Usando cálculo numérico no Macromedia Flash para simular problemas de Física

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1 Usando cálculo numérco no Macromeda Flash para smular problemas de Físca Leandro Resende de Pádua, ITA Insttuto Tecnológco de Aeronáutca, Departamento de Físca IEFF Pç. Marechal Eduardo Gomes, n 50 Campus do CTA, , São José dos Campos SP Fretz Severs Junor - fretz@comp.ta.br José Slvéro Edmundo Germano, slvero@ta.br Resumo: A smulação de fenômenos físcos com o auxílo do computador pode ser utlzada com grande efcênca, como ferramenta auxlar ao professor dentro do ambente da sala de aula, tanto no ensno da Físca básca quanto nos estudos de Físca mas avançados. Consegur fazer o aluno vsualzar um fenômeno físco, mutas das vezes complexo, pode se tornar um grande desafo para o professor, que com o auxílo do computador e smulações apropradas, tem uma alternatva efcaz para contornar essa dfculdade. Porém, desenvolver essas smulações (Objetos de Aprendzagem) explorando a parte gráfca na maora das vezes não é trval, devdo a complexdade das equações matemátcas que envolvem a maora dos fenômenos físcos. O que apresentamos nesse projeto, é a cração de algumas smulações de problemas de mecânca, bascamente sstemas osclatóros, utlzando o programa Macromeda Flash MX No desenvolvmento do projeto, utlzamos o método de Runge-Kutta para resolução numérca de equações dferencas que envolvem os problemas osclatóros. É mportante ressaltar que as smulações desenvolvdas, estão sendo utlzadas nos cursos de Físca que são mnstrados no Insttuto Tecnológco de Aeronáutca (ITA) com resultados bastante satsfatóros, despertando um maor nteresse e uma melhor compreensão do temas abordados. Palavras-chave: Flash, Cálculo numérco, Ensno a Dstânca, Objetos de aprendzagem. I. Introdução Fazer com que o aluno consga vsualzar no espaço, a representação gráfca do que está sendo ensnado, é uma das maores dfculdades que os professores de Físca enfrentam. Exstem algumas formas de mnmzar esse problema, sendo uma delas a utlzação do computador dentro do ambente da sala de aula, um recurso que já vem sendo explorado e que mostra resultados promssores.

2 Nem sempre os alunos das dscplnas de Físca Básca domnam os concetos de prmtva e dervada. A assocação desses concetos com os fenômenos da físca é anda mas rara, e torna-se dfícl a construção de relações que envolvam, por exemplo, o movmento osclatóro amortecdo e forçado, tas como: constante de elastcdade da mola (k), gráfco de amortecmento em relação ao tempo e velocdade. Esses concetos, do ponto de vsta teórco, são bastante conhecdos e encontram-se descrtos na maora dos lvros textos de Físca (Tpler, 2000; Hallday, 2002; Serway, 1992). Uma forma efcente de vablzar a construção destas relações, é a utlzação de smulações de um expermento que mostre todas as relações envolvdas. Neste trabalho, desenvolveremos essas smulações, também conhecdos como objetos de aprendzagem, com o programa Macromeda Flash. O problema que estamos nteressados em lustrar estão relaconados com os sstemas osclatóros: Movmento Harmônco Smples, Osclação Amortecda e Osclação Forçada que mostrará em tempo real, além das anmações os gráfcos relaconados ao sstema. Com smulações desse tpo, como ferramenta auxlar dentro do ambente da sala de aula, o professor poderá tornar a aula mas atratva e dnâmca, podendo concentrar nestas ocasões - seus esforços nos aspectos concetuas do assunto tratado. Além dsso, podem ser fetas perguntas aos alunos que os nduzam a pensar e a formular hpóteses, das quas a maor parte pode ser testada no ato. Toda esta atvdade é vável mesmo em turmas com número elevado de alunos, utlzando para tanto um computador acoplado a um projetor multmída, ou em um laboratóro de nformátca onde cada aluno pode ter acesso aos Objetos de Aprendzagem. A grande vantagem em usar o Macromeda Flash nesses tpos de aplcações está no alto nível de seus recursos multmída e prncpalmente na facldade de utlzação dos mesmos. Orgnalmente ele fo crado com o objetvo de ser um programa para cração de aplcações web e com sua evolução, passou a utlzar uma lnguagem de programação, o ActonScrpt, que fo baseado no JavaScrpt. Um programa que tem em prmero plano o desenvolvmento de webstes traz consgo um elevado número de ferramentas para a cração de aplcações gráfcas. Em contrapartda, agora nos deparamos com a dfculdade de resolução de problemas de físca que apresentam uma matemátca complexa, em partcular, aqueles que envolvam equações dferencas. Entretanto, o que vamos mostrar a segur é como acabar com essa dfculdade de uma manera smples, utlzando para sso o cálculo numérco. Neste projeto fo feto um programa com Macromeda Flash que smula o movmento osclatóro amortecdo e forçado, utlzando o método de Runge-Kutta para solução das equações de movmento que envolvem tas problemas. II. PROBLEMA: SIMULAÇÃO DE OSCILAÇÃO AMORTECIDA. O Objeto de Aprendzagem que remos descrever smula uma osclação de um sstema massa-mola com amortecmento vscoso com uma força peródca externa do tpo F cos( w t) aplcada sobre ele. Onde o usuáro nterage modfcando a constante elástca o f da mola (K), a vscosdade do fludo (C), o parâmetro da força aplcada (F 0), a freqüênca angular da força (w f) e mpondo uma deformação ncal da mola, bastando para sso, arrastar o bloco com o mouse. Para ncar a smulação novamente e para o problema voltar às condções ncas deve ser pressonado o botão reset. São consderados os seguntes

3 parâmetros ncas: massa =1Kg, volume = 100 cm, tamanho da mola=1m, densdade da 3 2 água=1 g/cm, gravdade =9,78 m/s. Esse problema pode ser vsualzado na fgura 1.0. O sstema massa-mola é representado através de uma mola segurada por uma mão de um aluno, onde a mola se encontra submersa em um líqudo cuja vscosdade é defnda pelo usuáro, de forma que o bloco está preso à mola. Conforme o usuáro poscona o bloco com o mouse, o bloco terá uma nova posção e aplcará uma deformação na mola que após o usuáro soltar o botão do mouse, o bloco será puxado ou empurrado (depende da posção do bloco) pela força de elastcdade da mola e o sstema traça um gráfco de um sstema amortecdo e forçado em tempo real, até que entre em regme estaconáro com osclações constantes de freqüênca w f. A fgura 2.0 mostra o estado ncal da smulação e a fgura 3.0 mostra o estado estaconáro que aparece após um certo tempo. 3 Fgura 1.0 Smulação de Osclação Amortecda e Forçada, posção ncal Fgura 2.0 Bloco arrastado pelo aluno. Começa a smulação.

4 Fgura 3.0 Térmno da smulação com gráfco - Regme estaconáro III. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MOVIMENTO OCILATÓRIO A equação que dta o movmento osclatóro amortecdo e forçado pode ser escrta como: m& x + cx& + kx = F cos( w t) Apesar dela possur solução analítca, vamos utlzar o método numérco de Runge- Kutta para exemplfcar como utlzá-lo dentro do Flash. o f IV. EQUAÇÕES DO PROBLEMA O RUNGE-KUTTA. Os métodos de Runge-Kutta são uma famíla de métodos numércos para soluconar equações dferencas ordnáras. São métodos que podem ser obtdos pela sére de Taylor sem a necessdade de calcular qualquer dervada. Para resolução desse problema, utlzamos o modelo clássco método de Runge-Kutta de 4ª ordem. Por sua dedução bastante trabalhosa, lmtamo-nos a enuncar apenas sua expressão utlzada. Esse método consste em estmar o valor da função em város pontos ntermedáros e o valor solução é encontrado pela méda ponderada entre esses pontos. Sua escolha para o projeto fo devda à sua grande precsão e pelo fato de poder ser utlzado na resolução de dversos tpos de equações.

5 A expressão do método de Runge-Kutta de 4ª ordem é dada por: 1 y 1 = y1 + h[ y& + + ( k1 + k2 + k3 )] 6 1 y& 1 = y& + + ( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6 onde k k k k = hf ( t, x, x& ) = hf ( t = hf ( t = hf ( t h h k1 +, x +, x& + ) h h h k2 +, x + x& + k1, x& + ) h + h, x + hx& + k2, x& + k3) 2 No prmero quadro, mostrado na fgura 1.0, declara-se o passo de ndução, que chamamos de h (0,016 fo usado no projeto), juntamente as outras varáves, que no caso do projeto foram: kk = k/m, cc = c/m, ff =F 0/m, ww = w f. Sendo que os valores de k, c, F 0 e w f podem ser alterados pelo usuáro e m é a massa do bloco, que fo defnda como 1kg, mas também podera dexá-la a crtéro do operador. Também consderamos o tamanho da mola como 1m e a quantdade de vezes que é executado o cálculo da posção n = 500. Vncula-se então, a posção e a velocdade do bloco com os valores ys[n] e vs[n], respectvamente, sendo que vs[n] é vnculado ndretamente, pos é utlzado no cálculo de ys[n], o qual é dretamente vnculado à posção vertcal do bloco. Observe que tanto vs[n] e ys[n] são matrzes que são utlzadas para realzar a anmação do bloco e para traçar o gráfco, assm temos que para cada período de tempo deve ser calculado um novo valor para essas matrzes. É nesse ponto que é necessáro utlzar o Runge-Kutta, para consegur esses valores. Para realzar os cálculos é precso crar um objeto do tpo Move Clp, pos este tpo de objeto possu uma lnha de tempo ndependente da lnha de tempo prncpal, tornando possível assm colocar o códgo do Runge-Kutta (lstagem 1.0) em um de seus quadros e realzar sucessvos loop s sobre esse quadro sem alterar o prncpal. Dessa forma, obtemos os valores da posção e da velocdade em cada nstante, sendo que o valor de ys[0] é gravado com a mposção da posção ncal do bloco pelo usuáro. De posse do valor e da posção do bloco, basta acrescentar uma ação para que ele se movmente de acordo com esse dado. É nteressante notar o fato de uma característca do Flash auxlar especfcamente essa aplcação sobre movmento osclatóro: como a mola é feta utlzando desenho vetoral, a sua deformação durante a anmação não ocasona perda de qualdade gráfca, o que não acontecera com um btmap. Tal fato garante uma melhor apresentação ao programa, tornando-o mas atratvo. A segur, na Lstagem 1.0 está o códgo utlzado no cálculo do Runge-Kutta para o movmento smulado.

6 //Cálculo da Força ncal agndo sobre o bloco. f = m*g - g*vol*1; // Peso menos o empuxo //Nesse ponto mpomos uma condção para que o cálculo do Runge-Kutta seja executado pelo programa (tam é a varável que guarda a ampltude ncal). amp = Math.abs(ys[0]); for(n=0;((amp<tam/100)&&(n<500));n++) { //São declarados os quatro parâmetros do método Rung-Kutta k1=h*((ff)*(math.cos(ww*n)) + f/m -(kk)*ys[n]-(cc)*vs[n]); k2=h*((ff)*(math.cos(ww*(n+h/2)))+ f/m-(kk)*(ys[n]+(h/2)*vs[n])- (cc)*(vs[n]+k1/2)); } k3=h*((ff)*(math.cos(ww*(n+h/2)))+f/m -(kk)*(ys[n]+(h/2)*vs[n]+ (h/4)*k1) (cc)*(vs[n]+k2/2)); k4=h*((ff)*(math.cos(ww*(n+h))) + f/m (kk)*(ys[n]+h*vs[n]+ (h/2)*k2v)-(cc)*(vs[n]+k3)); // Serão guardados os valores da posção e da velocdade dentro de duas matrzes (ys e vs). ys.push(ys[n]+h*(vs[n]+(1/6)*(k1+k2+k3))); vs.push(vs[n] + (1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)); Lstagem 1.0 Códgos nserdos em Acton Scrpt V. Usando o Flash Macromeda Flash MX 2004 é uma ferramenta de desenvolvmento com mutos recursos, possbltando a entrega de uma varedade de conteúdos dnâmcos na web. Uma pesqusa realzada pela Macromeda nforma que o Flash Player está nstalado em 98% dos browsers conectados à web. Ao contráro de um códgo HTML estátco, uma aplcação feta no Macromeda Flash pode responder rapdamente sem a necessdade de se fazer algum processamento no servdor. Essa ferramenta atende aos requstos para os nossos estudos de caso para cração de Objetos de Aprendzagem em físca. É mportante observar também que a lnguagem ActonScrpt é de fácl utlzação, tendo em vsta que em seu ambente de desenvolvmento encontra-se um help bem completo dessa lnguagem. Para desenvolver o projeto, prmeramente fo crado o ambente gráfco com o qual ríamos trabalhar. Para sso foram utlzadas as ferramentas de desenho dsponíves no programa, que são bem smples de usar. O Flash, como já ctado, tem anda a vantagem de trabalhar com desenho vetoral, que possu recursos de fácl manpulação, o que em geral, torna o processo de desenho mas smples para o propósto de representação de stuações físcas. Lembrando que também é possível trabalhar com outros tpos de gráfcos dentro do Flash (jpg, gf, bmp, etc.), além de sons e vídeos em dversos formatos. Depos de montada toda a parte gráfca fo feta a parte de nteração. Para tanto, foram nserdos campos de texto que guardam os valores das constantes utlzadas no

7 movmento e fo acoplado um scrpt ao bloco do sstema massa-mola para que o usuáro o arraste, mpondo assm uma deformação ncal sobre a mola. O próxmo passo fo crar um novo Move Clp para o gráfco do movmento, que conssta em um exo de cordenadas com um outro objeto do tpo Move Clp na crado na orgem com o comando createemptymoveclp. Esse objeto é uma lnha dnâmca, a qual vnculamos a posção com a matrzes ys[n] e vs[n] com o comando lneto. Assm, essa lnha é traçada ao mesmo tempo que o bloco se move, pos os dos estão vnculados às mesmas varáves. Após sso, adconou-se o Move Clp com os cálculos do Runge-Kutta. ao flme e o Objeto de Aprendzagem estava pronto. Depos de acabada, a nterface do programa fcou como mostra a fgura 1.0 VI. Conclusão Como um dos resultados deste trabalho, podemos ctar o fato de que programas crados no Macromeda Flash estão sendo utlzados nas aulas de físca que são mnstradas no ITA, tendo uma grande acetação tanto por parte dos professores (que na maora das vezes tem dfculdade de ncorporar esse tpo de tecnologa no seu da a da da sala de aula) quanto pelos alunos. As smulações auxlam os professores a lustrar com clareza, e em tempo real, todas as possbldades envolvdas em tas stuações físcas, melhorando de forma concreta a qualdade das nformações que são passadas pelos professores, contrbundo assm para o aperfeçoamento do processo ensno-aprendzagem. Outro ponto mportante a ser ctado, é que a utlzação da técnca baseada no uso do cálculo numérco dentro do Macromeda Flash, ampla a possbldade de estudarmos problemas mas complexos dentro do ensno de físca, pos com essa técnca podemos resolver as equações que envolvem o problema a ser estudado mesmo que este não tenha solução analítca. O método de Runge-Kutta faclta na cração dos Objetos de Aprendzagem para a cração dos gráfcos, pos não precsamos calcular dferencas o que dfcultara a mplementação do mesmo. Referêncas Folhas, Carlos and Trndade, Jorge Físca no computador: o computador como uma ferramenta no ensno e na aprendzagem das cêncas físcas. Rev. Bras. Ens. Fs., Set 2003, vol.25, no.3, p ISSN W. Boyce, Computers n Physcs 11, 151 (1997). W. Boyce, R. DPrma, Elementary Dfferental Equatons 435, 608 (2001). Macromeda Flash MX 2004 tutoral ofcal Allare, Jeremy (2002). Macromeda Flash MX A next generaton rch clent. Macromeda. Avalable at:

8 Brogan, Pat (1999). Usng the Web for Interactve Teachng and Learnng. Macromeda. Avalable at: Jacobsen, P. E-learnng Magazne, acesso mao 2002 Knologment Mechancs, acesso setembro 2003 Power elearnng, acesso em setembro de Reed John A. Developng Interactve Educaton Engnner Software for the World Wde Web em Java, artgo, Computer Educaton,Vol 30, No ¾ pp , (Demonstraton of the use of Macromeda Flash assocated wth the numercal calculaton n the Physcs teachng.) Usng numerc calculaton n Macromeda Flash to smulate problems of Physcs Abstract: Smulaton of physcal phenomena wth the computer ad can be used wth great effcency, as auxlary tool to the teacher nsde of the class room, n the Physcs teachng, as well as n the studes of Physcs more advanced. To get wth that the student vsualzes the phenomenon physcal, a lot of tmes of dffcult understandng, becomes a great challenge for the teacher, that wth the computer and approprate smulatons, has an effectve alternatve to mnmze ths dffculty. However, the development of smulatons (Objects of Learnng), explorng the graphc part s not trval, due to complexty of the mathematcal equatons that nvolve the physcal phenomena. We presented n ths project, to development of smulatons of some mechancs problems, based on the oscllatory systems, usng the program Macromeda Flash MX In the development of ths project, we used the method of Runge-Kutta, for numerc resoluton of the dfferental equatons of the studed problems. As a result of ths project, the smulatons are beng used n the courses of Physcs of ITA wth satsfactory results, wth a crescent nterests and a better understandng of the studed phenomena. Key-words: Physcal Phenomena, Method of Runge-Kutta, Learnng Objects.