D I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 01: Introdução ao Limite e Funções Contínuas

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1 D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L I ac C Á L C U L O 0 Prof. ADRIANO CATTAI Apostila 0: Introdução ao Limite e Funções Contínuas NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática (Paulo Carus) Introdução Antes de começarmos com as fantásticas idéias e as importantes terminologias do Cálculo, quero agradecer por lerem estas notas de aula e por contribuirem nas possíveis correções de digitação e na apresentação das ideias básicas para introdução desse novo e básico conceito que iremos trabalhar. É muito importante que tomem os seguintes cuidados: Este material não substitui o livro e jamais deverá ser tratado como único teto ou como teto base para seus estudos; Estas notas serão nosso ponto de partida ou nossa orientação na sequência dos contéudos que são conversados em nossas saborosas aulas de Cálculo; Prestem bem atenção com a notação utilizada. A matemática possui uma linguagem própria, por isso, curta-a! A seguir, uma síntese de outros tetos que tentam eplicar o que é Cálculo e por que precisamos estudá-lo. O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de Cálculo Infinitesimal, ou simplesmente Cálculo, é um ramo importante da Matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaio de uma curva ou o volume de um sólido). De toda Matemática que, provavelmente, vocês tenham estudado o Cálculo é fundamentalmente diferente. Ele é a matemática dos movimentos contínuos e suas variações. Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o Cálculo é a matemática a ser empregada. Antes dele a Matemática se restringia essencialmente a padrões estáticos: contagem, medição e descrição de forma. Ele ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, ciências econômicas, ciências biológicas, física clássica e até a física moderna. Com a introdução de técnicas para lidar com movimentos e variações, podemos estudar: deslocamento de planetas e de corpos; funcionamento de maquinas; fluo de líquidos; epansão de gases; forças físicas, como o magnetismo e a eletricidade; corpos em queda livre na Terra; crescimento de plantas e animais; disseminação de epidemias; flutuação de lucros, etc.

2 Aprender cálculo é um processo que não ocorre na primeira tentativa. Seja paciente e perseverante, faça perguntas, discuta ideias e trabalhe com seus colegas. Procure ajuda o mais rápido que precisar. A recompensa de aprender Cálculo é muito gratificante, tanto intelectualmente como profissional. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da Matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do Cálculo. O Cálculo estuda basicamente as funções, a partir de 3 operações-base: Limites, Derivadas e Integrais. Consultem o plano de disciplina e vejam o detalhamento dos conteúdos que iremos estudar; os objetivos específicos e a justificativa da presença do Cálculo em nosso rol de discplinas. Introdução ao Limite de Funções O conceito fundamental e básico sobre o qual o cálculo se apóia é o de ite de função. Abordaremos sobre esse conceito, de forma intuitiva, e usaremos para estudar a noção de continuidade de função. A ideia de ite é fácil de ser captada com alguns eemplos presentes em nosso senso comum. Vejamos alguns. Eemplo (Placa Metálica) Suponha que uma placa metática, na forma de um quadrado, esteja epandindo uniformemente porque está sendo aquecida. Se for o comprimento do lado, a área da placa é dada por A() =. Assim, quanto mais se aproima (ou se avizinha) de 4, a área A tende a 6. Dizemos, então, que quando se aproima de 4, se aproima de 6 como um ite. Em símbolos, escrevemos: A() = 4 4 = 4 = 6. Aqui, a notação 4 indica que tende a 4 e significa o ite de. Assim, 6 é o ite da função A() =, quando tende a 4. Generalizando, se f é uma função e a é um número, entendemos a notação f() = L como o ite de f(), quando tende a a, é L, isto é, f() é cada vez mais próimo do número L quando é arbitrariamente do número a. Ainda não temos uma definição formal de ite. No entanto, a partir de alguns eemplos, teremos condições de adquirir uma compreensão prática de ites. Eemplo (Limite de uma função num ponto) Considere a função f() = +. Quando assume uma infinidade de valores aproimando-se mais e mais de, a função + assume uma infinidade de valores aproimando-se de + =. Dizemos que o ite de f(), quando tende a, é igual a. Escrevemos + =. Claramente, eistem duas possibilidades para aproimar-se de : Uma: se aproima de por valores inferiores a, neste caso, diremos que tende para pela esquerda. Iindicaremos : 0, 5 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 f(), 5, 9, 99, 999, = Adriano Cattai

3 Outra: se aproima de por valores superiores a neste caso, diremos que tende para pela direita. Indicaremos + :, 5,, 0, 00, f(), 5,, 0, 00, = f() = f() = + f() =. Em ambos os casos, os valores de f() se aproimam de à medida que se aproima de. Assim, podemos tornar f() tão próimo de quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos suficientemente próimo de. Por isso dizemos que eiste o ite de f() quando tende a e seu valor é. Observação (Limites Laterais) Os ites f() e f(), do eemplo anterior, são os ites laterais de f no ponto =. + Eemplo 3 (Limite Intuitivo da Função Afim) Temos que 3+5 =, pois quando é muito próimo a, 3 é cada vez mais próimo a 6 que, adcionado a 5, obtemos. De um modo geral, temos a+b = a 0 + b. 0 Ou, mais geralmente, se p() = a n n + a n n +...+a + a +a 0 é um polinômio, então p() = a n 0 n + a n 0 n +...+a 0 + a 0 + a 0 = p( 0 ). 0 Ou seja, basta obter a imagem do ponto pelo polinômio. Infelizmente, não é possivel determinarmos (sempre) o ite de uma dada função por simples considerações aritméticas, como fizemos com a função afim. Primeiramente, podemos ter funções em que os valores variam tão desordenadamente que nunca se estabelecem e tendem a um ite, quando diremos simplesmente que o ite não eiste. Em segundo, a função pode ser tão complicada que eista o ite, mas não é tão evidente por simples inspeção aritmética. Os três eemplos que seguem, ilustram ites de funções que eistem, num determinado ponto, porém não estão tão evidentes. Eemplo 4 (Limite de uma função racional, num ponto) Definimos como função racional, a toda função que é um quociente entre plinômios. Assim, seja a seguinte função racional f() =, =. Notem que f não está definida para =, isto é, não eiste a imagem f(). Veja que no gráfico (abaio) = não está associado a algum y. Adriano Cattai 3

4 Como = ( )( + ), podemos simplificar f e, quando =, escrevemos f() = +. y 3 Deste modo, temos: f() = = + =. Ou seja, podemos fazer f() próimo de o quanto quisermos, bastando tomar bem próimo de, com =. O ite obtido aqui, pode ser ilustrado geometricamente com o traçado do gráfico da função f() = + desde que, para =, a função se comporta como uma reta, ecluído o ponto(, ). De um modo geral, f() = L nos diz que f() assume valores tão próimo de um número L quanto desejarmos, pela simples escolha de suficientemente perto de a, mantendo = a. Ou seja: na determinação do ite de f(), quando tende para a, não interessa como f está definida em a (nem mesmo se f está realmente definida em a). A única coisa que interessa é como f está definida para valores muito próimos a a, isto é, numa vizinhança de a. Observação (Limite de Funções Racionais) Sejam p() e q() dois polinômios e f() = p() q(). Então: (i) Se q(a) = 0, então f() = p(a) q(a) ; (ii) Se p(a) = q(a) = 0, então o ite é indeterminado 0 e isto não significa a ineistência do ite. 0 Significa que precisamos afastar esta indeterminação através da divisão de polinômios, dividindo p() e q() por a e, obtém-se o ite desejado. O dispositivo prático de Briot-Ruffini efetua essa divisão rapidamente; (ii) Se p(a) = 0 e q(a) = 0, então f(a) é uma impossibilidade, digamos k, e isto significa que o ite 0 não eiste, pois iremos obter ±. Neste caso, analisamos os ites laterais de f() no ponto a, para decidirmos entre+ ou, como veremos em Limites Infinitos, mais adiante. Eemplo 5 Vamos ilustrar essa observação: (a) = ( ) + 3 ( ) 4 = 6 ( ) 3 = ; (b) 3 } {{ 4+3 } 0/0 B.R. = 3 ( 3)( + 3+) ( 3)( ) : Como 3, temos 3 = 0, pois = 3. (c) 4+ = 5 0?? = ±. (Veremos depois!) = + 3+ = 0 3 = 0; Adriano Cattai 4

5 Eemplo 6 (Limite de uma função irracional, num ponto) Seja f() =, = 0. Com auílio de uma calculadora obtemos imagens de valores + muito próimos a 0, conforme tabelas abaio. () 0 0, 0, 0 0, 00 0, 000 0, f(), , , , , f() = () 0 + 0, 0, 0 0, 00 0, 000 0, f(), , , , , f() = Por evidências numéricas, induzimos o valor do ite e afirmamos que =. Por 0 + outro lado, como (a b) (a+b) = a b, podemos racionalizar o denominador (neste caso, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de + ), obtendo: f() = ++ = ( + +) + ++ ( +) = ( ++) =0 = + +. Assim, temos: 0 = = e 0 + Ou, simsplesmente, = ++ = = =. Eemplo Seja f() =, em que =. Estamos interessados em saber se eiste algum número + em que f() se aproime quando se aproima (continuamente) de. Ou seja, estamos querendo 3 +0 saber se eiste. + Como temos uma raiz cúbica (não quadrada) a racionalização feita no eemplo anterior (produto pelo conjugado) não é eficaz aqui. Neste caso usamos o recurso de troca de variável, que faremos da seguinte forma: (i) O radicando + 0 igual a alguma variável ao cubo: y 3 = +0; (ii) Ajustar o denominador: + = y 3 0+ = y 3 8 = y 3 3 = (y )(y + y+4); (iii) Alterar a tendência: y 3 8, logo y. Fazendo a troca, temos: = y 3 y3 y 3 0+ = y y (y )(y + y+4) = y y + y+4 =. Logo, afirmamos que f() sempre que. Adriano Cattai 5

6 Observação 3 Quando o ite apresentar mais do que um radical com índices diferentes, e radicandos comuns, adote o radicando como sendo igual a alguma variável elevada a n, em que n é o menor múltiplo comum aos índices. Por eemplo: 3 4 (MV) = y 3 y 4 = y y = y (y 3 + y + y+) +y+y = 4 3. y 4 y 3 = (y )(y 3 + y + y+) y ( y)(+y+y ) Em que n = m.m.c(3, 4) =, a mudança de variável (MV) foi = y e y. Fatoração de a n b n, n : a b = (a b)(a+b) a 5 b 5 = (a b)(a 4 + a 3 b+a b + ab 3 + b 4 ) a 3 b 3 = (a b)(a + ab+b ) a 6 b 6 = (a b)(a 5 + a 4 b+a 3 b + a b 3 + ab 4 + b 5 ) a 4 b 4 = (a b)(a 3 + a b+ab + b 3 ) a 7 b 7 = (a b)(a 6 + a 5 b+a 4 b + a 3 b 3 + a b 4 + ab 5 + b 6 ) a n b n = (a b)(a } n + a n b+a n 3 b +. {{..+a b n 3 + ab n + b n } ) n parcelas, cada com soma dos epoentes resultando n Observação 4 (Forma Indeterminada 0/0) Nestes três últimos eemplos, percebemos que se tentarmos calcular o ite diretamente, sem algum manuseio algébrico, iremos obter a epressão 0. Esta epressão é muito comum no cálculo de 0 ites e não tem significado como valor de um ite. A epressão 0 é um símbolo de indeterminação. 0 Esta ocorrência significa que o ite ainda não foi calculado. Vejamos uma justificativa para essa terminologia: 0 = 0 = 0! tal que 0 = 0 0 Por isso dizemos que éuma indeterminação, por não eistir um único que satisfaça 0 = 0.. Propriedades do Limite Calculamos os ites de algumas funções por intuição, como por eemplo 3+ que é 5, fazendo a simples consideração aritmética 3 ( ) + = 5. Quando não era tão evidente, fizemos algumas manipulações algébricas até que tivemos o cálculo evidente. Na prática, os ites são cálculados pelo uso direto de certas propriedades por uma inspeção artmética que, conforme a lei da função, é feita diretamente antes ou depois da manipulação algébrica. Por eemplo: 3+ = 3 + = 7 e = ( )(+ ) = + = + =. Supondo que f() = L, g() = M e k R um número qualquer, as propriedades são: PL0: = a; Adriano Cattai 6

7 PL0: k = k; O ite da constante é a própria constante. PL03: f()±g() = f()± g() = L± M; O ite da soma/diferença é a soma/diferença dos ites. PL04: k f() = k f() = k M; O ite da constante pela função é a constante pelo ite. PL05: f() g() = f() g() = L M; O ite do produto é o produto dos ites. f() f() PL06: g() = g() = L, desde que M = 0; M O ite do quociente é o quociente dos ites, se o denominador for não nulo. [ ] n PL07: [ f()] n = f() = L n, em que n é inteiro positivo; O ite da potência é a potência do ite. n PL08: f() = n f() = n L, em que se n for par, L não pode ser negativo; O ite da raiz é a raiz do ite. f() = L ; O ite do módulo é o módulo do ite. PL09: f() = PL0: Se g é alguma função tal que f() = g() numa vizinhança de a (eceto possivelmente em a), então g() = f() = L. Totas estas propriedades devem ser bastante razoáveis para o cálculo intuitivo do ite. As propriedades 03 e 05 são válidas para um número finito de funções, ou seja, se f () = L, f () = L,..., f n () = L n, então, ( f ± f ±...± f n )() = f ()± f ()±...± f n () = L ± L ±...± L n ; ( f f... f n )() = f () f ()... f n () = L L... L n. A propriedade PL0 é a que nos permite manipular algebricamente a função até obter uma epressão que seja possível a inspeção aritmética. Eemplo 8 Dado o ite , diretamente pelas propriedades 06, 08 e 03, temos: = = = = Eemplo Dado o ite, vemos que = 0 e 4 = 0, ou seja, o ite é indeterminado 0/0. Assim, pela propriedade 0, temos: = ( 4)( + 4) 4 = + 4 = 8. Adriano Cattai 7

8 . Limites Laterais Diferentes O eemplo que segue, ilustrará a situação em que, quando se aproimar de a com valores menores do que a, o ite da função f será diferente quando se aproimar de a com valores maiores do que a. Esses ites são os mesmos Limites Laterais da Observação, página 3. Eemplo 0 (Limites Laterais Diferentes) Seja f uma função definida por f() = + { +, se > 0 =, se < 0. y Observemos o comportamento de f quando: () 0 + () , 8 +0, 5 +0, +0, +0, 0 +0, 00 f(), 8, 5,,, 0, 00 0, 8 0, 5 0, 0, 0, 0 0, 00 f(), 8, 5,,, 0, 00 Note que, à medida que os valores de se aproimam de 0, com valores maiores do que 0, os valores da função se aproimam de, e que, à medida que os valores de se aproimam de 0, com valores menores do que 0, os valores da função se aproimam de. Concluímos, então, que não eiste o ite de f quando tende a 0, pois os ites laterais eistem e são desiguais. Em símbolos: 0 f() = = = f() = f() Temos, portanto, uma relação entre ites laterais e ites bilaterais: O ite bilateral eiste se, e somente se, eistirem os ites laterais (isto é, são finitos) e são iguais. Escrevemos, f() = L f() = f() = L. + O ite, portanto, estabelece qual o comportamento da função na vizinhança de um ponto 0, sem que este pertença necessariamente ao seu domínio. Caso 0 perteça ao domínio, f( 0 ) não interfere no ite de f em 0. Vejamos a definição de vizinhança numérica. Definição (Vizinhança Numérica) Chama-se vizinhança numérica do número a, ou simplesmente vizinhança de a, a todo intervalo aberto V(a) que contém a. Se a é o centro da vizinhança, então diz-se que a vizinhança é simétrica. Adriano Cattai 8

9 δ δ a δ a a+δ V(a; δ) = V δ (a) A distância δ de a a qualquer um dos etremos da vizinhança simétrica é chamada de raio da vizinhança. Denotaremos por V(a; δ) ou V δ (a) uma vizinhança simétrica de centro em a e de raio δ. Em outros termos, dizer que V δ (a) é equivalente a dizer que a diferença a em valor absoluto é menor do que δ, isto é, a < δ. Assim, temos as seguintes equivalências: V δ (a) a < δ δ < a < δ a δ < < a+δ (a δ, a+δ). Por eemplo,, 4 V () = (; 3), pois, 4 = 0, 6 = 0, 6 <..3 Definição do Limite Esta primeira definição, é uma definição intuitiva do ite. Ela nos permite entender seu significado de uma forma intuitiva, sem o rigor matemático aplicado na outra definição, que seguirá naturalmente. Definição (Intuitiva do Limite) Suponhamos que f() é uma função real definida para todo número em algum aberto (ou em uma reunião de intervalos) contendo a, eceto possivelmente no próprio a. Dizemos que: () [Limite Bilateral] O ite de f(), quando tende a a, é igual a L, quando podemos fazer f() arbitrariamente próimo de L, tomando suficientemente próimo de a (por ambos os lados de a), mantendo = a. Em símbolos, escrevemos: f() = L. () [Limite Lateral Esquerdo] O ite de f(), quando tende a a pela esquerda, é igual a L E, quando podemos fazer f() arbitrariamente próimo de L E, tomando suficientemente próimo de a, com valores menores do que a, mantendo = a. Em símbolos, escrevemos: f() = L E. (3) [Limite Lateral Direito] O ite de f(), quando tende a a pela direita, é igual a L D, quando podemos fazer f() arbitrariamente próimo de L D, tomando suficientemente próimo de a, com valores maiores do que a, mantendo = a. Em símbolos, escrevemos: f() = L D. + Esta outra definição, é a definição de ite. Ela apresenta o rigor matemático da aproimação com o uso de vizinhanças. Ela é geralmente conhecida como como a definição formal do ite ou definição ε-δ. Adriano Cattai 9

10 Definição 3 (Limite ε-δ) Seja f uma função e a um número real para o qual eista algum intervalo I aberto contendo a (ou seja, I = V(a)) e I {a} esteja contido no domínio de f. Definimos: () [Limite Bilateral] Dizemos que o ite de f() quando tende ao número a é o número real L se, dado um número real arbitrário e positivo, ε > 0, podemos encontrar um número real real postivo, δ > 0, tal que 0 < a < δ = f() L < ε. Equivalentemente, V δ (a) = f() V ε (L). Isto é, sempre que for arbitrariamente próimo de a, f() é arbitrariamente próima de L. () [Limite Lateral Esquerdo] Dizemos que o ite de f() quando tende ao número a, com valores menores do que a, é o número real L E se, dado um número real arbitrário e positivo, ε > 0, podemos encontrar um número real real postivo, δ > 0, tal que 0 < a < δ = f() L E < ε. (3) [Limite Lateral Direito] Dizemos que o ite de f() quando tende ao número a, com valores maiores do que a, é o número real L D se, dado um número real arbitrário e positivo, ε > 0, podemos encontrar um número real real postivo, δ > 0, tal que 0 < a < δ = f() L D < ε. Eemplo Por simples inspeção aritmética, afirmamos que + = 3, ou seja, afirmamos que eiste uma correspondência entre as vizinhanças de L = 3 e a =. Outra maneira de dizer isto, é que podemos tomar o valor absoluto da diferença entre f() e 3 tão pequeno quanto desejarmos, tomando o valor absoluto da diferença entre e suficientemente pequeno. Isto é, f() 3 pode ser tão pequeno quanto desejarmos, tomando suficientemente pequeno. Assim, para qualquer ε > 0, eiste algum valor δ > 0, tal que 0 < < δ f() 3 < ε. Vamos verificar que é verdade. Como f() = +, então Queremos agora, encontrar δ > 0, tal que: f() 3 = + 3 = ( ) =. se 0 < < δ então f() 3 < ε se 0 < < δ então < ε se 0 < < δ então < ε/ Portanto, se fizermos δ = ε, teremos 0 < < δ. Eemplo Vamos mostrar que 3 = 4. Precisamos mostrar que ε > 0, δ > 0; 0 < 3 < δ 4 < ε. Como 4 = ( 3) = 3 < δ, sempre que considerarmos δ < ε, teremos o desejado. De fato, ε > 0, δ > 0; 0 < 3 < δ 4 = 3 < δ < ε = ε. Adriano Cattai 0

11 Cálculo Diferencial e Integral Vamos escolher dois epsilons, ε = e ε =. Assim, temos duas vizinhanças, em y, para o número 4, V ε (4) = (, 6) e V ε (4) = (3, 5). Agora, adotando δ = 0, 8 < = ε / e δ = 0, 4 < 0, 5 = ε /, temos duas vizinhanças, em, para o número 3: V δ (3) = (, ; 3, 8) e V δ (3) = (, 6; 3, 4). Nas figuras, vemos que f ( V δ (3) ) V ε (4) e f ( V δ (3) ) V ε (4) Observação 5 Generalizando, para mostrar que 0 a +b = a 0 + b, se a = 0, precisamos mostrar que Para tanto, observemos que: ε > 0, δ > 0; 0 < 0 < δ a +b (a 0 + b) < ε. a +b (a 0 + b) = a( 0 ) = a 0 < a δ. Portanto, assumindo δ < ε, mostramos que: a ε > 0, δ > 0; 0 < 0 < δ a +b (a 0 + b) = a δ ε < a a = ε. Eemplo 3 Para mostrar que 3 = 9, precisamos mostrar que Para tanto, observemos que: ε > 0, δ > 0; 0 < 3 < δ 9 < ε. 9 = ( 3) (+3) = < δ + 3. Como 0 < 3 < δ, restringindo δ entre 0 e, temos 0 < 3 <, donde < 3 <, ou ainda, 5 < +3 < 7. Assim, 0 < + 3 < 7. Logo, 9 = ( 3) (+ 3) = 3 +3 < δ 7. { Portanto, assumindo δ = min, ε }, mostramos que: 7 ε > 0, δ > 0; 0 < 3 < δ 9 = < ε 7 < ε 7 7 = ε. Adriano Cattai

12 3 Função Contínua Da relação entre os ites laterais e o bilateral, dizemos que o ite bilateral eiste se os laterais forem finitos e iguais. f() = L L = L = L. Conforme os ites laterais, podemos notar: () Se L E = L D, então eiste f() e f() = L, em que L = L E = L D ; () Se L E = L D, então não eiste f(); (3) Pode eistir um e outro não. Daí não eiste f(); (4) Ambos não eistem. Daí não eiste f(). Na determinação do ite de f(), quando atende a a, não interessa como f está definida em a (nem mesmo se f está realmente definida em a). A única coisa que interessa é como f está definida para valores de muito próimo a a (numa vizinhança de a). Assim, podemos distinguir três casos possíveis, como segue: Suponha que f() = L. Então, etamente um dos três casos é válido: Caso. f está definida em a e f(a) = L; Caso. f não está definida em a; Caso 3. f está definida em a e f(a) = L. Quando o primeiro caso acontecer, diremos a função é contínua no ponto = a. Definição 4 (Continuidade) Seja f() uma função real definida em a R. Dizemos que: () [Num ponto] A função f() é contínua no ponto = a se f() = f(a); () [Num Conjunto] A função f() é contínua num conjunto A se f for contínua em todo a A; (3) [Contínua] A função f() é contínua quando f for contínua em todos os pontos de seu domínio. A seguir, eemplos ilustrando esses conceitos. Eemplo 4 Sejam f, g e h três funções definidas em R, dadas abaio: f() = { se < + se g() = { se + se > se < h() = se = se > Adriano Cattai

13 y = f() y = g() y = h() A partir de seus gráficos, temos: f() = f() = + f(); g() = g() = + g(); h() = h() = + h() =. Temos as seguintes conclusões: (i) As funções f e g são descontínuas (não são contínuas) em =, pois o ite, quando, não eistiu; (i.) f é contínua à direita em = pois f() = = f(); + (i.) g é contínua à esquerda em = pois g() = = g(); (ii) A função h é descontínua em =, pois h() = = = h(). Eemplo 5 Sejam f e g duas funções, cujos gráficos estão ao lado. Afirmamos que ambas são contínuas, isto é, não possuem ponto algum de descontinuidade em seus domínios. Porém, possuem domínios diferentes: y = f() 3 y = g() 3 f é contínua em todo R; g é contínua em R {}. Observação 6 Como Dom(g), ou seja, não eiste g(), não se questiona a continuidade de g neste ponto. Ou seja, que a definição de função contínua, eige que a análise da continuidade num ponto seja requerida somente quando o ponto é do domínio da função. Caso contrário, não há sentido em analisar a continuidade da função no ponto. Eemplo 6 Analisando o domínio de f() =, que é R {0}, vemos que f é contínua. De fato, a = 0, temos: = a = f(a). Adriano Cattai 3

14 Agora, se o 0 fosse incluído no domínio, precisaríamos atribuir um valor para f(0). Pergunta-se: Qual o valor para f(0) de tal modo que f seja contínua? Analisando os ites laterais em zero: 0 = e 0 + = +. Como os ites laterais são infinitos (falaremos disso mais adiante), o ite bilateral não eiste. Logo, não podemos atribuir valor real algum para f(0) de tal forma que f seja contínua em zero., = 0 Agora, considerando g() =, vemos que g é descontínua em = 0., = 0 y = f() y = g() Eemplo 7 A reta f() = m +n é contínua em R. De fato, para todo a R temos m+b = m a+n = f(a). De modo geral, se p n () é um polinômio de grau n, então p n () é úma função contínua em R. De fato, seja p n () = a n n + a n n +...+a + a +a 0, daí: 3 p n() = a n n + a n n +...+a + a +a 0 = a n a n + a n a n +...+a a + a a+a 0 = p n (a). Isto nos diz que: o ite de um polinômio p() em = a, é p(a). Eemplo 8 A função eponencial y = a, em que 0 < a =, é contínua em R. Obs. Algumas propriedades úteis:??? Detalhar... a a y = a +y ; a /a y = a y ; a b = (a b) ; a = a ; y a = a /y. Eemplo 9 A função logarítmica f() = log a (), em que 0 < a =, é contínua em R +. Adriano Cattai 4

15 Obs. Se > 0, então log a () é o epoente ao qual deve se elevar a base a para se obter o valor de, isto é, log a () = y se, e somente se, a y =. Obs. Se > 0, então ln() (logaritmo natural) é o epoente ao qual deve se elevar a base e para se obter o valor de, isto é, ln() = log e () = y se, e somente se, e y =, em que e, 7, é a constante de Euler. Obs 3. Se > 0, então log() é o epoente ao qual deve se elevar a base 0 para se obter o valor de, isto é, log() = log 0 () = y se, e somente se, 0 y =. Obs 4. Algumas propriedades úteis: log a ( y) = log a ()+log a (y); log a (/y) = log a () log a (y); log a ( n ) = n log a (). Eemplo 0 4, = A função f() = + é contínua em =, pois: 4, = Eemplo A função f() = Eemplo A função f() = f() = +, > 4 + = ( )(+) +, =, < f() = = f() = = {, < +, f() = = f() = + = + + f() = = f() = + = + + é descontínua em =, pois: é contínua à direita em =, pois: = = 4 = f( ). f() = = = f(). f() = = f(). + Note que f é descontínua em =. Eemplo 3 {, A função f() = é contínua à esquerda em =, pois: +, > Note que f é descontínua em =. Eemplo 4 Determine o valor de k para que f() = { f() = = f(). k, +4, > seja contínua. Solução: Como f() = k = k e que f() = =, então para que + +4 o ite eista, devemos ter k =, ou seja, k =. Veja que f() = k que, para k =, teremos f() = = f(). Adriano Cattai 5

16 Proposição (Propriedades) Sejam f e g duas funções. (a) Se f e g são contínuas em a, então f ± g e f g são contínuas em a; (b) Se f e g são contínuas em a, então f /g é contínua em a, desde que g(a) = 0; (c) Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f g é contínua em a; (d) Se f e g são funções contínuas, então f ± g, f g, f /g, f, f g e g f são funções contínuas; (e) Um função polinomial é contínua em todo R; (f) Um função racional (quociente entre polinômios) é contínua em seu domínio; ( ) (g) Se f é uma função contínua e g() = L, então f (g()) = f g() = f(l), desde que L Dom( f). Eemplo 5 A função f() = + 3 é contínua em R, pois a R, temos: f() = + 3 = + 3 = a + 3 a = f(a). Ou, de outro modo, se f () = e f () = 3, vemos que f é uma soma entre duas contínuas. Já a função g() = + é contínua em R {±}. 4 Eemplo 6 Por ser contínua, a função logarítmica, temos: log 4 ( ) ( 4 = log 4 ) ( ) 4 = log 4 + = log 4 (4) =. Eemplo 7 (a) As funções sen() e cos() são contínuas em R, ou seja, a R, temos: sen() = sen(a) e cos() = cos(a). (b) As funções tg() = sen() cos() e sec() = cos() são contínuas para todo = π + kπ, k Z. Ou seja: tg() = tg(a) e { sec() = sec(a) a / R; = π } + kπ, k Z. (c) As funções cotg() = cos() sen() e cossec() = sen() seja: são contínuas para todo = kπ, k Z. Ou cotg() = cotg(a) e cossec() = cossec(a) a / { R; = kπ, k Z}. Adriano Cattai 6

17 Cálculo Diferencial e Integral 4 Funções Contínuas Definidas num Intervalo A epressão, função contínua é aquela que seu gráfico é desenhado sem que o lápis seja removido do papel é falsa. Por eemplo, f() = é contínua em R e seu gráfico não pode ser desenhado sem que o lápis não seja removido do papel. Porém, quando a função é contínua num intervalo, essa afirmação é verdadeira, devido ao seguinte teorema, devido a Bernar Bolzano e Augustin Louis Cauchy. Teorema (do Valor Intermédio - TVI) Se f é contínua no intervalo fechado[a, b], então para todo d entre f(a) e f(b) eiste, pelo menos, um c (a, b) tal que d = f(c). Ou, equivalentemente, seja f é contínua no intervalo [a, b]. Então para cada c [a, b] é eiste d R tal que d = f(c). Este teorema possui grande significado na determinação de valores específicos, como por eemplo zeros de função. As figuras que seguem nos ajufam a esclarecer que, considerada uma função contínua num intervalo fechado [a, b], se traçarmos uma reta horizontal y = d, em que d estão entre f(a) e f(b), esta intersetará o gráfico de f em pelo menos um ponto, neste caso de coordenadas(c, d). y y f(c) = d d c c c c 3 Geometricamente, interpretamos também este teorema da seguinte forma: se f é contínua num intervalo I, então seu gráfico é desenhado sem que o lápis seja retirado do papel ou, equivalenetmente, seu gráfico é formado apenas por uma linha ininterrúpta. Observação 7 Se f : I R é contínua, então a imagem do intervalo I é outro intervalo, digamos J. Escrevemos f(i) = J. Eemplo 8 Sabemos, da trigonometria que sen() e cos(), R, ou seja, as funções f() = sen() e g() = cos() são funções itadas e estão definidas em todo R. Como elas são contínuas (afirmação!), então sen(r) = [, ] e cos(r) = [, ]. Assim, para cada d [, ], eiste (pelo menos) um número c R tal que f(c) = d e g(c) = d. Na verdade, para cada d eistem infinitos c R tal que f(c) = d e g(c) = d. No caso particular em que d = 0, a reta será y = 0 (eio ). Assim, cada c corresponderá a um zero de f. Por isso mesmo, este teorema tem especial importância na localização de zeros de Adriano Cattai 7

18 Cálculo Diferencial e Integral determinadas funções (principalmente funções em que não é possível obter os seus zeros por meros processos algébricos). Assim, podemos enunciar a seguinte aplicação do TVI: Proposição Se f é uma função contínua num intervalo fechado[a, b] e f(a) f(b) < 0, então eiste pelo menos um valor real c (a, b) tal que f(c) = 0. Esta proposição apenas indica se a função possui raiz no determinado intervalo, sem indicar quantas e nem como determiná-la. Eemplo 9 A função f() = 3 + possui uma raiz no intervalo [0, ], pois: (i) f é contínua em R e, em especial, em [0, ] e (ii) f(0) = e f() =, implicando f(0) f() < 0. Daí, pelo TVI, eiste algum, c [0, ] tal que f(c) = 0. 3 Com um pouco de trabalho, dá para verificar que c = (9+ 93) 3 3 3(9+ 93). Eemplo 30 Com auílio de uma calculadora, vemos que a equação cos() = possui duas raízes reais, aproimadamente ±0, Com o TVI podemos identificar intervalos onde esses números estão, mas não como obtê-los. Vejamos. Primeiramente, esboçando essas duas funções, e cos(), as raízes da equação serão os pontos de interseção desses dois gráficos. Assim, o esboço abaio nos permite afirmar que que as raízes estão nos intervalos [ π/, 0] e[0, π/]. y y = y = cos() Como a equação cos() = é equivalente a cos() = 0, podemos adotar f() = cos(), como sendo a função que queremos mostrar, com o TVI, a eistência de raízes. Assim, vemos que f é contínua em todo R, por se tratar de uma direferança entre duas contínuas em R, em especial nos intervalos [ π/, 0] e[0, π/]. Calculando as imagens nos etremos destes intervalos, temos: f( π/) = ( π/) cos( π/) = π /4 0 = π /4 > 0 f(0) = (0) cos(0) = 0 = < 0 f(π/) = (π/) cos(π/) = π /4 0 = π /4 > 0 Pela continuidade de f e, visto que f( π/) f(0) < 0 e f(0) f(π/) < 0, o TVI garante a eistência de uma raiz em cada intervalo e, portanto, mostramos que a equação cos() = possui (pelo menos) duas raízes. 5 Limites Infinitos Nos dois eemplos que seguem, veremos funções que possuem ites laterais que não eistem, ou seja, que algum deles é infinito. Adriano Cattai 8

19 Eemplo 3 Seja f() =, = 0. Consideremos as seguintes tabelas: () , +0, 0 +0, 00 +0, , , f() () 0 0, 0, 0 0, 00 0, 000 0, , f() Note que, à medida que os valores de se aproimam de 0, com valores maiores do que 0, os valores da função crescem sem atingir um ite, e que, à medida que os valores de se aproimam de 0, com valores menores do que 0, os valores da função descrescem sem atingir um ite. Concluímos, então, que não eiste o ite de f quando tende a 0, nem pela esquerda e nem pela direira, pois os ites laterais não eistem. Em símbolos, escrevemos: Eemplo 3 Seja agora a função g() = temos: 0 = e 0 + = +., = 0. Com um raciocínio análogo ao eemplo anterior, ( ) ( ) = ( 0) = = + e +0 + ( ) = (+0) = +0 = +. Note que, que ( ) = ites laterais são infinitos. = +, mas o ite ( ) + não eiste, pois seus ( ) y = f() = y = g() = ( ) Adriano Cattai 9

20 Observação 8 (Assíntota Vertical) Dizemos que o a reta vertical = 0 (eio-y) é uma assíntota vertical para o gráfico da função f pois, pelo menos, um dos ites laterais em zero foi infinto e, a reta vertical = é assíntota vertical para a função g. Generalizando, diremos que a reta vertical = a é uma assíntota vertical vertical para o gráfico da função f se, algum dos ites em a for infinito, ou seja = a é assíntita vertical f() = ± e/ou f() = ± + Os símbolos e + não são números e devemos usá-los com muito cuidado. A seguir, a definição de ite infinito. Definição 5 (Limite Infinito) Seja D R e a D. Se f está definida em D {a}, então (i) f() = + quando, ao se aproimar de a, f() cresce iitadamente, ou seja, f() = + ( M > 0, δ > 0; 0 < a < δ f() > M). (ii) f() = quando, ao se aproimar de a, f() decresce iitadamente, ou seja, f() = + ( N < 0, δ > 0; 0 < a < δ f() < N). Observação 9 Ilustrando a definição, com a função g dada acima, vemos que = +, uma vez que se ( ) fizermos δ =, teremos M < = M < M = > M, M > 0. ( ) Note que as funções e são eemplos de duas funções quocientes, ou seja, da forma ( ) f() = p(), em que p() e q() são funções. Do mesmo modo que tratamos com os outros eemplos, procederemos informalmente com inspeções aritméticas das funções envolvidas que, nestes q() casos, devemos notar que: se o denominador da fração tender a zero e o numerador tender a uma constante diferente de zero, então a fração tenderá a ter um enorme valor absoluto. Ou seja, se p() p() = k = 0 e q() = 0 = q() = ±. A decisão entre ou + é dada estudando o sinal do quociente, em especial, do denominador, considerando os ites laterais. Adriano Cattai 0

21 Eemplo 33 Vamos considerar a função f() = 3. Como anula tanto numerado como denominador, podemos reescrever f da seguinte 4 forma: f() = 3 4 = ( )( + + ) ( )(+) = Assim, vemos que f() = 7 e que 4 f() = 3 = ±. Analisando os ites laterais, temos: 0 Em que, + + = 3 = + + e = = +. + = 0 devido que implica < + < 0 + = +0 devido que + implica > + > 0. + Definição 6 (Zero com Sinal) Dizemos que: (i) f() = 0 f() = 0 e f() < 0 quando a ; (ii) f() = 0 f() = 0 e f() < 0 quando + a+ ; (i) f() = +0 f() = 0 e f() > 0 quando a ; (ii) f() = +0 f() = 0 e f() > 0 quando + a+. Intuimos assim, a seguinte aritmética : Eemplo 34 Vejamos os seguintes lmites: { k + se k > 0 +0 = se k < 0 { k se k > 0 0 = + se k < 0 + (a) = + 3 ( 3) = 0 (0) = 0 +0 = + ; 0 (b) = 0 ( ) = 6 +0 = (em que < > 0). Intuitivamente, temos a seguinte Aritmética com o Infinito: k R e n N (+ )+(+ ) = + (± ) = + k (+ ) = +, k > 0 ( )+( ) = (± ) 3 = ± k (+ ) =, k < 0 (+ ) ( ) = (± ) n par = + k ( ) =, k > 0 k± = ± (± ) n ímpar = ± k ( ) = +, k < 0 + k + k k k = +, k > 0 =, k < 0 =, k > 0 = +, k < 0 Adriano Cattai

22 Também é fácil intuir que: + +0 = = +0 = 0 = + Eemplo 35 Determine as assíntotas verticais da função f() = 6 9. Solução: Como = ±3 anula o denominador e não o numerador, vemos que f(±3) = k, ou seja, 0 podemos usar a aritmética desenvolvida acima para garantir que = 3 e = 3 são assíntotas verticais. Para tanto, basta calcular os seguintes ites: ( 3)(+3) = 6 ( 3)(+3) = 9 3 ( 0) = 9 +0 = 9 3 (+0) = 9 0 = ( 3)(+3) = = 3 0 = + 6 ( 3)(+3) = = 3 +0 = Observação 0 (Cuidado! Cuidado! Cuidado!) Os resultados ±, +, +, 0 (± ) ± são símbolos de indeterminação. Eles não significam nada como valores de ites. Indica apenas que é preciso repensar o procedimento adotado no cálculo que levou até eles. Eemplo 36 Considere o seguinte ite: + +3 ( ) = = +. Com o cálculo direto, obtivemos a indeterminação +. Repensando o cálculo, temos: ( ) = (+3) + ( ) 4 = + ( ) = 4 +0 =. 6 Um Limite Muito Especial (A Derivada) A partir de uma dada função f(), iremos calcular um ite que, para o Cálculo, é muito especial. Sejam e y duas variáveis relacionadas pela equação y = f(). Indicamos por uma variação em e y = f(+ ) f() a variação em y (ou da função f ) quando há variação em. Note que, se f for contante, então y = 0. O quociente y f(+ ) f() = função f() no intervalo [, + ]. é a Taa de Variação Média (ou Taa Média de Variação) da Por eemplo, se f() =, então: y = (+ ) = + + = + = +. Adriano Cattai

23 Ou, se f() = 3, temos: (+ ) 3 3 = = = ( ) y Agora, se calcularmos o ite 0, teremos: + = e = 3. Ou seja, dada a função f() = f(+ ) f(), o cálculo do ite 0 função f() = 3, resultou 3. resultou. Ou, para a O quociente y é chamado, também, de quociente de diferença ou quociente de Newton. O ite quando tende a zero, de um quociente de diferença é a taa de variação instantânea da função. Este ite define uma nova função, a qual indicamos por f () ou dy e denominados de Derivada. d A definição que segue, resume estas observações. Definição 7 (Derivada) Dada uma função f, a função f definida por é chmada a derivada de f. f y () = 0 = f(+ ) f() 0 Observação (i) Na definição subtende-se que o domínio da função derivada f é o conjunto de todos os números no domínio de f para os quais o ite eista. Assim Dom( f ) Dom( f); (ii) No cálculo deste ite, devemos tomar cuidado em tratar como uma constante e como a variável, tendendo a zero; (iii) A notação f é a notação de Lagrange. Também indicamos por dy, que é a notação de Leibniz. d Assim, f () = dy d = y 0 ; (iv) O processo de calcular a derivada f de uma função (primitiva) f é chamado de diferenciação. Assim, o símbolo ( imcompleto ) d é visto como uma instrução para obter a derivada do que d lhe acompanha, como também o par de colchetes com a linha [ ] indica que devemos obter a derivada do que está dentro. Por eemplo, d d [ ] = [ ] = e d d [3 ] = [ 3 ] = 3. O quadro que segue ilustra este processo: Adriano Cattai 3

24 PROCESSO DE DERIVAÇÃO f (Primitiva) f(+ ) f() 0 (Limite Especial) EXEMPLO f (Derivada) 3 (Limite Especial) (Limite Especial) 3 7 Limites no Infinito? incompleto Eemplo 37 (Eaustão) A ideia de uma quantidade aproimando-se de um valor ite pode ser vista quando se procura estabelecer a fórmula que representa a área de um círculo C de raio r. Estamos supondo aqui que conhecemos a área A n de cada polígono regular de n lados, inscrito no círuclo, conforme ilustração abaio. A 3 A 4 A 5 A 6 A À medidade em que o número de lados cresce iitadamente (n + ) o que podemos afirmar sobre o valor A n? A n cresce iitadamente? ou equivalentemente A n +? A n tenderá a algum valor? ou equivalentemente A n k? Notem que, à medida que aumentamos o valor de n, a área A n do polígono inscrito ficará cada vez mais próima da área do círculo, ou seja, como n representa o número de lados do polígono, A 3, A 4, A 5, A 6,..., representam uma sucessão de valores que tendem ao valor da área do círculo C, A(C) = A +. Assim, afirmamos que fazendo n crescer iitadamente, a área do polígono tende a um ite e este é definido como a área do círculo. Em símbolos escrevemos: Notem que A n < πr, para todo e qualquer n. A + = n + A n = A(C) = πr. Duas ideias, aqui, foram apresentadas: a de sucessão de infinitos valores e a de aproimação destes valores de um outro. Eemplo 38 (Sequências) Agora, vamos construir essa ideia trabalhando com o conjunto dos números reais. Analisemos os seguintes eemplos de sucessões numéricas: Adriano Cattai 4

25 (a) {a n } = {,, 3, 4, 5,...}; (b) {b n } = {,, 3, 4, 5,...}; (c) {c n } = {0,, 0,, 0,...}; (d) {d n } = {,, 3, 4, 5,..., n },.... Observe que, na sucessão (a) os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um ite; em (b), os termos da sucessão decrescem iitadamente sem atingir um ite; em (c), os termos estão oscilando, não havendo um ite e, em (d), os temos estão se aproimando de zero, ou seja, zero é seu ite. Assim, podemos dizer que eiste ite apenas na sucessão do item (d). Adriano Cattai 5