RODOLFO HOFFMANN ANÁLISE ESTATÍSTICA DE RELAÇÕES LINEARES E NÃO LINEARES. Portal de Livros Abertos da USP

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1 RODOLFO HOFFMANN ANÁLISE ESTATÍSTICA DE RELAÇÕES LINEARES E NÃO LINEARES Portal de Lvros Abertos da USP

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5 RODOLFO HOFFMANN ANÁLISE ESTATÍSTICA DE RELAÇÕES LINEARES E NÃO LINEARES ª edção dgtal Praccaba, ESALQ-USP Edção do Autor 6 DOI:.66/

6 Dados Iteracoas de Catalogação a Publcação DIVISÃO DE BIBLIOTECA DIBD/ESALQ/USP Hoffma, Rodolfo Aálse estatístca de relações leares e ão leares [recurso eletrôco] / Rodolfo Hoffma. - - Praccaba: O Autor, p. : l. ISBN: Aálse estatístca. Relações leares 3. Relações ão leares I. Título CDD 59.5 H7a DOI:.66/ Autorzo a reprodução parcal ou total desta obra, para fs acadêmcos, desde que ctada a fote.

7 Sumáro INTRODUÇÃO... Obetvo e coteúdo do lvro... Pré-requstos... Agradecmetos... Versão publcada... Correções.... REGRESSÃO LINEAR Orgem O modelo e o estmador de mímos quadrados Propredades do estmador de mímos quadrados Aálse de varâca da regressão lear Iversa de uma matrz decomposta Exemplo umérco de uma regressão com duas varáves explaatóras Regressão múltpla com decomposção da matrz Teste de hpóteses o modelo lear Teste de mudaça estrutural Erros de especfcação Exercícos... 4 Respostas A INFLUÊNCIA DE UMA OBSERVAÇÃO EM ANÁLISE DE REGRESSÃO A matrz H Iclusão de uma varável bára para captar a fluêca de uma observação Elmado uma lha da matrz Resíduos Outra maera de terpretar o resíduo estudetzado exteramete DFBETAS DFFITS O D de COOK ExemplOS... 8 Exercícos... 8 Respostas... 89

8 v 3. ANÁLISE HARMÔNICA Itrodução Compoete Harmôco O Modelo Geral de Aálse Harmôca Exemplo... Exercícos... 7 Respostas REGRESSÃO NÃO LINEAR Itrodução O lmte feror de Cramér-Rao e as propredades asstótcas dos estmadores de máxma verossmlhaça Determação das estmatvas dos parâmetros Determação da matrz de varâcas e covarâcas asstótcas das estmatvas dos parâmetros A dstrbução asstótca de uma fução de estmadores... 4 Exercícos Respostas VARIÁVEL DEPENDENTE BINÁRIA: LÓGITE E PRÓBITE Itrodução O Lógte Estmação dos parâmetros por meo de uma regressão lear poderada Estmatvas dos parâmetros pelo método de mímos quadrados, com processo teratvo Estmatvas dos parâmetros pelo método da máxma verossmlhaça O caso partcular de uma úca varável explaatóra bára Varâcas dos lógtes estmados e das probabldades estmadas Efetos margas Pares cocordates e dscordates O Próbte Lógte multomal Exercícos Respostas COMPONENTES PRINCIPAIS E ANÁLISE FATORIAL Itrodução... 95

9 v 6.. A matrz das correlações smples e a determação do prmero compoete prcpal Os compoetes prcpas Decomposção da varâca das varáves e as correlações etre varáves e compoetes prcpas Um exemplo umérco O Modelo da aálse fatoral Exstêca de solução Métodos de Aálse Fatoral Rotação dos fatores Medda de adequação da amostra à aálse fatoral... Exercícos... 3 Respostas... 8 APÊNDICE: ROTAÇÃO DE VETORES BIBLIOGRAFIA ÍNDICE ANALÍTICO... 47

10 v

11 INTRODUÇÃO Obetvo e coteúdo do lvro Serão apresetadas váras téccas estatístcas para aalsar relações leares e ão leares etre varáves: regressão lear múltpla, cludo as maeras de detectar observações dscrepates ou muto fluetes, regressão ão lear, modelos para varáves depedetes báras lógte e próbte, aálse de compoetes prcpas e aálse fatoral. O obetvo é fazer uma apresetação dessas téccas, de maera que o estudate compreeda seus fudametos estatístcos, podedo avalar seu potecal de aplcação em város tpos de pesqusa, e também suas lmtações. O texto tem faldade ddátca, cludo exercícos com respostas o fal de cada capítulo. Sempre que possível, são usados exemplos umércos smples que permtem ao estudate acompahar, com relatva facldade, todas as etapas do procedmeto estatístco. Pré-requstos Admte-se que o estudate teha cohecmetos báscos de estatístca, cludo os cocetos de dstrbução, fução de desdade de probabldade, esperaça matemátca, varâca e covarâca, correlação e teste de hpóteses com base a varável ormal reduzda Z, qu-quadrado, t ou F. É coveete, também, que o letor teha alguma famlardade com a aálse de regressão. Será utlzada a álgebra matrcal, pressupodo-se que o letor saba somar, subtrar, multplcar e traspor matrzes e verter matrzes quadradas ão-sgulares. Para algumas demostrações é ecessáro cohecer os cocetos de traço de uma matrz quadrada e característca ou posto de uma matrz qualquer. Agradecmetos É mportate recohecer que as boas codções de trabalho o Isttuto de Ecooma da UNICAMP e a ESALQ-USP foram essecas para a elaboração desse lvro ddátco. Fo

12 fudametal, também, o apoo facero recebdo do CNPq. O autor agradece, ada, a colaboração de aluos do curso de pós-graduação do IE-UNICAMP e da Profa. Agela Kageyama, que fzeram sugestões para o aperfeçoameto do texto. Versão publcada Uma versão ateror deste lvro fo publcada pela LP-Books em ulho de ISBN Correções Se o letor tver sugestões para corrgr ou aperfeçoar o texto ou dúvdas que o autor possa esclarecer, favor escrever para hoffmar@usp.br.

13 3. REGRESSÃO LINEAR.. Orgem Neste capítulo é feta uma apresetação cocsa da aálse de regressão lear, que é, certamete, a técca estatístca mas usada em estudos que exgem a aálse de relações etre duas ou mas varáves. A expressão aálse de regressão se orgou de um artgo em que Sr Fracs Galto estuda a relação etre estatura de pas e flhos, publcado em 886 o Joural of the Athropologcal Isttute of Great Brta ad Irelad. O artgo é ttulado Regresso towards medocrty heredtary stature, refletdo o esobsmo do autor ao costatar que flhos de pas muto altos ou muto baxos tedem a dferr meos da méda do que seus getores... O modelo e o estmador de mímos quadrados Admtdo que uma varável k Y é learmete depedete de k varáves explaatóras,, K,, temos o segute modelo de regressão lear múltpla: Y α + β β + + β + K + k k u,. com,, 3,...,. O ídce dca uma das observações de uma amostra. O erro u é que tora a equação. um modelo estatístco. O erro u pode ser terpretado como o efeto de todas as demas varáves, com mportâca secudára, que ão foram cluídas o modelo. É coveete defr as segutes matrzes: a os vetores-colua com os valores da varável depedete e com os valores do erro: Y Y y e M Y u u u M u Uma apresetação mas extesa, começado com o caso partcular da regressão lear smples com apeas duas varáves, pode ser ecotrada em lvro do mesmo autor Aálse de Regressão: uma trodução à ecoometra.

14 4 b a matrz k + M M M L L L k k M k c o vetor-colua com os p k + parâmetros: α β β β M β k Assm, o modelo de uma regressão lear múltpla fca y β + u. Na versão mas smples do modelo, pressupomos que a matrz é fxa e que os erros u têm as segutes propredades: observações. a E, ou u E u.3 b V u E u σ, varâca costate ou homocedastca. c E u u h para h, ausêca de covarâca etre erros de dferetes Esses dos últmos pressupostos podem ser stetzados a expressão σ E u u I.4 a qual I é uma matrz detdade de ordem. Essa expressão mostra que a matrz de varâcas e covarâcas do vetor u é uma matrz dagoal com todos os termos da dagoal guas a σ. que os erros Para fazer os testes de hpóteses com base os valores de t ou F é ecessáro pressupor u têm dstrbução ormal, ou sea,

15 5 u ~ N, σ Note-se que é a exstêca de um termo costate o modelo represetado por α que tora ecessáro que a a colua de teha todos os seus elemetos guas a. Um vetorcolua de us será represetado por ι letra grega ota: ι.5 M Sea b um vetor-colua com as estmatvas dos p k + parâmetros da equação.: a b b M b k Etão as estmatvas Y ˆ dos valores de Y são dadas por y ˆ b.6 e o vetor dos desvos ou resíduos é e y yˆ y b.7 Verfca-se que a soma de quadrados dos desvos é S e e y b y b y y b y y b + b b O segudo e o tercero termo são guas, pos se trata de matrzes e uma é a trasposta da outra. Etão, podemos escrever S y y b y + b b.8 Dadas as matrzes e y, essa expressão mostra como a soma de quadrados dos desvos depede do vetor b. Dferecado, obtemos ds db y + db b + b db Como os dos últmos termos são matrzes e uma é a trasposta da outra, podemos escrever

16 6 ds db y + db b db b y.9 De acordo com o método de mímos quadrados, o estmador b deve ser aquele que mmza o valor da soma de quadrados dos desvos. No poto de mímo de S como fução de b, o dferecal ds será ulo para qualquer vetor db. Etão, de acordo com.9, devemos ter b y. Dexamos de verfcar a codção de seguda ordem para mímo. Cabe assalar que, por ser uma soma de quadrados de desvos, S ão pode ter um valor máxmo fto. Se for ão-sgular, de. obtemos b y. que é o estmador de mímos quadrados ordáros de β. A expressão. é um sstema de equações leares cuas cógtas são as estmatvas dos parâmetros. Ele é deomado sstema de equações ormas e a sua solução, quado exste, é dada por.. De. segue-se que ou., temos y b y b e. Se o modelo tver um termo costate α, a a lha de é ι e, de acordo com ι e e.3 Cabe ressaltar que a expressão. é uma propredade geral dos resíduos obtdos pelo método de mímos quadrados, mas o resultado.3 é váldo apeas quado o modelo de regressão tem um termo costate. Substtudo. em.8 obtemos S e e y y b y.4 Esse resultado será usado adate a aálse de varâca da regressão.

17 7.3. Propredades do estmador de mímos quadrados matrz Se dspusermos de uma amostra de dados, sto é, se tvermos as matrzes y e, e a for ão-sgular, podemos calcular o vetor b de estmatvas dos parâmetros, coforme a expressão.. Para terpretar b como um estmador de β, obvamete é ecessáro pressupor que há uma relação etre as varáves, coforme. ou.. A expressão. mostra que cada elemeto de b é uma combação lear dos elemetos de y os valores lear de β. Y da varável depedete. Dz-se, etão, que b é um estmador Veamos a demostração de que, em certas codções, b é um estmador lear ãotedecoso ão-vesado. ou Substtudo. em., obtemos b β + u b β + u.5 Se a matrz for fxa, de acordo com as propredades do operador de esperaça matemátca, segue-se que E b β + E u Se E u, obtemos E b β,.6 mostrado que b é um estmador lear ão-tedecoso de β. Pode-se mostrar que, em geral, exstem ftos estmadores leares ãotedecosos de β. É deseável que se use o estmador lear ão-tedecoso de varâca míma, também deomado o melhor estmador lear ão-tedecoso. erros Utlzado a pressuposção.4 homocedastca e ausêca de correlação etre os u é possível demostrar que o estmador de mímos quadrados b é o estmador A sgla da expressão em glês é BLUE best lear ubased estmator.

18 8 lear ão-tedecoso de varâca míma. Esse resultado é cohecdo como teorema de Gauss-Markov. De.5 segue-se que b β u.7 Por defção, a matrz de varâcas e covarâcas das estmatvas dos parâmetros é V b E b β b β.8 Lembrado.7, segue-se que [ uu ] V b E Com fxa e E u u Iσ, obtemos b σ V.9 Para obter as estmatvas dessas varâcas e covarâcas, é ecessáro obter uma estmatva de σ, como se mostra a próxma seção..4. Aálse de varâca da regressão lear ou com Substtudo. em.6, obtém-se yˆ y y ˆ Hy,. H. Pode-se verfcar que H é uma matrz, smétrca e dempotete, sto é, HH H. É curoso otar que há apeas dos úmeros dempotetes zero e, mas há ftas matrzes dempotetes. Notar que uma matrz quadrada de zeros e uma matrz detdade também são dempotetes. O vetor de desvos é e y yˆ y Hy I H y My,.

19 9 com M I H.3 É fácl verfcar que M também é uma matrz Lembrado a defção de ι em.5, defe-se a matrz, smétrca e dempotete. A I ιι.4 Pode-se verfcar que A também é uma matrz smétrca e dempotete. Note-se que Ay y ιι y Com y ι Y, a méda dos Y é Y ι y.5 Etão Ay y ι Y,.6 que é um vetor-colua com os valores de Y Y, deomados valores cetrados de Y. Verfca-se, portato, que a pré-multplcação de um vetor-colua pela matrz A faz com que a varável correspodete se tore cetrada. Aalogamete, A é uma matrz com as mesmas dmesões que e com todas as suas varáves cetradas. Se a prmera colua de for o vetor ι, a prmera colua de A será um vetor de zeros. É usual deomar de soma de quadrados total S.Q.Total a soma dos quadrados dos valores cetrados da varável depedete: S.Q.Total Ay Ay Como A é uma matrz smétrca e dempotete, obtemos S.Q.Total y Ay y I ιι y

20 y y ι y y y C,.7 com C ι y.8 A expressão.8 é a correção que deve ser subtraída de y y para obter a S.Q.Total. Aalogamete, deoma-se de soma de quadrados de regressão S.Q.Regr. a soma dos quadrados dos valores cetrados da varável depedete estmada: S.Q.Regr. Ayˆ Ayˆ yˆ Ayˆ y ˆ yˆ ι yˆ.9 Pré-multplcado por ι a relação e y yˆ, obtemos ι e ι y ι yˆ Se a equação estmada tver um termo costate, de acordo com.3 segue-se que ι y ι yˆ Substtudo esse resultado em.9, obtemos S.Q.Regr. y ˆ yˆ ι y.3 Lembrado que y ˆ b e utlzado a relação., verfca-se que S.Q.Regr. b y ι y b y C.3 De.4,.7 e.3 coclu-se que a soma de quadrados dos desvos, ou soma de quadrados dos resíduos S.Q.Res., é gual à dfereça etre a S.Q.Total e a S.Q.Regr.: S e e S.Q.Total S.Q.Regr..3 ou S e e [ y y C] [ b y C]

21 cado com A segur será deduzda a esperaça matemátca de cada uma das somas de quadrados, E S.Q.Res.. De. segue-se que e M β + u Mβ + Mu É fácl verfcar que H e M uma matrz p de zeros. Etão e Mu.33 e, como M é smétrca e dempotete, S e e u Mu.34 Como Ates de aplcar o operador de esperaça matemátca, é ecessáro usar um artfíco. u Mu é uma matrz com um úco elemeto, ela é gual ao seu traço: S u Mu tr u Mu Uma vez que o traço de um produto matrcal ão muda se for alterada a ordem dos fatores de maera aproprada, temos S tr u Mu tr Muu Aplcado esperaça matemátca, lembrado a pressuposção.4, cosderado que M só depede de, que é cosderada fxa, e tedo em vsta que a esperaça do traço é gual ao traço da esperaça, obtemos E S σ [tr M].35 Temos tr H tr[ ] tr[ ] tr I p p tr M tr I H tr I tr H p Etão E S σ p.36 A segur vamos deduzr a expressão para a esperaça matemátca da S.Q.Total. Temos S.Q.Total y Ay β + u A β + u β Aβ + β Au + u Aβ + u Au

22 Com fxa e E u, obtemos E S.Q.Total β Aβ + E u Au.37 Repetdo o artfíco utlzado a dedução da esperaça da S.Q.Res., temos E u Au E[tr u Au] E[tr Auu ] tr A].38 [ σ Mas Etão tr A tr I ιι E u Au σ Substtudo esse resultado em.37, obtemos E S.Q.Total Aβ + σ β.39 De acordo com.3, temos E S.Q.Regr. ES.Q.Total E S Utlzado.36 e.39, obtemos E S.Q.Regr. Aβ + p σ β.4 Para um modelo de regressão lear com termo costate, varáves explaatóras. p k é o úmero de Os resultados expressos em.4,.7,.3,.36,.39 e.4 podem ser resumdos o esquema a segur: Causa de varação S.Q. ES.Q. Regressão Resíduo Total y Ayˆ b y C ˆ e e y y b y β Aβ + p σ Ay y y C p σ y β Aβ + σ

23 O coefcete de σ a expressão da ES.Q. é o úmero de graus de lberdade G.L. assocado à respectva soma de quadrados. O quadrado médo Q.M. é, por defção, a razão etre a soma de quadrados e o respectvo úmero de graus de lberdade. Assm 3 Q.M.Res. e e y y b y p p.4 Lembrado.36, segue-se que σ E Q.M.Res.,.4 mostrado que o Q.M.Res. é um estmador ão-tedecoso da varâca do erro. Por sso é usual represetar o Q.M.Res. por s. Lembrado.4, verfca-se que k E Q.M.Regr. β Aβ + σ.43 É mportate otar que a exstêca do termo costate α faz com que todos os elemetos da a colua de A seam guas a zero, o mesmo ocorredo com todos os elemetos da a colua e da a lha de A A A. Cosequetemete, o valor β Aβ ão é afetado por α. Sob a hpótese de que β β K β, β Aβ e Nessa stuação a relação k E Q.M.Regr. σ. Q.M.Regr. F.44 Q.M.Res. tede a fcar próxma de. Se aquela hpótese ão for verdadera, teremos β Aβ > pos A é uma matrz quadrada defda postva e a razão.44 tede a assumr valores maores do que. Na seção.8 será apresetada a fudametação teórca para o uso da relação.44 para testar a hpótese H β β K β, mostrado que, sob essa : k hpótese, e sedo váldas as pressuposções de que σ E uu Iσ e u ~ N,, a relação.44 tem dstrbução de F com k e p graus de lberdade. Se, a expressão.9, substturmos σ pelo seu estmador ão-tedecoso s Q.M.Res., obtemos a matrz das estmatvas das varâcas e covarâcas das estmatvas dos parâmetros:

24 4 Vˆ s b.45 é dcada por coclu-se que A relação etre a S.Q.Regr. e a S.Q.Total é deomada coefcete de determação e R : S.Q.Regr. S.Q.Res. R.46 S.Q.Total S.Q.Total Lembrado.3 e tedo em vsta que uma soma de quadrados ão pode ser egatva, R. O coefcete de determação é uma medda da qualdade do austameto da equação aos dados. Ele pode ser terpretado como a fração da varabldade dos Y em toro da sua méda medda pela S.Q.Total que é estatstcamete explcada por meo das varáves, K,. Temos R apeas quado todos os desvos forem guas a zero, sto é,, k quado Y ˆ Y para todo. É óbvo que a aálse de regressão só poderá ser feta se > p. Se p, o resíduo fca com zero graus de lberdade e ão se pode fazer ehuma aálse estatístca. Com p, o sstema b y tem p equações e p cógtas e a determação de b é um problema de geometra aalítca determar a reta que passa por potos, determar o plao que passa por 3 potos ou, com p > 3, determar o hperplao que passa pelos p potos e ão exstem desvos. Há, etão, uma tedêca de R se aproxmar de quado a amostra tem pouco mas que p observações. Para evtar essa falsa dcação de boa qualdade do austameto para amostras pequeas, pode ser usado o coefcete de determação corrgdo para graus de lberdade, defdo como R S.Q.Res. S.Q.Total p.47 De.46 e.47, após algumas passages algébrcas, obtemos

25 5 p p R R R,.48 mostrado que R R. O símbolo R está cosagrado, mas a rgor é aproprado, pos o coefcete de determação corrgdo para graus de lberdade pode ser egatvo..5. Iversa de uma matrz decomposta Esta seção se desta exclusvamete à apresetação de expressões referetes à versão de matrzes quadradas decompostas de maera aproprada, que serão utlzadas as próxmas seções. Cosderemos uma matrz quadrada smétrca e ão-sgular decomposta da segute maera: C B B A M, ode A e C são matrzes quadradas. Verfca-se que C B B A M + B B A C B A B B A C B B A B C A B A B B A B C A A.49 + BC B BC A B C C B BC A B C BC B BC A B BC A.5 A valdade das expressões.49 e.5 pode ser comprovada multplcado-as pela matrz orgal e verfcado que o resultado é uma matrz detdade. É teressate, também, verfcar que as expressões.49 e.5 levam ao resultado correto a versão de uma smples matrz quado as matrzes A, B e C são costtuídas por um úco elemeto como, por exemplo, M Note que o caso partcular em que B, sto é, quado a matrz orgal é blocodagoal, temos

26 6 C A C A.5.6. Exemplo umérco de uma regressão com duas varáves explaatóras O modelo de uma regressão lear com duas varáves explaatóras é u Y β β α.5 com u E, I u u σ E e, ~ σ N u. Os cálculos fcam mas fáces se usarmos as varáves explaatóras cetradas, que serão represetadas por letras músculas, sto é, x, com Etão o modelo de regressão fca u x x Y β β γ,.53 com β β α γ Uma vez que a soma dos valores de uma varável cetrada é gual a zero, para o modelo.53 obtemos x x x x x x.55 Como essa matrz é bloco-dagoal, podemos verter separadamete o e a matrz, obtedo x D x x D x x D x D,.56

27 7 com D x x x x Temos Y y x Y.57 x Y Verfca-se que o prmero elemeto de b y, que é a estmatva de γ, é gual a Y. Etão a estmatva da equação.53 é ˆ + + Y Y b x b x Como x, obtemos ˆ + Y Y b b + b b ou, ada, ˆ + Y a + b b com k a Y b,.58 que é a estmatva de α o modelo.5. De acordo com.3, S.Q.Regr. b y C Mas para o modelo.53, verfca-se que b y Y Y + b x Y + b x Y Como o prmero elemeto dessa expressão é exatamete a correção C, coclu-se que S.Q.Regr. Y. b x Y + b x Em geral, para um modelo com termo costate, k S.Q.Regr. b x Y.59

28 8 A tabela. mostra os valores de, e Y em uma amostra com 5 observações. Trata-se de dados artfcas e, para facltar os cálculos, cosdera-se uma amostra muto pequea. É fácl verfcar que as médas são 5, 9 e Y. Os valores das varáves cetradas foram calculados e são apresetados a mesma tabela. Tabela.. Amostra artfcal com 5 observações das varáves respectvas varáves cetradas., e Y e Y x x y Cosderado o modelo.53, obtemos 5 8 8, y 48, , b y e S.Q.Total y 39 3 Por meo de.58 obtemos a 38. Etão, para o modelo.5, a equação estmada é Yˆ De acordo com.59, temos S.Q.Regr Segue-se que

29 9 S.Q.Res A tabela. mostra a aálse de varâca dessa regressão. Tabela.. Aálse de varâca. Causa de varação G.L. S.Q. Q.M. F Regressão Resíduo 8 4 Total 4 39 A estmatva ão-tedecosa de σ é s Q.M.Res. 4 Ao ível de sgfcâca de 5%, o valor crítco de F com e graus de lberdade é 9,. Etão, o valor calculado F 48 é sgfcatvo. Ao ível de sgfcâca de 5%, reeta-se a hpótese de que β β. Se os cálculos forem fetos por meo de um computador, pode ser obtda a probabldade caudal assocada a F 48, sto é, a probabldade de obter um valor maor do que 48 em uma dstrbução de F com e graus de lberdade, também deomada valorp do teste. Verfca-se que a probabldade de obtermos F > 48, em uma dstrbução de F com e graus de lberdade sob a hpótese de que β β, é,4%. Como esse valor é meor do que o ível de sgfcâca adotado 5%, reeta-se a hpótese de que β β. e De acordo com.45, obtemos V ˆ b s V ˆ b s Segue-se que os respectvos desvos padrões são 3 3 s b,75 e s b,

30 H A Vamos admtr que se desea testar a hpótese H β, cotra a hpótese alteratva : β < :. Ao ível de sgfcâca de %. Etão calculamos b t s b 8 Trata-se de uma dstrbução de t com graus de lberdade, que é o úmero de graus de lberdade assocado a s. A regão de reeção para esse teste ulateral é 6, 965 t. Portato, o valor calculado t 8 é sgfcatvo, reetado-se H β em favor de H : β <. A : Os programas de computador usualmete forecem a probabldade caudal para um teste t blateral, que esse caso é,53%. Como a metade desse valor é feror a %, a coclusão é a mesma: o teste é sgfcatvo ao ível de %..7. Regressão múltpla com decomposção da matrz Para o modelo de regressão lear múltpla y β + u sabemos que o estmador de mímos quadrados ordáros para o vetor de parâmetros β é y b o vetor dos valores estmados de y é y ˆ b Hy, H, com e o vetor dos desvos é e y yˆ My, com, M I H I Vmos que tato H como M são matrzes smétrcas e dempotetes. Vamos, agora, agrupar as varáves explaatóras em dos grupos, o que correspode a decompor a matrz da segute maera:

31 [ ].6 A decomposção correspodete o vetor b é b b.6 b Cosderado a decomposção da matrz, obtemos y y y e.6 M Fazedo I, de acordo com.5 obtemos [ ] M M M + M.63 Como b y, segue-se que ou M y M y b M M y b.64 Mas M y é o vetor dos desvos de uma regressão de y cotra e M é a matrz dos desvos de regressões de cada colua de cotra. Lembrado que M é uma matrz dempotete, a expressão.64 mostra que, em uma regressão múltpla de y cotra, os coefcetes das varáves cluídas em podem ser obtdos fazedo a regressão de cotra M ou fazedo a regressão de y cotra M. y M Esse resultado é cohecdo como teorema de Frsch-Waugh ou teorema de Frsch- Waugh-Lovell. varações de O vetor-colua M y correspode ao vetor-colua y depos que ele fo depurado das Y que podam ser learmete assocadas às varáves em. Aalogamete, as coluas de M correspodem às varáves em depos que elas foram depuradas das suas varações learmete assocadas às varáves em. E o teorema mostra que os coefcetes de b a regressão de y cotra toda a matrz podem ser obtdos fazedo a

32 regressão de M y cotra M, sto é, usado as varáves prevamete depuradas dos efetos leares das varáves em. E o mesmo vetor b pode ser obtdo fazedo a regressão de y cotra M, ou sea, basta fazer aquela depuração as varáves explaatóras. A segur demostra-se, ada, que o vetor-colua de desvos da regressão de cotra M, dado por M b y M d M y.65 é gual ao vetor de desvos da regressão de y cotra, que é e y b y b.66 b Utlzado a seguda lha da matrz.63, obtemos b + M M y M y + y + y M y Lembrado.64, segue-se que b y b.67 Substtudo esse resultado em.66, obtemos e y b Hy + Hb I H y I H b M y M b Comparado esse resultado com.65, coclu-se que d e, c.q.d. Cabe ressaltar que a regressão de y cotra M, que gera o mesmo vetor de estmatvas de parâmetros b, ão produz, em geral, o mesmo vetor de desvos que a regressão de M y cotra M. É mportate terpretar o teorema de Frsch-Waugh-Lowell quado a matrz tem apeas uma colua, e todas as demas varáves explaatóras e ι estão a matrz. Vamos admtr, sem perda de geeraldade, que a úca colua de sea formada pelos valores de. Para destacar que se trata de um vetor-colua, passamos a dcar a matrz por x. De acordo com o teorema de Frsch-Waugh-Lowell, o coefcete b de, a regressão

33 3 múltpla de y cotra, pode ser obtdo fazedo a regressão lear smples de M y cotra M x. Podemos dzer, etão, que o coefcete b a regressão múltpla é gual ao coefcete de uma regressão lear smples de Y cotra depos que essas duas varáves foram depuradas dos efetos leares de todas as demas varáves explaatóras cluídas o modelo de regressão lear múltpla. Em uma cêca expermetal, para aalsar como uma varável afeta uma varável depedete Y, é usual mater costates as demas varáves que afetam Y. Em uma cêca tpcamete ão-expermetal, como ecooma ou socologa, o pesqusador teressado o efeto de sobre Y ão tem a opção de mater costates as demas varáves que afetam Y. Nessa stuação, a técca estatístca de regressão múltpla é uma tetatva de obter o mesmo resultado a partr de um couto de dados com varações smultâeas em todas as varáves relevates. Como os resultados depedem do modelo de regressão adotado, é claro que eles ão são tão cofáves como os obtdos de um expermeto o qual as varáves podem ser cotroladas, coforme os obetvos do pesqusador. Quado a matrz x é costtuída por apeas uma colua com os valores de, a correlação smples etre dados os valores de.4, a correlação smples etre Y e r Y M y e M x é deomada correlação parcal etre Y e,, 3,..., k. Sedo A a matrz que cetra as varáves, defda em y Ax A correlação parcal etre Y e regressão de y Ay x Ax é dada por, dados os valores de, 3,..., k, é y M x π Y.68 y M y x M x Sabemos que os resíduos da regressão de y cotra são guas aos resíduos da M y cotra M x, para a qual temos S.Q.Total M y, x M y b, x M x y

34 4 e S.Q.Regr. b x M y S.Q.Res. x M y x M x x M y y M y. x M x Como M y é a soma de quadrados dos resíduos da regressão de y cotra, y verfca-se que a redução da soma de quadrados resdual devda à clusão de como varável explaatóra é S.Q.Cotrbução de x M y. x M x Dada a matrz, o valor máxmo da S.Q.Cotrbução de quadrados resdual da regressão de y cotra, que é gual a S.Q.Cotrbução de e seu valor máxmo é x M y, x M x y M y que é deomada coefcete de determação parcal etre é gual à soma de M y. Etão a razão etre a y Y e, dados os valores de, 3,..., k. Comparado essa expressão com.68, verfca-se que o coefcete de determação parcal etre Y e é gual ao quadrado do coefcete de correlação parcal etre Y e, dados os valores das demas varáves explaatóras. Uma aplcação específca do teorema de Frsch-Waugh-Lowell se refere ao uso de varáves cetradas. Cosderado um modelo de regressão lear com termo costate o fal da equação, decompomos a matrz em uma matrz W com os valores das varáves explaatóras e o vetor-colua ι, sto é, [ W ι] Coforme a otação usada o íco desta seção, este caso temos M I ι ι ι ι I ιι A, ι e sto é, M é a matrz A que faz com que Ay e AW seam matrzes de varáves cetradas. O teorema de Frsch-Waugh-Lowell garate, etão, que a regressão com as varáves cetradas

35 de Ay cotra AW produz o mesmo vetor de coefcetes de regressão b que a regressão de y cotra. Além dsso, o vetor de resíduos da regressão de Ay cotra AW é dêtco ao vetor de resíduos da regressão de y cotra..8. Teste de hpóteses o modelo lear 3 Nesta seção vamos delear a dedução de uma expressão geral para testar hpóteses a respeto dos parâmetros de uma regressão lear cuo modelo é y β + u 5 ode é uma matrz de dmesão p com valores fxos e característca gual a p as p coluas de são learmete depedetes, β é um vetor com os p parâmetros a serem estmados e y e u são vetores -dmesoas de varáves aleatóras. Admte-se que u tem dstrbução N, Iσ. Cosderemos que a hpótese de uldade a respeto dos valores dos parâmetros sea costtuída por m relações leares depedetes, sto é, H :Cβ θ ode C é uma matrz com m lhas e p coluas e θ é um vetor m dmesoal de costates cohecdas. Se as m relações leares assm defdas são depedetes, a característca de C é gual a m. Note que devemos ter m p <. Desevolveremos duas maeras de testar H :Cβ θ cotra H : Cβ θ. Uma delas se basea o estmador de mímos quadrados e a outra a soma de quadrados resdual. Mostraremos, a segur, que as duas maeras de fazer o teste são equvaletes. Cosderemos, calmete, o teste baseado em y mímos quadrados, sem cosderar a hpótese de uldade. Sea g Cb θ b A, que é o estmador de o vetor que mostra em quato os valores estmados dferem dos valores estabelecdos pela hpótese de uldade. No caso de um modelo com um úco parâmetro, é lógco que se g for 3 Esta seção fo desevolvda com base em aotações de um curso de ecoometra mstrado pelo Prof. T. Rotheberg, da Uversdade da Calfóra, Berkeley, em 974.

36 6 bastate grade devemos reetar H. Mas g é, em geral, um vetor. Podemos avalar se é pequeo ou grade por meo do valor da forma quadrátca defda postva. 4 Uma vez que o valor de elemetos de g, é razoável reetar H se o valor de g Ag, ode A é uma matrz g Ag tede a crescer com os valores absolutos dos escolher a matrz A? Ela é escolhda de maera que a dstrbução de e o poder do teste sea elevado. De acordo com.5, temos b β + u, g Ag for bastate grade. Mas como g Ag sea coveete mostrado que a parte aleatóra de cada estmatva de parâmetro é uma combação lear dos erros u. Etão, se esses erros têm dstrbução ormal, as estmatvas dos parâmetros têm dstrbução ormal. Lembrado.9, coclu-se que b tem dstrbução N [ β, σ ]. Cosderado a hpótese da uldade, verfca-se que g tem dstrbução ormal com méda E g Cβ θ e varâca V g E[ Cb θ Cb θ ] E[ C b β b β C ] C C σ Etão devemos escolher Segue-se que [ C ] A C σ uldade, ode Cb θ [ C g Ag σ C ] Cb θ É possível demostrar, como veremos adate, que, sedo verdadera a hpótese da g Ag tem dstrbução de qu-quadrado com m graus de lberdade. De acordo com.34 temos que S.Q.Res. p s e e u Mu,.69 4 Embora se use o mesmo símbolo A, ão se trata, aqu, da matrz usada para cetrar as varáves.

37 7 M I É possível demostrar, também, que p s σ e e σ u Mu σ tem dstrbução de qu-quadrado com p graus de lberdade. Etão, se H for verdadera, Cb θ [ C T ms C ] Cb θ.7 tem dstrbução de F com m e p graus de lberdade. Veremos, agora, o teste baseado o valor da soma de quadrados dos desvos. Para sso, cosderemos as segutes etapas: a Calculamos a soma de quadrados de desvos da regressão de y em relação a, S e e y b y b,.7 à qual se assocam p graus de lberdade; b Determamos, de acordo com o método de mímos quadrados, as estmatvas dos parâmetros b * da equação de regressão de y em relação a, suetas à restrção Cb * θ, sto é, determamos o valor de b * que mmza y b* y b*, codcoado a Cb * θ. A correspodete soma de quadrados de desvos é S * y b* y b*,.7 à qual se assocam p m graus de lberdade; c Calculamos a relação S S p T *.73 S m Essa relação mede o crescmeto relatvo da soma de quadrados resdual devdo à restrção mposta pela hpótese de uldade. Se H é falsa, T tede a assumr valores grades. Pode-se demostrar que, se H é verdadera, T tem dstrbução de F com m e p

38 8 graus de lberdade; o valor obtdo pode, etão, ser utlzado para testar H ao ível de sgfcâca escolhdo. Passemos à demostração de que T T. Como S p s, de.73 segue-se que T S S ms *.74 Lembremos que S * é a soma de quadrados dos desvos de uma regressão de y cotra, codcoada a Cb * θ. Utlzado o método do multplcador de Lagrage, formamos a fução y b y b + λ Cb, * * * θ ode λ é um vetor com m elemetos. e As codções de prmera ordem para mímo são y + b* + Cλ.75 Cb θ *.76 Pré-multplcado.75 por C obtemos C y + Cb* + C Cλ ou Cλ Cb Cb* C Cosderado.76, segue-se que λ [C C ] Cb θ Substtudo esse resultado em.75, obtemos b y C [C C * ] Cb θ, Pré-multplcado por e lembrado que b y, segue-se que

39 b b C [C C ] Cb θ,.77 * Isto é, o estmador de mímos quadrados codcoado b * é gual ao estmador ãocodcoado b, mas uma combação lear das dfereças De acordo com.7 e.7, temos S * S y y y b y b * * + b b + b b * * * * + y b b b Cb θ. y y + y b b b 9 Cosderado.77 e lembrado que smplfcações, b y, obtemos, após váras S S Cb θ [C * C ] Cb θ Substtudo esse resultado em.74, obtemos T Cb θ [C ms C ] Cb θ.78 Comparado.7 e.78 cocluímos que T T, c.q.d. Resta mostrar que T T T tem dstrbução de F com m e p graus de lberdade. Determemos, calmete, a dstrbução de u Au, ode A é uma matrz smétrca e dempotete qualquer e u é um vetor de varáves aleatóras com dstrbução N, Iσ. Do estudo da álgebra de matrzes sabemos que, dada uma matrz smétrca A, exste uma matrz ortogoal P tal que P AP Λ, ode Λ é a matrz dagoal cuos elemetos são as raízes característcas λ de A. Uma vez que a versa de uma matrz ortogoal é gual à sua trasposta, segue-se que Etão A PΛP ode u Au u PΛP u v Λv λ v.79 v P u

40 3 Como E u e σ E u u I, temos v E e E v v E P uu P Iσ, pos P P I. Portato v tem dstrbução N, Iσ. Do estudo da álgebra de matrzes sabemos que as raízes característcas de uma matrz smétrca e dempotete são ou guas a um ou guas a zero. Sabemos também que o úmero de raízes característcas guas a um, a característca da matrz e o traço da matrz são, este caso, guas etre s. Sea h tr A. Se cosderarmos, sem perda de geeraldade, que as h prmeras raízes característcas de A são guas a um, de.79 obtemos ou v u Au h u Au v σ σ Uma vez que v tem dstrbução N, Iσ, v σ são varáves ormas reduzdas depedetes. Cocluímos que graus de lberdade. u Au tem dstrbução de qu-quadrado com h σ tr A Cosderemos, agora, duas formas quadrátcas: A u e u A u, ode A e A são u matrzes smétrcas dempotetes, tr A h e tr A h. Sabemos que dstrbução de qu-quadrado com h graus de lberdade e u σ u A u tem σ u A tem dstrbução de ququadrado com h graus de lberdade. É possível demostrar que, se A A, essas duas dstrbuções são depedetes e etão u Au h u Au h u Au h u A u h tem dstrbução de F com h e h graus de lberdade. Temos, portato, o segute teorema: Se o u é um vetor de varáves aleatóras com dstrbução N, Iσ

41 3 o A e A são matrzes smétrcas dempotetes, sto é, A e A A etão A A A, com tr A h e tr A h, e 3 o A A, u Au h u A u h tem dstrbução de F com h e h graus de lberdade. que Para o modelo lear y β + u, se admtrmos que H :Cβ θ é verdadera, temos Cb θ Cb Cβ C b β Lembrado.7, obtemos Cb θ C u.8 Cosderado.69 e.8, a expressão de T, dada em.7 ou.78, pode ser colocada a segute forma: T u Qu p u Mu m ode Verfca-se que Q C [C C ] C M M M tr M p Q Q Q tr Q m característca de C MQ Cocluímos que, se H :Cβ θ for verdadera,

42 3 T Cb θ [C ms C ] Cb θ.8 tem dstrbução de F com m e p graus de lberdade. Admtamos que um mesmo couto de dados, y sea utlzado para testar váras hpóteses H :C β θ,,... A aplcação sucessva de.8 para efetuar esses testes só é válda, a rgor, se as dferetes dstrbuções de qu-quadrado, assocadas aos umeradores dos dferetes valores de F calculados, forem depedetes etre s. Para sso é ecessáro que tehamos Q para k, ode Q C [C C ] C. Isto é cosegudo se tvermos Q k C C k para k No caso do modelo Y β + u,,..., + β por exemplo, as hpóteses H β e H β só são depedetes se. Isso porque temos e : C [ ], [ ] C, : C C Etão, a rgor, só podemos utlzar o teste F ou o teste t para testar essas duas hpóteses, esse modelo, se as coluas da matrz forem ortogoas etre s. Admtamos que e, apesar dsso, os dos testes são efetuados, comprado-se o valor de F ou de t calculado com o valor crítco ao ível de sgfcâca de 5%, obtdo a tabela. Nesse caso, como os testes ão são depedetes, o ível de sgfcâca verdadero é maor do que 5%. O erro depede, obvamete, do grau de multcoleardade exstete.

43 Tedo em vsta suas aplcações, é coveete escrever a expressão.8 como um teste F para a hpótese H :Cβ θ, ou sea, 33 F Cb θ [ C C ] Cb θ.8 ms De acordo com o que fo demostrado, o mesmo valor é obtdo por meo de.73, sto é, F S* S m S p,.83 sedo S a S.Q.Res. do modelo sem restrção e S * a S.Q.Res. do modelo restrto com Cβ θ. Uma adaptação da relação.8 permte obter a regão de cofaça para um couto de combações leares dos parâmetros defdo por Cβ. Sea F o valor crítco de F, com m e p graus de lberdade, ao ível de sgfcâca de ϕ%, que correspode a um ível de cofaça de ϕ %. Os potos da regão de ϕ % de cofaça para o couto de combações leares Cβ são aqueles que satsfazem a codção ou ms Cb Cβ [ C C ] Cb Cβ < F Cβ.84 Cb [ C C ] Cβ Cb < ms F Note-se que, coforme.8, essa codção mplca ão reetar, ao ível de sgfcâca de ϕ%, a hpótese Cβ θ. Se C for uma matrz detdade, a expressão.84 forecerá a regão de cofaça para todos os parâmetros do modelo. Para o caso partcular de apeas dos parâmetros, verfca-se que essa regão de cofaça é a área tera de uma elpse. No caso partcular em que C é gual a uma lha de uma matrz detdade, a expressão.84 forece o tervalo de cofaça para um úco parâmetro.

44 34 Como exemplo de aplcação da expressão.84, vamos determar a regão de 95% de cofaça para os parâmetros β e β de um modelo de regressão lear de Y cotra e, para a amostra de 5 observações apresetada a seção.6. Para o modelo.53, utlzado os cálculos, o vetor de parâmetros é γ β β β Como deseamos obter a regão de cofaça para β e β, adotamos a matrz de maera que C, β Cβ β A característca ou posto da matrz C é m. Obtemos β Cβ Cb β + 3 e, tedo em vsta a matrz apresetada logo após a tabela., [ C C ] Coforme resultados apresetados a tabela., temos s 4, com graus de lberdade. O valor crítco de F, ao ível de sgfcâca de 5%, com e graus de lberdade, é F 9,. o Substtudo esses resultados em.84, obtemos β 7 3 β + [ β β + 3] 5 <

45 Podemos defr g β e g β 3, o que correspode a fazer uma traslação + do sstema de exos, cua orgem passa a ser o poto com coordeadas guas às estmatvas dos parâmetros, obtedo a equação g 7 g [ g g ] 5 < 35 é Essa regão de cofaça é delmtada pela elpse traçada a fgura. e cua equação g 7 g [ g g ] 5 Fgura.. A regão de 95% de cofaça para β e β e o retâgulo cuos lados são os tervalos de 95% de cofaça para β e para β. A mesma fgura mostra o retâgulo cuos lados correspodem aos tervalos de 95% de cofaça para β e para β.

46 36 Os lmtes do tervalo de 95% de cofaça para β são b ± Vˆ t b Cosderado os resultados obtdos a seção.6, os lmtes do tervalo de 95% de cofaça para β são ± 4,33,75 ou,3 < β < 5, 3 Aalogamete, o tervalo de 95% de cofaça para β é 4,6 < β <,39 Cosderemos, a fgura., o poto β β. Como ele está fora da regão de 95% de cofaça para β e β, coclu-se que a hpótese H : β β é reetada ao ível de sgfcâca de 5%, cofrmado resultado á obtdo a seção.6. Esse poto também está fora do retâgulo, pos β ão pertece ao tervalo de 95% de cofaça para β, mostrado que a hpótese H : β é reetada ao ível de sgfcâca de 5% cosderado um teste blateral. A fgura. mostra que há potos que levam a resultados aparetemete cotradtóros. Cosderemos, por exemplo, o poto β 5 e β. Como esse poto está fora da elpse, a hpótese H β 5 e β é reetada ao ível de sgfcâca de 5%. : Mas, como o poto está detro do retâgulo, ão se reeta, ao ível de 5%, em a hpótese H β 5, em a hpótese H β. Isso ocorre porque ao testar a hpótese H β 5 : : : e β estamos cosderado a dstrbução couta de b e b e o teste das hpótese separadas para β e para β leva em cosderação as respectvas dstrbuções margas. Pode-se dzer que a possbldade de resultados aparetemete cotradtóros como esses se deve ao fato de que um retâgulo ão pode cocdr com uma elpse. Devdo à clação da elpse assocada à covarâca etre b e b, o poto β 6 e β 5 fca detro da regão de cofaça para β e β, mas fora dos dos tervalos de cofaça. Matedo sempre o ível de sgfcâca de 5%, ão se reeta a hpótese H β 6 e β 5, mas reeta-se tato a hpótese H β 6 como a hpótese : H β 5. : :

47 .9. Teste de mudaça estrutural Vamos admtr que a varável acordo com modelo 37 Y está relacoada com as varáves explaatóras de k Y β + u.85 ou y β + u Se para todo, β é o termo costate ou tercepto. Dspomos de + observações, sedo observações referetes a uma stuação categora, regão ou período e observações referetes a outra stuação. Sea y o vetorcolua com os valores de valores de Y a prmera stuação e sea y o vetor-colua com os Y a seguda stuação. Aalogamete, sea a matrz referete à prmera stuação e sea a matrz p com p k + p referete à seguda stuação. Deseamos saber se a relação lear etre as varáves é a mesma as duas stuações, ou sea, se a estrutura caracterzada pelo vetor β é a mesma as duas stuações. Uma maera de formular o teste de hpóteses é defr uma varável bára Z, com Z para todas as observações da prmera stuação e Z para todas as observações da seguda stuação, e cosderar o modelo k Y β + γ Z + u k.86 Na prmera stuação, com Z, o coefcete de é β. Na seguda stuação, com Z, o coefcete de é β + γ. Os parâmetros γ com,,..., k são as mudaças os coefcetes etre as duas stuações. A hpótese de que a estrutura é a mesma as duas stuações correspode à hpótese H γ γ K γ : o k O modelo.86 é equvalete a y β + u,.87

48 38 com y y e y Note-se que é uma matrz p. O vetor das estmatvas dos parâmetros, com p elemetos, é composto por um vetor-colua b com as estmatvas dos β e um vetor-colua c com as estmatvas dos γ com,,..., k. Fazedo regressões separadas para cada stuação, obtemos b y b e y As respectvas somas de quadrados de resíduos são S y, y by com p graus de lberdade, e S y y by com p graus de lberdade. Pode-se demostrar que o modelo.86 produz os mesmos valores para a estmatva de Y que as duas regressões separadas, sedo b b e b + c b. Assm, a soma de quadrados dos resíduos do modelo.87 é com S S + S,.88 p + p p graus de lberdade. regressão de Cosderado a hpótese de que γ γ K γ como uma restrção, fazemos a y y cotra y, obtedo b + y + * y e a soma de quadrados resdual com k S y y + y y b y +, p graus de lberdade. * * y

49 Tedo em vsta a expressão.83 e o resultado.88, o teste F para a hpótese de que ão há mudaça estrutural H γ γ K γ é dado por : k S* S + S F p S + S.89 p Esse procedmeto é cohecdo como teste de Chow. Em resumo, ele cosste as segutes etapas: a Fazer uma regressão com os dados referetes à prmera stuação y cotra, obtedo a soma de quadrados resdual S. b Fazer uma regressão com os dados referetes à seguda stuação y cotra, obtedo a soma de quadrados resdual S. c Usado o mesmo modelo, fazer uma regressão com os dados de todas as + observações, obtedo a soma de quadrados resdual S *..89. d Calcular o teste F com p e p graus de lberdade, de acordo com a expressão 39.. Erros de especfcação Retomado a aálse desevolvda a seção.7, vamos admtr que Y sea uma fução lear das varáves cluídas a matrz e que esta é decomposta como dcado em.6. A correspodete decomposção de b é dada em.6 e a respectva decomposção do vetor de parâmetros é β β β Sabemos que E b b β β b E β

50 4 Segue-se, obvamete, que E b β e b β E.9 Se for cometdo um erro de especfcação do modelo de regressão, admtdo que sea uma fução lear apeas das varáves cotdas em, seram calculadas as estmatvas de parâmetros dadas por Y y * b.9 De acordo com.67, temos b * b b ou b * b + b Tedo em vsta.9, se a matrz for cosderada fxa, segue-se que * b β + β E.9 Note-se que cada colua da matrz é formada pelos coefcetes de regressão de uma colua de cotra. Admte-se, a segur, que tem apeas uma colua, com os valores da varável. Nesse caso a matrz é o vetor-colua dos coefcetes de regressão de cotra e β tem apeas um elemeto, o escalar β. Sea sea ˆ θ 5 o h-ésmo coefcete da regressão de cotra. Etão * b h o h-ésmo elemeto de * b e

51 4 * b ˆ h βh θhβ E +.93 Essa expressão mostra que o coefcete estmado com a regressão completa, sem cosderar a varável, será um estmador ão-tedecoso de β h apeas se ˆ θ h e/ou β. Daí decorre a preocupação dos ecoometrstas em clur o modelo todas as varáves cotroles relevates. Se uma varável relevate for omtda, o coefcete estmado é, em geral, tedecoso, com sua esperaça matemátca cludo ão só o efeto dreto da varável h ˆ θ h β. β, mas também o efeto assocado à ausêca do cotrole relevate Os lvros-texto de ecoometra costumam mostrar que a clusão de cotroles rrelevates ão preudca a ão-tedecosdade dos estmadores dos parâmetros β h, embora teda a torá-los meos precsos. Estabelece-se, assm, a dea de que o pergo maor resde a omssão de cotroles, e ão o uso excessvo de cotroles. Mas há, sm, stuações em que a clusão de cotroles devdos pode levar a coclusões erradas 5. Vamos magar que as varáves,, 3 e Y estão relacoadas coforme dca o esquema a segur, o qual a seta dca a exstêca de efeto de uma varável sobre outra. Y 3 Se for feta a regressão múltpla de Y cotra, e 3, o coefcete de regressão de capta apeas o efeto dreto de sobre Y. Se o pesqusador estver teressado em avalar a fluêca de sobre Y, cludo a que ocorre va, ele ão deve clur como varável explaatóra ou cotrole. É claro que podera ser teressate austar um 5 O problema é aalsado por Agrst e Pschke 9, p em uma seção ttulada Bad Cotrol.

52 4 sstema de equações, cludo uma equação com como fução de e uma outra equação de Y como fução de, e 3. O sstema de equações permtra estmar tato o efeto dreto como o efeto dreto de sobre Y. Mas se o pesqusador está teressado o efeto total de sobre Y, cludo tato o efeto dreto como o dreto va, estmar o sstema de equações é uma complcação desecessára. O exercíco 3 apreseta dados umércos artfcas que lustram a questão. Um pesqusador desea avalar se as trasferêcas de reda do programa Bolsa Famíla afetam a pobreza Y as Udades da Federação. Ele estma um modelo de regressão múltpla de Y e clu como cotroles a reda méda e o ídce de G 3 da dstrbução da reda em cada Udade da Federação. Tal modelo de regressão sera claramete aproprado, pos o efeto de sobre Y se dá, essecalmete va e 3. É aumetado a reda dos pobres que as trasferêcas reduzem a pobreza e o crescmeto da reda dos pobres se reflete o crescmeto da reda méda e a redução da desgualdade. Icludo a reda méda e o ídce de G como cotroles fca quase mpossível captar o efeto das trasferêcas do programa Bolsa Famíla sobre a pobreza 6. Além da escolha das varáves explaatóras e dos cotroles a serem cluídos, a especfcação aproprada de um modelo de regressão evolve a decsão sobre a forma matemátca: lear as varáves, lear os logartmos, polômo de que grau? etc. Desecessáro dzer que a especfcação de um modelo aproprado depede de tegrar o cohecmeto do feômeo aalsado e da metodologa estatístca mas coveete. Exercícos. Dspomos das 6 observações das varáves, e Y, apresetadas a tabela a segur: Y 6 Devo recohecer que esse exemplo de uso de cotroles aproprados é sprado em artgos publcados a Revsta Braslera de Ecooma Marho, Lhares e Campelo,, e Marho e Araúo,.

53 43 Pode-se verfcar que 4 Y Y Y 458 Y 88 Y 39 a Obteha as estmatvas dos parâmetros da regressão lear múltpla de Y cotra e. b Para modelo Y α + β + β + u e adotado as pressuposções usuas a respeto do erro u, teste a hpótese H β β ao ível de sgfcâca de %. : c Teste, ao ível de sgfcâca de %, a hpótese H β cotra H : β <. : d Calcule o coefcete de determação e o coefcete de determação corrgdo para graus de lberdade. e Calcule os três coefcetes de correlação smples etre as 3 varáves. Note que o coefcete de correlação etre Y e é zero. É correto afrmar, etão, que como ão tem relação lear com Y, é apeas que auda a explcar as varações de Y? Dscuta explque. A. Cosdere o modelo estatístco de uma fução de produção tpo Cobb-Douglas Z β θw W ε, β ode Z é o valor da produção, W é a quatdade de mão de obra empregada e W é o valor do captal clusve terra a -ésma udade de produção. Admte-se que u lε são erros aleatóros ão correlacoados etre s, com dstrbução ormal de méda zero e varâca σ. São dados os segutes valores obtdos de uma amostra de 9 udades de produção:

54 44 lw lw l Z Y 3 4,4,6 3 3,4 4 4, 3 4 5,6 4 4, , ,4 5 5,4 Verfca-se que Y 4, 4, Y 7, 4 e y 6, 96. a Determe as estmatvas de α lθ, β e β de acordo com o método de mímos quadrados. b Determe a estmatva ão-tedecosa de σ. c Calcule o coefcete de determação corrgdo para graus de lberdade. d Teste, ao ível de sgfcâca de %, a hpótese de que a elastcdade parcal do valor da produção em relação a W é gual a zero. e Teste, ao ível de sgfcâca de %, a hpótese de que a elastcdade parcal do valor da produção em relação a W é gual a zero. f Teste, ao ível de sgfcâca de %, a hpótese de que as duas elastcdades parcas são smultaeamete guas a zero. g Dscuta a exstêca, esses dados, de um problema de multcoleardade elevada dcado como medr o grau de multcoleardade e avalar suas cosequêcas, evetualmete utlzado resultados dos tes aterores. h Teste, ao ível de sgfcâca de %, a hpótese de que a fução de produção é learmete homogêea os redmetos médos ão são afetados pela escala de produção. 3. Admta que em uma regressão lear múltpla com p parâmetros, o teste t referete à hpótese H : β teha valor absoluto meor do que, sto é, h

55 bh t h < s b h Demostre que, esse caso, a exclusão da varável 45 h da regressão faz com que dmua o valor do quadrado médo do resíduo, sto é, que o quadrado médo do resíduo da regressão sem h com p parâmetros é meor do que o quadrado médo do resíduo da regressão completa com p parâmetros. 4. Admte-se que as varáves, e Y estão relacoadas de acordo com o modelo ode os Y α + u, + β + β u são erros aleatóros, com as pressuposções usuas. A partr de uma amostra com observações foram obtdos os segutes valores: 6 3 Y 44 Y 936 Y 888 Y 456 x 8 x x x 3 a Determe as estmatvas de α, β e β de acordo com o método de mímos quadrados ordáros. b Obteha a estmatva ão-tedecosa da varâca do erro u. c Calcule o coefcete de determação e o coefcete de determação corrgdo para graus de lberdade. d Teste, ao ível de sgfcâca de %, a hpótese de que β. e Teste, ao ível de sgfcâca de 5%, a hpótese de que β + β 3. f Teste, ao ível de sgfcâca de 5%, a hpótese de que β e β. 5. É dada uma sére de 9 valores auas da varável Y. Admte-se que Y vara learmete em fução do tempo em aos, mas acredta-se que ocorreu uma mudaça estrutural etre a 4 a e a 5 a observação, de maera que havera uma tedêca lear durate os 4 prmeros aos da sére e uma tedêca lear dstta durate os 5 últmos aos. Verfca-se que Y 37, Y 79 e y 988.

56 46 a Estme as taxas artmétcas de crescmeto aual de Y os dos períodos. b Verfque se a mudaça estrutural é estatstcamete sgfcatva. Sugere-se fazer o teste com base as regressões smples, como dcado por Chow. c Há dfereça estatstcamete sgfcatva etre as taxas artmétcas de crescmeto de Y os dos períodos? Adote um ível de sgfcâca de 5% em todos os testes de hpóteses desta questão. 6. É dada uma amostra com 9 pares de valores de e Y. Admte-se que Y é fução lear de, mas há razões para acredtar que ocorreu uma mudaça estrutural etre a 3 a e a 4 a observação e uma outra mudaça estrutural etre a 6 a e a 7 a observação. Esteda o método de Chow e faça um teste F para a hpótese de que os 9 pares pertecem a uma mesma relação lear, cotra a hpótese alteratva de que há 3 estruturas dsttas cada uma cludo uma sequêca de 3 pares de valores. Y Ao Y o o 5 3 o 8 4 o 9 5 o 9 6 o 33 7 o 34 8 o 37 9 o 4 7. Com base em uma amostra com 4 observações fo estmada a equação de regressão de Y cotra, e 3, cosderado o modelo Y + u α + β + β + β3 3 O coefcete de determação parcal etre Y e, dados e 3, é gual a,. Teste, ao ível de sgfcâca de 5%, a hpótese de que β. 8. Admte-se que as varáves W, Z e Z estão relacoadas de acordo com o modelo W θz Z ε β β