UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO DE GEOCIÊNCIAS CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA

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1 UNIVERIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO DE EOCIÊNCIA CURO DE PÓ-RADUAÇÃO EM EOFÍICA DIERTAÇÃO DE METRADO MIRAÇÃO EM VERDADEIRA AMPLITUDE EM.5-D EM MEIO TRIANULARIZADO RÔMULO CORREA LIMA BELÉM

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3 T LIMA, Rômulo Correa. Mgração em veraera ampltue em.5-d em meos trangularzaos. Belém, Unversae Feeral o Pará. Centro e eocêncas,.64p. Dssertação Mestrao em eofísca rauação em eofísca, C, UFPA,..MALHA TRIANULAR.MIRAÇÃO DE KIRCHHOFF 3.MIRAÇÃO EFICIENTE I. COTA, Jessé Carvalho, Orent. II. Título.

4 Aos meus pas Regnalo e Celeste.

5 ARADECIMENTO ostara e agraecer ao CPf/UFPa e a too o corpo ocente, técnco e amnstratvo por terem propcao os meos para a realzação este trabalho. À ANP pelo suporte fnancero, sem o qual sera fícl a conclusão esta tese. Ao meu orentaor, Jessé Carvalho Costa, pela sugestão o tema e pela ajua e pacênca, urante too o anamento este trabalho. Aos membros a banca eamnaora, Professores Dr. Martn Tygel e Dr. João Carlos pelas muanças sugeras e pela pacênca na correção o teto. À Benles, Marcos e erman, pela ajua e apoo nos momentos mas fíces e a toos aqueles que reta ou nretamente contrbuíram para a realzação este trabalho. À mnha famíla que me eu conções para chegar até este ponto e por toa a ecação para que eu puesse estuar. À Elsangela que, mesmo sob muto protesto, suportou mnhas horas e ausênca urante a realzação este trabalho. À Deus por tuo na mnha va.

6 UMÁRIO DEDICATÓRIA... ARADECIMENTO... LITA DE ILUTRAÇÕE...v REUMO ABTRACT... - INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO À TEORIA DO RAIO OLUÇÕE AINTÓTICA DO PROBLEMA ACÚTICO olução a equação conal olução a equação e transporte Teora paraal o rao Conções ncas para uma fonte pontual em 3-D Determnação a função e reen em.5-d Traçamento e raos analítco em meos com graente e vagarosae ao quarao constante AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO ALORITMO DE TRAÇAMENTO DE RAIO INTERAI DE MIRAÇÃO DE KIRCHHOFF INTRODUÇÃO FATORE QUE AFETAM A AMPLITUDE DA REFLEXÕE ÍMICA A MIRAÇÃO DE KIRCHHOFF COM PREERVAÇÃO DE AMPLITUDE INTERAL DE MIRAÇÃO PARA O CAO.5-D O OPERADOR DE MIRAÇÃO PARA CONFIURAÇÃO DE AFATAMENTO COMUM APROXIMAÇÕE PARA FUNÇÃO PEO A função peso conserano o meo homogêneo A função peso para meos com graente constante a vagarosae ao quarao ALORITMO DE MIRAÇÃO COM PREERVAÇÃO DE AMPLITUDE AVALIAÇÃO NUMÉRICA DA MIRAÇÃO EM.5D MODELO E DADO ERADO INTÉTICAMENTE... 3

7 4. - DETALHE DA IMPLEMENTAÇÃO DA MIRAÇÃO COM PREERVAÇÃO DE AMPLITUDE Resultaos a mgração utlzano o moelo I Resultaos a mgração com o moelo II CONCLUÕE REFERÊNCIA BIBLIORÁFICA...46 APÊNDICE APÊNDICE A - LEMA DE MIRNOV... 5 APÊNDICE B - INTERAÇÃO NUMÉRICA DO ITEMA DE EQUAÇÕE PARA O TRAÇAMENTO DE RAIO DINÂMICO... 5 APÊNDICE C - REPREENTAÇÃO DE UM CAMPO DE VELOCIDADE NA MALHA TRIANULAR APÊNDICE D - TRAÇAMENTO DE RAIO NA MALHA TRIANULAR APÊNDICE E - A INTERAL DE MIRAÇÃO EM.5-D... 6 APÊNDICE F - O DETERMINANTE DE BEYLKIN v

8 LITA DE ILUTRAÇÕE FIURA Fgura. Representação o vetor vagarosae na posção a fonte p e e suas componentes... 9 Fgura. Tubo e raos paraas formao por raos vznhos ao rao central. A solução a equação e transporte mostra que o fluo o vetor A / ρ p através as superfíces e é constante... Fgura.3 Trajetóra os raos para uma fonte localzaa 5m, 3m. O moelo consste e uma camaa com graente vertcal e velocae sobre substrato homogêneo. A fgura a fo calculaa pelo algortmo I e a fgura b calculaa pelo algortmo II...9 Fgura.4 Tempos e trânsto em mlseguno, obtos pelo traçamento e raos no moelo vertcal mostrao na Fgura.3, utlzano o algortmo I lnha contínua e o algortmo II lnha pontlhaa, respectvamente. Observa-se que o tempo e trânsto o traçamento e raos analítco recupera eatamente o mesmo resultao o algortmo I...9 Fgura.5 Espalhamento geométrco pelos os algortmos. A lnha contínua fo calculaa pelo algortmo I e a lnha pontlhaa pelo algortmo II, respectvamente. A pequena osclação mostraa na lnha contínua é causaa pelos raos que cruzam a zona com forte contraste e velocae. Observa-se que a forma as uas curvas concem para afastamentos nferores a 5m. Para afastamentos maores a curvas não são concentes apesar e ncarem a mesma tenênca... Fgura.6 Resultao o traçamento e raos usano a o algortmo I e b o algortmo e traçamento II... Fgura.7 Tempos e trânstos para os raos ncaos na Fgura.6. A concênca os resultaos obtos pelo algortmo I lnha chea e pelo algortmo IIlnha pontlhaa mostra a precsão o traçamento e raos analítco no cálculo o tempo e trânsto... Fgura.8 A lnha contínua representa o espalhamento geométrco obto pelo algortmo I, e a lnha pontlhaa o espalhamento geométrco estmao pelo algortmo II. Novamente percebemos que as curvas concem para pequenos afastamentos. Embora as curvas não concam para v

9 afastamentos maores a tenênca e ecamento a ampltue é bem representaa pelas uas curvas... Fgura. 3.- Fatores que nfluencam a ampltue a ona sísmca na refleão Aaptao e herff, Fgura 3. Ilustração a Integral e Mgração. No omíno as observações as curvas e fração τ D e e uma refleão τ R estão representaas para uas stuações. Em a o ponto M frator conce com um ponto o refletor em subsuperfíce, as curvas e fração e refleão são tangentes. Em b o ponto M não está sobre o refletor e não este ponto e tangênca entre as curvas τ D e τ R...5 Fgura 3.3 eometra os raos que formam a curva e fração. O rao ncente a partr a fonte, localzaa em ξ, atnge o ponto M frator, e o rao emergente conecta M ao receptor ξ; α M é o ângulo e bsseção entre estes raos em M...6 Fgura 4. Dstrbução e velocae no moelo I. A nterface curva separa uma camaa que possu graente vertcal constante para a velocae, e uma camaa homogênea...34 Fgura 4. Daos sntétcos obtos por pares fonte-receptor na confguração e afastamento comum, para o moelo e velocae mostrao na Fgura 4.. O afastamento é e 6m e a stânca entre os pontos méos é e 5m. O ntervalo e amostragem o tempo é e ms...34 Fgura 4.3 Moelo suavzao para a strbução e velocae mostrao na fgura Fgura 4.4 Resultao a mgração e Krchhoff usano o moelo e velocae suavzao mostrao na Fgura 4.3. Esta fo calculaa usano o traçamento e raos analítco...35 Fgura 4.5 Coefcente e refleão analítco, calculao pelo programa EI88 lnha contínua e coefcentes estmaos utlzano o moelo e velocaes usao para gerar os aos ncaos pelo foram calculaos pela mgração analítca com preservação e ampltue...36 v

10 Fgura 4.6 Comparação entre os coefcentes e refleão eato lnha contínua e as estmatvas resultantes a mgração com a função peso: a eata, b apromação I, c apromação II e mgração cnemátca. O erro relatvo o ajuste encontra-se na faa e %. O afastamento os aos é e 6m...37 Fgura 4.7 Dstrbução e velocae no moelo II. A nterface separa uma camaa que possu graentes, vertcal e horzontal, e uma camaa homogênea...39 Fgura 4.8 smograma sntétco com traços para o moelo II. O afastamento entre fonte e receptor é e 6m...39 Fgura 4.9 Moelo uavzao para a strbução e velocae mostraa na fgura Fgura 4. Resultao a mgração e Krchhoff os aos na Fgura 4.9 utlzano o moelo e velocae suavzao, mostrao na fgura 4.9. Este resultao fo calculao com o traçamento e raos analítco...4 Fgura 4. Comparação entre os coefcentes e refleão eato lnha contínua e as estmatvas resultantes a mgração com a função peso: a eata, b apromação I, c apromação II e mgração cnemátca. O afastamento entre fontes e receptores é e 6m...4 Fgura 4. Comparação entre os coefcentes e refleão eato lnha contínua e as estmatvas resultantes a mgração com a função peso: a eata, b apromação I, c apromação II e mgração cnemátca. O afastamento entre fontes e receptores é e m.o erro relatvo o ajuste em a e b está na faa e 5%, em c é 6,5% e em 8%...43 Fgura Comparação entre os coefcentes e refleão eato lnha contínua e as estmatvas resultantes a mgração com a função peso: a eata, b apromação I, c apromação II e mgração cnemátca. O afastamento entre fontes e receptores é e m. O afastamento entre fonte-receptor para estes teste fo e m. O erro relatvo o ajuste em a e b é e 6%, em c e 5% e em 8%...44 Fgura C.. Célula e uma malha trangular. Os valores a vagarosae ao quarao são especfcaos nos vértces e caa célula, o valor em um ponto nteror é obto por nterpolação v

11 barcêntrca. O peso o valor a vagarosae quaraa nó para a nterpolação é ao pela razão w = A /A, em que A é a área a célula...55 Fgura C.. A malha é efna pelo ínce e seus nós e suas coorenaas corresponentes e pela especfcação e caa célula trangular. Por eemplo, o trângulo 6 é especfcao pelos ínces os nós a malha que formam seus vértces ncaos em sento ant-horáro, neste caso 4,5,8, e o ínce os trângulos vznhos opostos a caa vértce, neste caso 7,5,...56 v

12 REUMO A mgração em profunae pré-emplhamento, com veraera ampltue, é uma alternatva para a estmatva e aos para análse e AVO e conseqüentemente a nferênca e ncaores retos e hrocarbonetos a partr e aos sísmcos. A mplementação esta aboragem, mesmo para o caso.5-d é computaconalmente spenosa evo a necessae o traçamento nâmco e raos. Este custo poe ser reuzo em uas orens e magntue através o traçamento e raos analítco, em meos scretzaos em malhas trangulares cujas células possuem graente e vagarosae ao quarao constante, e apromações para o espalhamento geométrco consstentes com este moelo. Epermentos numércos sugerem que esta aboragem prouz estmatvas para os coefcentes e refleão com a mesma precsão a mgração utlzano o traçamento e raos nâmcos para moelos com varação e velocae moeraa.

13 ABTRACT Ampltue-preservng, pre-stack epth mgraton PDM s an alternatve for processng sesmc ata for AVO analyss an consequently the nference of rect hyrocarbon ncators. Unfortunately, the mplementaton of PDM s computatonally very epensve ue to ts nee of ynamc raytracng. Ths cost can be largely reuce through analytcal raytracng n mea scretze n a trangular mesh, whose cells have constant square slowness graent, an appromatons to geometrcal spreang consstent wth that assumpton. Numercal eperments ncate that ths approach prouces estmatons of reflecton coeffcents wth the same accuracy of eact ampltue preservng PDM algorthm at least for moels wth ml velocty changes.

14 3 - INTRODUÇÃO Atualmente os métoos e mageamento sísmco estão seno usaos com o objetvo e estmar parâmetros as propreaes físcas a subsuperfíce. A mgração com veraera ampltue permte a reconstrução os coefcentes e refleão para posteror análse e AVO/AVA e a estmatva e ncaores retos e hrocarbonetos ray, 999. A mgração o tpo Krchhoff é um os algortmos mas utlzaos para se corrgr o espalhamento geométrco. O métoo e Krchhoff se basea na soma sobre a seção sísmca a energa ao longo as curvas e tempo e trânsto e fração calculaas sobre um macromoelo e velocaes. Este macromoelo é o moelo geológco que contém o maor número possível e nformações acerca a subsuperfíce. O valor resultante esta operação é então colocao na posção o ponto frator em uma malha no omíno a profunae Bancroft, 999. e os traços e entraa forem apropraamente poneraos urante a soma, a mgração e Krchhoff faz mas o que formar uma magem cnematcamente correta, ela assntótcamente nverte os aos para a refletvae prouzno uma magem com preservação a ampltue as refleões Blesten, 987; chlecher et al., 993; Tygel et al, 996. A formulação ntegral para a mgração fo obta partno a equação a ona e conserano um macromoelo e velocae constante por chneer 978. Posterormente, a mgração e Krchhoff fo estena para moelos e velocae compleos por Beylkn 985 e Mller et al. 987 utlzano a transformaa e Raon generalzaa, a apromação e Born e funções e reen apromaas pela teora o rao. Este trabalho emonstrou que o operaor e mgração se comporta como um nverso assntótco que permte reconstrur as escontnuaes as propreaes físcas o meo. Blesten 987 utlzano a formulação e Beylkn 985 e a apromação e Krchhoff em vez a apromação e Born obteve a formulação ntegral para estmar o coefcente e refleão, para o caso acústco. O operaor e mgração é etermnao a partr a conção e que a epressão assntótca a ntegral e mgração, avalaa pelo métoo a fase estaconára, reprouza o coefcente e refleão. A mgração com veraera ampltue para o caso elástco fo obta por chlecher et al Outros trabalhos apresentam epressões para ferentes confgurações e

15 4 aos utlzano a apromação WBKJ ou a apromação e Krchhoff para o campo e onas acústcas/elástcas e refleões prmáras e o métoo a fase estaconára ver por eemplo, Blesten et al.. Hubral et al. 996 e Tygel at al. 996 utlzano ntegras poneraas o tpo Krchhoff para emplhamento sobre superfíces e fração e emplhamento sobre superfíces sócronas, reformularam o operaor e mgração com veraera ampltue, a emgração e transformações e confguração. Nestes trabalhos é emonstrao que as operações e mgração e emgração formam um par e transformaas que envolvem a relação entre os refletores e as corresponentes superfíces e tempo e refleão. Posterormente, Tygel et al. 998 especalzaram o operaor e mgração com veraera ampltue para o caso.5-d e confguração e afastamento nulo entre os pares fontes-receptores. Esta transformação é refera na lteratura como MZO. O cálculo o operaor e mgração necessta o traçamento nâmco e raos através o macromoelo e velocae o que ege um grane esforço computaconal comparao à mgração cnemátca. Dellnger et al., Zhang et al. e Peles et al. propuseram apromações para o operaor e mgração que spensam o traçamento nâmco e raos para ferentes confgurações e aqusção e aos acústcos. Entretanto, a avalação estas apromações na estmação os coefcentes e refleão não é feta nestes artgos. Neste trabalho avalamos uas mplementações para a mgração e Krchhoff em.5-d para confguração e afastamento comum. O algortmo I etermna o operaor e mgração a partr o traçamento nâmco os raos no macromoelo e velocae. O algortmo II utlza o traçamento e raos analítco conserano o macromoelo e velocaes scretzao em células trangulares em que o graente o quarao a vagarosae é constante. Este algortmo eplora os aspectos para aumentar a efcênca a mgração: o traçamento e raos analítco e apromações para a função peso. Os os algortmos e mgração são avalaos em moelos que apresentam varação lateral e velocae comparano a estmatva os coefcentes e refleão em caa algortmo com o coefcente e refleão eato calculao pelo programas EI88 Èervený & Psenck, 988. A prmera parte este trabalho escreve os aspectos a teora o rao relevantes para escrção os algortmos e mgração. Os os algortmos e traçamento e raos são Em homenagem a Wentzel, Kramers, Brlloun e Jeffreys

16 5 apresentaos e avalaos em ferentes moelos e velocae. A segur são ervaas as epressões para mgração o tpo Krchhoff com veraera ampltue para o caso.5d. Os algortmos e mgração e sua mplementação são etalhaos e caa um é avalao pela estmatva que prouzem o coefcente e refleão sobre o refletor. A apromação para o peso a mgração proposta por Dellnger et al. também é avalaa. Toos os epermentos numércos utlzaram aos geraos sntetcamente pelo programa EI88. Fnalmente, apresentaremos as conclusões e recomenações obtas a partr e nossas observações.

17 6 - INTRODUÇÃO À TEORIA DO RAIO A teora o rao tem por base a apromação e soluções a equação a ona através e uma epansão assntótca, no lmte e alta freqüênca Popov, 996. Entretanto, não este um valor fo para a freqüênca para que a valae a teora o rao seja verfcaa. A escolha a frequênca está baseaa na relação entre as mensões característcas o meo e propagação profunae os alvos, curvaturas os refletores, etc. e o comprmento a ona sísmca. e aquele for muto maor que este então poemos moelar a propagação as onas sísmcas como raos Kravtsov & Orlov, OLUÇÃO AINTÓTICA DO PROBLEMA ACÚTICO Incaremos nossa apresentação a apromação a função e reen para o caso acústco pela teora o rao partno o sstema formao pela seguna le e Newton e a le e Hooke para meos com ensae varável ver por eemplo, Èervený v, t ρ = P, t t P, t = ρ c.v, t ρ c t Q, t t Nas epressões acma, representa o vetor posção, t o tempo, ρ a ensae e c a velocae o meo, v, t a velocae e eslocamento a partícula, P, t o campo e pressão, e Q, t uma fonte e njeção e volume. Efetuano o vergente e, e substtuno-se o.v, t a equação, obtém-se a equação a ona com ensae varável para uma fonte pontual P ρ. P = F t ρ δ, 3 ρ c t seno Ft = Q, t / t a função que representa o pulso fonte e δ é a função elta e Drac ver por eemplo, Butkov 983. A função e reen para a equação 3 é apromaa seguno a teora o rao. Esta apromação pressupõe que o campo e onas poe ser conserao como uma superposção e eventos solaos. A teora o rao propõe uma epansão assntótca na

18 7 vznhança e um evento, no omíno a freqüênca, em uma sére e potênca no nverso a freqüênca angular ω, = ωτ ω, m m m A e P ω, 4 em que representa a unae magnára, τ é o tempo e trânsto o evento enomnao também e função conal e A m ampltue o evento na apromação o m-ésmo termo a sére. A substtução e 4 em 3 prouz, após algumas manpulações algébrcas, 5 Egno que esta equação seja vála para qualquer freqüênca no lmte assntótco e altas freqüêncas, os coefcentes e caa potênca em ω evem se anular, ou seja, = τ τ. c, 6 = A A A τ ρ ρ τ τ.. 7 e = m m m m m A A A A A... ρ ρ τ ρ ρ τ τ m =,,,... 8 A Equação 6 é enomnaa e equação conal e sua solução é a função conal τ. Para aas conções e contorno, a superfíce e sovalores sócronas efne uma frente e ona em um nstante partcular. A Equação 7 é enomnaa e equação e transporte e orem zero. Ela etermna a ampltue A a partr a solução préva a equação conal. As equações 8 corresponem às equações e transporte e orem superor para as ampltues A m e evem ser soluconaas recursvamente ver por eemplo, Blesten et al.. Neste trabalho estaremos utlzano apenas a apromação e orem zero para função e. ] [ = = m m m m m m m A A A A A c A A A c A c ω ρ ρ τ ρ ρ τ τ ω τ ρ ρ τ τ ω τ τ......

19 8 reen acústca. A apromação e orem zero é aotaa nos estuos e mgração com resultaos satsfatóros... - olução a Equação Iconal A solução a Equação conal é obta pelo métoo as característcas ver por eemplo, Blesten 984. Incalmente.6 é reescrta na forma, p = [ p s ] = H, 9 em que H representa a função Hamltonana e p é o vetor vagarosae, efno por e s é a vagarosae p τ, s. c A resolução a Equação, pelo métoo as característcas, fornece um sstema e equações ferencas ornáras que efnem a trajetóra o rao Blesten, 984 p = p H = = H p ; = s em que representa o parâmetro ao longo o rao Farra, 99 e e p representam o graente em relação à e p, respectvamente. Além sso, a equação poemos escrever τ = p. = p.p = s esta equação permte, a partr e aequaas conções e contorno, etermnar o tempo e trânsto ao longo o rao ver, por eemplo Blesten, 984, ou seja, etermnar a função conal... - olução a Equação e Transporte Após a solução a Equação conal, a Equação e transporte poe ser ntegraa ao longo o rao. Para sso, substtu-se as equações e na Equação 7, o que resulta em 3 4

20 9 =.p.. ρ ρ ρ A A A. 5 Multplcano-se a Equação 5 pelo fator A, obtemos =.p ρ ρ ρ A A A. 6 ou ana, = p. ρ ρ A A. 7 Utlzano o Lema e mrnov, emonstrao no Apênce A, a Equação 7 poe ser escrta na forma ln = J A ρ, 8 seno J o Jacobano a transformação as coorenaas cartesanas para o sstema e coorenaas, γ, γ que caracterza o rao, ou seja,,,,,, 3 γ γ γ γ = J, 9 supono um ponto e parta,, um vetor vagarosae ncal neste ponto e um valor ncal o parâmetro. Neste trabalho conseramos o parâmetro γ como o ângulo que o vetor p = p,γ, γ faz com a reção 3 e γ o ângulo que a projeção e p no plano Fgura. Representação o vetor vagarosae na posção a fonte p e e suas componentes.

21 faz com a reção, como mostra a Fgura.. Por motvo e brevae escreveremos J, γ, γ somente em função o parâmetro, ou seja, J. A solução geral a Equação 8 tem a forma ρ A = K J em que K é uma constante. A etermnação a constante K requer conções ncas sobre a ampltue, as quas são obtas a partr a função e reen em um meo homogêneo. A avalação e J necessta as ervaas e em relação a γ e γ Teora paraal o rao Para a etermnação e A é necessáro o cálculo o JFarra, 99. Este Jacobano poe ser etermnao através a chamaa teora paraal o rao Èervený,. A teora paraal é uma etensão a teora o rao para uma vznhança em torno e um rao prevamente computao, enomnao e rao central. A Fgura. mostra um rao central e város raos paraas a partr e um mesmo ponto stuação e uma fonte pontual. Incaremos supono que um rao tenha so traçao e que e p são respectvamente, o vetor posção e o vetor vagarosae ao longo o rao central. O vetor posção ao longo e um rao paraal é ao por = δ, em que os vetores δ são geraos por δ γ =, δ γ γ em que δγ e δγ são as perturbações os parâmetros γ e γ, respectvamente. O vetor vagarosae o rao paraal é representao por p = p δp, 3 em que δp é ao por δ p δγ p = δ γ δγ. 4 γ δ e δp são perturbações no vetor posção e no vetor vagarosae, respectvamente. Egno que o rao paraal satsfaça o sstema Hamltonano -3, em prmera orem, obtém-se que a matrz, e mensão 6, p γ

22 = γ γ γ γ p p Y, 5 eve satsfazer o sstema e equações Farra, 99, Portugal, Y A Y =, 6 em que A é a matrz 66, aa por = = B I - p p p p H H H H A. 7 em que I é a matrz entae e B é aa por B = s Conções ncas para uma fonte pontual em 3-D A solução o sstema e traçamento e raos nâmco representao pelas equações e 3 requer a especfcação e conções ncas. Conserano-se uma fonte pontual Fgura. Tubo e raos paraas formao por raos vznhos ao rao central. A solução a equação e transporte mostra que o fluo o vetor p / ρ A através as superfíces e é constante.

23 com parão e raação sotrópco, as conções ncas o sstema e traçamento e rao nâmco são Èervený,, γ, γ = ; 9 p, γ, γ = s sen γ cos γ, sen γ sen γ, cos γ ; 3 δ, γ, γ = ; 3 δ, γ, γ = ; 3 δp, γ, γ = s cos γ cos γ, cos γ sen γ, -sen γ ; 33 δp, γ, γ = s -sen γ sen γ, sen γ cos γ, cos γ ; 34 τ, γ, γ =. 35 A conção ncal para o Jacobano poe ser obta a partr a função e reen assocaa a equação 3 em um meo homogêneo Èervený, : ρ ep[ ω, ; ω =. 36 4π Conserano uma esfera e rao arbtraramente pequeno em torno a fonte e a apromação e prmera orem para, γ, γ δ, γ, γ, γ, γ c] δ = p δ. 37 Utlzano a epressão 37, o Jacobano poe ser avalao nas promaes a fonte na forma J δ = [s ] 3 sen γ δ Oδ Das equações 36 e 37 observa-se que a ampltue próma à fonte poe ser apromaa por A ρ ρ δ = =. 39 4π 4πs δ ubsttuno as equações 38 e 39 em e tomano o lmte δ segue que K = ρ s senγ. 4 4π Desta forma a solução a equação e transporte e orem zero para uma fonte pontual é ρ ρ s senγ A =. 4 4π J O fator J é proporconal ao chamao fator e espalhamento geométrco em 3D Èervený,, que é proporconal a vergênca a energa sísmca no meo urante sua propagação. ua relação com o espalhamento geométrco efno em Èervený é L = J = s J l = s L l, 4

24 3 em que l é o comprmento e arco ao longo o rao. Uma vez efna a trajetóra o rao, o tempo e trânsto ou função conal τ é aa por τ, = s ζ ζ. Desta forma a apromação o rao e orem zero para a função e reen em 3D para um meo acústco com ensae varável é Blesten et al.,,, ω A, e ωτ, = 4π ρ ρ s J sen γ ep [ ωτ, ]. 43 Até agora estamos supono um meo trmensonal. Entretanto, em termos computaconas, a mplementação este algortmo ege um custo muto grane. Uma forma e reuzr a emana computaconal é processar os aos pressupono um moelo D para as propreaes físcas e conserar a propagação o campo e onas em 3D, esta aboragem é enomnaa propagação em.5-d. A grane vantagem esta aboragem é que o traçamento e raos é realzao em D, reuzno enormemente o esforço computaconal Determnação a função e reen em.5-d Nesta seção mostraremos como se comporta um rao em um meo one a velocae não vara em uma as mensões espacas, neste caso. Teno esta premssa em mente, temos então que p = s =, 44 ou seja, a seguna componente o vetor vagarosae é constante ao longo o rao em.5- D. Além sso, a ntegração e 44, temos que p é ao pelo seu valor ncal p [, γ, γ ], que por motvo e brevae escreveremos como p. Como conseqüênca a equação ferencal para a componente em, temos: = p, 45

25 4 em que = [, γ, γ ] é o valor ncal e. Desta forma, p é um parâmetro constante ao longo o rao assm como γ. Utlzano a regra a caea poemos escrever o Jacobano mostrao na Equação 9, na forma J, 3 3 = = 46, γ,, p, γ, γ, p, γ,, γ Observano que veja a Fgura. p = s sen γ sen γ, 47 temos que p = s senγ cosγ = s senγ. 48 γ = γ Desta forma o Jacobano em.5-d poe ser escrto na forma J 3 p 3 = et = s senγ J, 49 D γ γ γ 3 p p,, p.5d seno J D o Jacobano no plano e propagação. ubsttuno-se este resultao na Equação 4, obtemos para a ampltue p γ A.5D = 4π ρ ρ. 5 J D Esta equação mostra que o fator proporconal ao espalhamento geométrco em.5-d é gual ao prouto os fatores que escrevem o espalhamento geométrco o campo acústco entro o plano e propagação espalhamento fora este plano. J D e um fator que escreve os efetos o A função e reen em.5-d para meos com ensae varável é obta substtuno 49 em 43 ρ ρ.5d, ; ω = ep[ ωô, ]. 5 4π J As conções ncas para o traçamento e raos nâmco a partr e uma fonte pontual em meos.5-d são ervaas aquelas apresentaas na seção..4, com a partcularae que γ =, ou seja, D

26 5, γ = 5 p, γ = s sen γ, cos γ 53, γ γ = 54 p, γ = s cos γ, -sen γ 55 γ τ, γ =. 56 Neste ponto apresentaremos o algortmo para o traçamento e raos nâmcos em.5-d. Daas as conções ncas 5-56 : - Integrar as equações = p, p τ = s e = s, para a etermnação o camnho percorro e o tempo e trânsto e caa rao e as equações para a etermnação e / γ. - Calcular o jacobano 3 - Calcular a ampltue p = γ γ p e = s, γ = et 3 J D A.5D γ 3 γ ρ ρ =. 4π J Neste trabalho mplementamos este algortmo utlzano, para ntegração numérca o sstema e equações ferencas acma, a epansão e Taylor e seguna orem, apresentaa no Apênce B. O moelo e vagarosae é representao em uma malha retangular e B-splnes Boor, 978 são utlzaos para garantr que o campo e vagarosae é C. A utlzação a epansão e Taylor reuz o custo computaconal em relação aos métoos o tpo Runge-Kutta, pos o valor a vagarosae ao quarao, o seu graente e hessano, são avalaos uma únca vez a caa passo. Testes foram realzaos D

27 6 comparano este ntegraor numérco com o Runge-Kutta com controle e erro. Para os moelos e vagarosae suaves comumente utlzaos na mgração a precsão os os métoos é a mesma orem se o passo e ntegração é,5 Z/s mn, em que Z é o ntervalo e scretzação a malha em profunae e s mn é a vagarosae mínma o moelo. Apesar a aboragem escrta acma ser mas efcente que a utlzação e ntegraores o tpo Runge-Kutta e alta orem, o traçamento nâmco e raos emana um esforço computaconal ntenso para mplementação a mgração pré-emplhamento se comparao ao traçamento e raos convenconal. A segur escrevemos uma aboragem alternatva para a reução este custo computaconal Traçamento e raos analítco em meos com graente e vagarosae ao quarao constante Para o cálculo analítco a trajetóra o rao scretzamos o meo em uma malha trangular pressupono que o graente a vagarosae ao quarao é constante em caa célula esta malha, ou seja, - s = s., 57 seno s o valor a vagarosae em um ponto arbtráro, em geral na orgem o sstema e coorenaas e o graente o campo e vagarosae ao quarao. O sstema Hamltonano -3 poe ser meatamente ntegrao Farra, 99, pos Após a ntegração e 59, encontramos = p ; p = p = p, 6 em que p = p e = -. ubsttuío este resultao em 58 obtemos a trajetóra o rao 4 = p, 6

28 7 na qual =. O tempo e trânsto para este tpo e moelo é obto pela substtução a Equação 57 na Equação 4, o resultao é τ 3 = τ p. p. p.. 6 O Jacobano D para este tpo e moelo, poe ser avalao meatamente usano 6, o que resulta na epressão J D = s s cosφ - φ 63 em que φ e φ são os ângulos que o rao faz com a reção vertcal. A substtução a Equação 63 na Equação 49, fornece a ampltue ao longo o rao A.5D ρ ρ s = 4π s s cos φ φ. 64 Os etalhes a mplementação este algortmo estão escrtos nos apênces B e C. s s.- AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO ALORITMO DE TRAÇAMENTO DE RAIO Os os algortmos escrtos anterormente foram mplementaos. O algortmo I utlza a epansão e Taylor para ntegrar o sstema e traçamento nâmco e raos e o algortmo II efetua o traçamento e raos analítco em meos scretzaos em células trangulares com graente a vagarosae ao quarao constante. Apesar e mostrarmos o esenvolvmento os algortmos conserano a ensae varável, para toas as mplementações numércas assummos a ensae constante e gual a um. Na Fgura.3 é mostrao o eemplo e traçamento e raos em um moelo com uma camaa com graente vertcal constante e velocae sobre um substrato homogêneo e velocae 83m/s. A camaa superor tem velocae c 3 =8,365 3 m/s. O moelo tem mensões 5m e comprmento por 3m e profunae. O ntervalo e scretzação é e = 6,5m e = 5m. A Fgura.3a mostra os raos obtos pelo algortmo I enquanto que a Fgura.3b mostra o resultao obto pelo outro algortmo. A fonte está localzaa nas coorenaas 5m, 3m. Foram traçaos raos em um ntervalo e ângulo e 7º a 7º formao com a vertcal. A Fgura.4 mostra os tempos e trânsto computaos pelo traçamento e raos mostrao nas fguras anteror, seno a lnha contínua o resultao o algortmo I e a lnha pontlhaa o resultao o algortmo II. Observa-se que o tempo e trânsto é o pratcamente o mesmo para os os algortmos. O

29 8 espalhamento geométrco obto pelo algortmo I e o calculao através a apromação.64 na Fgura.5. As pequenas osclações mostraas na bora reta o resultao encontrao pelo algortmo I são causaas pelos raos que cruzam a regão e forte contraste e velocae, em que o hessano o campo e vagarosae ao quarao vara rapamente. Estes efetos poem ser elmnaos mnuno o passo e ntegração, o que aumentara ana mas o custo computaconal este algortmo, ou suavzano ana mas o moelo. A apromação para o espalhamento geométrco calculaa algortmo II não apresenta osclações pos assumr que too o moelo possu o graente a vagarosae ao quarao constante e contínuo. Apesar as ferenças, observa-se que as curvas para o espalhamento geométrco são prómas prncpalmente para pequemos afastamentos entre fonte e receptor. O os algortmos foram mplementaos em FORTRAN9 e complaos com as mesmas opções e otmzação. O tempo e processamento o prmero algortmo fo e 4s, enquanto que tempo para o processamento para o seguno algortmo fo e.s. Este fator e efcênca relatva a orem e 4 justfca a busca e apromações para o operaor e mgração que spensem o traçamento e raos nâmco.

30 9 a Fgura.3 Trajetóra os raos para uma fonte localzaa 5m, 3m. O moelo consste e uma camaa com graente vertcal e velocae sobre substrato homogêneo. A fgura a fo calculaa pelo algortmo I e a fgura b calculaa pelo algortmo II. b Fgura.4 Tempos e trânsto em mlseguno, obtos pelo traçamento e raos no moelo vertcal mostrao na Fgura.3, utlzano o algortmo I lnha contínua e o algortmo II lnha pontlhaa, respectvamente. Observa-se que o tempo e trânsto o traçamento e raos analítco recupera eatamente o mesmo resultao o algortmo I.

31 Fgura.5 Espalhamento geométrco pelos os algortmos. A lnha contínua fo calculaa pelo algortmo I e a lnha pontlhaa pelo algortmo II, respectvamente. A pequena osclação mostraa na lnha contínua é causaa pelos raos que cruzam a zona com forte contraste e velocae. Observa-se que a forma as uas curvas concem para afastamentos nferores a 5m. Para afastamentos maores a curvas não são concentes apesar e ncarem a mesma tenênca. Para mostrarmos que os resultaos o algortmo e traçamento e raos na malha trangular são consstentes com o traçamento nâmco, comparamos novamente o tempo e trânsto e o espalhamento geométrco para uma fonte na subsuperfíce localzaa fora a área a ocorrênca e alto contrate e vagarosae, como mostra a Fgura.6a e b. A fonte está localzaa nas coorenaas 5m, 5m. Os raos estão concentraos em uma faa e ângulo e 8 o a 8 o em relação com a vertcal, com o mesmo número e raos o teste anteror. A Fguras.7 confrma a concênca os algortmos no cálculo o tempo e trânsto. A Fgura.8 mostra o resultao obto pelos os algortmos para o espalhamento geométrco. Mas uma vez as uas curvas se superpõem para pequenos afastamentos e vergem para afastamentos maores, ncano que a ferença na nterpolação os moelos e velocae tem maor conseqüênca na etermnação a ampltue.

32 Fgura.6 Resultao o traçamento e raos usano a o algortmo I e b o algortmo e traçamento II. Fgura.7 Tempos e trânstos para os raos ncaos na Fgura.6. A concênca os resultaos obtos pelo algortmo I lnha chea e pelo algortmo IIlnha pontlhaa mostra a precsão o traçamento e raos analítco no cálculo o tempo e trânsto.

33 Fgura.8 A lnha contínua representa o espalhamento geométrco obto pelo algortmo I, e a lnha pontlhaa o espalhamento geométrco estmao pelo algortmo II. Novamente percebemos que as curvas concem para pequenos afastamentos. Embora as curvas não concam para afastamentos maores a tenênca e ecamento a ampltue é bem representaa pelas uas curvas.

34 3 3 - INTERAI DE MIRAÇÃO DE KIRCHHOFF 3. - INTRODUÇÃO Neste capítulo apresentaremos a ntegral e mgração e Krchhoff com veraera ampltue. Prmeramente, veremos o sgnfcao a epressão veraera ampltue, em segua as epressões em 3-D são analsaas, a segur é ervaa a ntegral e mgração e Krchhoff para o caso.5-d. Fnalmente scutmos a mplementação e algortmos o mgração utlzano os traçaores e raos o capítulo anteror e ferentes apromações para a função peso FATORE QUE AFETAM A AMPLITUDE DA REFLEXÕE ÍMICA Estem mutos fatores que nterferem na ampltue as refleões sísmcas. Na Fgura 3. estão epostos os prncpas fatores. Entre os fatores relaconaos a propagação estão espalhamento geométrco o campo e onas, a transmssvae, atenuação, spersão, espalhamento múltplo, a curvatura e a rugosae os refletores. Outros fatores são nepenentes a propagação: a potênca e parão e raação o arranjo e fontes, a sensblae o receptor e os ruíos herff, 975. Neste trabalho voltaremos nossa atenção para o espalhamento geométrco. Fgura. 3.- Fatores que nfluencam a ampltue a ona sísmca na refleão Aaptao e herff, 975.

35 4 A representação e um campo e pressão analítco assocao a um evento e refleão prmára, conserano o termo e orem zero a sére o rao, é aa porchlecher et al., 993 A U ξ, t = R f t τ ξ, 65 c R L em que R c é o valor o coefcente e refleão no ponto e refleão; A é um fator e absorção, que envolve os efetos e atenuação e transmssvae; L é o fator e espalhamento geométrco relatvo que etermna a vergênca o fluo e energa urante a propagação; ξ é um parâmetro que escreve a confguração e fontes e receptores e ft é o snal analítco a fonte, composto pelo snal a fonte como parte real e sua transformaa e Hlbert como parte magnára; τ R ξ representa o tempo e trânsto calculao ao longo o rao que une a fonte ao ponto e refleão e este ao receptor. Por refleão com veraera ampltue entene-se a refleão prmára corrga o fator e espalhamento geométrco chlecher et al., 993, ou seja U TA ξ, t = LU ξ, t = R Af t τ ξ. 66 Nos casos em que as peras evo às transmssões são pequenas, uma seção corrga os efetos o espalhamento geométrco fornece valores proporconas ao coefcente e refleão Urban, 999. c R A MIRAÇÃO DE KIRCHHOFF COM VERDADEIRA AMPLITUDE Estem ferentes ervações para a mgração com veraera ampltue, como está ncao na ntroução este trabalho. Neste capítulo seguremos a ervação apresentaa por Tygel et al 996.

36 5 a b Fgura 3. Ilustração a Integral e Mgração. No omíno as observações as curvas e fração τ D e e uma refleão τ R estão representaas para uas stuações. Em a o ponto M frator conce com um ponto o refletor em subsuperfíce, as curvas e fração e refleão são tangentes. Em b o ponto M não está sobre o refletor e não este ponto e tangênca entre as curvas τ D e τ R. O operaor e mgração e Krchhoff é um operaor e emplhamento e fração a energa sísmca no espaço os aos, em outras palavras, o valor a ampltue e caa ponto M, na seção mgraa em profunae, é ao pela soma algébrca poneraa as ampltues os traços e entraa ao longo a curva e fração τ D ξ, M. Esta curva, τ D ξ, M = τ ξ, M τ M,ξ, é obta pela soma os tempos e trânsto a fonte ao ponto M na subsuperfíce e este para o receptor. A Fgura 3.a e b lustra a mgração e Krchhoff. As refleões sísmcas prmáras estão localzaas ao longo a curva o tempo e refleão τ R ξ no espaço e aos. Observa-se que quano o ponto M está sobre o refletor, no omíno o moelo, as curvas τ D ξ, M e τ R ξ são tangentes, como mostra a Fgura 3.a, e o emplhamento os aos ao longo a curva e fração é coerente em torno e ξ *. Caso o ponto M não esteja sobre o refletor, as curvas não terão ponto e tangênca, como mostra a Fgura 3.b, e o resultao a ntegral e mgração não apresenta coerênca e o resultao é neglgencável chlecher et al, 993. As curvas τ D ξ, M e τ R ξ epenem a confguração e fonte e receptores, como está ncao pela epenênca em ξ.

37 6 A escrção apresentaa acma fo ervaa por Tygel et al., 996 a partr a equação a ona e a teora o rao, conserano ana que as refleões prmáras são corretamente escrtas pela apromação e Krchhoff. O resultao obto para ntegral e mgração é V M = W, M U,, M ξ ξ & ξ τ ξ, 67 D π Ω em que VM é a ampltue a magem mgraa no ponto M; o omíno e ntegração, Ω, contém toos os traços sísmcos e é função a confguração utlzaa, ou seja, e ξ. Caa traço entro e Ω contrburá para a ampltue no ponto M U& ξ, τ D ξ, M é a ervaa o ao sísmco em relação ao tempo avalaa no nstante τ D ξ, M; a função peso Wξ, M ervaa em Tygel et al.996 e corrga em Jaramllo et al.998, é aaptaa aqu como hb W ξ, M = L L, 68 s M cos α em que L e L são os fatores e espalhamento geométrco relatvo para os raos que vão a fonte ao ponto na subsuperfíce e este para o receptor, respectvamente, sm é o valor a vagarosae em M e α M é o ângulo e bsseção no ponto M entre o rao ncente e o rao emergente como mostra a Fgura 3. e h B é o valor absoluto o etermnante e Beylkn Apênce F, a eplcação a utlzação o valor absoluto é evo a ntegral e mgração não necesstar e uma reção. M Fgura 3.3 eometra os raos que formam a curva e fração. O rao ncente a partr a fonte, localzaa em ξ, atnge o ponto M frator, e o rao emergente conecta M ao receptor ξ; α M é o ângulo e bsseção entre estes raos em M.

38 INTERAL DE MIRAÇÃO PARA O CAO.5-D Como já ncamos anterormente a mplementação o algortmo e mgração em 67 e 68 ege o traçamento e raos nâmco em 3D. Para meos com pequena varação e propreaes físcas perpenculares ao plano que contém a lnha e aqusção e aos, é possível escrever a propreae físca em D e tratar a propagação o campo acústco em 3D. Esta é a apromação.5d Blesten, 984. A especalzação a ntegral e mgração 67 para este caso está escrta no Apênce E. O resultao esta especalzação é V M, a função peso neste caso é W = ξ W ξ, M U ξ, τ.5. D t D π, 69 ξ, M = W ξ,, 7 M.5D em que e são os fatores e espalhamento geométrco fora o plano que contém os raos que conectam fontes, ξ, ao ponto M em subsuperfíce e este ao receptores, ξ; t é a sem-ervaa ant-causal efna no Apênce E. A mplementação e 69 e 7 requer apenas o traçamento e raos nâmco em D reuzno enormemente a custo computaconal em relação a 67 e O OPERADOR DE MIRAÇÃO PARA CONFIURAÇÃO DE AFATAMENTO COMUM Neste trabalho mplementamos a mgração.5d para a confguração e afastamento comum. A substtução a Equação 68 em 7, epos a especalzação o etermnante e Beylkn e 3-D para.5-d, mostrao no Apênce F, fornece a segunte epressão para a função peso W ξ h L L =., 7 D D D B, M.5D s M cos α M em que, D h B é o valor absoluto o etermnante e Beylkn em -D, e sua avalação epene a confguração e fontes e receptores utlzaa para efetuar a mgração. Entretanto, os espalhamentos geométrcos que aparecem nesta epressão não são

39 8 recíprocos, sto é, os valores estes espalhamentos poem ser ferentes se tomarmos o sento os raos no a fonte ao ponto na profunae e este para o receptor ou caso contráro. Desta forma, para torna-los recíprocos, evemos ter W h ξ =. L, 7 D B.5D, M s M cos α M seno que L é o espalhamento geométrco recíproco ao por L = A M, A, M, 73 em que AM, e A,M são as ampltues o rao que va a fonte para o ponto M e este para o receptor, respectvamente. Estas ampltues são aa por, Èervený A, =, 74 D 4π s L, seno e a representação o ponto e chegaa e o ponto e parta e um ao rao. Por outro lao, para o caso a confguração e afastamento comum CO, a avalação e D h, B ncaa no apênce F, fornece h D B cosϕ D cosϕ D = s M cos α sgn J sgn J, 75 M D D L L em que ϕ e ϕ são os ângulos que os raos fazem com a normal à superfíce, na posção e fonte e receptor, respectvamente, e sgn J D e sgn J D são os snas as matrzes Jacobanas os raos M e M, respectvamente. ubsttuno-se 74 em 73 e esta em 7, além sso, substtuno-se 75 também em 7 encontramos D D L L CO D D W = 4π s s cos sgn J cos sgn J..5D ϕ ϕ D D L L 76 Esta é a função peso utlzaa em nossa mplementação APROXIMAÇÕE PARA FUNÇÃO PEO Como os epermentos numércos o capítulo anteror mostram. O traçamento e raos nâmco é muto spenoso. Dellnger et al. partno esta observação propuseram apromações para a função peso 7 para ferentes confgurações e fontes e receptores. Zhang et al. propõem apromações para a função peso em meos com.

40 9 graente e velocae constante. Neste trabalho mplementamos a apromação e Dellnger et al. e a apromação 63 para o cálculo o peso a mgração em A função peso conserano o meo homogêneo Dellnger et al. propuseram uma função peso que mnu o esforço computaconal, comparano-o com o esforço utlzao quano se utlza o valor a função peso untáro, sto é, quano utlzamos a mgração cnemátca, porém o resultao obto é bastante prómo ao a mgração com veraera ampltue. Com este pressuposto o peso para mgração na confguração e afastamento comum é Blesten, 987 s 3.. D W 5 3 î,m = ð, 77 com = s, ; =, e =, representano a localzação e fonte, receptor e ponto magem, respectvamente. Esta equação poe ser smplfcaa em função o tempo e trânsto entre fonte e receptor.5 8 s M h s M W D ξ, M M, 78 3 π t t em que t é o tempo e trânsto fonte e receptor, h é o valor e meo afastamento, 3 é a profunae o ponto M e sm é a vagarosae em M. Toos os aos necessáros para o cálculo esta função peso spensam o traçamento e raos nâmco, o que 7 aumenta pelo menos uas orem e graneza a efcênca o algortmo A função peso para meos com graente constante a vagarosae ao quarao eguno lnha proposta por Dellnger et al. propomos uma função peso baseaa na apromação para a função peso utlzano o Jacobano em meos com graente constante para o quarao a vagarosae, representao pela Equação 63. Este eve ser substtuía em na Equação 4 e o resultao esta substtução eve ser substtuío na Equação 76, prouzno

41 3 W CO..5D = 4π s s s s cos φ cos φ φ φ cosϕ sgn J D s s cos φ cos φ φ φ cosϕ sgn J D. 79 Toas as quantaes apresentaas na equação 79 são etermnaas pelo traçamento e raos analítco escrto no capítulo anteror. Portanto, sua mplementação requer custo mínmo em relação a mgração cnemátca utlzano este tpo e traçamento e raos ALORITMO DE MIRAÇÃO COM VERDADEIRA AMPLITUDE Para o processamento a mgração em veraera ampltue, a área alvo é scretzaa em uma malha regular. O espaçamento o malha eve ser menor ou gual a um quarto o comprmento e ona assocao a freqüênca omnante Blesten et al,.conserano que o macromoelo e velocae seja obto e algum procemento e análse e velocaeylmaz,, a mplementação o algortmo consste as seguntes etapas:. Calcular a transformaa e Hlbert a seção sísmca, para obtermos a parte complea o snal analítco, e aplcação o fltro freqüênca. ω no omíno a. Cálculo o tempo e trânsto e a ampltue, para toos os pares e fontesreceptores, para toos os pontos consttuntes a área alvo. 3. omatóro ponerao, pela função peso, as ampltues os traços ao longo a curva e fração τ D ξ,m para caa ponto a área alvo.

42 3 4 - AVALIAÇÃO NUMÉRICA DA MIRAÇÃO EM.5D 4. - MODELO E DADO ERADO INTÉTICAMENTE Para avalarmos o algortmo e mgração com veraera ampltue em.5-d, utlzamos aos sntétcos geraos pelo programa EI88 através a teora o rao Èervený & Pšenèík, 988. O prmero um moelo e velocae, moelo I, possu uma camaa com graente vertcal constante para a velocae sobre um substrato homogêneo separaos por uma nterface suave Fgura 4.. A velocae na camaa superor vara com a profunae na forma v 3 =,8, km/s. A camaa subjacente possu velocae constante e gual a,83 km/s. O objetvo este moelo é avalarmos as apromações propostas para a ntegral e mgração em moelos sem varação lateral e velocae. O seguno moelo, moelo II, apresenta varação lateral e vertcal e velocae sobre uma camaa homogênea, com velocae e propagação a ona P e,5 km/s; a nterface que separa estes omínos apresenta curvatura mas acentuaa que no moelo I Fgura 4.7. Este moelo permte avalar o comportamento as apromações a ntegral e mgração em moelos que volam alguns pressupostos e sua ervação. A seções e aos com afastamento comum foram geraas pelo programa EI88. As fontes pontuas tem pulso aborèervený & Pšenèík, 988 com freqüênca omnante e 4 Hz. O ntervalo e amostragem no tempo é e um mlseguno. Para o moelo I, foram geraos 575 traços com afastamento e 6m. Para o moelo II, 575 traços foram calculaos para caa um os afastamentos: 6m, m e m. O ntervalo entre os pontos méos entre fontes e receptores é e 5m. As Fguras 4. e 4.8 mostram seções e afastamento comum em caa um os moelos DETALHE DA IMPLEMENTAÇÃO DA MIRAÇÃO COM VERDADEIRA AMPLITUDE Os os moelos e velocaes utlzaos para gerar os aos sntétcos foram scretzaos em um omíno e 5m e largura e 3m em profunae com ntervalo e amostragem e = 6,5m e = 5m. A segur fo gerao o campo e vagarosae ao quarao, utlzao pelos algortmos e traçamento e raos, nverteno os

43 3 valores a velocae em caa nó e aplcaa uma méa móvel aos aos e 55 pontos. Os moelos suavzaos são mostraos nas Fguras 4.3 e 4.9. Para evtar o problema e etermnar o rao que conecta o ponto magem a fonte ou receptor, calculamos a trajetóra e um fee enso e raos, com ntervalo entre angular e,5 graus entre raos e 7 o a 7 o meos em relação a vertcal. Para os moelos utlzaos este procemento fo aequao para etermnar o tempo e trânsto e o espalhamento geométrco para caa fonte e receptor por nterpolação lnear. Após a mgração o valor mámo a ampltue ao longo o refletor fo etermnao através e nterpolação no omíno a freqüênca. O coefcente e refleão eato calculao usano o programa e traçamento e raos EI88. O ajuste entre estes os resultaos é obto pelos mínmos quaraos. Para avalar a performance a mgração para recuperação a ampltue as refleões, fo estmao um fator multplcatvo para as ampltues estmaas pela mgração que mnmza a soma os quarao os resíuos entre o valores estmaos e o coefcentes e refleão calculaos pelo EI88 ao longo o refletor Resultaos a mgração utlzano o moelo I A zona alvo para a mgração é aa por, 3, km e,5 3,45 km com = m e 3 =.5 m. A Fgura 4.4 mostra o resultao a mgração, para afastamento e 6m, utlzano o traçamento e raos analítco e a função peso calculaa pela apromação 79. Para efeto e comparação com os resultaos a segur, fo efetuaa a mgração os aos utlzano o moelo eato e velocae, ou seja, com graente vertcal e velocae constante e os coefcentes e refleão estmaos estão mostraos na Fgura 4.5. O traçamento e raos fo efetuao com o programa EI88. A Fgura 4.6a, b, c e apresenta os coefcentes e refleão estmaos, para aos com afastamento e 6m, utlzano quatro ponerações ferentes na ntegral e mgração, respectvamente:. função peso eata, Equação 76, calculao através o traçamento e raos nâmco escrto no Capítulo ;. função peso apromaa pela Equação 79, apromação I;

44 33 3. função peso aa pela Equação 78 proposta em Dellnger et al., apromação II; 4. função peso untára, ou seja, mgração cnemátca. Os erros relatvos as estmatvas e ampltue foram avalaos através o esvo parão entre os valores estmaos pelos algortmos e mgração e os valores eatos vo pelo valor méo os coefcentes e refleão eatos. Em toas as estmatvas o erro relatvo fo a orem e %, mesmo para a mgração cnemátca. Estes erros estão a orem o erro relatvo encontrao pela mgração analítca.

45 34 Fgura 4. Dstrbução e velocae no moelo I. A nterface curva separa uma camaa que possu graente vertcal constante para a velocae, e uma camaa homogênea. Fgura 4. Daos sntétcos obtos por pares fonte-receptor na confguração e afastamento comum, para o moelo e velocae mostrao na Fgura 4.. O afastamento é e 6m e a stânca entre os pontos méos é e 5m. O ntervalo e amostragem o tempo é e ms.

46 35 Fgura 4.3 Moelo suavzao para a strbução e velocae mostrao na fgura 4.. Fgura 4.4 Resultao a mgração e Krchhoff usano o moelo e velocae suavzao mostrao na Fgura 4.3. Esta fo calculaa usano o traçamento e raos analítco.

47 Fgura 4.5 Coefcente e refleão analítco, calculao pelo programa EI88 lnha contínua e coefcentes estmaos utlzano o moelo e velocaes usao para gerar os aos ncaos pelo foram calculaos pela mgração analítca com veraera ampltue. 36

48 37 a b c Fgura 4.6 Comparação entre os coefcentes e refleão eato lnha contínua e as estmatvas resultantes a mgração com a função peso: a eata, b apromação I, c apromação II e mgração cnemátca. O erro relatvo o ajuste encontra-se na faa e %. O afastamento os aos é e 6m

49 Resultaos a mgração com o moelo II Os quatro epermentos e mgração com ferentes pesos, conforme escrto no teste anteror, foram aplcaos aos aos sntétcos geraos para o moelo II. A área alvo consste a regão. 3, km e.95 3,4 km. A Fgura 4. mostra o resultao obto pelo algortmo e mgração para o afastamento e 6m. Os coefcentes e refleão estmaos estão mostraos na Fgura 4.a, b, c e. O erro relatvo encontrao fo e 4% para as funções pesos eata, Fgura 4.a e para a apromação I, Fgura 4.b. Para a função peso que consera o meo homogêneo o erro relatvo fo e 5%, Fgura 4.c, para mgração cnemátca e o untáro este erro fo e 6%, como mostrao na Fgura 4..

50 39 Fgura 4.7 Dstrbução e velocae no moelo II. A nterface separa uma camaa que possu graentes, vertcal e horzontal, e uma camaa homogênea. Fgura 4.8 smograma sntétco com traços para o moelo II. O afastamento entre fonte e receptor é e 6m.

51 4 Fgura 4.9 Moelo uavzao para a strbução e velocae mostraa na fgura 4.7. Fgura 4. Resultao a mgração e Krchhoff os aos na Fgura 4.9 utlzano o moelo e velocae suavzao, mostrao na fgura 4.9. Este resultao fo calculao com o traçamento e raos analítco.

52 4 a b c Fgura 4. Comparação entre os coefcentes e refleão eato lnha contínua e as estmatvas resultantes a mgração com a função peso: a eata, b apromação I, c apromação II e mgração cnemátca. O afastamento entre fontes e receptores é e 6m. Os resultaos a estmatva os coefcentes e refleão para aos e afastamento e m e e m estão ncaos nas Fguras 4.a- e Fguras 4.3a-, respectvamente. Para aos com afastamento e m, os erros relatvos para os coefcentes e refleão estmaos foram e 5% utlzano o peso eato e a apromação I,