6. Uma Álgebra para Transformações Geométricas

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1 Trnsformções Geométrs /4 6. Um Álger pr Trnsformções Geométrs Pr lustrr mportân ds trnsformções geométrs n desrção d form e dos movmentos em enáros vrtus, Fg. 6. present três modelos. O prmero é um modelo ompleo de um pltform mrítm ompost de mutos equpmentos, o segundo é de um tnque mltr e o terero é um rço meâno. A ompledde dos modelos d Fg. 6. pode ser redud se oservrmos que d omponente é ompost de um onunto de su-omponentes. Estes podem, por su ve ser ompostos de outros su-omponentes ou de forms geométrs smples omo lndros, uos e lots esférs. A prtr de modelos pdrões destes oetos ms smples podemos gerr o modelo d en trvés ds trnsformções geométrs de form e movmento que são o foo deste pítulo. ( pltform mrítm ( tnque mltr ( rço meâno Fg. 6. Eemplos de forms e movmentos desrtos por trnsformções. Este pítulo omeç om um revsão ds trnsformções lneres no plno e evolu pr trnsformções no espço homogêneo. A álger desenvolvd no espço homogêneo é sufente pr dr suporte às operções de modelgem de form e movmento, eeto s rotções no espço. Els serão trtds em um ptulo ddo segur. relo Gttss 7/9/5

2 Trnsformções Geométrs /4 Apesr de nr om um revsão de onetos onhedos dos ursos de Álger Lner, este pítulo evolu pr ssuntos que são trtdos pens nos ursos de Computção Gráf. A revsão é mportnte pr esteleer s lgções entre Álger e Computção Gráf. Trnsformções Lneres e tres Pr fltr vsulção dos proessos geométr envolvdos, vmos nr o nosso estudo de trnsformções no R. Como lustr Fg. 6., um trnsformção T no R é um função que sso d ponto p do plno um novo ponto p tl que: ou: ( p p T (6. f P P (6. Fg. 6. Trnsformção no R. Um eemplo de um trnsformção genér pode ser lustrdo por: + (6. Um trnsformção é dt lner qundo trnsformd de um omnção lner for sempre gul à omnção lner dos vetores trnsformdos. Ou se, pr qusquer p, p pertenentes o plno ou o espço e qusquer que sem, pertenentes os res, T p + p T( p + T( (6. ( p trnsformção T ( p p (6. onde é um mtr e p um vetor é um trnsformção lner, um ve que o produto de mtres tem segunte propredde: relo Gttss 7/9/5

3 Trnsformções Geométrs /4 relo Gttss 7/9/5 ( p p p p + + (6.4 Inversmente, podemos tmém der que tod trnsformção lner pode ser esrt omo o produto de um mtr por um vetor. Ou se: A trnsformção T é Lner T(p p Pr determnr mtr ssod st oservr que: + + ( ( T T T T T p (6.5 Se tomrmos: T e d T (6.6 temos + d d T (p (6.7 Ou se, mtr de um trnsformção lner é quel us oluns são s oordends dos vetores d se trnsformd. Como não utlmos n dervção m nd que se espeífo do R, então est propredde é gerl, ou se, el vle pr tod trnsformção lner sore um espço vetorl qulquer. No R, por eemplo, est mtr pode ser determnd por: T T T (6.8 Outr propredde mportnte ds trnsformções lneres é que els neessrmente dem nlterd posção do vetor nulo. Est propredde derv dretmente d lnerdde: ( ( ( ( p p p p T T T T (6.9 e é, de ert form, um lmtção mportnte ds trnsformções lneres.

4 Trnsformções Geométrs 4/4 Trnsformções Geométrs no Plno Eemplos mportntes de trnsformções lneres no plno são: esl, rotção, refleão e slhmento. A trnsformção de esl smplesmente multpl tods s oordends por um ftor s e s oordends por s. A Fg. 6. lustr trnsformção de esl pld o trângulo. A mtr d trnsformção de esl é: s s s Fg. 6. Trnsformção de esl no R. s (6. Esl no sentdo omum mpl em s e s postvos. Qundo seus vlores estverem no ntervlo (, teremos um redução d dmensão orrespondente e qundo forem mores que teremos um umento. Vlores negtvos têm o efeto de espelhr os pontos em torno do eo orrespondente. A trnsformção lner de espelhmento orresponde à mtr dentdde om lguns de seus termos d dgonl om snl negtvo. O espelhmento em relção o eo, lustrdo n Fg. 6.4, orresponde à mtr: (6. p p Fg. 6.4 Trnsformção de espelhmento no R. relo Gttss 7/9/5

5 Trnsformções Geométrs 5/4 A rotção de um ângulo em torno d orgem pode ser luld om se n Fg. 6.5 por meo ds seguntes fórmuls trgonométrs: sn( + sn + sn (6. ( + - sn sn (6. p r r p O ponto p pode ser esrto omo: Fg. 6.5 Trnsformção de rotção no R. r ( + r r sn sn r sn( + r + r sn Ddo que r e r sn temos: sn sn (6. (6.4 Um mner em ms smples de dedur mtr d rotção onsste em utlr propredde de que s oluns d mtr são s oordends dos vetores d se trnsformdos. A Fg. 6.6 lustr posção dos vetores pós um rotção de um ângulo. A smples letur ds oordends permte esrever equção (6.4. sn T ( sn sn [ ] T ( sn Fg. 6.6 Dedução dret d mtr de rotção. relo Gttss 7/9/5

6 Trnsformções Geométrs 6/4 O produto d trnspost de um mtr de trnsformção por el mesm orresponde o produto nterno dos vetores trnsformdos entre s. Isto porque os elementos do produto são o resultdo d lnh d trnspost pel olun. A lnh d trnspost é olun d mtr orgnl. Ou se, o elemento é o resultdo do produto nterno do -ésmo om o - ésmo vetor trnsformdo. Como, no so d rotção, os vetores d se nôn rodd ontnum sendo untáros e perpendulres entre s, temos que o produto d trnspost de um mtr de rotção por el mesm result n mtr dentdde. Como est propredde se orgn do fto de se trnsformd ontnur sendo de um se de vetores ortonorms, d-se que mtr de rotção é um mtr ortonorml. Outro ponto mportnte destr é questão d mudnç de referenl ou se. Aprendemos n Fís que s novs oordends de um ponto, pós um erto movmento, são s mesms que terímos se mntvéssemos o ponto prdo e movêssemos o referenl no sentdo nverso. Assm, em termos de oordends, tnto f rodrmos um ponto de um ângulo ou esrevermos s oordends deste ponto num sstem de oordends roddo de -, omo lustr Fg Ou se: u v sn sn (6.5 Este prolem de mudnç de um se ortonorml pr outr rodd é stnte omum n Computção Gráf e por sto meree ser melhor eluddo. Os vetores untáros ds dreções u e v são os vetores e roddos de -. Ou se, se olormos s sus oordends ns oluns de um mtr, estmos representndo rotção de -. Pr otermos mtr de rotção st que tomemos trnspost, ou se, mtr om s oordends de u e v olods omo lnhs. Assm: u u v v u v (6.6 A propredde epress n equção (6.6 é gerl pr qulquer espço vetorl e pode ser enund d segunte mner: mtr que trnsform s oordends de um vetor qulquer esrto num se ortonorml pr outr é mtr otd olondo-se omo lnhs s oordends dos vetores d segund se esrtos n prmer. p p v p ou u v u relo Gttss 7/9/5

7 Trnsformções Geométrs 7/4 Fg. 6.7 Trnsformção versus mudnç de se. No R não é dfíl verfr equção (6.6 oservndo s Fg. 6.6 e 6.7 e equção (6.5. A últm trnsformção lner de nteresse geométro é o slhmento. A trnsformção de slhmento n dreção tem um efeto semelhnte o de deslrmos um rlho de rts num mes, omo lustr Fg γ Fg. 6.8 Trnsformção de slhmento em. Est trnsformção preserv oordend e move os pontos n dreção de ordo om o vlor de, ou se: + tnγ tnγ (6.7 Não é dfíl dedurmos mesm mtr oservndo trnsformd dos vetores d se nôn. O slhmento presentdo m oorre somente n dreção. Se ele oorrer smultnemente em ms s dreções teremos um trnsformção do tpo: + tnγ tnψ + tnψ tnγ (6.8 onde γ e ψ são os ângulos de slhmento em relção os eos e, respetvmente. Est trnsformção é muto utld n eân dos eos Contínuos e é, erronemente, vst pelos lunos omo sendo um trnsformção que não d respeto à Computção Gráf. Pr lustrrmos um ds utlddes dest trnsformção, onsdere o prolem de trnsformr prâmde de vsão smplfd d form ndd n Fg Sem slhmento não temos omo fer est trnsformção. Eplque por que rotção não pode ser usd nesse so. relo Gttss 7/9/5

8 Trnsformções Geométrs 8/4 plno de proeção Fg Eemplo d neessdde d trnsformção de slhmento. Conseqüên do Teorem d Deomposção Sngulr Apesr d trnsformção de slhmento ser onvenente por dr um nterpretção geométr dret pr s trnsformções do tpo d lustrd n Fg. 6.9, rgor el é dspensável. Isto porque o Teorem de Deomposção Sngulr grnte que qulquer mtr de dmensão n n pode ser deompost em: USV (6.9 onde U e V são mtres ortonorms (rotções e S é um mtr dgonl (esl e espelhmento. N reldde o Teorem d Deomposção Sngulr é ms gerl, um ve que ele trt de qusquer mtres n m, ms pr o estudo geométro que estmos fendo s mtres são qudrds e est generldde pouo ontru. A prov do Teorem d Deomposção Sngulr e desrção de lgortmos que lulm s mtres USV estão for do esopo deste pítulo e podem ser enontrds em lvros de Álger. Ts lgortmos, entretnto, são dsponíves tnto n form de funções C/C++ qunto em sstems omputons tpo ple. Ou se, mesmo sem trtrmos d prov e d mplementção, podemos lulr deomposção e utlr os resultdos do teorem. Consdere, por eemplo, um trnsformção de slhmento de º no eo. A mtr dest trnsformção é dd por: tn.577 Est mtr, deompost em seus vlores sngulres, result em: ou tn (-5 sn( sn(-5.75 ( (7.95sn(7 - sn(7 (7 relo Gttss 7/9/5

9 Trnsformções Geométrs 9/4 Ests mtres orrespondem às trnsformções de rotção e esl, d form: Sh ( R( 5 SR(7 A Fg. 6. lustr este proesso de esrever um slhmento omo um omnção de rotções e esl. Sh (.577 R( R( S Fg Cslhmento esrto omo omposção de trnsformções. Trnsformções lneres e trnslções As trnsformções lneres possuem dverss propreddes nteressntes ms, nfelmente, estem lgums trnsformções mportntes pr Computção Gráf que não podem ser lssfds omo lneres. Um dels é trnslção, n qul pr d ponto é somdo um vetor onstnte, t. Est trnsformção é fundmentl pr qulquer proesso gráfo e por sto deve ter representção ms smples possível. Ddo um ponto qulquer P, trnslção pode ser esrt omo: t p p + t + (6. t A Fg.6. lustr trnslção de um vérte de um pentágono. relo Gttss 7/9/5

10 Trnsformções Geométrs /4 t t t Fg Trnslção no R. Est trnsformção não é lner porque não preserv orgem, sto é, trnsformd do vetor ero é t, que é dferente de ero. Conseqüentemente trnslção tmém não pode ser esrt n form: d om,, e d onstntes res. A form mtrl om mtres, omumente presentd no estudo de trnsformções lneres fns, é: t + t (6. Est form tem o nonvenente de omplr omposção de trnsformções. Isto porque, se dus trnsformções lneres são dds por e, su ompost é dd smplesmente por. Já se trnsformção for do formto p p+t e p p +t, ompost p p+t é tl que e t t +t. Se ontnurmos ompor s trnsformções epressão d trnslção v se omplndo ms nd. Espço homogêneo Este um mner lgermente elegnte de trtrmos trnslções omo omnções lneres. Bst mgnrmos o R omo sendo um plno merso num espço de dmensão três. Pr não ssormos este espço o R vmos denomnr os eos deste de sstem h, h, w. Ests oordends são hmds de homogênes ou proetvs PR por rões que frão lrs o longo deste pítulo. O termo trnsformção lner fm vem do termo em nglês fne lner trnsformton, que tem o sentdo de um trnsformção prentd om lner. As trnsformções lneres fns são trnsformções lneres resds d trnslção. relo Gttss 7/9/5

11 Trnsformções Geométrs /4 Podemos trtr trnslção de vetores do R omo um trnsformção lner de pontos que estão no plno w ssondo d ponto deste plno su oordend nrementd ds oordends do vetor t, omo lustr Fg. 6.. A segunte trnsformção lner: t t (6. desreve trnslção que o oorre no plno w. Note que os pontos que estão nlmente neste plno permneem nele. Isto ontnu vlendo pr trnsformções ms gers, desde que últm lnh d mtr permneç [ ]. Devemos oservr que, pr qulquer ponto do R om oordends (, T, este um úno ponto no sstem homogêneo ddo por [,, ] T e ve-vers. Est ssoção de um pr um, denomnd homeomorfsmo ou somorfsmo, permte que mtres possm representr trnsformções do R e mtres 4 4 representem trnsformções do R. Pr evtr onfusões entre um vetor homogêneo do R e um vetor rtesno do R, que tmém tem oordends, dotmos notção [ ] pr os homogêneos e ( pr os rtesnos. w t w h h Fg Imersão do R no sstem homogêneo h, h e w. Est se homogêne permte um mesmo trtmento lgéro pr s trnsformções lneres e pr s trnslções. O produto de mtres model omposção dests trnsformções. Composção de trnsformções fns Pr lustrr o proesso de omposção de trnsformções fns om o uso de oordends homogênes, onsdere trnsformção que rod um trângulo em torno do seu entro. Est relo Gttss 7/9/5

12 Trnsformções Geométrs /4 relo Gttss 7/9/5 trnsformção pode ser esrt omo um omposção de um trnslção do entro de rotção pr orgem segud de um rotção em torno d orgem e, fnlmente, um trnslção do entro de volt pr su posção orgnl, omo mostr Fg. 6.. Fg Composção de trnsformções esrts em oordends homogênes. Assm sendo, equção d trnsformção que f rotção de em torno de um ponto (, T, ou [,, ] T, é dd por: sn sn (6. Note que o produto de mtres não é omuttvo, AB BA, o que tmém se reflete ns trnsformções geométrs ssods. O que torn o prolem um pouo onfuso é ordem de letur de teto norml, d esquerd pr dret que orresponde à ordem nvers em que s trnsformções são plds. Pr olor mos n mesm ordem, os prmeros tetos de Computção Gráf esreverm s equções mtrs trnsposts, ou se, os vetores erm lnhs e multplvm s mtres pelo ldo esquerdo. Com o tempo, notção onvenonl d temát ou prevleendo e ordem de letur pr trnsformções deve ser ordem de multplção do vetor, d dret pr esquerd. sn sn sn sn

13 Trnsformções Geométrs /4 relo Gttss 7/9/5 Trnsformções Geométrs no Espço As trnsformções de esl, rotção e trnslção são s ms omumente utlds ns ens omposts por dversos oetos pos tendem o prolem de nstnção de oetos num en. As mtres de trnslção e esl são um smples etensão ds trnsformções do plno e, no R homogêneo, são dds, respetvmente, por: t t t w e (6.4 s s s w (6.4 As mtres de rotção no espço, entretnto, são em ms omplds do que mtr de rotção no plno. Um etensão nturl ser defnrmos rotção de um orpo prtr de três rotções em torno d d um dos eos rtesnos, omo lustr Fg Fg. 6.4 Rotções em torno dos eos rtesnos. Se utlrmos o fto de que s oluns d mtr são s oordends dos vetores d se trnsformd, podemos flmente dervr s mtres de d um dests rotções. Pr eemplfr, vmos onsderr rotção em torno do eo. A Fg. 6.5 mostr posção dos vetores untáros d se nôn ntes e depos d rotção de.

14 Trnsformções Geométrs 4/4 relo Gttss 7/9/5 Fg. 6.5 Rotção em torno do eo. As oordends rtesns dos vetores d se nôn depos d rotção são dds por: sn î, ĵ e sn ˆ A rotção esrt em form de mtr result em: sn sn (6.5 Est rotção pode tmém ser esrt em oordends homogênes omo: sn sn (6.6 Anlogmente, podemos dervr rotção em torno de e hegndo : sn sn (6.6 e sn sn (6.6 respetvmente. A Fg. 6.6 lustr ests rotções plds à se nôn pr estes dos sos. î ĵ ˆ ˆ î ˆ î ˆ ˆ

15 Trnsformções Geométrs 5/4 î ĵ î ˆ ĵ sn ˆ sn ( Rotção em torno do eo ĵ ˆ î sn ˆ sn ˆ ˆ ( Rotção em torno do eo Fg. 6.6 tres ds rotções em torno dos eos oordendos. Trnsformção de Norms Qundo um onunto de oetos sofre um determnd trnsformção, lulmos mtr dest trnsformção e plmos todos os vértes do modelo. Assm, o trnsformrmos os pontos ds etremddes de um segmento de ret, estmos de fto trnsformndo todos os pontos do segmento. O mesmo ontee om outrs entddes geométrs, omo trângulos e qudrláteros. Todos utlm mesm mtr. As norms destes oetos, entretnto, não seguem mesm trnsformção. Pr eemplfr o prolem onsdere Fg. 6.. s.5 Fg. 6. As norms não sofrem mesm trnsformção que os pontos. Pr omputr trnsformção d norml, onsdere equção do plno np esrt n form: n T p d (6.7 relo Gttss 7/9/5

16 Trnsformções Geométrs 6/4 relo Gttss 7/9/5 Est equção não se lter se nluímos mtr dentdde n form de um mtr e d su nvers: d (6.7 Se é mtr d trnsformção homogêne d trnsformd que estmos trtndo, os pontos p são levdos pr: p p ou w (6.7 Susttundo est equção n equção (6.7 temos: w d (6.7 Est equção pode ser vst om equção do plno trnsformd, np, se: n n T ou d d T (6.74 De onde onluímos que, se trnsform os pontos, -T trnsform s norms. Note que se mtr for ortonorml s dus mtres são gus. Eerí resolvdos. Determne mtr que trnsform os pontos do plno R de form que os oetos rodem em torno do ponto (,4 T de um ângulo de 9 o grus no sentdo horáro. Qul o sgnfdo geométro ds oluns dest mtr? Fç um desenho lustrndo este sgnfdo geométro. Resp.:

17 Trnsformções Geométrs 7/4 relo Gttss 7/9/ As oluns de um mtr que represent um trnsformção lner orrespondem mgem d trnsformd dos vetores d se. Servem, por eemplo, pr se determnr mtr de rotção mostrd m, omo lustr fgur o. 9 ( R Como estmos envolvendo trnslções estmos trlhndo no espço homogêneo e nterpretção geométr é d fgur o (que é pouo ntutv.. Determne mtr que trnsform os pontos do plno R de form que s rets treds fquem ortogons à ret que pss por n form ndd nos desenhos o. Note que ret que pss por deve permneer om su posção nlterd. î ĵ î ĵ rotção de -9 o î ĵ î ĵ rotção de -9 o h h w h h w î ĵ ˆ î ĵ ˆ h h w h h w î ĵ ˆ î ĵ ˆ (, T 6 o 45 o 45 o (, T 6 o 45 o 45 o

18 Trnsformções Geométrs 8/4 Pr poder trnsformr s rets treds, de form que fquem ortogons ret, será neessáro relr 5 operções: Prmermente é neessáro trnsldr ret de form que el psse n orgem, ou se: tr d operção: Em segud devemos relr um rotção de 45 no sentdo horáro. Est rotção f om que ret fque sorepost o eo e, onseqüentemente ret não sofrerá lterções n terer operção (slhmento. Vle pen ressltr s rets treds serão fetds, sm, pelo slhmento. tr d operção: ( 45 sen( 45 sen( 45 ( 45 Nest operção, é reldo o slhmento que nln s rets treds em no sentdo negtvo de. As rets que nterormente formvm um ângulo de 6 fm ortogons à ret. tr d operção: tn( A qurt e qunt operção smente desfem segund e prmer, respetvmente, o rotonr (ou desfer rotção nteror os pontos do plno em 45 no sentdo nt-horáro e trnsldr os mesmos umentdo em + o eo, fendo om que os pontos e voltem s sus posções orgns. tr d operção: (45 sen(45 sen(45 (45 tr d operção: relo Gttss 7/9/5

19 Trnsformções Geométrs 9/4 No fnl, mtr que trnsformrá os pontos do plno, de form que s rets treds fquem ortogons à ret que pss por será: ( 45 (ontnução sen( 45 (45 sen(45 sen(45 (45 sen( 45 ( 45 tn(. Determne mtr d trnsformção lner que lev A (,,, B (,,, C (5,,, D (,, e E (,, do R pr os pontos A, B, C, D, e E do R, d form mostrd n fgur o. Respost: É um mtr om s oluns sendo trnsformd dos vetores (,, T, (,, T e (,, T. O ponto A é (,, T, logo trnsformd de (,, T é (/, T. O ponto D é (,, T, logo trnsformd de (,, T é (,/ T. O ponto E é (,, T, logo trnsformd de (,, T é (-.5/,-.5/ T. Ou se: / / / 4 / 4 4. Clule nvers d mtr,, mostrd o. O resultdo er esperdo? Qul nterpretção geométr d trnsformção ssod est mtr? relo Gttss 7/9/5

20 Trnsformções Geométrs /4 relo Gttss 7/9/5 Respost: Pel regr de Crmer nvers de um mtr pode ser luld por: d det( ( det( d Emnndo s oluns d mtr vemos que trnsformd d se nôn onsste num rotção de o em torno do eo, omo lustr fgur o. Como mtr de rotção é ortonorml, nvers é trnspost. Ou, ontnundo o roíno geométro, nvers é orresponde à rotção de - o que result n mesm mtr, omo lustr fgur segur. Em mos mnhos hegmos à mesm respost. 5. ostre que mtr, R, ssod um rotção em torno de um eo qulquer que pss pel orgem é ortonorml, ou se, R T R RR T I ou R - R T. o o o o o o o o

21 Trnsformções Geométrs /4 relo Gttss 7/9/5 D: qul nterpretção geométr ds oluns d mtr R? Resp.: Se plrmos um trnsformção o sstem nôno,, otemos o segunte resultdo: f h e g d, f e d f h e g d e h g f h e g d Pel equção (6.8 podemos esrever mtr omo sendo: Podemos notr que s oluns d mtr orrespondem os vetores d se rodd esrt n se orgnl e s lnhs são ve-vers. Ou se: A nterpretção d mtr trnspost tmém é medt: T O produto d mtr pel su trnspost pode ser nterpretdo omo sendo o produto nterno entre os vetores d se nôn orgnl: I T O produto d trnspost pel mtr ontém os produtos nternos dos vetores d se rodd: I T Em mos os sos, omo s ses são ortonorms, os produtos resultm n mtr dentdde, omo querímos provr.

22 Trnsformções Geométrs /4 relo Gttss 7/9/5 6. A que pontos do R orrespondem s seguntes oordends homogênes? p 8 p p Resp.: 4 4 p 8 8 p dreção n p

23 Trnsformções Geométrs /4 Eerí Determne mtr que trnsform os pontos do plno R de form que os oetos rodem em torno do ponto (, T de um ângulo de 9 o grus. Determne o entro, o sentdo e o ângulo de rotção d trnsformção geométr representd pel mtr mostrd o. 5 Determne um produto de mtres u mtr resultnte trnsforme o trângulo em respetndo s ondções geométrs ndds n fgur o. 4 Determne mtr que esl o oeto mostrdo n fgur de s e s em torno do ponto (-, T. Qul o sgnfdo geométro ds oluns dest mtr? Em que espço esss oluns têm este sgnfdo? + 5 Determne um produto de mtres homogênes que represente seqüên de trnsformções geométrs que trnsform wndow d fgur d esquerd n vewport d fgur d dret. Este produto é úno? E mtr resultnte, é ún? relo Gttss 7/9/5

24 Trnsformções Geométrs 4/4 (, 6 vewport 6 Nos sstems gráf no plno, s trnsformções entre sstems de oordends são gerlmente fets trvés do pr wndow, vewport. Como pode-se refer um desenho umentndo seu tmnho n superfíe de vsulção (oom +? (rque erto ou errdo pós d frse. q q q q q (-, - wndow umentndo wndow; dmnundo vewport; dmnundo wndow; umentndo wndow e dmnundo vewport de um mesmo ftor; umentndo wndow e umentndo vewport de um mesmo ftor. 7 Determne o produto de mtres homogênes que trnsform o qudrdo untáro d form ndd n fgur. A respost pode ser dd n form de um produto de mtres (não é neessáro fer s onts. (d,d 8 Determne mtr que trnsform os pontos do plno R de form que os oetos rodem em torno do ponto (, T de um ângulo de 45 o grus no sentdo nt-horáro. Qul o sgnfdo geométro ds oluns dest mtr? Fç um desenho lustrndo este sgnfdo geométro. 9 Clule posção do ponto p (,, pós um rotção de 6 o em torno do eo que pss pel orgem e tem dreção do vetor (,, utlndo três formulções dferentes. São els: ( mtr de rotção dd pel equção (6.4; ( epressão vetorl dd pel equção (6.4; e ( pelo proedmento de qutérnos (ve (6.6. relo Gttss 7/9/5