Matrial Tórico - Círculo Trigonométrico Scant, cosscant cotangnt Primiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siquira Bnvids Rvisor: Prof. Antonio Caminha M. Nto 5 d dzmbro d 08
Invrsas numéricas: cosscant, scant cotangnt As funçõs cosscant, scant cotangnt são conhcidas como as invrsas numéricas das funçõs sno, cossno tangnt, nssa ordm. Lmbr-s d qu invrtr um númro ral não nulo significa calcular /, ou sja, dividir por. Com isso, dfinimos csc(α) =, dsd qu sn(α) 0 sn(α) sc(α) =, dsd qu 0, ond os símbolos csc(α) sc(α) são lidos como cosscant d alfa scant d alfa, rspctivamnt. Ao dfinir a cotangnt dvmos tr mais cuidado. Lmbr-s d qu tg(α) = sn(α), qu só stá dfinida quando 0. Por conta disso, dfinimos ctg(α) =, dsd qu sn(α) 0, sn(α) ond o símbolo ctg(α) é lido como cotangnt d alfa. Vja qu quando sn(α) 0 0, tmos tg(α) = ctg(α). Contudo, há valors d α para os quais ctg(α) ist mas tg(α) não ist, vic-vrsa. Emplo. Escrva os valors d sn(α),, tg(α), sc(α), csc(α) ctg(α) m cada itm abaio: (a) α = /6. (b) α = /. Solução. (a) Para α = /6 ( lmbrando qu /6 rad = 0 ), vimos na aula qu sn(/6) =, cos(/6) = tg(/6) =. Como todos sss valors são difrnts d zro, para calcular os dmais valors basta invrtr as fraçõs corrspondnts: csc(/6) =, sc(/6) = ctg(/6) =. (Not qu a cosscant é a invrsa numérica do sno não do cossno.) (b) Para α = /, tmos um arco qu dtrmina o ponto P = (0, ) no círculo trigonométrico. Assim, sn(/) = cos(/) = 0. Nst caso, como o cossno é zro, tg(/) sc(/) não stão dfinidas (ou sja, não istm). Mas, podmos calcular csc(/) = sn(/) = = ctg(/) = cos(/) sn(/) = 0 = 0. Vjamos, agora, como os valors d csc(α), sc(α) ctg(α) aparcm gomtricamnt ao visualizarmos α no círculo trigonométrico. Vrmos também uma visualização altrnativa (à da aula passada) para tg(α). Sja P = (, sn(α)) o ponto sobr o círculo trigonométrico corrspondnt ao arco α. Como d costum, sjam O = (0,0) A = (,0). Dfina ainda B como o pé da prpndicular d P ao io dos cossnos C o ponto d ncontro d OP com o io das tangnts (vja a Figura ). Na aula dss módulo vimos qu C = (, tg(α)). csc sn E O ctg α tg α α P cos α B sn α C tg α A sc α Figura : principais razõs trigonométricas. D cos Também nas notaçõs da Figura, trac a rta r, qu passa por P é tangnt ao círculo trigonométrico. Vja qu OP é prpndicular a r (plo fato d r sr tangnt ao círculo OP sr raio dl). Sja D o ponto d intrsção d r com o io dos cossnos (io horizontal) E o ponto d intrsção d r com o io dos snos (io vrtical). Como OBP = OP D = 90, os triângulos OP B, ODP são smlhants, plo caso ângulo, ângulo (já qu ambos também possum α como ângulo). Logo, OD OP = OP OB = OD = = OD = sc(α) http://matmatica.obmp.org.br/ matmatica@obmp.org.br
DP OP = BP OB DP = = sn(α) = DP = tg(α). Plo mnos raciocínio, considrando o pé da prpndicular d P ao io dos snos, conclui-s qu OE = csc(α) EP = ctg(α). S considrados também os casos m qu P s ncontra nos dmais quadrants, as rlaçõs acima continuam satisfitas. Além disso, smpr val qu D = (sc(α), 0) E = (0, csc(α)). Not qu, nas coordnadas d D E, ao contrário das prssõs antriors, não tomamos o valor absoluto. Emplo. Mostr qu tg (α) + = sc (α), smpr qu tg(α) sc(α) stivrm dfinidas, ou sja, smpr qu 0. Solução. Isso é consquência imdiata do torma d Pitágoras aplicado ao triângulo OP D da Figura. Solução. Na aula passada, vimos qu sn (α) + cos (α) =, igualdad obtida aplicando o torma d Pitágoras ao triângulo OBP da Figura. Como stamos considrando qu 0, podmos dividir ambos os lados da quação acima por cos (α). Daí, ou, o qu é o msmo, sn (α) cos (α) + cos (α) cos (α) = cos (α) ( ) ( ) sn(α) + =. Por fim, a última igualdad acima é claramnt quivalnt a tg (α) + = sc (α). As funçõs invrsas: arcosno, arcocossno, arcotangnt. Em contrast com a sção antrior, dssa vz stamos intrssados m dfinir (com domínios apropriados) as funçõs invrsas das funçõs cossno, sno tangnt. Essas funçõs são chamadas, rspctivamnt, d funçõs arcocossno, arcosno arcotangnt. Por mplo, não stamos mais intrssados no invrso do númro, mas sim na função invrsa da função cossno. A função invrsa d uma função f : A B foi dfinida no módulo Funçõs - Noçõs Básicas do Nono Ano. Conform studamos, a função invrsa d f só ist quando f é bijtiva. Nss caso, a invrsa é a função f : B A tal qu, para todos A B, f() = f () =. Considrmos primiramnt a função sn. Sua invrsa m é usualmnt rprsntada como sn () ou como arcsn() (lê-s arco-sno d ). Enquanto a função sn rcb um arco nos informa uma razão trigonométrica (variando d a ), tmos qu a função arcsn rcb um númro no intrvalo [, ] nos informa um arco cujo sno é igual a. Contudo, há um problma: para cada valor d, s considrássmos o domínio da função sno como o conjunto d todos os númros rais, istiriam vários arcos qu possuiriam sno igual a (como mostra o mplo sguint), nquanto a função arcsn dv scolhr apnas um dls. Emplo. Encontr todos os arcos α qu satisfazm sn(α) = /. Solução. Conform podmos prcbr no círculo trigonométrico abaio, para qu um arco possua sno igual a / l dv sr congrunt a um arco d mdida /6 ou 5/6 (os quais quivalm a 0 50, rspctivamnt). 5 6 Assim, sn(α) = / s, somnt s, ist um intiro k tal qu: 6 α = 6 + k ou α = 5 6 + k. Voltando à discussão antrior, o problma é ssncialmnt qu a função sno, com domínio R, não é bijtiva. Para rsolvr ssa situação, a solução é rstringir o domínio da função sno, considrando apnas arcos variando d / a /. O motivo da scolha do intrvalo I = [ /, /] é qu st é o maior intrvalo ao qual prtnc o númro 0 tal qu sn : I [,] é bijtiva. Isso pod sr vidnciado obsrvando o gráfico da função http://matmatica.obmp.org.br/ matmatica@obmp.org.br
sno na Figura : apagando a part qu stá pontilhada, o gráfico qu sobra é tal qu toda rta horizontal qu corta o io- d a intrscta o gráfico m atamnt um ponto (com abscissa situada d / a /). = sn() Figura : gráfico da função sno, d 5 a 5. Com isso, podmos dfinir a função da sguint forma: arcsn : [, ] [ /, /] arcsn() = { sn() = / /. Por construção, o valor d arcsn() stá unicamnt dtrminado, para todo tal qu. O gráfico dssa função é ibido na Figura ; como ocorr com os gráficos d funçõs invrsas m gral, o gráfico da função arcsn é obtido rfltindo o gráfico da função sno, no intrvalo d / a /, m rlação à rta =. / / = arcsn() Figura : gráfico da função arcosno. Emplo 4. Encontr o valor d arcsn(/). Solução. Qurmos ncontrar um arco d mdida tal qu sn() = / / < < /. Obsrvando a solução do Emplo, tmos qu único valor d qu satisfaz isso é = /6. Logo, arcsn(/) = /6. Agora, considrmos a função cos. Assim como fizmos com a função sno, s considrarmos o domínio d cos como o conjunto d todos os númros rais, ssa função não srá bijtiva. Obsrvando o gráfico da função cossno (vja a Figura 4), dssa vz o intrvalo I qu contém o númro zro é tal qu cos : I [, ] é bijtiva é I = [0,]. = cos() Figura 4: gráfico da função cossno, d 5 a 5. Com isso, podmos dfinir a função d modo qu arccos : [, ] [0, ] arccos() = { cos() = 0. Su gráfico é mostrado na figura a sguir (novamnt, obsrv sua rlação com o gráfico da função cossno no intrvalo [0,]). / = arccos() Figura 5: gráfico d arcocossno. Problma 5. Mostr qu, para todo [, ], val a igualdad arcsn() + arccos() =. Por fim, farmos uma discussão análoga à acima para obtr a invrsa da função tg. O intrvalo do domínio ao qual la srá rstringida é o intrvalo abrto ( /, /), o qu pod sr vidnciado pla Figura 6, lvando m considração qu a tangnt não stá dfinida quando = / http://matmatica.obmp.org.br/ matmatica@obmp.org.br
ou = /, d modo qu / / não prtncm ao domínio d tg. Uma difrnça fundamntal é qu, msmo quando varia apnas ntr / /, o valor d tg() varia sobr todos os númros rais. Assim, a função invrsa, arctg, possui como domínio o conjunto d todos os rais como contra-domínio o intrvalo abrto ( /, /). = tg() Figura 6: gráfico d tangnt no intrvalo d 5/ a 5/. Formalmnt, dfinimos a função d modo qu arctg : R ( /, /) arctg() = { tg() = / < < /. Su gráfico, mostrado na figura a sguir, é obtido pla rflão, m torno da rta =, da porção do gráfico da função tangnt no intrvalo ( /,/ ). / /4 4 4 /4 / = arctg() Figura 7: gráfico d arcotangnt, d 4 a 4. Obsrvação 6. Apsar d qu o formato do gráfico da função arcsn lmbra um pouco o formato do gráfico função tg, ls são bm difrnts. A principal difrnça é qu sus domínios contra-domínios são difrnts; m spcial, o valor máimo atingido no gráfico d arcsn é /, nquanto qu o gráfico d tg pod assumir valors tão grands quanto s quira. Por isso, não há como dsnhar todos os pontos dss gráfico no papl, na Figura 6, tmos qu imaginar qu o gráfico s stnd infinitamnt para cima, assim como para baio. Além disso, as curvaturas dsss dois gráficos não são as msmas. Apsar d srm parcidas a olho nu, o gráfico d tg é bm mais alongado qu o d arcsn. A difrnça fica clara nas Figuras 7, quando comparamos suas invrsas sn arctg. Emplo 7. Quais os valors d arccos( /) arctg()? Marqu o ponto ( /, arccos( /)) no gráfico da Figura 5 o ponto (, arctg()) no gráficos da Figura 7. Dmonstração. S arccos(/) =, ntão é um arco tal qu cos() = / 0. Como cos() é ngativo, tmos qu prtnc ao sgundo ou ao trciro quadrant. Mas, como 0, podmos concluir qu prtnc ao sgundo quadrant. Obsrvando o círculo trigonométrico abaio, tmos qu cos( ) = cos() = /. Por outro lado, o ângulo ntr 0 / cujo cossno é / é /. Logo, = / = = / = /. Diamos a cargo do litor, marcar o ponto ( /, /) na Figura 5. Agora, vamos calcular arctg(). Qurmos ncontrar um arco β tal qu tg(β) = / < β < /. Vja qu tg(β) = quival a sn(β) = cos(β), sabmos qu o ângulo qu satisfaz isso é β = /4 (qu corrspond a 45 graus nós dá um triângulo rtângulo isóscls). Para finalizar, pdimos qu o litor marqu o ponto (, /4) no gráfico da Figura 7. Vja qu o valor do ângulo m graus não dv sr considrado ao fazr isso, pois m todos os gráficos considramos apnas mdidas d arcos m radianos. http://matmatica.obmp.org.br/ 4 matmatica@obmp.org.br
Sugrimos qu o litor consult a lista d rcícios ana a ss matrial, pois la aprofunda o qu studamos na primira sção com vários rcícios rsolvidos. Problma 8. Utiliz a rlação fundamntal da trigonomtria para mostrar qu, para todo [, ], tm-s: cos(arcsn()) =, sn(arccos()) =, tg(arcsn()) =. Dicas para o Profssor Nst módulo, vimos apnas os concitos básicos ncssários para ntndr como as funçõs sc, csc, ctg, arcsn, arccos arctg são dfinidas, fazndo a distinção ntr invrsa numérica função invrsa. Além da rlação fundamntal, studada na aula antrior, istm inúmras outras rlaçõs ntr ssas funçõs. Há várias aplicaçõs dssas funçõs, tanto m Matmática como m outras ciências, qu não abordamos aqui. Rcomndamos qu o litor intrssado continu su studos m Trigonomtria plas rfrências abaio. Ess conhcimnto srá muito important m disciplinas mais avançadas, durant o Ensino Suprior. A rfrência [] dsnvolv os rudimntos d Trigonomtria ncssários a aplicaçõs gométricas. A rfrência [] traz um curso complto d Trigonomtria. Sugstõs d Litura Complmntar. A. Caminha. Tópicos d Matmática Elmntar, Volum : Gomtria Euclidiana Plana. SBM, Rio d Janiro, 0.. G. Izzi Os Fundamntos da Matmática Elmntar, Volum : Trigonomtria. Atual Editora, Rio d Janiro, 0. http://matmatica.obmp.org.br/ 5 matmatica@obmp.org.br