ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO BIOINSPIRADOS BASEADOS EM POPULAÇÕES PARA O PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO DE CARGA

Aas do XIX Cogresso Braslero de Automátca, CBA 2012. ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO BIOINSPIRADOS BASEADOS EM POPULAÇÕES PARA O PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO DE CARGA ADRIANE B. S. SERAPIÃO, RAQUEL K. ROCHA DEMAC/IGCE/UNESP Caxa Postal 178, CEP 13506-900 Ro Claro (SP) adrae@rc.uesp.br, raquelkrocha@gmal.com Abstract Ecoomc Load Dspatch s a problem that attempts to determe the optmal operatoal pot of thermal power geerato uts, whch are commtted to satsfy a gve demad ad that are subject to ther respectve operatoal costrats. The goal s to mmze the total cost of geeratg power system wth a tme terval, attedg the restrctos assocated wth the problem. Sce the troducto of the ecoomc load dspatch problem several methods have bee used to solve t. However, covetoal approaches, such as mathematcal programmg methods ad methods based o gradet, have ot show effectve results to solve the problem terms of the optmal soluto, because the soluto ofte may get trapped a local mmum due to oleartes heret the ecoomc load dspatch problem. To overcome these dffcultes, some recet algorthms based o evolutoary approaches ot yet tesvely explored are used ths work to solve the ecoomc dspatch load problem, characterzed as a optmzato problem wth olear, dscotuous ad restrcted objectve-fucto. The metaheurstcs appled for studyg the ecoomc load dspatch problem solvg were: Partcle Swarm Optmzato, Harmoy Search ad Frefly Algorthm. Keywords Ecoomc load dspatch, Swarm Itellgece, Partcle Swarm Optmzato, Harmoy Search, Frefly Algorthm. Resumo O despacho ecoômco de carga é um problema que procura determar o poto ótmo de operação de udades de geração termoelétrca que estão comprometdas a satsfazer uma demada e estão sujetas às suas respectvas restrções operacoas. A meta cetral do é mmzar o custo total de geração do sstema de potêca detro de um tervalo de tempo e ateder as restrções assocadas ao problema. Desde a trodução do problema de despacho ecoômco dversos métodos têm sdo utlzados para resolver este problema. Etretato, abordages covecoas como os métodos de programação matemátca e métodos baseados em gradete ão tem mostrado resultados efcetes à resolução do problema em termos de solução ótma, pos a solução frequetemete fca retda em armadlhas de mímos locas devdo às ão-leardades eretes ao problema do despacho ecoômco de carga. Para cotorar estas dfculdades, algus algortmos recetes baseados em abordages evolutvas, ada pouco explorados, são utlzados este trabalho para resolver o problema do despacho ecoômco de carga, caracterzado como um problema de otmzação com fução objetvo ão-lear, descotíua e com restrções. As metaheurístcas aplcadas ao estudo da solução do problema de despacho ecoômco de carga foram: Otmzação por Exame de Partículas, Busca por Harmoa e Algortmo de Vagalume. Palavras-chave Despacho ecoômco de carga, Itelgêca Coletva, Otmzação por Exame de Partículas, Busca por Harmoa, Algortmo de Vagalume. 1 Itrodução De acordo com Coelho & Mara (2006), os sstemas elétrcos são tercoectados de forma a obter os beefícos de custos mímos de geração, cofaça máxma e melhores codções operacoas, tas como compartlhameto de reserva de eerga, aprmorameto da establdade e operação sobre stuações de emergêca. Assm sedo, o problema de otmzação do despacho ecoômco de eerga elétrca é relevate para atedmeto de requstos de qualdade e efcêca a geração de eerga elétrca. O despacho ecoômco é um problema o qual se tem udades geradoras dspoíves e coectadas ao sstema de potêca. Durate a atvdade operacoal do sstema, esse deve ateder a uma prevsão de carga (demada do sstema), de modo que a soma das potêcas geradas pelas udades deve ser gual à carga total do sstema mas as perdas elétrcas (Dutra et al., 2010). O objetvo básco do problema de despacho ecoômco da geração de eerga termoelétrca é o escaloameto das saídas das udades de geração co- veadas para ecotrar a demada de carga cosumdora a um custo mímo de operação detro de um tervalo de tempo (tpcamete uma hora), satsfazedo as restrções eretes às udades geradoras utlzadas e as restrções de gualdade e desgualdade mpostas pelo problema (Abdo, 2003). O despacho ecoômco para a operação de grupos térmcos é descrto por um problema de programação matemátca multobjetvo que cosste em mmzar a fução que determa o custo de combustível (fução objetvo), ecotrado um perfl de geração ótmo, sujeto à satsfação da carga de eerga elétrca e aos lmtes téccos de operação dos grupos. O problema de despacho ecoômco possu característcas complexas e ão-leares com a preseça, mutas vezes, de restrções de gualdade e desgualdade. Dversos métodos têm sdo utlzados para resolver esse problema, desde que ele fo troduzdo, como por exemplo, método teratvo, téccas baseadas em gradete, método dos potos terores, programação lear e programação dâmca. Todava, as abordages covecoas usadas para a otmzação desse problema ão são adequadas, pos a 4219

Aas do XIX Cogresso Braslero de Automátca, CBA 2012. solução pode fcar retda em armadlhas de mímos locas (Coelho & Mara, 2006). Algus métodos heurístcos ão somete exploram as característcas dos problemas, como também especalmete fazem aaloga com outros métodos de otmzação ecotrados a atureza. Tas métodos heurístcos são chamados metaheurístcas (Glover & Gkocheberger, 2001) e depedem do problema a ser tratado. Dversos modelos do problema de despacho e- coômco de carga usado métodos metaheurístcos também já foram abordados em algus trabalhos da lteratura cetífca, cludo o emprego de métodos como algortmos geétcos (Walters & Sheble, 1993; Coelho & Mara, 2006), recozmeto smulado (Wog & Fug, 1993), busca tabu (L et al., 2002), otmzação de exame de partículas (Gag, 2003; Park et al., 2005), programação evolutva (Sha et al., 2003), otmzação extrema geeralzada (Dutra et al., 2010). O prcípo fudametal desses algortmos, também referecados como métodos bosprados, utlza um método costrutvo para a obteção da população cal (soluções factíves cas) e uma técca de busca local para melhorar a solução da população, cosderado que os dvíduos (soluções) dessa população são evoluídos de acordo com regras especfcadas que cosderam o tercâmbo de formações etre os dvíduos (Yag, 2008). Esse processo coduz a população em dreção à obteção de uma solução ótma. Tas algortmos são também cohecdos como algortmos de Itelgêca Coletva (Serapão, 2009). Este trabalho pretede utlzar três recetes métodos de otmzação evolutva bosprada resolver o problema de despacho ecoômco de carga, por causa da flexbldade e efcêca demostradas a solução de outros problemas NP dfíces, pos as abordages metaheurístcas permtem a serção de restrções de uma forma mas suave. Os métodos explorados este trabalho são: Otmzação por Exame de Partículas (Partcle Swarm Optmzato PSO) (Keedy & Eberhart, 1995), Busca por Harmoa (Harmoy Search HS) (Geems et al., 2001) e Algortmo de Vagalume (Frefly Algorthm FA) (Yag, 2009). 2 Modelagem do Problema de Despacho Ecoômco de Carga O propósto do problema de despacho ecoômco da geração de eerga termoelétrca é o escaloameto das saídas das udades de geração coveadas para ecotrar a demada de carga cosumdora a um custo mímo de operação, satsfazedo as restrções eretes às udades geradoras utlzadas e as restrções de gualdade e desgualdade mpostas pelo problema. O despacho ecoômco para a operação de grupos térmcos é descrto por um problema de programação matemátca multobjetvo que cosste em mmzar a fução que determa o custo de combustível (fução objetvo), ecotrado um perfl de geração ótmo, sujeto à satsfação da carga de eerga elétrca e aos lmtes téccos de operação dos grupos. Cosdere um parque de grupos térmcos com udades geradoras. O custo total de combustível a geração de eerga a ser mmzado é a soma das cotrbuções das udades geradoras dada por: m F ( P ) 1, (1) ode: F é a fução custo de combustível para a udade geradora (em $/h) e P (em MW) é a potêca forecda por essa udade. O custo varável de operação de cada udade poder ser expresso em fução da potêca de saída: sujeto a: F ( P ) a m P 2 P P P b P c, (2) max, (3) ode: a, b e c são restrções das característcas do gerador, e P m e P max são respectvamete as saídas de operação mímas e máxmas da udade geradora (em MW). A eerga gerada a partr de todas as udades comssoadas deve satsfazer à demada de carga, que é defda como: P PD PL 0 1, (4) ode: P D é a demada de carga total do sstema (em MW); P L é a perda de trasmssão (em MW). No despacho ecoômco de carga, as perdas de trasmssão do sstema devem calculadas como fuções das saídas das udades geradoras usado a matrz de coefcete B, da segute forma: PL BjPP j B 0P B00 j, (5) ode: B j é o j-ésmo elemeto da matrz de coefcete de perda, B 0 é o -ésmo elemeto do vetor de coefcete de perda e B 00 é a costate do coefcete de perda. A equação (3) represeta as restrções de desgualdade relatvas aos lmtes da capacdade de geração de potêca de cada udade geradora, equato que a equação (4) represeta as restrções de gualdade do balaço de potêca (ou seja, equlíbro etre suprmeto e demada). Os algortmos de otmzação baseados em colôas foram utlzados para mmzar a fução objetvo abaxo: m( f ) F ( P ) q1 abs P P D P L 1 1 (6) ode: q 1 é uma costate postva para pealzar as soluções que ão atedem ao equlíbro o balaço de carga. 4220

Aas do XIX Cogresso Braslero de Automátca, CBA 2012. Esta fução objetvo fo estabelecda para cotemplar ão apeas a dstrbução de carga as udades geradoras com custo baxo como também para satsfazer a restrção de gualdade do sstema. Dos ceáros dsttos foram vestgados o estudo de caso do despacho ecoômco de carga em um sstema termoelétrco. Os parâmetros utlzados os algortmos para o tratameto deste problema foram os mesmos dcados a Tabela 2. Em cada smulação realzou-se 5000 terações. 3 Algortmos de Otmzação Bosprados A segur apreseta-se um resumo sobre os algortmos de Itelgêca Coletva utlzados este trabalho: Otmzação por Exame de Partículas, Busca por Harmoa e Algortmo de Vagalume. 3.1 Otmzação por Exame de Partículas O algortmo PSO é uma técca de computação estocástca que fo proposto em 1995 por Keedy & Eberhart, baseado o comportameto de bados de pássaros. Os dvíduos da população são represetados por potos (x), deomados de partículas (p), que voam em um espaço de busca d, ode d é a dmesão do espaço, e represetam as soluções caddatas para um problema. As varações os atrbutos desses potos levam a ovos potos o espaço, ou seja, correspodem a movmetações o espaço do problema. Uma dea sprada em sstemas cogtvos é a de que essas partículas tederão a mover-se em dreção umas às outras e rão fluecar umas às outras. A maor parte dos algortmos de PSO empregam dos prcípos sóco-métrcos, que represetam dos tpos de formação mportate o processo de decsão. O prmero prcípo (g B ) coecta cocetualmete todos os membros de uma população etre s. Como cosequêca, o comportameto de cada partícula é fluecado pelo comportameto de todas as outras partículas. A seguda métrca (p B ) cra uma vzhaça para cada dvíduo composta por ele própro e seus vzhos mas próxmos. Ambas as métrcas são meddas por uma fução de avalação (f(p)), também chamada fução objetvo ou de aptdão (ftess), que correspode à optmaldade da solução do problema. Uma partícula p rá se mover em uma determada dreção que é fução da posção atual da partícula x (t), de uma velocdade v (t+1), da posção da partícula que levou ao seu melhor desempeho até o mometo (p B ), e do melhor desempeho global do sstema até o mometo (g B ). A velocdade da partícula é dada por: v (t+1) = v (t) + 1 rad() (p B x (t)) + 2 rad() (g B x (t)), (7) ode: é o peso de érca da partícula, escolhdo geralmete o tervalo [0, 1], que serve para lmtar a velocdade da partícula; 1 e 2 são costates lmtadas a um tervalo fto, deomados, respectvamete, como os compoetes cogtvo e socal ; rad() é um úmero aleatóro gerado o tervalo [0, 1]. Uma vez que a velocdade da partícula é calculada, a posção da partícula a próxma teração é estabelecda como uma fluêca adtva da posção atga e da velocdade calculada, sedo expressa por: x (t+1) = x (t) + v (t+1). (8) Para lmtar a velocdade de uma partícula para que o sstema ão extrapole o espaço de busca, são mpostos lmtes (v max ) para seus valores em cada dmesão (d) do espaço de busca: Se v > v max etão v = v max, Seão se v < v max etão v = v max. (9) O algortmo PSO é repetdo até que um crtéro de termação é atgdo ou as mudaças as velocdades das partículas estejam perto de zero. O pseudocódgo do algortmo, em sua forma orgal, é descrto o Algortmo 1. Algortmo 1: Procedmeto do PSO. 1) Determe o úmero de partículas P da população. 2) Icalze aleatoramete a posção cal (x) de cada partícula p de P. 3) Atrbua uma velocdade cal (v) gual para todas as partículas. 4) Para cada partícula p em P faça: a. Calcule sua aptdão fp = f(p). b. Calcule e melhor posção da partícula p até o mometo (p B ). 5) Descubra a partícula com a melhor aptdão de toda a população (g B ). 6) Para cada partícula p em P faça: a. Atualze a velocdade da partícula pela equação (7): b. Atualze a posção da partcular pela fórmula como em (8) e (9). 7) Se codção de térmo ão for alcaçada, retore ao passo 4. 3.2 Busca por Harmoa O algortmo de Busca por Harmoa, do glês Harmoy Search (HS), é uma metaheurístca baseada o processo de desempeho muscal que acotece quado um músco procura atgr um melhor estado da harmoa (Geem et al., 2001), assm como durate uma mprovsação do jazz. Na mprovsação muscal, cada músco toca um som qualquer do seu strumeto detro de uma extesão possível, produzdo juto um vetor de harmoa. Se todos os sos produzrem uma boa solução, esta experêca é armazeada em 4221

Aas do XIX Cogresso Braslero de Automátca, CBA 2012. cada memóra de varável e a possbldade de produzr uma boa solução é aumetada a próxma vez. O algortmo HS clu uma quatdade de operadores de otmzação, tas como a memóra harmôca (HM), o tamaho da memóra harmôca (HMS, úmero de vetores solução a memóra harmôca), o úmero de mprovsações (NI), a taxa de cosderação de memóra harmôca (HMCR), assumdo valor o tervalo [0, 1], e a taxa de ajuste do som (PAR), assumdo também valor o tervalo [0, 1]. No algortmo HS, a memóra harmôca (HM) guarda os vetores factíves (x ), os quas estão todos o espaço factível d, ode d é a dmesão do espaço. O tamaho da memóra harmôca determa quatos vetores podem ser armazeados. Um ovo vetor é gerado pela seleção aleatóra de compoetes de dferetes vetores da memóra harmôca. Se a ova harmoa é melhor que a por harmoa exstete a HM, a ova harmoa substtu a por harmoa da HM. Este procedmeto é repetdo até que uma harmoa fatástca seja ecotrada. Quado um músco mprovsa um som, geralmete ele segue uma das três regras: (1) tocar um tom de sua memóra, (2) tocar um tom próxmo a um som de sua memóra e (3) tocar um tom completamete aleatóro detro de uma escala possível. Smlarmete, quado cada varável de decsão escolhe um valor o algortmo HS, segue uma das três regras: (a) escolher qualquer valor da memóra HM (defdo como cosderações de memóra), (b) escolher um valor próxmo a um valor da memóra HM (defdo como ajustes de tom), e (c) escolher valor completamete aleatóro da possível extesão de valores (defdo como aleatoredade). As três regras o algortmo HS são drgdas efetvamete usado dos parâmetros, que são a taxa de cosderação da memóra harmôca (HMCR) e a taxa de ajuste de tom (PAR). HMCR geralmete é escolhdo o tervalo 0,7 0, 95 e PAR é comumete usado etre 0,1 0,5 a maor parte das aplcações. O ajuste de tom é realzado através da segute equação: x = x + b lm, (10) ode: x é uma harmoa presete em HM, b lm é a largura da bada do tom e é um úmero aleatóro gerado o tervalo [-1, 1]. Os passos o procedmeto da busca por harmoa são como descrtos a segur. Algortmo 2: Procedmeto da HS 1) Defr a fução objetvo f(x), x = (x 1,..., x d ) T. 2) Defr os parâmetros HMS, HMCR, PAR, NI. 3) Gerar as harmoas cas x ( = 1, 2,..., HMS) e guardar a memóra (HM). 4) Selecoe algumas das melhores harmoas da memóra (HM). 5) Se rad() > HMCR etão: a. escolha ao acaso uma harmoa exstete (x ); b. seão, se rad() > PAR etão:. ajuste o tom aleatoramete detro da escala toal, como a Eq. (10), produzdo x ;. seão, gere aleatoramete uma ova harmoa (x ). 6) Atualze HM se a ova harmoa (x ) for melhor que a atga (x ), fazedo x = x. 7) Retore ao Passo 4 até que o crtéro de termação seja satsfeto. Maores formações sobre este algortmo podem ser ecotradas em (Lee & Geem, 2005). 3.3 Algortmo de Vagalume O Algortmo de Vagalume (Frefly Algorthm FA) fo proposto por Yag (2008) e basea-se a característca de bolumescêca dos vagalumes. De acordo com Yag, embora a bologa ão coheça ada completamete a utldade das emssões lumosas dos vagalumes, três fuções já foram detfcadas: () como uma ferrameta de comucação e atração para acasalameto; () como uma sca para atração de evetuas presas para o vagalume; () como um mecasmo de alerta para potecas predadores, vsto que os vagalumes possuem um gosto amargo. As característcas de tesdade e termtêca da bolumescêca emtda pelos vagalumes para a atração de parceros o rto de acasalameto, assm como o feômeo de scrozação para a emssão dos flashes lumosos em um grupo de vagalumes, foram utlzadas para delear o algortmo computacoal baseado o comportameto destes setos. Três regras báscas foram dealzadas: (a) os vagalumes ão possuem sexo, de modo que qualquer vagalume poderá atrar ou ser atraído; (b) a atratvdade é proporcoal ao brlho emtdo e deca coforme aumeta a dstâca etre os vagalumes. Para dos vagalumes quasquer, o de meor brlho deve-se mover em dreção ao de maor brlho; (c) o brlho emtdo por um vagalume é determado pela sua avalação coforme a fução objetvo (.e., quato melhor avalado, mas brlhate). Deste modo, a tesdade de emssão de luz de um vagalume I(x ) é proporcoal à fução objetvo J(x ). Porém, a percepção da tesdade lumosa por um vagalume deca em fução da dstâca etre os vagalumes, devdo à absorção da luz pelo meo. A tesdade percebda por um vagalume é dada por: 2 r I( r) I e, (11) 0 ode: I 0 é a tesdade da luz emtda; r é a dstâca Eucldaa etre os vagalumes e j, sedo o vagalume mas brlhate e j o vagalume meos brlhate; e γ é o parâmetro de absorção da luz pelo meo. 4222

Aas do XIX Cogresso Braslero de Automátca, CBA 2012. A dstâca etre dos vagalumes e j as posções x e x j, respectvamete, é dada por: r j x x j d x k x k, j, k1 2, (12) ode: x,k é o k-ésmo compoete da coordeada espacal x do -ésmo vagalume e d é o úmero de dmesões. A fução de atratvdade de um vagalume é expressa como: m r ( r) e, com m 1 (13) 0 ode:, r é a dstâca etre dos vagalumes, β 0 é a atratvdade cal em r = 0, e γ é o coefcete de absorção que cotrola o decameto da tesdade de luz. A movmetação de um vagalume em dreção a outro vagalume j mas atratvo (mas brlhate) é defda por: 2 rj x x e ( x x ) ( rad() 1/ 2), (14) 0 j ode o prmero termo é a posção atual de um vagalume, o segudo termo é usado para represetar a atratvdade de um vagalume da tesdade de luz vsta por vagalumes adjacetes, e o tercero termo é usado para o movmeto aleatóro de um vagalume o caso de ão exstr ehum outro vagalume mas brlhate; é um fator de aleatoredade e rad() é um úmero gerado aleatoramete etre 0 e 1. A posção de cada vagalume utlzado o algortmo (represetada por x ) defe uma solução caddata. O pseudocódgo do algortmo de vagalume pode ser vsto a segur (Yag, 2008). Algortmo 3: Procedmeto do FA 1) Defr a fução objetvo J(x), x = (x 1,..., x d ) T. 2) Defr os parâmetros,, 0,, MaxGerações. 3) Gerar a população cal de vagalumes x ( = 1, 2,..., ). 4) Calcular a tesdade de luz I para x proporcoalmete a J(x ), como as Eq. (11) e (12). 5) Para cada vagalume x : a. Calcular o fator de atratvdade de acordo com e -^2, como em (13). b. Mover o vagalume x em dreção aos vagalumes mas brlhates, como em (14). c. Verfcar se o vagalume está detro dos lmtes. 6) Se o crtéro de covergêca for satsfeto, terme. Caso cotráro, retore ao passo 4. 4 Resultados Os algortmos PSO, HS e FA foram utlzados para resolver o problema de despacho ecoômco de carga em dos casos de teste para vestgar suas capacdades de otmzação. A segur apreseta-se uma descrção de cada um dos casos de testes avalados, também apresetados em Serapão (2009). 4.1. Casos de teste Smulação 1: Sstema com 3 udades geradoras O prmero estudo de caso refere-se a três udades geradoras. A demada de potêca (P D ) a ser ecotrada pelas udades geradoras é 150 MW. Os dados do sstema são apresetados a Tab. 1. Tabela 1 Dados para as três udades termas de geração sobre capacdade e coefcetes Udade A b c P m P max ($/MW 2 ) ($/MW) ($) (MW) (MW) 1 0,008 7 200 10 85 2 0,009 6,3 180 10 80 3 0,007 6,8 140 10 70 Para este sstema, as matrzes B dos coefcetes de perda a lha de trasmssão (com capacdade de base de 100 MW) são dadas respectvamete por: B j B 0,0218 10 2 0,0093 0,0028 10 3 0 0,3 B 00 = 0,030523. 3,1 0,0093 0,0228 0,0017 1,5, 0,0028 0,0017 0,0179, Smulação 2: Sstema com 6 udades geradoras No segudo ceáro, o sstema cosste de ses udades geradoras, com 26 barrametos e 46 lhas de trasmssão. O sstema forece uma demada de carga total (P D ) de 700 MW. Em relação ao caso 1, a complexdade e a ão-leardade do problema são aumetadas. Na Tab. 2 estão dcados os dados do sstema. Tabela 2 Dados para as ses udades termas de geração sobre capacdade e coefcetes Udade a b c P m P max ($/MW 2 ) ($/MW) ($) (MW) (MW) 1 0,0070 7 240 100 500 2 0,0095 10 200 50 200 3 0,0090 8,5 220 80 300 4 0,0090 11 200 50 150 5 0,0080 10,5 220 50 200 6 0,0075 12 120 50 120 4223

Aas do XIX Cogresso Braslero de Automátca, CBA 2012. As matrzes B dos coefcetes de perda a lha de trasmssão (com capacdade de base de 100 MW) são dadas respectvamete por: 0,14 0,17 0,15 0,19 0,26 0,22 0,17 0,60 0,13 0,16 0,15 0,20, 0,15 0,13 0,65 0,17 0,24 0,19 B 10 4 j 0,19 0,16 0,17 0,71 0,30 0,25 0,26 0,15 0,24 0,30 0,69 0,32 0,22 0,20 0,19 0,25 0,32 0,85 10 3 0,3908 0,1297 0,7047 0,0591 0,2161 0,6635 B 0 B 00 = 0,056. 4.2. Avalação dos resultados Os algortmos para resolução do exemplo foram mplemetados em ambete computacoal Matlab 7.10.0 da MathWorks, usado processador Itel Core 7 de 2,0 GHz com 4 GB de memóra. Os parâmetros de cada um dos algortmos avalados em todas as smulações foram estabelecdos com os valores exbdos a Tab. 3. Em todas as smulações utlzou-se o úmero de gerações gual a 5000 para todos os algortmos de otmzação. O valor da costate q 1 fo estabelecdo em 1000. A Tab. 4 exbe os resultados ecotrados em 20 execuções de cada um dos algortmos para cada caso estudado, mostrado o custo médo de todas as execuções, o desvo-padrão e a por (custo máxmo) e a melhor solução (custo mímo) ecotrada. Os valores em egrto represetam os melhores valores obtdos etre os três algortmos. O meor desvo-padrão fo obtdo com o PSO para o prmero estudo de caso e com o HS para o segudo estudo de caso. De modo geral, o PSO apresetou os melhores resultados o estudo do caso com três udades gerados, o que se refere à méda e ao resultado com valor mas baxo de custo máxmo que os demas algortmos. O mesmo se repetu com o algormo HS para o estudo do caso com ses udades geradoras. Etretato, a solução de custo mas baxo os dos casos fo ecotrada com a utlzação do FA. Pode ser observado que o FA satsfez todas as restrções do problema o prmero caso. Já ó segudo caso, a restrção da Eq. 4 fo lgeramete volada, pos a geração total de eerga fo um pouco feror em relação à somatóra da demada e das perdas as lhas de trasmssão. As Tab. 4 e 5 mostram, respectvamete, os resultados ecotrados para o prmero e o segudo estudo de caso, cosderado a melhor execução de cada um dos algortmos bosprados de otmzação para a mmzação do custo de geração de eerga. 5 Coclusão Neste artgo demostrou-se a factbldade da utlzação de algortmos de otmzação baseados em populações para a solução efcete do problema de despacho ecoômco de carga com restrções de geração. O algortmo PSO é largamete empregado a lteratura cetífca para a resolução dos mas varados tpos de problemas. Os algortmos HS e FA, embora perteçam à mesma categora de algortmos evolutvos que o PSO, são algortmos que ada têm o seu potecal bem meos explorados. Tabela 3 Valores dos parâmetros usados pelos algortmos de otmzação. PSO HS FA P (partículas) 20 HMS (tam. memóra) 20 (vagalumes) 20 1 (cogtvo) 2 HMCR (taxa de memóra) 0,8 (aleatoredade) 0,2 2 (socal) 2 PAR (taxa ajuste som) 0,4 0 (atratvdade) 1,0 (érca) 1 (coef. absorção) 1,0 Método Tabela 4 Resultados obtdos pelos algortmos PSO, HS e FA para mmzação do custo de despacho de carga em 20 execuções. Custo médo ($/h) Smulação 1 Smulação 2 Custo Custo Custo Custo Desvo máxmo mímo médo máxmo padrão ($/h) ($/h) ($/h) ($/h) Desvo padrão Custo mímo ($/h) PSO 1609,13 8,231 1627,87 1600,60 8722,04 177,652 8912.16 8401,45 HS 1610,10 9,415 1629,18 1600,58 8541,72 99,531 8778,37 8398,06 FA 1617,34 10,746 1633,57 1600,47 8631,82 176,83 9082,00 8388,45 4224

Aas do XIX Cogresso Braslero de Automátca, CBA 2012. Tabela 5 Resultados da melhor smulação para o problema de despacho de carga para o sstema com 3 udades termas (expermeto 1). Saídas de potêca PSO HS FA Udade 1 (MW) 30,617 33,378 32,729 Udade 2 (MW) 66,759 61,615 63,843 Udade 3 (MW) 55,385 57,701 56,151 P L (MW) 2,76 2,69 2,72 P D (MW) 150 150 150 P (MW) 152,76 152,69 152,72 Custo ($) 1600,60 1600,58 1600,47 Tabela 6 Resultados da melhor smulação para o problema de despacho de carga para o sstema com 6 udades termas (expermeto 2). Saídas de potêca PSO HS FA Udade 1 (MW) 288,653 278,625 293,312 Udade 2 (MW) 82,753 87,315 79,546 Udade 3 (MW) 132,988 154,752 123,334 Udade 4 (MW) 50,00 60,855 69,700 Udade 5 (MW) 99,565 68,149 79,546 Udade 6 (MW) 57,768 61,960 63,778 P L (MW) 11,73 11,64 11,44 P D (MW) 700 700 700 P (MW) 711,73 711,65 709,22 Custo ($) 8401,45 8398,06 8388,45 Os três algortmos de otmzação baseados em população estudados mostraram capacdade de ecotrar soluções váves para o problema de despacho ecoômco de carga, que é um problema multmodal, ão dferecável, altamete ão-lear e sujeto a restrções. Tas algortmos possuem boas característcas de covergêca e robustez a obteção de soluções próxmas à solução ótma do problema de despacho ecoômco. Agradecmetos As autoras agradecem o apoo facero da Fudação de Amparo a Pesqusa do Estado de São Paulo (FAPESP) Processo º 2011/08108-0 e a FUNDUNESP. Referêcas Bblográfcas Abdo, M.A. (2003). A ovel multobjectve evolutoary algorthm for evrometal/ecoomc power dspatch, Electrc Power Systems Research, Vol. 65, No. 1, pp. 71-81. Coelho, L.; Mara, V. (2006). Otmzação de Despacho Ecoômco com Poto de Válvula Usado Estratéga Evolutva e Método de Quase-Newto. Revsta da Socedade Braslera de Redes Neuras, Vol. 4(1), pp. 1 12. Dutra, W.D.; Abreu, P.E.; Flávo, S.A.; Chaves, P.C.; Resede, L.C.; Maso, L.A.F. (2010). Otmzação Extrema Geeralzada Aplcada ao Problema de Despacho Ótmo de Potêca, Aas do IX Smpóso de Mecâca Computacoal, São João Del Re - MG. Gag, Z.L. (2003). Partcle swarm optmzato to solvg the ecoomc dspatch cosderg the geerator costrats, IEEE Tras. o Power Systems, vvl. 18, pp. 1187 1197. Geem, Z.W.; Km, J.H. ad Logaatha, G.V. (2001). A ew heurstc optmzato algorthm: harmoy search, Smulato, Vol. 76, No. 2, pp. 60 68. L, W.M.; Cheg, F.S.; Tsay, M.T. (2002). A mproved tabu search for ecoomc dspatch wth multple mma, IEEE Tras. o Power Systems, Vol. 17, pp. 108-112. Park, J.-B.; Lee, K.-S.; Sh, J.-R.; Lee, K. Y. (2005). A partcle swarm optmzato for ecoomc dspatch wth osmooth cost fucto, IEEE Trasactos o Power Systems, Vol. 20, No. 1, pp. 34-42. Glover, F.; Gkocheberger, G. (eds.) (2001). Hadbook Metaheurstcs, Kluwer Academc Publshers. Keedy, J.; Eberhart, R. (1995). Partcle Swarm Optmzato. Proceedgs of IEEE Iteratoal Coferece o Neural Networks, pp. 1942 1948. 4225

Aas do XIX Cogresso Braslero de Automátca, CBA 2012. Lee, K.S. ad Geem, Z.W. (2005). A New Meta- Heurstc Algorthm for Cotuous Egeerg Optmzato: Harmoy Search Theory ad Practce. Computer Methods Appled Mechacs ad Egeerg, Vol. 194, No. 36-38, pp. 3902 3933. Serapão, A.B.S. (2009). Fudametos de Otmzação por Itelgêca de Exames: uma Vsão Geral, Revsta SBA Cotrole & Automação, Vol. 20, No. 3, pp. 271 304. Sha, N.; Chakrabart, R.; Chattopadhyay, P. K. (2003). Evolutoary programmg techques for ecoomc load dspatch, IEEE Trasactos o Evolutoary Computato, Vol. 7, No. 1, pp. 83 94. Walters, D.C.; Sheble, G.B. (1993). Geectc Algorthm Soluto of Ecoomc Dspatch Wth Valve Pot Loadg. IEEE Trasactos o Power System, Vol. 8, No. 3, p.8. Wog, K.P.; Fug, C.C., (1993). Smulated Aealg Based Ecoomc Dspatch Algortm. IEE Proceedgs-C, Vol. 140, No. 6, pp. 7. Yag, X.-S. Frefly Algorthm. Nature-Ispred Metaheurstc Algorthms. Luver Press: Cambrdge, 2008. Yag, X.S. (2009). Frefly algorthms for multmodal optmzato. I: Stochastc Algorthms: Foudatos ad Appplcatos (Eds O. Wataabe ad T. Zeugma), SAGA 2009, Lecture Notes Computer Scece, 5792, Sprger-Verlag, Berl, pp. 169-178. 4226