Processamento de Sinal

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1 API - Processmeto de il Processmeto de il Coceitos, Métodos e Aplicções Texto Tutoril d Discipli: API - LEEC J.P. Mrques de á jms@fe.up.pt Fculdde de Egehri d Uiversidde do Porto 00 J.P. Mrques de á J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

2 API - Processmeto de il Ídice 3 Processos Estocásticos Coceitos Básicos Espectro de Potêci LITs com etrds estocástics Filtrgem de iis Estocásticos Detecção de siis cohecidos com o filtro dptdo uvição de siis descohecidos uvição de médi movete Técic de Médis Estimção de processos estocásticos Filtro de Wieer...8 J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

3 API - Processmeto de il 3 3 Processos Estocásticos 3. Coceitos Básicos Um processo estocástico x é um fmíli de fuções pes trtmos o cso discreto, reis ou complexs, defiids um espço de probbiliddes. Um mostr x de x é deomid um relição ou istâci do processo. - Médi: Ε[ x ] µ Correlção crud: Ε[ x y ] rxy, 3 - Autocorrelção: Ε x x ] rxx, r, * x * [ r, Ε [ x ] é itesidde ou potêci médi do processo. * * {[ x + x ][ x + x ]} r, + r, r, Ε[ x + x ] Ε + x µ x 4 Vriâci: σ V [ x ] Ε[ x ] J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

4 API - Processmeto de il 4 5 Covriâci crud: * Ε [ x µ x y µ y ] cxy, Logo: c * xy µ, rxy, µ x y * y 6 Autocovriâci: c, r, µ x µ Em prticulr: c, r, µ x 7 Cetrgem: ej o processo: x x. c µ x Etão o processo x c tem médi ul e c x c x c, rx x, cxx, c c J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

5 API - Processmeto de il 5 8 Estcioridde: Em setido estrito: Tods s proprieddes esttístics são ivrites pr um trslção do tempo. Em setido lto frcmete estcioário: [ ] costte Ε x µ esttístic de ª ordem * τ * τ r, + τ r τ Ε[ x + τ x ] Ε x + x esttístic de ª ordem Em prticulr: Ε[ x ] r0 Pr um processo orml tods s fdp's cojuts de,... N são ormis estcioridde lt implic estrit, ddo que o processo fic uivocmete determido pel médi e pel utocorrelção. Dois processos são cojutmete estcioários se mbos são estcioários e covriâci crud só depede de τ. 9 Ergodicidde: Um processo x é ergódico se tods s sus proprieddes esttístics se podem determir prtir de um su úic relição. Pr tl o processo deverá ser estcioário, podedo-se, etão, substituir médis de cojutos por médis temporis. N Ε[ g ] lim g N N i 0 Ruído brco é um processo tl que: R τ Iδ τ. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

6 API - Processmeto de il 6 Exemplos: Números letórios com distribuição uiforme em [-, [. ão possíveis 4*3600*00 istâcis equiprováveis. Trt-se de um processo estcioário e ergódico de médi ul Figur 3.. Um relição de x. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

7 API - Processmeto de il 7 Experiêci de 5 relições cosecutivs... de N 000 mostrs Figur 3.. Médi temporl estimd em 000 mostrs pr 5 siis em cim; médi de cojuto estimd em 5 siis pr 000 mostrs em bixo. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

8 API - Processmeto de il Figur 3.3. Autocorrelção temporl de um relição de 000 úmeros com distribuição uiforme em [, [ proximção de ruído brco. b Psseio biário simétrico: x s k com k 0 P s k s P s k s Figur 3.4. Um relição do psseio letório simétrico com s 0.. Usou-se terior relição uiforme pr s probbiliddes do icremeto J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

9 API - Processmeto de il 9 É possível mostrr que: E[x] 0; E[x ] s logo vriâci cresce com. O processo ão é estcioário e, portto, ão é ergódico. c ej: x x x Etão:,, sequêci sequêci de de Beroulli Beroulli com com P 0.5; P 0.3; P x P x Ε R [ x ] 0. 4, 0.4δ τ Logo, o processo é estcioário. Cotudo, ão é ergódico p. ex. x 0.5 Ε[ x ]. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

10 API - Processmeto de il 0 3. Espectro de Potêci No cso de siis estocásticos trsformd discret de Fourier de um relição ão tem sigificdo útil. Pr siis estcioários usmos o espectro de potêci: Veremos mis trde o problem de estimr. Notr, em prticulr, que: jm r m e r m e m r 0 d Pr o ruído brco: I dí o ome O espectro de potêci crud é defiido de form semelhte: xy rxy m m e jm Pr processos ão estcioários defie-se um espectro de potêci vrite o tempo: r m k, k, m e jm jm d J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

11 API - Processmeto de il 3.3 LITs com etrds estocástics y x h com: Ε[ y ] Ε[ x ] h r xy, rxx, k h k k r yy, rxy k, h k k Em prticulr, pr processos estcioários, y é tmbém estcioário, com: * rxx k r m m + k h k r xy yy * m rxy m. k h k ryy m rxx m ρ m k e k ρ m h + k h k * J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

12 API - Processmeto de il J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003 Usdo h, coclui-se: * xx xy [ ] Ε d r xx yy xx yy 0 y upohmos que um processo discreto y é obtido com um excitção de etrd x de um LIT de ordem p: 0 p b b p p p x x y y y K K Cosideremos um excitção por ruído brco, ff. Etão: j e yy Logo: yy

13 API - Processmeto de il 3 J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003 Exemplo: Processo estocástico de primeir ordem. xx ; ; x y y Etão:. cos ; ; m r yy m yy yy Por form obtermos simplesmete m yy m r, bst multiplicr yy por, correspodedo : x y y

14 API - Processmeto de il 4 Experiêci pr 0.8 e etrd ruído Gussio brco distribuição orml, N0, b Figur 3.5. Um relição de ruído Gussio brco; b Respost d terior relição por um sistem de primeir ordem com J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

15 API - Processmeto de il Figur 3.6. à esquerd, utocorrelção estimtiv d relição do terior processo de ª ordem usdo 000 mostrs; à direit, detlhe ds seguites utocorrelções o poto de bciss 0 correspode o terior 000: ruído Gussio brco verde; processo de ª ordem preto; curv teóric do processo de ª ordem, 0.8 m-0 vermelho. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

16 API - Processmeto de il Filtrgem de iis Estocásticos Ddo: x f + e Estimr f preseç de ruído ditivo e, com espectro de potêci. Três csos: O sil f é cohecido O sil f é descohecido O sil é um processo estocástico, f, com espectro de potêci cohecido Cosidermos pes siis reis Detecção de siis cohecidos com o filtro dptdo Pretede-se estimr se o sil f, cohecido, ocorre ou ão em x. Usmos um estimdor lier: y x h f h + e h y + y f e Pretedemos determir h, tl que pr 0 sej máximo: J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

17 API - Processmeto de il 7 J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003 [ ] 0 0 y NR e f Ε y Usdo o resultdo terior, temos: [ ] Ε d e y Por outro ldo: d e F y j f 0 0 Cosidere-se desiguldde de chwrt: b b b dx x w dx x dx x w x, ocorredo situção de iguldde pr kw * x x. Usdo este resultdo, obtém-se: d d F d e F j 0

18 API - Processmeto de il 8 J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003 Dode: d F NR O máximo de NR ocorre pr situção de iguldde que correspode : 0 * j e F k Obtém-se, etão, o filtro dptdo: 0 * j e F k No cso de ruído brco, 0 N, temos: 0 0 f N k h e 0 mx / N E NR, sedo E eergi do sil.

19 API - Processmeto de il 9 Exemplo: f [ ] e: ruído brco úmeros letórios com distribuição uiforme em [-, [ x 0.35 f + e h [ ] Figur 3.7. Em cim: Um sil à esquerd mergulhdo em ruído brco à direit. As ocorrêcis do sil em 0 3, 65 são visíveis; ocorrêci em 0 6 ão o é. Em bixo: filtro dptdo à esquerd e sil filtrdo à direit. Os três máximos locis proemietes deste sil ocorrem precismete s teriores posições. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

20 API - Processmeto de il uvição de siis descohecidos uvição de médi movete Assumimos que f é descohecido e e é um processo estocástico de médi ul e utocorrelção r,. Temos: Ε[ x ] f ; σ x Ε[ e ] r, uvimos o sil por médi movete de N + mostrs: Logo: N y x k N k N N N y f k + e k y f + y e N N k N k N Queremos determir N por form miimir o vlor médio do qudrdo do erro y f. Ms y é um processo estocástico de médi y f e vriâci: J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

21 API - Processmeto de il σ y Ε + N + [ y e ] N 4N r k, k k N k N upohmos que o ruído é brco: r, I δ Etão, prov-se que Ppoulis, 977: Vriâci: σ y I + 0 com 0 < N N N b Ε y f f '' +, < 6 Viés: [ ] N Dilem: Pr N lrgo vriâci é peque e o viés é grde; pr N pequeo vriâci é grde e o viés pequeo. Note-se que qudo f'' 0 e.g. itervlos ode o sil é ulo o viés é ulo. N situção em que f'' e I são suficietemete suves, temos: I + 0 I ; f '' + f '' J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

22 API - Processmeto de il Etão: 4 N [ f ] b + [ f '' ] ε Ε y σ y 36 + I N O míimo de ε ocorre pr: N m 5 9I [ f '' ] Note-se que depede de f'' e I. Exemplo: Determir o N óptimo pr filtrgem de siis com f'' 0. e I. Aplicdo fórmul, obtém-se: N m Logo, um comprimeto totl do filtro de L N + 7. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

23 API - Processmeto de il Vriâci Figur 3.8. Curvs de vriâci, viés e erro pr f'' 0. e I. ej f costituído por váris réplics de siis prbólicos, do tipo s G[497 ], com gho G 0., embebido em ruído brco com distribuição Gussi de vriâci. Estmos s codições de plicção do resultdo terior Viés Erro Figur 3.9. Um relição do processo x, com f costituído por "impulsos prbólicos" com f'' 0. e ruído brco com I. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

24 API - Processmeto de il 4 N J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

25 API - Processmeto de il Figur 3.0. Resultdo d filtrgem d terior relição de x pr vários vlores de N. Notr o efeito do viés e d vriâci. Erros obtidos s filtrges teriores relição com 48 mostrs: N L N + ε J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

26 API - Processmeto de il Técic de Médis Codições: Processo ergódico. Um relição do processo cosiste repetição espçd de váris réplics de um sil. Ruído de médi ul, Ε[ e ] 0. Podemos obter um versão suvid do sil d seguite form: Alihr temporlmete s diverss réplics do sil, segmetdo-o e usdo um medid de correlção crud. Determir médi ds réplics do sil: M i [ x ] f + Ε[ e ] f x i Ε M Exemplo: Determição de um complexo médio de ods do ECG. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

27 API - Processmeto de il 7 Figur 3.. Exemplos de obteção de complexos médios de ods de ECGs, usdo técic de médis. Note-se como se obtém um suvição dequd mesmo pr um úmero pequeo de réplics do sil. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

28 API - Processmeto de il Estimção de processos estocásticos Temos: x f + e Assume-se que todos os processos são estcioários e reis Filtro de Wieer Pretedemos obter um estimtiv de f, usdo um combição lier: por form miimir o erro qudrático médio: ε Pr tl, o erro tem de ser ortogol os ddos: f ˆ x k h k, k f fˆ Ε f x k h k x m k 0, m J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

29 API - Processmeto de il 9 Dode: r fx m r k xx m k h k, m Logo, tomdo trsformd em : fx xx O filtro óptimo de Wieer, é: com erro fx xx r fx k ε r 0 k h k ff Csos especiis: A correlção crud do sil e do ruído é ul: r fe m 0 Etão:, fx ff xx ff + ee J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

30 API - Processmeto de il 30 J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003 ee ff ff + Verific-se codição terior com ruído brco, m I m r ee δ Etão: I ff ff + Exemplo: Processo estocástico de primeir ordem ver trás com ruído brco. + + m r ff m ff, 0< < ubstituido o terior : / + + b b I com I b b / Logo:

31 API - Processmeto de il 3 É possível provr que o erro é, este cso: ε b h b I b Pr o exemplo d secção 3.3, com 0.8 e I, obtém-se: b b b 0.5; h 0.3x ; ε Figur 3.. Detlhe ds seguites utocorrelções: processo d secção 3.3 ul, estimd um relição de 000 mostrs; curv teóric vermelho; resultdo d filtrgem pelo terior filtro de Wieer preto. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003

32 API - Processmeto de il 3 Bibliogrfi Kuc R 988 Itroductio to Digitl igl Processig. Mc Grw-ill, Ic. Lider DK 999 Itroductio to igls d ystems. Mc Grw-ill, Ic. Lyos RG 997 Uderstdig Digitl igl Processig. Addiso Wesley Logm, Ic. Oppeheim AV, chfer RW, Buck JR 999 Discrete-Tim igl Processig. Pretice-ll Ic. Ppoulis A 984 igl Alysis. McGrw-ill, Ic. Prokis JG, Molkis DG 996 Digitl igl Processiog. Priciples, Algorithms d Applictios. Pretice ll It., Ic. Rbier LR, Gold B 975 Theory d Applictio of Digitl igl Processig. Pretice-ll, Ic. chwr M, hw L 975 igl Processig: Discrete pectrl Alysis, Detectio, d Estimtio. McGrw-ill. teiglit K 974 A Itroductio to Discrete ystems, J. Wiley & os, Ic. Tretter A 976 Itroductio to Discrete Time igl Processig J. Wiley & os, Ic. J.P. Mrques de á - Fc. Eg. Uiv. do Porto, Portugl 003