EFEITO DO FENÔMENO DE ENCOLHIMENTO NA DIFUSÃO DE UMIDADE EM SÓLIDOS ESFEROIDAIS PROLATOS

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1 EFEITO DO FENÔMENO DE ENCOLHIMENTO NA DIFUSÃO DE UMIDADE EM SÓLIDOS ESFEROIDAIS PROLATOS Anonio Gilson Barbosa de Lima 1 Silvia Azucena Nebra 1 Deparameno de Engenharia Mecânica, CCT, Universidade Federal da Paraíba (UFPB), , Campina Grande, PB, Brasil. gilson@dem.ufpb.br Deparameno de Energia, FEM, Universidade Esadual de Campinas (UNICAMP), , Campinas, SP, Brasil. sanebra@fem.unicamp.br Resumo O efeio do encolhimeno na difusão de umidade durane o processo de secagem é considerado. O méodo de volumes finios é explorado para resolver o problema de encolhimeno e ranspore de umidade simulâneos, em corpos esferoidais prolaos. Equações adimensionais para difusão e encolhimeno volumar e superficial são dadas, e soluções numéricas, para o caso bidimensional, com vários coeficiene de encolhimeno são mosradas. A análise dos resulados evidencia que a axa de secagem é maior, quando ocorre encolhimeno, em comparação à obida quando não se considera ese efeio, e que esa mesma axa cresce proporcionalmene ao aumeno do coeficiene de encolhimeno. Palavras-chave: Modelagem, Difusão, Massa, Encolhimeno, Numérico 1. INTRODUÇÃO A dinâmica do movimeno de umidade em um maerial biológico é de muio ineresse práico, paricularmene os processos de secagem e umidificação. Para descrever a ransferência de umidade denro do maerial e explanar os efeios de ceros parâmeros na sua cinéica de secagem, é necessário que o ranspore de umidade denro de uma parícula individual do maerial, seja muio bem represenada por um modelo maemáico. Vários parâmeros afeam a cinéica de secagem de produos biológicos, ais como: mecanismo de ranspore de calor e umidade denro do sólido; coeficiene de difusão variável, ransferência de calor e massa simulâneas; condições ambienais exernas na vizinhança da parícula, encolhimeno, enre ouros. Assim, inserindo-se ao máximo eses efeio denro dos modelos maemáicos, orna-se possível descrever com grande realismo o fenômeno físico, e aumenar consideravelmene a confiabilidade dos resulados obidos. Encolhimeno de maeriais sólidos durane a secagem é um fenômeno físico observável, que ocorre simulaneamene com a difusão de umidade, principalmene em produos biológicos alo eor de umidade inicial como é o caso de fruas e vegeais. Assim sendo, o encolhimeno pode er um significane efeio na difusividade de massa, e consequenemene na axa de remoção de umidade. Considerar-se o volume do corpo, fixo durane a secagem, em gerado erros maiores enre os dados experimenais e eóricos, em comparação com os observados ao considerar-se ese efeio na cinéica de secagem. Vale salienar que maeriais deformáveis, por exemplo madeira, o encolhimeno é pequeno, geralmene menor que 15%, (Puiggali & Quinard, 199).

2 Considerar os feios de encolhimeno nos modelos de secagem é basane complicado em virude da fala de informações na lieraura sobre os coeficienes de encolhimeno, assim como de relações maemáicas enre a difusividade de massa, encolhimeno e densidade da maéria seca. Apesar dese inconveniene, vários rabalhos incluem o efeio de encolhimeno volumar no esudo do processo de secagem, fornecendo inerpreações eóricas sobre o mesmo, (Misra & Young, 1980 e Sokhansanj & Pail, 1996). Conudo, ao conhecimeno dos auores, relaivamene pequena pesquisa em sido dada na lieraura sobre esudos do fenômeno de encolhimeno em problemas bidimensionais (Fusco e al., 1991; Jomaa & Puiggali, 1991), e ridimensional (Rovedo e al., 1995). O esudo do fenômeno de encolhimeno é de fundamenal imporância para melhor elucidar o fenômeno de secagem, fornecer subsídios para realizar-se secagem óima sob o pono de visa energéico, e prevenir rincas no inerior do sólido, durane o processo. O objeivo dese rabalho é examinar o efeio do encolhimeno no fenômeno de difusão de sólidos esferoidais prolaos. O modelo maemáico uilizando o méodo de volumes finios apresenado por Lima e al. (1997), Lima & Nebra (1997), Lima & Nebra (1999), Lima (1999) e Lima & Nebra (000) será aplicado para esudo dos sólidos com diferenes formas, que variam desde esfera aé cilindro, inclusive elipsóides de revolução. Eses auores obiveram soluções numéricas para esas geomerias, considerando coeficiene de difusão consane e negligenciando o encolhimeno do maerial. Aqui é apresenado relações maemáicas de encolhimeno que foi incorporada ao modelo original, considerando que o volume do corpo varia linearmene com a diferença enre o eor de umidade médio inicial do sólido e o seu eor de umidade médio em qualquer insane do processo.. MODELAGEM MATEMÁTICA Tendo por base informações prévias de rabalhos experimenais e eóricos sobre encolhimeno de produos biológicos, assim como do modelo uilizado, as seguines considerações foram assumidas: Dilaação devido a elevação de emperaura do sólido durane a secagem é desprezível; o encolhimeno elásico devido a conrações no encolhimeno livre exercida pelas células adjacenes é negligenciada. Assim, as ações de forças puramene mecânicas inercelulares são desprezíveis; o encolhimeno plásico é desprezível; o encolhimeno durane a secagem, devido a perda de umidade varia linearmene com o eor de umidade médio do sólido; O produo é assumido ser homogêneo; O processo de difusão na parícula individual ocorre sob axa decrescene, e porano o encolhimeno ocorre abaixo do pono de sauração; O eor de umidade é considerado axi-simérico em orno do eixo z e consane e uniforme no início do processo; As propriedades ermofísicas foram assumidas serem independene da posição no inerior do produo e do seu eor de umidade; o fenômeno ocorre sob condição conveciva na superfície, o maerial é composo unicamene de água na fase líquida e maéria sólida. Com as hipóeses dadas acima, a equação de difusão de massa em coordenadas esferoidais prolao (η e ξ) (Figura 1), assumindo simeria com respeio ao eixo x, em a forma:

3 M 1 = L ξ η ( ) ξ ( ξ 1) D M ξ + L 1 ( ξ η ) η ( 1 η ) D M η Como esa equação diferencial parcial é de segunda ordem, na posição e de primeira ordem no empo, a sua solução requer no mínimo duas condições de conorno. As condições de conorno são: D L ( ξ 1) ( ξ η ) M ξ ξ= ξ f [ ( ξ ξ η ) ] = h M =,, M M(ξ, η, =0)= M o = ce () m f e Nas equações (1) e (), M, D, h m indicam o eor de umidade, o coeficiene de difusão e o coeficiene de ransferência de massa, respecivamene. O parâmero L=(L -L 1 ) 1/ indica o comprimeno focal do elipsóide, sendo L e L 1 mosrados na Figura. As grandezas η e ξ são as coordenadas esferoidais angulares e radias, respecivamene. z η=1 Superfície de η=ce (1) L ξ=1 ξ>1 Superfície de ξ=ce Eixo de roação para o ângulo ω ζ η=0 y Figura 1. Sisema de coordenadas esferoidal prolao Considerando por definição as seguines variáveis adimensionais: M Me V D S h M * = ; η * = η ; ξ * = ξ ; V * = Mo Me L 3 ; Fo = ;S * ml = L L ; Bi = (3) D subsiuindo na equação (1), e discreizando o resulado obido, considerando uma formulação implícia e a práica B (Paankar, 1980 e Maliska, 1995 ) obém-se a seguine equação: * * * * * o * A P M = A M + A M + A M + A M + A M (4) P E E W W N N S S P Maiores dealhes do sisema de coordenadas esferoidal prolao, da formulação numérica, dos méodos de solução do conjuno de equações gerado e o criério de convergência são enconrados nas referências Lima e al. (1997), Lima & Nebra (1997), Lima & Nebra (1999), Lima (1999) e Lima & Nebra (000). Na equação (3), S, V, Fo e Bi, represenam a área, o volume do sólido e os números de Fourier e Bio de ransferência, respecivamene. Nese modelo, o encolhimeno volumar exise, e enão o volume do corpo é mudado a cada inervalo de empo. Normalmene é assumido que o maerial se conrai linearmene com o eor de umidade. No caso de maeriais biológicos, o encolhimeno pode ser anisorópico, modificando a esruura. Baseando-se nos rabalhos de Keey (199), Queiroz (1994), Queiroz o P

4 & Nebra (1996) e Sokhansanj & Pail (1996), os auores propõem uma equação para a deerminação do volume do corpo em qualquer empo. A seguine relação para encolhimeno volumérico abaixo do pono de sauração, foi assumida: ( V) = Vo ( β + β M) 1 (5) Para a deerminação do volume em um cero inervalo de empo, considere a Figura 1. Como assumido, considerou-se que a axa de variação de L 1 relaciona-se à axa de variação de L, de al forma que a relação L /L 1, permanece consane durane odo o processo. Assim, o coeficiene angular da rea rr na Figura é consane em cada insane de empo. Iso é Tgθ=(L /L 1 ) =ce. Desde que, em =0, M = M e( V) = V, em-se por subsiuição direa na equação 5: ( V) = 1 β( Mo M) Vo ou ainda, na forma adimensional: * ( V) * * * = 1 β( Mo M ) V o com β = ( M M ) o o o e β. Assim, conhecendo-se o valor do parâmero β, deermina-se o novo volume do corpo em qualquer insane do processo. Conudo, devido ao realismo físico, o seu valor deve ser posiivo e finio. Assim, pode-se mosrar que o inervalo de validade dos coeficienes de encolhimeno β e β serão: 1 0 β < e 0 β < 1 (8) ( Mo Me) onde a igualdade é válida para a condição de não-exisência de encolhimeno. (6) (7) (L ) =0 z rr (L ) θ (L 1 ) (L 1 ) =0 Figura. Encolhimeno de um sólido esferoidal prolao durane o processo de difusão y

5 Por ouro lado, conhecendo-se o volume de um elipsóide, (Provenza, 1989): ( V) π( L)( L1) = 4 3 (9) e da relação: L L 1 L = L = Tgθ 1 = 0 pode-se deerminar as dimensões do corpo em qualquer insane. O encolhimeno de uma parícula quando esa sendo secada, ambém causa uma conração da área superficial do corpo, e porano da área exposa à energia que esá produzindo o fenômeno. No caso de esferóide prolao L >L 1, sua área superficial é dada por, (Pólya & Szegö, 1945): ( L ) 1 arcsen 1 ( ) ( ) L L 1 S + (11) 1 ( L) 1 () = π( L )( L ) ( L ) 1 ( L ) Desa forma a área superficial pode ser obida em qualquer insane do processo, e a redução da área é deerminada. 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES Um programa compuacional foi implemenado para simular a ransferência de umidade e encolhimeno simulâneas, durane a secagem de sólidos esferoidais prolaos. Como aplicação foi selecionado rês sólidos com razões de aspeco L /L 1 =1.1, 1.5 e 5.0, Bi infinio e com o coeficiene de encolhimeno variando de 0.0 aé 0.6. De acordo com a Figura, o encolhimeno esa direcionado sobre a rea rr, proporcionando um encolhimeno unidimensional. Conudo, diferenes deformações são geradas nas direções y e z, dando ao fenômeno um caráer bidimensional. A Figura 3 apresena a forma do maerial durane a secagem, em vários números de Fourier, considerando-se o coeficiene de encolhimeno fixo e igual a 0.3. como pode ser observado, o encolhimeno no eixo z é maior que no eixo y. Ese comporameno esa em concordância com os resulados numéricos apresenados por Lima & Nebra (1997), onde afirmam que na região próxima de L, o maerial seca com maior velocidade, a medida que a razão de aspeco L /L 1 cresce. Assim, al como foi assumido, a conração do maerial conrabalancea exaamene a perda de umidade. A Figura 4 apresena o eor de umidade com função do número de Fourier, β =0.0; 0.3 e 0.6. É evidene a significane influência do encolhimeno na axa de remoção de umidade. Observa-se que o crescimeno do coeficiene de encolhimeno reduz o número de Fourier. Ese mesmo efeio é ilusrado nas Figuras 5a e 5b, onde apresena-se a disribuição do eor de umidade no inerior do sólido, para Fo=0.1098, com β =0.0 (sem encolhimeno) e β =0.3. Do pono de visa práico, o aumeno no coeficiene de encolhimeno adimensional β pode ser obido: aumenando o eor de umidade inicial do maerial; decrescendo o eor de umidade de equilíbrio do maerial, que geralmene, para a maioria deles, ocorre devido a uma (10)

6 elevação da emperaura e/ou um decréscimo da umidade relaiva do ar de secagem, e finalmene, aumenando o coeficiene de encolhimeno real do produo β. Geralmene produos biológicos com eores de umidade elevados (>70%), ais como fruas e vegeais, apresenam coeficienes de encolhimeno maiores. Convém ressalar que a dependência enre a umidade relaiva e a emperaura do ar com o eor de umidade de equilíbrio de um paricular produo, se dá aravés da isoerma de sorção dese produo Z 0.50 Fo=00 Fo= Fo= Fo= Y Figura 3. Variações dimensionais de um sólido esferoidal prolao com razão de aspeco L /L 1 =1.5, β =0.3 e Bi infinio, durane a secagem. (M -M e)/(m o-m e) β=0.0 β=0.3 β= Fo=D/[L1(=0)]^ Figura 4. Efeio do coeficiene de encolhimeno na cinéica de secagem de um esferóide com razão de aspeco L /L 1 =1.5 e Bi infinio A Figura 6 ilusra o efeio das dimensões do corpo na cinéica de secagem de elipsóides de revolução com razões de aspeco L /L 1 =1.1, 1.5 e 5.0. Observa-se que corpos com razão de

7 aspeco menor secam mais rápido, endo em visa que eses possuem um volume menor e uma relação área/volume maior. O fao da relação área/volume afear as axas de ransferência, ano de massa quano de calor, em levado pesquisadores a definir o número de Bio, endo como comprimeno caracerísico o inverso desa relação (Sokhansanj, 1987). Desa forma, se a relação área/volume do corpo se modifica (devido, por exemplos, a encolhimeno ou dilaação), consequenemene haverá uma modificação no número de Bio, que por sua vez originará uma mudança nas axas de ransferência, modificando as cinéicas de difusão de calor e/ou massa do maerial Z Z Y 0.50 Y (a) (b) Figura 5. Disribuição do eor de umidade no inerior de um esferóide prolao com razão de aspeco L /L 1 =1.5 e Bi infinio para β =0.0 (4a) e β =0.3 (4b), em Fo= Na Figura 7a é apresenado a conração da área do corpo como função do número de Fourier, durane o fenômeno de difusão, para rês valores do coeficiene de encolhimeno. A Figura 7b ilusra a conração volumérica do corpo para as mesmas condições. Nas curvas, é evidene que o comporameno do encolhimeno em ambos os casos são muio similares às clássicas curvas de secagem. Enquano o volume do sólido variou 0, 30 e 60 %, respecivamene, sua área se conraiu 0, 1 e 46 %, respecivamene. Do exposo, convém dá maior aenção ao esudo quaniaivo das variações de área superficial e volume durane o processo de desidraação, especialmene em condições mais complexas, como por exemplo, deformações muli-direcionais e condições não-isoérmicas simulâneas. Deformações muli-direcionais ocorrem por exemplo, na secagem para obenção de uva-passa, onde no final da secagem o produo apresena-se com uma exura oalmene enrugada, ao conrário do que o modelo aqui considerado assume. Nesa formulação, considera-se que odo o volume de água evaporada do sólido é igual a diminuição de volume que o sólido sofre, durane o processo de secagem. Conudo, vale ressalar que para a maioria dos produos biológicos e, paricularmene para os eságios finais de secagem, esa relação de linearidade não é verdadeira. Geralmene neses casos, a variação de volume do sólido é menor que o volume da água removida (Suzuki e al., 1976).

8 (M -M e)/(m o-m e) L/L1=1.1 L/L1=1.5 L/L1= Fo=D/[L1(=0)]^ Figura 6. Teor de umidade em função do número de Fourier para rês esferóides prolaos com L /L 1 =1.1, 1.5 e 5.0, para β =0.3 e Bi infinio S*/So* β=0.0 β=0.3 β=0.6 V*/Vo* β=0.0 β=0.3 β= Fo=D/[L1(=0)]^ Fo=D/[L1(=0)]^ (a) (b) Figura 7. Cinéica de encolhimeno superficial (6a) e volumar (6b)de um elipsóide de revolução com razão de aspeco L /L 1 =1.5, Bi infinio para β =0.0, 0.3 e 0.6. Como um comenário final, nenhum resulado analíico ou experimenal foi comparado com os dados numéricos. Conudo, os resulados obidos são gerais, independenes do ipo de maerial e suas propriedades física, érmica, química ou mecânica, e podem ser uilizados em qualquer corpo com geomeria esferoidal. O realismo físico dos resulados evidencia a correa meodologia usada, e a aplicabilidade da solução numérica para descrever o problema aqui considerado. Apesar de, nese esudo, como aplicação, é dada maior ênfase a corpos com razão de aspeco L /L 1 =1.5, o modelo pode ser exendido para qualquer geomeria que varie desde esfera (L /L 1 =1.0) aé cilindro (L /L 1 ), inclusive elipsóides de revolução (1.0<L /L 1 < ), podendo ambém ser usado para solucionar problemas de ransferência de calor e dilaação/conração de sólidos.

9 4. REFERÊNCIAS Fusco, A. J.; Aguerre, r. J.; Gabio, J. F., 1991, A diffusional model for drying wih volume change ; Drying Technology, Vol. 9, n., p Jomaa, W.; Puiggali, J.R., 1991, Drying of shrinkage maerials: modellings wih shrinkage velociy ; Drying Technology, Vol. 9, n.5, p Keey, R. B., 199, Drying of loose and pariculae maerials, Hemisphere Publishing Coorporaion, New York, USA, 50 p. Lima, A. G. B., Nebra, S. A., 1997, Influência de parâmeros geoméricos na cinéica de secagem de elipsóides sólidos ; XXV ENEMP - XXV Congresso Brasileiro de Sisemas Pariculados, São Carlos. Vol.1, p Lima, A. G. B.; Nebra, S. A., Hea conducion process modeling in prolae spheroids. In XX Iberian Lain-American Congress on Compuaional mehods in Engineering, 1999, São Paulo. Proceedings..., CD-ROM Lima, A. G. B., 1999, Fenômeno de Difusão em Sólidos Esferoidais Prolaos. Esudo de Caso: Secagem de Banana, Tese de Douorado, Universidade Esadual de Campinas, Campinas, S.P., 65 p. Lima, A. G. B., Nebra, S. A., Alemani, C. A. C., 1997, Simulaion of he drying kineics of he silkworm cocoon considering diffusive mechanism in ellipical coordinae ; Proceedings of he Iner-American Drying Conference, Vol. B, Iu, Brazil,. p Lima, A. G. B., Nebra, S. A., 000, Theoreical analysis of he diffusion process inside prolae spheroidal solids, Drying Technology, Vol. 18, n. 1&, p Misra, R. N.; Young, J. H., 1980, Numerical soluion of simulaneous moisure diffusion and shrinkage during soybean drying ; Transacions of he ASAE, Vol. 3, p Pólya, G.; Szegö, G., 1945, Inequaliies for he capaciy of a condenser ; American Journal of Mahemaics, Vol. LXVII, p Provenza, F., 1989, Projeisa de Máquinas, Ediora F. Provenza, São paulo, S.P., Brasil, pp..47. Puiggali, J. R.; Quinard, M., 199, Advances in Drying, Hemisphere Publishing Corporaion, Vol.5, New York, USA, p Queiroz, M. R., 1994, Esudo Teórico-Experimenal da Cinéica de Secagem de Bananas. Tese de Douorado, Universidade Esadual de Campinas, campinas, S.P., Brasil, 176p. Queiroz, M. R.; Nebra, S. A., 1996, Theoreical and Experimenal Analysis of he Drying Kineics of Bananas ; Proceedings of he Inernaional Drying Symposium, Par. B, Krakow, Poland, p Rovedo, C. O.; Suarez, C.; Viollaz, P. E., 1995, Drying Simulaion of a Solid wih Three Dimensional Shrinkage ; Drying Technology, Vol. 13, n.1 e, p Sokhansanj, S.; Pail, R. T., 1996, Kineics of Derydraion of Green Alfafa ; Drying Technology, Vol. 14, n.5, p Sokhansanj, S., 1987, Improved hea and mass ransfer models o predic grain qualiy ; Drying Technology, Vol. 5, n.4, p Suzuki, K.; Kuboa, K.; Hasegawa, T.; Hosaka, H., 1976, Shrinkage in dehydraion of roo, vegeables ; Journal Food Science, Vol. 41, p