1 II. 2 Mecânica Newton 1. U partícula carregada co carga q quando colocada nu capo eléctrico E fica sujeita a ua força F = q E. Considere o oviento de u electrão e u protão colocados nu capo eléctrico E = 10 e x (N/C). No instante inicial, tanto o electrão coo o protão encontra-se parados nu ponto co coordenadas x o = 0, y o = 0. (a) Qual a força que actua no electrão? E no protão? Copare as forças. (b) Qual a aceleração a que fica sujeito o protão? E o electrão? Copare as acelerações. (R: a p = 10 9 s 2 ; a e = 1.76 10 12 s 2 respectivaente) (c) Qual a velocidade e as coordenadas do vector posição para o electrão ao fi de 10 10 segundos? (d) Considere u caso diferente, noeadaente e que no instante inicial a velocidade do protão é v o = 0 e x +1000 e y (/s). Qual a velocidade e as coordenadas do vector posição ao fi de 10 10 segundos? 2. U partícula carregada co carga q e co velocidade v quando colocada nu capo agnético B fica sujeita a ua força F = q v B. Considere que u electrão e u protão são colocados nu capo agnéctico B = 1 e z (G). No instante inicial as velocidades tanto do electrão coo do protão são v o = 2500 e x +1300 e z (/s) e as partículas passa nu ponto co coordenadas x o = y o = z o = 0. (a) Represente esqueaticaente as forças que actua no protão pelo eixo dos zz e no plano xy. (b) Qual o oviento pelo eixo dos zz? (c) Quais as características do oviento no plano xy? (d) Responda às perguntas anteriores considerando que a partícula é u electrão. Copare o oviento do protão co o oviento do electrão. 3. Considere as duas diferentes situações e que ua ala está suspensa por dois dinaóetros coo representado na Fig.1. FIG. 1: Ligação de dinaóetros e série e e paralelo Represente as forças que actua na ala e abas as situações representadas. Na figura do lado esquerdo o dinaóetro que segura a ala directaente indica 30 kgf. Quanto indica os dinaóetros na figura do lado direito se os dinaóetros estivere sietricaente colocados? 4. U quadro está suspenso do tecto coo indicado na figura 2. O quadro pesa 5kgf. (a) Escolha o sistea de coordenadas para estudar o coportaento do sistea (quadro). (b) Escreva a equação de Newton por coponentes para o quadro. (c) Se o quadro estiver parado, calcule a expressão e calcule o valor de T 1. O eso para T 2. Considere = 35 o e θ = 25 o 5. U assa desloca-se ao longo de u plano inclinado nu oviento de translação se atrito, coo está representado na figura 3.
2 Τ 1 T 2 θ FIG. 2: Quadro artisticaente suspenso A h FIG. 3: Moviento de translação ao longo de u plano inclinado se atrito (a) Represente as forças que actua e. (b) Escolha o sistea de coordenadas que elhor se adapta, na sua opinião, ao estudo do oviento de. (c) Escreva as equações de Newton (para cada eixo de coordenadas) para a assa. (d) Deterine a expressão para a aceleração de. (e) Considere que a assa parte inicialente de u altura h = 50c co velocidade nula e que = 30 o é o ângulo entre o plano inclinado e a horizontal. Calcule a velocidade co que chega ao fi do plano inclinado. Quanto tepo deora até chegar ao fi do plano inclinado? A B FIG. 4: Roldanas 6. Duas assas 1 e 2 estão ligadas por u fio e suspensas coo indicado na figura 4. Considere inicialente a situação A (esquerda na figura 4). (a) Represente as forças que actua na assa 1 e na assa 2 separadaente. (b) Escolha o elhor sistea de coordenadas para estudar o oviento de cada ua das assas. (c) Escreva a Leis de Newton para cada ua das assas. (d) Escreva as condições que relaciona o oviento das duas assas. (R: Acelerações iguais.) (e) Resolva os sistea de equações que se obté e deterine a aceleração de cada ua das assas e a tensão aplicada e cada ua. R: a = (1 2)g 1+ 2 ;T = 212 g 1+ 2
(f) Analise o coportaento do sistea e situações liite, noeadaente: i. 1 = 2 (R: a = 0;T = 1 g) ii. 1 2 (R: a 2 = g;t = 0) iii. 1 2 (R: a 1 = g;t = 0) iv. Reova a assa 1 do sistea e e alternativa considere que vai segurar a corda. Qual a força que terá de fazer para anter o sistea e equilíbrio se 2 = 20kg? (R: F = 200N) v. E alternativa ao caso anterior, considere que reove a assa 2 do sistea e vai segurar a corda. Qual a força que terá de fazer para anter o sistea e equilíbrio se 1 = 20kg? Copare co o caso anterior. (R: F = 200N) 7. Duas assas 1 e 2 estão ligadas por u fio e suspensas coo indicado na figura 4. Considere a situação B (direita na figura 4). (a) Represente separadaente as forças que actua na assa 1 e na assa 2. (b) Escolha o elhor sistea de coordenadas para estudar o oviento de cada ua das assas. (c) Escreva a Leis de Newton para cada ua das assas. (d) Escreva as condições que relaciona o oviento das duas assas. (R: a 1 = 2a 2 ) (e) Resolva os sistea de equações que se obté e deterine a aceleração de cada ua das assas e a tensão aplicada e cada ua. R: a 1 = (41 22)g 4 1+ 2 ;T 1 = 312 g 4 1+ 2, 1 é o corpo da esquerda. (f) Analise o coportaento do sistea e situações liite, noeadaente: i. 1 = 2 (R: a = 2g/5;T = 3g/5) ii. 1 2 (R: a 2 = g;t = 0) iii. 1 2 (R: a 1 = g;t = 0) iv. Reova a assa 1 do sistea e e alternativa considere que vai segurar a corda. Qual a força que terá de fazer para anter o sistea e equilíbrio? (R: 2 g/2) v. E alternativa ao caso anterior, considere que reove a assa 2 do sistea e vai segurar a corda. Qual a força que terá de fazer para anter o sistea e equilíbrio? Copare co o caso anterior. 8. Duas assas 1 e 2 estão ligadas por u fio coo indicado na figura 5. 3 1 2 FIG. 5: Sistea co duas assas ligadas e plano inclinado (a) Represente separadaente as forças que actua na assa 1 e na assa 2. (b) Escolha o elhor sistea de coordenadas para estudar o oviento de cada ua das assas. (c) Escreva a Leis de Newton para cada ua das assas. (d) Escreva as condições que relaciona o oviento das duas assas. (R: a 1 = a 2 ) (e) Resolva os sistea de equações que se obté e deterine a aceleração de cada ua das assas e 1 2 sin a tensão aplicada e cada ua. R: a = 1+ 2 g; T = g 12(1+sin) 1+ 2 (f) Analise o coportaento do sistea e situações liite, noeadaente: i. = 0 o (represente esqueaticaente esta situação );
4 ii. = 90 o. Represente esqueaticaente esta situação e copare co o caso de duas assas suspensas por ua roldana, já resolvido anteriorente. iii. Reova a assa 1 do sistea e e alternativa considere que vai segurar a corda. Qual a força que terá de fazer para anter o sistea e equilíbrio? iv. E alternativa ao caso anterior, considere que reove a assa 2 do sistea e vai segurar a corda. Qual a força que terá de fazer para anter o sistea e equilíbrio? v. Qual a relação entre as assas para que o sistea esteja e equilíbrio? 9. Considere o pêndulo cónico representado na figura 6. O oviento do pêndulo verifica-se no plano xy. O copriento do fio é L e o fio faz u ângulo θ co a vertical. θ FIG. 6: Pêndulo cónico (a) Escolha u sistea de coordenadas para estudar o oviento do pêndulo. (b) Represente as forças que actua no pêndulo. (c) Calcule a expressão para a aceleração centrípeta do pêndulo. (d) Deonstre que o ódulo da velocidade do pêndulo é dado por v = gl sinθtanθ. (e) Calcule a velocidade angular e o período do pêndulo. (R: ω = g Lcosθ ;T = 2π/ω) 10. Ua pequena esfera de assa = 2g é deixada cair na água se velocidade inicial. Ao fi de algu tepo a esfera atinge a velocidade áxia de 5c/s. Na análise que se segue considere que a força de atrito é proporcional à velocidade, F = b v, sendo b o coeficiente de atrito. Menospreze a força de Arquiedes. (a) Deterine o coeficiente b da força de atrito. (R: b = g/v ax = 2/5) (b) Deterine ao fi de quanto tepo a esfera atinge etade da velocidade áxia. Coece por deonstrar que a velocidade depende do tepo coo v(t) = v ax (1 e b/t), onde v ax = g/b, g é a aceleração gravítica, é a assa da esfera. 11. Iagine ua roda de bicicleta que gira se deslizar sobre u plano. O ponto A, o centro da roda, desloca-se co ua velocidade v A. Qual a velocidade de qualquer ponto na extreidade da roda relativaente a A? Qual a velocidade do ponto B de contacto co o plano, relativaente ao plano? E a velocidade do ponto C na roda que é o oposto ao ponto de contacto co o plano? 12. Ua corda co ua assa na extreidade é posta a girar nu plano horizontal. Sabendo que a corda aguenta até ua tensão áxia T, calcule: (a) qual a velocidade áxia co que a bola pode girar se partir a corda; (b) a velocidade e o sentido da velocidade da bola no instante e que a corda se parte. Considere: copriento da corda: l = 20 c, assa da bola: = 50 g, tensão: T = 20N.
5 C A B FIG. 7: Roda de bicicleta 13. Qual a velocidade áxia de u carro nua curva sabendo que o coeficiente de atrito estático µ est = 0.5, assa do carro = 1500kg, raio da curva r = 35. Se o piso estiver olhado o coeficiente de atrito estático desce para µ = 0.187. Qual a velocidade áxia do carro e curva? Deonstre que a velocidade áxia não depende da assa do carro, otivo pelo qual a velocidade sugerida na sinalização das estradas não depende da assa dos carros. 14. Ua bola de ferro co = 0,5kg está presa a ua corda de copriento L = 1. A corda resiste, se partir, até ua tensão T = 200N. Faz-se girar a corda, co a bola na extreidade, inicialente no plano horizontal e posteriorente no plano vertical. (a) Qual a velocidade áxia co que a bola pode girar presa à corda, se que haja ruptura da corda, no caso e que a rotação se dá no plano horizontal, paralelo ao chão? Represente as forças que actua na bola e indique qual a responsável pelo oviento circular de rotação. (b) Qual a velocidade áxia co que a bola pode girar presa à corda, se que haja ruptura da corda, no caso e que a rotação se dá no plano vertical, perpendicular ao chão? Indique e que ponto da trajectória ocorre a ruptura para esse valor da velocidade de rotação. Represente as forças que actua na bola na parte superior e inferior da trajectória. (c) Calcule, para o prieiro caso (plano horizontal), a que distância do ponto de ruptura cairá a bola, se o oviento ocorrer a ua altura h = 1,9. Considere a velocidade inicial da bola igual à velocidade de ruptura. Menospreze o atrito do ar. Calcule a velocidade da bola quando toca no chão. Nota: se não conseguiu responder às perguntas anteriores, considere que e velocidade inicial da bola quando a corda se parte é v o = 5/s e x. 15. Considere a Terra ua esfera de raio R Terra = R e densidade constante. A força gravítica a que está sujeito u corpo de assa situado nu ponto no interior da Terra a ua distância r do centro da Terra depende unicaente da assa da Terra incluida nua esfera de raio r. R R Terra FIG. 8: (a) Qual a expressão para a força gravítica a que está sujeito u corpo de assa situado nu ponto no interior da Terra a ua distância r do centro da Terra? (b) Represente esqueaticaente a dependência da força gravítica a que está sujeito u corpo de assa sujeito ao capo gravitacioanal da Terra e função da distância r do centro da Terra. Considere no eso gráfico as situações R < R e R > R.
(c) Suponha que era possível construir u tunel circular de raio r, concêntrico co o centro da Terra, onde se pode deslocar se atrito u robot. Qual a velocidade que deveríaos ipriir ao robot para que o seu oviento tivesse duração infinita? Dê a resposta e função de r. (d) Qual a velocidade de ua nave e órbita sabendo que r é a distância ao centro da Terra. (e) Copare o odo coo nas duas situações anteriores a velocidade depende de r. 16. U avião e vôo cruzeiro prepara-se para fazer ua curva. Durante esta a anobra, representada 6 FIG. 9: Avião a fazer ua curva esqueaticaente na figura 9, o piloto terá que pôr o avião a fazer u ângulo co a horizontal. Se o ângulo durante a anobra de u avião puder toar u valor áxio de 45 o e o ódulo da velocidade do avião se antiver igual à velocidade e cruzeiro v = 900k/h, calcule o raio ínio da trajectória. Considere a assa do avião M=10 3 kg. Sugestão: relacione o ângulo co as forças que actua no avião durante a anobra. 17. Analise a figura 10 e tente copreender o oviento de u passageiro de u coboio nua ontanha russa durante a anobra de looping. FIG. 10: Montanha russa (a) Quais as forças que actua no passageiro no ponto ais alto da trajectória? (b) Quais as forças que actua no passageiro no ponto ais baixo da trajectória? (c) Copare a força que reacção noral que actua no passageiro por parte do banco no ponto ais alto da trajectória co a reacção noral que actua no passageiro por parte do banco no ponto ais baixo da trajectória. E que ponto a reacção noral pode ser nula e para que valor da velocidade do passageiro? (d) Qual deverá ser a velocidade no ponto ais alto para que o passageiro e o coboio consiga fazer o looping copleto se acidentes? (e) Qual seria a trajectória do passageiro se o coboio chegasse ao ponto ais alto co velocidade nula? 18. Suponha que, coo Engenheiro e por estar devidaente preparado, se candidatou ao seguinte Projecto: construção de u tapete rolante que perita o transporte de bagagens dos passageiros dos aviões desde o nível onde são descarregadas até ao nível onde pode ser recolhidas. Co o tapete rolante as bagagens serão elevadas 3 etros. (a) Qual poderá ser o copriento ínio do tapete rolante para que as bagagens suba o tapete se deslizar. Considere que o atrito estático áxio entre as bagagens e o tapete rolante é tipicaente µ = 0.57. Para resolver o problea represente esqueaticaente as forças que actua nua ala e deterine o angulo áxio que o tapete pode fazer co o chão.
(b) Considere que, por qualquer razão (por exeplo estética ou financeira) a epresa que o contratou lhe ipõe u liite áxio para o copriento do tapete rolante e que é inferior ao que deterinou na alínea anterior. Naturalente não vai perder a oportunidade de ostrar que consegue apresentar ua proposta alternativa e ainda ais copetitiva. Qual é essa proposta, i.e quais deverão ser os novos parâetros do sistea? Pode udar o que quiser as justifique be a resposta, de u odo convincente, pois espera-se 73 propostas e só será escolhida ua, talvez a sua. 19. Analise a figura 11. Qual o ângulo β co que se deve aplicar ua força nu trenó para subir ua encosta para que a força aplicar seja a ínia. 7 F β FIG. 11: Trenó Considere o coeficiente de atrito dinâico trenó-gelo µ = 0.5. O oviento do trenó faz-se co velocidade constante. (R: tan β = µ) 20. U partícula carregada co carga q e co velocidade v quando colocada nu capo agnético B fica sujeita a ua força F = q v B. Considere que u electrão e u protão são colocados nu capo agnéctico B = 1G e z. No instante inicial as velocidades tanto do electrão coo do protão são v o = 2500/s e x +1300/s e z e as partículas passa nu ponto co coordenadas x o = y o = z o = 0. (a) Represente esqueaticaente as forças que actua no protão pelo eixo dos zz e no plano xy. R: No instante inicial, a velocidade não te coponente segundo yy, pelo que a força no protão é F = qv 0x B e y. (b) Qual o oviento pelo eixo dos zz? R:Coo a força é perpendicular ao capo agnético, B, a coponente segundo zz é nula. O oviento ao longo deste eixo é unifore co velocidade v z = v 0z. (c) Quais as características do oviento no plano xy? R: Neste plano o oviento vai ser circular unifore: e cada instante a força é sepre perpendicular à coponente da velocidade neste plano, provocando ua aceleração centrípeta que encurva a trajectória as não altera o seu ódulo. Para o protão, usando o valor da força centrípeta e de F calculado acia, v2 0x R = F = qv 0xB R = v 0x qb (d) Responda às perguntas anteriores considerando que a partícula é u electrão. Copare o oviento do protão co o oviento do electrão. R: A força que actua no electrão te o eso ódulo que para o protão, no entanto coo a sua carga é negativa, no instante inicial, a força aponta no sentido positivo dos yy. Já quanto ao oviento segundo zz, ua vez que as forças não tê coponente segundo esta direção, o oviento tabé é unifore coo para o protão. No plano xy o oviento é tabé circular unifore, co duas diferenças iportantes: a) o sentido de rotação é o oposto; b) o raio da circunferência traçada pela projecção do oviento neste plano é uito enor ua vez que e p. Alé disso, vereos no coentário abaixo
que a velocidade angular do electrão é uito aior do que a do protão. Curiosidade: Podeos generalizar o trataento realizado e considerar que a partícula te coponentes da velocidade segundo xx e yy, sendo B perpendicular a v. Da equação da força, obteos F = q e x e y e z v x v y v z 0 0 B = qv yb e x qv x B e y Tendo e conta que F = a podeos escrever para cada coponente, dv x dt dv y dt = qb v y = qb v x Note que a razão qb/ te as diensões de T 1. Se voltaros a derivar e orde ao tepo abos as equações e após substituiros valores, te-se d 2 v x dt 2 d 2 v y dt 2 ( ) 2 qb = v x ( ) 2 qb = v y Ora ua das soluções possíveis para cada ua destas equações é v x = Acos(ω c t) v y = Asin(ω c t) onde ω c = q B/ se designa por frequência ciclotrónica ou de Laror e A é ua constante de integração. Fica assi ais claro que o oviento é circular. Por outro lado se atenderos ao valor das assas, veos que a frequência ciclotrónica dos protões é uito enor do que a dos electrões. 8