Estatística II Licenciatura em Gestão. Parte I

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1 Esttístic II Licecitur em Gestão 1 o semestre 2015/2016 ER - 03/02/ :00 Nome N o Espço reservdo clssificções A utilizção do telemóvel, em qulquer circustâci, é motivo suficiete pr ulção d prov. Perguts de escolh múltipl: pes um opção é corret cd respost cert vle 1 vlor cd respost errd vle vlores Pergut Verddeiro/Flso: cd respost cert vle 0.25 vlores cd respost errd vle vlores Se ecessitr de espço utilize últim pági do eucido, idicdo com clrez respetiv questão. É expressmete proíbido destcr s folhs do eucido. Prte I 1. Pr cd firmção ssile se est é verddeir (V) ou fls (F). (1.0) Ddo um prâmetro descohecido θ, um estimdor diz-se cetrdo pr θ se, em médi, o seu vlor for igul o vlor de θ. Um estimtiv é um vriável letóri. O ível de sigificâci de um teste esttístico, α, é probbilidde de cometer o erro de 2 espécie Num teste esttístico em que o vlor-p = 0, rejeit-se H 0, qulquer que sej dimesão α. 2. O úmero de chmds telefóics por miuto o cll ceter do tedimeto o cliete de um determid empres segue um distribuição de Poisso com vlor esperdo λ. Tedo por bse cotbilizção do úmero de chmds em 60 itervlos de um miuto, seleciodos o cso, form cotbilizds 69 chmds. () Sbedo que λ = é estimdor de máxim verosimilhç de λ, qul estimtiv de máxim verosi- (1.5) milhç pr probbilidde de ão hver chmds um miuto. Justifique. =úmero de chmds telefóics por miuto 60 Poi sso(λ), mostr: = 60 e x i = 69, x = = 1.15 ˆλ = é estimdor de máxim verosimilhç de λ, logo x é estimtiv de máxim verosimilhç de λ: e P( λ λ 0 = 0) = = 0! }{{} e x = e 1.15 = prop. ivriâci A estimtiv de máxim verosimilhç de P( = 0) é V F Pági 1 de 7

2 (b) Determie o itervlo de cofiç proximdo 95% pr o úmero médio de chmds por miuto. (1.5) Vriável fulcrl: Z = λ N (0,1) Logo, o itervlo de cofiç proximdo 95%pr o úmero médio de chmds é: x ± z α/2 x = 1.15 ± = (1.15 ± ) = (0.8787,1.4213) (c) Os fucioários do cll ceter firmm que o úmero médio de chmds por miuto é 1.5. Com bse (1.0) líe terior, o que pode cocluir sobre ess firmção? (se ão resolveu líe terior, cosidere que o itervlo de cofiç 95% pr o úmero médio de chmds por miuto é (0.9,1.4)) A hipótese é suportd pelos ddos o ível de sigificâci de 10% A hipótese ão é suportd pelos ddos o ível de sigificâci de 5% A hipótese é suportd pelos ddos o ível de sigificâci de 5% Não se pode cocluir sobre firmção, com bse iformção dd (d) No setido de otimizr os recursos d empres, um gestor firm que o úmero médio de chmds (1.5) por miuto ão é superior 1. É ceitável suposição do gestor? Decid com bse o vlor-p. H 0 : λ 1 vs H 1 : λ > 1 Grdes mostrs ( > 30), VF: Z = λ λ Esttístic teste: Z H 0 = 1 1 N (0,1) N (0,1) Vlor observdo d esttístic teste: z obs = x 1 = = = vlor-p= P(Z H 0 ) = 1 Φ(1.162) = Como vlor-p= 12.3% é superior os íveis usuis de sigificâci (omedmete 12.3% > 5%), ão se rejeit H 0. Há evidêci esttístic que suport suposição do gestor. Pági 2 de 7

3 (e) O mesmo gestor firm que vriâci do úmero de chmds por miuto ão é superior 1. É (1.0) ceitável suposição do gestor, o ível de sigificâci α = 0.05? Como Poi sso(λ), etão V ( ) = E( ) = λ. Logo testr H 0 : σ 2 1 vs H 1 : σ 2 > 1 é equivlete testr H 0 : λ 1 vs H 1 : λ > 1. Logo, pel líe terior, ão se rejeit H 0. A evidêci esttístic pot pr ceitr suposição do gestor. 3. Num teste de hipóteses em que região crític é W = {t : t > 15.5}, pr um determid esttístic teste (1.0) T, etão O vlor p do teste é p = 2P(T 15.5 H 0 ) A dimesão do teste é α = 2P(T 15.5 H 0 ) A dimesão do teste é α = P(T 15.5 H 0 ) O vlor p do teste é p = P(T 15.5 H 0 ) 4. A dmiistrção de um fábric de bteris decidiu estudr o tempo de utoomi ds mesms. Assumiu- (1.5) se pr tl que o tempo de utoomi, em hors, de cd bteri é um vriável letóri com fução desidde de probbilidde dd por: f (x) = x2 x 2β 3 e β, x 0 ode β > 0 é descohecido. Determie o estimdor de máxim verosimilhç pr β (cosidere pes codição de 1 o ordem). = tempo de utoomi de um bteri. Sej 1,..., mostr csul. Fução de verosimilhç: Fução log-verosimilhç: L(β) = f (x i ) = x 2 x i i 2β 3 e β = 1 2 β 3 l(β) = ll(β) = l(2) 3 l(β) + l Estimtiv de máxim verosimilhç pr β é ˆβ tl que mxl(β) = l ( ˆβ). Codição de 1 ordem: ( x 2 i x 2 1 i e β x i ) 1 β x i dl (β) dβ = 0 3 β + x i β 2 = 0 3β + x i β 2 = 0 3β + x i β = x i 3 = x 3 Logo, o estimdor de máxim verosimilhç é ˆβ = ˆ 3 Pági 3 de 7

4 Prte II 1. Pr cd firmção ssile se est é verddeir (V) ou fls (F). (1.0) No modelo de regressão lier y t = β 1 + β 2 x 2t + β 3 x 3t + u t, t = 1,2,...,, em que o coeficiete de determição, R 2, é elevdo, pode cocluir-se que x 2 tem sigificâci esttístic V F O modelo y t = β 1 + β 2 x 2t + β 3 x2t 2 + u t, t = 1,2,...,, é lier os prâmetros. Nos testes ão prmétricos estuddos, região de rejeição situ-se sempre b direit d distribuição. Um ds hipóteses do MRL é exogeeidde dos regressores. 2. Pr um determido cruzmeto rodoviário, registrm-se o úmero mesl de cidetes lá ocorridos o (2.0) logo dos últimos 10 os (120 meses). Os resultdos ecotrm-se tbel de frequêcis bixo. úmero de cidetes ou mis frequêci observd Será que os ddos suportm hipótese de o úmero mesl de cidetes esse cruzmeto seguir um distribuição de Poisso de prâmetro 0.5, o ível de sigificâci de 5%? =úmero mesl de cidetes H 0 : Poi sso(0.5) vs H 1 : Poi sso(0.5) A frequêci esperd últim clsse ( 3) é: [ p j = 120P( 3 H 0 ) = logo é ecessário grupr s dus últims clsses. (e e e )] = < 5 p 1 = P( = 0 H 0 ) = e 0.5 = , p 2 = P( = 1 H 0 ) = 0.5e 0.5 = , p 3 = P( 2 H 0 ) = 1 (p 1 + p 2 ) = úmero de cidetes frequêci observd frequêci esperd clsses j p j p j q j totis q obs = (N j p j ) 2 Esttístic teste (sob H 0 ), k = 3: Q = χ 2 (3 1) p e região crític: W 5% = {q : q > 5.991}. j Como q obs = < (q obs W ), ão se rejeit H 0 5%. Há evidêci esttístic de que o úmero mesl de cidetes tem distribuição de Poisso de médi 0.5. Pági 4 de 7

5 3. Pr estudr os determites do crédito cocedido (cr ed) pr quisição de hbitção, um ivestigdor lisou os processos de clietes de um istituição ficeir, tedo especificdo o seguite modelo: lcr ed t = β 1 + β 2 lred t + β 3 l pr eco t + β 4 peso t + β 5 sei or t + u t ode r ed é o redimeto ul do cliete, pr eco é o preço de compr d hbitção, peso é percetgem ds outrs obrigções do cliete o seu redimeto (medido de 0 100), e sei or é um vriável rtificil que ssume o vlor 1 se o cliete tem mis de 50 os. Os resultdos obtidos ecotrm-se em exo, ode o prefixo l represet o logritmo turl. () Iterprete s estimtivs de β 2, β 4 e β 5 d Equção 1 (1.5) b 2 = : estimtiv d elsticidde do crédito reltivmete o redimeto. Estim-se que, se o redimeto umetr 1%, o crédito cocedido umet, em médi, proximdmete %, tods s outrs vriáveis se mtedo costtes. b 4 = % : Estim-se que, se o peso ds outrs obrigções o redimeto umetr 1 poto percetul, o crédito cocedido umet, em médi 0.3%, pr vlores costtes ds resttes vriáveis. b 5 = = 2.86% Estim-se que, pr vlores costtes ds resttes vriáveis, o crédito cocedido é iferior, em médi, em cerc de 2.86% pr clietes com iddes superior 50 os, fce clietes com idde iferior 50 os. (b) Teste sigificâci cojut de β 4 e de β 5 5%. (1.5) H 0 : β 4 = β 5 = 0 vs H 1 : β 4 0 ou β 5 0 Esttístic teste (sob vlidde de H 0 ): F = (V R 0 V R 1 )/2 V R 1 /( k) F (2,232) e região crític: W = { f : f > 3.0 } ( )/2 f obs = /232 = = Como f obs = < 3.0 (f obs W ), ão se rejeit H 0 5%. Os ddos esttísticos suportm hipótese de ulidde cojut de β 4 e β 5. Pági 5 de 7

6 (c) Pretede-se testr H 0 : β 3 = 1 cotr H 1 : β 3 > 1. Com pse o output d Equção 1, pode cocluir-se, (1.0) 5%: que se rejeit H 0 porque o vlor de b 3 é diferete de 1. que se rejeit H 0 porque o vlor d esttístic de teste é e pertece à região de rejeição. que ão se rejeit H 0 porque o vlor d esttístic de teste é 5.94 e ão pertece à região de rejeição. que iformção dd ão permite clculr o vlor d esttístic de teste e tomr um decisão. (d) Pr testr, Equção 1, se elsticidde do crédito reltivmete o preço é o triplo d elsticidde (1.0) do crédito reltivmete o redimeto, foi estimdo outro modelo. Qul? l cr ed t = α 1 + α 2 l r ed t + α 3 l pr eco t + er r o t l cr ed t = δ 1 + δ 2 (lred t + 3 l pr eco t ) + δ 3 peso t + δ 4 sei or t + er r o t l cr ed t = γ 1 + γ 2 (3 l pr eco t ) + γ 3 peso t + γ 4 sei or t + er r o t l cr ed t = θ 1 + θ 2 peso t + θ 3 sei or t + er r o t (e) Utilizdo o modelo d Equção 2, pretede-se testr se há evidêci de regressões idêtics pr dois (2.0) tipos de clietes: clietes com outrs plicções ficeirs lém dos depósitos e clietes com pes depósitos ess istituição ficeir. Dos 237 clietes d mostr, 160 clietes só têm depósitos. Idique como procederi pr relizr esse teste. Apresete s regressões ecessáris, s hipóteses H 0 e H 1 e esttístic de teste utilizd. Sbedo que o vlor d esttístic de teste é igul 3.62, o que pode cocluir, o ível de sigificâci de 5%? Trt-se de um teste de Chow plicdo à equção lcr ed t = β 1 +β 2 lred t +β 3 l pr eco t + u t. É ecessário estimr 3 regressões: i) Equção 2 com s 237 observções ii) o modelo só pr clietes com outrs plicções: = 77 e l cr ed t = α 1 + α 2 lred t + α 3 l pr eco t + er r o t iii) o modelo só pr clietes com depósitos: = 160 e lcr ed t = θ 1 + θ 2 l r ed t + θ 3 l pr eco t + er r o t Hipóteses do teste esttístico: H 0 : α j = θ j, j = 1,2,3 vs H 1 : α i θ j, j = 1,2,3 Esttístic teste (sob vlidde de H 0 ): F = [V R (V R 1)]/3 (V R 1 )/(237 6) F (3,231) com: V R 1 : som ds vrições residuis dos modelis ii) e iii) V R: vrição residul do modelo i) Região crític: W 5% = { f : f > 2.6 }. Vlor observdo d esttístic: f obs = 3.62 > 2.6 = f obs W. Logo, rejeit-se H 0 5%. Há evidêci esttístic cotr hipótese de regressões idêtics. Pági 6 de 7

7 Aexo Equção 1:!"#$%! =!! +!!!"#$%! +!!!"#$%&! +!!!"#$! +!!!"#$%&! +!! Regressio Sttistics Multiple R R Squre Adjusted R Squre Stdrd Error Observtios 237 ANOVA df SS MS F Sigificce F Regressio Residul Totl Coefficiets Stdrd Error t Stt P-vlue Itercept lred lpreco peso seior Equção 2:!"#$%! =!! +!!!"#$%! +!!!"#$%&! +!! Regressio Sttistics Multiple R R Squre Adjusted R Squre Stdrd Error Observtios 237 ANOVA df SS MS F Sigificce F Regressio Residul Totl Coefficiets Stdrd Error t Stt P-vlue Itercept lred lpreco Pági 7 de 7