Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: 2 3 6 a) 5 2 3 7 b) 9 2 3 Resolução de sistemas lineares Metodo da adição 4 100 1) Resolver o sistema 2 3 90 O metodo da soma consiste em eliminar uma das incógnitas x ou y e desta forma trabalhar com a solução primeiro de uma incógnita e depois da outra. Para eliminarmos a incógnita x, por exemplo, devemos multiplicar os valores da primeira equação por (-2) e depois somar o resultado com a segunda equação. 4 100 2 2 3 90 2 8 200 2 3 90 0 5 110 Substituindo 22 çã 4 100 obtemos o valor de x. 4 100 422 100 88 100 100 88 12 12; 22 22 Metodo da substituição 4 100 Resolver o sistema anterior pelo método da substituição 2 3 90 O objetivo do método é o mesmo do metodo da adição, porem devemos isolar uma das incógnitas da primeira equação e substituí-lo na segunda equação Isolando x incógnita x 4 100 100 4
Substituindo na segunda equação 2 3 90 2100 4 3 90 200 8 3 90 200 5 90 22 90 200 5 Substituindo o valor de y na primeira equação 4 100 422 100 88 100 100 88 12 12; 22 40 20 S(12;22) 4 100 2 3 90 0-5 0 5 10 15 20 25 Representação gráfica Classificação dos sistemas lineares Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos. Sistema possivel e determinado: são os sistemas que possuem apenas uma solução 4 100 2 3 90 12; 22 Este exemplo foi resolvido no ítem anterior. Note que no gráfico há um só ponto de intersecção entre as duas retas que representam a solução do sistema. Sistema possivel e indeterminado: são os sistemas que permitem infinitas soluções 8 2 2 16 10; 2, 12; 4, 19; 11, Sistema impossível: são os sistemas que não tem soluções. Geralmente formado sor equações que se contradizem
12 20 ã çã Matrizes e resolução de sistemas 3 2 6 Considere o sistema 6 4 2 Temos associada as matrizes: 3 2 2 6 incompleta e 3 6 4 6 4 2 completa Representação matricial de um sistema 3 2 6 Sistema 6 4 2 : 3 2 6 4 x y 6 2 3 2 é a matriz incompleta dos coeficientes 6 4 x y é a matriz das incógnitas 6 é a matriz dos termos independentes 2 Sistemas homogêneos Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos 3 2 0 5 2 0 2 3 0 A n upla (0, 0, 0,, 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e recebe o nome de solução trivial. Quando existem outras soluções são chamadas de não triviais. Sistema Normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações e de incógnitas e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Exercícios 1) Resolver os sistemas 2 5 4 2 10 3 16 2 3 7
6 2 2 4 6 2 8 16 5 12 5 24 2) Construa a matriz incompleta e a matriz completa de : 3 4 2 a) 1 3 2 5 b) 1 4 6 0 3) Verifique se a terna ordenada (1, 1, 1) é solução do sistema: 2 1 2 2 2 Regra de Cramer O estudo dos determinantes consiste em uma forma de resolver sistemas n x n com a vantagem de permitir que os sistemas sejam analizados a partir do determinante da sua matriz incompleta. O método de resolver sistemas a partir de determinantes é conhecido como Regra de Cramer. Todo sistema linear normal tem uma única solução dada por: 2 5 Resolva o sistema 2 3 3, usando a regra de cramer 4 4 Resolução : Calculando o determinante principal D 1 2 1 1 2 3 36 0 Portanto S.P.D. (Se det A fosse nulo não continuaríamos a resolução 4 1 1 pelo sistema de Cramer. Calculando o determinante das incógnitas 5 2 1 3 2 3 36 (Substituir os termos independentes na 1ª coluna) 4 1 1 1 5 1 1 3 3 72 (Substituir os termos independentes na 2ª coluna) 4 4 1
1 2 5 1 2 3 72 (Substituir os termos independentes na 3ª coluna) 4 1 4 Daí vem: 36 36 1 72 36 2 72 36 2 Portanto,,, 1, 2, 2 é çã Exercícios 1 ) Resolva os sistemas lineares, usando Cramer : a) 2 3 2 3 4 1, 2 3 4 b) 2 5 2 6,, 2 1 c) 3 2 1 3, 1, 2 Discussão de um sistema linear Se um sistema tem o mesmo número de linhas e incógnitas ele pode ser classificado como: a) Possível e Determinado (S.P.D.) quando det 0 o sistema apresenta solução única 3 2 0 3 0 3 2 6 çã ú b) Possível e indeterminado (S.P.I.) 0, para n = 2. Se 3 essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não proporcionais. 3 2 1 2 2 0, 0, 0, 0 çõ 4 3 1 c) Impossível (S.I.) 0 0
2 1 2 3 4 0, 35 0 3 3 2 0 s : 1) Discuta o sistema 3 2 2 em função de m Solução 1 1 2 m 2 0 çã ú... 2 0 2 O sistema terá solução única se 2 0 çõ 1 1 2 2 0 3 1 2 2 4 0 O sistema não é S.P.I. Exercícios 1 1) Discuta o sistema 2 3 6 em função de m 5 9 2) Classifique os sistemas abaixo: 5 a) 2 3 1 2 2 1 2 3 b) 1 2 3 4 3) Classifique os sistemas abaixo e apresente os resultados dos S.P.D. 0 a) 3 5 0 2 3 1 b) 3 2 2 1