18 a 21 de novembro de 2014, Caldas Novas - Goiás IMPROVED SIMULATED ANNEALING

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1 a de novembro de, Caldas Novas - Goás IMPROVED SIMULATED ANNEALING Vnícus Nunes Carvalho, vncusncarvalho9@gmal.com Sezmára de Fátma Perera Saramago, saramago@uu.br Unversdade Federal de Uberlânda Faculdade de Engenhara Mecânca, Av. João Naves de Ávla, nº, Uberlânda, Mnas Geras, Brasl. Unversdade Federal de Uberlânda Faculdade de Matemátca, Av. João Naves de Ávla, nº, Uberlânda, Mnas Geras, Brasl. Resumo: O prncpal objetvo deste trabalho é aprmorar o algortmo conhecdo como Recozmento Smulado (Smulated Annealng), vsando aprovetar suas potencaldades e aumentar sua ecênca para a solução de problemas de otmzação. Na pesqusa pretende-se modcar o algortmo básco de Smulated Annealng desenvolvendo o método denomnado Improved Smulated Annealng (ISA). O algortmo orgnal é seral na sua concepção e requer elevado tempo computaconal. Cada cclo do algortmo é composto pela geração, avalação da unção objetvo e aplcação de crtéros de decsão, sendo necessáras váras terações para cada valor de temperatura, somente ao nal deste cclo o valor do ponto ótmo é atualzado. Os parâmetros do algortmo são: a unção custo, que representa a energa do sstema; as varáves de projeto, que descrevem sua conguração e a temperatura, que é um parâmetro de controle. Se o parâmetro temperatura (T) tver magntude muto superor ao desvo padrão da unção no ntervalo, quase todos os pontos são acetos. Ao passo que se T or gual a zero, o método se torna uma busca aleatóra do mínmo. Assm, adota-se: T como o valor do desvo padrão da unção objetvo no ntervalo estudado e T com a ordem de grandeza desejada para a precsão do ponto ótmo. Com este estudo pretende-se que a ecênca do método seja melhorada por meo das modcações pontuas etas no programa vsando o melhor aprovetamento de sua capacdade para as varáves envolvdas no projeto. Além dsso, o algortmo será adaptado para trabalhar com unções mult-objetvo na presença de restrções. O algortmo desenvolvdo é aplcado no projeto ótmo de uma caa de engrenagens e os resultados apresentados para demonstrar a ecênca da metodologa proposta. Palavras-chave: Otmzação, Smulated Annealng, Improved Smulated Annealng, Caa de Engrenagem.. INTRODUÇÃO Otmzação matemátca é um ramo da cênca computaconal que busca a melhor solução para um dado problema, procura projetar o novo com a máma ecênca e consequentemente com o menor custo. Neste método a ntenção é obter a solução ótma sem que haja perda de tempo, ou seja, testando um número relatvamente pequeno de possbldades e anda assm com sucesso. Em geral, problemas de otmzação em engenhara são caracterzados por um grande número de restrções, normalmente modelados por unções numércas de váras varáves, sendo que o objetvo pode ser pontos de mámo ou de mínmo destas unções, varando em cada aplcação. Estes problemas surgem em todas as áreas do conhecmento varando apenas a ormulação dos mesmos, sendo bastante grande a gama de técncas dsponíves para resolvê-los. Com o aumento das restrções e o número de varáves do projeto o problema ca mas compleo e deste modo há o aumento do custo computaconal para obter uma solução. Quando as unções são descontínuas, ou unções com presença de mutos mínmos locas, torna-se mas dícl a obtenção do mínmo global. O avanço dos recursos computaconas ocorrdos nos últmos anos, e o ato de que os problemas tornam-se cada vez mas compleos, tem avorecdo o avanço das técncas de otmzação heurístcas. O Smulated Annealng pertence à classe de métodos que tentam smular os processos usados pela natureza para resolver problemas compleos de otmzação. Segundo Fara e Saramago (), nesta técnca a analoga utlzada é com o crescmento de um crstal smples de um metal unddo, que corresponde a encontrar o mínmo local da energa nterna do metal (unção objetvo), sendo que esta é uma unção da dsposção dos átomos (varáves de projeto). A motvação deste trabalho é melhorar a ecênca deste método de otmzação, vsando um custo computaconal menor, desenvolvendo um novo algortmo chamado Improved Smulated Annealng. Foram realzadas algumas modcações no algortmo já estente para que a convergênca do método osse melhorada, além de consderar um novo crtéro de parada para controlar a estagnação do algortmo evtando terações desnecessáras.

2 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO. MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO.. Forma Geral de um Método de Otmzação O problema geral de otmzação consste em mnmzar uma unção objetvo, sujeta, ou não, a restrções de gualdade, desgualdade e restrções lateras. A unção objetvo e as unções de restrções podem ser unções lneares ou não lneares em relação às varáves de projeto, mplíctas ou eplíctas, calculadas por técncas analítcas ou numércas. Seja o problema geral de otmzação dado por: T Mnmzar F F F... F, F E ; T,,...,,. () n R Sujeto a: g j, j,,..., J; hl, l,,..., L; L U,,,..., n. () sendo que F() representa o vetor das unções objetvo, g j e h são, respectvamente, as restrções de desgualdade e de gualdade, (L) e (U) são os lmtes nerores e superores de cada varável de projeto, E o espaço eucldano e R o conjunto dos números reas... Smulated Annealng Smulated Annealng pertence à mesma classe dos métodos das Redes Neuras e Algortmos Genétcos, no sentdo que smulam métodos Naturas. O algortmo Smulated Annealng permte uma útl coneão entre a mecânca estatístca (comportamento de um sstema de város graus de lberdade em equlíbro térmco a uma temperatura nta) e a otmzação combnatóra (encontrar um mínmo de uma dada unção dependendo de város parâmetros). Fgura. Analoga entre o processo de otmzação e o recozmento smulado. Fonte: Saramago (). Metropols et al (9) ntroduzram um método numérco smples que representa o estado equlíbro de um conjunto de átomos a uma dada temperatura. A analoga com o processo de otmzação pode ser eta analsando a Fg.. Este método de otmzação az uma analoga com o processo de recozmento (annealng) da metalurga. Sabe-se da Metalurga que, se o metal é resrado em condções apropradas, o crstal smples pode ser obtdo (Krpatrc, 9). No recozmento o metal é aquecdo a altas temperaturas, causando um choque volento nos átomos. Se o metal or resrado de orma brusca, a mcroestrutura tende a um estado randomcamente nstável, porém, se o metal é resrado de orma sucentemente lenta, o sstema procurará um ponto de equlíbro caracterzado por uma mcroestrutura ordenada e estável. As varáves de projeto são perturbadas randomcamente e armazena-se o melhor valor da unção objetvo a cada perturbação. A temperatura é então reduzda (annealng) e novas tentatvas eecutadas. Este procedmento contnua até escaparmos de um mínmo local. Ao nal do processo é possível que se obtenha um mínmo global. Seja E a energa de um sstema de átomos a uma temperatura T. Em cada passo do algortmo, é dado um deslocamento aleatóro a um átomo, o que mplca uma nova energa do sstema E. Se esta nova energa E é menor ou gual a zero (E ), o deslocamento é aceto, caso contráro (E ), a probabldade da conguração ser aceta será dada pela equação: E Kb T P( E ) e, sendo que K b é a constante de Boltzmann. ()

3 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO Um número aleatóro r, unormemente dstrbuído, deve ser gerado no ntervalo [, ]. Se r P(E) a nova conguração é aceta. Se r > P(E) a conguração anteror é utlzada para ncar um novo passo. A escolha da unção de probabldade P(E), conorme acma descrto, se deve ao ato de que o sstema evolu segundo uma dstrbução de Boltzman. Os parâmetros do algortmo são: a unção custo, que representa a energa do sstema; as varáves de projeto, que descrevem sua conguração e a temperatura, que é um parâmetro de controle. A Fg. apresenta o luograma desta metodologa. Fgura Fluograma para o algortmo Smulated Annealng.

4 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO Se T tver magntude muto superor ao desvo padrão da unção no ntervalo, quase todos os pontos são acetos. Ao passo que se T or gual a zero, o método se torna uma busca aleatóra do mínmo. Assm, adota-se: T como o valor do desvo padrão da unção objetvo no ntervalo estudado e T com a ordem de grandeza desejada para o precsão do ponto ótmo. Na otmzação va Smulated Annealng (Saramago e Fara, ) consdera-se: a perturbação randômca das varáves de projeto e a manutenção do melhor valor da unção objetvo. Após algumas tentatvas o melhor valor da unção é chamado de centro, em torno do qual ocorreram as perturbações na próma temperatura. Os parâmetros de controle para ncar o procedmento são: a unção objetvo F(), as varáves de projeto ncas (), o número de varáves de projeto, a temperatura ncal T, a temperatura nal T, o número de terações para cada temperatura, o número de temperaturas n temp, o número de avalações da unção objetvo, o crtéro de parada. A conguração ncal das varáves de decsão é adotada como centro. O valor ncal da unção objetvo adotado como o melhor valor (best ucnton value). e No prómo passo, o número aleatóro r é gerado e as varáves são modcadas (shae): r r r r r ; () T T ; center T * r. () Na Eq. () observa-se que quatro valores aleatóros são gerados, de orma que a varável r seja adotada como méda zero (Masters, 99). Assm, uma nova conguração é obtda pela Eq. () e um novo valor da unção objetvo pode ser calculado. O esquema nca-se com uma temperatura alta, que é reduzda dscretamente, usando o ator < r t <, até que o sstema resre, conorme as epressões abao: r t e T ln T ntemp, T T * r. t () A temperatura é então reduzda (annealng) e novas tentatvas são eecutadas. Este procedmento contnua até escaparmos de um mínmo local. Ao nal do processo é possível que se obtenha um mínmo global... Improved Smulated Annealng O objetvo desta pesqusa é modcar o algortmo orgnal vsando uma melhor ecáca do método e também buscando um menor custo computaconal. O luograma do algortmo modcado pode ser vercado na Fg.. A segur serão apresentadas as mudanças etas e suas justcatvas. A prmera alteração proposta o a utlzação de uma temperatura ncal para cada varável de projeto obtda pela méda artmétca de suas restrções lateras, ou seja: T ( L) ( U ). (7) sendo que (L) e (U) representam as restrções lateras de cada varável. Observe que no algortmo anteror era adotada uma temperatura ncal únca para todas as varáves. Como as varáves podem ter valores muto derentes entre s, nesta nova proposta, o processo de otmzação ca mas ecente, sendo capaz de atngr um espaço de busca muto maor. Outra mudança proposta o no crtéro de parada do algortmo. No algortmo orgnal testava-se se a unção objetvo converga para um valor o, pré-estabelecdo. Nesta nova proposta é avalada a derença dos valores ótmos da unção nas duas últmas terações. Cada vez que o valor obtdo or neror a uma precsão estabelecda, o que sgnca que nestas duas últmas terações a unção está estagnada, acrescenta-se uma undade a um contador de controle (control), ou seja: F( ) F( ) control control. ()

5 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO Fgura Fluograma para o algortmo Improved Smulated Annealng. Uma nova adaptação eetuada no algortmo o na unção "shae", vsando garantr que os novos valores adotados para cada varável estejam dentro das restrções lateras, assm o mposto que: Se Se ( L) ( U ) então então ( L) ; ( U ). (9) Além dsso, o algortmo o adaptado para trabalhar com problemas de otmzação mult-crtéros, substtundo o vetor de unções objetvo por um problema de otmzação escalar. Uma das técncas é utlzar o método da ponderação dos objetvos, através da cração de uma unção da orma: w. () Sera desejável que os coecentes de ponderação w representassem a mportânca relatva de cada crtéro. Para que w possa reletr de orma apromada a mportânca dos objetvos, todas as unções devem ser epressas em undades que apromem os mesmos valores numércos. Assm, na Eq.(), a unção vetoral o normalzada pelo uso

6 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO da solução deal. Esta solução é determnada obtendo-se separadamente o mínmo vável, para todas as unções objetvo. Em outras palavras: mn ( ),,...,K sujeto as restrções (). () A unção escalar também pode ser determnada por amílas de métrcas L p, dendas por: L p s o, s. s () Mutas vezes anda é recomendado o uso de dstânca relatva ao nvés de dstânca absoluta, logo a equação acma pode ser reescrta como: L p o o s s, s.. () Falta anda adaptar o algortmo para trabalhar com problemas na presença de restrções. Neste estudo, o utlzado o conceto de unção de penaldade. Nesta técnca, os problemas com restrções são transormados em problemas sem restrções adconando uma unção de penaldade P() à unção objetvo orgnal para lmtar as volações das restrções: ( ) ( ) rp P( ) P( ); L ma, g ( ) h ( ). J j j l l () onde () é a unção objetvo orgnal, P() é uma unção de penaldade mposta, g j () e h l () são unções de restrções de desgualdade e gualdade, respectvamente, conorme a Eq.(). O escalar r p é um multplcador que quantca a magntude da penaldade. Para a ecênca do método, deve-se procurar um valor adequado para o ator de penaldade de orma a garantr que todas as restrções sejam obedecdas. Para testar as alterações, a segunte unção teste o utlzada: n F( ) *( ) ( ), n. () Na Fg. podem-se acompanhar os valores da unção objetvo dada pela Eq. () ao longo das terações. A Fg. a consdera valores os para a temperatura ncal T =. e a Fg. b apresenta os resultados obtdos consderando uma temperatura ncal derente para cada varável, calculada conorme Eq. (7). Note que a mudança eta no algortmo garantu convergênca progressva do programa para a solução ótma, assm conrma-se que a modcação eta resultou em uma melhor ecênca do algortmo. a) b) Fgura. Resultados para a unção objetvo ao longo das terações modcando a temperatura ncal: a) Temperatura ncal gual a.; b) Temperatura ncal dada pela Eq. (7).

7 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO A m de comparação, a unção dada pela Eq. () o otmzada utlzando os dos algortmos para a modcação do crtéro de parada mostrado na Eq.(). Por meo da Fg. a e b, observa-se que o tempo de convergênca o bem menor no método modcado, deste modo conclu-se que o novo crtéro de parada o mas ecente, dmnundo consderavelmente o tempo computaconal. Mesmo com esse menor número de terações a convergênca contnuou sendo garantda... Aplcação a) b) Fgura. Resultados para a unção objetvo ao longo das terações utlzando novo crtéro de parada: a) Smulated Annealng; b) Improved Smulated Annealng. Seja o projeto ótmo da caa de transmssão de um torno mecânco, apresentado em Saramago e Souza (), ormulado como: Fgura. Esquema para a Caa de engrenagens. Fonte: Saramago e Souza (). Dada a estrutura do torno mecânco, os parâmetros cnemátcos nos eos de entrada e saída e a orça potencal no eo de entrada, determnar uma solução, obtendo os parâmetros báscos como: número de dentes, módulo e largura dos dentes. De orma a mnmzar as seguntes unções objetvo: ) Volume do materal usado para os elementos montados sobre os eos, (); ) Mamzar a velocdade perérca entre as engrenagens, (); ) Largura das caas de transmssão, (); v) Dstanca entre os eos de entrada e saída, (). Além dsso, o projeto ótmo deve satsazer às restrções relaconadas com a geometra, cnemátca e tensão. Observe que a segunda unção objetvo relete o comportamento dnâmco da caa de câmbo (ruídos e vbração) quando opera a altas velocdades. As últmas unções representam o peso e dmensão da caa de transmssão. As varáves de projeto, conorme esquematzado na Fg., são:

8 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO -,,,,,, 7, representam o número de dentes da engrenagem; - 9 e módulo das engrenagens montadas em conjunto (eos duplos); -,,, representam a largura dos dentes da engrenagem. O projeto cnemátco, o desenho estrutural e os dados báscos para esta caa de transmssão são esquematzados na Fg.. O problema do projeto ótmo do torno mecânco o ormulado como: mn 7, 9 7 7, dcm ; 7 7, ma 7 9,7 m / ; s ; mn mm mn, 9 mm. 7 Sujeto às seguntes restrções:,, 7,,,,,,,,,,,,,, 7,, 7,,,,,,,, 7,,, 7 7, 7,,,, 9,7,,,, 7 7, 7,9, 9,, 9,, 9,, 9,,,, 7,,,,,, 9 9, 9 7 9, 9,,,,,, 9 9,,,, 9 9 9, 9, , 9,,,,,, 9,,,,,,, 7 7,,,,, 9,,,,. 7,, Para o problema mult-crtéro, os seguntes valores deas, calculados conorme Eq. (), oram obtdos: o =7, dcm o =-7, m/s o =,mm o =9,mm

9 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO Com a otmzação do problema o notado a presença de város mínmos locas devdo aos derentes resultados apresentados ao se usar técncas sequencas. Outro ator mportante a ser ressaltado sobre este problema é que estem mutas restrções envolvendo as varáves de decsão, esta mposção dculta a otmzação. Após váras tentatvas, os melhores resultados são apresentados a segur, representados por best e ( best ). Para o cálculo das médas e dos respectvos desvos padrão, o programa o eecutado vezes, e os valores obtdos apresentados como med e ( med ). Com a aplcação do Improved Smulated Annealng, trabalhando com a unção de ponderação dos objetvos denda na Eq. (), consderando todos os coecentes de ponderação guas (w =,), obteve-se os resultados apresentados abao: mn ( ),,,,. best =[ 9 9 7,,,,,,] med =[± 7,± 9,± 7±,±,,±,,±, ±,±,7 ±,±9, 7,±,9,±7, ±] ( best )=[, dcm,9m/s,mm,mm] ( med )=[,±9,dcm,±,7m/s 7,±,mm,±7,mm] Para a métrca L, obtda a partr da Eq. (), os resultados calculados por meo do ISA, oram: mn ( ). best =[,,77,,,9,] med =[,±, ±,±, 9,±, ± 7,±,,±, ±,±,,9±,,7±,,±,7,±7,±,] ( best )=[9,dcm 9,7m/s,mm 7,mm] ( med )=[7,±dcm,7±,9m/s 7,±,mm 7,±,mm] E por m, os valores ótmos calculados por meo do ISA, usando uma métrca relatva L, conorme dendo na Eq. (), podem ser observados abao: mn ( ) best =[ 9 7,,,,, 7,] med =[,±, ± ± 7±7,±, ± ± 7,±,,7±, 7,±,7,±,,±7,,7±,9,±9,] ( best )=[,dcm,7m/s,mm,mm] ( med )=[,±,dcm,±,7m/s,±,mm 7,9±,mm] Os resultados do Smulated Annealng tradconal oram semelhantes aos resultados apresentados acma, porém com um custo computaconal muto mas elevado, na ordem de apromadamente vezes. Isso mas uma vez comprova a ecênca das mudanças propostas neste presente artgo. O número de avalação da unção objetvo cou em torno de a, sendo que o valor mámo de avalação da unção objetvo o etrapolado para. Já o número de temperaturas o estpulado em e o número de terações em. Como se trata de um problema com város mínmos locas houve a vstação de mutos pontos para obter o melhor, normalmente esse número é superor a. Todos as restrções do problema oram obedecdas dentro de uma tolerânca pré estabelecda para os resultados apresentados.. AGRADECIMENTOS O prmero autor agradece ao CNPQ pela bolsa de ncação centíca no processo IC-CNPq-EXA. REFERÊNCIAS Arora, J. S., 99, Introducton to Optmum Desgn, McGraw-Hll, Sngapore Bradão, M. A. L., Estudo de alguns métodos determnístcos de otmzação rrestrta, Dssertação, Unversdade Federal de Uberlânda. Fara, E.D. e Saramago, S.F.P.,, Constrant optmzaton problems usng smulated annealng, Cênca & Engenhara, Brasl, V., n., p

10 Con gr ess o Nacon a l de Mat emátca Ap lcada à In d ú stra, a d e nov emb ro d e, Cald as Novas - GO Saramago, S.F.P. e Souza, B.N.,, Projeto ótmo de uma caa de transmssão de um torno, Encontro de Incação Centíca, Unversdade Federal de Uberlânda. Saramago, S.F.P.,, Métodos de Otmzação Randômca: Algortmos Genétcos e Smulated Annealng, SBMAC, São Carlos, v.. p.. Sartn, L. O.,, Uma Contbução ao Estudo dos Métodos de Otmzação Mult-Objetvo, Dssertação, Unversdade Federal de Uberlânda. Vanderplaats, G. N., 999, Numercal Optmzaton Technques or Engneerng Desgn, Vanderplaats Research and Development, Inc., rd ed. RESPONSABILIDADE AUTORAL IMPROVED SIMULATED ANNEALING Vnícus Nunes Carvalho, vncusncarvalho9@gmal.com Sezmára de Fátma Perera Saramago, saramago@uu.br Unversdade Federal de Uberlânda Faculdade de Engenhara Mecânca, Av. João Naves de Ávla, nº, Uberlânda, Mnas Geras, Brasl. Unversdade Federal de Uberlânda Faculdade de Matemátca, Av. João Naves de Ávla, nº, Uberlânda, Mnas Geras, Brasl. Abstract. The man objectve o ths wor s to mprove the algorthm nown as Smulated Annealng, n order to aval ther potentaltes and ncrease ther ecency to solve optmzaton problems. In ths research, t s ntended to mody the basc algorthm o Smulated Annealng developng the method called Improved Smulated Annealng (ISA). The orgnal algorthm s seral n ts concepton, and requres a hgh computatonal tme. Each cycle o the algorthm conssts o the generaton, evaluaton o the objectve uncton and applcaton o decson crtera. Several teratons or each temperature value are requred, only at the end o ths cycle the value o the optmum pont s updated. The algorthm parameters are: a uncton cost that represents the energy o the system; the desgn varables that descrbe ts conguraton and the temperature, whch s a control parameter. I the temperature parameter (T) has magntude much hgher than the standard devaton o the uncton n the range, almost all ponts are accepted. However, T s equal to zero the method becomes a random search or the mnmum. Thus, t s adopted: T as the standard devaton value o the objectve uncton n the range studed and T taes the desred order o magntude or the accuracy o the optmum pont. Wth ths study t s ntended that the ecency o the method s mproved by specc modcatons made n the program seeng the best use o ts capacty or the varables nvolved n the project. Besdes, the algorthm s adapted to wor wth mult-objectve unctons n the presence o constrants. The developed algorthm s appled to the optmal desgn o a gearbo and the results presented to demonstrate the ecency o the proposed methodology. Keywords: Optmzaton, Smulated Annealng, Improved Smulated Annealng, Gearbo.