Circuitos Elétricos em Corrente Alternada (CA) Uma Breve Revisão

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1 2 Ciruitos Elétrios em Corrente Alternd (CA) Um Breve Revisão Conteúdo 2.1 Revisão de números omplexos e exeríios Exeríios sore iruitos CA monofásios Exeríios sore iruitos CA trifásios equilirdos... 4 Biliogrfi... 6 Apêndie A Prolem (01) de CA monofásio no MATLAB... 7 Apêndie B Oservções úteis sore CA trifásio... 8 Algums reposts dos exeríios... 9 De números omplexos... 9 De CA Monofásio... 9 De CA Trifásio... 9

2 Eixo Imginrio 2.1 Revisão de números omplexos e exeríios Os números omplexos, devido s sus rterístis, são stnte onvenientes pr plições n engenhri elétri, por exemplo, em iruitos elétrios em orrente lternd (CA), em sistems de potêni, em sistems de ontrole, n teori de teleomunições, entre outrs. Sej omo exemplo um número omplexo D expresso n form retngulr: D = + j. Pode-se expressr: Prte rel de D: Prte imginári de D: Mgnitude: D rel(d) img(d) 2 2 s(d) Funções no Mtl: Ângulo: D = q rtg ( / ) Thet = ngle(d)*180/pi %pr grus Form polr: D = D q - Form exponenil: D = D e jq D = s(d)*exp(j*thet*pi/180) Conjugdo: D * = j ou, D * = D q ou, D * = D e -jq onj(d) Representção gráfi no plno omplexo (supondo > 0 e > 0): img j o -j D q -q rel D* Onde: o steriso soresrito * denot o onjugdo de um número omplexo. j Exemplo. Ddos os números omplexos A = 3+j4 e B = -1+j1: ) Represente-os no plno omplexo. ) Clule: A+B; A-B; A B; A/B. ) Repit s letrs () e () progrmndo no Mtl e plotndo os resultdos. Solução: ) N form polr tem-se: A = 5 53,1 e B = 1, img B A ) R 1 = A+B = 3 + j4 + (-1 + j1) = 2 + j5 = 5,4 68,2 R 2 = A B = 3 + j4 (-1 + j1) = 4 + j3 = 5 36,9 R 3 = A B = (3 + j4) (-1 + j1) = -7 - j1 = 7,1-171,9 R 4 = A/B = (3 + j4) (-1 + j1) = 0,5 - j3,5 = 3,5-81,9 o rel ) Progrm no Mtl: A = 3 + 4j; B = -1+1j; R1 = A+B, R2 = A-B, R3 = A*B, R4 = A/B figure, hold %plotndo n mesm figur plot(a,'x'), plot(b,'x'), plot(r1,'x'), plot(r2,'x') plot(r3,'x'), plot(r4,'x') set(gf,'color',[1 1 1]) xlel('eixo Rel'), ylel('eixo Imginrio') title('plno Complexo') Resultdos: R1 = i R2 = i R3 = i R4 = i Os.: fórmul de Euler: e jq = os(q) + jsen(q) Plno Complexo A R2 B R Eixo Rel R1 R4 1

3 Exeríios de revisão de números omplexos Resolver mnulmente e om o MATLAB: 01) Sej A = 4 + j3, B = 3 - j2 e C = 2 + j1. Clulr e mostrr no plno omplexo o resultdo usndo s forms retngulr e polr: ) A + B ) A B ) A B d) A/B e) A+B+C f) 02) Desenhr no plno omplexo e lulr os ângulos (ou rgumentos) de: ) A = 2 + j2 ) B = 3 + j3 ) C = 1 j d) D = 5 j5 03) Ddo um número omplexo n form polr V = o : ) Esrev-o n form retngulr e exponenil. ) Idem pr seu onjugdo. A B B C 04) Sejm os números A = ; B = ; C = ) Esoe-os no plno omplexo n form polr (módulo e ângulo). ) Clule s expressões: A-B; B-C; C-A e esoe os resultdos, n form polr, no mesmo plno omplexo do item (). 05) Demonstre que o produto de um número omplexo por seu onjugdo é igul o seu módulo o qudrdo. 2

4 2.2 Exeríios sore iruitos CA monofásios 01) Considere um iruito omposto por um fonte de tensão v(t) = 311,13sen( t+0 ) V, limentdo um rg RL série ompost por um resistêni de 3 e um indutâni de 10,61 mh. A frequêni d rede é f = 60 Hz. O iruito oper em regime permnente e orrente resultnte já resolvid é i(t) = 62,23sen( t 53,1 ) A. ) Desenhr o iruito no domínio do tempo. Determinr: - os vlores máximos e efizes d tensão e d orrente; - determinr os ângulos de fse d tensão e d orrente e frequêni ngulr; - equionr o iruito no domínio do tempo. Como é expressão pr o vlor máximo d orrente em regime permnente? - esoe s forms de ond de v(t) e i(t). ) Otenh o iruito fsoril orrespondente (domínio d frequêni) inserindo tods s sus grndezs. Expresse os fsores tensão e orrente (use vlores efizes). Clule o módulo d impedâni do iruito e expresse- tmém n form omplex. Tre o digrm fsoril om os fsores tensão e orrente. ) Determine s potênis tiv, retiv, prente, o ftor de potêni d rg e o triângulo de potênis. * Progrm e simulção no MATLAB/Simulink, lique em: Apêndie A Prolem (01) de CA monofásio no MATLAB 02) No iruito monofásio ixo tem-se Z = 0,2 + j0,9, V = V e V = V om respeito o nó de referêni mostrdo. Otenh V ( = V V ), orrente I e esoe o digrm fsoril. I Z V V 03) Um motor monofásio onsome 1250 W em um tensão de 220 V, FP = 0,75 trsdo (ou indutivo). Qunto é mgnitude d orrente que flui pr o motor? Qul é mgnitude d potêni prente? Qunto de potêni retiv ele "onsome"? 04) Sej um iruito monofásio omposto por um impedâni em série om um fonte de tensão. Clule P, Q, S, FP e desenhr o triângulo de potênis pr: ) om vlores efizes: V = o V; I = o A. Este iruito é predominntemente indutivo ou pitivo? ) om V = o V; I = o A. Este iruito é predominntemente indutivo ou pitivo? 05) Um rg indutiv monofási onsome 500 kw om um ftor de potêni em trso de 0,80. Desenhe o triângulo de potêni e determine potêni retiv de um pitor ligdo em prlelo om rg pr elevr o ftor de potêni pr 0,93. 06) Sej o grupo de rgs monofásis ixo, ujs potênis são s nominis pr funionmento em 220 V / 60 Hz. A impedâni dos os de ligção foi desprezd. Vef = j0 V S 1 = 150 kva Fp = 0,65 ind 1 S 2 = 50 kva Fp = 1,00 2 S 3 = 50 + j50 S 4 = 10 + j20 kva kva Clule o totl de potêni tiv, retiv e prente que é forneid o grupo de rgs. Determine tmém o ftor de potêni e orrente resultntes. 07) Prtindo dos fsores V V e I I, demonstre que, no so monofásio, potêni prente * omplex dd por S P jq pode ser tmém express por S VI. 08) Desenhe um iruito omposto por um tensão V plid um impedâni série Z = R + jx. Mostre que potêni prente omplex "onsumid" pel impedâni pode ser express por S = Z I 2 e que pr ess rg s potênis tiv e retiv podem ser expresss por: P = R I 2 e Q = X I 2. 3

5 2.3 Exeríios sore iruitos CA trifásios equilirdos * Ver oservções, lique em: Apêndie B - oservções úteis sore CA trifásio 01) Considere um gerdor trifásio elementr. Os terminis externos,, dos enrolmentos do esttor forneem s seguintes tensões fse-neutro (ou simplesmente tensões de fse): v ( t) 2 V sen( t) onde: v v n ( t) 2 V sen( t 120 ) n ef ( t) 2 V sen( t 120 ) n ef V ef é o modulo d tensão efiz de fse; v n(t) foi tomd omo referêni ngulr. ef Gerdor elementr: os terminis ', ', ' são onetdos num mesmo ponto omum, o neutro n. ) Otenh os fsores orrespondentes às tensões de fse e desenhe o digrm fsoril orrespondente. ) Determine os fsores ds tensões de linh e inlu no digrm fsoril nterior. ) Otenh s tensões de linh no domínio do tempo: v (t), v (t) e v (t). d) Esoe s forms de ond ds tensões trifásis de fse e de linh (ou plote om o uxílio de lgum progrm). 02) Sej o iruito trifásio equilirdo ixo, 60 Hz, om ligção Y-Y, onde desprezou-se impedâni dos os d limentção. Considere que o gerdor mntém tensão em seus terminis externos em 380 V. A impedâni de d fse d rg é = 10 + j20. Modelo do Gerdor Trifásio E g E g E g Correntes de Linh: I I I V Correntes de fse: neutro d rg Crg equilird ligd em Estrel ) Determine s tensões de fse e de linh n rg. Qul é su relção (módulos e ângulos)? ) Determine s orrentes de fse n rg e s orrentes de linh. Qul é relção entre els? ) Inserindo um ondutor ligndo os neutros d fonte e d rg, qul seri su orrente? d) Esoçr digrm fsoril. 03) Sej o iruito trifásio equilirdo ixo, 60 Hz, om ligção Y-, onde desprezou-se impedâni dos os de limentção. Considere que o gerdor mntém tensão em seus terminis externos em 380 V. A impedâni de d fse d rg é = 3,0 + j8,0. Modelo do Gerdor Trifásio E g E g E g Correntes de Linh: I I I Correntes de fse: Crg equilird ligd em Delt ) Determine s tensões de fse e de linh n rg. Qul é su relção? ) Determine s orrentes de fse n rg e s orrentes de linh. Qul é su relção (módulos e ângulos)? ) Esoçr digrm fsoril. V 4

6 04) Demonstre que em um iruito om sinis senoidis, trifásio equilirdo, independente de ligção ser Y-Y ou Y-, s potênis trifásis nos terminis d rg podem ser expresss usulmente por: Potêni tiv trifási: P V L I osq Potêni retiv trifási: Q 3 L 3 VL IL Potêni prente trifási em módulo: S senq Potêni prente trifási omplex: S P jq Ftor de potêni: P FP osq S 2 2 P Q ou, S 3 V L IL * 3 V I fse fse onde: V L e I L são módulos de grndezs de linh (vlores efizes); n expressão d potêni prente omplex, V fse e I fse são fsores (efizes). 05) Um sistem trifásio três ondutores, liment um rg em triângulo onstituíd por três impedânis iguis de 17,27 45, om tensão terminl de 380 V. Despreze impedâni dos os de ligção. Determinr s orrentes de linh I, I B e I e trçr o digrm de fsores. Resolver de dus mneirs: ) Aplindo Lei de Kirhhoff ds Correntes os nós d rg. ) Utilizndo o iruito monofásio equivlente. ) Esoçr o digrm fsoril ds orrentes. 06) Clulr s orrentes de linh de um sistem trifásio três ondutores, 4,16 kv, que liment um rg em, onstituíd por três impedânis iguis de o em prlelo om um rg em Y de o. Despreze impedâni dos ondutores de ligção. 07) Sej o digrm unifilr omposto pelo rrmento de síd de um suestção de energi, um linh de trnsmissão e um rg trifási em Y, que onsiste de 3 impedânis iguis Z rg em d fse. Desejndo mnter tensão n rg em 4,4 kv, pede-se: V=? Brrmento d Suestção Z Linh= 1,4 75 Linh de trnsmissão V Crg =4,4 kv Crg pssiv Z rg = 20 Y 30 ) Desenhe o iruito trifásio que represent o sistem. ) Otenh o iruito monofásio equivlente. ) A prtir dí, lule tensão de fse n rr de síd d suestção e otenh tensão de linh. d) Tre o digrm fsoril pr um fse om: tensão otid, tensão n rg e qued de tensão n linh. e) Clule s potênis trifásis forneids pel suestção S, P, Q e o ftor de potêni em su síd. f) Clule perd de potêni tiv (efeito Joule) n linh de trnsmissão. 08) Este prolem trz um interessnte reflexão respeito d relção entre ftor de potêni e perds de potêni por efeito Joule nos ondutores. Considere um rg trifási em Y, 300 kw, no finl de um linh de distriuição limentd em 13,75 kv. Suponh que resistêni de d ondutor d linh sej 10. Se o ftor de potêni d rg é 0,60 trsdo, lule: ) As perds totis n linh por efeito Joule. ) Qunto de redução de perds n linh é otid om orreção do ftor de potêni pr 0,93? Pr simplifir ssum que tensão d rg se mntém prtimente onstnte, ssim omo su potêni tiv. ) Com um no de operção de operção ontínu, quntos kwh serim poupdos somente nesse iruito? d) Anlise e onlu sore os resultdos. O que mis pode ser dito respeito dos enefíios pr o sistem dvindos d orreção do ftor de potêni? 5

7 Biliogrfi STEVENSON, W. D. Jr., Elementos de Análise de Sistems de Potêni, MGrw-Hill, 2 Ed. em Português (4 Ed. Amerin), São Pulo SP, JR. CASTRO, C. A., TANAKA, M. R., Ciruitos de Corrente Alternd Um Curso Introdutório, Editor d Unimp, Cmpins-SP, JOHNSON, D. E., et l., Fundmentos de Análise de Ciruitos Elétrios, Prentie Hll do Brsil, 4 Ed., Rio de Jneiro RJ, MEIER, A. V., Eletri Power Systems A Coneptul Introdution, IEEE PRESS, WILEY INTERSCIENCE, USA,

8 Sinis Apêndie A Prolem (01) de CA monofásio no MATLAB Forms de ond otids: %Progrm no MATLAB pr plotr f = 60; T = 1/f; w = 2*pi*f; Vmx = ; Imx = 62.23; t = 0:T/1e3:1.5*T; %um ilo e meio v = Vmx*sin(w*t); i = Imx*sin(w*t-53.1*pi/180); % ngulo de fse em rdinos figure,plot(t,v,t,i), legend('v(t)','i(t)'), grid set(gf,'color',[1 1 1]) xlel('tempo (s)'), ylel('sinis') v(t) i(t) Simulção no Simulink (MATLAB versão 6.5): Alterção nos prâmetros de simulção: Strt time: 0.0 Stop time: 3/60 (três ilos). Solver options: Type: Fixed-step ode5 Fixed step size: 1e-4 (ou sej, 10-4 ) Tempo (s) (Vej figur o ldo) Resultdos: Pr voltr tele: Alt set d esquerd (Alt ) 7

9 Apêndie B Oservções úteis sore CA trifásio Tensão de fse = tensão fse-neutro. Usulmente: V ou V n, V ou V n, V ou V n. Tensão de linh = tensão fse-fse. Usulmente: V, V, V. A menos que sej dito o ontrário, nos sistems trifásios s grndezs dds são tensões de linh e s potênis (tiv, retiv, prente) são s totis trifásis. Trnsformção Y pr rgs trifásis equilirds: A prtir dos terminis externos,,, s rgs ixo são equivlentes fzendo: ZY = ZD/3. <=> Ciruito monofásio equivlente: Levnte-se questão: por quê fzer álulos onsiderndo s três fses, se em iruitos equilirdos o que oorre em um ds fses é o mesmo om s outrs, exeto pel defsgem ngulr de 120 o? De fto, é mis fáil relizr os estudos onsiderndo somente um fse, usndo o que se denomin de iruito monofásio equivlente. Neste iruito o ondutor de retorno é representdo pelo ondutor neutro om impedâni zero. Usulmente é onveniente relizr os álulos om se em um úni fse (Y por fse, tensão de fse), porque então s impedânis dos trnsformdores podem ser somds diretmente em série om s d linh de trnsmissão. Qundo há trnsformdores -Y ou Y-, tods s grndezs podem ser referids o ldo onetdo em Y. Nos sos de onexões - em série om linhs de trnsmissão, é onveniente sustituir s impedânis onetds em do trnsformdor por impedânis equivlentes em Y. Depois de oter s grndezs monofásis torn-se fáil oter s outrs tensões e orrentes de linh, respeitndo s sus relções qunto à mgnitude e s defsgens ngulres de 120. As potênis trifásis são simplesmente três vezes s monofásis. Como exemplo, oserve o iruito trifásio ixo e seu monofásio equivlente. E g E g E g I I Z linh Z linh Z rg Z rg Z rg I Z linh I Z linh V Z rg E g neutro É omum tomr omo referêni tensão d fse triuindo o seu ângulo de fse o vlor zero grus, isto é: V V 0. Onde V F é mgnitude em vlor efiz sendo: V F = V = V = V. Após solução do F iruito monofásio equivlente, pode-se determinr diretmente s outrs grndezs, tnto de fse omo de linh, stndo plir os defsmentos ngulres e s relções entre s mgnitudes orretmente. Pr voltr tele: Alt set d esquerd (Alt ) 8

10 Algums reposts dos exeríios De números omplexos 01) (e) Resp = 3, j0,8846, ou n form polr, Resp = , ) () C = 1, ) Por exemplo A B = 1 ( 0, j0,8660) = 1, j0,8660 = De CA Monofásio 01) () S = 9,68 53,1 kva. FP = 0,60. 02) I = 65,22 3,8 A 03) I = 7,58 A. S = 1,67 kva. Q = 1,10 kvar. 04) () S = 2,00 30 kva. FP = 0,87. 05) Q BnoCp = 177,39 kvar. 06) P totl = 207,50 kw. Q totl = 183,99 kvar. FP = 0,75 (indutivo). I = 1,26 41,6 ka. De CA Trifásio 02) Tomndo V omo referêni ngulr, isto é, fzendo: V = V ef 0, sendo V ef o módulo d tensão de fse. Correntes de linh: I = 9,81 63,4 A; I = 9,81 183,4 A; I = 9,81 56,6 A. 03) Tomndo V omo referêni ngulr, isto é, fzendo: V = V ef 0. Correntes ns fses d rg: I = 44,48 39,4 A; I = 44,48 159,4 A; I = 44,48 80,6 A Correntes de linh: I = 77,03 69,4 A; I = 77,03 170,6 A; I = 77,03 50,6 A. 05) Correntes de linh: I = 38,11 45,0 A; I = 38,11 165,0 A; I = 38,11 75,0 A. 06) Correntes de linh: I = 366,13 41,8 A; I = 366,13 161,8 A; I = 366,13 78,2 A. 07) Adotndo omo referêni ngulr tensão n fse A d rg omo: 4,40 V 0 kv 3 A tensão d fse A n rr d SE é: 2,669 2,7 kv. A tensão V n rr d SE é: 4,623 32,7 kv. S = 1,017 32,7 MVA; P = 0,856 MW; Q = 0,550 MVAr; FP = 0,842. Perds n linh: 17,538 kw. 08) Perds totis n linh ntes d orreção do FP: 13,223 kw Perds totis n linh pós orreção do FP: 5,5039 kw Redução = 7,7192 kw. Redução perentul = 58,3767% Energi poupd em kwh em um no (onsiderndo 8760 hors): kwh. 9