PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA NA DETERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULTIPRODUTOS EM UM CENÁRIO DE CURTO PRAZO

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1 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO Edlso Paulo Doutorado em Cotroladora e Cotabldade FEA/USP Professor da Uersdade Presbteraa Mackeze Edereço: Rua da Represa, 75 apto 4 Bloco A - Rudge Ramos CEP 964- São Berardo do Campo/SP Brasl E-mal: e.paulo@uol.com.br elefoe: () RESUMO As empresas se preocupam cada ez com maor tesdade o ue cocere à polítca de formação de preço e mx de edas de seus produtos, porue passou a ser um fator decso para o sucesso da empresa o atual ambete dos egócos. Porém, ão exste uma abordagem terdscplar sobre o tema, o ue se faz ecessáro dedo à sua complexdade e o terrelacoameto etre as dersas aráes uattatas e ualtatas ue fluecam a tomada de decsão. A formação do preço e o mx de edas ecesstam de uma abordagem mas ampla e ue cotemple um maor úmero de aráes possíes. Este trabalho tee como objeto aalsar algus cocetos mportates para o estudo e deseoler um modelo matemátco de programação uadrátca, ue represete as relações exstetes etre os dersos produtos e suas aráes, e ue ateda aos objetos preteddos pela empresa, por meo da determação dos preços (e mx) de edas, obserado as restrções de capacdade stalada e de mercado. Palaras-chae: Programação uadrátca. Preço. Multprodutos. ABSRAC Compaes hae gradually bee deelopg a more serous cocer wth the polcy of ther products prce formato ad sales mx, sce ths polcy has become a decse factor for the compay success the preset day busess eromet. Howeer, a terdscplary approach to ths matter does ot exst. o create oe s ecessary due to the problem s complexty ad the terrelatoshp amog seeral uattate ad ualtate arables that fluece decso makg. he prce formato ad sales mx eed a wder approach ad t should cotemplate a larger umber of possble arables. he preset study has had as ts am to aalyse mportat cocepts for the studes ad the deelopmet of a mathematcal model of uadratc programmg, whch represets the exstet relatoshps amog derse products ad ther arables, ad whch fulfls objectes teded by the compay, through determato of the sales prces (ad mx), takg to cosderato the stalled capacty ad market costrats. Keywords: Quadratc programmg. Prce. Multproducts. INRODUÇÃO Para ue as empresas alcacem seus objetos, elas deem se preocupar com a polítca de formação de preço e mx de edas de seus produtos. Porém, esse tema se tora complexo Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

2 Edlso Paulo 8 dedo ao grade úmero de aráes a serem cosderadas o seu estudo. Assm, é comum ue cada empresa deseola o seu própro mecasmo de formação de preço, orteada por formações teras e exteras, torado dfícl a elaboração de uma regra ou modelo úco. Nas teoras exstetes etre os dersos campos ue abordam tal tema, obsera-se a exstêca de um deseolmeto terdscplar. Porém, ão exste uma abordagem terdscplar sobre o tema, o ue se faz ecessáro dedo à sua complexdade e o terrelacoameto etre as dersas aráes uattatas e ualtatas ue fluecam a polítca de formação do preço e do mx de eda dos produtos. O deseolmeto terdscplar se justfca, segudo Berard (996, p.), dedo ao fato de a peuea e méda empresa poucos executos admstrarem e a grade empresa os especalstas terem são ou área de atuação restrtas, usualmete com tegração defcete. Berard (996, p.) retera afrmado ue outra razão para esta abordagem terdscplar é o fato de ue o própro estudate recebe uma carga teórca de cohecmetos fragmetados, ormalmete ão trasmtdos de forma terata, tedo por coseüêca dfculdades de eteder o todo, as partes e a oção de eulíbro. Etão a falta de deseolmeto terdscplar é dedo: a) à falta do cohecmeto tegrado da empresa por parte dos executos; b) ao cohecmeto cetífco fragmetado. Outra dfculdade ecotrada é ue uma grade parte dos estudos efetuados é deseolda somete sobre a hpótese de um úco produto. Esta stuação ão se euadra a realdade da maora das empresas, pos geralmete trabalham com mas de um produto/serço, torado, assm, falha a aplcação dos métodos e téccas propostas por tas estudos. Dedo ao fato de a maora das empresas oferecerem uma grade aredade de produtos, deem ser deseoldas metodologas de formação do preço e mx de produtos, ue permtam: a) fxar um preço de eda ue o mercado cosdere justo para os seus produtos; b) determar o mx de produtos a serem produzdos e eddos detro de um determado período, atededo às ecessdades do mercado; a) determar a escala de operações das atdades a serem deseoldas pela empresa; b) alcaçar lucratdade o logo prazo. Para ue se possa ter êxto em ualuer atdade, a empresa dee possur uma adeuada polítca de formação do preço e mx de edas para os seus produto/serços. No etato, ale ressaltar ue por s só sto ão garate o sucesso da empresa, dedo à complexdade e certeza do mercado. O bree ceáro exposto motou a segute uestão de pesusa: Com as ferrametas computacoas dspoíes, podera ser deseolda uma metodologa de formação de preço e mx de produção/edas ue fosse aplcado em ambete empresaral com multprodutos? Dessa forma, o objeto geral deste estudo é deseoler um modelo aalítco, parcmooso, para o estabelecmeto do preço ótmo e mx ótmo de produtos em ambete de multprodutos, ue maxmze o resultado de curto prazo da empresa. Para atgr o objeto geral deste estudo, deseoleu-se uma pesusa exploratóra. A seção apreseta a resão de lteratura sobre a formação do preço de eda e mx de produtos e programação matemátca. Na seção, fo deseoldo o modelo da programação uadrátca de formação de preço e de mx de produtos ue maxmze o resultado. Falzado o artgo, teceram-se cosderações fas sobre o problema. Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

3 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO 9 FORMAÇÃO DO PREÇO DE VENDA Muto se dscute sobre a forma pela ual dee ser fxado o preço de eda dos produtos. Bascamete, pode-se classfcar os sstemas de formação de preço de eda em duas categoras: os fxados pela aálse do mercado e os determados pelos custos da empresa (BERNARDI, 996). Atualmete, a premssa de ue o preço de eda dos produtos e, coseüetemete, o mx de produtos são determados por uma fução de custo e lucro é uestoáel (DOLAN e SIMON, 998; AKINSON et al., ), pos as forças mercadológcas se apresetam com maor fluêca sobre eles. Dersos fatores fzeram com ue o clete se torasse um fator de prmordal mportâca, como globalzação, dersfcação dos produtos, aumeto da cocorrêca, escassez de recursos faceros, crescete íel de exgêca de ualdade, etc. (KOLER, 998). A empresa está serda em um mercado, para ue possa ateder às ecessdades deste, e será remuerada por sso (LEONE, ). Para a empresa se torar competta, deerá gerecar seus custos e produção. Berard (996, p.9) efatza ue o preço ue o mercado estara dsposto a pagar ão sgfca o mas alto possíel a ser pratcado, mas auele ue represeta alor para o cosumdor, o ue resulta um preço competto. A empresa tem ue estabelecer um preço justo, ue ateda às ecessdades, característcas, ualdades exgdas pelo cosumdor. Sedo assm, o mercado é o aldador do preço (justo) estabelecdo pela empresa para seus produtos e serços. Com sto, mercado e custos são duas fotes de formações uase sempre dssocáes para ue a empresa possa obter sucesso a tomada de decsões de preço de eda e, coseüetemete, o mx de produtos (NAGLE; HOLDEN, 995).. Decsões sobre preço e mx de produtos Para a empresa alcaçar o lucro desejado, deerá mater um adeuado sstema de gerecameto de custos e despesas, mas também deerá estabelecer uma polítca de preço coerete com os objetos da empresa e exgêcas do mercado. Na realdade, a empresa busca uma retabldade para ue remuere seus estmetos, leado em cosderação o ramo de atdade, rscos sobre o tpo de egóco e a cojutura ecoômca. Berard (996) classfca as polítcas de preços: a) em fução dos objetos - peetração o mercado, aumeto da partcpação, preço de exclusdade (skmmg), recuperação de caxa, maxmzação de resultados, promoção de produto/serço específco, preço/ualdade, preço/oportudade; b) em fução da demada - dscrmação de preço; c) em fução da cocorrêca - preço médo pratcado, preços mas altos ou mas baxos em determados patamares, preço competto elaborado de fora para detro da orgazação. Esta classfcação proposta pelo autor ão pode ser tomada como estátca, pos as dersas polítcas de preços podem ou deeram se teragr em determados mometos. Logcamete, a polítca de preço tem ue estar afada com os objetos e metas da empresa, deedo ser estabelecdo com base a procura e oferta dos produtos e obserado os preços pratcados pela cocorrêca. Outra classfcação é estabelecda por Atkso et al. () ue aalsa as decsões sobre preço e mx de produtos, uato ao poscoameto da empresa o mercado e uato ao período ue abrage as decsões. Quato ao poscoameto o mercado, as empresas são Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

4 Edlso Paulo 4 classfcadas em segudoras de preços e líderes de preços; euato ue, em relação ao período abragdo, as decsões são classfcadas em decsões de curto e de logo prazo. Empresa segudora de preços é a empresa ue tem peuea ou ehuma fluêca sobre as forças de oferta e de demada do mercado e, por cosegute, sobre os preços de seus produtos (AKINSON et al.,, p.66); restado adeuar seu mx de produtos em fução dos preços estabelecdos o mercado para seus produtos. Caracterza-se como empresa segudora de preços, empresas ue estão em um ramo de atdade ue possu úmeros cocorretes, ue soladamete ão fluem os preços, pos seus preços são fxados atededo às codções de demada e de oferta do mercado. Empresa líder de preço é a empresa ue fxa ou oferece os preços de seus produtos porue desfruta de parte sgfcata do segmeto de seu mercado (AKINSON, et al.,, p.68). as empresas são líderes de preços, porue coseguem obter uma dferecação de seus produtos, crado, com essa dferecação, alor para o clete e, assm, possuem uma parcela sgfcata da partcpação do mercado, podedo estabelecer a lderaça de preço. Com base o período abragdo pela tomada de decsão, as decsões sobre preço e mx de produto são classfcadas em decsões de curto ou de logo prazos. Nas decsões de curto prazo, a empresa dee aalar se exste ou ão capacdade stalada ocosa, em fução das alteratas de produção adcoal. As decsões de logo prazo procuram ajustar a capacdade produta para ateder aos áros produtos demadados, trodução de oos produtos, elmação de produtos exstetes, alterações os estmetos da empresa.. Os custos a formação do preço O cohecmeto costate, aprofudado e precso dos custos da empresa leará os gestores a tomarem decsões em bases mas adeuadas e, assm, a plaejar suas estdas o mercado com maor flexbldade (MORRIS, 994). O custo do produto poderá ser estabelecdo de formas dferetes, depededo do tpo de formações ecessáras para a tomada de decsão, exstdo dersos métodos, sstemas e crtéros para custear o produto. Os custos dos produtos depederão, calmete, do sstema de produção ue estabelecerá o sstema de acumulação dos custos: por ordem de produção ou por processo. Posterormete, a escolha do sstema de acumulação dos custos, é selecoado o método de custeo: absorção, aráel ou tegral; depos, as téccas de custeo e outros dados ue fluecam a determação dos custos (PAULO; PEDROSA JUNIOR; LEONE, ). O custeo por absorção é um método ue corpora tato os custos fxos uato os custos aráes, sejam eles dretos ou dretos ao produto. Detro deste método, euadramse dersos crtéros de custeo, como departametalzação, taxas pré-determadas, custeo por atdade, udade de esforço padrão etc. O custeo aráel é um método ue aala os produtos com base os custos e despesas aráes. Neste método, também ão mporta se os custos são dretos ou dretos; o ue se lea em cosderação é o aspecto da arabldade (LEONE, ; PAULO, PEDROSA JUNIOR e LEONE, ). Atkso et al. (, p.7) explcam ue em três crcustâcas exstem justfcatas ecoômcas para utlzação do método de custeo por absorção para formação de preço: a) mutos cotratos, prcpalmete, frmados com o setor públco - os preços são determados pelos custos totas mas um mark-up, cluse para aueles preços ue têm um cotrole dreto por algum órgão goerametal; b) em relacoameto de logo prazo com clete para forecmeto de bes e/ou serços - o custeo por absorção corpora todos os recursos despeddos, sedo releate para as decsões de preço; e Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

5 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO 4 c) utlzado para estabelecmeto do preço-meta - o preço é estabelecdo sobre os custos totas mas um mark-up, sedo ue o preço real pratcado flutuara em toro do preço-meta, coforme a aração da demada e outras aráes exteras. No etato, o custeo por absorção apreseta-se adeuado em mutas crcustâcas, como strumeto gerecal de tomada de decsão a curto prazo, pos tem como prcpal dfculdade o tratameto a ser dado aos custos fxos, ue podem lear a alocações arbtráras e até egaosas, se ão forem efetuados em bases adeuadas. Idepedete do crtéro a ser adotado (departametalzação, taxas pré-determadas, custeo por atdades, etc.), ão será elmada a subjetdade da alocação dos custos fxos aos produtos, sedo ue a escolha do crtéro dee ser tomada com base a relação custo-beefíco proporcoado a cada stuação específca. A adoção do custeo por absorção apreseta outra desatagem em relação ao custeo aráel, pos ão será possíel o cohecmeto da margem de cotrbução de cada produto detro do processo produto e de comercalzação. Porém, é bom lembrar ue tal desatagem refere-se à tomada de decsão de curto prazo, pos para decsões de logo prazo tora-se mas acoselháel do ue o uso do custeo aráel (LEONE, ). A prcpal atagem proporcoada pelo custeo aráel é o cohecmeto sobre a margem de cotrbução de cada produto. Margem de cotrbução é o resultado da dfereça etre as recetas e os custos e despesas aráes; sedo ue, uato maor for a margem de cotrbução, maor será o lucro, desde ue a margem de cotrbução total seja maor ue os custos fxos totas, sto é, ue a margem de cotrbução cumpra o seu papel de cobrr os custos e despesas fxas e posterormete gerar lucro. Etre as outras atages do custeo aráel, pode-se destacar, também (SANOS, ): a) auxla a empresa decdr uas os produtos e/ou serços cotrbuem satsfatoramete para a geração de resultado posto; b) dca uas os produtos ue ão estão gerado lucro para a empresa, leado a uma aálse mas profuda das causas ue ocasoaram tal stuação; c) pode ser utlzado para crar alteratas de preços compettos; d) auxla a tomada de decsão sobre proposta de peddo adcoal por parte de cletes; e) faclta a aálse da captação de recursos faceros para suprmeto de dspobldade; f) cotrbu a decsão sobre a utlzação de recursos escassos a produção e comercalzação dos produtos. Cotudo, todas essas decsões substacadas o custeo aráel deem ser em um plao de curto prazo, pos, como os custos fxos ão são atrbuídos ao custo do produto, a aálse de logo prazo trará poucas formações útes. No etato, o preço de eda dee recuperar todos os recursos ue estão à dsposção da empresa, sejam eles fxos ou aráes. Outra desatagem do custeo aráel é uado da sua utlzação em empresas ue possuam um ato permaete eleado, pos para este tpo de empresa poderá ser tão útl em termos de aálse se ão houer preocupação com relação à absorção dos custos fxos totas, prcpalmete o ue tage às deprecações (SANOS,, p.5).. O mark-up a formação do preço Para se formar o preço de eda a partr do custo, ormalmete, é utlzada uma metodologa baseada a utlzação de um ídce multplcador ou dsor aplcado sobre os Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

6 Edlso Paulo 4 custos (ode ester o termo custos, lea-se custos e despesas) do produto, mercadora ou serço para se atgr o preço de eda, deomado de mark-up. Satos (, p.79) defe mark-up com sedo um ídce aplcado sobre o custo de um bem ou serço para formação do preço de eda. Os compoetes do mark-up são determados com base em relações percetuas sobre preço de eda e, em seguda, aplcados sobre o custo dos produtos. odaa, costatam-se algumas dfereças, etre os estudosos da área, em toro da formação ou costtução do mark-up, mas ue em lhas geras são: a) Custos fxos de produção (uado se utlzar o método de custeo aráel); b) Impostos sobre edas (ICMS, PIS e COFINS); c) Despesas comercas (fxas e aráes); d) Despesas admstratas (fxas e aráes); e) Despesas faceras (captal de terceros); e f) Margem de lucro desejada. Um poto a ser obserado é ue o custo do captal própro ão é abordado a composção o mark-up, tem ue se julga de grade releâca, prcpalmete os estudos de alteratas de oos estmetos ou projetos. O custo do captal própro pode ser o custo de oportudade da empresa, ue é a uata de lucro perddo uado a oportudade proporcoada por uma alterata é sacrfcada pela escolha da outra (AKHINSON et al.,, p.65). O lucro será o adcoal proporcoado pelo preço de eda, após serem descotados todos os gastos, cluse o custo do captal própro. O lucro (ou prêmo) represeta, em grade parte, o rsco assumdo pelo estdor pela opção de dspoblzar o seu captal a atdade da empresa, portato pode assumr dferetes alores ou percetuas. A aplcação do mark-up apreseta-se erroeamete em dos aspectos teórcos. O prmero poto é ue a adoção de um percetual para represetar o custo fxo (o caso da utlzação do custeo aráel) e a despesa fxa descaracterza a atureza destes, torado-os aráes ao olume de eda, mesmo uado se lea em cosderação o coceto de teralo releate. Por exemplo, determa-se ue o custo fxo de produção seja represetado pela percetagem de % sobre o preço de eda, se a receta com edas em um determado período for de $.,, o custo fxo será $,; se em outro período a receta com edas for de $.,, o seu custo fxo será $.,. Assm, o motate do custo fxo se altera coforme a aração do drecoador escolhdo, depedete de ualuer ue seja esse drecoador parâmetro. Outro poto a ser obserado, tato o método do custeo aráel, como o custeo por absorção, é o custo do captal própro (custo de oportudade) ue dee ser calculado sobre o alor dspoblzado à empresa, pos seu comportameto ão dee ser fluecado pelo olume de edas, serdo etão a mesma aaloga acma utlzada para os custos e despesas fxas. Obsera-se ada a fxação do preço de eda, por meo do mark-up, a exstêca de um estudo sobre a fluêca das les de oferta e demada sobre o preço de eda, sedo este um poto mportate para formação da polítca de formação de preço e mx de produtos. O preço de eda a atdade empresaral é fortemete fluecado pela oferta e demada. Quado exste um deseulíbro etre a demada e a oferta, sto pressoará os preços pratcados tato para cma, uado a demada é maor ue a oferta, ou para baxo, uado a demada é meor ue a oferta (SAMUELSON, 97; MONORO FILHO et al., 998; ROSSEI, ). Utlzado-se da estratéga de maxmzação dos lucros por meo do preço de eda, para se atgr a meta pretedda pela empresa, os demas fatores (aráes) cotuarão Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

7 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO 4 fluecado a formação do preço de eda. A empresa é uma célula a detro do ambete, o ual todos os etes serdos ele se teragem, cosumdores, forecedores, cocorretes, goero, etc. Vale ressaltar ue pode haer outras metas empresaras preteddas pela empresa, mas este trabalho trata somete da maxmzação do resultado das empresas. Em sítese, cosdera-se ue, para formação de preço e mx de eda dos dersos produtos, tem-se a ecessdade de aalsar os custos e o mercado cojutamete, tedo como premssas báscas (MALLO et al., ; HORNGREN, DAAR e FOSER, 4): a) o preço de eda dee cobrr todos os custos (e despesas) mas um retoro desejáel pela empresa; b) o preço de eda dee ser aceto pelo mercado; c) o mx dos produtos dee ser adeuado à capacdade stalada de produção e comercalzação da empresa; d) o produto dee ateder às ecessdades do mercado, em termos de uatdade e ualdade; e) o preço de eda dee ser aalsado leado-se em cosderação a exstêca de produtos substtutos a preços mas compettos; f) o preço e o mx de edas dos produtos deem erfcar a exstêca adeuada de produtos complemetares; e g) o preço e o mx de edas dos produtos deem ser strumetos para ue a empresa alcace sua meta e seus objetos estabelecdos. Exstem problemas assocados à maxmzação do lucro, pos se presume ue a empresa coheça as fuções ue represetam a flutuação de oferta/demada e de custos dos seus produtos, em relação a preços alteratos, ue a realdade, são estmatas do ue poderá ocorrer, com fluêcas de outros fatores de dfícl mesuração. Pode-se serr fatores de dfícl uatfcação: a ualdade do produto, atedmeto ao clete, codções ambetas e socas, etre outros. FORMULAÇÃO MAEMÁICA PARA FIXAÇÃO DO PREÇO E MIX DE VENDA PARA MULIPRODUOS As empresas êm trabalhado com um modelo smplfcado para estabelecer um preço ue maxmze os seus lucros, em ue somete é cosderada a exstêca de um úco produto, mas, a realdade, esta stuação é dfclmete obserada o da-a-da, sedo ue ormalmete se opera com dersos produtos. Na formação do preço e mx de edas de seus produtos, a empresa sofre fluêcas de dersas aráes de mercado e de sua capacdade produta, cluse o preço e mx de um determado produto afetam a formação do preço e mx de outros produtos, uado estes são cocorretes ou complemetares. Produtos cocorretes são aueles ue guardam uma relação de substtução (MONORO FILHO et al., 998, p.), como, por exemplo, a matega e a margara; e têm como característca ue, se houer um aumeto de preço do produto X, coseüetemete, a sua demada cará em detrmeto ao aumeto da demada do produto Y, assm, os produtos X e Y são produtos cocorretes. Os produtos complemetares são aueles cosumdos cojutamete, como, por exemplo, o pão e a matega; sedo ue sua complemetardade pode ser técca (automóel e gasola) ou pscológca (trabalhar com músca); este caso, se houer um aumeto de preço do produto X, coseüetemete, carão as demadas dos produtos X e Z. Em sítese, os produtos cocorretes ou substtutos guardam uma relação de demada ersa, euato os produtos complemetares, uma relação dreta com o bem aalsado. Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

8 Edlso Paulo 44 Dee-se estabelecer, etão, um modelo matemátco ue represete as relações exstetes etre os dersos produtos e as dersas aráes exstetes e ue maxmze os resultados da empresa, determado os preços de eda e uatdades a serem eddas para os multprodutos, atededo às restrções de capacdade stalada e de mercado. São chamadas de restrções de mercado, auelas restrções exteras da empresa e ue codcoam a comercalzação dos produtos, em termos de uatdade e preço, euadradose estas, restrções ue edecam as relações de oferta e demada de produtos cocorretes e de produtos complemetares. As restrções de capacdade stalada são restrções teras da empresa, ue lmtam a fabrcação ou a comercalzação dos produtos, como, por exemplo, úmero de horas dspoíes da produção, capacdade de estocar ou de trasportar a matéraprma, estocar ou dstrbur produtos protos. Dedo ao cojuto de aráes e de restrções eoldas, bem como as relações exstetes etre elas, deem ser utlzados strumetos de aálse uattata, especfcamete para este problema, os estudos de programação ão-lear. Apesar das facldades ecotradas a formulação matemátca, exstem stuações em ue a realdade ecoômca ão pode ser descrta em modelos leares (GREENE, ; WOOLDRIDGE, 6). Programação ão-lear é um modelo matemátco ue deseole relações dersas, ue objetam a dstrbução dos recursos lmtados, sob restrções mpostas pelos dersos aspectos, como tecológcos e de mercado. Auxlam o processo decsóro das orgazações, sedo ue uma das mas comus é a programação uadrátca. Para Wager (986), a programação uadrátca cosste em uma fução-objeto costtuída de termos leares e uadrátcos e de um cojuto de restrções leares. Segudo Caxeta-Flho (, p.9), ão exste um algortmo uersal para programação ão-lear, uma ez ue os graus e complexdades de ão-learedade podem ser bastate dersfcados. Assm, ão há garatas para obteção da solução ótma global, e, sm, de potos de ótmo local. Etretato, deem ser obseradas as codções de Karush- Kuh-ucker, um teste de otmaldade, em ue deem ser satsfetas, por um poto de ótmo local, problemas de otmzação ão lear codcoada (BAZARAA, SHERALI e SHEY, 99; WAGNER,986).. Deseolmeto do modelo aalítco O resultado de uma empresa é determado pela dfereça etre as recetas totas (R) e os custos e despesas totas (C), sedo ue, uado a dfereça for posta, ou seja, R > C, dca resultado posto ou lucro, porém, uado a dfereça for egata, ou seja, R < C, dca resultado egato ou prejuízo. Assm, tem-se a maxmzação do resultado, ou seja, o maor lucro, uado a dfereça posta etre R e C for a maor possíel. Para tato, ecessta-se deseoler as fuções matemátcas ue represetem a receta total (R) e o custo e despesa total (C). a) Receta otal A receta total de uma empresa é dada pela segute fução: R p Em ue: uatdade a ser produzda e edda de cada produto p preço de eda de cada produto Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

9 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO 45 b) Custo otal O custo (e despesa) total é dado por: C F Em ue: uatdade a ser produzda e edda de cada produto custo aráel de cada produto F custo fxo total c) Custo de Oportudade (CO) O custo de oportudade (CO) será cluído para ue possa ser aalsado o seu efeto sobre a formação do preço e mx dos produtos, sedo represetado por: Em ue: I taxa de custo de oportudade K captal estdo COIK d) Lucro Com base as euações aterores, ter-se-a, etão, a fução de lucro abaxo descrta: L R C CO L p F IK O objeto deste trabalho é estabelecer um modelo ue possa determar: a aráel uatdade a ser produzda/edda ( ) e o preço de preço (p ) ue maxmze o resultado da empresa. As demas aráes do problema são cohecdas pela empresa, ue são os custos aráes de cada produto ( ), o custo fxo total (F), a taxa de custo de oportudade (I) e o captal estdo (K). e) Restrções de capacdade stalada Podem exstr áras restrções de capacdade stalada, o ue codcoa a empresa a ateder parte da demada do mercado. Estas restrções podem ser, por exemplo, o total de horas dspoíes para trabalho, o cosumo de uma determada matéra-prma etc. Pode-se ter, etão, úmeras fuções de restrção de capacdade de produção e comercalzação, ue podem ser represetadas por fuções de uatdades a serem produzdas e eddas de cada produto, atededo à restrção ou fator lmtate de produção, sedo: F( ) b Em ue: b é uma costate ue represeta o lmte máxmo a ser assumdo do fator lmtate Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

10 Edlso Paulo f) Restrções de mercado Podem exstr áras restrções de mercado ue represetem relações exstetes etre aração de preço e demada/oferta, produtos substtutos ou complemetares etc, represetadas por fuções de e p, sedo: { } { } b ; ; ) F( b ; ; ),p F( Em ue: b é uma costate ue represeta o lmte máxmo, mímo ou codção de gualdade a ser assumdo do fator lmtate. A fução de demada é a mas comum das restrções de mercado, represetada por: p α Em ue: uatdade a ser edda do produto o período demada máxma o período α costate ue represeta a elastcdade p preço de eda do produto g) Smplfcado a fução de lucro Sedo a fução de demada baseada o íel de preço pratcado, a mas sgfcata das restrções de mercado, e ue todas as restrções de capacdade stalada e as demas restrções de mercado são dadas por fuções de uatdade produzda/edda ( ), pode-se smplfcar a fução de lucro, trasformado esta fução como uma fução somete de uatdades a serem produzdas e eddas, já ue os demas termos são costates. O preço de eda será determado pela substtução a fórmula de demada da uatdade calculada. A fução de preço fcará: p p α α Substtudo p a fução de lucro, tem-se: α α IK F L IK F L IK F p L Sedo ue F, I e K assumem alores costates e ue a fução-objeta será maxmzar L, pode-se etão elmar as aráes F, I e K da fução L; torado-se esta uma represetação da Cotrbução Margal otal (M) dos produtos, pos, em programação Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago

11 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO matemátca, maxmzar (ou mmzar) uma fução-objeta ue possua termos costates (o osso caso F, I e K são alores costates), o resultado das aráes ajustáes a serem calculadas será o mesmo ue maxmzar (ou mmzar) esta fução-objeta sem estes termos costates. Etão, smplfcado: α M E sedo α, tem-se: ( ) [ ] M M M O modelo matemátco geérco de maxmzação do lucro de uma empresa ue trabalha com dersos produtos e ue possua uma ou mas restrções será descrta da segute forma: ( ) [ ] MaxM Sujeto a: { } b ; ; ) F( Em ue: α, uatdade a ser produzda e edda do produto o período demada máxma o período α costate ue represeta a elastcdade custo aráel utáro do produto p preço de eda do produto Lembrado ue a aráel p, ue represeta o preço de eda de cada produto, fo substtuída a fução-objeta e ue as demas restrções são fuções de uatdade edda e produzda dos produtos. Nota-se, também, ue o modelo deseoldo se euadra em um modelo de programação uadrátca, pos a fução-objeto é descrta por termos leares e uadrátcos e as restrções, em termos leares. Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago

12 Edlso Paulo 48.Exemplo de aplcação do modelo uadrátco proposto Com o tuto de melhor compreesão, deseole-se um exemplo do modelo proposto. Uma determada empresa fabrca três produtos e colheram-se os dados, ue costam a abela. abela Dados da empresa hpotétca Produto A Produto B Produto C Custo e despesa aráel utáro $4 $6 $8 empo ecessáro para produzr uma udade h h 5 h Matéra-prma A utlzada para produzr uma udade 5k k 4k Matéra-prma B utlzada para produzr uma udade k k k Demada máxma do produto/mês u 5u u Costate da relação preço/demada (elastcdade) Fote: dados aletóros. A empresa possu uma capacdade produta de 8 horas mesas, e o cosumo das matéras-prmas A e B ão podem ultrapassar o cosumo mesal de.5 kg e. kg, respectamete. Dedo aos produtos A e C serem produtos complemetares do produto B, as uatdades de A e C deem ser o mímo a metade da uatdade de B, para ue ão ocasoem problemas de abastecmeto dos três produtos. Com sto, as aráes das fuções serão: uatdade a ser produzda e edda do produto A uatdade a ser produzda e edda do produto B uatdade a ser produzda e edda do produto C p preço de eda do produto A p preço de eda do produto B p preço de eda do produto C custo aráel utáro do produto A custo aráel utáro do produto B custo aráel utáro do produto C a) Receta otal A receta total de uma empresa é dada pela segute fução: R p p p b) Custo Varáel otal (CV) O custo aráel total é dado por: CV CV c) Cotrbução Margal otal (M) Cotrbução Margal otal dos produtos é dada pela dfereça etre somatóro das recetas totas (R) e somatóro dos custos aráes totas (CV): M M R CV ( p p p ) ( ) d) Restrção de horas trabalhadas Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

13 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO 49 O total de horas trabalhadas os produtos A, B e C ão pode ser superor a 8 horas trabalhadas mesas. A restrção de horas trabalhadas é dada por: 5 8 e) Restrção de matéra-prma A O total de cosumo mesal de matéra-prma A pelos produtos A, B e C ão pode ser superor a 5 kg. A restrção de matéra-prma A é dada por: f) Restrção de matéra-prma B O total de cosumo mesal de matéra-prma B pelos produtos A, B e C ão pode ser superor a. kg. A restrção de matéra-prma B é dada por: g) Restrção de mercado As fuções de demada dos produtos A, B e C são dadas pelas fuções abaxo: p 5 h) Restrção de egatdade Nehuma das aráes pode assumr úmero egato: p p ; ; ) Smplfcado a fução-objeta A fução de demada fcará: p p p 5 5 Substtudo a fução objeto: Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

14 Edlso Paulo ( ) ( ) M M M 5 5 M Comproado a fórmula geérca aterormete descrta: ( ) [ ] MaxM j) Modelo matemátco O modelo matemátco para maxmzação de resultado por meo do preço de eda e mx de multprodutos com multrrestrções será: MaxM Sujeto a:,, k) Solução do modelo matemátco O modelo matemátco para maxmzação de resultado, acma apresetado, tem a característca de ser uma fução lear uadrátca, sedo ue, para sua solução, utlza-se o software MatLab,descreedo o problema da segute maera (as expressões abaxo referem-se às staxes própras utlzadas pelo software para solucoar problema uadrátco): ;f 5 8 ;b,5, A Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6. 5

15 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO 5 p( f, A, b)» al -.5*(x'*H*x) - f'*x O programa retorará às uatdades 6, e 6, respectamete, para, e, ue maxmzam o problema acma; tedo como resultado ótmo o alor de 556, ou seja, para maxmzar o resultado da empresa por meo das aráes apresetadas, as uatdades do produto A, B e C são respectamete, 6, e 6, ao preço de eda de $469,5, $.459, e $969,5, respectamete, e a cotrbução margal ótma será $5.56,. Lembrado ue o preço de eda dee ser ecotrado substtudo as uatdades do produto A, B e C, pelas suas fuções de preços de cada produto. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS A determação do preço e mx de eda de produtos sofrem dersas fluêcas dos múltplos teresses ue pressoam os preços e alteram o íel de demada, estabelecedo a erdade um ambete de stabldade a gestão empresaral. A formação do preço e mx de edas exgem um gerecameto partcpato os dersos estágos de processo, da pesusa e deseolmeto de um oo produto até a fase pós-eda dele. É acetáel ue os agetes teros prefram obter o preço mas alto, porém, se o preço ão for bom para o mercado sua demada ecolherá. Na outra pota, o mercado certamete procurará o meor preço (acompahado de outros atrbutos do produto) e, para ateder a essa motação, a empresa se deparará com o custo do processo produto. No etato, o mercado é uem alda o preço de eda. Etede-se ue o preço básco de eda passa ecessaramete pela aálse cojuta do custo do produto e das aráes de mercado e de produção. Mutas empresas aplcam o mark-up sobre os custos de seu produto para extrar o preço de eda, porém, cosdera-se ue exstem outras aráes mportates a tomada de decsão ue ão estão represetadas em sua composção, como a relação de demada-oferta, lmtações de capacdade stalada. as fatores podem ser aalados por meo de modelos matemátcos, dado uma melhor cotrbução para a formação do preço e mx de eda dos produtos. Este trabalho apresetou um modelo matemátco de programação uadrátca, ue determa a maxmzação de resultados, por meo das aráes, preços e mx de produtos, obedecdas às restrções de capacdade stalada e mercado. O modelo fo deseoldo sob codções de cocorrêca perfeta, ou seja, auela em ue ehuma empresa soladamete flueca sgfcatamete o comportameto da demada e procura do mercado. Outra lmtação mportate a ser cosderada sobre o modelo é ue a empresa coheça as fuções ue represetem o comportameto do custo total e demada de seus produtos, e ue estas, jutamete com a fução represetata da receta total, assumam característcas leares. Modelos de programação ão-lear podem ser deseoldos e aplcados para formação de preço e mx de edas para dersos produtos, utlzado-se da teora deseolda este trabalho. Assm, para futuros trabalhos sobre o tema, recomeda-se a aálse da aplcabldade destes modelos em casos cocretos, para ue se possa aalar o seu grau de efcêca e efcáca. REFERÊNCIAS AKINSON, Athoy et al. Cotabldade gerecal. São Paulo: Atlas,. Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.

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17 PROGRAMAÇÃO QUADRÁICA NA DEERMINAÇÃO DE PREÇO DE MULIPRODUOS EM UM CENÁRIO DE CURO PRAZO 5 WOOLDRIDGE, Jeffrey M. Itrodução à ecoometra: uma abordagem modera. São Paulo: Poera homso Learg, 6. Artgo recebdo em //6 e aceto para publcação em 9/6/6. Resta Uerso Cotábl, ISSN 89-7, Blumeau,.,., p. 7-5, mao/ago. 6.