UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPEL INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 00058 CÁLCULO - PROFA. REJANE PERGHER SEMESTRE 09/0. Introdução:. Números Reais R Conjuntos numéricos: - Números Naturais: N,, 3,... - Números Inteiros: Z...,,, 0,,,... - Números Racionais: Q \ m n, com m,n Z - Números Irracionais: Q. Não podem ser escritos em termos de uma fração. E.:,e,,.... Intervalos: - Intervalo aberto limitado: a, b \a b. Representação gráfica: - Intervalo fechado limitado: a, b \a b.representação gráfica: - Intervalo semi-aberto ou semi-fechado limitado: a,b \a b a,b \a b - Intervalo aberto ilimitado: a, \ a, b \ b - Intervalo fechado ilimitado: a, \ a, b \ b.3 Valor Absoluto: Seja a R : a,se a 0 a a,se a 0 a d a,0 distância do ponto a até a origem. a b d a,b distância entre a e b. a b a b b a,se a b,se b a
Propriedades: ) a a a ) a a ou a E.:, ou seja, d, 0. d, 0, mas d, 0 também! Logo,.. Desigualdades: Desigualdades do Grau: i) a b b a é positivo ii) a b a b é positivo iii) a b a b ou a b iv) a b a b ou a b E.: Determine todos os intervalos que satisfaçam as desigualdades abaio. Faça a representação gráfica: i) 7 5 3 9 Resp.: /5, 6/5 ii) 7 Resp.: /7, 6/7 iii) 3 3 7 Resp.: 5/3, /3 iv) 7 Resp.:, 9 5, Desigualdades do Grau: Es.: ) 0 Resp.:,, ) 3 0 Resp.:, 3 3) 0 Resp.:, 0, ) 6 5 0 Resp.: 5, Lista de Eercícios : Resolva as desigualdades e eprima a solução em termos de intervalos:. 5 3 7. 3 3 7 5 3. 6 0. 5 3 5. 3 5 6. 3 0.0 7. 5 8. 6 5 3
9. 3 7 5 0. 7 6. 5 3 7. 6 7 0 3. 0 3 6. 5 7 5. 6 3 3 3 6. 6 7. 6 8. 7 5 ou 7 6 9. 6 0 ou 5 0. ou 3. 3. 3 6 0 3. 3. 5 3 8 5. 3 5 RESPOSTAS:. (,. [9,9) 3. (-,3). (-,, 5. (-, 5/, 6. (-3.0,-.99) 7. (-9/,-/) 8. [3/5,9/5] 9. (-,/3, 0. (-, 7/7 5/7,. [-3,). (, / 7/6, 3. [7,. (-, 6, 5. (-3,0] 6. [-,0] 7. (3,) 8.,, 9., 5, 0.,,.(-,0]. 7/5, 3., / 7/,. 5, 5.[-,]. Funções:. O que é uma função? Podemos definir função da seguinte maneira: Uma grandeza é uma função de outra grandeza, se a cada valor de estiver associado um único valor de. Dizemos que é a variável dependente e é a variável independente. Escrevemos f, onde f é o nome da função. O domínio da função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente e a imagem é o conjunto correspondente de valores da variável dependente. Uma função pode ser representada por tabelas, gráficos e fórmulas. eemplo: No verão de 990, a temperatura, no estado do Arizona, ficou alta durante todo o tempo (tão alta, de fato, que algumas empresas aéreas decidiram que talvez não fosse seguro aterrissar seus aviões lá). As 3
altas diárias de temperatura na cidade de Phoeni, de 9 a 9 de junho são dadas na tabela abaio: Data 9 0 3 5 6 7 8 9 Temperatura o C 3 5 6 5 5 5 9 50 8 8 Tabela. Temperatura em Phoeni, Arizona, junho de 990 Trata-se de uma função: cada data tem uma única temperatura mais alta, associada a ela.. Gráfico de uma função: O gráfico da função f em um plano é o conjunto de pontos,, onde pertence ao domínio de f e é o valor correspondente f de f. f() 0 0 - - 3. Tipos de Funções: a) Funções polinomiais: ) Função Linear: f m b onde é a variável independente e m e b são constantes (números reais). A constante m é a inclinação da reta determinada por f. b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eio vertical. zero ou raiz da função é a abscissa do ponto em que a reta corta o eio horizontal. Observe que: Se m 0, a função linear f b é uma função constante. Desenhe seu gráfico! Se b 0, então temos f m. Trata-se de um conjunto de retas com inclinação m, todas passando na origem 0,0. Por eemplo:,,,,,,,, /, /,, Coeficiente Angular de uma reta: O coeficiente angular ou inclinação de uma reta não vertical pode ser determinado, se conhecermos dois de seus pontos, a partir da epressão: m Equação de uma reta de coeficiente angular conhecido:
m Eemplo : A equação da reta que passa pelo ponto 3, e tem coeficiente angular 3 é? Resposta: 3. Eemplo : Determine a equação da reta que passa pelos pontos 3, 5 e,. Resposta: 3 5 6 5. Eemplo 3: Dada a função f, esboce o gráfico da função, mostrando os interceptos vertical e horizontal. Resposta: 8 6 - - 0 Eemplo : A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendo constantemente nos últimos anos. Em 000, a média foi de 58 pontos, enquanto que em 005, a média foi de 55 pontos. a) Defina a função do valor da média em relação ao tempo. Resposta: 6 58 b) Se a tendência atual se mantiver, qual foi a média de pontos obtida em 00? Resposta: 5 pontos c) Em que ano, a média é de 53 pontos, nestas condições? Resposta: Em 008. ) Função Quadrática: Uma função quadrática é da forma f a b c Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: 5 3 - - - Observação: Esta curva é chamada parábola. Uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima (a 0) ou concavidade voltada para baio (a 0). Elementos da Parábola: Raízes: Calcula-se por Báskhara (são os valores onde a parábola intercepta o eio ). b b ac a 5
Vértice: é onde se encontra o valor máimo (se a 0) ou o valor mínimo (se a 0) da função. v b a e v a b ac a Eemplo : Esboce o gráfico de f 3, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem. Resposta: 0 8 6 - - - - Eemplo 3: Esboce o gráfico de f 5 6, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem. Resposta: 0 3 5 0 - - -6 Eemplo : A temperatura de uma certa região em função do tempo é C 0,5 3, 8 graus centígrados. a) Qual era a temperatura às horas? Resposta: 35,8 C. b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 9 e horas? Resposta: Diminuiu 7,05 C. 3) Função Cúbica: Eemplo : Esboce o gráfico de f 3. Resposta: f a 3 b c d 5 - - -5 Eemplo : Suponha que o custo total, em reais, para fabricar q unidades de um certo produto seja dado pela função: C q 7 q3 5q 5q 50. a) Calcule o custo de fabricação de 0 unidades. Resposta: R$ 5.06,30. b) Calcule o custo de fabricação da 0 a. unidade. Resposta: R$ 36,6. 6
Lista de Eercícios : ) Um tomate é jogado verticalmente para o alto, no instante t 0, com velocidade de 5 metros por segundo. Sua altura, acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação 5t 5t. Faça uma análise da função quadrática definida por esta equação, isto é: esboce um gráfico da posição versus tempo; determine os zeros desta função e interprete o que representam; determine as coordenadas do ponto mais alto da curva e interprete o que este ponto representa; responda: durante quanto tempo ocorreu o movimento do tomate? ) Considerando a função polinomial definida por: f 3 3 7 8, construa seu gráfico e determine os pontos de intersecção com os eios horizontal e vertical. 3) Esboce os gráficos das funções e determine seus zeros: (a) f 5 (b) g 5 (c) h 0 (d) l ) Uma caia retangular de base quadrada, tem volume 5. Epresse a área A, de sua superfície total, como função da aresta, de sua base. Lembre: o volume de uma caia retangular pode ser obtido pelo produto da área de sua base pela altura a área da superfície total de uma caia retangular é obtida pela soma das áreas de todas as suas faces. 5) Epresse a área de um quadrado como função de seu perímetro. 6) Considere o gráfico abaio para responder as perguntas a seguir. 0 5-0 -5 0 5 0-5 -0 (a) Quantos zeros tem a função? Dê suas localizações aproimadas. (b) Dê valores aproimados para f e f. (c) A função é crescente ou decrescente na vizinhança de? E na vizinhança de 3? (d) O gráfico é côncavo para cima ou para baio na vizinhança de 5? E na vizinhança de 5? (e) Dê os intervalos (aproimados) onde a função é crescente. 7) Se f, encontre: (a) f t (b) f t (c) f (d) f t (e) f t 8) Esboce o gráfico de uma função definida para 0 com as seguintes propriedades. (Eistem várias respostas possíveis.) 7
(a) f 0. (b) f é crescente para 0. (c) f é decrescente para 3. (d) f é crescente para 3. (e) f 5 quando. 9) Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos apresentados a seguir: ( ) ( ) 3 ( ) 8 3 9 ( ) ( ) ( ) 6 - - - - -6 6-3 - - 3 - - -6 - - - - () () (3) 5 3 - - - 0-3 - - - - - () (5) (6) 0) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 0,00 por dia e 5 centavos o quilômetro rodado. Os carros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 0 centavos o quilômetro rodado. (a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distância percorrida. (b) No mesmo sistema de eios, esboce os gráficos de ambas as funções. (c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato? b) Função Módulo: Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: f a b 8
- - 0 Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: 3-0 Eemplo 3: Esboce o gráfico de f. Resposta: 6 - - 0 c) Função Racional: Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: f p q - - - - Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: 9
0 5 - -5 Eemplo 3: Esboce o gráfico de f. Resposta: -0 0 5 - - Eemplo : Supõe-se que a população de uma certa comunidade, daqui a anos, será de P 30 5 milhares. a) Daqui a 0 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: 9,58 mil habitantes. b) De quanto a população crescerá durante o 0 o ano? Resposta: 30 habitantes. c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: Crescerá até 30 mil habitantes. -5-0 d) Função Raiz Quadrada: f a b Eemplo : Esboce o gráfico da função f. Resposta: 0 0 3 Eemplo : Esboce o gráfico da função f 3. Resposta: 3 0-6 8 e) Funções Trigonométricas: 0
Os primeiros estudos sobre Trigonometria tiveram origem nas relações entre lados e ângulos num triângulo e datam de muito tempo.(trigonon : triângulo e metria : medição). Nosso objetivo principal, agora, é o estudo de funções trigonométricas. Podemos definí-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sangüinea em um coração, uma corrente alternada, a posição das moléculas de ar transmitindo uma nota musical, todos flutuam com regularidade e podem ser representados por funções trigonométricas. Medida de arcos de circunferência Usamos, basicamente, duas unidades de medidas para arcos de circunferência: Grau Um grau corresponde a 360 da circunferência onde está o arco a ser medido. Radiano Um radiano corresponde à medida do arco de comprimento igual ao raio da circunferência onde está o arco a ser medido. É importante lembrar que o arco de uma volta mede 360 ou rad 3,. Responda: Quantos graus correspondem, aproimadamente, a um arco de rad? Definição : Considere um ângulo t, medido em radianos, num círculo de equação. Seu lado terminal intercepta o círculo num ponto P,. O seno de t é definido como sendo a ordenada do ponto P e o co-seno de t é definido como sendo a abscissa do ponto P. Isto é: sent e cos t. Sobre o círculo abaio, de raio, marque um ponto P e identifique o seno e o co seno do ângulo que ele representa, em cada um dos seguintes casos: a) P o quadrante b) P o quadrante c) P 3 o quadrante d) P o quadrante Observe que à medida que o ponto P movimenta-se sobre o círculo, os valores de sent e cos t oscilam entre e. Como conseqüência imediata da definição, temos que; sen t cos t. Veja, no mesmo sistema de eios cartesianos, os gráficos das funções f e g, definidas, respectivamente, por f t sent e g t cos t. Identifique cada uma delas.
.0 0.5-7 -6-5 - -3 - - 3 5 6 7 8 9-0.5 -.0 A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máimo e mínimo. O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo. A amplitude de cos t e sent é e o período é. Definição: Consideremos um número qualquer t, com cos t 0. A função tangente é definida por tant sint cos t. Observe o gráfico da função f, definida por f t tant 0 - - -0 Lista de Eercícios 3 ) Relacione cada gráfico com a função que ele representa: ( ) f sen ( ) g sen ( 3 ) h sen ( ) l sen ( 5 ) m 5sen ( 6 ) n 5sen
6 0 - - 6 0 - - 6 - - - - -6 ( ) ( ) ( ) 3 3 0 - - -3 6 0 - - -3 6-6 8 0 - - ( ) ( ) ( ) Qual a amplitude e o período de cada uma das funções? ) Idem para: ( ) F cos ( ) G cos ( 3 ) H cos ( ) L cos ( 5 ) M cos ( 6 ) N cos 0-6 0 - - 6 8 0 - - - - ( ) ( ) ( ) 3 3 0 - - -3 6 0 - - -3 6-0 -5 5 0 - - ( ) ( ) ( ) 3
3) Qual a diferença entre sen, sen e sen sen? Apresente eemplos, justificando. ) Localize, no círculo trigonométrico, o ângulo de mesmo. e determine o seno, o co-seno e a tangente do 5) Complete, determinando uma fórmula para descrever oscilações do tipo: 3.0 0.5 - - 6 - - -3 f - - 6 8 0-0.5 -.0 g f) Função eponencial Definição: é uma função real, com base a positiva e diferente de, definida por Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: f a 30 0 0 - - 0 Eemplo : Esboce o gráfico de f. Resposta: 30 0 0 - - 0 Eemplo 3: Um determinado veículo automotivo tem seu valor depreciado de tal forma que após t anos de utilização porde ser descrito pela função V t 5.000e 0,08t 600. a) Qual era o preço do veículo novo? Resposta: 5.600 b) Quanto o veículo valerá após 0 anos? Resposta: 7.339,93 Eemplo : A função eponencial natural f e é um caso particular da função eponencial de base a
qualquer. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de, inclusive. Esboce o gráfico. Resposta: 0 5 - - Eemplo 5: Se o custo anual de manutenção de um computador está relacionado com o seu uso mensal médio (em centenas de horas) pela equação 35.000 5.000e 0,0, qual é o custo anual de manutenção, em reais para o uso mensal médio de 00 horas? Resposta: R$ 0.980,6 g) Função Logarítmica: Definição: A função logarítmica de base a, positiva e diferente de, é uma função real, definida por f log a Eemplo : Esboce o gráfico da função f log 3. Resposta: 0-3 5 Eemplo : Esboce o gráfico da função f log 3. Resposta: 0-3 5 Eemplo 3: A função logarítmica natural f ln é um caso particular da função logarítmica de base a qualquer, porque ln log e. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de, inclusive. Esboce o gráfico. Resposta: 0 - - -3-6 8 0 Propriedades: 5
) ln A. B lna lnb ) ln A lna lnb B 3) lna r r lna ) Mudança de base: log a b logb loga lna lnb Eemplo : Uma máquina tem depreciação eponencial dada pela fórmula V V 0 e at. Sabendo que, em 995, seu valor era de R$.500,00 e em 00 era de R$ 9.800, calcule seu valor em 997. Resposta: R$ 3.9,00 h) Função par: Eemplos: ) Função módulo: f f f - - 0 ) Função quadrática: f 0 0 - - 0 i) Função Ímpar: Eemplos: ) Função identidade: f f f - - - - ) Função cúbica: f 3 6
0 0-3 - - 3-0 -0 j) Função periódica: f f T f T... Eemplo: As funções trigonométricas: função seno e função cosseno. k) Função definida por partes Há funções que são definidas por mais de uma epressão, como no eemplo a seguir: f 3 se 0 se 0 se Construa o gráfico da função dada.o que observa? Eemplo: a função valor absoluto é uma função definida por duas sentenças. se 0 se 0 l) Função Composta: Dadas duas funções f e g, a função composta de f e g,denotada por f gédefinida por f g f g Eemplo : Dadas as funções f e g, encontre a composição de funções f g. Resposta: f g f Eemplo : A análise das condições da água de uma pequena praia indica que o nível médio diário de substâncias poluentes presentes no local será de Q p 0,6p 8, unidades de volume, quando a população for p milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população seja de p t 6 0, t mil habitantes. a) Epresse o nível de substâncias poluentes em função do tempo. Resposta: Q t 0,06t b) Qual será o nível de substâncias poluentes daqui a anos? Resposta:,7 unidades de volume c) Em quanto tempo, aproimadamente, o número de substâncias poluentes será de 5 unidades de volume? Resposta: 7 anos. 7
m) Função Inversa: Eemplo : Encontre a função inversa de f. Solução: escrevendo, então reslvemos a equação para, /. Finalmente, trocamos por temos: /. Observe que o grafico da função inversa é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta. 0 5 - - -5 Eemplo : As funções eponencial e e logaritmica ln são inversas -0 6 - - - - -6 Eemplo 3: Encontre a função inversa de f 3. Solução: escrevendo 3, então reslvemos a equação para, 3 3. Finalmente, trocamos por, obtemos 3. Lista de Eercícios : ) Construa o gráfico das funções: a) f 5/ 3 Resposta: - - 0 b)f 8
6 Resposta: -3 - - 3 - - c)f 5 3 6 Resposta: d)f 8 7 - - - 0 5 Resposta: e)f 0-5 6 8 Resposta: f)f ln - - 0 - - 3 - Resposta: - ) Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico: 9
6-0 Em quanto tempo percorrerá 5 Km? Resposta: 6 min. 3) Escreva a função do o grau representada pelo gráfico: 5-3 5 Resposta:f 3 ) O custo para a produção de unidades de certo produto é dado por C 0 600. Calcule o valor do custo mínimo. Resposta: C 00. 5) Dada a função f, construa o gráfico e dê o conjunto imagem de f. Resposta: Im f \. 6) Determine o domínio, a imagem, o gráfico e o período das funções: a) sin Resp.:D, Im,, período. b) sin Resp.:D, Im, 3,período. c) sin 3 Resp.:D, Im,,período /3. d) cos Resp.:D, Im,,período. e) cos / Resp.:D, Im,,período. f) cos Resp.:D, Im, 3,período. 7) A função degrau de Heaviside, H, é definida por H 0 se 0 se 0. Construa seu gráfico. 8) Considerando a função H, definida acima, determine a função H e construa seu gráfico. 0
9) Represente graficamente a função g, definida por g a) g b) g c) g, 5 d) g e) g 5 0 se se se 3 3 se 3 se e determine: 0) Construa o gráfico da função h, definida por h 3 e responda às seguintes questões: a) Quais os zeros de h? b) Quais os valores de que tornam h um número positivo? c) Quais os valores de que tornam h um número negativo? ) Encontre uma fórmula para a função inversa. a) f 0 3, b) f e 3, c) f ln 3, d). Resp.: a) f 3 0. b) 3 f 3 ln c) f e 3, d) f Limites: O conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados. Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode ser ultrapassado. Eemplos: a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque eiste um Limite de elasticidade da borracha. b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o Limite de carga que este suporta. c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem estabelecer um Limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita. É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se aproimar tanto quanto desejar. Iniciaremos por estudá-los de uma forma intuitiva. Limites descrevem o que acontece com uma função f à medida que sua variável se aproima de um número particular a. Para ilustrar este conceito, vejamos alguns eemplos: Eemplo : Suponha que você quer saber o que acontece com a função f à medida que se aproima de. Embora f não esteja definida em, você pode obter uma boa idéia da situação avaliando f em valores de cada vez mais próimos de, tanto à esquerda quanto à direita. Isto pode ser feito através de uma tabela de valores. f 0.9. 9 0.99. 99 0.999. 999 0. 9999. 999 9 donde podemos concluir que, para valores próimos de, à sua esquerda, f se aproima do número 3 e escrevemos:
lim f 3, lendo: o limite de f quando tende a pela esquerda é 3". De forma análoga, investigamos o limite à direita. Vejamos: f. 3.. 0 3. 0. 00 3. 00. 000 3. 000 donde podemos concluir que, para valores próimos de, à sua direita, f se aproima também do número 3 e escrevemos: lim f 3, lendo: o limite de f quando tende a pela direita é 3". Concluímos que: Graficamente, temos: lim f 3 - - - - No caso da função f, a qual concluimos que lim f 3 tabelando valores à esquerda e à direita de, este também pode ser determinado de forma algébrica, ou seja, lim f lim lim lim 3 Propriedades: ) O limite é único. ) Se lim a f L e lim a g M eistem e c é um número real qualquer, então: a) lim a f g lim a f lim a g L M
b) lim a c.f clim a f cl c) lim a f g lim a f lim a g LM d) lim a f g lim a f lim a g M L, para M 0 e) lim a f n lim a f n L n f) lim a c c LIMITES LATERAIS: - Limite pela direita: Notação: lim f a - Limite pela esquerda: Notação: lim f a Teorema : Se os limites à direita e à esquerda são diferentes a lim f A e a lim f B, então o limite lim a f não eiste. Notamos que no eemplo obtivemos para a função f, os limites laterais iguais, isto é, lim f 3 lim f e por este motivo afirmamos que lim f 3. Nem sempre isso ocorre. Vejamos um segundo eemplo. Eemplo : Dada a função f se 3 6 se 3, cujo gráfico está representado a seguir. 8 6-6 - - - 6 - Temos: lim f 3 e lim f 6 3 logo, conclui-se que 3 lim f, pois os limites laterais são distintos. 3
Eemplo 3 : Dada a função f, vamos verificar o comportamento da função quando tomamos valores próimos de 0. Embora f não esteja definida em 0, pode-se obter uma idéia da situação avaliando f em valores de cada vez mais próimos de 0, tanto à esquerda quanto à direita, como foi feito no eemplo, através de uma tabela, 0. 0.0 0.00 0.000 0.0000 f 0 00 000 0000 00000 donde podemos concluir que, para valores próimos de 0, à sua esquerda, f decresce indefinidamente (sem limitação) e escrevemos: lim f, 0 De forma análoga, investigamos o limite à direita. f 0. 0 0. 0 00 0. 00 000 0. 000 0000 0. 0000 00000 donde podemos concluir que, para valores próimos de 0, a sua direita, f cresce indefinidamente (sem limitação) e escrevemos: lim f 0 Concluimos então que lim f,usando o argumento de que os limites laterais são distintos. 0 O gráfico da função f está abaio representado
- - - - OBS.: Devemos enfatizar que os símbolos e, como usados aqui, descrevem uma maneira particular na qual o limite não eiste; eles não são limites numéricos e, conseqüentemente, não podem ser manipulados usando regras de álgebra. Por eemplo, não é correto escrever 0. OBS.: Se lim a f, onde a não é ponto crítico ( a, por eemplo) ou ponto de descontinuidade, então o limite 0 eiste e é f a. Caso contrário, devemos calcular os limites laterais. Eemplo : Determine, se eistir, o limite de: lim Eemplo 5: Calcule lim 9 : Eemplo 6: Calcule lim 0 f onde f, se 0, se 0 Teorema : (Limite no infinito) Se n N, então lim n 0 Teorema 3: (Limite Infinito) Se n N, então lim 0 n e lim 0 n, se n é par, se n é ímpar OBS. 3: Se n é par, lim 0 n lim 0 n, então lim 0 n eiste. Se n é ímpar, lim 0 n lim 0 n, então lim 0 n não eiste. Eemplo 7: Calcule lim 0, onde Epressões Indeterminadas: Eemplo 8: Calcule lim 3. Resposta: Eemplo 9: Calcule lim 6. Resposta: - 0 0,,,00, 0, 5
Eemplo 0: Calcule lim 3 3 7. Resposta: 3 Lista de Eercícios 5: ) Eplique com suas palavras o significado da equação é possível diante da equação anterior que f 3? Eplique. ) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se eistir. Se não eistir, eplique por quê. 3) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se eistir. Se não eistir, eplique por quê. ) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se eistir. Se não eistir, eplique por quê. 6
5) Dado que Encontre se eistir, o limite. Se não eistir, eplique por quê. 6) Calcule os limites: ) lim 5 8 ) lim 3 3 5 5 3) lim 3 9 3 ) lim 5) lim 6) lim 9 Resp.: Resp.: 0 Resp.: 6 Resp.: / 3 3 3 Resp.: 9 Resp.: 6 3 7) lim 7) Calcule os limites: Resp.: 3 7
)lim 5 3 3 7 )lim t 5 t t 3 6 3)lim r 8r r 3 )lim 5)lim 0 6)lim 0 )lim t t 3 t t 5t 3 3) lim 53 3 ) lim, lim 3 3 3 3,lim 3 3 5)lim 0 7 6)lim t 0 t 9 t 3 7) lim 3 7)lim 3 0 8)lim 3 0 3 3 8)lim 9)lim 0)lim 0 ) lim 3 3 Respostas do eercício 7) ) 0 9)0 7) ) 0) 8) 3) 3 ) 9 9) ) ) 0) 5) 3)0 ) 9)lim 0)lim h h 0 h )lim 3 3 3 )lim 0, lim 0 6) ),, ),, 7)- 5) 8) 6) 3,lim 0 Continuidade: Um grupo importante de funções de uma variável real é o das funções contínuas, isto é, funções que têm limite, em cada ponto de seu domínio, igual ao valor da função no ponto. O gráfico uma função contínua não tem quebras, saltos ou furos, ou seja, pode ser traçado sem levantar a ponta do lápis do papel. Definição: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a, se as seguintes condições forem satisfeitas: i) f é definida no ponto a ii) lim a f eiste iii) lim a f f a Se f não satisfizer alguma destas condições, dizemos que a função f é descontínua em a ou que f tem uma descontinuidade no ponto a. Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo, se f for contínua em todos os pontos desse 8
intervalo. Eemplo : Faça o gráfico e determine, se eistirem, os valores de, nos quais a função é descontínua: 0 5 a) f 3, se, se, se - - 0 3 0 5 b) f,se,se - - 3 c) f 3,se 3,se - - - - -3 d) g 3, se, se, se -3 - - 3 - - Teorema: Todos os polinômios são contínuos para todo valor de. Uma função racional é contínua em 9
qualquer ponto onde ela é definida, isto é, em todos os pontos, eceto naqueles para os quais um ou mais de seus denominadores se anulam. Eemplo : 00 50 f 3 3 - - -50-00 é função contínua para todo. Lista de Eercícios 6: ) Dados os gráficos de f() e g() abaio, estabeleça os números nos quais as funções são descontínuas e eplique por quê. f() g() Faça o gráfico e determine, se eistirem, os valores de nos quais a função f é descontínua: 30
)f 0,se 0,se 0 - - 0 - - - 3)f,se,se - -6 8 6 )f 3,se 3,se 3-0 3 5 0 5 5)f,se 3,se 3 - -5 3
6)f 6,se 6,se - - - 6,se 5 7)f,se 0,se - - -5 8)f,se 0,se 0 - - - - 9)f 3,se 3,se 3 3 0 0 3 5 Traçado de Gráficos de Funções Racionais: Roteiro: Passo: Se a função racional é dada como uma soma de quociente de polinômios, reunimos os termos num único quociente de polinômios, tomando o mínimo múltiplo comum. 3
Passo: Determinar lim f e lim f. Se esses limites são um número finito L, então L é uma assíntota horizontal. Assíntota Horizontal: A linha reta horizontal b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: lim f b ou lim f b 3 Passo: Determinar os valores de para os quais o numerador da função é zero. São os pontos onde o gráfico intercepta o eio dos. Passo: Determinar os valores de para os quais o denominador da função é zero, que é onde a função tende a ou, determinando uma assíntota vertical. 5 Passo: Os valores de encontrados no 3 e passos são os pontos onde a função pode mudar de sinal. Esses pontos determinam os intervalos. Determinamos, então, se a função é positiva ou negativa em cada um desses intervalos, calculando seu valor num ponto de cada intervalo. Assíntota Vertical: A linha reta vertical a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: i) lim a f ii) lim a f iii) lim a f iv) lim a f Eemplo : Ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e trace este gráfico: 8 6 a) f 3 - - - b) f 3 - - - 33
Continuidade de funções racionais: Eemplo : Determine se f é contínua em : - - - - Eemplo 3: Verifique se f, se 0, se 0 é contínua em 0 : 5 3 - - - Eemplo : Em qual dos seguintes intervalos f é contínua? a) [, b) (-, c) (, d) [, ] Eemplo 5: A função g é contínua para todo, eceto para 0 e, que é onde zera o denominador. Esboce o gráfico e justifique sua resposta. R.: - - - - -6-8 Lista de Eercícios 7: Faça o gráfico e determine, se eistirem, os valores de nos quais a função f é descontínua: 3
)f, se, se - - -, se ) g, se 0, se - - - - )f,se 0,se -3 - - 3 - - 3)f,se 5 5 0,se 5-6 - - - 35
0-6 -5 - -3 - - 3 5-0 ),, -0 8 6 5), 0, -5 - -3 - - 3 5 - - -6 3 6) 3,, -5 - -3 - - 3 5 - - -3 36
8 6 7), 3 9, 3-0 -8-6 - - 6 8 0 - - -6-8 6-5 - -3 - - 3 5-8) - 6-5 - -3 - - 3 5-9) - Derivadas: Derivada de f em 0 é o coeficiente angular da reta tangente. Notação: f 0. Para calcular o coeficiente angular da reta tangente a f em 0, tomamos a reta secante passando por P 0,f 0 e um segundo ponto Q, f qualquer. 37
Aproimando de 0, a reta secante se aproima da reta tangente. Temos o coeficiente angular da reta secante: f f f 0 0 para 0 Então, ao 0, teremos o coeficiente angular da reta tangente: f 0 lim 0 f f 0 0 desde que o limite eista e seja finito. Caso contrário, dizemos que f não tem derivada em 0. Eemplo : a) Calcule a derivada da função f em : b) Calcule a derivada da função f em : E em? Notação de Leibniz: f 0 df 0 d Mudança de variável: 0 0. Assim, f f 0 0 f 0 f 0 E, ao 0, 0 : df 0 f f lim 0 d 0 0 df 0 d lim 0 f 0 f 0 Eemplo : Usando a fórmula de Leibniz, calcule a derivada da função f 3, em. 38
Resp.: f. Observação: Funções deriváveis são contínuas, mas nem toda função contínua é derivável. Eemplo 3: Usando a primeira fórmula estudada, calcule a derivada da função abaio em : 7, se f 3, se Eemplo : Idem para f em 0 : Eemplo 5: Idem para f 3 em 0 : A Derivada Como Uma Função: Se considerarmos a derivada de f em e fizermos variar, obtemos a função derivada df d coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto,f. df f f lim, obtida substituindo d 0 0 por., onde df d é o Eemplo 6: Calcule a derivada de f para 0 : Eemplo 7: Calcule a derivada de f 3 : * Regras de Derivação: - Derivada de n : Definição: Para qualquer constante racional n, a derivada da função n é Eemplo : Calcule d d. Resposta: d n d nn - Derivadas de Combinações Lineares de Funções: Sejam A e B constantes: d d Af Bg A d d f B d d g Eemplo : Calcule a derivada de d d 6 3 5. Para que valores de eiste a derivada? - Regra do produto: Se as funções f e g têm derivadas em, então seu produto também tem derivada e vale: 39
Eemplo 3: d d 3 3 6 d d f. g f d d g g d d f - Regra do quociente: Se as funções f e g têm derivadas em e se g não é zero, então o quociente f g derivada em e vale: df d f g d d g f dg d g também tem uma Eemplo : Calcule a derivada de d d : - Derivada de Funções Especiais: d d sen cos d d d cos sen d d tan d sec d cot d csc d d e e senh e e senh cosh d cosh senh d d tanh d sech d csc csccot d d ln d cosh e e Lista de Eercícios 8: ) Usando a definição de derivada (fórmula de Leibniz), calcule as seguintes funções: a)f, em 3 Resp.: f 3 3 b)g, em 5 Resp.: g 5 9 c)h 5, em Resp.: h 6 d)f Resp.: f e)f 5 3 Resp.: f 5 f)g Resp.: g ) Calcule a derivada, usando a regra adequada:.) 5 3 6 7 Resp.: 5 7.) 7 3 5 Resp.: 7 6 6 0
.3) 3 3 Resp.: 3 9.) Resp.:.5) 3 3 3 Resp.: 3 3 3.6) 3 3 Resp.: 3 3 3.7) Resp.:.8) 3 Resp.: 3 3 3.9) 3 Resp.: 3 3.0) 3 3 Resp.: 3 3 Velocidade Média: Definição: Se um objeto está a s f t quilômetros no instante t horas, então sua velocidade média durante o intervalo de tempo entre os instantes t 0 e t t 0 t é: velocidade média distância percorrida tempo gasto v m f t f t 0 t t 0 Unidade: quilômetros/hora. Eemplo : Uma motocicleta está a 6 t 3 de um posto de gasolina. Qual é a velocidade média da motocicleta durante o intervalo de tempo t? Velocidade Instantânea: Definimos a velocidade de um objeto em t 0 como o limite quando t tende a t 0, que é a derivada da função de deslocamento f t em t 0. Eemplo : Calcular a velocidade da motocicleta do eemplo anterior em t : Observação : Se a função deslocamento é crescente, a velocidade é positiva e se o deslocamento for decrescente, a velocidade é negativa. Eemplo 3: Seja s 5 5t. Calcule s e s : Observação : A velocidade é a taa de variação do deslocamento e a taa de variação da velocidade é a aceleração.
Eemplo : Uma frente fria aproima-se de uma região. A temperatura é T graus t horas após a meia-noite e T 0, 00 0t t, 0 t. a) Ache a taa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h: R.: T -,9 graus/h b) Ache a taa de variação de T em relação a t às 5h: R.: -3 graus/h. Eemplo 5: Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com velocidade inicial de 6 m/s. Se o sentido positivo da distância do ponto de partida é para cima, a equação do movimento é s 6t 6t com t em segundos e s em metros. a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de s. R.: 3 m/s b) Ache a aceleração instantânea da bola ao final de s. R.: -3 m/s c) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto? R.: s d) Qual a altura máima atingida pela bola? R.: 6 m e) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo? R.: s f) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão. R.: -6 m/s. Lista de Eercícios 9: ) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t segundos. Ache a velocidade instantânea v t cm/s em t segundos e então ache v t para o valor de t dado: a) s 3t ;t 3 Resp.: 6t;8 b) s t ;t Resp.: t ; c) s t 3 t 5;t Resp.: 6t t;8 d) s t t ;t 0 Resp.: 8 t ; ) Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s 6t, onde s cm é a distância do objeto ao ponto de partida em t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 56 cm de altura, ache a) a velocidade instantânea da pedra s. depois de iniciada a queda; Resp.: 3 cm/s b) a velocidade instantânea da pedra s. depois da queda; Resp.: 6 cm/s c) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? Resp.: s d) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Resp.: 8 cm/s. 3) Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição inicial após t segundos, então s 00t 00t. Com qual velocidade a bola atingirá a tabela da posição inicial que está a 39 cm? Resp.: 60 cm/s. ) Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s t 0t, onde o sentido positivo é o de descida do plano inclinado. a) Qual será a velocidade instantânea da bola em t s.? Resp.: 0t.
b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 8 cm/s? Resp.:, s. - Regra da Cadeia (para funções compostas): Sejam g e u funções de uma variável real. A derivada da composta g u é dada por: d g u d d du g u. d u d Eemplo : Calcule a derivada de Eemplo : Calcule a derivada de 3 0 Eemplo 3: Calcule a derivada de Eercícios: Calcule a derivada de: 3 7 9 ) cos R.: cos sen ) sen 3 R.: sen cos 3) e R.: e ) ln R.: 5) e 3 3 3 R.: 3e 3 3 3 8e 3 3 - Derivada Segunda ou de Ordem : A derivada segunda de uma função f é a derivada de sua derivada (primeira) f. Notação: f" d f d df d d d Eemplo : Calcule a derivada segunda de f 5. - Derivadas de ordem superior: Seja f uma função derivável: f é a derivada primeira de f f é a derivada segunda de f f é a derivada terceira de f f n é a derivada enésima de f. Eemplo : Ache todas as derivadas da função f 3 7. Eemplo 3: Calcule d3 d 3 sen 3 cos 3 : 3
- Aceleração instantânea: É a taa de variação instantânea da velocidade. Se v (velocidade) é dada em cm/s, a (aceleração) será dada em cm/s. v ds dt e a dv dt ou a d s dt Eemplo : Se s t t, v t t e a t 3 t 3 - Derivação implícita: Função eplícita: 3 5 Função implícita: 3 0 Eemplo : Dada a função 6 3 6 5, calcule usando derivação implícita: Para derivarmos o segundo membro, usamos a regra da cadeia! Resp.: d d 6 5 8 5 5 Eemplo : Calcule a derivada da equação 3 7 3 8. Resp.: d d 7 3 3 6 8 Eemplo 3: Dada, ache d d. Resp.: d d 3 3 Eemplo : Dada cos cos, ache d d. Resp.: d d sin cos cos sin Lista de Eercícios 0: ) Calcule a derivada segunda das seguintes funções:.) 6 Resp.: 30.) Resp.: 3.3) 3 3 Resp.: 8.) ep Resp.: ep.5) 3 Resp.: 6 ) Ache f se f. Resp.: f 8 5 3) Ache f 5 se f cos sin. Resp.: f 5 3 sin cos
) Dada, mostre que d d 3. 5) Dada 5 00, mostre que d d 5 3. 6) Dada 3 3, mostre que d d 5. 7) Uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada. Ache a velocidade e a aceleração em função do tempo t. a) s 6 t3 t 6t Resp.: v t t 6;a t b) s 5 6t 3 5 t5 Resp.: v 000 6t 3 t ;a 6000 6t 3 3 8t3 c) s 9t t Resp.: v 8t t ;a 8 t 3 d) s 9 t 3 t Resp.: v 3 t t ;a 3 t t 3 8) Ache d d por derivação implícita: ) d 6 R. : d ) 3 3 d 8 3 8 R. : d 3 8 3) R. : d ) R. : 5) R. : d d d d d Taas Relacionadas: São problemas envolvendo taas de variação de variáveis que estão relacionadas. Eemplo : Uma escada com 5 u.c. (unidades de comprimento) está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 u.c. por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 5 u.c. da parede? Resp.:-9/ u.c./s. Eemplo : Um tanque tem a forma de um cone invertido com 6 m. de altura e uma base com m. de raio. A água flui no tanque a uma taa de m 3 /min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m.?( Volume do cone r h 3 ). Resp.: 3 5 m/min. Eemplo 3: Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a 90 km/h e o outro seguindo a direção sul a 60 km/h. Qual a taa segundo a qual eles se aproimam um do 5
outro no instante em que o primeiro carro está a 0, km do cruzamento e o segundo a 0,5 km? Resp.: -08 km/h. Eemplo : Dada cos 5, onde e são funções de uma terceira variável t. Se d dt quando 3. Resp.: - 3 5, ache d dt Lista de Eercícios : A) Nos eercícios de a, e são funções de t: ) Se 3 8 e d dt, ache d. Resp.: -3 dt ) Se 0 e d dt 0, ache d dt quando. Resp.: - 3) Se sin cos 5 e d dt, ache d dt em 3, 3. Resp.: 3 ) Se 5 e d dt 3, ache d dt quando. Resp.: 3 B) Uma pipa está voando a uma altura de 0m. Uma criança está empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada com que velocidade a linha estará sendo dada, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? Resp.: 9 5 m/s. C) Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taa de 8cm 3 /min. Ache a taa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tiver cm de diâmetro. (Lembre que volume da esfera é r3 3 ). Resp.: cm/min. D) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taa de 0m 3 /min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura? (Lembre que volume do cone r h 3 ). Resp.: 5 m/min. 8 E) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taa de 0,00 cm por dia, qual será a taa de aumento do volume do tumor naquele instante? Resp.: 0,00 cm 3 /dia. F) Para o tumor do eercício E), qual será a taa de crescimento da sua área quando seu raio for 0,5 cm? 6
(Lembre que A r ). Resp.: 0,00 cm /dia. G) Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taa de 6m 3 /min. A altura do cone é de m e o raio da base é de m. Ache a velocidade com que o nível de água está abaiando, quando a água tiver uma profundidade de 0m. Resp.: 6 5 m/min. H) Uma bicicleta está 6, km a leste de um cruzamento, movimentando-se em direção ao cruzamento à taa de, km/h. No mesmo instante, uma segunda bicicleta está a,8 km ao sul do cruzamento e se afasta do cruzamento à taa de 6 km/h. A distância entre as bicicletas estará crescendo ou descrescendo, neste instante? A que taa? Resp.: Decrescendo a,9 km/h. I) Um petroleiro avariado tem um vazamento de óleo cubrindo uma área circular A de raio r. Se a área cresce à taa de 0000 m /h,qual a taa que o raio estará se epandindo quando o raio for igual a km? E quando o raio atingir o valor de km? Resp.: 0,8 m/h e 0, m/h J) Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baio. O topo tem 3 metros de raio e o tanque tem metros de altura. O tanque está sendo cheio com água a uma taa de 0,89 m 3 /min, quando há, m de altura de água no tanque. A que taa estará aumentando esta altura, neste momento? Resp.: 0 m/min. K) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,0 cm/min. Determine a taa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm. Resp.: 0,5 cm /min. L) A área de um círculo está descrescendo à taa de 5 m /s, quando seu raio é igual a 3 m. A que taa está decrescendo o raio, neste instante? Resp.: Decresce a 5 6 m/s. M) Em determinado instante, o raio da base de um cone circular reto é 0 cm e está crescendo à taa de,5 cm/s, enquanto que a altura do cone é de 7,5 cm e está decrescendo à taa de 5 cm/s. O volume do cone está crescendo ou decrescendo, neste momento? A que taa? Resp.: Crescendo a uma taa de 5 cm 3 /min. Aplicações da derivada: Teste da derivada primeira: Se a derivada f eite e é positiva para todo em um intervalo aberto, então a função é crescente neste 7
intervalo. Se f é negativa no intervalo aberto, então a função é decrescente. Eemplo : Dada a função f, cujo gráfico é abaio representado, 8 6-3 - - 0 3 Sua derivada é f. Observe que f é positiva para 0 e f é negativa para 0. Máimos e mínimos (Etremos das funções): Uma função f tem um máimo relativo (ou local) em 0, se f f 0 para todo em um intervalo aberto contendo 0. A função tem um mínimo relativo (ou local) em 0, se f f 0 para todo em um intervalo aberto contendo 0. Pontos Críticos: O ponto 0 é um ponto crítico de uma função f, se f é definida em um intervalo aberto contendo 0 e f 0 é zero ou não eiste. Eemplo : Ache os pontos críticos da função: f 3 0 5 0 5 Eemplo 3: f 5-3 - - 3 Resp.: 3/8 8
0 8 6-5 - -3 - - 3 5 - Eemplo : s t t 3 t 0t - Resp.: nenhum 0 0-5 - -3 - - 3 5-0 Eemplo 5: F w w 3w -0 Resp.: -, 5/3 0 0-5 - -3 - - 3 5-0 -0 Resp.: Aplicações da derivada - Traçado de gráficos: Teste da derivada segunda: Concavidade: Se a derivada segunda f é positiva num intervalo aberto, então o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima neste intervalo. Se f é negativa no intervalo, o gráfico de f tem a concavidade voltada para baio. Ponto de Infleão: Um ponto 0,f 0 do gráfico de f é um ponto de infleão, se f 0 0 ou o gráfico tem uma reta tangente vertical em 0. 9
Eemplo 6: Trace o gráfico da função f. Mostre os pontos críticos e os etremos da função: 0 5-5 - -3 - - 3 5 Resp.: -5 Eemplo 7: Trace o gráfico da função f 3 3. 0 5-5 - -3 - - 3 5-5 Resp: -0 Lista de Eercícios : Encontre os pontos críticos e de infleão. Esboce o gráfico: ) f 3 7 5 80 60 0 0-8 -7-6 -5 - -3 - - ) f 3 6-0 50
0 0-3 - - 3-0 -0 3) f 3 0 5 - -3 - - -5 ) f 3-0 0 0-5 - -3 - - 3 5-0 5) f 8-0 -3 - - 3 - - -6-8 -0 - - 6) 3 3 5 5 5
-5 - -3 - - 3 5 - - 7) 3 3-5 - -3 - - 3 5 - - 8) 5-5 - -3 - - 3 5-5 -0 9) 3 3 3 5
-5 - -3 - - 3 5 - - Máimos e Mínimos absolutos (Globais): Roteiro para encontrar o máimo e o mínimo de uma função contínua f em um intervalo fechado a, b ) Encontre os pontos críticos de f. ) Calcule f em cada ponto crítico em a, b 3) Calcule f nos etremos do intervalo a, b ) O menor desses valores é o mínimo e o maior é o máimo. Eemplo : Encontre o máimo e o mínimo de f 3 3 em,. Eemplo : Calcule os etremos das funções: a) f 3 em, R.: Mín.: (,) Má.: (-,8) b) f 5 em 0, 5 R.: Mín.: (0,5/3) Má.: (5,5) 3 c) f 3 em 0, 3 R.: Mín.: (0,0) e (3,0) Má.: (3/,9/) Lista de Eercícios 3: ) Calcule os etremos das funções: a) f 3 3 em, 3 R.: Mín.: (-,) e (,-) Má.: (0,0) e (3,0) b) f s em 0, R.: Mín.: (,-) Má.: (0,-/) s ) Eplique porque a função f tem um máimo em, mas não em 0,. 3) Eplique porque a função f tem um mínimo em 0, mas não em,0. ) A potência P de uma bateria de automóvel é dada por P VI I r, para uma voltagem V, corrente I e resistência interna r da bateria. Que corrente corresponde à potência máima? Resp.: I V r 5) A tosse faz com que a traquéia se contraia, afetando assim a velocidade com que o ar passa por ela. Suponha que a velocidade do ar ao tossir seja descrita pela fórmula v k R r r ; onde k é uma constante, R é o raio normal da traquéia e r é o raio da mesma durante a tosse. Que raio produz a maior velocidade? Resp.: r R 3 53
6) A concentração C de uma certa substância química no fluo sangüíneo em t horas após ser injetado no músculo é dada por C 3t. Em que instante a concentração será máima? Resp.:,38 horas. 3 7 t 7) Após a administração de uma substância química, sua concentração no fluo sangüíneo do paciente durante um intervalo de duas horas é da forma C 0,983t 0,053t 0,00035t 3, onde C é medido em miligramas e t é o tempo em minutos. Encontre os intervalos abertos em que C cresce ou decresce. Resp.: Crescente quando 0 t 8, 3388 minutos. Decrescente quando 8,3388 t 0 minutos. Diferencial Até aqui, estudamos várias aplicações em problemas de derivadas, como máimos e mínimos, taas relacionadas, etc. Agora estudaremos a relação entre o incremento e a derivada. Isto ocorre quando precisamos fazer uma estimativa da variação em f devida a uma variação em. A variação em (variável independente) é chamada de incremento, isto é, varia de para. A variação em (variável dependente), onde f, é chamada de incremento, para obtê-lo devemos subtrair o valor inicial de de seu novo valor: f f Vejamos, agora, qual a alteração que ocorre no valor de, se este continuasse a variar à taa fia f, enquanto o valor da variável independente passa de para. A esta alteração de, chamaremos de diferencial de e representaremos por d: d f ou d f d Note que d é uma função linear, por isso é chamada aproimação linear do incremento. Eemplo : comparando e d Considere a função f. Encontre: a) d quando e d 0, 0 b) quando e 0, 0 c) compare d e. Eemplo : Aplicação Um tumor no corpo de uma pessoa tem a forma esférica, tal que se r cm for o raio e V cm 3 for o volume do tumor, então V 3 r3. Use diferencial para encontrar o aumento aproimado no volume do tumor quando o raio passa de, 5 para, 6 cm. Resp.: 0,9 cm 3 As aproimações de e d são muito usados por físicos e engenheiros. Um dos usos dessa aproimação é na estimativa de erros em equipamentos de medidas. Eemplo 3: Aplicação O raio de uma esfera tem cm, com um erro de medida possível de no máimo 0,05 cm. Qual é o erro máimo cometido ao usar esse valor de raio para computar o volume da esfera? Resposta: 77 cm 3. 5
Nota: Embora o erro possível no eemplo 3 possa parecer muito grande, umaidéia melhor dele é dada pelo erro relativo, que é computado dividindo-se o erro pelo volume total. No caso do eemplo anterior: V dv 3 dr V V r Assim, o erro relativo no volume é cerca de três vezes o erro relativo no raio. No eemplo 3, o erro relativo no raio é aproimadamente dr r 0,05 0,00 e produz um erro relativo de cerca de 0, 007 no volume. Os erros também podem ser epressos como erros percentuais de 0,% no raio e 0, 7% no volume. Eemplo : Aplicação Foi medido o raio na etremidade de uma tora e encontra-se 35 cm, com um erro de até 0, cm. Use diferenciais para calcular o erro máimo possível no cálculo da área de superfície na etremidade da tora. Resposta: 7 cm. Lista de Eercícios : Usando o novo conceito definido e a aproimação apresentada resolva os eercícios: ) Encontre d em termos de e d: a) 3 b) 3 c) d) e) tan sec ) Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo, tal que se r cm for o raio e A cm for a área da queimadura, então A r. Use diferencial para encontrar o decréscimo aproimado da área da queimadura quando o raio passa de para 0,8 cm. 3) Use diferenciais para calcular o valor aproimado da 6,5. ) A área de um quadrado de lado é dada por A. a) Calcule da e A em termos de e. b) Faça uma figura para identificar a região cuja área é da c) Use a mesma figura para identificar a região cuja área é A da 5) Um empreitero concorda em pintar ambos os lados de 000 sinais circulares, com 3 cm de raio cada um. Depois de receber os sinais, descobre que na realidade o raio de cada sinal tem um cm a mais. Use diferenciais para encontrar uma porcentagem aproimada da quantidade adicional de tinta que será necessária. 6) Determine a variação da voltagem V RI de uma lanterna com resistência R 0 ohms, se a corrente I for aumentada de 3 amperes para 3, amperes. 7) Mede-se o raio de uma bola esférica, obtendo-se 0 cm, com erro máimo de 6 máimo resultante no cálculo do volume? cm. Qual é o erro 8) Quando o sangue flui ao longo de um vaso sangüíneo, o fluo F (o volume de sangue por unidade de tempo passando por um dado ponto) é proporcional à quarta potência do raio R do vaso: F kr (Isso é conhecido como a Lei de Poiseuille). Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma 55
operação chamada angioplastia, na qual um cateter do tipo balão é inflado dentro da artéria a fim de aumentá-la e restaurar o fluo normal do sangue. Mostre que a variação relativa em F é cerca de quatro vezes a variação relativa em R. Como um aumento de 5 % no raio afeta o fluo do sangue? Respostas: ) a) d 6d b) d d c) d 3 d d) d d e) d tansec tan sec d ) 0, cm 3) 6, 065 ) a) da e A 5) 66 % 6) 6 V 7) 5 cm 3 8) 0 %. 56