ANÁLISE DA ESTABILIDADE DE AGARRAMENTO EM MANIPULADORES ROBÓTICOS

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1 ANÁLISE DA ESABILIDADE DE AGARRAMENO EM MANIPULADORES ROBÓICOS Max Suell Dutra Marco Hrosh Naka Unversdade Federal do Ro de Janero, COPPE-Programa de Engenhara Mecânca C. P , CEP , Ro de Janero, Brasl - E-mal: {max, mnaka}@serv.com.urj.br Resumo As tareas de um manpulador robótco se resume em agarrar objetos e alterar a sua orentação ou posção através de um sstema artculado. No ato do agarramento, algumas consderações devem ser etas, sendo que uma das prncpas é a questão da segurança do agarramento. Entende-se como segurança no agarramento, a não ocorrênca do escorregamento do objeto e a não destrução do mesmo através de orças excessvas. Na prmera abordagem, relaconada com o objeto, é consderada a questão da establdade no agarramento, e as varáves que a regem. Na segunda abordagem é observada a questão da establdade do contato, as orças resultantes e o comportamento do manpulador quando submetdo à ação de uma orça perturbadora durante o agarramento. Neste trabalho, busca-se apresentar a análse ísca e matemátca do agarramento, destacando a mportânca da determnação da orça resultante nos mecansmos múltplos e da orça nterna entre os mecansmos. Palavras-chave: manpuladores, establdade, cone de atrto, agarramento e elpsóde de contato 1. INRODUÇÃO O ser humano pode de olhos vendados, perceber e derencar uma laranja de um ovo e manpulá-los de orma adequada, sem dancá-los. Já nos sstemas robótcos normas, tem-se esse tpo de problema, pos tas sstemas não possuem capacdade de derencar os objetos manpulados e nem de aplcar uma orça adequada sem provocar danos (Daro & De Ross, 1985). O sstema de vsão com reconhecmento dos objetos anda não é conável sem uma grande quantdade de normação. Com a naldade de reconhecer objetos, são utlzados sensores táctes nestes sstemas. Para que este sstema de reconhecmento uncone é mprescndível que haja um controle de orças assocados a essa rede de sensores, de tal orma que as orças exercdas sejam adequadas e assegurem um agarramento estável. Para que este controle seja adequado é necessáro avalar ísca e matematcamente o aperto executado por cada garra mecânca a ser projetada. Segundo Jameson et al. (1986) a establdade do aperto tem pelo menos dos aspectos relevantes a serem observados: o prmero é a capacdade de retorno para a posção de equlíbro estátco quando a posção do objeto é modcada. Isto pode ser chamado de establdade de aperto e está assocada a uma restauração das orças aplcadas (Hanausa & Asada, 1977) (Cher & Gupta, 1999). O segundo aspecto mportante é a capacdade de manter o contato sobre o objeto, quando o mesmo é submetdo a ação de orças perturbadoras, sto pode ser chamado de establdade de contato. Esta concepção pode ser assocada a resultante das orças

2 externas (equação 2), a questão das orças nternas e ao atrto entre a garra mecânca e o objeto manpulado (Nakamura et al., 1989). E é sob essa concepção que este trabalho será desenvolvdo. Voltando ao prmero aspecto, relatvo a establdade do aperto, é observado que quando um objeto, sem restrções à sua movmentação, é agarrado e os dedos não denem uma posção de equlíbro estátco adequado, o dedo se movmentará até atngr a posção de equlíbro estátco, conorme esquematzado na gura 1 e M 0 2 Fgura 1. Ausênca de Establdade Estátca do Objeto A resultante das orças externas F 0 e o momento M 0, das orças externas aplcadas sobre o objeto pode ser dado por: F n = m = 1 g (1) M 0 = r (2) onde, é orça externa aplcada no -ésmo contato, m 0 é a massa do objeto e g, a aceleração da gravdade, r é a dstânca do centróde 0 até a orça aplcada no -ésmo contato. Para que o objeto encontre uma posção de equlíbro estátco, é necessáro que a equação (2) seja nula, o que não ocorre no exemplo da gura 1, se or consderado que todas as orças de contato exercdas sobre o objeto são guas. Observa-se também na gura 1 que, quando é analsada a establdade do aperto, é necessáro que além da condção de lvre movmentação do objeto seja também permtdo o lvre deslzamento dos dedos até atngr o ponto de equlíbro estátco (gura 2). M 0 0 Fgura 2. Objeto com Establdade Estátca

3 O ator relevante dessa análse está na concepção do projeto da rgdez do dedo, de tal manera que a rgdez total do sstema do dedo possa permtr a geração de orças de restauração para qualquer tpo de perturbação de posção do objeto. Neste trabalho serão apresentados também, uma análse do mecansmo de agarramento sob uma vsão matemátca e a questão da nluênca do atrto como ator undamental na establdade do agarramento. 2. ESABILIDADE DO CONAO Vsando smplcar o equaconamento matemátco, serão etas duas suposções: ¾ O contato dos dedos com o objeto é realzado através de pontos e não de superíces; ¾ Os pontos de contato não se movmentam quando há uma mudança de orentação entre o objeto e o manpulador. A prmera suposção é razoável consderando que as orças são pequenas, e tem como conseqüênca que o objeto e os dedos em questão são rígdos (Salsbury, 1982). A segunda hpótese pode aparentemente não trazer nenhuma smplcação em nosso trabalho, mas serve para elmnar o problema das restrções não-holonômcas entre o objeto e a garra, devdo a alteração dos pontos de contato com o movmento do objeto (Murray et al., 1993). O modelo de contato adotado é o do ponto de contato com atrto que pode ser observado na gura 3, bem como a nterpretação geométrca do modelo de atrto de Coulomb. Esse modelo ndca a magntude da orça de contato que pode ser aplcada nas dreções tangencas da superíce como uma unção da orça normal ( n ) aplcada. O modelo de atrto de Coulomb é um modelo empírco o qual ndca que a orça tangencal ( t ) admssível é proporconal a orça normal aplcada, e a constante de proporconaldade é unção dos materas em contato. Ponto de Contato Cone de Atrto n α µ n Superíce do Objeto Vsão Lateral Fgura 3. Ponto de contato e nterpretação geométrca do modelo de atrto de Coulomb. A condção de Coulomb para que não haja deslzamento é: t µ n (3) onde µ > 0, é o coecente de atrto estátco.

4 O conjunto de orças que pode ser aplcado deve se manter no nteror do cone sobre a superíce normal (Dutra & Naka, 1999). Este cone é chamado cone de atrto, e o ângulo do cone com relação a normal é dado por: α = tan 1 µ (4) Os valores típcos de µ são menores do que 1, e consequentemente, o ângulo do cone de atrto é geralmente menor que 45º. O modelo de ponto de contato com atrto é usado quando exste atrto entre as pontas de dedo e o objeto, onde as orças exercdas em qualquer dreção devem estar dentro do cone de atrto. Uma orça generalzada atuando sobre um corpo rígdo consste de uma componente lnear (orça) e uma componente angular (momento) atuando em um ponto. Esse tensor orça/momento é conhecdo na lteratura como wrench (Murray et al., 1993): F W = M F R 3 M R 3 componente lnear componente angular (5) Para o caso de um ponto de contato com atrto, tem-se a segunte matrz base wrench: W = Logo a resultante das orças externas Q pode ser denda como: Q = W (6) (7) Sendo que deve estar contda no cone de atrto, logo: { R : , 3 0} FC = µ (8) onde 1 e 2 são as componentes da orça resultante no plano e 3 equvale a orça normal. Assm sendo, a determnação da orça resultante é eta de tal orma que é consderado um problema estátco e não dnâmco com a naldade de smplcar o problema. 3. FORÇA INERNA A orça nterna no agarramento e na manpulação por garras robótcas têm sdo dscutda com base na equação (7) e especcado pelo elemento W (wrench). Nesta seção é explanado, de uma orma mas clara, o sgncado ísco das orças nternas e a sua denção alternatva. Supondo que são aplcadas as orças ( = 1, 2,., n) no objeto, e consderando que um deslocamento vrtual do objeto pode ser representado por:

5 δφ = ( δ δω r ) (9) onde, δ Ω sgnca a orentação do deslocamento vrtual e δr é a dstânca do centro de massa ao mecansmo robótco. A somatóra total dos trabalhos vrtuas realzados por todos os mecansmos robótcos é: δω = n = 1 ( δω p + δr) (10) onde, p é a posção do -ésmo contato Smplcando, têm-se: δω = δφ WF 0 (11) A equação segunte é uma condção necessára e sucente para que δω seja gual a zero para qualquer δφ : WF 0 = 0 (12) Desta orma, as orças nternas são um conjunto de, de tal orma que a somatóra dos trabalhos vrtuas executados pelos dedos são zero. A denção clássca (Murray et al., 1993) é de que as orças nternas são um grupo de orças representadas com relação a uma base de wrench para cada contato. A exstênca da orça nterna é uma condção necessára para o agarramento. Kerr e Roth (1986) propuseram que a orça nterna ótma está relaconada com os máxmos valores de e os máxmos torques. A prmera vsta, de ato, orças de agarramento maores proporconaram agarramentos mas seguros, assegurando uma boa establdade no contato (Cutkosky & Wrght, 1986). Entretanto, caso haja um erro no posconamento dos dedos, por menor que seja, devdo a grande ntensdade de orças de agarramentos, ter-se-a grandes dstúrbos de orça e momento com relação ao centro de massa do objeto. Surge então, a mportânca de determnar uma orça nterna que seja mínma, mas sucente para gerar uma razoável orça resultante externa, que por sua vez assegurará um bom agarramento. A mnmzação das orças nternas tem sdo realzada por dversos pesqusadores utlzando algortmos computaconas, através de programações não-lneares (Nakamura et al, 1989). 4. AÇÃO DE UMA FORÇA PERURBADORA E O ELIPSÓIDE DE CONAO O grande problema relaconado com a establdade de contato é com o comportamento do mecansmo robótco quando o objeto agarrado é submetdo a ação de uma orça perturbadora, conorme vsto na gura 4. A ação dessa aceleração perturbadora sobre o objeto altera o seu equlíbro e torna-se necessáro a restauração desse equlíbro com a adção de novas orças.

6 Ponta dos dedos Força Perturbadora Fgura 4. Ação de uma orça perturbadora sob um agarramento estável Desde que o equlíbro dnâmco é mantdo pela aplcação de um novo momento, este problema é reduzdo para um problema estátco, onde pode se supor que os dedos permaneçam móves no momento que são submetdos a ação da orça perturbadora ( θ = 0 ), e não há nluênca da ação da gravdade. Assm sendo, a dnâmca do -ésmo dedo é descrto como: M p M = I θ + J F 0 (13) J onde = r n n n I R é a matrz de nérca, R 3 n / θ R é a matrz Jacobana do -ésmo dedo. θ são as coordenadas generalzadas, e Pode-se assumr também que: M = J d (14) que é gerado pela juntas e no tempo ncal a garra exerce F 0 = d, o qual está ncluso no cone de atrto. Onde d é a orça aplcada pelo dedo sob o objeto. Assumndo que a aceleração do objeto no ponto de contato, causado pela orça de perturbação é representado por r, pode se avalar a ação da aceleração. Supondo também que a garra pode segur o movmento do ponto de contato, tem-se que θ = 0, logo a segunte equação é satseta: r = J.. θ + J θ = J θ Consderando a matrz de nérca I e as equações (14) e (15), as seguntes equações são dervadas da equação (13): (15) F 0 = d + a (16) 1 1 = ( J I J ) r (17) a onde a é a orça gerado pela perturbação, rank J = 3 é assumdo, I é postvo, e logo, J I -1 J torna-se postvo.

7 A equação (16) mostra a orça exercda sobre o objeto quando o ponto de contato é acelerado de r. A partr do momento que a ponta dos dedos começa a escorregar, F 0 está no lmte do cone de atrto. A relação entre a establdade de contato e r é mostrada esquematcamente na gura 5. r =0 Contato Mantdo r r Emnênca do Escorregamento Escorregamento r r F 0 = d F 0 d d d F 0 F 0 a a a Fgura 5. Establdade de Contato e Aceleração do Ponto de Contato Assm, pode-se consderar um conjunto de eseras de pontos de contato com aceleração: r ; r a (18) onde a é um constante escalar postva. Assm, tem-se o conjunto de a para todos os possíves r : { 1 ; ( ) ( 1 J I J J I J ) a 2 } a a a (19) r r < a c d a Elpsóde de Establdade de Contato Cone de Atrto Fgura 6. Elpsóde de Contato

8 Como J I -1 J é dendo como postvo, das equações (16) e (19), tem-se que o conjunto de pontos nas de orma um elpsóde com centro em d e exo prncpal 2a/M j (j=1,2,3) de comprmento, onde M j > 0 é o resultado de J I -1 J (Golub & Van Loan, 1983). Consderando que a c é o valor mínmo de a para produzr um elpsóde de contato (gura 6) com o cone de atrto, tem-se que a c mplca no máxmo rao da esera de r que não causa o escorregamento. 5. CONCLUSÃO Neste trabalho o dscutda a mportânca da análse das orças de agarramento para a establdade do aperto. Foram também avalados a questão da establdade do objeto que depende da rgdez e do atrto entre o manpulador robótco e o objeto a ser agarrado, e a establdade do contato que depende das orças resultantes que por sua vez, são dependentes das orças nternas. A avalação da ação de uma orça perturbadora, dentro de um elpsóde de orças de contato, permte que não haja escorregamento do objeto, o realzada. A questão de agarramento e manpulação de manera segura requer análses mas proundas, onde a avalação da nterações entre os manpuladores robótcos e os objetos a serem agarrados devem ser o próxmo passo dessa pesqusa. 6. REFERÊNCIAS - CHERIF, M., GUPA, K.K., Global Plannng or Dextrous Re-orentaton o Rgd Objects: Fnger rackng wth Rollng and Sldng, echncal Report, INRIA Insttut Natonal de Recherche en Inormatque et en Automatque, France, 1999; - CUKOSKY, M.R., WRIGH, P.K., Frcton, Stablty and the Desgn o Robotc Fngers, Internatonal Journal Robotcs Researches, 1986; - DARIO, P., DE ROSSI, D., actle Sensors and the Grppng Challenge, IEEE Spectrum, August, 1985; - DURA, M. S., NAKA, M.H., Study o Knematcal Redundancy o a Mechancal Hand wth Fve Fngers, XV COBEM, Águas de Lndóa, Brasl, 1999; - GOLUB, G.H., VAN LOAN, C.F., Matrx Computatons, Baltmore: John Hopkns Unversty Press, 1983; - HANAFUSA, H., ASADA, H., Stable Prehenson by a Robot Hand wth Elastc Fngers, 7 th Int. Symp. Industral Robots, 1977; - JAMERSON, J.W., LEIFER, L.J., Quas-statc Analyss: A Method or Predctng Grasp Stablty, Proc. o IEEE Int. Con. on Robotcs and Automaton, 1986; - KERR, J., ROH, B., Analyss o Multngered Hands, Internatonal Journal o Robotcs Researches, 1986; - MURRAY, R.M., ZEXIANG, L., SASRY, S. S., A Mathematcal Introducton to Robotc Manpulaton, CRC Press, 1st Edton, London, 1993; - NAKAMURA, Y., NAGAI, K., YOSHIKAWA,., Dynamcs and Stablty n Coordnaton o Multple Robotc Mechansms, he Internatonal Journal o Robotcs Research, Vol. 8, no. 2, Aprl 1989; - SALISBURY, J.K., Knematc and Force Analyss o Artculated Hands, Ph.D. hess, Stanord Unversty, Dept. o Mechancal Engneerng, 1982.