da carga para fluxo de potêcia A Figura 8 ostra a represetação da carga coo potêcia ativa e reativa costates L jq L Figura 8 Represetação da carga co potêcia costate para estudo de fluxo de potêcia 5 Represetação da carga para estudo de estabilidade Neste caso a ateção ão é co a diâica da carga as si co a diâica do sistea or esta razão a carga é represetada por ipedâcia costate coo ostra a Figura 9 z Figura 9 Represetação da carga para estudo de estabilidade co ipedâcia costate 4

17 Aálise de Sisteas de otêcia 5 Represetação da carga para estudo de curto-circuito Cargas estáticas e pequeas áquias são desprezadas Soete as áquias de grade porte cotribue para o curto logo apeas estas áquias são cosideradas 54 Represetação da carga pelo odelo Z Neste odelo parte da carga é represetada por ipedâcia costate parte da carga é represetada por correte costate e parte da carga é represetada por potêcia costate Carga Z cte cte cte ( oi al ( p p p z i p p z pi p p ode: p z é a parcela da carga represetada coo Z costate p i é a parcela da carga represetada coo costate p p é a parcela da carga represetada coo costate ( oi al Q ( q q q Q z i p q z qi q p ode: q z é a parcela da carga represetada coo Z costate q i é a parcela da carga represetada coo costate q p é a parcela da carga represetada coo costate 5

18 Aálise de Sisteas de otêcia Capítulo Equações da Rede Elétrica e Regie eraete Objetivo Deteriação das atrizes que represeta a rede elétrica de correte alterada e regie peraete seoidal para uso coputacioal Tipos de represetação a Modelo co parâetros de aditâcia; b Modelo co parâetros de ipedâcia As equações da rede serão extraídas utilizado-se a aálise odal da rede pois esta apreseta desepeho coputacioal ais eficiete Equações odais Equivalêcia de fotes As fotes da Figura são equivaletes se E z g zg g z g R E D E E z g R E D E g R E D E Figura Equivalêcia etre fote de correte e fote de tesão A otação usada o presete texto é: Letra aiúscula co ídice duplo correspode a u eleeto da atriz; Letra iúscula co ídice siples ou duplo correspode à ipedâcia ou aditâcia de u eleeto do sistea 6

19 Aálise de Sisteas de otêcia Equações odais da rede quado odelada por aditâcias Seja o sistea da Figura ode E represeta u otor E E T T T E Figura Sistea exeplo para as equações odais da rede Utilizado-se o odelo de cada eleeto o sistea fica coo ostra a Figura z g z t z z t z g E z z z z E z t z z E Figura Sistea exeplo co os odelos dos eleetos da rede A Figura 4 ostra o diagraa da rede da Figura e que cada fote de tesão e série co ipedâcia foi trasforada e fote de correte e paralelo co a aditâcia e as ipedâcias das lihas fora trasforadas e aditâcias 7

20 Aálise de Sisteas de otêcia 8 Figura 4 Diagraa uifilar do sistea exeplo co aditâcias z g z t E z E z g z t z z g z t E z E z g z t z z z t E z E z z t z 4 z 5 z 6 z Equações odais do circuito da Figura 4 Barra : ( ( ( 6 4 Barra : ( ( ( 4 5 Barra : ( ( ( 6 5 Barra : ( ( ( ( A equação da barra é liearete depedete das outras três equações Basta soar as equações das barras para verificar Agrupado-se teros das equações das barras ve: ( ( ( ( Colocado-se as Equações a fora atricial te-se para a atriz aditâcia odal BARRA Y : ( A Equação é da fora Y BARRA ode: é o vetor de ijeção de correte a rede por fotes idepedetes é o vetor de tesão as barras e relação à referêcia e BARRA Y é a atriz de aditâcia de barra ou atriz de aditâcia odal 4 5 6

21 Aálise de Sisteas de otêcia Características de Y BARRA Siétrica; Coplexa; Quadrada de diesão ode é o úero de barras do sistea se cotar a barra de referêcia; 4 Esparsa ais de 95% dos eleetos é ulo o que é ua vatage; 5 Os eleetos da diagoal pricipal são positivos; 6 Os eleetos fora da diagoal pricipal são egativos; 7 Os eleetos da diagoal pricipal Y são o soatório das aditâcias diretaete ligadas à barra ; 8 Os eleetos fora da diagoal pricipal Yj são o siétrico da soa das aditâcias que liga as barras e j As características 7 e 8 acia perite a otage direta da atriz Y BARRA por ispeção da rede ode-se tabé escrever a equação YBARRA coo Z BARRA ode Z BARRA Y atriz Z BARRA é cohecida coo atriz de ipedâcia de barra ou atriz de ipedâcia odal BARRA A 4 Características de Z BARRA Siétrica; Coplexa; Quadrada de diesão ode é o úero de barras do sistea se cotar a barra de referêcia; 4 Matriz cheia Exeplo Escrever as equações odais da rede a fora atricial ou seja escrever YBARRA que correspode ao diagraa uifilar da Figura 5 sabedo-se que E a 5 E b 5 67 E c 5 z g j5 z t j z j5 z 4 j z 4 j z 4 j5 z j4 e valores por uidade E a E c 4 E b Figura 5 Diagraa uifilar do exeplo A Figura 6 ostra o diagraa uifilar de ipedâcias do circuito da Figura 5 9

22 Aálise de Sisteas de otêcia E a 5 j5j j j5 E c 5 j5j j5 4 j4 E b 5 67 j5j j Figura 6 Diagraa uifilar de ipedâcias do circuito da Figura 5 A Figura 7 ostra o diagraa uifilar de aditâcias ode todas as fotes de tesão fora trasforadas e fotes de correte A seguir os cálculos para a deteriação dos parâetros do sistea da Figura 7 9 j8 6 j5 9 4 j4 j8 7 j j5 8 j5 j8 Figura 7 Diagraa uifilar de aditâcias do circuito da Figura 5

23 Aálise de Sisteas de otêcia E 5 a 9 j z z j5 g t E 5 67 b j96 z z j5 g t E 5 c 9 j z z j5 g j t j5 8 j5 8 j5 8 j5 4 j j 4 j j4 5 j 5 j5 8 j 5 5 j 6 j De acordo co a regra de otage da atriz Y Y Y Y j8 j4 j5 98 j j8 j5 j5 8 j j8 j4 j5 j8 5 j j5 j8 j j Y Y Y j4 4 Y4 j5 Y Y j 4 Y4 j5 Y 4 Y4 j Y Y 5 Y 8 7 j 8 j Y BARRA pode-se escrever: O sistea de equações co a atriz aditâcia de barra fica etão: j98 j4 j5 j8 j5 j5 j4 j5 j5 j8 j5 j5 j8 j8 4 O cálculo das aditâcias é siples quado as resistêcias são desprezadas A diagoal pricipal é egativa e os eleetos fora da diagoal pricipal são positivos 5 terpretação física dos eleetos de Y BARRA e Z BARRA Seja o circuito da Figura Figura 8 terpretação física dos eleetos de Y BARRA e Z BARRA

24 Aálise de Sisteas de otêcia 5 Eleetos de Y BARRA Seja a equação que descreve o circuito da Figura 8 pela atriz aditâcia de barra: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Os eleetos da atriz aditâcia de barra pode ser calculados pelo esaio e curto-circuito ode: Y : aditâcia própria de curto-circuito da barra i Y : aditâcia de trasferêcia de curto-circuito etre as barras i e Esaio de curto-circuito a barra da Figura 8: curto-circuito e todas as barras a exceção da barra Te-se portato [ ] Y Y Y Y Y Y A expressão geral de cada eleeto da atriz aditâcia de barra relacioa o efeito à causa e é: j i i j Y erificação: esaio de curto-circuito a barra da Figura 8 ou seja todas as tesões de barra co exceção da barra são zero ( ( ( ( 6 4 Y ( ( ( Y ( ( ( Y 5 Eleetos de Z BARRA Seja a equação que descreve o circuito da Figura 8 pela atriz ipedâcia de barra: Z Z Z Z Z Z Z Z Z Os eleetos da atriz ipedâcia de barra pode ser calculados pelo esaio e circuito aberto ode: Z : ipedâcia própria de circuito aberto da barra i Z : ipedâcia útua de circuito aberto etre as barras i e

25 Aálise de Sisteas de otêcia Esaio de circuito aberto a barra da Figura 8: fotes de correte ioperates ou ortas e todas as barras co exceção da barra Te-se portato Z Z Z [ ] Z Z Z A expressão geral de cada eleeto da atriz ipedâcia de barra relacioa o efeito à causa e é: i Zi Observações: j j se a correte (correte ijetada a rede durate o esaio é de pu Z Z Z ou seja os eleetos da colua são uericaete iguais às tesões Z é a ipedâcia equivalete da rede vista etre a barra e a referêcia co as deais fotes (Th de correte ioperates ou seja é a ipedâcia do equivalete de Thèvei Z Z elo sigificado físico dos eleetos de Y BARRA e Z BARRA evidecia-se que ão há reciprocidade etre estes eleetos ou seja Y Z Exeplo Resolva as equações odais do Exeplo para ecotrar a atriz ipedâcia de barra pela iversão da atriz aditâcia de barra Calcule etão as tesões de barra Solução: vertedo-se a atriz Y BARRA co auxílio da fução iv( do MATLAB obté-se: j4774 j76 j4 j44 j76 j487 j9 j46 j4 j9 j4558 j4 j44 j j46 7 j96 j4 j j47 4 O vetor tesão de barra é ecotrado efetuado-se a ultiplicação idicada ou seja: 4 j j j j Exeplo U capacitor co reatâcia de 5 pu as bases do sistea é coectado etre a barra 4 e a referêcia do circuito da Figura 7 Calcular a correte que passa pelo capacitor e a ova tesão da barra 4 A ipedâcia do capacitor é: z C j5 pu Z 44 é a ipedâcia equivalete da rede vista da barra 4 4 é a tesão da barra 4 ates do capacitor ser colocado Z 44 é obtido ivertedo-se a atriz Y BARRA A atriz Z BARRA está ostrada acia logo Z 44 j47 tabé ostrado acia vale 4 A Figura 9 ostra o circuito de Thèvei e e 4 questão 4 97

26 Aálise de Sisteas de otêcia 4 capacitor 4 Z 44 j5 Solução: Figura 9 Equivalete de Thèvei por eleeto de capacitor 6 78 Z44 j5 j47 j5 Z BARRA A ova tesão da barra 4 passa a ser: 6 78 j Notar que a ova tesão a barra 4 auetou de valor Exeplo 4 Se ua correte de 6 78 pu é ijetada a barra 4 do exeplo (esta é a esa correte que passa pelo capacitor co todas as outras fotes atidas ecotre as tesões as barras 4 Notar que ão existe capacitor este exeplo Cosiderado-se todas as fotes ioperates as tesões odais soete devidas a esta correte ijetada pode ser calculada a partir da atriz Z BARRA Basta ultiplicar a atriz Z BARRA pelo vetor correte ou seja basta ultiplicar a colua 4 da atriz Z BARRA pela correte 6 78 Efetuado-se esta operação ve: Z j pu Z j pu Z j pu 4 Z j pu ara se deteriar as ovas tesões as barras pode-se utilizar a superposição adicioado-se as tesões das barras soete devidas às fotes de correte co as tesões das barras devidas à fote de correte de pu pu pu pu Observar que a tesão da barra 4 é a esa da do exeplo 4

27 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Redução da rede 4 Objetivo As atrizes ipedâcia de barra e aditâcia de barra de u sistea elétrico real são uito grades diesão da orde de ilhares Nos estudos ão é ecessário se cohecer a tesão e todas as barras do sistea logo segue técicas para reduzir a diesão da rede eliiado-se trechos ão prioritários da rede para o estudo e questão 4 Eliiação de barra Seja a rede elétrica represetada pela atriz aditâcia de barra A eliiação se processa para duas diferetes situações: a ão existe fote de correte a barra a ser eliiada b existe fote de correte a barra a ser eliiada 4 Eliiação da barra ode ão existe fote de correte articioaeto da atriz Ordea-se as equações de tal fora que todas as barras se fote fique jutas e a parte iferior da atriz A B 4 Y 5 BA Y AA Y t AB Y Y AB BB 4 5 A B Supodo-se B A YAA YAB A t B YAB YBB B A YAA A YAB B t t Y Y Y Y B AB A BB B Substituido-se o valor de B a equação de A ve: t Y Y Y Y A AA A YA AB BB AB B Agrupado-se teros ve: t A ( YAA YAB YBB YAB A que está a fora A YA A A BB A orde da atriz Y A este exeplo é a do úero de barras co fote de correte Exeplo 5 Eliiação de apeas ua barra do sistea de três barras da Figura 8 co A B Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y A Y Y Y [ Y ] [ Y Y ] AB A A B 5

28 Aálise de Sisteas de otêcia Y Y Y Y Y Y Y Y Y A Y Y Y Y Y Y Y Y Esta atriz represeta u sistea equivalete ao sistea de três barras agora co diesão Colocado-se de fora escalar te-se que a eliiação da barra é: Yi Yj Y ' ij Yij Y que é chaada de eliiação de Kro ara aior eficiêcia coputacioal deve-se evitar a iversão da atriz Y BB O procedieto é etão o de eliiar ua barra por vez aplicado-se a eliiação de Kro tatas vezes quato o úero de barras a sere eliiadas A partir de Y A pode-se desehar o circuito equivalete No exeplo te-se agora duas barras ostradas a Figura ode os eleetos da ova atriz Y BARRA são: Y ' ' ' Y ' ' ' Y ' Y ' ' Resolvedo-se o sistea acia deteria-se ' ' ' ' ' ' Figura Sistea equivalete ao sistea de três barras Exeplo 6 Eliiar as barras e 4 do sistea da Figura sabedo-se que estas ão tê fote Desehar o circuito equivalete co estes ós eliiados e calcular as potêcias ativa e reativa ijetadas ou absorvidas e cada barra j8 6 j5 4 j4 7 j8 4 j8 5 j5 8 j5 Figura Sistea para a eliiação das barras e 4 6

29 Aálise de Sisteas de otêcia Y BARRA 4 j98 j4 j5 j8 j5 j5 Y BARRA j4 j5 j45 j8 j5 j5 j8 j8 Eliiação da barra 4 Y ' j5 j5 j98 j84 j8 j5 j5 Y ' Y ' j9 j8 j5 j8 Y ' Y ' j4 j6 j8 Y ' j5 j5 j8 j69 j8 j5 j8 Y ' Y ' j5 j47 j8 Y ' j8 j8 j45 j94 j8 Após a eliiação da barra 4 a atriz Y BARRA fica: j84 j9 j6 Y ' BARRA j9 j69 j47 j6 j47 j94 Eliiado-se agora a barra ve: Y '' j6 j6 j84 j487 j94 j6 j47 Y '' Y '' j9 j47 j94 Y '' j47 j47 j69 j487 j94 Após a eliiação das barras 4 e a atriz Y BARRA fica: j487 j47 Y '' BARRA j47 j487 A Figura ostra o sistea de duas barras que te a atriz Y BARRA coo acia equivalete ao sistea da Figura de quatro barras 7

30 Aálise de Sisteas de otêcia '' '' '' Figura Circuito equivalete após a eliiação das barras se fote 4 e ara se calcular os valores dos eleetos do circuito da Figura basta aplicar as regras da costrução da atriz Y BARRA e resolver o sistea Te-se etão: '' ( ' ' ' ' j487 '' ( ' ' ' ' j4 87 Y BARRA Y BARRA Y '' ( Y '' ( ' ' j47 BARRA BARRA Resolvedo-se o sistea ve: ' j47 ' ' ' j487 j47 8 ' ' j ara se calcular a potêcia ijetada e cada barra basta calcular prieiraete as tesões as barras Te-se que: j487 j47 j47 j487 ode o vetor correte é cohecido Utilizado-se o prograa MATLAB para iverter a atriz Y BARRA co a fução iv(y BARRA ve: j68 j57 j68 j57 j57 j68 j57 9 j j j * S S j * S S j erdas a liha de trasissão: 68 j ' ' ( ( j47 (

31 Aálise de Sisteas de otêcia otêcia ijetada a liha a partir da barra : * S (4 67 (46 87 S j otêcia ijetada a liha a partir da barra : * S (4 4 ( 5 87 S j5 S S 9 j A potêcia reativa cosuida a liha tabé pode ser calculada por: ' ' erda reativa a aditâcia do gerador : Q ' ' erda reativa a aditâcia do gerador : Q ' ' erda reativa total: Q total otêcia total ijetada o sistea: S total S S 49 j64 49 j64 S total j7 4 Eliiação de barra ode existe fote de correte idepedete A eliiação de barra ode existe fote de correte é seelhate a eliiação de Gauss Este étodo tabé vale quado ão existe fote de correte a barra eliiada sedo a fote de correte ula u caso particular A eliiação de Gauss cosiste e trasforar a atriz do sistea e ua atriz triagular superior Co isto ecotra-se o valor de ua variável e por substituição todas as deais variáveis Quado da eliiação de barra co fote pode ocorrer que ua barra origialete se fote fique co fote A eliiação de Gauss cosiste de duas etapas: a oralização da prieira equação b eliiação da variável pivotada as outras equações Seja o sistea YBARRA de diesão três por três escrito a fora estedida a seguir Y Y Y Y Y Y Y Y Y a Noralização da prieira equação Dividido-se a prieira liha por Y e atedo-se as outras lihas ialteradas ve: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 9

32 Aálise de Sisteas de otêcia b Eliiação da variável pivotada as deais equações Basta fazer a operação assialada a seguir ode o tero prio substitui a liha origial L ' L Y L L ' L Y L Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ' Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ' Y Y Y O sistea ficou etão reduzido a: Y Y ' ' Y ' ' Y ' ' A foração do tero Yi Yj seja Y ' ij Yij Y A foração das ovas corretes ijetadas é Y ' ij é a esa da redução de Kro para a eliiação da barra ou Y ' para a eliiação da barra i i i Y A Figura ostra o circuito equivalete se a barra ' ' ' ' ' Figura Redução de sistea de três barras co fote de correte a barra eliiada Exeplo 7 Eliiar as barras 4 e do sistea da Figura 7 cuja equação seguir Y está repetido a BARRA j98 j4 j5 j8 j5 j5 j4 j5 j5 j8 j5 j5 j8 j8 4 Eliiação da barra 4 do sistea da Figura 7 Y ' j5 j5 j98 j84 j8

33 Aálise de Sisteas de otêcia j5 j5 Y ' Y ' j9 j8 j5 j8 Y ' Y ' j4 j6 j8 j5 j5 Y ' j8 j69 j8 j5 j8 Y ' Y ' j5 j47 j8 j8 j8 Y ' j5 j74 j8 Após a eliiação da barra 4 o sistea fica: j84 j9 j6 j9 j69 j47 j6 j47 j74 Eliiação da barra j6 j6 Y '' j84 j5 j74 j6 j47 Y '' Y '' j9 j89 j74 j47 j47 Y '' j69 j5 j74 j6 9 ' 9 9 j64 j j74 j47 9 ' j j74 Após a eliiação da barra o sistea fica: j5 j89 j89 j5 A Figura 4 ostra o circuito equivalete do sistea o qual fora eliiadas a barra 4 que ão tiha fote e a barra que tiha fote j89 '' 84 9 j j '' Figura 4 Circuito equivalete co eliiação de barra que coté fote

34 Aálise de Sisteas de otêcia 4 Equivaletes de rede Usa-se o equivalete de rede para substituir parte de u circuito o qual ão existe iteresse para deteriado estudo por seu equivalete A Figura 5 ostra a rede origial e a Figura 6 o equivalete da rede extera Rede itera Rede extera Figura 5 Circuito origial ' Rede itera a ' b ' Figura 6 Rede extera substituída por equivalete 5 Motage da atriz Y BARRA co eleetos acoplados A Figura 7 ostra u trecho de circuito e que existe aditâcia ou ipedâcia útua etre algus eleetos do sistea elétrico A polaridade da tesão iduzida é iportate i i ij z ij ji j j z z l l l l l Figura 7 - arte de circuito co ipedâcia útua olaridade relativa da correte E fora atricial ve: z z i j l ij z z l i j z l z ij ij l z z l l ij ij l ode a atriz Z é deoiada de atriz ipedâcia priitiva do eleeto assado-se para aditâcia ve:

35 Aálise de Sisteas de otêcia ij ij i j l l l ode a atriz Y é chaada de atriz aditâcia priitiva do eleeto Expadido-se a equação acia ve: ji ij ij ij i i ij ij j l l i i j j j l l l l l l l l Sabedo-se que atricial te-se: ij i ji j l l l e colocado-se a equação acia e fora i ij j ij l ij ij l l l l i j l Notar que os dois blocos co ij e l são teros da atriz Y BARRA se útua Regra prática para a otage da atriz Y BARRA co útuas: Deteriar a atriz Z priitiva dos eleetos co útua; verter a atriz Z priitiva do eleeto para ecotrar a atriz Y priitiva; Motar a atriz Y BARRA se cosiderar a aditâcia útua ; 4 cluir o efeito das útuas soado-se aos eleetos da atriz referetes aos teriais igualete arcados e subtraido-se dos eleetos da atriz referetes aos teriais arcados difereteete A Figura 8 ostra o circuito equivalete do circuito da Figura 7 co útuas i j ij l l Figura 8 - Circuito equivalete co eleetos acoplados Exeplo 8 Seja z z 4 j5 pu e z j5 pu coo ostrados a Figura 9 Deteriar a atriz Y BARRA do sistea z z z 4 4 Figura 9 - Circuito referete ao exeplo

36 Aálise de Sisteas de otêcia j5 4 j5 j5 j5 4 ode a atriz acia é a atriz Z priitiva A atriz Y priitiva é a iversa de Z priitiva j65 j75 Y RMTA j75 j65 j j i Se acoplaeto Y BARRA j65 j65 j65 j65 j65 j65 j65 j65 ii Cosiderado-se o acoplaeto Basta acrescetar e ( (4 ( (4 e acrescetar e (4 ( ( (4 j65 j65 j75 j75 j65 j65 j75 j75 Y BARRA j75 j75 j65 j65 j75 j75 j65 j65 Exeplo 9 Seja z z j 5 pu z j 5 pu Deteriar a atriz aditâcia de barra do circuito da Figura z z z Figura - Exercício de cálculo da atriz aditâcia de barra co útuas icialete deteria-se a atriz ipedâcia priitiva ivertedo-se esta deteria-se a atriz aditâcia priitiva deteria-se a atriz aditâcia de barra se se cosiderar as útuas e depois iclui-se as útuas seguido os passos do algorito j5 j5 j65 j75 Z RMTA Y RMTA j5 j5 j75 j65 i atriz aditâcia de barra se se cosiderar as aditâcias útuas é: j65 j65 Y BARRA j65 j65 j65 j65 j5 j65 j65 ii atriz aditâcia de barra co as aditâcias útuas Co a polaridade idicada o euciado do exercício deve ser adicioado aos eleetos ( ( ( ( e deve ser adicioado aos eleetos ( ( ( ( cluido-se as útuas a atriz acia ve: 4

37 Aálise de Sisteas de otêcia j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j Y BARRA A seguir os cálculos que coprova a exatidão da atriz Y BARRA ecotrada co a utilização da regra acia z z z z logo z z z z ( ( ( ( ( ( ( ( E fora atricial ve: que cofere co o exercício 6 Modificação da atriz aditâcia de barra A iclusão ou retirada de u eleeto da rede utiliza o eso procedieto já visto a otage da atriz aditâcia de barra co ou se útuas ara a eliiação da barra utiliza-se a redução de Kro 7 Motage e Modificação da atriz ipedâcia de barra A atriz ipedâcia de barra pode ser odificada para refletir udaças a rede elétrica Estas udaças pode ser a adição de eleeto retirada de eleeto ou odificação o valor da ipedâcia do eleeto Até o oeto as aeiras de se calcular a atriz ipedâcia de barra são: a versão da atriz aditâcia de barra b Esaio de circuito aberto Nehu destes étodos é utilizado a prática devido ao tepo ecessário para o cálculo 7 Modificação direta da atriz ipedâcia de barra Seja o sistea origial da Figura coposto de barras cuja atriz ipedâcia de barra é cohecida coo ORGNAL Z

38 Aálise de Sisteas de otêcia Sistea origial Figura - Sistea a ser odificado Z ORGNAL Z Z M Z Z Z Z M L L M L Z Z M Z A iclusão de u ovo eleeto deoiado z b atede a ua das quatro possibilidades a seguir 7 O eleeto é ligado etre a barra ova p e a referêcia Modificação da atriz ipedâcia de barra pela iclusão de u eleeto que possui ipedâcia própria z b ligado etre ua barra ova p e a referêcia Seja o sistea origial coposto de duas barras A Figura ostra este sistea acrescido de ua ova barra deoiada p z p z z z b Figura - Sistea origial acrescido de eleeto etre barra ova p e a referêcia A atriz Z ORGNAL do sistea da Figura é: Z ORGNAL Z Z Z Z Recordado o que foi explicado quado da iterpretação física dos eleetos da atriz ipedâcia de barra o valor dos eleetos da colua da atriz ipedâcia de barra é a tesão da barra dividida pela correte ijetada e deteriada barra co todas as outras fotes ortas Se esta correte tiver o valor uitário a tesão será uericaete igual à ipedâcia Esaiado-se a barra co correte uitária te-se que a tesão a barra p devido a esta correte é ula o eso acotecedo co a correte ijetada a barra Quado a correte ijetada a barra p é uitária a tesão que aparece a barra p é z b Z BARRA Z Z Z Z zb Regra : iclui-se ova liha e ova colua a atriz ipedâcia de barra origial sedo ulos os eleetos fora da diagoal pricipal O eleeto da diagoal pricipal é o valor da ipedâcia z b do eleeto Os valores dos eleetos da atriz ipedâcia de barra origial ão sofre alteração 6

39 Aálise de Sisteas de otêcia 7 O eleeto é ligado etre a barra ova p e a barra existete Modificação da atriz ipedâcia de barra pela iclusão de u eleeto que possui ipedâcia própria z b ligado etre ua barra ova p e ua barra existete Seja o sistea origial coposto de duas barras A Figura ostra este sistea acrescido de ua ova barra deoiada p z z b z z p Figura - Sistea origial acrescido de eleeto etre ua barra ova p e ua barra existete A atriz Z ORGNAL do sistea da Figura é: Z ORGNAL Z Z Z Z jetado-se correte uitária a barra a tesão a barra p é a esa que a tesão da barra jetado-se correte a barra a tesão a barra p tabé é a esa que a tesão da barra jetado-se correte a barra p a tesão será a ipedâcia vista da barra adicioada de z b Z BARRA Z Z Z Z Z Z Z Z Z z b Regra : iclui-se ova liha e ova colua a atriz ipedâcia de barra origial ode os eleetos fora da diagoal pricipal são iguais aos eleetos da liha e da colua (barra ode o ovo eleeto é coectado e o eleeto da diagoal pricipal é ( Z zb Os valores dos eleetos da atriz ipedâcia de barra origial fica idêticos 7 O eleeto é ligado etre a barra existete e a referêcia Modificação da atriz ipedâcia de barra pela iclusão de u eleeto que possui ipedâcia própria z b ligado etre ua barra existete e a referêcia Seja o sistea origial coposto de duas barras A Figura 4 ostra este sistea acrescido da ova ipedâcia z z z z b Figura 4 - Sistea origial acrescido de eleeto etre ua barra existete e a referêcia Z ORGNAL Z Z Z Z Este caso é abordado e duas etapas ostradas a Figura 5 7

40 Aálise de Sisteas de otêcia O eleeto ovo é icluído etre ua barra existete e ua barra ova ( fictícia curto circuita-se a barra fictícia para a terra pela redução de Kro z z b z z b z z z z Figura 5 - rocedieto para a iclusão de u eleeto etre ua barra existete e a referêcia Etapa : iclusão do eleeto etre ua barra existete e ua barra ova fictícia ( Z Z Z Z Z Z Z Z Z zb Etapa : curto circuita-se a barra fictícia ( para a referêcia e procede-se à eliiação de Kro para eliiar a barra ( A eliiação de Kro foi deduzida para a atriz aditâcia de barra e B O eso se aplica à atriz ipedâcia de barra e Regra : é o caso co eliiação de Kro clui-se teporariaete ua ova liha e ua ova colua a atriz ipedâcia de barra origial ode os eleetos fora da diagoal pricipal são iguais aos eleetos da liha e da colua e o eleeto da diagoal pricipal é ( Z zb referete à barra fictícia ( Eliia-se a barra fictícia aplicado-se a redução de Kro 74 O eleeto é ligado etre a barra existete e a barra existete j Modificação da atriz ipedâcia de barra pela iclusão de u eleeto que possui ipedâcia própria z b ligado etre ua barra existete e ua barra existete j Seja o sistea origial coposto de duas barras A Figura 6 ostra este sistea acrescido da ova ipedâcia z b j z B z z Figura 6 - Sistea origial acrescido de eleeto etre ua barra existete e ua barra existete j Z ORGNAL Z Z Z Z Este caso é abordado as duas etapas ostradas a Figura 7 clusão do eleeto etre barra existete e etre barra fictícia ( curto circuita-se a barra fictícia ( e a barra j 8

41 Aálise de Sisteas de otêcia z b j z b j z z z z z z Figura 7 - rocedieto para a iclusão de u eleeto etre barras existetes Etapa : iclusão de eleeto etre a barra existete e ua barra fictícia ( A atriz do sistea co a barra fictícia é: Z Z Z Z Z Z Z Z Z z b Etapa : as tesões j e são iguais logo fazedo-se a liha ( eos a liha j e colocado-se o resultado a liha ( ve: Z Z Z Z Z Z ( Z Z Z Z Z Z zb ara torar a atriz acia siétrica efetua-se a colua ( eos a colua j o lugar da colua ( Z Z Z Z Z Z Z Z ( Z Z Z Z Z Z Z Z zb Expadido-se as três lihas das Equações ve: Expadido-se as três lihas das Equações ve: Z Z Z ( Z Z Z (4 ( Z Z ( Z Z ( Z Z z (5 b Z Z Z Z (6 Z Z Z Z (7 ( Z Z ( Z Z ( Z Z Z Z z (8 b ara que as Equações 4 e 5 fique iguais respectivaete às Equações 6 7 e 8 basta soar Z a Equação 6 Z a Equação 7 e ( Z Z a Equação 8 ou seja basta soar ao do vetor correte da Equação A barra ( é fictícia se fote de correte logo pode-se aplicar a redução de Kro A equação fica etão: 9

42 Aálise de Sisteas de otêcia Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z zb Regra 4: iclui-se teporariaete ova liha e ova colua a atriz ipedâcia de barra origial ode os eleetos fora da diagoal pricipal são iguais à difereça etre os eleetos das coluas/lihas e j e o eleeto da diagoal pricipal vale Z Z jj Zj Z j zb Eliia-se a liha e a colua da barra fictícia aplicado-se a redução de Kro 7 Motage direta da atriz ipedâcia de barra a É u processo ais rápido que otar a atriz aditâcia de barra e depois iverter; b Trabalha-se diretaete co a lista dos copoetes da rede; c A atriz ipedâcia de barra é otada passo a passo icluido-se u copoete de cada vez recaido e u dos quatro casos de odificação da atriz ipedâcia de barra já vistos; d Restrição: a atriz ipedâcia de barra deve ser iiciada por copoete ligado à referêcia Quado ão existir tal eleeto ua barra é toada coo referêcia Exeplo Motar a atriz ipedâcia de barra passo a passo para o sistea da Figura 8 4 ~ 5 ~ 6 Figura 8 - Sistea exeplo para a otage da atriz ipedâcia de barra Dados dos raos e pu Núero do Barras pedâcia Aditâcia eleeto de para (pu (pu j5 j4 j j5 j8 j5 4 j6 j667 5 j6 j667 6 j7 j49 Eleeto ligado etre a referêcia e a barra ova Caso 47 Z BARRA [ j5] Eleeto ligado etre a referêcia e a barra ova Caso 47 Z BARRA j5 j 4

43 Aálise de Sisteas de otêcia Eleeto ligado etre a barra existete e a barra ova Caso 47 j5 j5 Z BARRA j j5 j j5 j8 Z zb Rearruado-se a atriz ve: Z BARRA para que a orde das coluas correspoda ao úero das barras Z BARRA j5 j5 j5 j j Eleeto 4 ligado etre a barra existete e a barra existete Caso 474 Z BARRA j5 j5 j5 j5 j j j j j59 Z j Z 4 j5 j Z Z z b 4 Após a aplicação da redução de Kro a barra 4 ve: j44 j j847 Z BARRA j j454 j9 j847 j9 j Eleeto 5 ligado etre a barra existete e a barra existete Caso 474 Ao ivés de se iserir u a u os eleetos pode-se iserir o paralelo dos eleetos 4 e 5 o caso j j44 j j8477 j55 j j454 j9 j5 j847 j9 j j j8 j55 j5 j j454 j j9 j9 j6 Aplicado-se a redução de Kro a barra 4 ve: j84 j7 j89 j7 j55 j79 j89 j79 j86 Eleeto 6 ligado etre a barra existete e a barra existete Caso 474 j84 j7 j89 j49 j7 j55 j79 j5 j89 j79 j86 j94 j86 j49 j5 j94 j84 j86 j89 j89 j7 4

44 Aálise de Sisteas de otêcia Aplicado-se a redução de Kro a barra 4 ve: Z BARRA j j74 j4 j74 j4 j4 j4 j4 j88 Utilizado-se o prograa MATLAB para iverter diretaete a atriz Y BARRA ecotra-se para Z : BARRA Y BARRA j79 j5 j49 j5 j4584 j4 j49 j4 j56 j j74 j5 Z BARRA j74 j4 j4 j5 j4 j88 Observação: ara aior eficiêcia do processo fecha-se o laço o ais cedo possível para se aplicar a redução de Kro e atriz de diesão eor 7 Exclusão de u eleeto de ipedâcia z b da atriz Z BARRA Basta icluir u eleeto de ipedâcia própria de valor zb pois o paralelo de z b co zb é u circuito aberto co a aplicação de dois dos quatro casos de odificação da atriz ipedâcia de barra 74 Modificação do valor da ipedâcia que liga duas barras Basta iserir u eleeto que e paralelo co o valor já existete foreça o valor desejado ara se trasforar o valor de z x o valor z etre as barras e coo ostra a Figura 9 basta iserir o eleeto z b de tal fora que z // z z x b z x z Figura 9 - Modificação do valor origial z x da atriz ipedâcia de barra z x //z b z 8 Obteção dos eleetos da colua da atriz ipedâcia de barra a partir da atriz aditâcia de barra a Utilizado quado ão é ecessária toda a atriz ipedâcia de barra b É ecessária ua colua da atriz ipedâcia de barra algus eleetos de ua colua da atriz ipedâcia de barra difereça etre duas coluas da atriz ipedâcia de barra etc E estudos de curto-circuito calcula-se a partir da atriz Y BARRA apeas ua colua da atriz Z BARRA a de iteresse ão sedo ecessário deteriar toda a atriz Z BARRA 8 Obteção de ua colua da atriz ipedâcia de barra Se a atriz ipedâcia de barra for ultiplicada pelo vetor que coté a liha e zero o resto ve: 4

45 Aálise de Sisteas de otêcia Z Z M M Z N L L M M L Z Z Z M M N L L M M L Z Z Z N N M M NN Z M Z M M M Z N ou seja ( Z l Z colua da atriz ipedâcia de barra BARRA BARRA ré ultiplicado-se a equação acia pela atriz aditâcia de barra ve: Y Z BARRA l YBARRA Z 44 4 BARRA 4 BARRA ( K BARRA Y Z l K ( BARRA sistea de equações lieares co icógita rocedieto para solução da equação acia: a otar a atriz Y BARRA b fatorar a atriz Y BARRA e LU ou seja L U YBARRA ( c solucioar o sistea L U Z BARRA l 44 e duas etapas H H l ( Z BARRA prieira etapa: solucioar L seguda etapa: solucioar U H (K Z BARRA O custo coputacioal do processo está e calcular as atrizes L e U 8 Obteção da difereça etre duas coluas da atriz ipedâcia de barra Seja Z Y Y BARRA ( j l j Z BARRA BARRA ( j Z BARRA l j YBARRA Z BARRA BARRA Z ( j BARRA ( j l L U Z BARRA l j j l j M Colua Colua j resolvido por decoposição LU da atriz Y BARRA ostrado ateriorete Exeplo Calcular a difereça dos eleetos (Z BARRA(44 Z BARRA(45 da atriz Z BARRA cohecedo-se a atriz Y BARRA Y BARRA j j j j j6 j6 j6 j6 j j j j j 4

46 Aálise de Sisteas de otêcia Z Z BARRA Z Z Z BARRA( 44 BARRA(45 BARRA(44 BARRA(54 logo só é preciso calcular a colua 4 da atriz a fatoração LU Basta fazer o prograa MATLAB o coado [L U] lu(barra que o prograa retora as atrizes L e U (4 L U Z 44 BARRA H rieira etapa: L H l Solução: H H H H H H H H H 4 L45 H5 H 4 ( L45 H5 L44 H 4 54 H 4 L55 H 5 H 5 L54 H 4 L55 98 L L 98 Seguda etapa: (4 U Z BARRA H j j j87 j6 j48 j j667 j467 j85 Z Z j Z j76 Z j Z BARRA(4 BARRA(4 BARRA(4 BARRA(44 BARRA(54 98 U U Z H Z H U 98 ( j 5 55 BARRA (54 5 BARRA( j 44 Z BARRA(44 U 45 Z BARRA(54 H j76 j5 Z BARRA ( 44 j55 j85 Z Z j 4 Z BARRA(44 H 4 U 45 Z U 44 BARRA(54 or iversão direta da atriz Y BARRA co auxílio do prograa MATLAB obté-se: j5 j5 j5 j5 j5 j5 j5 j5 j5 j5 Z BARRA j5 j5 j56 j5 j56 j5 j5 j5 j55 j5 j5 j5 j56 j5 j5 ode-se verificar da atriz Z BARRA que Z 44 Z 45 j55 j5 j5 que cofere co o cálculo aterior 44